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专题 24.2 垂径定理及其推论【十大题型】
【人教版】
【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】..............................................................................................................1
【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】.....................................................................................................3
【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】.................................................................................................8
【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】...............................................................................................14
【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】................................................................................................................19
【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】................................................................................................................23
【题型7 垂径定理的实际应用】............................................................................................................................27
【题型8 垂径定理在格点中的运用】....................................................................................................................33
【题型9 利用垂径定理求整点】............................................................................................................................38
【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】.......................................................................................................41
【知识点1 垂径定理及其推论】
（1）垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
（2）垂径定理的推论
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧．
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．
【题型1 由垂径定理及其推论判断正误】
【例1】（2023春·九年级单元测试）如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，连接BC、BD，下
列结论中不一定正确的是（ ）A．AE=BE B．A´D=B´D C．OE=DE D．A´C=B´C
【答案】C
【分析】根据垂径定理判断即可；
【详解】∵直径CD垂直于弦AB于点E，则由垂径定理可得，AE=BE，A´D=B´D，A´C=B´C，故选项
A，B，D正确；OE=DE无法得出，故C错误．
故选C．
【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用，准确分析判断是解题的关键．
【变式1-1】（2023春·北京海淀·九年级人大附中校考阶段练习）在学习了《圆》这一章节之后,甲、乙两
位同学分别整理了一个命题:
甲:相等的弦所对的圆心角相等;乙:平分弦的直径垂直于这条弦.
下面对这两个命题的判断,正确的是
A．甲对乙错 B．甲错乙对 C．甲乙都对 D．甲乙都错
【答案】D
【分析】根据在同圆或等圆中, 如果两个圆心角以及它们对应的两条弧、 两条弦中有一组量相等, 则另外
两组量也相等，可判断甲命题；由垂径定理可得判断乙命题.
【详解】(1)在同圆或等圆中, 相等的弦所对的弧对应相等,故甲命题错误; (2)平分弦的直径垂直于不是直径
的弦; 故乙命题项错误;
故选D.
【点睛】本题主要考查同圆或等圆中，弧、弦、圆心角的关系及垂径定理.
【变式1-2】（2023春·全国·九年级专题练习）下列命题正确的是（ ）
A．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧 B．弦的垂直平分线经过圆心
C．平分弦的直径垂直于弦 D．平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦
【答案】ABD
【分析】根据垂径定理及其推论进行判断即可．
【详解】A、垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，正确；B、弦的垂直平分线经过圆心，正确；
C、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故错误；
D、平分弦所对的两条弧的直线垂直于弦，正确；
故选ABD．
【点睛】本题考查了垂径定理：熟练掌握垂径定理及其推论是解决问题的关键．
【变式1-3】（2023·福建三明·泰安模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的
是（ ）
A．DE=BE B．B´C=B´D
C．△BOC是等边三角形 D．四边形ODBC是菱形
【答案】B
【详解】试题分析：∵AB⊥CD，AB过O，
∴DE=CE，B´C=B´D，
根据已知不能推出DE=BE，△BOC是等边三角形，四边形ODBC是菱形．
故选B．
【考点】垂径定理．
【题型2 根据垂径定理与勾股定理综合求值】
【例2】（2023·贵州遵义·统考三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC=6，则r的值是
（ ）
3√3
A．√3 B．3√3 C．2√3 D．
2
【答案】C
1
【分析】设BC、OA交于D，根据题意和垂径定理得到OD= r，BD=3，∠ODB=90°，在
2Rt△OBD由勾股定理得到r2=32+
(r) 2
，解方程即可得到答案．
2
【详解】解：设BC、OA交于D，
∵弦BC垂直平分OA，BC=6，
1 1 1
∴OD= OA= r，BD= BC=3，∠ODB=90°，
2 2 2
在Rt△OBD中，由勾股定理得OB2=OD2+BD2，
∴r2=32+
(r) 2
，
2
解得r=2√3，
故选C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理和垂径定理，利用方程的思想求解是解题的关键．
【变式2-1】（2023春·浙江·九年级统考阶段练习）如图，已知⊙O的半径为5，弦AB=8，点E在AB上
运动，连结OE，过点E作EF⊥OE交⊙O于点F，当EF最大时，OE+EF的值为 ．
【答案】7
【分析】当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，过O作OE⊥AB于E，连接OB，根据垂径定理得到
BE=4，根据勾股定理得到OE=√OB2-BE2，从而得到答案．
【详解】解：当OE⊥AB，EF最大，即点F与点B重合，
过O作OE⊥AB于E，连接OB，
∵AB=8，
∴BE=4，
∵OB=5，∴OE=√OB2-BE2=3，
∴OE+EF=OE+OB=7，故答案为7．
【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键.
【变式2-2】（2023·湖北孝感·校联考一模）如图，△ABC内接于⊙O，OC⊥OB，OD⊥AB于D交AC于E
点，已知⊙O的半径为1，则AE2+CE2 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接BE，根据垂径定理得到AD=DB，得到EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，根据勾股定理计算
即可．
【详解】解：连接BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AD=DB，
∴EA=EB，∠EAO=∠EBO=∠ACO，
∵∠ECB+∠EBC=∠ECO+45°+∠EBC=∠OBE+45°+∠EBC=90°，
∴∠BEC=90°，
在直角△BEC中，BE2+CE2=BC2，
∵OC⊥OB，且OC=OB=OA∴BC2=2OA2=2，
∴BE2+CE2=2，即AE2+CE2=2．
故选：B．
【变式2-3】（2023春·江苏泰州·九年级校考阶段练习）如图，在⊙O中，AB是直径，P为AB上一点，过
点P作弦MN，∠NPB=45°．
（1）若AP=2，BP=6，求MN的长；
（2）若MP=3，NP=5，求AB的长；
PM2+PN2
（3）当P在AB上运动时（∠NPB=45°不变）， 的值是否发生变化？若不变，请求出其值；
AB2
若变化，请求出其范围．
1
【答案】（1）2√14；（2）2√17；（3）不变，值为
2
【分析】（1）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出OA=4，OP=2，在Rt△POH中，由于∠OPH=45°，
√2
则OH= OP=√2，再在Rt△OHN中，利用勾股定理计算出NH=√14，然后根据垂径定理由OH⊥MN得
2
到HM=HN，所以MN=2NH=2√14；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，先计算出HM=HN=4，PH=1，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得到
OH=1，再在Rt△OHN中利用勾股定理可计算出ON=√17，所AB=2ON=2√17；
(3) 作OH⊥MN于H，连接ON，根据垂定理得HM=HN，设圆的半径为R，在Rt△OHN中，利用勾股定
理得到OH2+NH2=ON2=R2，在Rt△POH中，由∠OPH=45°得OH=PH，则PH2+NH2=R2，然后变形PM2+PN2
可得到2（PH2+NH2），所以PM2+PN2的值为2R2，又AB=2R，代入计算即可求出答案．
【详解】解：（1）作OH⊥MN于H，连接ON，
∵AP=2，BP=6，
∴AB=8，
∴OA=4，OP=2，在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
√2
∴OH= OP=√2，
2
在Rt△OHN中，∵ON=4，OH=√2，
∴NH=√NO2 －OH2=√42 －(√2) 2=√14，
∵OH⊥MN，
∴HM=HN，
∴MN=2NH=2√14；
（2）作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
∵MP=3，NP=5，
∴MN=8，
∴HM=HN=4，
∴PH=1，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=1，
在Rt△OHN中，∵HN=4，OH=1，
∴ON=√OH2+N H2=√17，
∴AB=2ON=2√17；
PM2+PN2 1
（3） 的值不发生变化，为定值 ，
AB2 2
作OH⊥MN于H，连接ON，
则HM=HN，
设圆的半径为R，
在Rt△OHN中，OH2+NH2=ON2=R2，
在Rt△POH中，∵∠OPH=45°，
∴OH=PH，
∴PH2+NH2=R2，
∵PM2+PN2=（HM-PH）2+（NH+PH）2
=（NH-PH）2+（NH+PH）2=2（PH2+NH2）
=2R2．
又AB2=4R2，
PM2+PN2 2R2 1
∴ = =
AB2 4R2 2
PM2+PN2 1
∴ 的值不发生变化，为定值 ．
AB2 2
【点睛】本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
【题型3 根据垂径定理与全等三角形综合求值】
【例3】（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，⊙O的弦AB垂直于CD，点E为垂足，连接OE．若
AE＝1，AB=CD=6，则OE的值是（ ）
A．2√2 B．3√2 C．4√2 D．5√2
【答案】A
【分析】如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，根据垂径定理可求
出EH的值，再证Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，可得OH=OF，根据正方形的判定可得四边形OHEF
为正方形，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，过O点作OH⊥AB于H点，OF⊥CD于F点，连接OB、OC，1 1 1 1
∴根据垂径定理得，DF=CF= CD= ×6=3，AH=BH= AB= ×6=3，
2 2 2 2
∵AE=1，
∴EH=AH-AE=3-1=2，
在Rt△OBH和Rt△OCF中，
¿，
∴Rt△OBH≌Rt△OCF(HL)，
∴OH=OF，
∵CD⊥AB，
∴∠HEF=90°，
∵∠OHE=∠OFE=90°，
∴四边形OHEF为正方形，OE是正方形的对角线，
∴OE=√2EH=2√2，
故选：A．
【点睛】本题考查圆与三角形的综合，掌握圆的基础值，垂径定理，全等三角形的判定和性质，正方形的
判定和性质等知识的综合运用是解题的关键．
【变式3-1】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，AB为圆O直径，F点在圆上，E点为AF中点，连接
EO，作CO⊥EO交圆O于点C，作CD⊥AB于点D，已知直径为10，OE＝4，求OD的长度．
【答案】3
【分析】根据垂径定理的逆定理得到OE⊥AF，由CO⊥EO，得到OC∥AF，即可得到∠OAE＝∠COD，然后通过证得 AEO≌△ODC，证得CD＝OE＝4，然后根据勾股定理即可求得OD．
【详解】解△：∵E点为AF中点，
∴OE⊥AF，
∵CO⊥EO，
∴OC∥AF，
∴∠OAE＝∠COD，
∵CD⊥AB，
∴∠AEO＝∠ODC，
在 AEO和 ODC中，
¿，△ △
∴△AEO≌△ODC（AAS），
∴CD＝OE＝4，
∵OC＝5，
∴OD＝√OC2-CD 2 ＝√52-42＝3．
【点睛】本题考查垂径定理的逆定理、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练
掌握垂径定理和全等三角形的判定与性质是解答的关键
【变式3-2】（2023·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别
是CB和AD的中点，联结MN,OG．
（1）求证：OG⊥MN；
（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【分析】（1）连结OM,ON，由M、N分别是CB和AD的中点，可得OM⊥BC，ON⊥AD，由AB=CD，
可得OM=ON，可证RtΔEOP≌RtΔFOP(HL)，MG=NG，∠MGO=∠NGO，根据等腰三角形三
线合一性质OG⊥MN;（2）设OG交MN于E，由RtΔEOP≌RtΔFOP，可得MG=NG，可得∠CMN=∠ANM，
1 1
CM= CB= AD=AN，可证△CMN≌△ANM可得AM=CN，由CN∥OG，可得
2 2
∠AMN=∠CNM=90°，由∠AMN+∠CNM=180°可得AM∥CN，可证ACNM是平行四边形，再由
∠AMN=90°可证四边形ACNM是矩形．
【详解】证明：（1）连结OM,ON，
∵M、N分别是CB和AD的中点，
∴OM，ON为弦心距，
∴OM⊥BC，ON⊥AD，
∴∠GMO=∠GNO=90°，
在⊙O中，AB=CD，
∴OM=ON，
在Rt△OMG和Rt△ONG中，
¿，
∴RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，
∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，
∴OG⊥MN;
（2）设OG交MN于E，
∵RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，
∴MG=NG，
∴∠GMN=∠GNM，即∠CMN=∠ANM，
1 1
∵CM= CB= AD=AN，
2 2
在△CMN和△ANM中
¿，∴△CMN≌△ANM，
∴AM=CN,∠AMN=∠CNM，
∵CN∥OG，
∴∠CNM=∠GEM=90°，
∴∠AMN=∠CNM=90°，
∴∠AMN+∠CNM=90°+90°=180°，
∴AM∥CN，
∴ACNM是平行四边形，
∵∠AMN=90°，
∴四边形ACNM是矩形．
【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形
的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判
定是解题关键．
【变式3-3】（2023春·江西赣州·九年级统考期末）按要求作图
(1)如图1，已知AB是⊙O的直径，四边形ACDE为平行四边形，请你用无刻度的直尺作出∠AOD的角
平分线OP；
(2)如图2，已知AB是⊙O的直径，点C是B´D的中点，AB∥CD，请你用无刻度的直尺在射线DC上找
一点P，使四边形ABPD是平行四边形．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；
（2）连接DB，OC交于点E，作射线AE交DC于点P， 四边形ABPD即为所求．
【详解】（1）解：如图1，连接AD，EC交于点F，作射线OF交⊙O于点P，OP即为所求；∵四边形ACDE为平行四边形，
∴AF=DF，
∵OA=OD，
∴ OP是∠AOD的角平分线；
（2）如图2，连接OD，连接DB，OC交于点E，作射线AE交射线DC于点P， 四边形ABPD即为所求；
∵点C是B´D的中点，
∴OC⊥DB,
∵OD=OB，
∴DE=EB，
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠PDE，
在△ABE与△PDE中，
¿，
∴△ABE≌△PDE，
∴AB=DP，
∵ AB∥DP，
∴四边形ABPD是平行四边形．【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，垂径定理，三线合一，掌握以上知识是解题的关键．
【题型4 在坐标系中利用垂径定理求值或坐标】
【例4】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是(3,a)(a>3)，半径
为3，函数y=x的图像被⊙P截得的弦AB的长为4√2，则a的值是（ ）
A．4 B．3+√2 C．3√2 D．3+√3
【答案】B
【分析】作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，求出D点坐标为(3,3)，可得
△OCD为等腰直角三角形，从而△PED也为等腰直角三角形．根据垂径定理得AE=BE=2√2，在
Rt△PBE中，利用勾股定理求出PE=1，再求出PD的长即可求解．
【详解】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，
∵⊙P的圆心坐标是(3,a)，
∴OC=3,PC=a，
把x=3代入y=x得y=3，
∴D点坐标为(3,3)，
∴CD=3，
∴△OCD为等腰直角三角形，
∴∠PDE=∠ODC=45°，
∵PE⊥AB，1 1
∴△PED为等腰直角三角形，AE=BE= AB= ×4√2=2√2，
2 2
在Rt△PBE中，PB=3，
∴PE=√32-(2√2) 2=1，
∴PD=√2PE=√2，
∴a=3+√2．
故选B．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，以及垂径定理：垂直于
弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．正确作出辅助线是解答本题的关键．
【变式4-1】（2023·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是(10,0)，点B的坐
标是(8,0)，点C，D在以OA为直径的半圆M上，且四边形OCDB是平行四边形，求点C的坐标．
【答案】点C的坐标为(1,3)
【分析】连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H，根据题意得CD=OB=8，CN=MH，
1
CH=MN，根据垂径定理得出CN=DN= CD=4．MO=MC=5, 在Rt△MNC中，勾股定理得出
2
MN=3,进而得出C的纵坐标为3，又OH=OM-MH=5-4=1，即可求解．
【详解】解：如图，连接CM，作MN⊥CD于N，CH⊥OA于H．
∵四边形OCDB为平行四边形，B点的坐标是(8,0)，
∴CD=OB=8，CN=MH，CH=MN．
又∵MN⊥CD，1
∴CN=DN= CD=4．
2
∵点A的坐标是(10,0)，
∴OA=10，
∴MO=MC=5．
在Rt△MNC中，MN= √CM2-CN2 = √52-42 =3．
∴CH=3．又OH=OM-MH=5-4=1．
∴点C的坐标为(1,3)．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键．
【变式4-2】（2023·江苏南京·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一个圆与两坐标轴分别交于
A、B、C、D四点．已知A（6，0），B（﹣2，0），C（0，3），则点D的坐标为 ．
【答案】(0,-4)
【详解】设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，先根据垂径定理可得EA＝EB＝4，FC＝
FD，进而可求出OE＝2，再设P（2，m），即可利用勾股定理表示出PC2，PA2，最后利用PA＝PA列方程
即可求出m值，进而可得点D坐标．
AB
【解答】解：设圆心为P，过点P作PE⊥AB于点E，PF⊥CD于点F，则EA＝EB＝ ＝4，FC＝FD，
2∴OE＝EB﹣OB＝4﹣2＝2，
∴E（2，0），
设P（2，m），则F（0，m），
连接PC、PA，
在Rt△CPF中，PC2＝（3﹣m）2+22，
在Rt△APE中，PA2＝m2+42，
∵PA＝PC，
∴（3﹣m）2+22＝m2+42，
1
∴m＝± （舍正），
2
1
∴F（0，- ），
2
1 7
∴CF＝DF＝3-(- )＝ ，
2 2
1 7
∴OD＝OF+DF＝ + ＝4，
2 2
∴D（0，﹣4），
故答案为：（0，﹣4）．
【点睛】本题考查垂径定理，涉及到平面直角坐标系，勾股定理等，解题关键是利用半径相等列方程．
【变式4-3】（2023春·湖北鄂州·九年级校联考期末）如图，在平面直角坐标系中，⊙O经过点(0,10)，直
线y=kx+2k-4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的最小值是（ ）A．6√2 B．10√3 C．8√5 D．以上都不对
【答案】C
【分析】易知直线y=kx+2k-4过定点D(-2,-4)，运用勾股定理可求出OD，由⊙O经过点(0,10)，可
求出半径OB=10，由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，因此只需运用垂径定理及勾股定
理就可解决问题．
【详解】解：对于直线y=kx+2k-4，
当x=-2时，y=-4，
故直线y=kx+2k-4恒经过点(-2,-4)，记为点D．
由于过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短，即当OD⊥BC时，BC最短，
连接OB，如图所示，
∵D(-2,-4)，
∴OD=√(-2) 2+(-4) 2=2√5，
∵⊙O经过点(0,10)，
∴OB=10，∴BD=√OB2-OD2=√102-(2√5) 2=4√5，
∵OB⊥BC，
∴BC=2BD=8√5，
∴弦BC的最小值是 8√5．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了直线上点的坐标特征、垂径定理、勾股定理等知识，发现直线恒经过点(-2,-4)
以及运用“过圆内定点D的所有弦中，与OD垂直的弦最短”这个经验是解决该题的关键．
【题型5 利用垂径定理求平行弦问题】
【例5】（2023·全国·九年级专题练习）在半径为10的⊙O中，弦AB=12，弦CD=16，且AB∥CD，
则AB与CD之间的距离是 ．
【答案】2或14
【分析】由于弦AB与CD的具体位置不能确定，故应分两种情况进行讨论：①弦AB与CD在圆心同侧；②
弦AB与CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．
【详解】解：①当弦AB与CD在圆心同侧时，如图①，
过点O作OF⊥AB，垂足为F，交CD于点E，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OE⊥CD，
∵AB=12，CD=16，
∴CE=8，AF=6，
∵OA=OC=10，
∴由勾股定理得：EO=√102-82=6，OF=√102-62=8，
∴EF=OF-OE=2；
②当弦AB与CD在圆心异侧时，如图，过点O作OE⊥CD于点E，反向延长OE交AB于点F，连接OA，OC，
同理EO=√102-82=6，OF=√102-62=8，
EF=OF+OE=14，
所以AB与CD之间的距离是2或14．
故答案为：2或14．
【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解．
【变式5-1】（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD与圆心在AB上的☉O交于点
G，B，F，E， GB =5，EF =4，那么AD = ．
3
【答案】
2
【分析】连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H，根据垂径定理，在 OHF中，勾股定理计算．
【详解】如图，连接OF，过点O作OH⊥EF，垂足为H， △
1
则EH=FH= EF=2，
2∵GB=5，
5
∴OF=OB= ，
2
在 OHF中，勾股定理，得
△
√ 5 2 3
OH= ( ) -22= ，
2 2
∵四边形ABCD是矩形，
∴四边形OADH也是矩形，
3
∴AD=OH= ，
2
3
故答案为： ．
2
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握两个定理是解题的关键．
【变式5-2】（2023春·九年级课时练习）如图，AB，CD是半径为15的⊙O的两条弦，AB＝24，CD＝
18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上任意一点，则PA＋PC的最小值为 ．
【答案】21√2
【分析】由于A、B两点关于MN对称，因而PA＋PC＝PB＋PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA＋
PC的值最小，即BC的值就是PA＋PC的最小值．
【详解】解：连接BC，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
∵AB＝24，CD＝18，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，
1 1
∴BE＝ AB＝12，CF＝ CD＝9，
2 2
∴OE=√OB2-BE2=9，OF=√OC2-CF2=12，
∴CH＝OE＋OF＝9＋12＝21，
BH＝BE＋EH＝BE＋CF＝12＋9＝21，在Rt△BCH中，根据勾股定理得：BC=√BH2+CH2=21√2，
即PA＋PC的最小值为21√2．
故答案为：21√2．
【点睛】本题考查垂径定理以及最短路径问题，灵活根据垂径定理确定最短路径是解题关键．
【变式5-3】（2023·全国·九年级专题练习）如图，A，B，C，D在⊙O上，AB//CD经过圆心O的线段
EF⊥AB于点F，与CD交于点E，已知⊙O半径为5．
（1）若AB=6，CD=8，求EF的长；
（2）若CD=4√6，且EF=BF，求弦AB的长；
【答案】（1）7；（2）8
1
【分析】（1）连接AO和DO，由垂径定理得AF= AB=3，再由勾股定理求出OF的长，同理求出OE
2
的长，即可求出EF的长；
（2）连接BO和DO，先由垂径定理和勾股定理求出OE的长，设EF=BF=x，在Rt△OBF中，利用勾
股定理列式求出x的值，得到BF的长，即可求出AB的长．
【详解】解：（1）连接AO和DO，
∵EF⊥AB，且EF过圆心，1
∴AF= AB=3，
2
∵AO=5，
∴OF=√AO2-AF2=4，
∵AB//CD，
∴EF⊥CD，
1
同理DE= CD=4，
2
OE=√OD2-DE2=3，
∴EF=OF+OE=4+3=7；
（2）如图，连接BO和DO，
∵CD=4√6，
∴DE=2√6，
∴OE=√OD2-DE2=1，
设EF=BF=x，则OF=x-1，
在Rt△OBF中，OF2+BF2=BO2，
(x-1) 2+x2=25，解得x =4，x =-3（舍去），
1 2
∴BF=4，
∴AB=2BF=8．
【点睛】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练掌握垂径定理，并能够结合勾股定理进行运用求解．
【题型6 利用垂径定理求同心圆问题】
【例6】（2023春·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）如图，两个圆都是以O为圆心．（1）求证：AC=BD；
（2）若AB=10，BD=2，小圆的半径为5，求大圆的半径R的值．
【答案】（1）见解析；（2）√41
【分析】（1）作OE⊥AB，由垂径定理得AE=BE，CE=DE，即可得到AC=BD；
（2）连接OB，OD，由AB=10，则BE=5，由勾股定理，得OE2=OD2-DE2，OE2=OB2-BE2，
DE=BE-BD=5-2=3，即可求出大圆半径.
【详解】解：（1）如图：作OE⊥AB于E，
由垂径定理，得：
AE=BE，CE=DE，
∴BE-DE=AE-CE，
即AC=BD；
（2）如图，连接OD，OB，
∵AB=10，
∴BE=AE=5，DE=5-2=3，
在Rt△OBE和Rt△ODE中，由勾股定理，得：OE2=OD2-DE2，OE2=OB2-BE2，
∴OD2-DE2=OB2-BE2，
即52-32=OB2-52，
解得：OB=√41.
∴大圆的半径为√41.
【点睛】本题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理和勾股定理进行计算是解题的关键.
【变式6-1】（2023春·浙江台州·九年级统考期末） 如图，一人口的弧形台阶，从上往下看是一组同心圆
被一条直线所截得的一组圆弧．已知每个台阶宽度为32cm（即相邻两弧半径相差32cm），测得
AB=200cm，AC=BD=40cm，则弧AB所在的圆的半径为 cm
【答案】134
【分析】由于所有的环形是同心圆，画出同心圆圆心，设弧AB所在的圆的半径为r，利用勾股定理列出方
程即可解答．
【详解】解：设弧AB所在的圆的半径为r，如图．作OE⊥AB于E，连接OA，OC，则OA=r，OC=r+32，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB=100cm，
在RT△OAE中OE2=OA2-AE2=r2-1002，
在RT△OCE中，OE2=OC2-CE2=(r+32) 2-1402，
则r2-1002=(r+32) 2-1402
解得：r=134．
故答案为：134．
【点睛】本题考查垂径定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式6-2】（2023春·九年级课时练习）将一盛有不足半杯水的圆柱形玻璃水杯拧紧杯盖后放倒，水平放
置在桌面上，水杯的底面如图所示，已知水杯内径（图中小圆的直径）是8cm，水的最大深度是2cm，则
杯底有水面AB的宽度是（ ）cm.
A．6 B．4√2 C．4√3 D．4√5
【答案】C
【分析】作OD⊥AB于C，交小圆于D，可得CD=2，AC=BC，由AO、BO为半径，则OA=OD=4；然后
运用勾股定理即可求得AC的长，即可求得AB的长.
【详解】解：作OD⊥AB于C，交小圆于D，则CD=2，AC=BC，
∵OA=OD=4，CD=2，
∴OC=2，
∴AC=√OA2-OC2=2√3，
∴AB=2AC=4√3.
故答案为C.
【点睛】本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，作出辅助线、构造出直角三角形是解答本题的关键.
【变式6-3】（2023·浙江杭州·九年级）如图，两个同心圆的半径分别为2和4，矩形ABCD的边AB和CD
分别是两圆的弦，则矩形ABCD面积的最大值是 ．【答案】16
【分析】过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD，根据面积之
1 1
间的关系得出S = S = S ，从而得出S 最大时，S 也最大，过点D作AO边上
△AOD 2 矩形APND 4 矩形ABCD 矩形ABCD △AOD
的高h，根据垂线段最短可得h≤OD，利用三角形的面积公式即可求出S 的最大值，从而求出结论．
△AOD
【详解】解：过点O作OP⊥AB于P并反向延长交CD于N，作OM⊥AD于点M，连接OA、OD
∴AO=2，OD=4，四边形APND和四边形PBCN为矩形，PN⊥CD，
∴OM=AP
根据垂径定理可得：点P和点N分别为AB和CD的中点，
1
∴S = S
矩形APND 2 矩形ABCD
∵△AOD的高OM等于矩形APND的宽，△AOD的底为矩形APND的长
1 1
∴S = S = S
△AOD 2 矩形APND 4 矩形ABCD
∴S 最大时，S 也最大
矩形ABCD △AOD
过点D作AO边上的高h，根据垂线段最短可得h≤OD（当且仅当OD⊥OA时，取等号）
1 1 1
∴S = AO·h≤ AO·OD= ×2×4=4
△AOD 2 2 2故S 的最大值为4
△AOD
1
∴S 的最大值为4÷ =16
矩形ABCD 4
故答案为：16．
【点睛】此题考查的是垂径定理、各图形面积的关系和三角形面积的最值问题，掌握垂径定理、利用边的
关系推导面积关系和垂线段最短是解决此题的关键．
【题型7 垂径定理的实际应用】
【例7】（2023·浙江温州·校联考二模）如图，是某隧道的入口，它的截面如图所示，是由AP´B和直角
∠ACB围成，且点C也在AP´B所在的圆上，已知AC=4m，隧道的最高点P离路面BC的距离DP=7m，
则该道路的路面宽BC= m；在AP´B上，离地面相同高度的两点E，F装有两排照明灯，若E是
A´P的中点，则这两排照明灯离地面的高度是 m．
√70
【答案】 2√21 +2
2
【分析】先求得圆心的位置，根据垂径定理得到AM=CM=2，即可求得半径为5，根据勾股定理即可求
得CD，进而求得BC，根据勾股定理求得PA，从而以及垂径定理求得PN，利用勾股定理求得ON，通过
证得△EOK≅△OPN求得EK=ON，进一步即可求得EQ．
【详解】作AC的垂直平分线OM，交PD于O，交AC于M，则O是圆心，连接OC，
1
∴OD=MC= AC=2，
2
∵PD=7，
∴圆的半径为7-2=5，
∴CD=√OC2-OD2=√52-22=√21，∴BC=2CD=2√21，
连接PA、OE交于N，作AH⊥PD于H，EQ⊥BC于Q，
∵PD=7，DH=AC=4，
∴PH=7-4=3，
∵AH=CD=√21，
∴PA=√AH2+PH2=√30，
∵E是A´P的中点，
∴OE垂直平分PA，
√30
∴PN= ，
2
√ √30 2 √70
∴ON=√OP2-PN2= 52-( ) = ，
2 2
∵EQ∥PD，
∴∠OEK=∠EOP，
在△EOK和△OPN中，
¿，
∴△EOK≅△OPN(AAS)，
√70
∴EK=ON= ，
2
√70
∴EQ=EK+KQ= +2，
2
√70
故答案为2√21， +2．
2
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建直角三角形
是解题的关键．
【变式7-1】（2023春·浙江嘉兴·九年级平湖市林埭中学校联考期中）某居民小区一处圆柱形的输水管道破
裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
(1)请你用直尺和圆规补全这个输水管道的圆形截面（保留作图痕迹）；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB=8cm，水面最深地方的高度为2cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】(1)见解析
(2)5cm
【分析】（1）运用尺规作图的步骤和方法即可解答；
（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，则AD=4cm，设这个圆形截面的半径为
xcm，在Rt△AOD中，运用勾股定理求出x即可．
【详解】（1）如图所示；
（2）作OD⊥AB于D，并延长交⊙O于C，则D为AB的中点，
∵AB=8cm，
1
∴AD= AB=4cm．
2
设这个圆形截面的半径为xcm，
又∵CD=2cm，
∴OD=(x-2)cm，
在Rt△AOD中，
∵OD2+AD2=OA2，即(x-2) 2+42=x2，
解得x=5cm．
∴圆形截面的半径为5cm．
【点睛】本题考查了垂经定理和勾股定理，根据题意画出图形和灵活应用勾股定理是解答本题的关键．
【变式7-2】（2023春·河北邢台·九年级校联考期末）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如
图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得
的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）．(1)求该圆的半径；
(2)若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？
【答案】(1)5米
(2)2米
1
【分析】（1）作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D，由垂径定理可得AE= AB=3，DE=1，再由勾股
2
定理即可求出圆的半径；
1
（2）当AB=8米时，AE= AB=4米． 在Rt△AOE中，由勾股定理可得，AE2+OE2=OA2，则
2
OE=3米，即可求出DE的长．
【详解】（1）解：如图，作OD⊥AB于点E，交⊙O于点D．
1
则AE= AB=3米，DE=1米．
2
设圆的半径为r米，在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，
∴32+(r-1) 2=r2，
解得r=5，
∴该圆的半径为5米；1
（2）解：当AB=8米时，AE= AB=4米．
2
在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2，
∴42+OE2=52，
∴OE=3米，
∴DE=5-3=2（米）．
答：水面下盛水筒的最大深度为2米．
【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键．
【变式7-3】（2023·湖南·统考中考真题）问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又
环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定
的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当
t=0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM=30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考
数据，√2≈1.414，√3≈1.732）问题解决：
(1)求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；
(2)求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）
【答案】(1)∠BOM=45°；
(2)该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．
【分析】（1）先求得该盛水筒的运动速度，再利用周角的定义即可求解；
（2）作BC⊥OM于点C，在Rt△OAD中，利用含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求得OD的
长，在Rt△OBC中，利用勾股定理求得OC的长，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵旋转一周用时120秒，
360°
∴每秒旋转 =3°，
120
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，∠AOB=360°-3°×95=75°，
∵∠AOM=30°，
∴∠BOM=75°-30°=45°；
（2）解：作BC⊥OM于点C，设OM与水平面交于点D，则OD⊥AD，
在Rt△OAD中，∠AOD=30°，OA=2，
1
∴AD= OA=1，OD=√22-12=√3，
2
在Rt△OBC中，∠BOC=45°，OB=2，
√2
∴BC=OC= OB=√2，
2
∴CD=OD-OC=√3-√2≈0.3(米)，
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为0.3米．【点睛】本题考查了圆的性质，含30度角的直角三角形的性质以及勾股定理，解答本题的关键是明确题意，
找出所求问题需要的条件．
【题型8 垂径定理在格点中的运用】
【例8】（2023春·湖北武汉·九年级校联考期末）如图是由小正方形组成的7×6网格，每个小正方形的顶
点叫做格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
(1)在图（1）中，A，B，C三点是格点，画经过这三点的圆的圆心O，并在该圆上画点D，使AD=BC；
(2)在图（2）中，A，E，F三点是格点，⊙I经过点A．先过点F画AE的平行线交⊙I于M，N两点，再
画弦MN的中点G．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）首先根据网格的特点和圆的性质求得点D，然后根据矩形的对角线互相平分和圆的性质求得
点O即可；
（2）设AE与⊙I的交点为C，根据网格的特点和平行线的求得直线BF交⊙I于M，N两点，然后连接
AN，CM交于点D，连接DI并延长交MN与点G即可求解．
【详解】（1）如图所示，连接AD，BC相交于点O，
由网格可得，AD =BC=3，
1
由网格的特点可得，D B∥AC
2
∵点A，C，B，D 在同一个圆上
2
∴AD =BC=3
2
∴点D 和D 即为所要求作的D点；
1 2
∵∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°
∴四边形ABCD是矩形，
∴OA=OB=OC=OD，∴点O即为经过A，B，C三点的圆的圆心，
∴点O即为所求作的点；
‘
（2）如图所示，∵AC∥MN，点A，C，N，M在⊙I上
∴AM=CN
∴四边形AMNC是等腰梯形，
∴AN=CM，AD=CD,MD=ND
∴DG⊥MN，且DG平分MN，
∴点G即为所求作的点．
【点睛】本题考查了复杂作图，利用了垂径定理的推论，矩形的性质，作轴对称图形，轴对称的性质等知
识，灵活运用所学知识，将复杂作图逐步转化为基本作图是解题的关键．
【变式8-1】（2023春·辽宁盘锦·九年级校考阶段练习）如图，平面直角坐标系中有一段弧经过格点（正方
形网格交点）A、B、C，其中B(2,3)，则圆弧所在圆的圆心坐标为 ．【答案】（1,0）
【分析】根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，可以作弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆
心．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，
可知弦AB和BC的垂直平分线，交点即为圆心．
如图所示，则圆心是（1,0）．
故答案是：（1,0）
【点睛】本题考查的是坐标图形性质、垂径定理，熟知“弦的垂直平分线必过圆心”是解答此题的关键．
【变式8-2】（2023春·河南驻马店·九年级统考期末）小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的
每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径
是 ．
【答案】√5
【详解】解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．连接OA、OB，
∵OC⊥AB，
∵AC=1，OC=2，
∴OA=√AC2+OC2=√12+22=√5．
【点睛】考点：1．垂径定理的应用；2．勾股定理．
【变式8-3】（2023·北京·九年级专题练习）如图，在每个小正方形的边长为1cm的网格中，画出了一个过
格点A，B的圆，通过测量、计算，求得该圆的周长是 cm．（结果保留一位小数）
【答案】8.9
【分析】根据垂径定理确定圆的圆心，根据勾股定理求出圆的半径，根据圆的周长公式计算，得到答案．
【详解】由垂径定理可知，圆的圆心在点O处，连接OA，
由勾股定理得，OA =√12+12=√2，
圆的周长为：2√2π≈8.9(cm)．故答案为：8.9．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，掌握弦的垂直平分线经过圆心是解题的关键．
【题型9 利用垂径定理求整点】
【例9】（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙C的弦，直径MN⊥AB于点O，MN=10，AB=8，如图
以O为原点建立坐标系．我们把横纵坐标都是整数的点叫做整数点，则线段OC长是 ，⊙C上的整数
点有 个．
【答案】 3 12
【分析】过C作直径UL∥x轴，连接AC，根据垂径定理求出AO=BO=4，根据勾股定理求出OC，再得出答
案即可．
【详解】解：过C作直径UL∥x轴，
1
连接CA，则AC= ×10=5，
2
∵MN过圆心C，MN⊥AB，AB=8，
∴AO=BO=4，∠AOC=90°，
由勾股定理得：CO= √AC2-AO2=√52-42=3，
∴ON=5-3=2，OM=5+3=8，
即A（-4，0），B（4，0），M（0，8），N（0，-2），
同理还有弦QR=AB=8，弦WE=TS=6，且WE、TS、QR都平行于x轴，Q（-4，6），R（4，6），W（-3，7），E（3，7），T（-3，-1），S（3，-1），U（-5，3），L（5，
3），
即共12个点，
故答案为：3；12．
【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理和坐标与图形的性质，能找出符合条件的所有点是解此题的关键．
【变式9-1】（2023春·全国·九年级统考期中）⊙O的直径为10，弦AB=6，P是弦AB上一动点，满足线
段OP的长为整数的点P有 处不同的位置．
【答案】3
【分析】当P为A B的中点时OP最短，利用垂径定理得到OP垂直于AB，在RT△AOP中，由OA与AP
的长，利用勾股定理求出OP的长，当P与A或B重台时，OP最长，求出OP的范围，由OP为整数，即
可得到OP所有可能的长．
【详解】解：当P为AB的中点时，利用垂径定理得到OP⊥AB，此时OP最短，
如图所示：
∵AB=6,
∴AP=PB=3,
在RT△AOP中，
∵OA=5,AP=3,
∴OP=√OA2-AP2=√52-32=4,
即OP的最小值为3，
当P与A或B重合时，OP最长，此时0P=5，
∴4≤OP≤5,
则使线段OP的长度为整数的点P有4， 5，共3个．
故答案为：3．
【点睛】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
【变式9-2】（2023春·九年级单元测试）如图，在平面直角坐标系中，A(0,4),B(4,4),C(6,2)．注：把在平面直角坐标系中横纵坐标均为整数的点称为格点(latticepo∫)．
（1）若经过A、B、C三点的圆弧所在的圆心为M，则点M的坐标为 ；
（2）若画出该圆弧所在的圆，则在整个平面坐标系网格中该圆共经过 格点．
【答案】 （2，0） 8
【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求，根据点M的位置写出坐标即可．
（2）利用图象法，判断即可．
【详解】（1）如图，点M的坐标为（2，0）
（2）如图，满足条件的点有8个．
【点睛】本题考查作图一复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆
与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，属于中考常考题型．
【变式9-3】（2023·湖南邵阳·校联考一模）⊙O的直径为10，弦AB=8，点P为AB上一动点，若OP的值
为整数，则满足条件的P点有 个．
【答案】5
【详解】分析：先求出OP的取值范围，然后再根据OP长为整数的条件来判断符合要求的P点有几个．
详解：过O作OC⊥AB于C，连接OA；Rt△OAC中，OA=5cm，AC=4cm；
∴OC=√OA2-AC2=3cm；
∴3≤OP≤5；
故OP=3cm，或4cm，或5cm；
当OP=3cm时，P与C点重合，有一个符合条件的P点；
当OP=4cm时，P位于AC或BC之间，有两个符合条件的P点；
当OP=5cm时，P与A或B重合，有两个符合条件的P点；
故满足条件的P点有5个．
点睛：此题主要考查垂径定理及勾股定理的应用，能够正确的判断出OP长的大致取值，是解答此题的关
键．
【题型10 利用垂径定理求最值或取值范围】
【例10】（2023春·湖北武汉·九年级校考阶段练习）如图，矩形ABCD的顶点A，C在半径为5的⊙O上，
D(2,1)，当点A在⊙O上运动时，点C也随之运动，则矩形ABCD的对角线AC的最小值为（ ）．
A．2√5 B．10-√5 C．10+√5 D．10-2√5
【答案】A
1
【分析】如图，取AC的中点M，连接DM，OD，在Rt△DAC中，M为AC中点，DM=AM= AC，
2
当DM⊥AC时，DM最小，此时矩形的对角线最小. O、M、D三点共线时，AC最小，此时在Rt
△OAM中，设AM=DM=x，知道OA，OD长度，根据勾股定理建立方程，即可求解AM的长度，进而
求得AC的长度.【详解】解：如图，取AC的中点M，连接DM，OD，
1
在Rt△DAC中，M为AC中点，DM=AM= AC，
2
当DM⊥AC时，DM最小，此时矩形的对角线最小，
∵DM⊥AC，AC为弦，M为中点，
∴DM在过M的直径上，
而O为圆心，则O、M、D三点都在一条直线上；
故O、M、D三点共线时，AC最小；
此时在Rt△OAM中，设AM=DM=x，知道OA=5，OD=√12+22=√5，
有OM2+AM2=OA2，OM=OD+DM=√5+x
有x2+(x+√5) 2=52，
解得x =√5，x =-2√5(舍去)，
1 2
AC=2x=2√5，
故选A．
【点睛】本题考查了圆内动点问题、垂径定理等知识，根据垂径定理作出图形是解题的关键．
【变式10-1】（2023·广东佛山·统考二模）如图，⊙O的半径为5cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个
动点，则OP的长度范围是（ ）A．8≤OP≤10 B．5≤OP≤8 C．4≤OP≤5 D．3≤OP≤5
【答案】D
【分析】先利用垂径定理得到AC，再利用勾股定理求出OC，即可求解．
【详解】解：如图，过O点作OC⊥AB于C，
∵AB=8cm，
∴AC=4cm，
∴OC=√OA2-AC2=3，
∵P点在AB上运动，
∴OC≤OP≤OA即3≤OP≤5
故选：D．
【点睛】本题考查了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，同时涉及到了垂线
段最短等知识，解题关键是牢记相关概念或定理．
【变式10-2】（2023春·浙江金华·九年级统考期中）如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上
一点，EF=2，AB=12，CE的长的最大值为 ．【答案】18
1
【分析】连接OA，根据垂径定理得AE= AB=6，设半径为r，在Rt△AOE中，根据勾股定理得r=10，
2
可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，CE的长的最大值为10+8=18．
【详解】解：如图，连接OA，
∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB=12，
1
∴AE= AB=6，
2
设半径为r，
在Rt△AOE中，OE2=OA2-AE2，
即(r-2) 2=r2-62，
解得r=10，
∴OE=10-2=8，
可知当C，O，E在同一条直线上时CE最长，
∴CE的长的最大值为10+8=18．
故答案为：18．
1
【点睛】本题考查了垂径定理和勾股定理，解题的关键是利用垂径定理得AE= AB=6，属于中考常考题
2
型．
【变式10-3】（2023春·全国·九年级专题练习）如图，以G(0,1)为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两
点，与y轴交于C，D两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为 ；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为 ．
【答案】 2√3 √3-1/-1+√3
【分析】连接AC，作GM⊥AC，连接AG，由CF⊥AE可知，点F在以AC为直径的圆M上移动，当
点F在MG的延长线上时，FG的长最小，根据含30度角的直角三角形的性质及勾股定理求出FM，MG
即可解答．
【详解】解：连接AC，作GM⊥AC，连接AG，
∵GO⊥AB，
∴OA=OB，
∵G(0,1)为圆心，半径为2，
∴AG=2,OG=1，
在Rt△AGO中，AG=2OG，OA=√22-12=√3，
∴∠GAO=30°,∠AGO=60°，AB=2OA=2√3，
∵GC=GA=2，
∴∠ACG=∠CAG，
∵∠AGO=∠ACG+∠CAG，
∴∠ACG=∠CAG=30°，1
∴AC=2AO=2√3,MG= GC=1，
2
∴AM=√3，
∵CF⊥AE，
∴点F在以AC为直径的圆M上移动，
当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值为FM=FM-MG=√3-1，
故答案为2√3；√3-1．
【点睛】此题考查了垂径定理，直角三角形30度角的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用
的辅助线解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
