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2025-2026 学年九年级上册数学单元检测卷
第二十四章 圆·能力提升
建议用时：120分钟，满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
A． B． C． D．
1．已知 的直径为5，若 ，则点 与 的位置关系是（ ）
8．如图，正五边形 内接于 ，点 是劣弧 上一点（点 不与点 重合），则 的度数为
A．点 在 内 B．点 在 上
C．点 在 外 D．无法判断 （ ）
2．下列命题中，假命题是（ ）
A．如果两条弧是等弧，则它们所对的弦相等
B．同圆或等圆中，如果两条弧不相等，则它们所对的弦也一定不相等
C．如果一条直线平分弦所对的两条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦
D．如果一条直线经过圆心，并且垂直弦，那么该直线平分这条弦和弦所对的弧
3．一个圆锥的底面半径为3，高为2，则它的体积为（ ） A． B． C． D．
A． B． C． D． 9．如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板 ， ， ，
4．已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则扇形的弧长为（ ） 长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得 ，则该干果盘的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．在 中， ， ， ，则这个三角形的外接圆的直径是（ ）
A．8 B． C． D．4
6．如图， 是 的直径， 切 于点 ，线段 交 于点 ，连接 ．若 ，则 的
度数为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与 轴、 轴分别交于 、 两点，点 在线
段 上， 与 轴交于 、 两点，当 与该一次函数的图象相切时， 的长度是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一块直角三角板 的斜边 与量角器的直径重合，点D对应的刻度值为 ，则 的度
数为（ ）接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率 的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之
又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．例如， 的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接
正六边形面积估计 的面积， ，所以 的面积近似为 ，由此可得 的估计
值为 ，若用圆内接正十二边形估计 的面积，可得 的估计值为 ．
A．3 B．4 C．2 D．6
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图， 是 的直径， 、 是 上两点，连接 、 ．若 ， ，则
的度数为 ．
15．如图，四边形 是正方形， ．执行下面操作：第一次操作以点A为圆心，以 为半径顺时
针作弧 交 的延长线于点E，得到扇形 ；第二次操作以点B为圆心，以 为半径顺时针作弧
交 的延长线于点F，得到扇形 ；第三次操作以点C为圆心，以 为半径顺时针作弧 交 的延
长线于点G，得到扇形 ，依此类推进行操作，其中 ， 、 、 ，…的圆心依次按A，B，
12．如图，在 中， ，以点O为圆心， 长为半径作 ，将 绕点B按逆时针方
C，D循环，所得曲线 叫做“正方形的渐开线”，则经过四次操作后所得到的四个扇形的面积和
向旋转得到 ，使点 落在 上，边 交线段 于点C，若 ，则 的度数为
为 ．（结果保留π）
．
13．如图，A点是 上直径 所分的半圆的一个三等分点，B点是弧 的中点，P点是 上一动点，
16．如图，在直线 上有相距5cm的两点 和 （点 在点 的右侧），以 为圆心作半径为1cm的圆，过
的半径为3，则 的最小值为 ．
点 作直线 ．将 以 的速度向右移动（点 始终在直线 上），则 与直线 在 秒
时相切．
14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”．所谓“割圆术”，是用圆内三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分； 列问题
共9小题，共72分）
(1)求喷泉的半径；
17．如图， ， 交 于点C，D， 是半径，且 于点F．
(2)要在防护栏上每隔1.5米安装一盏景观灯，大约需要安装多少盏景观灯？（ 取3，结果保留整数）
20．停车楔（图1），又称车轮止退器、驻车楔、三角木，是用于防止车辆不必要移动的装置，使用时将停
车楔放置在地面和轮胎之间，即可防止轮胎的滑动．如图2为停车楔工作模型侧面示意图，水平地面 与
车轮 切于点 ， 为 的直径，射线 与射线 交于点 ， 于点 ，连接 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ，求 直径的长．
18．如图， 的周长等于 ，正六边形 内接于 ．
(1)求证： 平分 ．
(2)若 ， ，求车轮 的半径．
21．如图，在平面直角坐标系中，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
(1)求圆心 到 的距离．
(2)求正六边形 的面积．
(1)若 的外接圆的圆心为 ，则圆心 的坐标为_________， 的半径为_________；
19．如图1，某公园有一个圆形音乐喷泉，为了保障游客安全，管理部门打算在喷泉周围设置一圈防护栏现
(2) 的外接圆与 轴的另一个交点坐标是________．
在对喷泉进行测量和规划，其示意图如图2所示，相关信息如下：
(3) 中 所对的圆周角是________度， 的长度________．
22．如图，等腰三角形 的顶角 ， 和底边 相切于点C，并与两腰 ， 分别相交
于D，E两点，连接 ， ．
信息二：点 为喷泉中心， 是喷泉边缘的一条弦， 米， 是弦 的中点，连接 并延长，交
劣弧 于点 ， 米．
(1)求证：四边形 是菱形；
信息二：已知防护栏要距离喷泉边缘1米，以 为圆心， 为半径作防护栏所在圆．请根据以上信息解答下(2)若 的半径为6，求图中阴影部分的面积．
23．如图，在 中， ，以 为直径作 ， 与 交于点D， 与 交于点E，点F
是 外一点， ， ．
证明：如图2，在 上截取 ，连接 、 、 和 ，∵M是 的中点， ，又
， ， ，
(1)求证： 是 的切线．
又 ， ， ，即
(2)若 ， ．
(1)【理解运用】如图1， 、 是 的两条弦， ，点M是 的中点， 于点
①求 的长；
D，求 的长；
②求图中由 ，线段 ， ， 所组成的封闭图形的面积．
(2)【变式探究】如图3，若点M是 中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断 、 、 之间存
24．如图， 是正方形 的外接圆．
在怎样的数量关系？并加以证明．
(3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题：
如图4， 是 的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足 ，若 ，
的半径为10，求 长．
(1)如图1，若 是 上的一点，Q是 上的一点，且 ．
①求证： ．
②若 ，求 的直径．
(2)如图2，若点P在 上，过点 作 ，求证： ．
25．【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1， 和 是 的两条弦（即折线 是圆的一条折弦），
，点M是 的中点，则从M向 所作垂线的垂足D是折弦 的中点，即 ．
下面是运用“截长法”证明 的部分证明过程．
