文档内容
专题24.1 圆的有关性质
（知识梳理+17个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共59题）
【解析版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：圆的定义及表示方法...................................................2
知识点梳理02：圆的表示方法.........................................................2
知识点梳理03：点与圆的位置关系.....................................................2
知识点梳理04：圆的有关概念.........................................................3
优选题型 考点讲练......................................................................3
考点1 利用垂径定理求值.............................................................3
考点2 利用垂径定理求平行弦问题.....................................................6
考点3 利用垂径定理求同心圆问题.....................................................8
考点4 利用垂径定理求解其他问题....................................................10
考点5 垂径定理的推论..............................................................12
考点6 垂径定理的实际应用..........................................................15
考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解................................................17
考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证................................................18
考点9 圆心角概念辨析及简单运算....................................................21
考点10 求圆弧的度数...............................................................23
考点11 圆周角的概念辨析及简单运算.................................................26
考点12 圆周角定理.................................................................29
考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等.................................................32
考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角..............................................35
考点15 90度的圆周角所对的弦是直径...............................................37
考点16 已知圆内接四边形求角度.....................................................42
考点17 求四边形外接圆的直径.......................................................43
中考真题 实战演练.....................................................................46
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................52
基础夯实..........................................................................52培优拔高..........................................................................60
知识点梳理01：圆的定义及表示方法
1. 定义：
（1）描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的
图形叫做圆，其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．
“圆”是指“圆周”（一条封闭曲线）而不是“圆面”．
（2）集合性定义：将圆心为O、半径为r的圆看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集合．
{圆心：确定圆的位置，
确定一个圆需要两个要素
半径：确定圆的大小．
知识点梳理02：圆的表示方法
以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．
2. 圆的特性
（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；
（2）所有到圆心的距离等于半径的点都在同一个圆上；
（3）圆上任意两点和圆心构成的三角形是等腰三角形．
知识点梳理03：点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则点与圆的位置关系为
{点P在圆内⟺dr．
知识点梳理04：圆的有关概念
1. 弦与直径
连接圆上任意两点的线段叫做弦（如图中AB），经过圆心的弦叫做直径（如图中AC）．2. 弧、半圆、劣弧、优弧、圆心角
（1）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．
（2）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
{ 优弧：大于半圆的弧叫做优弧，用三个点表示（如图中AB´C)
（3）弧
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧，用两个点表示（如图中A´B)
（4）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．
3. 同心圆、等圆与等弧
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆．
能够重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等
弧．
同圆或等圆的半径相等．
考点1 利用垂径定理求值
【典例精讲】（25-26九年级上·广东广州·期中）如图，在同心圆中，大圆的弦AB与小圆相交于点C和
点D，已知AB=8，CD=6．
(1)BD长为______
(2)当大圆的半径是5时，求小圆的半径长．
【答案】(1)1
(2)3❑√2
【思路引导】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质，垂径定理，熟练
掌握以上知识点是解题的关键．
（1）先根据等边对等角得∠CAO=∠DBO,∠CDO=∠DCO，进而得出∠ACO=∠BDO，再根据“角角边”证明△ACO≌△BDO，得到AC=BD，则此题可解；
（2）作OE⊥AB，根据垂径定理得AE=BE，再根据勾股定理求出OE，接下来求出DE，然后根据勾股
定理得OD即可．
【规范解答】（1）解：如图所示，连接AO,CO,BO,DO，
则AO=BO,DO=CO，
∴∠CAO=∠DBO,∠CDO=∠DCO，
∵∠ACO=180°−∠DCO,∠BDO=180°−∠CDO，
∴∠ACO=∠BDO，
∴△ACO≌△BDO(AAS)，
AB−CD
∴AC=BD= =1；
2
故答案为：1．
（2）解：如图，过点O作OE⊥AB，交AB于点E，
1
则AE=BE= AB=4，
2
在Rt△BEO中，OB=5，BE=4，
∴OE=❑√OB2−BE2=❑√52−42=3，
由（1）可知，BD=1，
∴DE=BE−BD=3，
在Rt△DEO中，OD=❑√OE2+DE2=❑√32+32=3❑√2，
∴小圆的半径为3❑√2．【变式训练】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，已知A´B．
(1)用无刻度直尺和圆规作A´B的中点P．（保留作图痕迹）
(2)连接AB，AP，圆圆认为AB=2AP，你认为圆圆的说法正确吗？请说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)圆圆的说法错误，理由见解析
【思路引导】（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线交A´B于点P，点P即为所求；
（2）利用三角形的三边关系判断即可．
本题考查作图，复杂作图，垂径定理，三角形三边关系．
【规范解答】（1）解：如图，由平分弦的直线过圆心且平分弦所对的弧可知，点P即为所求；
（2）解：圆圆的说法错误．
理由：如图，连接AP，PB．
∵ AB
点P在线段 的垂直平分线上，
∴PA=PB，
∴PA+PB>AB，
∴AB<2PA，
故圆圆的说法错误．考点2 利用垂径定理求平行弦问题
【典例精讲】（25-26九年级上·山东滨州·期中）已知⊙O的直径为34cm，AB，CD是⊙O的两条弦，
AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，则AB和CD之间的距离是（ ）
A．7cm或23cm B．14cm或46cm C．7cm D．23cm
【答案】A
【思路引导】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，解题的关键是分情况讨论弦AB和CD与圆心O的位
置关系．
作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，利用垂径定理得到弦长的一半，再结合勾股定理
求出圆心到弦的距离，最后分两种情况 （两弦在圆心同侧和异侧）计算两弦之间的距离．
【规范解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
1 1
∴AE=BE= AB=15cm，CF=DF= CD=8cm，
2 2
∵⊙O的直径为34cm，
∴⊙O的半径为17cm，
在Rt△OCF中，OC=17cm，CF=8cm，
∴OF=❑√OC2−CF2=15cm，
在Rt△OAE中，OA=17cm，AE=15cm，
∴OE=❑√OA2−AE2=8cm，
当圆心O在AB与CD之间时，EF=OF+OE=15+8=23(cm)，
当圆心O不在AB与CD之间时，同理可得EF=OF−OE=15−8=7(cm)，
即AB和CD之间的距离为7cm或23cm．
故选：A.【变式训练】（24-25九年级上·河北秦皇岛·期中）如图，⊙O的半径为3，弦MN=2❑√3,Rt△ABC
的直角顶点B在弦MN上运动（可与点M，N重合），点A，C始终在⊙O上，且AB=3．关于嘉嘉和淇淇
的说法判断正确的是（ ）
嘉嘉说：“当点B与点M，点N重合时，∠C的度数是30°．”
淇淇说：“连接OA，当OA与弦MN平行时，点B到OA的距离为2．”
A．嘉嘉正确，淇淇错误 B．嘉嘉错误，淇淇正确
C．嘉嘉正确，淇淇也正确 D．嘉嘉错误，淇淇也错误
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，等边三角形的性质与判定，圆的基本性质，，当点B
与点M重合时，连接OB，可证明△AOB是等边三角形，据此求出∠A的度数，进一步可求出∠C的度
数；过点O作OD⊥MN于D，连接OM，利用垂径定理和勾股定理求出OD的长即可求出当OA与弦MN
平行时，点B到OA的距离，据此可得答案．
【规范解答】解：如图所示，当点B与点M重合时，连接OB，
∵OA=OB=AB=3，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵∠ABC=90°，
∴∠C=30°；
同理可得当点B与点N重合时，∠C=30°，故嘉嘉的说法正确；
如图所示，过点O作OD⊥MN于D，连接OM，
1
∴DM= MN=❑√3，∠ODM=90°，
2∴OD=❑√OM2−DM2=❑√6，
∵MN∥OA，
∴点B到OA的距离为❑√6，故淇淇说法错误，
故选：A．
考点3 利用垂径定理求同心圆问题
【典例精讲】（2024·广东湛江·模拟预测）如图，在破残的圆形残片上，弦AB的垂直平分线交弧AB于
点C，交弦AB于点D，已知AB=8cm，CD=2cm．
(1)求作此残片所在的圆的圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)求出（1）中所作圆的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【思路引导】本题考查了垂经定理的应用和基本作图，用到的知识点是线段垂直平分线的作法与性质、垂
径定理、勾股定理的应用，基本作图需要熟练掌握．
（1）在圆形残片上作弦BE的垂直平分线MN，交CD于点P，连接AP，以P为圆心，AP为半径的圆为所
求残片的圆．
1
（2）先设圆P的半径为r，根据AB⊥CD和已知条件求出AD= AB，PD=(r−2)cm，在Rt△APD中，
2
根据AP2=AD2+DP2，得出r2=42+(r−2) 2，求出r即可．
【规范解答】（1）解：作图如下，（2）解：设圆P的半径为r，
∵AB⊥CD，AB=8cm，CD=2cm，
1
∴AD= AB=4cm，PD=(r−2)cm，
2
在Rt△APD中，AP2=AD2+DP2，
∴r2=42+(r−2) 2，
解得r=5，
∴⊙P的半径为5cm．
【变式训练】将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放置在桌面上，水杯的底面如
图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则杯底有水面AB的宽度是（
）cm.
A．6 B．4❑√2 C．4❑√3 D．4❑√5
【答案】C
【思路引导】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后运用
勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【规范解答】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=❑√OA2−OC2=2❑√3，
∴AB=2AC=4❑√3.
故答案为C.
【考点剖析】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关
键.
考点4 利用垂径定理求解其他问题
【典例精讲】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）如图，AB为⊙O的弦，请用尺规作图法在⊙O上找
一点C，连接AC，BC，使得△ABC是以AC为底边的等腰三角形．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【思路引导】本题考查了等腰三角形的判定，垂径定理，作垂线；连接BO并延长交⊙O于点D，过点A
作BD的垂线交⊙O于点C，连接BC，则△ABC即为所求；
【规范解答】解：如图，△ABC即为所求
根据作图可得，AC⊥BD，BD是⊙O的直径
∴BD垂直平分AC，
∴BA=BC，
∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形．
【变式训练】（25-26九年级上·山西忻州·期中）如图是某小区的一处电动自行车的存放车棚．图1是
其横截面的示意简图，AD为垂直于地面的支柱，并用BC，BE为斜支架做支撑，大棚顶部用抛物线形的膜结构材料覆盖．支柱AD一端固定在地面，一端与棚顶相连于D处；斜支架BC，BE的一端都固定在AD
支柱上的B处，另一端分别固定在棚顶的C和E处．已知点C离地面的高度为2m，最高点F离地面的高度
为2.9m，离点C的水平距离为3m．
【数学建模】（1）在图2中，以过点C且以垂直与地面的直线CO为y轴，水平地面直线OA为x轴，建立
平面直角坐标系．棚顶上某处离地面的高度为ym，该处离CO的水平距离为xm，求y与x之间的函数关系
式．
【问题解决】（2）工人师傅在遮阳棚的顶部安装干粉灭火器，如图2所示，要在点G悬挂干粉灭火器，已
知绳长1.3m，干粉灭火器离地面的高度为1.5m．
①点G的坐标为 ．
②若车棚的俯视图如图3所示，若点C和点H的水平距离为3.5m，整个车棚的HM的长度为16m．悬挂干
粉灭火器保护半径为3m，要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装 个干粉灭火器．
1
【答案】（1）y=− (x−3) 2+2.9；（2）①(2,2.8)；②4
10
【思路引导】本题主要考查了二次函数的实际应用，利用垂径定理求值等知识．
（1）根据题意得，抛物线的顶点为F(3,2.9)，C(0,2)，利用待定系数法求解即可．
（2）①先求出点G的纵坐标，再把点G的纵坐标代入二次函数解析式，求出点G的横坐标即可．
②根据题意画出图形，过点O作OK⊥CH，利用垂径定理求出KO，再根据车棚两端安装2个灭火器，求
出中间需要装的灭火器，进而可求出答案．
【规范解答】解：（1）根据题意得，抛物线的顶点为F(3,2.9)，C(0,2)
∴设y与x之间的函数关系式为y=a(x−3) 2+2.9将点C(0,2)代入得2=a(0−3) 2+2.9
1
a=−
10
1
∴y与x之间的函数关系式为y=− (x−3) 2+2.9
10
（2）①点G的高度为：1.5+1.3=2.8，
1
把y=2.8代入y=− (x−3) 2+2.9，
10
1
得：2.8=− (x−3) 2+2.9，
10
解得：x =2，x =4，
1 2
根据图形可知：点G在点C和点F之间，
∴x=2，
故点G(2,2.8)．
②根据题意可知：CO=3，CH=3.5m，
如下图，过点O作OK⊥CH，
1 35 7
则CK= CH= = ，
2 20 4
∴KO=❑√CO2−CK2=❑
√
32−
(7) 2
≈2.44，
4
为使得装的灭火器较少，则在车棚两端各装两个如上图的灭火器．
∴(16−2×2.44)÷(3×2)=11.12÷6≈1.85≈2，
则中间还的加2个灭火器，
∴2+2=4（个）
答：要使车棚下的每一个区域都被保护，至少得安装4个干粉灭火器．
考点5 垂径定理的推论
【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，
OD⊥BC交BC于点E．(1)求证：BD=CD；
(2)若BE=3，AC=8，求OD的长．
【答案】(1)证明见解析
(2)5
【思路引导】本题考查了圆的相关性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握圆的相关性质．
（1）由垂径定理即可得B´D=C´D，进而得证；
（2）由（1）可知BC=2BE=6，△ABC为直角三角形，由勾股定理可求出直径AB的长，进而可得半径
OD的长．
【规范解答】（1）证明：∵OD为⊙O的半径，且OD⊥BC，
∴由垂径定理可知，BE=EC，且B´D=C´D
∴BD=CD；
1
（2）解：由（1）可知，BE=EC= BC，
2
∴BC=2BE=6，
∵AC⊥BC，
∴△ABC为直角三角形，
在Rt△ABC中，AB2=BC2+AC2=62+82=36+64=100，
∴AB=10，
∵OD为⊙O半径，
1 1
∴OD= AB= ×10=5，
2 2
故OD的长为5．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知AB是⊙O的一条弦，P是⊙O内一点，在下列
情形时，分别经过点P作一条弦CD，使CD=AB．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要的文字
说明）(1)如图（1），点P在AB上；
(2)如图（2），点P不在AB上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定与性质，垂径定理．
（1）如图①，如图①，过点O作OE⊥AB，分别以O为圆心，以OE为半径画弧，以P为圆心，以PE为
半径画弧，两弧相交于点F，作直线PF交⊙O于点C，D，线段CD即为所求；
（2）连接OP，过点O作OE⊥AB于点E，以O为圆心，OP为半径作弧交AB于点J，分别以O为圆心，
以OE为半径画弧，以P为圆心，以JE为半径画弧，两弧相交于点F，作直线PF交⊙O于点C，D，线段
CD即为所求．
【规范解答】（1）如图（1），线段CD即为所求；
由作法可知，OE=OF,PE=PF，
∵OP=OP，
∴△OPF≌△OPE(SSS)，
∴∠OFP=∠OEP=90°，
∴OF⊥CD，
∴CD=AB．
（2）如图②，线段CD即为所求．由作法可知，OE=OF,JE=PF,OJ=OP，
∴△OPF≌△OJE(SSS)，
∴∠OFP=∠OEJ=90°，
∴OF⊥CD，
∴CD=AB．
考点6 垂径定理的实际应用
【典例精讲】（25-26九年级上·云南曲靖·期中）昆明龙川桥作为云南现存最早的石拱桥之一，其拱结
构设计兼顾水利功能与工程美学．主孔可视为圆弧形，如图所示，当前河面宽度AB约为4米，拱高CN约
为1米，求：
(1)该圆弧的半径是多少；
(2)若大雨过后，河面宽度变为DE=3米，求水面涨高了多少？
【答案】(1)该圆弧的半径是2.5米
(2)水面涨高了0.5米
【思路引导】本题考查了垂径定理与勾股定理的实际应用，解题的关键是利用垂径定理构造直角三角形，
结合勾股定理列方程求解．
（1），设半径为r，由垂径定理得半弦长，结合拱高表示出直角三角形的直角边，用勾股定理列方程求半
径；
（2）同理构造直角三角形，求出新水面到圆心的距离，与原距离作差得水面涨高的高度．【规范解答】（1）解：设该圆弧的半径为r米，
∵OC⊥AB，
1
∴AN= AB=2米，ON=OC−CN=r−1米，
2
在Rt△OAN中，由勾股定理得OA2=AN2+ON2，即r2=22+(r−1) 2，
解得r=2.5，
即该圆弧的半径是2.5米．
（2）解：连接OD，
∵OC⊥DE，
1
∴DM= DE=1.5米，
2
在Rt△ODM中，由勾股定理得OM=❑√OD2−DM2=❑√2.52−1.52=2（米），
∵原水面到O的距离ON=2.5−1=1.5（米），
∴水面涨高了MN=OM−ON=2−1.5=0.5（米）．
【变式训练】（25-26九年级上·湖北黄冈·期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明
朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹
是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒
的最大深度CD为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离，D在圆上，OD⊥AB于点C）．
求该圆的半径．
【答案】该圆的半径为5米
【思路引导】本题考查了用勾股定理解三角形，利用垂径定理求值，垂径定理的实际应用等知识，解题关
键是掌握上述知识点并能运用求解．1
先利用垂径定理得出AC= AB=3米，再用r表示出OC=(r−1)米，从而可利用勾股定理得出关于r的方
2
程求解．
【规范解答】解：设圆的半径为r米．
∵OD⊥AB于点C，
1
∴AC= AB=3米．
2
∵DC=1米，
∴OC=(r−1)米．
在Rt△AOC中，AC2+OC2=OA2，
∴32+(r−1) 2=r2，
解得r=5，
∴该圆的半径为5米．
考点7 利用弧、弦、圆心角的关系求解
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江·期中）如图，在⊙O中，若A´B=C´D，则下列判断错误的是（
）
A．AB=CD B．AC=CB
C．A´C=B´D D．∠AOC=∠BOD
【答案】B
【思路引导】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，根据圆心角、弧、弦的关系得出AB=CD，AC=BD，
A´C=B´D，即可得出选项，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．【规范解答】解：∵A´B=C´D，
∴AB=CD，A´B−B´C=C´D−B´C，故A正确；
∴A´C=B´D，故C正确；
∴AC=BD，∠AOC=∠BOD，故D正确；
∵A´C和C´B无法确定相等，
∴无法判断AC=CB，
故选：B．
【变式训练】（25-26九年级上·河南许昌·期中）如图，AB是⊙O的直径，B´C=C´D=D´E，若
∠AEO=54°，则∠BOC=（ ）
A．28° B．32° C．36° D．40°
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了圆心角和圆周角的关系，圆周角和弧的关系等知识点．
先根据等弧所对的圆周角相等得到∠BOC=∠COD=∠EOD，再求解即可得到答案.
【规范解答】解：∵B´C=C´D=D´E，
∴∠BOC=∠COD=∠EOD，
1
∴∠BOC= ∠EOB，
3
∵∠AEO=54°，AO=EO，
∴∠AEO=∠EAO=54°，
∴∠BOE=∠AEO+∠EAO=108°，
1
∴∠BOC= ∠EOB=36°，
3
故选：C．
考点8 利用弧、弦、圆心角的关系求证
【典例精讲】（25-26九年级上·江西赣州·期中）如图，已知D，E分别为半径OA，OB的中点，C为
A´B的中点．(1)求证：CD=CE；
(2)若∠AOB=120°，OA=6，求△OAC面积．
【答案】(1)见解析
(2)△OAC的面积为9❑√3
【思路引导】本题考查了圆的基本性质、全等三角形的判定与性质以及三角形的面积计算，熟练掌握圆的
弧与圆心角的关系、全等三角形判定定理是解题的关键．
（1）通过连接辅助线 OC，利用圆的半径相等及弧中点对应的圆心角相等，结合全等三角形的判定定理
证明三角形全等，进而证得线段相等；
（2）先确定相关角的度数，结合勾股定理求出三角形的高，再利用三角形的面积公式计算面积．
【规范解答】（1）证明：连接OC，如图：
∵C A´B
为 的中点，
∴∠AOC=∠BOC，
∵D，E分别为半径OA，OB的中点，OA=OB，
∴OD=OE，
在△COD和△COE中，
{
OD=OE
)
∠AOC=∠BOC
OC=OC
∴△COD≌△COE(SAS)，
∴CD=CE．
（2）解：如图：过C点作CF⊥OA于点F，∵∠AOC=120°
，
∴∠FOC=60°，
在Rt△OFC中，∠OCF=30°，OC=OA=6，
1 1
∴OF= OC= ×6=3，
2 2
由勾股定理得：CF=❑√OC2−OF2=❑√62−32=3❑√3，
1
∴S = ×6×3❑√3=9❑√3．
△OAC 2
【变式训练】（25-26九年级上·浙江·课后作业）如图，在扇形AOB中，点C、D在A´B上，A´D=C´B，
点F、E分别在半径OA、OB上，OF=OE，连接DE、CF．
(1)求证：DE=CF；
(2)设点P为C´D的中点，连接CD、EF、PO，线段PO交CD于点M、交EF于点N．如果PO∥DE，
求证：四边形MNED是矩形．
【答案】(1)证明见详解；
(2)证明见详解．
【思路引导】（1）先证明A´C=B´D得到∠AOC=∠BOC，然后证明△OCF≌△ODE得DE=CF；
（2）连接AB，如图，利用垂径定理得到OP⊥CD，OP⊥AB，则利用等腰三角形的性质和三角形内
1
角和得到∠OEF=∠OBA=90°− ∠EOF，则可判断EF∥AB，所以EF∥CD，加上OP∥DE，
2
于是可得到四边形MNED为平行四边形，然后利用∠NMD=90°得到四边形MNED为矩形．
【规范解答】（1）证明：∵A´D=C´B，
∴A´C+C´D=C´D+B´D，∴A´C=B´D，
∴∠AOC=∠BOC，
在△OCF和△ODE中，
{
OC=OD
)
∠FOC=∠EOD ，
OF=OE
∴△OCF≌△ODE(SAS)，
∴DE=CF；
（2）连接AB，如图，
∵ C´D
点P为 的中点，
∴OP⊥CD，
∵A´D=C´B，
∴A´P=B´P，
∴OP⊥AB，
∵OE=OF，OA=OB，∠EOF=∠BOA，
1
∴∠OEF=∠OBA=90°− ∠EOF，
2
∴EF∥AB，
∴OP⊥EF，
∴EF∥CD，
∵OP∥DE，
∴四边形MNED为平行四边形，
∵∠NMD=90°，
∴四边形MNED为矩形．
【考点剖析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，矩形的判定．全等三角形的判定与性质等知
识点，掌握这些是解题的关键．
考点9 圆心角概念辨析及简单运算
【典例精讲】（22-23九年级上·江苏·期中）已知∠APE，有一量角器如图摆放，中心O在PA边上，OA为0°刻度线，OB为180°刻度线，角的另一边PE与量角器半圆交于C，D两点，点C，D对应的刻度分
别为160°，68°，则∠APE= °．
【答案】24
【思路引导】利用点C，D对应的刻度分别为160°，68°，求出∠COD，∠COP，再根据OC=OD求出
∠OCD，利用外角的性质得到∠OCD=∠COP+∠APE，从而得解．
【规范解答】解：如图，连接OD，OC，
根据题意得，∠AOD=68°，∠AOC=160°，
∴∠COD=∠AOC−∠AOD=92°，∠COP=180°−∠AOC=20°，
∵OC=OD，
1 1
∴∠OCD=∠ODC= ×(180°−∠COD)= ×(180°−92°)=44°，
2 2
∵∠OCD=∠COP+∠APE，
∴∠APE=∠OCD−∠COP=24°，
故答案为：24．
【考点剖析】本题考查等边对等角，三角形外角的定义与性质，圆心角等知识，根据刻度找出相应的圆心
角并计算其他角度是解题的关键．
【变式训练】（21-22七年级下·浙江舟山·期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆
长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距
离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为
∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的
有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的
周长约为 km．【答案】40000
【思路引导】先根据平行线的性质求得∠POQ的度数，从而确定一个周角有多少个这样的角，再结合弧AB
的长即可求得答案．
【规范解答】∵AC//OQ
∴∠1=∠POQ=7.2°
360÷7.2=50
，
∴地球的周长约为800×50=40000 km．
故答案为：40000．
【考点剖析】本题考查了平行线的性质，圆心角的涵义，熟练掌握相关知识是解题的关键．
考点10 求圆弧的度数
【典例精讲】（2025九年级上·浙江·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，以点C为圆心，BC
为半径的圆交AB于点D，交AC于点E．
(1)若∠A=35°，求D´E的度数；
(2)若BC=6,AC=8，求BD的长．
【答案】(1)20°36
(2)
5
【思路引导】本题考查了垂径定理以及勾股定理，等边对等角，三角形内角和定理，解题的关键是正确添
加辅助线构造直角三角形．
（1）求出∠B的度数，求出∠B所对的弧的度数，即可得出答案；
（2）过点C作CH⊥BD于点H，根据垂径定理得到BH=DH，再利用勾股定理计算出AB=10，接着利
24
用面积法计算出CH= ，然后利用勾股定理计算出BH，从而得到BD的长．
5
【规范解答】（1）解：连接CD，
∵∠A=35°，∠C=90°，
∴∠B=55°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=55°，
∴∠BCD=180°−∠B−∠CDB=70°，
∴∠DCE=∠ACB−∠BCD=20°，
∴D´E的度数为20°；
（2）解：过点C作CH⊥BD于点H，则BH=DH，
在Rt△ABC中，BC=6,AC=8，
∴AB=❑√BC2+AC2=❑√62+82=10，
1 1
∵ CH⋅AB= BC⋅AC，
2 2
6×8 24
∴CH= = ，
10 5
√ 24 2 18
∴在Rt△BCH中， BH=❑√BC2−CH2=❑62−( ) = ，
5 5
36
∴BD=2BH= ．
5【变式训练】（22-23九年级上·北京·月考）如图，AB为⊙O的弦，C，D为圆上的两个动点，记弦
AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β． 若α+β=180°，给出如下四个结论：
①∠A+∠C=90°；
②若β=2α，则CD=❑√3AB；
③若B为弧AD的中点，则OA⊥CD；
④AB2+CD2=4OC2．
上述结论中一定正确的有 （填写所有正确结论的序号）．
【答案】①②④
【思路引导】本题主要考查了圆的性质、弧的度数、垂径定理、含30°角的直角三角形的性质、勾股定理、
等边三角形的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握知识点推理是解题的关键．
1 1
根据圆的性质、等边对等角、三角形的内角和定理，表示出∠A=90°− α，∠C=90°− β，结合
2 2
α+β=180°，即可证明①正确；将△OAB旋转到和△COD拼合，使得OB和OD重合，由β=2α，得出
α+2α=180°，旋转后点A、O、C在同一直线上，∠ADC=90°，求出α=60°，根据勾股定理即可证
明④正确；根据等边三角形的判定与性质，推出∠A=60°，得出∠C=90°−60°=30°，根据“30°角
所对的直角边是斜边的一半”，得出AC=2AB，结合勾股定理即可证明②正确；根据弧的中点，得出
B´D=A´B，则∠BOD=∠AOB=α，结合垂径定理，推出OA⊥CD时，
∠COD=∠COA+∠AOD=4α=β，得出只有当α=36°时，③成立，综合得出答案即可．
【规范解答】解：∵OA=OB=OC=OD，弦AB所对的圆心角度数为α，弦CD所对的圆心角度数为β，
180°−∠AOB 1 180°−∠COD 1
∴∠A=∠B= =90°− α，∠C=∠D= =90°− β，
2 2 2 2
1 1 1
∴∠A+∠C=90°− α+90°− β=180°− (α+β)，
2 2 2
又∵α+β=180°，
1
∴∠A+∠C=180°− ×90°=90°，
2故①正确，
如图，将△OAB旋转到和△COD拼合，使得OB和OD重合，
∵α+β=180°，若β=2α，
∴α+2α=180°，旋转后点A、O、C在同一直线上，∠ADC=90°，
解得：α=60°，
∴∠AOD=60°，AB2+CD2=AC2=(2OC) 2=4OC2，
故④正确，
∵OA=OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴∠A=60°，
∴∠C=90°−60°=30°，
∴AC=2AB，
∴CD=❑√AC2−AB2=❑√(2AB) 2−AB2=❑√3AB，
故②正确，
∵若B为弧AD的中点，
∴B´D=A´B，
∴∠BOD=∠AOB=α，
∴∠AOD=∠BOD+∠AOB=2α，
当OA⊥CD时，则∠COA=∠AOD=2α，
∴∠COD=∠COA+∠AOD=4α=β，
∵α+β=180°，
∴5α=180°，
解得：α=36°，
∴只有当α=36°时，③成立，
故③不正确，综上所述，一定正确的有①②④，
故答案为：①②④．
考点11 圆周角的概念辨析及简单运算
【典例精讲】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，BD平分
∠ABC交⊙O于D，连OD交AC于E．
(1)若∠CAB=40°，求∠ODB的度数；
(2)若AB=10,AC=8，求DE的长度．
【答案】(1)25°
(2)2
【思路引导】（1）根据直径所对的圆周角是直角，解得直角三角形的性质，角的平分线，等腰三角形的
性质解答即可；
（2）根据垂径定理，勾股定理，圆的性质解答即可．
【规范解答】（1）解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90∘，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBA=∠DBC=25°，
∵OB=OD，
∴∠ODB=∠DBA=25°．
（2）解：∵AB=10，AC=8，∠ACB=90°
∴BC=❑√AB2−AC2=6，O⊙的半径=5
由（1）可知∠ODB=∠OBD=∠DBC，
∴OD∥BC，
∴∠AEO=∠ACB=90°，
∴DO⊥AC，∴AE=EC，
∵OA=OB，
1
∴OE= BC=3，
2
∴DE=OD−OE=5−3=2．
【考点剖析】本题考查了勾股定理，垂径定理，圆周角定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，圆
的性质，熟练掌握定理和圆的性质是解题的关键．
【变式训练】（21-22九年级上·浙江绍兴·期中）如图，直线l经过⊙O的圆心 O，且与⊙O交于
A、B两点，点C在⊙O上，且 ∠AOC=30∘，点P是直线l上的一个动点 (与圆心O不重合)， 直线CP
与⊙O相交于另一点Q，如果QP=QO，则∠OCP= .
【答案】40°、20°、100°
【思路引导】点P是直线l上的一个动点，因而点P与线段AO有三种位置关系，在线段AO上，点P在OB
延长线上，点P在OA的延长线上．分这三种情况进行讨论即可．
【规范解答】解：①根据题意，画出图1，
在△QOC中，OC=OQ，
∴∠OQC=∠OCP，
在△OPQ中，QP=QO，
∴∠QOP=∠QPO，
又∵∠AOC＝30°，
∴∠QPO=∠OCP+∠AOC=∠OCP+30°，
在△OPQ中，∠QOP+∠QPO+∠OQC=180°，即(∠OCP+30°)+(∠OCP＋30°)+∠OCP=180°，
整理得，3∠OCP=120°，
∴∠OCP=40° ．
②当P在线段OA的延长线上，如图2
∵OC=OQ，
1
∴∠OQP=(180°−∠QOC)× ①，
2
∵OQ=PM，
1
∴∠OPQ=(180°−∠OQP)× ②，
2
在△OQP中，30°+∠QOC+∠OQP+∠OPQ=180°③，
把①②代入③得∠QOC=20°， 则∠OQP=80°
∴∠OCP=100°；
③当P在线段OA的反向延长线上，如图3，
∵OC=OQ，
1
∴∠OCP=∠OQC=(180°−∠COQ)× ①，
2
∵OQ=PQ，
1
∴∠P=(180°−∠OQP)× ②，
2
∵∠AOC=30°，
∴∠COQ+∠POQ=150°③，
∵∠P=∠POQ，2∠P=∠OCP=∠OQC④，
①②③④联立得∠P=10°，
∴∠OCP=180°−150°−10°=20°．
故答案为：40°、20°、100°．
【考点剖析】本题主要考查了圆的认识及等腰三角形等边对等角的性质，画出图形，进行分类讨论是解题
的关键．
考点12 圆周角定理
【典例精讲】（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，四边形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC⊥BD，若∠AOD=120°，AD=3，则AC的长度为（ ）
3❑√2+❑√6 9❑√2
A．3 B．2❑√3 C． D．
2 4
【答案】C
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质、
勾股定理，熟练掌握圆的相关性质及等腰直角三角形的判定是解题的关键．先利用圆周角定理及平行线的
性质证明△BCE是等腰直角三角形，△AED是等腰直角三角形，利用勾股定理求出AE的长，再根据圆
周角定理及直角三角形的性质求出∠BAC=30°，再利用勾股定理求出CE的长，即可求解．
【规范解答】解：∵BC∥AD，
∴∠BCA=∠CAD，
∵∠CBE=∠CAD，
∴∠BCA=∠CBE，
∴BE=CE，
∵AC⊥BD，
∴△BCE是等腰直角三角形，
同理可得，△AED是等腰直角三角形，
∴AE=DE，
∵AD=3，
∴AD2=AE2+DE2=2DE2，即32=2DE2，
3❑√2 3❑√2
解得DE= ，则AE=DE= ，
2 2
∵∠AOD=120°，
1
∴∠ACD= ∠AOD=60°，
2
∴∠CDE=90°−60°=30°，
∴CD=2CE，∴CE2+DE2=CD2=4CE2，即CE2+
(3❑√2) 2
=4CE2，
2
❑√6
解得CE= ，
2
3❑√2+❑√6
∴AC=CE+AE= ．
2
故选：C．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，锐角△ABC内接于⊙O,AD⊥BC于点
D,BG⊥AC于点G，交AD于点E，延长BG交⊙O于点F，连接AF，CF．
(1)当∠ACB=37°，∠BAC=66°时，求∠AFC的度数．
(2)求证：AE=AF．
(3)当OE⊥AD时，求证：AF=2ED．
【答案】(1)103°
(2)见解析
(3)见解析
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的判定和性质等，熟练掌握圆周角定理，
垂径定理是解题的关键．
（1）根据圆周角定理可得∠AFB=∠ACB=37°，∠BFC=∠BAC=66°，即可求解；
（2）根据直角三角形的性质可得∠ACB=∠AEG，再由圆周角定理可得∠AEG=∠AFB，即可求证；
（3）延长AD交⊙O于点H，连接BH，根据圆周角定理可得∠H=∠BED，从而得到BE=BH，再由
等腰三角形的性质可得EH=2DE，然后根据垂径定理可得AE=EH，可得AE=2DE，即可求证．
【规范解答】（1）解：∵∠ACB=37°，∠BAC=66°，
∴∠AFB=∠ACB=37°，∠BFC=∠BAC=66°，
∴∠AFC=∠AFB+∠BFC=37°+66°=103°；
（2）证明：∵AD⊥BC，BG⊥AC，
∴∠ADC=∠AGE=90°，
∴∠ACB+∠CAD=90°,∠AEG+∠CAD=90°，∴∠ACB=∠AEG，
∵∠ACB=∠AFB，
∴∠AEG=∠AFB，
∴AE=AF；
（3）证明：如图，延长AD交⊙O于点H，连接BH，
∵∠BED=∠AEF，∠AEF=∠AFB，
∴∠BED=∠AFB，
∵∠H=∠AFB，
∴∠H=∠BED，
∴BE=BH，
∵AD⊥BC，
∴EH=2DE，
∵OE⊥AD，
∴AE=EH，
∴AE=2DE，
∵AE=AF，
∴AF=2DE．
考点13 同弧或等弧所对的圆周角相等
【典例精讲】．（25-26九年级上·湖南株洲·月考）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，
∠ADC=120°，连接BD．
(1)求∠ADB的度数；(2)求证：BD=AD+CD．
【答案】(1)60°
(2)见解析
【思路引导】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的
性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
（1）先根据圆内接四边形的性质，得出∠ABC=60°，进一步证明△ABC是等边三角形，得出
∠ACB=60°，最后根据圆周角定理的推论即可求出∠ADB的度数；
（2）通过在BD上截取BE=CD，再连接AE，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明．
【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ABC+∠ADC=180°．
∵ ∠ADC=120°，
∴∠ABC=60°．
∵ AB=AC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵A´B=A´B，
∴∠ADB=∠ACB=60°．
答：∠ADB的度数为60°．
（2）证明：如图，
在BD上截取BE=CD，连接AE，
由（1）知，△ABC是等边三角形，
∴AB=AC．
∵A´D=A´D，
∴ ∠ABE=∠ACD．
在△ABE和△ACD中，
{
AB=AC
)
∠ABE=∠ACD
BE=CD∴ △ABE≌△ACD(SAS)，
∴AE=AD．
∵∠ADB=60°，
∴ △ADE是等边三角形，
∴DE=AD，
∴ BD=DE+BE=AD+CD．
【变式训练】（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，若
∠BDC=31°，则∠ABC=（ ）
A．31° B．59° C．62° D．69°
【答案】B
【思路引导】本题考查了圆周角定理及直径所对圆周角的性质，解题关键是熟练掌握圆周角定理及直径所
对圆周角的性质．
由同弧圆周角相等得∠BAC=∠BDC=31°，由直径所对圆周角为直角得∠ACB=90°，利用直角三角
形内角和求出结论即可．
【规范解答】解：连接AC，
∵同弧所对的圆周角相等，∠BDC=31°，
∴∠BAC=∠BDC=31°．
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
在△ABC，中
∠ABC=90°−∠BAC=90°−31°=59°．
故选：B．考点14 半圆(直径）所对的圆周角是直角
【典例精讲】（25-26九年级上·山东东营·期中）如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，
∠ADC=120°，则∠BAC的度数是（ ）
A．25° B．30° C．35° D．40°
【答案】B
【思路引导】本题考查圆周角定理及圆内接四边形的性质，运用圆周角定理及圆内接四边形的性质求角的
度数是解题关键，根据圆内接四边形的性质可求出∠ABC的度数，再根据圆周角定理求解即可．
【规范解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠ABC=180°，
∴∠ABC=180°−∠ADC=180°−120°=60°，
∵ AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=90°−60°=30°；
故选：B．
【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，
C´D=D´B=B´E，连CE交直径AB于点F，BC交AD于点G．
(1)求证：AD⊥CE；
(2)若点G为AD中点，AF=2，求AD的长．
【答案】(1)见解析
(2)2❑√6
【思路引导】本题考查了圆周角定理，等边对等角，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理．（1）设AD交CE于点H，根据圆周角定理得到∠CAD=∠BAD=∠BCE，∠ACB=90°，进而可得
∠AHC=90°，即可证明AD⊥CE；
（2）连接OC,OD,BD,OD交CB于点M，根据等边对等角得到AC=AF=2，根据圆周角定理得到
1
∠COD=∠BOD，根据垂径定理得到OD⊥BC，根据三角形中位线定理得到OM= AC=1，根据
2
AAS证明△ACG≌△DMG，根据勾股定理计算即可．
【规范解答】（1）证明：设AD交CE于点H，
∵C´D=D´B=B´E，
∴∠CAD=∠BAD=∠BCE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACH+∠GCH=90°，
∴∠ACH+∠CAD=90°，
∴∠AHC=90°，
∴AD⊥CE；
（2）解：连接OC,OD,BD,OD交CB于点M．
∵∠CAD=∠BAD,∠AHC=90°，
∴∠ACH=∠AFH，
∴AC=AF=2，
∵C´D=D´B，
∴∠COD=∠BOD，
∴OD⊥BC，
∴∠DMC=∠ACB=90°，
∵CM=BM，AO=BO，
∴OM是△ACB中位线，1
∴OM= AC=1，
2
∵点G为AD中点，
∴AG=DG，
∴△ACG≌△DMG（AAS），
∴DM=AC=2,OD=OM+DM=2+1=3,AB=6，
在Rt△BOM中，BM=❑√BO2−OM2=2❑√2，
在Rt△BDM中，BD=❑√BM2+DM2=2❑√3，
在Rt△ABD中，AD=❑√AB2−BD2=2❑√6．
考点15 90度的圆周角所对的弦是直径
【典例精讲】（25-26九年级上·江西上饶·期中）按要求作图：
(1)如图（1），已知△ABC，AB=BC，以AB为直径的⊙O与AC相交于点D，请你仅用无刻度的直尺
作出∠ABC的平分线BP；
(2)如图（2），已知△ACD中，AD=CD，以AB为直径的⊙O经过A、C、D三点，请你用无刻度的
直尺作出∠ABC的平分线BQ．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【思路引导】本题考查无刻度直尺作图，直径所对的圆周角是直角，同圆中等弧所对的圆周角相等，等腰
三角形三线合一，根据相关定理寻求角之间的关系是解题的关键．
（1）如图，连接BD，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADB=90°，根据等腰三角形三线合一，得
∠ABD=∠CBD，所以BD即为所求BP；
⟺ ⟺
（2）如图，连接DO，延长交⊙O于点Q，连接BQ，可证A´D=C´D，进而得到 AQ=CQ ，根据同圆中，
等弧所对的圆周角相等得∠ABQ=∠CBQ，故BQ为所求．
【规范解答】（1）解：如图，连接BD，则BD平分∠ABC，说明如下：
∵AB 是⊙O直径，
∴∠ADB=90°，即BD⊥AC，
又∵AB=BC，
∴∠ABD=∠CBD，
∴BD即为所求BP；
（2）解：如图，连接DO，延长交⊙O于点Q，连接BQ，即为所求．
∵AD=CD，
∴A´D=C´D，
⟺ ⟺
∵ QAD=QCD ，
⟺ ⟺
∴ AQ=CQ ，
∴∠ABQ=∠CBQ．
【变式训练】．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）定义：同一个圆中，互相垂直的两条弦叫做“垂弦”，“垂弦”的交点叫做“垂弦点”．
(1)如图1，AC、AB是⊙O的一组“垂弦”，点A为“垂弦点”，BC_____（填“是”或“不是”）直
径；
(2)如图2，AB、CD是⊙O的两条弦，CF为直径，A´D=B´F，请判断AB与CD是否是一组“垂弦”，
并说明理由；
(3)如图3，点D是⊙O上一个动点，AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若A´D的度数
为m∘，B´C的度数为n∘，试探究m+n是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由；
(4)如图4，AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，点E为“垂弦点”，若AD=6，BC=6❑√3，求阴影部分的
面积．
【答案】(1)是
(2)AB与CD是一组“垂弦”，理由见详解
(3)m+n是定值，m+n=180
(4)S =12π−9❑√3
阴影
【思路引导】本题考查圆的垂弦定义、弧与圆心角的关系及扇形面积计算，运用转化与方程思想，关键是
利用垂弦性质推导弧的度数关系，结合勾股定理和扇形面积公式求解，易错点为垂弦性质理解不清及扇形
面积计算时的角度或半径错误；
（1）根据垂弦定义判断直径；（2）利用弧相等推导角的关系证明垂弦；（3）结合垂弦性质和弧的度数
和推导定值；（4）通过垂弦性质求半径和圆心角，进而计算阴影部分面积．
【规范解答】（1）解：∵AC、AB是⊙O的一组“垂弦”，点A为“垂弦点”，
∴AC⊥AB，即∠CAB=90°，
∵直径所对的圆周角是直角，
∴BC是⊙O的直径；
故答案为：是．
（2）AB与CD是一组“垂弦”
连接DF、DB∵CF
为直径，
∴∠CDF=90∘，
∵A´D=B´F，
∴∠1=∠2，
∴DF//AB，
∴∠CDF=∠CEB=90∘，
∴AB与CD是一组“垂弦” ．
（3）m+n=180
连接BD，
∵ A´D m∘ B´C n∘
若 的度数为 ， 的度数为
1 1
∴∠1= m∘ ，∠2= n∘ ，
2 2
∵AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，
∴∠DEB=90∘，
∴∠1+∠2=90∘，
1 1
即
m∘+ n∘=90∘
，
2 2
∴m+n=180
（4）连接CO并延长交⊙O于点M，连MB，作ON⊥BC，N为垂足，A´D m∘ B´C n∘ B´M p∘
的度数为 ， 的度数为 ， 的度数为 ，
∵CM为直径
∴∠MBC=90∘
∴∠M+∠MCB=90∘
n+p=180
∵AB、CD是⊙O的一组“垂弦”，
由（3）知m+n=180
∴m=p即A´D=B´M
∴BM=AD=6
∵∠MBC=90∘
∴BM2+BC2=CM2
即62+(6❑√3) 2=CM2
∴CM=12
∴CO=OM=OB=6，
ΔBOM为等边三角形
∴∠BOM=60∘，∠BOC=120∘，
∵ON⊥BC
1
∴N为BC中点，ON= MN=3
2
120
∴S = π⋅62=12π，
扇形OBC 360
1 1
S = ⋅BC⋅ON= ⋅6❑√3⋅3=9❑√3
ΔOBC 2 2
∴S =12π−9❑√3
阴影
考点16 已知圆内接四边形求角度
【典例精讲】（25-26九年级上·云南红河·期中）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，⟺ ⟺
若 ∠ACD=40°,AC=CD ，则∠ABC的度数为（ ）
A．110° B．140° C．120° D．70°
【答案】A
【思路引导】本题主要考查了圆内接四边形的性质，弧与弦之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，
由弧与弦之间的关系可得AC=CD，由等边对等角和三角形内角和定理可得∠D的度数，再由圆内接四
边形对角互补可得．
【规范解答】解：∵A´C=C´D，∠ACD=40°，
∴AC=CD，
1
∴∠CDA=∠CAD= (180°−∠ACD)=70°，
2
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠D+∠ABC=180°
∴∠ABC=110°，
故选：A．
【变式训练】（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠A=29°，
∠C=33°，将△ABC绕A点顺时针方向旋转，旋转后的三角形为△AB′C′（点B与点B′对应，点C与
点C′对应），若点C′落在⊙O上，则∠CAB′= ．
【答案】27°/27度
【思路引导】本题考查了旋转性质，圆内接四边形，等边对等角，三角形内角和性质，正确掌握相关性质
内容是解题的关键．先作图，再运用三角形内角和性质，得∠B=118°，结合四边形ABCC′是⊙O的内
接四边形，得∠AC′C=62°，再根据旋转的性质，得AC=AC′，∠C′ AB′=∠CAB=29°，则
∠ACC′=∠AC′C=62°，运用三角形内角性质列式计算得∠CAC′=56°，再把数值代入∠CAB′=∠CAC′−∠C′ AB′进行计算，即可作答．
【规范解答】解：依题意，点C′落在⊙O上，连接C′C,如图所示：
∵∠CAB=29°，∠ACB=33°，
∴∠B=180°−29°−33°=118°，
∵点C′落在⊙O上，△ABC是⊙O的内接三角形，
∴四边形ABCC′是⊙O的内接四边形，
∴∠AC′C+∠B=180°，
∴∠AC′C=180°−∠B=62°，
∵旋转，
∴AC=AC′，∠C′ AB′=∠CAB=29°
∴∠ACC′=∠AC′C=62°，
则∠CAC′=180°−∠ACC′−∠AC′C=56°，
∴∠CAB′=∠CAC′−∠C′ AB′=56°−29°=27°，
故答案为：27°．
考点17 求四边形外接圆的直径
【典例精讲】（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）【推理证明】
（1）如图①，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，求证：A、B、C、D四点共圆．小明认为：连接
AC，取AC的中点O，连接OB、OD即可证明，请你按照小明思路完成证明过程．
【尝试应用】
（2）如图②，在正方形ABCD中，点E是边AB上任意一点，连接DE，交AC于点F，请利用无刻度的直
尺与圆规在线段CF上确定点P，使∠DPE=90°．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】
（3）在（2）的基础上，若AB=6，BE=2AE，直接写出线段DP的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2❑√5．
【思路引导】（1）根据直角三角形斜边中线等于斜边一半证明OA=OB=OC=OD，即可得出结论；
（2）以DE为直径作圆，交CF于点P，由直径所对圆周角等于90°，即可得出∠DPE=90°；
（3）由正方形性质和勾股定理求出DE=2❑√10，再证明∠EAP=∠EDP=45°得△DEP是等腰直角三
角形，由此求出DP=2❑√5．
【规范解答】（1）证明：连接AC，取AC的中点O，连接OB、OD，
∵∠ABC=∠ADC=90°，
1
∴OA=OB=OC=OD= AC，
2
∴A、B、C、D四点在以点O为圆心，以OA为半径的圆上．
（2）如图，∠DPE=90°；
（3）∵在正方形ABCD中，AB=6，BE=2AE，
∴BE=4，AE=2，AB=AD=CD=BC=6，
∠DAB=∠ADC=90°，∠EAP=45°
∴DE=❑√AE2+AD2=❑√22+62=2❑√10，
∵E´P=E´P，
∴∠EAP=∠EDP=45°，
又∵△DEP是直角三角形，∠DPE=90°，
∴∠DEP=∠EDP=45°，
∴EP=DP
又∵EP2+DP2=DE2，∴即2DP2=(2❑√10) 2
∴DP=2❑√5．
【考点剖析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理等知识，
添加合适的辅助线是解题的关键．
【变式训练】（2023·陕西西安·三模）在菱形ABCD中，AD=2，∠D=60°，∠EAF的两边分别交
边DC、CB于点E、F，且∠EAF=60°，记△AEF的外心为点P，则P、C两点间的最小距离为
．
【答案】1
【思路引导】连接AP,CP,AC，则：CP≥AC−AP，得到当A,C,P三点共线时，P、C两点间的距离最
小，根据菱形的性质，求出AC长，证明A,E,C,F四点共圆，得到AC为⊙P的直径，即可得解．
【规范解答】解：连接AP,CP,AC，
则：CP≥AC−AP，
∴当A,C,P三点共线时，P、C两点间的距离最小，
∵菱形ABCD中，AD=2，∠D=60°，
∴AD=CD=2，∠BCD=120°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AC=AD=2，
∵∠EAF=60°，
∴∠EAF+∠ECF=180°，
∴A,E,C,F四点共圆，
∵△AEF的外心为点P，A,C,P三点共线，
∴AC为⊙P的直径，1
∴CP= AC=1，
2
∴P、C两点间的最小距离为1；
故答案为：1．
【考点剖析】本题考查菱形的性质，等边三角形的判定和性质，四点共圆．解题的关键是证明AC为⊙P
的直径．
【演练1】（2025·青海西宁·中考真题）如图，AB,AC是⊙O的弦，AB=AC，半径OE,OF分别与
弦AB,AC垂直，垂足分别为G，H，AM∥OF交OE于点M，AN∥OE交OF于点N，连接OA．
(1)求证：∠AOE=∠AOF；
(2)求证：四边形AMON是菱形；
(3)若AB=16，OA=10，则OM=_______．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
25
(3)
3
【思路引导】本题考查弧，弦，角之间的关系，垂径定理，勾股定理，菱形的判定和性质，熟练掌握相关
知识点是解题的关键：
（1）根据弧，弦，角之间的关系以及垂径定理，即可得证；
（2）先证明四边形AMON为平行四边形，等积法推出OM=ON，即可得证；
（3）垂径定理结合勾股定理求出OG的长，设OM=AM=x，在Rt△AGM中，利用勾股定理进行求解
即可．
【规范解答】（1）证明：∵AB=AC，
∴A´B=A´C，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，∴A´E=B´E,A´F=C´F，
∴A´E=B´E=A´F=C´F，
∴∠AOE=∠AOF；
（2）证明：∵AM∥OF，AN∥OE，
∴四边形AMON为平行四边形，
∵半径OE,OF分别与弦AB,AC垂直，
1 1
∴AG= AB,AH= AC，
2 2
∵AB=AC，
∴AG=AH，
∵S =OM⋅AG=ON⋅AH，
四边形AMON
∴OM=ON，
∴四边形AMON为菱形；
（3）∵AB=16，
1
∴AG= AB=8，
2
在Rt△AOG中，由勾股定理，得：OG=❑√OA2−AG2=6，
由（2）知：四边形AMON为菱形，
∴设OM=AM=x，则：MG=OM−OG=x−6，
在Rt△AGM中，由勾股定理，得：x2=82+(x−6) 2，
25
解得x= ；
3
25
∴OM= ．
3
【演练2】（2025·四川巴中·中考真题）如图，A、B、C是⊙O上的点，BC是圆的直径，在BA延长线
上取一点D，使AD=AC，连接CD，则∠ACD为（ ）
A．70° B．50° C．45° D．40°
【答案】C【思路引导】本题考查了直径所对的圆周角为直角，等腰三角形的性质，根据题意可得
∠BAC=∠CAD=90°，再利用等腰三角形的性质即可解答．
【规范解答】解：∵BC是圆的直径，
∴∠BAC=90°，
∴∠CAD=90°，
∵AD=AC，
180°−∠CAD
∴∠D=∠ACD= =45°，
2
故选：C．
【演练3】（2025·海南·中考真题）如图，点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，AB=4，
BC=7．
（1）△AEB面积的最大值为 ；
（2）连接CE，分别取CD、CE的中点M、N，连接MN．若∠BAD=120°，则线段MN长度的最小值
为 ．
❑√67−2
【答案】 4
2
【思路引导】（1）利用直径所对圆周角为90度确定点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，再利用直角三
角形斜边上的中线等于斜边的一半和圆的性质解答即可；
1
（2）连接DE，利用三角形的中位线定理得到MN= DE，则DE取得最小值时，MN长度最小，设AB
2
的中点为O，连接OE，当O、E、D三点共线时，此时DE最小；过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于
点F，然后利用平行四边形的性质和勾股定理求得OF，进而得到DF，即可求得DE，进而得到MN．
【规范解答】（1）解：∵点E是▱ABCD内一动点，且∠AEB=90°，
∴点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，
取AB的中点O，连接OE，当OE⊥AB时，此时E与AB的距离最大，
即此时△AEB面积取得最大值，如图，∵AB=4
1
∴OA=OB=OE= AB=2，
2
1 1
∴△AEB面积的最大值= AB⋅OE= ×4×2=4．
2 2
故答案为：4；
（2）连接DE，如图，
∵CD、CE的中点为M、N，
1
∴MN= DE，
2
∴DE取得最小值时，MN长度最小．
由（1）可知，点E的运动轨迹为以AB为直径的半圆，设AB的中点为O，连接OE，
∴当O、E、D三点共线时，此时DE最小，如图，
由（1）可知，OE=OA=OB=2，
过点O作OF⊥AD，交DA的延长线于点F，如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，BC=7，∠BAD=120°，
∴∠OAF=180°−∠BAD=60°，AD=BC=7，
∵OF⊥AD，
∴∠AOF=90°−∠OAF=30°，1 1
∴AF= OA= ×2=1，
2 2
∴OF=❑√OA2−AF2=❑√22−12=❑√3，
∴DF=AD+AF=7+1=8，
∴OD=❑√DF2+OF2=❑√82+(❑√3) 2=❑√67，
∴DE=OD−OE=❑√67−2，
1 ❑√67−2
∴线段MN长度的最小值= DE= ．
2 2
❑√67−2
故答案为： ．
2
【考点剖析】本题考查了直径所对圆周角等于90度，勾股定理，平行四边形的性质，三角形中位线判定与
性质，含30度角的直角三角形等知识点，解题关键是灵活运用上述知识点并得到点E的轨迹．
【演练4】（2025·山西·中考真题）如图，AB为⊙O的直径，点C、D是⊙O上位于AB异侧的两点，
连接AD、CD．若A´C=B´C，则∠D的度数为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】B
【思路引导】本题考查了圆周角定理，连接AC、BC，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，进而由
A´C=B´C得∠CAB=∠CBA=45°，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键．
【规范解答】解：连接AC、BC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵A´C=B´C，∴∠CAB=∠CBA=45°，
∴∠D=∠CBA=45°，
故选：B．
【演练5】（2025·安徽·中考真题）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连
接OC，∠DAB+2∠ABC=180°．
(1)求证：OC∥AD；
(2)若AD=2，BC=2❑√3，求AB的长．
【答案】(1)详见解析
(2)6
【思路引导】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形中位线定理，勾股定理，熟知圆周角定理和
垂径定理是解题的关键．
（1）由圆周角定理可得∠AOC=2∠ABC，则可证明∠DAB+∠AOC=180°，据此可证明
OC∥AD．
（2）连接BD，交OC于点E．由题意知，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB=90°，即AD⊥BD，
则可证明OC⊥BD，由垂径定理可得点E为BD的中点，则OE是△ABD的中位线，即可得到
1
OE= AD=1．设半圆的半径为r，则CE=r−1．由勾股定理知r2−1=(2❑√3) 2 −(r−1) 2，解方程即可得
2
到答案．
【规范解答】（1）证明：∵∠AOC=2∠ABC，∠DAB+2∠ABC=180°，
∴∠DAB+∠AOC=180°，
∴OC∥AD．
（2）解：连接BD，交OC于点E．由题意知，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，即AD⊥BD，∵OC∥AD，
∴OC⊥BD，
∴点E为BD的中点，
又∵O是AB的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
1
∴OE= AD=1．
2
设半圆的半径为r，则CE=r−1．
由勾股定理知，OB2−OE2=BE2=BC2−CE2，
即r2−1=(2❑√3) 2 −(r−1) 2，
解得r =3，r =−2（舍去）．
1 2
∴AB=2r=6．
基础夯实
1．（25-26九年级上·江苏泰州·期中）如图，AB是⊙O的直径，若∠BAC=46°，则∠ADC的度数
为（ ）
A．46° B．45° C．54° D．44°
【答案】D
【思路引导】本题考查了圆周角定理，解题的关键是掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，
都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
连接BC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠B，然后利用互余计算出∠B的度数
即可．
【规范解答】解：连接BC，如图，∵AB ⊙O
是 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠B=90°−∠BAC=90°−46°=44°，
∴∠ADC=∠B=44°．
故选：D．
2．（25-26九年级上·云南昆明·期中）如图，AB、CD是⊙O的直径，A´E=B´D，若∠AOE=35°，
则∠COE的度数是（ ）
A．35° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【思路引导】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据等弧所对的圆心角相等得到
∠BOD=∠AOE=35°，再由对顶角相等得到∠AOC=∠BOD=35°，据此可得答案．
【规范解答】解：∵A´E=B´D，
∴∠BOD=∠AOE=35°，
∵AB、CD是⊙O的直径，即点O是AB与CD的交点，
∴∠AOC=∠BOD=35°，
∴∠COE=∠AOC+∠AOE=70°，
故选：D．
3．（25-26九年级上·河南信阳·期中）如图， AB为⊙O的直径， C、D是⊙O上的两个点， 连接
CA，CD，AD． 若∠ADC=131°， 则∠CAB的度数是 （ ）A．31° B．40° C．41° D．49°
【答案】C
【思路引导】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，直角三角形的两锐角互余，熟记圆内接四边
形的对角互补是解题的关键．
连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90°，根据圆内接四边形的对角互补求出
∠ABC=180°−∠ADC=49°，最后直角三角形的两锐角互余，即可求解．
【规范解答】解：如图，连接BC，
∵ ABCD ⊙O
四边形 为 的内接四边形，
∴ ∠ABC+∠ADC=180°，
∴ ∠ABC=180°−∠ADC=49°，
∵ AB为⊙O的直径，
∴ ∠ACB=90°，
∴ ∠CAB=90°−∠ABC=90°−49°=41°，
故选：C．
4．（25-26九年级上·重庆永川·期中）如图，⊙O的半径OD垂直弦AB于点C，交⊙O于点D，连接
OA．如果AB=8，CD=1，那么⊙O的半径为 ．
17
【答案】
2【思路引导】本题考查的是垂径定理、勾股定理，掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两
条弧是解题的关键．
根据垂径定理求出AC=4，根据勾股定理列式计算即可．
【规范解答】解：∵OD⊥AB，
1 1
∴AC= AB= ×8=4，
2 2
设⊙O的半径为r，则OA=OD=r，
∴OC=r−CD=r−1，
在Rt△OAC中，OA2=AC2+OC2，
即r2=42+(r−1) 2，
17
解得r= ．
2
17
故答案为： ．
2
5．（25-26九年级上·重庆永川·期中）已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，且
AB∥CD，AB=12cm，CD=16cm，则弦AB与CD之间的距离为 cm．
【答案】2或14
【思路引导】本题考查了垂径定理，分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆
心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【规范解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，
∵AB=12cm CD=16cm
， ，
∴AF=6cm，CE=8cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF−OE=2cm；
②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB=12cm CD=16cm
， ，
∴AE=6cm，CF=8cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=8cm，OF=6cm，
∴EF=OF+OE=14cm；
故答案为：2或14.
6．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，△ABC是⊙O内接三角形，D是A´C中点，若
∠DAC=25°，则∠B的度数为 °．
【答案】50
【思路引导】此题重点考查圆周角定理、圆内接四边形的对角互补等知识，正确地添加辅助线是解题的关
键．连接CD，由A´D=C´D，得∠DCA=∠DAC=25°，则∠D=180°−∠DCA−∠DAC=130°，
所以∠B=180°−∠D=50°，于是得到问题的答案．
【规范解答】解：连接CD，
∵D A´C
是 中点，
∴ A´D=C´D，
∴∠DCA=∠DAC=25°，
∴∠D=180°−∠DCA−∠DAC=130°，∵∠B+∠D=180°，
∴∠B=180°−∠D=50°，
故答案为：50．
7．（25-26九年级上·河南周口·期中）如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD于点E ，连
接AC，AD．求证：∠CAD=2∠BAD．
【答案】见解析
【思路引导】本题考查圆的基本性质，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．
根据AB是直径，AB⊥CD，证得CE=DE，进而证得∠BAD=∠CAD−∠BAD，从而得出结论．
【规范解答】证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴CE=DE
∴∠CAE=∠DAE
∴∠BAD=∠CAD−∠BAD
∴∠CAD=2∠BAD．
8．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，在⊙O中，AB=AC，半径OM⊥AB，ON⊥AC，垂
足为D，E．
⟺ ⟺
(1)求证： BM=CN ；
(2)若⊙O的半径为5，AB=8，则EN=______．
【答案】(1)见解析
(2)2
【思路引导】本题考查圆周角定理、垂径定理，熟练掌握其定理是解题的关键．⟺ ⟺ ⟺ 1 ⟺ ⟺ 1 ⟺
（1）根据圆心角、弧、弦的关系得 AB=AC ，再根据垂径定理得BM= AB和CN= AC，即可得出结
2 2
论；
1
（2）连接OA，根据垂径定理得AE= AC，由勾股定理求得OE=3，进而求出EN的长．
2
【规范解答】（1）证明：∵AB=AC，
⟺ ⟺
∴AB=AC ，
∵OM⊥AB，ON⊥AC，
⟺ 1 ⟺ ⟺ 1 ⟺
∴BM= AB，CN= AC
2 2
⟺ ⟺
∴BM=CN ；
（2）解：如图，连接OA，
∵AB=AC=8 ON⊥AC
， ，
1
∴AE= AC=4，
2
∵OA=5，
∴OE=❑√OA2−AE2=❑√52−42=3，
∴EN=5−3=2．
故答案为：2 ．
9．（25-26九年级上·广东东莞·期中）如图，点C在以AB为直径的⊙O上．
(1)作∠ACB的平分线CD交⊙O于点D；(2)在（1）的条件下，连接DO，求证：DO⊥AB．
【答案】(1)图见详解
(2)证明见详解
【思路引导】本题考查了角平分线的尺规作图，圆周角定理，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是
解题的关键．
（1）根据题意，作∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，即可作答．
1
（2）根据直径所对的圆周角是直角，再结合角平分线的定义，得出∠ACD= ×90°=45°，因为同弧
2
所对的圆周角等于圆心角的一半，即可作答．
【规范解答】（1）解：∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，如图所示：
（2）解：依题意，连接OD，
∵点C在以AB为直径的⊙O上，
∴∠ACB=90°，
∵∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，
1
∴∠ACD= ×90°=45°，
2
∵A´D=A´D，
∴∠AOD=2∠ACD=2×45°=90°，
即DO⊥AB．
10．（25-26九年级上·浙江温州·期中）如图，三角板30°，90°角顶点A，C在圆形纸片上．请你利用
直尺和圆规求作该圆形纸片的直径CE．(1)小实的作法如下：如图1，分别以C，D两点为圆心，CD长为半径作弧，交圆内于点O，连接CO并延
长，交圆于点E，则CE就是所求作的直径．请说明理由．
(2)请你在图2中作出圆形纸片的直径CE，要求与小实作法不同（保留作图痕迹，不写作法）．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查作图——复杂作图，90度圆周角所对的弦为直径，同弧所对的圆周角相等，三角形
内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．
（1）由题意可知，∠A=30°，CO=DO=CD，那么∠OCD=60°，根据同弧所对的圆周角相等，可
知∠E=∠A=30°，从而证明∠EDC=90°即可；
（2）过点A作AE⊥AC交⊙O于点E，连接CE即可．
【规范解答】（1）解：由题意可知，∠A=30°，
∵分别以C，D两点为圆心，CD长为半径作弧，交圆内于点O，
∵CO=DO=CD，
∴∠OCD=60°，
连接CD,DE，如图所示：
∵∠E=∠A=30°
，
∴∠EDC=180°−∠E−∠OCD=90°，
∴EC是直径．
（2）解：如图，线段CE即为所求．
培优拔高
11．（25-26九年级上·河北沧州·期中）如图，⊙O为△ABC的外接圆，且AB是⊙O的直径，点D是
⊙O上的一点，连接BD，CD，若∠ABC=30°，则∠D=（ ）A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】D
【思路引导】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，圆内接四边形的性质，由圆周角定理得
∠ACB=90°，即得∠A=60°，再根据圆内接四边形的性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键．
【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴∠A=90°−∠ABC=60°，
∵⊙O为△ABC的外接圆，
∴∠A+∠D=180°，
∴∠D=180°−∠A=120°，
故选：D．
12．（25-26九年级上·甘肃平凉·月考）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图1，筒车盛水桶
的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为6米．
若点C为运行轨道的最低点，水深（点C到弦AB所在直线的距离）1米，⊙O半径长为（ ）
A．1米 B．3米 C．4米 D．5米
【答案】D
【思路引导】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
1
连接OC，OC交AB于D，由垂径定理得AD=BD= AB=3（米），设OA=OC=r米，在Rt△AOD中，
2
OA2=OD2+AD2，即可得关于r的方程，解方程即可．
【规范解答】解：连接OC，OC交AB于D，由题意得：OC⊥AB，
1
∴AD=BD= AB=3（米），CD=1米，
2
设OA=OC=r米，则OD=OC−CD=r−1，
在Rt△AOD中，OA2=OD2+AD2，
∴r2=(r−1) 2+32，
解得r=5，
即⊙O半径长为5米，
故选：D．
13．（2025·四川南充·一模）如图，△ABC内接于⊙O，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交
1
CA，CB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧交⊙O内于点P，连接
2
CP，并延长交⊙O于点D，连接AD，BD，连接OD，与AB交于点E，则下列结论不一定成立的是
（ ）
A．AD=BD B．AE=BE
C．∠CAD+∠CBD=180° D．AD∥BC
【答案】D
【思路引导】根据题意，连接OA，OB，由题意可知CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD，由圆周
角定理可推出∠AOD=∠BOD，从而得到AD=BD，可判定选项A；利用ASA证明△AOE≌△BOE，
即可推出AE=BE，可判断选项B；根据圆内接四边形对角互补即可推出∠CAD+∠CBD=180°，可判断选项C；利用反证法，假设AD∥BC，可得∠ADB+∠CBD=180°，再根据
∠CAD+∠CBD=180°，但无法根据已知条件推出∠ADB=∠CAD，可判断选项D．
【规范解答】解：如图所示，连接OA，OB，
由题意可知CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵∠AOD=2∠ACD，∠BOD=2∠BCD，
∴∠AOD=∠BOD，
∴AD=BD，
故此选项成立，不符合题意；
B、∵△ABC内接于⊙O，
∴OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
又∵∠AOD=∠BOD，
∴△AOE≌△BOE(ASA)，
∴AE=BE，
故此选项成立，不符合题意；
C、∵点A，C，B，D四点共圆，
∴四边形ACBD为圆内接四边形，
∵圆内接四边形对角互补，
∴∠CAD+∠CBD=180°，
故此选项成立，不符合题意；
D、假设AD∥BC，
∴∠ADB+∠CBD=180°，
∵∠CAD+∠CBD=180°，
∴∠ADB=∠CAD，
而根据已知条件无法推出∠ADB=∠CAD，
∴假设不成立，故此选项符合题意；
故选：D．
【考点剖析】本题考查了圆内接三角形和圆内接四边形的性质，圆周角定理，弧、弦、圆心角定理，等腰
三角形的性质，三角形全等的判定和性质，角平分线的尺规作图等，根据题意作辅助线是解题的关键．
14．（25-26九年级上·青海西宁·期中）如图，AB是⊙O的直径，若AC=4，∠D=60°，则BC的长
等于 ．
【答案】4❑√3
【思路引导】本题考查了圆周角定理，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质定理
是解题的关键．根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，由同圆或等圆中，同弧或等弧所
对的圆周角相等，求得∠A的度数，继而求得∠ABC的度数，最后由含30°角的直角三角形的性质与勾
股定理，可求得AB、BC的长．
【规范解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠D=60°，
∴∠A=∠D=60°，
∴∠ABC=90°−∠A=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
∴BC=❑√AB2−AC2=❑√82−42=4❑√3．
故答案为：4❑√3 ．
⟺
15．（25-26九年级上·江苏南京·期中）如图，⊙O是五边形ABCDE的外接圆，C是 的中点，若
BD
∠C=110°，∠D=100°，则∠A的度数为 °【答案】115
【思路引导】本题考查圆内接四边形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握圆内接四边形的性质是解题的
关键．
连接BE，CE，根据圆内接四边形的性质证得∠CBE=80°，∠BED=70°,进而证得∠BEC=35°，根
据三角形内角和定理证得∠BCE=65°，再利用圆内接四边形的性质，进行计算求解即可．
【规范解答】解：连接BE，CE，
∵ BCDE ⊙O
四边形 是 的内接四边形，
∴∠CBE=180°−∠D=80°，∠BED=180°−∠BCD=70°,
⟺
∵C是 的中点，
BD
⟺ ⟺
∴BC=CD ，
1
∴∠BEC=∠CED= ∠BED=35°,
2
∴∠BCE=180°−∠CBE−∠BEC=65°,
∵四边形ABCE是⊙O的内接四边形，
∴∠A=180°−∠BCE=115°,
故答案为：115°．
16．（25-26九年级上·贵州黔南·期中）如图，P为矩形ABCD外一点，且点P到AB的中点O的距离为
1，AB=2，BC=3，当线段PO绕点O旋转时，PD的最大值为 ．【答案】❑√10+1
【思路引导】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、矩形的性质等知识点，发现点P的轨
迹是以AB的中点O为圆心，以半径为1的圆是解题的关键．
先运用等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理说明∠APB=90°，易得：点P的轨迹是以AB的
中点O为圆心，以半径为1的圆，连接DO并延长交⊙O于点P ，DP 即为PD的最大值，然后运用勾股
1 1
定理以及圆的基本性质即可解答．
【规范解答】解：∵点P到AB的中点O的距离为1，AB=2，
∴AO=OB=OP，
1 1
∴∠APO= (180°−∠AOP),∠BPO= (180°−∠POB)，
2 2
∵∠AOP+∠POB=180°，
∴
1 1 1
∠APB=∠APO+∠BPO= (180°−∠AOP)+ (180°−∠POB)=180°− (∠AOP+∠POB)=，90°
2 2 2
∴如图：点P的轨迹是以AB的中点O为圆心，以半径为1的圆，连接DO并延长交⊙O于点P ，DP 即
1 1
为PD的最大值，
∵矩形ABCD，AB=2，BC=3，
∴∠BAD=90°,AD=BC=3，
∴DO=❑√AD2+OA2=❑√10，
∴DP =DO+PP =❑√10+1．
1 1故答案为❑√10+1．
17．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D都在⊙O上，
AC∥OD．
(1)求证：B´D=C´D；
(2)若A´C的度数为58°，求∠AOD的度数．
【答案】(1)见解析
(2)119°
【思路引导】本题考查了平行线的性质，圆心角、弧、弦间的关系．要探讨两弧的关系，根据等弧对等圆
心角可以转化为探讨所对的圆心角的关系，根据等弧所对的圆周角相等，可以再进一步转化为探讨所对的
圆周角的关系．
（1）欲证弧BD=弧CD，只需证明它们所对的圆心角相等，即∠BOD=∠COD．
1
（2）利用圆周角、弧，弦的关系得∠BOC= ∠BOD=61°，则∠AOD=119°．
2
【规范解答】（1）证明：连接OC，
∵OC=OA
，
∴∠C=∠A．
∵OD∥AC，
∴∠BOD=∠A，∠COD=∠C．
∴∠COD=∠BOD．
∴B´D=C´D；
（2）解：∵A´C的度数是58°，
∴∠AOC=58°．
∴∠BOC=180°−∠AOC=122°．
∵∠BOD=∠COD，1
∴∠COD=∠BOD= ∠BOC=61°，
2
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=58°+61°=119°．
18．（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，在⊙O中，弦BC的长为6，OD⊥BC于点D，点A是
⊙O上的动点（不与点B，C 重合），且∠BAC为锐角，连接OA．
(1)若AB是⊙O的直径，且AC=8，求△ABC的面积；
(2)若△ABC面积的最大值为12，
①求线段OD的长；
②点E是线段OA上的一点，连接DE，若∠ACB−∠ABC=2∠OED，求线段BE的最大值．
【答案】(1)24
7
(2)①OD= ；②4
8
【思路引导】（1）首先得到∠ACB=90°，然后根据三角形面积公式求解即可；
（2）①根据题意得到当点A在DO延长线上时，△ABC的面积最大，连接OC，设OD=x，则
1
OC=OA=4−x，由垂径定理得到BD=CD= BC=3，然后由三角形面积求出AD=4，然后根据勾股定
2
理求解即可；
②如图所示，延长DO交⊙O于点F，连接BF，CF，首先得出∠FBC=∠FCB，然后由A´F=A´F得到
7
∠ACF=∠ABF，然后等量代换得到∠OED=∠ODE，得到OE=OD= ，进而由BE≤BO+OE=4
8
得到当点B，O，E三点共线时，BE有最大值，即BO+OE的长度，进而求解即可．
【规范解答】（1）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
1 1
∴△ABC的面积= AC⋅BC= ×6×8=24；
2 2
（2）解：①如图所示，当点A在DO延长线上时，△ABC的面积最大，连接OC，∵OD⊥BC，
1
∴BD=CD= BC=3，
2
1
∵S = BC⋅AD=12，
△ABC 2
1
∴ ×6AD=12，
2
∴AD=4，
设OD=x，则OC=OA=AD−OD=4−x，
∵OD2+CD2=OC2，
∴x2+32=(4−x) 2，
7
∴x= ，
8
7
∴OD= ；
8
②如图所示，延长DO交⊙O于点F，连接BF，CF，BO，BE，
∵BD=CD，OD⊥BC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴∠ACB−∠ABC=(∠ACF+∠FCB)−(∠FBC−∠ABF)=∠ACF+∠ABF
∵A´F=A´F∴∠ACF=∠ABF
∴∠ACB−∠ABC=2∠ACF
∵∠ACB−∠ABC=2∠OED
∴∠ACF=∠OED
∵∠AOF=2∠ACF
∴∠AOF=2∠OED
∴∠AOF=∠OED+∠ODE
∴∠OED=∠ODE
7
∴OE=OD=
8
∵OD⊥BC，弦BC的长为6，
1
∴BD=CD= BC=3
2
25
∴OB=❑√OD2+BD2=
8
∵BE≤BO+OE=4
∴当点B，O，E三点共线时，BE有最大值，即BO+OE的长度
∴BE的最大值为4．
【考点剖析】本题考查了圆周角定理及其推论，垂径定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，
解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
(❑√2 )
19．（25-26九年级上·山东临沂·期中）已知△ABC与△CDE都是等腰直角三角形 AC
