文档内容
2026年菁优中考数学解密之有理数
一．选择题（共10小题）
1．（2025•洛宁县模拟）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于﹣1的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
2．（2025•滨海新区校级模拟）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约 1017
次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．1017 B．60×1017 C．6×1018 D．3.6×1020
3．（2025•长岭县四模）下列算式中，积为正数的是（ ）
A．﹣2×5 B．﹣6×（﹣2） C．0×（﹣1） D．5×（﹣3）
4．（2025•唐山二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是 1cm），刻度尺上
“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5
5．（2025•立山区模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数
若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作+3元，那么支出5元，记作（ ）
A．﹣5元 B．﹣3元 C．+5元 D．+3元
6．（2025•汉川市模拟）下列计算结果为7的是（ ）
A．﹣（+7） B．+（﹣7） C．﹣（﹣7） D．﹣|﹣7|
7．（2025•阳泉模拟）计算（﹣3）×4的结果为（ ）
A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12
8．（2025•武安市二模）若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．2 D．4
1
9．（2025•瑶海区校级三模）|- |的相反数是（ ）
2025
1 1
A．﹣2025 B．2025 C． D．-
2025 2025
10．（2025•永春县模拟）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且a+b
＞0，下列推断正确的是（ ）
第1页（共18页）A．原点一定在点A左侧
B．原点一定在点A右侧
C．原点一定在AB中点左侧
D．原点一定在AB中点右侧
二．填空题（共10小题）
11．（2025•江汉区模拟）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在秦汉时期的《九章
算术》就引入了负数．如果将“向东走2m”记为“+2m”，那么“向西走8m”记为 m．
12．（2025•白云区二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出
生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+1×71+6＝147+7+6＝160（天），请根据图2，计算孩
子自出生后的天数是 天．
13．（2025•东城区一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递．每个
小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示．
（1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 km；
（2）小明骑行的最短距离为 km．
14．（2025•雁塔区校级模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录
数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采
第2页（共18页）集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 个．
15．（2025•吉林一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：
g），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个
零件质量的范围满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个
数是 ．
34+34+34 43+43+43+43
16．（2025•开化县自主招生）已知 •
=2n
，则n＝ ．
23+23+23+23 64+64+64
17．（2025•连云港校级二模）一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发
现质量为198g，则该面包厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为．
18．（2025•淮南二模）比较大小：﹣（﹣2）3 ﹣|﹣9|（填“＜”“＞”或“＝”）．
19．（2025•南明区模拟）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“﹣”，一辆公共汽车原有18名
乘客，经过某一站时，乘客变化为：+3，﹣9，这时车上乘客人数为 ．
20．（2025•福州模拟）唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制：度，以北方
距黍中者一黍之广为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的距黍，
1 粒的长度算为一分，10 粒的长度算一寸，以此递加，则 20 丈用科学记数法可表示为
分．
三．解答题（共5小题）
1 -1
21．（2025•翁源县一模）计算：|-1|+(-2) 2-(π-1) 0+( ) ．
3
22．（2025•邯郸模拟）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对（x，y），
白板屏幕上就会出现x2﹣3y+4．
（1）嘉嘉在电脑屏幕上输入（m，﹣3m），求输出的多项式；
（2）淇淇说“我若输入（n，n），输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说
明理由．
23．（2025•龙岩二模）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．
八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：
第3页（共18页）（3745） ＝3×83+7×82+4×81+5×80＝（2021） ，表示ICME﹣14的举办年份．
8 10
（1）把八进制数3751换算成十进制数是 ；
（2）小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．
24．（2025•石家庄模拟）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四名同学分别代表一种运算，四名
同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负
责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：
（1）列式，并计算：
①﹣4经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？
②3经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：若数a经过D、C、A、B的顺序运算后，结果是5，求a得值．
25．（2025•丛台区校级一模）如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意
PO
一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p） ，即k
(p)
=
PA
，我们称k（p）
PO 1
为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以k = = ．
(p) PA 2
（1）当点P为AO的中点时，则k（p） ＝ ；
（2）若k（p） ＝2，求点P表示的数；
（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k
的和．
（p）
第4页（共18页）2026年菁优中考数学解密之有理数
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C B C A C A D D． C
一．选择题（共10小题）
1．（2025•洛宁县模拟）如图，数轴上的数a，b，c，d中，小于﹣1的是（ ）
A．a B．b C．c D．d
【考点】有理数大小比较；数轴．
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【专题】实数．
【答案】A
【分析】越在数轴的左边的数越小，进行作答即可．
【解答】解：依题意，位于﹣1左侧的数小于﹣1，
则观察数轴，a位于﹣1左侧，
∴a＜﹣1．
故选：A．
【点评】本题考查了实数与数轴，掌握其性质是解题的关键．
2．（2025•滨海新区校级模拟）我国运算速度最快的超级计算机是神威太湖之光，其运算速度每秒约 1017
次运算，那么它工作一分钟可达到的运算次数用科学记数法表示为（ ）
A．1017 B．60×1017 C．6×1018 D．3.6×1020
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；数感．
【答案】C
【分析】一分钟＝60秒，根据题意得到60×1017次，由科学记数法得到答案即可．
【解答】解：根据题意，得60×1017＝6×1018．
故选：C．
【点评】本题主要考查了科学记数法—表示较大的数，科学记数法中 a的要求和10的指数n的表示规
律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10
第5页（共18页）的指数n．
3．（2025•长岭县四模）下列算式中，积为正数的是（ ）
A．﹣2×5 B．﹣6×（﹣2） C．0×（﹣1） D．5×（﹣3）
【考点】有理数的乘法．
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【答案】B
【分析】根据有理数的乘法法则分别进行计算，选出符合条件的一项即可．
【解答】解：﹣2×5＝﹣10，A错误；
﹣6×（﹣2）＝12，B正确；
0×（﹣1）＝0，C错误；
5×（﹣3）＝﹣15，D错误，
故选：B．
【点评】本题考查的是有理数的乘法，掌握积的符号的确定方法：几个不等于零的数相乘，积的符号
由负因数的个数决定：当负因数有奇数个数，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正是解题的
关键．
4．（2025•唐山二模）如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴单位长度是 1cm），刻度尺上
“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的﹣3和0，则数轴上x的值最有可能是（ ）
A．1.8 B．2 C．2.3 D．5.5
【考点】数轴．
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【专题】数感；符号意识．
【答案】C
【分析】本题考查了数轴，根据数轴上x的值在刻度尺的5和6之间，得出数轴上x的值的取值范围，
即可求解．
【解答】解：∵刻度尺上“0cm”和“3cm”分别对应数轴上的﹣3和0，数轴上x的值在刻度尺的5和6
之间，
∴数轴上x的值的取值范围是2＜x＜3，
∵1.8＜2，5.5＞3，2＝2，2＜2.3＜3
故数轴上x的值最有可能是2.3．
故选：C．
【点评】本题考查了实数与数轴，算术平方根，数轴上两点间的距离．
第6页（共18页）5．（2025•立山区模拟）《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数
若其意义相反，则分别叫做正数和负数．如果收入3元记作+3元，那么支出5元，记作（ ）
A．﹣5元 B．﹣3元 C．+5元 D．+3元
【考点】正数和负数；数学常识．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】A
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果收入3元记作+3元，那么支出5元，记作﹣5元．
故选：A．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对
具有相反意义的量．
6．（2025•汉川市模拟）下列计算结果为7的是（ ）
A．﹣（+7） B．+（﹣7） C．﹣（﹣7） D．﹣|﹣7|
【考点】绝对值；相反数．
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【专题】计算题；实数；符号意识；运算能力．
【答案】C
【分析】去括号法则：括号前面是负号，括号内的各项符号要改变．
绝对值的定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0．
【解答】解：A、﹣（+7）＝﹣7，本选项错误．
B、+（﹣7）＝﹣7，本选项错误．
C、﹣（﹣7）＝7，本选项正确．
D、﹣|﹣7|＝﹣7，本选项错误．
故选：C．
【点评】此题考查了正数与负数，相反数，以及绝对值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
7．（2025•阳泉模拟）计算（﹣3）×4的结果为（ ）
A．﹣12 B．﹣7 C．7 D．12
【考点】有理数的乘法．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】A
【分析】根据有理数的乘法运算法则计算即可求解．
【解答】解：（﹣3）×4
＝﹣（3×4）
第7页（共18页）＝﹣12．
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的乘法运算，掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键．
8．（2025•武安市二模）若|a﹣3|+3＝a，则a的可能取值为（ ）
A．﹣4 B．0 C．2 D．4
【考点】绝对值．
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【专题】实数；数感．
【答案】D
【分析】利用绝对值的性质可得a﹣3≥0，据此即可得出答案．
【解答】解：若|a﹣3|+3＝a，
则|a﹣3|＝a﹣3，
那么a﹣3≥0，
因此a≥3，
那么a的可能取值为4，
故选：D．
【点评】本题考查绝对值，熟练掌握其性质是解题的关键．
1
9．（2025•瑶海区校级三模）|- |的相反数是（ ）
2025
1 1
A．﹣2025 B．2025 C． D．-
2025 2025
【考点】绝对值；相反数．
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【专题】计算题；实数；符号意识；运算能力．
【答案】D．
【分析】根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案．
1 1
【解答】解：|- |= ，
2025 2025
1 1
的相反数是- ．
2025 2025
故选：D．
【点评】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键．
10．（2025•永春县模拟）有理数a，b在一条隐藏原点的数轴上的对应点A，B的位置如图所示，且a+b
＞0，下列推断正确的是（ ）
第8页（共18页）A．原点一定在点A左侧
B．原点一定在点A右侧
C．原点一定在AB中点左侧
D．原点一定在AB中点右侧
【考点】数轴．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观．
【答案】C
【分析】根据a+b＞0，可得a＞0，b＞0，或a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，即可得出答案．
【解答】解：由数轴得，a＜b，
∵a+b＞0，
∴a＞0，b＞0或a＜0，b＞0，且|b|＞|a|，
∴原点一定在AB中点左侧．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴的定义是解题的关键．
二．填空题（共10小题）
11．（2025•江汉区模拟）中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家，早在秦汉时期的《九章
算术》就引入了负数．如果将“向东走2m”记为“+2m”，那么“向西走8m”记为 ﹣ 8 m．
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；符号意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，如果将“向东走2m”记为“+2m”，那么“向西走8m”记为
﹣8m．
故答案为：﹣8．
【点评】此题主要考查了正负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，明确什么是一对
具有相反意义的量．
12．（2025•白云区二模）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，
即“结绳记数”．如图，一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出
生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72+1×71+6＝147+7+6＝160（天），请根据图2，计算孩
子自出生后的天数是 12 3 天．
第9页（共18页）【考点】用数字表示事件；有理数的乘方．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】123．
【分析】根据题意中的计算方法，列式计算即可．
【解答】解：计算孩子自出生后的天数为：
2×72+3×71+4
＝98+21+4
＝119+4
＝123．
故答案为：123．
【点评】本题考查了有理数的乘方，用数字表示事件，掌握有理数的乘方的运算法则是关键．
13．（2025•东城区一模）快递员小明每天从快递点P骑电动三轮车到A，B，C三个小区投送快递．每个
小区经过且只经过一次，最后返回快递点P．P，A，B，C之间的距离（单位：km）如图所示．
（1）若小明按照P→B→A→C→P的路线骑行，则小明骑行的距离为 6. 2 km；
（2）小明骑行的最短距离为 5. 2 km．
【考点】有理数的加法．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）6.2；
（2）5.2．
第10页（共18页）【分析】（1）直接将路线中各段距离相加即可；
（2）需要找出所有可能的路线，计算其距离，再比较得出最短距离．
【解答】解：（1）按照P→B→A→C→P的路线骑行的距离为2.0+1.6+1.5+1.1＝6.2（km），
故答案为：6.2；
（2）P→B→A→C→P，距离为2.0+1.6+1.5+1.1＝6.2（km），
P→B→C→A→P，距离为2.0+1.8+1.5+0.7＝6（km），
P→A→B→C→P，距离为0.7+1.6+1.8+1.1＝5.2（km），
P→A→C→B→P，距离为0.7+1.5+1.8+2.0＝6（km），
P→C→A→B→P，距离为1.1+1.5+1.6+2.0＝6.2（km），
P→C→B→A→P，距离为1.1+1.8+1.6+0.7＝5.2（km），
通过比较这些路线的距离，5.2km是最短的．
故答案为：5.2．
【点评】本题考查了有理数的加法，根据题意列算式是解题的关键．
14．（2025•雁塔区校级模拟）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录
数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，用来记录采
集到的野果数量，由图可知，她一共采集到的野果数量为 183 8 个．
【考点】用数字表示事件．
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【专题】实数；数感；运算能力；应用意识．
【答案】1838．
【分析】由于从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，所以从右到左的数分别为 2、0×6、
3×6×6、2×6×6×6、1×6×6×6×6，然后把它们相加即可．
【解答】解：2+0×6+3×6×6+2×6×6×6+1×6×6×6×6＝1838，
故答案为：1838．
【点评】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满六进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学
列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力．
15．（2025•吉林一模）某厂加工了一批零件，质检员从中随机抽取10个零件检测了它们的质量（单位：
g），得到的数据如下：9.97，9.98，9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，10.02．当一个
第11页（共18页）零件质量的范围满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品．根据以上数据，这10个零件中一等品的个
数是 7 ．
【考点】正数和负数．
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【专题】应用意识．
【答案】7．
【分析】根据题意，写出10个数据中的一等品，即可得出答案．
【解答】解：∵满足10g±0.01g时，评定该零件为一等品，
∴质量在9.99g﹣10.01g的零件为一等品，
∴抽取10个零件的一等品有9.99，9.99，10.00，10.00，10.00，10.00，10.01，共计7个，
故答案为：7．
【点评】本题考查了正负数的实际应用，掌握此类知识是解题的关键．
16．（2025•开化县自主招生）已知 34+34+34 •43+43+43+43 ，则n＝ ﹣ 1 ．
=2n
23+23+23+23 64+64+64
【考点】有理数的乘方．
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【专题】计算题；运算能力．
【答案】﹣1．
【分析】根据有理数的乘方运算法则和顺序计算即可．
【解答】解：原式 3⋅34 •4⋅43 34 • (22 ) 3 34 • 26 1 2﹣1＝2n，
= = = = =
4⋅23 3⋅64 23 (2×3) 4 23 24 ⋅34 2
∴n＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查的是有理数的乘方，熟练掌握其运算法则是解题的关键．
17．（2025•连云港校级二模）一袋面包包装上印有“总质量（200±3）g”的字样．小明拿去称了一下，发
现质量为198g，则该面包厂家 没有 （填“有”或“没有”）欺诈行为．
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；数感．
【答案】没有．
【分析】理解字样的含义，食品的质量在（200±3）g，即食品在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合
格．
【解答】解：∵总质量（200±3）g，
∴质量在（200+3）g与（200﹣3）g之间都合格，
第12页（共18页）而产品有198g在范围内，故合格，
∴厂家没有欺诈行为．
故答案为：没有．
【点评】本题考查的是正数与负数，解题关键是理解正和负的相对性，判别净含量（200±3）g的意义．
18．（2025•淮南二模）比较大小：﹣（﹣2）3 ＞ ﹣|﹣9|（填“＜”“＞”或“＝”）．
【考点】有理数大小比较；有理数的乘方；绝对值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】＞．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数
都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大
小，绝对值大的数反而小．
【解答】解：∵﹣（﹣2）3＝8，﹣|﹣9|＝﹣9，
∴﹣（﹣2）3＞﹣|﹣9|．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数都大于零；负数都小于零；正数大于负数；两个正
数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键．
19．（2025•南明区模拟）若公共汽车上车人数记为“+”，下车人数记为“﹣”，一辆公共汽车原有18名
乘客，经过某一站时，乘客变化为：+3，﹣9，这时车上乘客人数为 1 2 ．
【考点】正数和负数．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】12
【分析】直接根据题意计算即可．
【解答】解：18+3﹣9＝12（人），
∴这时车上乘客人数为12人，
故答案为：12．
【点评】本题考查了正负数的实际应用，有理数的运算法则，掌握正数和负数是解题的关键．
20．（2025•福州模拟）唐朝典籍《唐六典》中对度量衡制有一段记载：“凡权衡度量之制：度，以北方
距黍中者一黍之广为分，十分为寸，十寸为尺，十尺为丈．”大意为：长度单位——中等大小的距黍，
1粒的长度算为一分，10粒的长度算一寸，以此递加，则20丈用科学记数法可表示为 2×1 0 4 分．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；数感．
第13页（共18页）【答案】2×104．
【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种
记数法叫做科学记数法，据此即可求得答案．
【解答】解：20丈＝20000分＝2×104（分），
故答案为：2×104．
【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键．
三．解答题（共5小题）
1 -1
21．（2025•翁源县一模）计算：|-1|+(-2) 2-(π-1) 0+( ) ．
3
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】7．
【分析】先根据绝对值的性质，零指数幂及负整数指数幂的运算法则，数的乘方法则分别计算出各数，
再计算加减即可．
【解答】解：原式＝1+4﹣1+3＝7．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟知有理数混合运算的法则是解题的关键．
22．（2025•邯郸模拟）数学课上，老师在电脑上设置了一个程序：如果电脑屏幕上输入数对（x，y），
白板屏幕上就会出现x2﹣3y+4．
（1）嘉嘉在电脑屏幕上输入（m，﹣3m），求输出的多项式；
（2）淇淇说“我若输入（n，n），输出的多项式指定比1大”，你同意淇淇的说法吗？请通过计算说
明理由．
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）m2+9m+4；
（2）同意淇淇的说法，见解析．
【分析】（1）把（m，﹣3m）代入题目所给运算式进行计算即可；
（2）根据题目所给运算式，得出代数式，然后利用配方法将其变形从而分析其最值，即可解答．
【解答】解：（1）由条件可得：m2﹣3（﹣3m）+4＝m2+9m+4，
∴输出的多项式为：m2+9m+4．
（2）同意淇淇的说法，理由如下：
当输入为（n，n）时多项式为n2﹣3n+4．
第14页（共18页）3 7 7
n2-3n+4=(n- ) 2+ ≥ ＞1．
2 4 4
∴输出的多项式指定比1大．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握题目所给运算式的运算顺序．
23．（2025•龙岩二模）第十四届国际数学教育大会（ICME﹣14）会徽的主题图案有着丰富的数学元素，
展现了我国古代数学的文化魅力，其右下方的“卦”是用我国古代的计数符号写出的八进制数3745．
八进制是以8作为进位基数的数字系统，有0～7共8个基本数字，八进制数换算成十进制数是：
（3745） ＝3×83+7×82+4×81+5×80＝（2021） ，表示ICME﹣14的举办年份．
8 10
（1）把八进制数3751换算成十进制数是 202 5 ；
（2）小聪设计了一个n进制数126，换算成十进制数是105，求n的值．
【考点】有理数的混合运算．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】（1）2025；（2）n的值为9．
【分析】（1）根据八进制换算成十进制的方法即可作答；
（2）根据n进制换算成十进制的方法可列出关于n的一元二次方程，解方程即可求解．
【解答】解：（1）原式＝1536+448+40+1
＝（2025） ．
10
故答案为：2025；
（2）由题意得，1×n2+2×n1+6×n0＝105，
n2+2n﹣99＝0，
解得：n ＝9，n ＝﹣11（舍去），
1 2
∴n的值为9．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，掌握有理数的混合运算法则是关键．
24．（2025•石家庄模拟）在数学活动课上，李老师设计了一个游戏，四名同学分别代表一种运算，四名
同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负
责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用四个卡片代表四名同学（如图）：
（1）列式，并计算：
第15页（共18页）①﹣4经过A、B、C、D的顺序运算后，结果是多少？
②3经过B、C、A、D的顺序运算后，结果是多少？
（2）探究：若数a经过D、C、A、B的顺序运算后，结果是5，求a得值．
【考点】有理数的混合运算；解一元二次方程﹣直接开平方法．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）①②根据题意列出有理数混合运算的式子，再进行计算即可；
（2）根据题意得出关于a的一元二次方程，求出a的值即可．
【解答】解：（1）①由运算程序可知，﹣4经过A、B、C、D的顺序运算，列式为[﹣4×2﹣（﹣
5）]2+6＝（﹣8+5）2+6＝9+6＝15；
②由运算程序可知，3经过B、C、A、D的顺序运算，列式为[3﹣（﹣5）]2×2+6＝（3+5）2×2+6＝
64×2+6＝134；
（2）由运算程序可知，数a经过D，C，A，B的顺序运算，列式为（a+6）2×2﹣（﹣5），
∵结果是5，
∴（a+6）2×2﹣（﹣5）＝5，
整理得（a+6）2＝0，
解得a＝﹣6．
【点评】本题考查的是有理数的混合运算，解一元二次方程，熟知以上知识是解题的关键．
25．（2025•丛台区校级一模）如图，在数轴上，点O表示原点，点A表示的数为﹣1，对于数轴上任意
PO
一点P（不与点A点O重合），线段PO与线段PA的长度之比记作k（p） ，即k
(p)
=
PA
，我们称k（p）
PO 1
为点P的特征值，例如：点P表示的数为1，因为PO＝1，PA＝2，所以k = = ．
(p) PA 2
（1）当点P为AO的中点时，则k（p） ＝ 1 ；
（2）若k（p） ＝2，求点P表示的数；
（3）若点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），求所有满足条件的k
的和．
（p）
第16页（共18页）【考点】数轴．
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【专题】实数；运算能力；推理能力．
【答案】（1）1；
2
（2）点P表示的数﹣2或- ；
3
1
（3）6 ．
128
1 PO
【分析】（1）当点P为AO的中点时点P表示的数为- ，求出PO，PA从而求得k = ；
2 (p) PA
PO
（2）设点P表示的数为x，则PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|根据 =2即PO＝2PA列方程求解即
PA
可；
（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），
1
可知 PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1 求得k
(p)
=1-
2n
，则所有满足条件的 k（p） 的值分别为：
1 1 1 1 1 1 1
1- ，1- ，1- ，1- ，1- ，1- ，1- ， 然 后 求 和 ， 注 意 求 和 时 令
2 22 23 24 25 26 27
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
s= + + + + + + ①则2s=1+ + + + + + ②，②﹣①得：s=1- 从
2 22 23 24 25 26 27 2 22 23 24 25 26 27
而求解．
【解答】解：（1）由题意可知，
1 1
当点P为AO的中点时点P表示的数为- ，PO=PA= ，
2 2
PO
∴k = =1，
(p) PA
故答案为：1；
（2）设点P表示的数为x，
则PO＝|x|，PA＝|x﹣（﹣1）|＝|x+1|，
∵k（p） ＝2，
PO
∴ =2，
PA
即PO＝2PA，
第17页（共18页）∴|x|＝2|x+1|，
∴x＝2（x+1）或x＝﹣2（x+1），
2
解得：x＝﹣2或x=- ；
3
2
故：点P表示的数﹣2或- ；
3
（3）点P表示的数为p，且满足p＝2n﹣1，（其中n为正整数，且1≤n≤7），p＝2n﹣1＞0，
PO p
此时：PO＝p，PA＝p﹣（﹣1）＝p+1k = = ，
(p) PA p+1
当p＝2n﹣1时 PO 2n-1 2n-1 1 ∵1≤n≤7，且n为正整数，
k = = = =1-
(p) PA 2n-1+1 2n 2n
1 1 1 1 1 1 1
则所有满足条件的k（p） 的值分别为：1-
2
，1-
22
，1-
23
，1-
24
，1-
25
，1-
26
，1-
27
，
故 所 有 满 足 条 件 的 k （ p ） 的 和 为 ：
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1- +1- +1- +1- +1- +1- +1- =7-( + + + + + + )，
2 22 23 24 25 26 27 2 22 23 24 25 26 27
1 1 1 1 1 1 1
令s= + + + + + + ①，
2 22 23 24 25 26 27
1 1 1 1 1 1
则2s=1+ + + + + + ②，
2 22 23 24 25 26
1
②﹣①得：s=1- ，
27
1 1 1 1 1 1 1
∴7-( + + + + + + )
2 22 23 24 25 26 27
1
=7-(1- )
27
1
=6 ．
128
【点评】本题考查了新定义，数轴上两点之间的距离以及有理数的计算；解题的关键是会求数轴上两
点之间的距离．
第18页（共18页）
