文档内容
专题24.5 圆（章节复习）
（知识梳理+25个考点讲练+中考真题演练+难度分层练 共65题）
【解析版】
知识梳理 技巧点拨......................................................................2
知识点梳理01：圆的基本性质.........................................................2
知识点梳理02：切线的性质判定.......................................................3
知识点梳理03：与圆有关的计算.......................................................5
优选题型 考点讲练......................................................................6
考点1 求特殊三角形外接圆的半径.....................................................6
考点2 已知外心的位置判断三角形的形状...............................................7
考点3 确定圆心(尺规作图）..........................................................9
考点4 画圆（尺规作图）............................................................11
考点5 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离....................................13
考点6 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离........................................15
考点7 求直线平移到与圆相切时运动的距离............................................17
考点8 切线的性质和判定的综合应用..................................................19
考点9 应用切线长定理求解与求证....................................................23
考点10 直角三角形周长、面积与内切圆半径的关系.....................................25
考点11 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系.....................................28
考点12 三角形内切圆与外接圆综合...................................................32
考点13 过圆外一点作圆的切线(尺规作图）............................................34
考点14 圆与三角形的综合（圆的综合问题）...........................................37
考点15 圆与四边形的综合（圆的综合问题）...........................................43
考点16 求正多边形的中心角.........................................................47
考点17 已知正多边形的中心角求边数.................................................50
考点18 正多边形和圆的综合.........................................................51
考点19 尺规作图-正多边形..........................................................54
考点20 求某点的弧形运动路径长度...................................................55
考点21 求图形旋转后扫过的面积.....................................................58考点22 求其他不规则图形的面积.....................................................60
考点23 求圆锥侧面展开图的圆心角...................................................63
考点24 圆锥的实际问题.............................................................66
考点25 圆锥侧面上最短路径问题.....................................................67
中考真题 实战演练.....................................................................71
难度分层 拔尖冲刺.....................................................................77
基础夯实..........................................................................77
培优拔高..........................................................................81
知识点梳理01：圆的基本性质
1．圆的定义
(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆.
(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合.
【易错点拨】
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可；
②圆是一条封闭曲线.
2．圆的性质
(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图
形，对称中心是圆心.
在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，
那么它所对应的其他各组分别相等.
(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴.
(3)垂径定理及推论：
①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧.
④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦.
⑤平行弦夹的弧相等.【易错点拨】
在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在
这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，
平分的弦不能是直径）
3．圆的确定: 不在同一直线上的三个点确定一个圆.
4 .圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角.
5.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
【易错点拨】
(1) 圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.
(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.
知识点梳理02：切线的性质判定
1．直线和圆的位置关系
设⊙O 半径为R，点O到直线 的距离为 .
(1)直线 和⊙O没有公共点 直线和圆相离 .
(2)直线 和⊙O有唯一公共点 直线 和⊙O相切 .
(3)直线 和⊙O有两个公共点 直线 和⊙O相交 .
2．切线的判定、性质
(1)切线的判定：
①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
②到圆心的距离 等于圆的半径的直线是圆的切线.
(2)切线的性质：
①圆的切线垂直于过切点的半径.
②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点.
③经过切点作切线的垂线经过圆心.3.切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长.
切线长定理：过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的
夹角.
4．三角形的内心、外心、重心、垂心
(1)三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到
三角形三边的距离相等，通常用“I”表示.
(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角
形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶
点的距离相等，通常用O表示.
(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2
倍，通常用G表示.
(4)垂心：是三角形三边高线的交点.
【易错点拨】
(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；
(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的
一半，即 (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).
(3) 三角形的外心与内心的区别：
名称 确定方法 图形 性质
外心(三角形外接圆 三角形三边中垂线 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一
的圆心) 的交点 定在三角形内部
内心(三角形内切圆 三角形三条角平分 (1)到三角形三边距离相等；
的圆心) 线的交点 (2)OA 、 OB 、 OC 分 别 平 分
∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)
内心在三角形内部.
5．圆内接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形的对角互补，且任意一个外角都等于
它的内对角.
(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等.
知识点梳理03：与圆有关的计算
1.正多边形的定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形.
2.正多边形的作图：通过等分圆周的方法能作出正多边形.
【易错点拨】
等分圆周的方法：用量角器等分圆周；用尺规等分圆周.
3.正多边形的性质：
把一个正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心. 外接圆的半径叫做正多边
形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的
360
中心角，正n边形的每个中心角都等于 .
n
圆的面积公式： ，周长 .
圆心角为 、半径为R的弧长 .
圆心角为 ，半径为R，弧长为 的扇形的面积 .
弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算.
【易错点拨】
(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 ，
即 ；
(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就
可以求出第三个量.
(3)扇形面积公式 ，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式 有点类
似，可类比记忆；
(4)扇形两个面积公式之间的联系： .考点1 求特殊三角形外接圆的半径
【典例精讲】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）将边长为6的正方形ABCD和边长为3的正方形
DEFG如图摆放，使得A、D、E三点共线，此时经过B、C、F三点作一个圆，则该圆的半径为 ．
【答案】3❑√5
【思路引导】本题考查的是三角形的外接圆与外心，取AD的中点O，连接OB、OC、OF，根据勾股定理
分别求出OB、OC、OF，得到答案．
【规范解答】解：取AD的中点O，连接OB、OC、OF，
由题意得：OA=OD=3，
由勾股定理得：OB=❑√62+32=3❑√5，OC=❑√62+32=3❑√5，OF=❑√62+32=3❑√5，
∴OB=OC=OF，
∴点O为经过B、C、F三点的圆的圆心，该圆的半径为3❑√5，
故答案为：3❑√5．
【变式训练】（25-26九年级上·全国·课后作业）如图，A，B，C是⊙O上的三点，△ABC是等边三角
形．若AB=3，则⊙O的半径是（ ）3 ❑√3 5
A． B． C．❑√3 D．
2 2 2
【答案】C
【思路引导】本题考查三角形的外接圆与外心，直角三角形的性质，掌握等边三角形的性质，应用垂径定
理和勾股定理解题是关键．
连接OB、OC，过点O作OH⊥BC，结合同弧所对的圆心角是圆周角的两倍、等腰三角形的性质和三角
形内角和为180°得到∠OBC=30°，再利用垂径定理，直角三角形的性质，勾股定理即可求出⊙O的半
径．
【规范解答】解：连接OB、OC，过点O作OH⊥BC，
∵⊙O是等边三角形ABC的外接圆，
∴∠BOC=2∠A=2×60°=120°，OB=OC
180°−120°
∴∠OBC=∠OCB= =30°，
2
1
∴OH= OB，
2
又∵OH⊥BC，
1 3
∴BH= BC= ，
2 2
在Rt△OBH中，利用勾股定理得，OB=❑√3．
故选：C．
考点2 已知外心的位置判断三角形的形状
【典例精讲】（2024·江苏镇江·一模）如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为△ABC的外心，则BC的长度是（ ）
A．3❑√2 B．2❑√5 C．4 D．❑√17
【答案】A
【思路引导】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也
考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可．
【规范解答】解：如图所示，
∵点O为△ABC的外心，
∴OA=OB=OC，点B和点C的位置如图所示，
∴BC=❑√32+32=3❑√2，
故选：A．
【变式训练】（23-24九年级上·江苏扬州·期末）如图，在6×6正方形网格中，A、B、C、D均为小正方
形的格点，请仅用无刻度的直尺作图（保留痕迹，描出必要的格点）．
(1)在图1中作出△ABC的外心D；
(2)图2中D是AB的中点，作出BC边上的点F（不与点B重合），使得BD=DF．
【答案】(1)见解析
(2)见解析【思路引导】本题考查作图-应用与设计作图，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用
数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
（1）如图1中，分别作BC及AC的垂直平分线，相交于点D，点D即为所求．
（2）如图2中，过点A作BC的垂线，垂足即为点F，连接DF，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的
一亲，可得BD=DF．
【规范解答】（1）如图1，点D即为△ABC的外心；
（2）如图2，点F即为所作；
考点3 确定圆心(尺规作图）
【典例精讲】（25-26九年级上·河南新乡·期中）如图，考古学家发掘出一面残缺的圆形铜镜，为了对
其进行修复，需要先确定铜镜原本的大小．已知圆形铜镜的一条弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦
AB于点D，测得AB=16cm,CD=2cm．
(1)修复师需要先找到这面铜镜所在圆的圆心，才能进行后续的修复工作，请你确定该圆的圆心．(尺规作
图，不写作法，保留作图痕迹)
(2)求这面铜镜所在圆的半径．【答案】(1)见解析
(2)圆的半径为17cm
【思路引导】本题考查了圆的圆心确定（垂直平分线的性质）、勾股定理的应用，解题的关键是利用垂径
定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求半径．
（1）作弦AB外另一条弦的垂直平分线，与CD的延长线的交点即为圆心；
（2）设圆的半径为r，由题意得AD的长度，用代数式表示出OD，利用勾股定理列方程求解．
【规范解答】（1）解：连接AC，作弦AC的垂直平分线，与直线CD交于点O，则点O即为该圆的圆心．
（2）解：连接OA,设该圆的半径为rcm，
∵CD是AB的垂直平分线，
1
∴AD= AB=8cm，OD=(r−2)cm，
2
在Rt△ADO中，由勾股定理得：OA2=AD2+OD2，
即r2=82+(r−2) 2，r2=64+r2−4r+4，4r=68，
解得r=17．
答：这面铜镜所在圆的半径为17cm．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏无锡·期中）小明和小丽在一次综合实践活动中，尝试用一张矩形
纸条测量马克杯杯口的直径．他们的方法是：将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于
A、B、C、D四点．
(1)小明利用尺规作图找到圆心，进而度量出直径大小，请你用尺规作图在图1中确定圆心O；
(2)小丽利用刻度尺测量纸条的宽为7cm,AB=8cm,CD=6cm，请你根据上述数据计算纸杯的直径（请利
用图2解答）．
【答案】(1)见解析(2)10cm
【思路引导】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，垂直平分线的性质，关键是通过作辅助线构造直角三
角形；
（1）连接BC，分别作BC与AB的垂直平分线，交于一点O，即可求解；
1 1
（2）连接CO，BO，过圆心作EF⊥AB，得CF=DF= CD=3，AE=BE= AB=4，设OF=a，
2 2
那么OE=7−a，根据在Rt△OFC与Rt△OEB中，OB2=OC2，可知a2+32=(7−a) 2+42，即可求解.
【规范解答】（1）解：如图：连接BC，分别作BC与AB的垂直平分线，交于一点O，即是圆心O，
下图O即为所求：
（2）解：连接CO，BO，过圆心作EF⊥AB，
∵EF=7cm,AB=8cm,CD=6cm，
1 1
∴CF=DF= CD=3cm，AE=BE= AB=4cm，
2 2
设OF=a，那么OE=7−a，
∵EF⊥AB，AB∥CD，
∴在Rt△OFC与Rt△OEB中，OB2=OC2，
∴a2+32=(7−a) 2+42，
解得：a=4；
∴OC=❑√32+42=5 ，
∴纸杯的直径为2OC=10cm.考点4 画圆（尺规作图）
【典例精讲】（25-26九年级上·广东汕头·月考）实践与操作：
已知：△ABC．求作：⊙O，使它经过点B和点C，并且圆心O在∠A的平分线上．
（要求保留作图痕迹，不必写出作法和证明）
【答案】见解析
【思路引导】此题主要考查了尺规作图，圆的基本性质，熟练掌握常见尺规作图是解题的关键．
作圆，即需要先确定其圆心，先作∠A的角平分线，再作线段BC的垂直平分线相交于点O，即O点为圆
心．
【规范解答】解：如图，⊙O即为所求．
（1）作出∠CAB的角平分线，
（2）作出线段BC的垂直平分线交于O，
（3）以O点为圆心，OB为半径，作圆O，如下图所示：
即⊙O为所求的圆．
【变式训练】（25-26九年级上·江苏淮安·阶段练习）借助尺规作图，画出符合下列要求的图形（不写
作法，保留作图痕迹）(1)已知线段AB，试确定一点C，使得∠ACB=90°；
(2)已知△ABD，试确定一点C，使得∠ACB+∠ADB=180°．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【思路引导】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形．
（1）以AB为直径作⊙O，在⊙O上任取一点C，连接AC和BC，则∠ACB=90°；
（2）作△ABD的外接⊙O，在优弧AB上任取一点C，连接AC和BC，则∠ACB+∠ADB=180°．
【规范解答】（1）解：所作图形，如图①所示；
（2）解：所作图形，如图②所示．
考点5 已知直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离
【典例精讲】（24-25九年级上·河南郑州·期末）如图，正三角形ABC和ADE的边长分别是3、7，点
F是BC中点，将正三角形ABC绕点A旋转，在旋转过程中，△≝¿的面积S的取值范围是 ．35
【答案】7❑√3≤S≤ ❑√3
2
【思路引导】本题考查等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，二次根式，圆的定义，直线和
圆的位置关系，熟练掌握利用定点定长确定轨迹圆是解题的关键．连接AF，先利用等边三角形的性质和
3❑√3
含30°角的直角三角形的性质求出AF长，可确定点F的轨迹为以点A为圆心，半径长为 的圆，过点A
2
作AG⊥DE于点G，利用直线到圆上一点的距离可知，当A、F、G依次共线时，FG最小，此时点F为
如图的点F′；当F、A、G依次共线时，FG最大，此时点F为如图的点F″，再计算最大值和最小值即可．
【规范解答】解：如图，连接AF，
∵△ABC是等边三角形，点F是BC中点，
1
∴AF⊥BC，∠CAF= ∠BAC=30°，
2
1 3 3❑√3
∴CF= AC= ，AF=❑√3CF= ，
2 2 2
3❑√3
∵在△ABC绕点A的旋转过程中，AF= ，
2
3❑√3
∴点F的轨迹为以点A为圆心，半径长为 的圆，
2
过点A作AG⊥DE于点G，
利用直线到圆上一点的距离可知，
当A、F、G依次共线时，FG最小，此时点F为如图的点F′；
当F、A、G依次共线时，FG最大，此时点F为如图的点F″；∵△ADE是等边三角形，AG⊥DE，
1
∴∠EAG= ∠DAE=30°，
2
1 7 7❑√3
∴¿= AE= ，AG=❑√3≥= ，
2 2 2
7❑√3 3❑√3
∴F′G=AG−AF′= − =2❑√3，
2 2
7❑√3 3❑√3
F″G=AG+AF″= + =5❑√3，
2 2
∴点F到DE的距离h的取值范围2❑√3≤h≤5❑√3，
1 7
∵△≝¿的面积S= DE⋅h= h，
2 2
35
∴7❑√3≤S≤ ❑√3，
2
35
故答案为：7❑√3≤S≤ ❑√3．
2
【变式训练】（22-23九年级下·浙江湖州·阶段练习）如图，已知 ⊙O的半径为6，点 O到矩形某条
边的距离为8，则这条边可以是 （ ）
A．AD B．AB C．BC D．CD
【答案】C
【思路引导】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是熟练掌握直线与圆的位置关系：设圆的半径为
r，圆心到直线的距离为d，若dr⇔直线与圆相离．过点作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥CD于G，作OH⊥AD于H，由图可知：AB、AD与
圆相交，BC与圆相离，CD与圆相切，则OE<6，OF>6，OH<6，OG=6，即可求解．
【规范解答】解：过点作OE⊥AB于E，作OF⊥BC于F，作OG⊥CD于G，作OH⊥AD于H，
由图可知：AB、AD与圆相交，BC与圆相离，CD与圆相切，
又∵⊙O的半径为6，
∴OE<6，OF>6，OH<6，OG=6，
∵点 O到矩形某条边的距离为8，且8>6，
∴点 O到矩形某条边的距离为8，这条边可以是BC，
故选：C．
考点6 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离
【典例精讲】（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在直线l上有相距5cm的两点A和O（点A在点
O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点
O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在 秒时相切．
【答案】2或3
【思路引导】本题考查了切线的判定与性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过半径的外端且垂直于
这条半径的直线是圆的切线，当圆心到直线的距离等于圆的半径，则直线与圆相切．熟练掌握切线的判定
与性质是解题的关键．根据切线的判定方法，当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，然后计算出
圆向右移动的距离，然后计算出对应的时间．
【规范解答】解：当点O到AB的距离为1cm时，⊙O与AB相切，
∵开始时O点到AB的距离为5，
∴当圆向右移动5−1或5+1时，点O到AB的距离为1cm，此时⊙O与AB相切，∴t=(5−1)÷2=2(s)或t=(5+1)÷2=3(s)，
即⊙O与直线AB在2秒或3秒时相切．
故答案为：2或3．
【变式训练】（21-22九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B
（0，❑√3），∠BAO=30°，点P的坐标为(1,0)，⊙P与y轴相切于点O，若将⊙P沿x轴向左移动，
当⊙P与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ．
【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0）
【思路引导】先分别求得⊙P与直线l相切时点P的坐标，然后再判断⊙P与直线l相交时点P的横坐标
x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标．
【规范解答】如图，⊙P′与⊙P″分别切AB于D、E．
由B(0,❑√3)，∠BAO=30°，易得OA=3，则A点坐标为(−3,0)．
连接P′D、P″E，则P′D⊥AB、P″E⊥AB，则在Rt△ADP′中，AP′=2×DP′=2，
同理可得，AP″=2，则 P′ 的横坐标为−3+2=−1， P″ 的横坐标为−1−4=−5，
∴当⊙P与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为−5
