文档内容
专题 24.3 弧、弦、圆心角
目 录
一． 知识梳理与题型分类精析.......................................................................................................1
知识点1：圆心角..................................................................................................................................1
【题型1】圆心角的判断......................................................................................................................1
【题型2】与圆心角概念相关运算.......................................................................................................2
活动探究：.............................................................................................................................................3
知识点2：圆心角定理..........................................................................................................................3
【题型3】利用圆心角定理求值..........................................................................................................3
【题型4】利用圆心角定理证明..........................................................................................................4
知识点3：圆心角定理推论...................................................................................................................5
【题型5】利用圆心角定理推论求值...................................................................................................5
【题型6】利用圆心角定理推论证明...................................................................................................6
小结：.....................................................................................................................................................7
二. 同步练习....................................................................................................................................7
【基础巩固（16题）】........................................................................................................................7
【能力提升（16题）】......................................................................................................................11
【中考真题3题】...............................................................................................................................16
一．知识梳理与题型分类精析
实际上，圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心.不仅如此,把圆绕圆心旋转任意一个角
度,所得的图形都与原图形重合.利用这个性质，我们还可以得到圆的其他性质.
知识点1：圆心角
我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.如图1中， 是圆心角.
【题型1】圆心角的判断【例题1】（24-25九年级上·全国·假期作业）如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【变式】（2025九年级下·全国·专题练习）下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【题型2】与圆心角概念相关运算
【例题2】（2025·浙江宁波·一模）图1是阿基米德的滑动曲尺模型，图2是其抽象成的几何图形．
为 的直径，其延长线与弦 的延长线交于点 ， ．若 ，则
的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（24-25九年级上·辽宁鞍山·期末）如图， 是 的直径，点C，D在 上，
， ，若 ，则 的长为 ．
【变式2】（23-24九年级上·全国·课后作业）如图， 是 的直径， ，
，则 的度数为 ．活动探究：
如图2，在☉o中，当圆心角 时，探究它们所对的弧 和 ，弦 、 关系.
我们利用旋转性质可知，当 旋转到 位置上时，由 可以知 与 重合，这
样我们可知：
知识点2：圆心角定理
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
数学语言：在☉o中，若 ，则 , = .
【题型3】利用圆心角定理求值
【例题3】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，A，B，C，D是半径为5的 上的点，
．（1）求证 ．（2）若E为 的中点，求 的长．
【变式1】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图， 是 的直径， ，若
，则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以 为圆心的半圆中， 是直径，点
是弧 的中点，连接 ， 平分 交 于点 ，连接 ，则 的度数是
（ ）
A． B． C． D．
【题型4】利用圆心角定理证明
【例题4】（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图， ， 是 的弦， ， ，
是 的半径，且 ， ．求证： ．【变式1】（22-23九年级下·河北承德·阶段练习）已知锐角 ，观察下图中的作图痕迹，判断
下列结论错误的是（ ）
A．当 时， B．
C． 与 互相垂直平分 D．连接 、 ， 是等腰三角形
【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在 中，弦 的长度是弦 长度的两倍，
连接 ， ， ， ，则 ．（填“ ”“ ”或“ ”）
进一步研究还可以得到
知识点3：圆心角定理推论
在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；如图3，在
☉O中， = ，则 ， .
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相
等.
如图3，在☉O中， 则 ， = ，【题型5】利用圆心角定理推论求值
【例题5】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，已知 是 的直径，弦 与弦 交于点
，且 ，垂足为点 ，若 ．
（1）求 的度数；
（2）若 ，求 的值；
（3）在（2）的基础上求 的值．
【变式1】（24-25九年级上·甘肃平凉·期末）如图，点 、 、 、 在 上，且劣弧 ，
连接 、 、 、 ，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，在 中， ，则 等
于（ ）A． B． C． D．
【题型6】利用圆心角定理推论证明
【例题6】（2023·上海闵行·二模）如图，在扇形 中，点 、 在 上， ，点 、
分别在半径 、 上， ，连接 、 ．
（1）求证： ；
（2）设点 为 的中点，连接 、 、 ，线段 交 于点 、交 于点 ．如果
，求证：四边形 是矩形．
【变式1】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知：如图，在两个同心圆中，大圆半径 是小圆
半径 的2倍，点D，E，B均在圆上，若 ，连接 ， 和 ，则下
列说法不正确的是（ ）
A．O到弦 距离等于O到弦 距离 B．
C． D．
【变式2】（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）证明：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条
弧．
已知：如图， 是 的直径，__________________．求证：__________________．
小结：
同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中如果有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也
分别相等。
二. 同步练习
【基础巩固（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级上·陕西西安·期中）如图， 是 的直径，四边形 内接于 ，若
，则 的长为（ ）
A．8 B．9 C．6 D．4
2．（24-25九年级上·广东·阶段练习）如图， 是 的直径， ， 交 于点E，
， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山东聊城·期中）如图， 是 的弦，延长 相交于点 ．已知的度数为 ， 的度数为 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图， 内接于 ， ， 是
的半径，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（24-25九年级上·山东临沂·期中）如图，半径为10的⊙ 中，弦 ， 所对的圆心角分别
是 ， ．已知 ， ，则点 到 的距离等于（ ）
A．8 B．6 C． D．
6．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，已知 和 是 的两条等弦， ，
，垂足分别为 ， ， ， 的延长线交于点 ，连接 ，下列四个说法中：
， ， ， ，正确的是（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
7．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，已知 是 的直径，点 是 的中点，
，则 的度数为 ．
8．（24-25九年级上·江苏苏州·期中）如图， 、 、 均为 半径， ，
，点 为弧 中点，则 ．
9．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知 是 的两条直径，且 ，
过点 作 交 于点 ，则弧 的度数为 ．
10．（2025·安徽合肥·二模）如图，圆中两条弦 相交于点E，其中两条劣弧 的度
数分别为 ，圆O的半径为5， ，则 的长为 ．
11．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图， 是 的直径， ，，则 的度数是 ．
12．（2022九年级下·全国·专题练习）.如图，在半径不等的同心圆中，圆心角∠AOB所对的 ，
的长度有 关系； 的度数与 的度数有 关系.
三、解答题
13．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图， 和 是 的直径，弦 ，若弦 的长
为 ，求弦 的长．
14．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图， ， ， ， 是 上的点， ，
．
（1）求证： ；
（2）能否求出 的长?若能，求出 的长，若不能，请说明理由．
15．（23-24九年级上·重庆綦江·期末）如图所示， 是圆O的一条弦， 是圆O直径 ，
垂足为 ．（1）若 ，求 的度数；
（2）若 ， ，求圆O的半径长．
16．（24-25九年级上·江西九江·期中）追本溯源
题（1）来自课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并解答题（2）．
（1）如图1， ，比较 与 的长度，并证明你的结论．
方法应用
（2）如图2， ， 是 的两条弦，点 ， 分别在 ， 上，连接 ， ，且
， 是 的中点．
①求证： ．
②若圆心 到 的距离为3， 的半径是6，求 的长．
【能力提升（16题）】
一、单选题
1．（24-25九年级下·湖北随州·阶段练习）如图，在以 为圆心的半圆中， 是直径，点 是弧
的中点，连接 ， 平分 交 于点 ，连接 ，则 的度数是（ ）A． B． C． D．
2．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）如图， 是半圆O的直径，B，C两点在半圆上，
且 ，点P在 上，连接 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（24-25九年级上·山西临汾·期末）如图， 是 的直径， 为 上的点，且
，连接 ．若弦 ，则直径 的长为（ ）
A．3 B．6 C．6 D．6
4．（24-25九年级上·浙江温州·期中）如图， 为 的直径，点C是弧 的中点．过点C作
于点G，交 于点D，若 ，则 的半径长是（ ）A．4 B．5.5 C． D．
5．（23-24九年级下·山东青岛·阶段练习）如图， 为 的直径，C为 上一点，点D是
的中点， 交 的延长线于点E， 于点F．若 ，则 的半
径等于（ ）
A．4cm B．5cm C． D．
6．（23-24九年级上·江苏南京·阶段练习）如图， 中，弦 ，垂足为 ， 为 的中
点，连接 、 、 ， 交 于 ，过 作 ，垂足为 ，以下结论：① ；
② ：③ ：④ ，其中一定成立的是
A．①② B．①②④ C．①③④ D．①②③④
二、填空题
7．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图， ， 是 的直径，弦 ，则 与
的大小关系是 ．
8．（24-25九年级下·浙江宁波·阶段练习）如图， 是半圆 的直径，点 、 在半圆上，且，点 在 上，若 ，则 等于 度
9．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图， 、 、 、 依次为一直线上 个点， ，
为等腰直角三角形，且 ， 过点 、 、 ，且弧 的度数 ，则
的值是 ．
10．（23-24九年级上·江苏苏州·期中）将半径为5的 如图折叠，折痕 长为6，C为折叠后
的中点，则 长为 ．
11．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在 中，圆心角 是 的中点，作
，与 交于 ，则图中与 相等的线段有 条．
12．（24-25九年级上·陕西渭南·期末）如图所示，在扇形 中， ，半径 ，点
F在 上，且 ．点C、D分别在线段 、 上， ，E为 的中点，连接 ．
在 滑动过程中（ 长度始终保持不变），当 取最小值时， 的长为 ．三、解答题
13．（24-25九年级下·陕西西安·开学考试）如图，已知： 是 的直径，弦 于点E，
G是 上的一点， 、 的延长线交于点 ．若 ， 的度数为 ，求 的度数．
14．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）如图， 是 的直径， 为 的一条弦（不为直
径），点 是 与 的交点， ， ， ．
（1）判断 与 的位置关系，并说明理由；
（2）求 的半径．
15．（2025·湖北十堰·模拟预测）如图， 的直径 垂直弦 于点 E，F是圆上一点，D是
的中点，连接 交 于点 G， 连接 ．
（1）求证： ；
（2）若 ， ，求 的长．16．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）已知， 内接于 ， 为 的直径，点D为
优弧 的中点．
（1）如图1，连接 ，求证： ；
（2）如图2，过点D作 ，垂足为E．若 ， ，求 的半径．
【中考真题3题】
一、单选题
1．（2023·河北·中考真题）如图，点 是 的八等分点．若 ，四边形 的周长
分别为a，b，则下列正确的是（ ）
A． B． C． D．a，b大小无法比较
2．（2025·四川南充·中考真题）如图， 是 的直径， 于点 ， 交 于点 ，
于点 ，交 于点 ， 为弧 的中点， 为线段 上一动点，若 ，则
的最小值是（ ）
A．4 B． C．6 D．二、填空题
3．（2023·山东烟台·中考真题）如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量
角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接 ，则 的度数为 ．
