文档内容
2025年北京市西城区中考数学二模试卷
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2025•西城区二模）如图是一个立体图形的三视图，则该立体图形是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球
2．（2分）（2025•西城区二模）如图，两个直角三角形的直角顶点 O重合，如果∠AOD＝128°，那么
∠BOC的大小为（ ）
A．38° B．52° C．60° D．62°
3．（2分）（2025•西城区二模）“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至 2023年底，
全国新能源汽车保有量约为2.0×107辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到 2033年底，新能源汽
车保有量将会是2023年底的5倍，达到约m辆，则m的值是（ ）
A．1.0×107 B．1.0×108 C．1.0×109 D．1.0×1010
4．（2分）（2025•西城区二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查
方式中最合适的是（ ）
A．随机抽取某个班的全体学生
B．每个年级各推荐20名学生
C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生
D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生
5．（2分）（2020•淮安）六边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
第1页（共35页）6．（2分）（2025•西城区二模）如图，数轴上的点 A，B表示的数分别是a，b．如果ab＜0，那么下列
结论中一定正确的是（ ）
1 1
A．a+b＝0 B．|a|＞|b| C．b﹣2a＞0 D． ＞
a b
6
7．（2分）（2025•西城区二模）反比例函数y= 的图象上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
x
A．2 B．4 C．6 D．8
8．（2分）（2025•西城区二模）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行
的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点E，F，G，H分别是等腰梯形ABCD各边的中点，
顺次连接E，F，G，H得到四边形EFGH．点K，L，M，N分别是四边形EFGH各边的中点，顺次连
接K，L，M，N得到四边形KLMN．以下四个结论：
①四边形EFGH是菱形；
②连接FH，则2FH＝AD+BC；
③四边形EFGH的面积等于四边形KLMN面积的4倍；
④四边形KLMN周长的平方不小于梯形ABCD面积的4倍．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）（2025•扬州一模）若√x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
10．（2分）（2025•西城区二模）分解因式：2ax2+4axy+2ay2＝ ．
11．（2分）（2025•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是
．
12．（2分）（2025•西城区二模）写出一个比√5大且比√17小的整数 ．
3 2
13．（2分）（2025•西城区二模）方程 - =0的解为 ．
x+2 x-1
14．（2分）（2025•西城区二模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，
第2页（共35页）将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、
鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选
择参观同一个景点的概率是 ．
15．（2分）（2025•西城区二模）如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，延长AE，DC交于点F．若
AD＝3CE，△ECF的面积为6，则△ABE的▱面积为 ．
16．（2分）（2025•西城区二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停
车时间不超过24小时．
甲停车场收费标准是：
停车时长t 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24
（单位：小
时）
收费标准 免费 5 10 15 18 24
（单位：
元）
乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是
元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为
小时．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
1 -1
17．（5分）（2025•西城区二模）计算：-12+( ) +4sin60°-√27．
2
{
-3(x-2)＞4-x
18．（5分）（2025•西城区二模）解不等式组： 1+2x ．
＞x-1
3
x(x-2y)+ y(2x-4 y)
19．（5分）（2025•舟山三模）已知x﹣2y﹣3＝0，求代数式 的值．
x+2y
20．（6分）（2025•西城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，
过点D作DE∥AC，交AB于点E，点F是AC上一点，且CF＝AE，连接EF．
第3页（共35页）（1）求证：四边形CDEF是矩形；
3
（2）连接DF，若AF＝3，sinB= ，求DF的长．
5
21．（6分）（2025•西城区二模）关于x的方程x2+4x+2m﹣3＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都是整数，求正整数m的值．
22．（5分）（2025•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x+m和函数y＝mx（m≠0）的图象
相交于点A．
（1）当m＝4时，求点A的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值都大于函数y＝mx（m≠0）的值，直接写出m
的取值范围．
23．（5分）（2025•西城区二模）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，
先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
（1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分
中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分 5组：第1组50≤x＜60，第2组60≤x＜70，第3组
70≤x＜80，第4组80≤x＜90，第5组90≤x≤100）
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80 m
乙 78 n 72
根据以上信息，解答下列问题：
①m的值为 ，n的值位于乙款软件评分的第 组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足90≤x≤100的约为 个；
第4页（共35页）（2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2
各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维度 维度1 维度2 维度3 维度4
软件
甲 94 k 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为 ；
②若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 ．
24．（6分）（2025•西城区二模）如图， O为△ABC的外接圆，点A为^BAC的中点， O的切线AD
交BO的延长线于点D，BD交AC于点E⊙．连接OA，OC，且∠AOC＝2∠AED． ⊙
（1）求证：∠DAE＝∠AED；
（2）若AD＝1，求BC的长．
25．（5分）（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明
家到幼儿园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载
重行驶，如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行
驶和载重行驶状态下可行驶的路程S （单位：km）和S （单位：km）的部分数据：
1 2
P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
S 0 3 7 15 23 31 39
1
第5页（共35页）S 0 2 4 9 15 22 30
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S 与P，S 与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
1 2
补全这两个函数的图象；
（2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶 km（结果精
确到0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为 30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车
（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为
（精确到1%）．
26．（6分）（2025•易门县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax经过点A（3，3）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x ，m）（x ＞0）和N（m，n）是抛物线上的两个点，且n＞m总成立，求x 的取值范
0 0 0
围．
27．（7分）（2025•西城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2 （0°＜ ＜90°），点D为边
BC上一点（BD＞CD），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转2 得到α线段AEα，连接ED交AC于
点F，连接CE． α
（1）求证：CA平分∠BCE；
（2）若点M，N，H分别为BC，DE，DF的中点，连接MH，补全图形，用等式表示线段MH与NH
之间的数量关系，并证明．
第6页（共35页）28．（7分）（2025•西城区二模）给定线段MN和位于直线MN同一侧的两点P，Q，若在线段MN上
（不含端点M，N）存在点K，使得∠PKM＝∠QKN且PK＝QK，则称点P与Q关于线段MN等角等
距．在平面直角坐标系xOy中，已知点S（2，0）．
（1）点T的坐标为（0，1），
3
①在点A(-2，1)，B(2，1)，C(2， )，D（2，3）中，与点S关于线段OT等角等距的点是
2
；
②点E是直线y＝x上一点，若在以点S为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点E关于线段OT等
角等距，则点E的横坐标x 的取值范围是 ；
E
（2）已知点F（0，m）（m＞0），在以O为圆心，1为半径的圆上存在点H，使得点F与S关于线段
OH等角等距，直接写出m的取值范围．
第7页（共35页）2025年北京市西城区中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A B B D C C D C
一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。
1．（2分）（2025•西城区二模）如图是一个立体图形的三视图，则该立体图形是（ ）
A．圆锥 B．圆柱 C．长方体 D．球
【考点】由三视图判断几何体．
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【专题】投影与视图；几何直观．
【答案】A
【分析】根据三视图的知识，主视图和左视图都为一个三角形，而俯视图为一个圆，故可得出这个图
形为一个圆锥．
【解答】解：根据三视图可知，该立体图形是圆锥．
故选：A．
【点评】本题考查了由三视图判断几何体，熟练掌握简单几何体的三视图是关键．
2．（2分）（2025•西城区二模）如图，两个直角三角形的直角顶点 O重合，如果∠AOD＝128°，那么
∠BOC的大小为（ ）
A．38° B．52° C．60° D．62°
第8页（共35页）【考点】余角和补角．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；推理能力．
【答案】B
【分析】根据已知条件可知：∠AOC＝∠BOD＝90°，然后得到∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝180°，
∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，最后根据∠AOD的度数求出∠BOC即可．
【解答】解：由题意可知：∠AOC＝∠BOD＝90°，
∴∠AOB+∠BOC+∠BOC+∠COD＝180°，∠AOD＝∠AOB+∠BOC+∠COD，
∴∠AOD+∠BOC＝180°，
∵∠AOD＝128°，
∴∠BOC＝180°﹣128°＝52°，
故选：B．
【点评】本题主要考查了余角和补角，解题关键是正确识别图形，理解角与角的数量关系．
3．（2分）（2025•西城区二模）“双碳”目标战略为中国汽车工业带来了新的生命力，截至 2023年底，
全国新能源汽车保有量约为2.0×107辆，根据新能源汽车产业规划目标，预计到 2033年底，新能源汽
车保有量将会是2023年底的5倍，达到约m辆，则m的值是（ ）
A．1.0×107 B．1.0×108 C．1.0×109 D．1.0×1010
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【专题】实数；数感．
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原
数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是
正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：m＝5×2.0×107＝1.0×108．
故选：B．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n
为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．（2分）（2025•西城区二模）为了解某校1500名学生每天在校参加体育锻炼的情况，下列抽样调查
方式中最合适的是（ ）
A．随机抽取某个班的全体学生
B．每个年级各推荐20名学生
C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生
第9页（共35页）D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取100名学生
【考点】抽样调查的可靠性．
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【专题】数据的收集与整理；应用意识．
【答案】D
【分析】根据抽样调查的可靠性判断即可．
【解答】解：A．随机抽取某个班的全体同学，不具有代表性，故本选项不符合题意；
B．每个年级各推荐20名学生，不具有代表性，故本选项不符合题意；
C．上体育课时，在操场上随机抽取25名学生，不具有代表性，故本选项不符合题意；
D．将全校的学生名字输入电脑程序，在电脑中随机抽取 100名学生，具有代表性，故本选项符合题
意．
故选：D．
【点评】本题考查抽样调查的可靠性，理解抽样调查样本的代表性，可操作性是正确解答的关键．
5．（2分）（2020•淮安）六边形的内角和为（ ）
A．360° B．540° C．720° D．1080°
【考点】多边形内角与外角．
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【专题】计算题．
【答案】C
【分析】利用多边形的内角和＝（n﹣2）•180°即可解决问题．
【解答】解：根据多边形的内角和可得：
（6﹣2）×180°＝720°．
故选：C．
【点评】本题需利用多边形的内角和公式解决问题．
6．（2分）（2025•西城区二模）如图，数轴上的点 A，B表示的数分别是a，b．如果ab＜0，那么下列
结论中一定正确的是（ ）
1 1
A．a+b＝0 B．|a|＞|b| C．b﹣2a＞0 D． ＞
a b
【考点】数轴；绝对值．
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【专题】线段、角、相交线与平行线；几何直观；运算能力．
【答案】C
【分析】根据ab＜0，可知a、b异号，再根据数轴可知a＜0＜b，然后判断即可．
第10页（共35页）【解答】解：∵ab＜0，
∴a、b异号，
由数轴图可知，a＜0＜b，
1 1
∴a+b的值不能确定，|a|与|b|的大小不能确定，b﹣2a＞0， ＜ ，
a b
∴只有选项C正确符合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了数轴和绝对值，解题的关键是掌握数轴知识．
6
7．（2分）（2025•西城区二模）反比例函数y= 的图象上横、纵坐标都是整数的点的个数是（ ）
x
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．
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【专题】反比例函数及其应用；运算能力．
【答案】D
【分析】分别求出满足x、y均为整数时的对应值，再根据反比例函数图象的特点求出符合条件的点的
个数即可．
【解答】解：∵当x＝1、2、3、6时y的对应值为6、3、2、1，
∴在第一象限内有四个点符合条件，
∵此函数的图象关于原点对称，
∴在第三象限内必有四个点符合此条件，
∴横坐标和纵坐标都是整数的点的个数是8个．
故选：D．
【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的对称性，反比例函数图象上点
的坐标满足解析式是关键．
8．（2分）（2025•西城区二模）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行
的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点E，F，G，H分别是等腰梯形ABCD各边的中点，
顺次连接E，F，G，H得到四边形EFGH．点K，L，M，N分别是四边形EFGH各边的中点，顺次连
接K，L，M，N得到四边形KLMN．以下四个结论：
①四边形EFGH是菱形；
②连接FH，则2FH＝AD+BC；
③四边形EFGH的面积等于四边形KLMN面积的4倍；
④四边形KLMN周长的平方不小于梯形ABCD面积的4倍．
第11页（共35页）上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④
【考点】中点四边形；全等三角形的判定与性质；菱形的判定与性质；等腰梯形的性质；等腰梯形的
判定．
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【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力．
【答案】C
【分析】由等腰梯形易得BD＝AC，再根据中位线定理易判断四边形EFGH是菱形，即可判断①；延
长EF，EH交BC于点P，Q，易证FH是△EPQ的中位线，进而可得2FH＝AD+BC，即可判断②；分
别将菱形和矩形的面积表示出来即可判断③；利用作差法求出C2﹣4S≥0即可判断出④．
【解答】解：如图，连接BD，AC，
∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴BD＝AC，
∵点E，F，G，H分别是等腰梯形ABCD各边的中点，
1 1
∴EF=GH= BD= AC=FG=EH，
2 2
∴四边形EFGH是菱形，故①正确；
延长EF，EH交BC于点P，Q，
∵AD∥BC，
第12页（共35页）∴∠D＝∠HCQ，
∵DH＝CH，∠DHE＝∠CHQ，
∴△EDH≌△QCH（ASA），
∴EH＝QH，DE＝CQ，
同理AE＝PB，EF＝PF，
∴FH是△EPQ的中位线，
1 1 1
∴FH= PQ= (BC+PB+CQ)= (BC+AD)，
2 2 2
∴2FH＝AD+BC；故②正确；
连接EG
1
∵S菱形EFGH =
2
FH⋅EG，
1 1 1
S =KL⋅KN= EG⋅ FH= FH⋅EG，
矩形KLMN 2 2 4
∴四边形EFGH的面积等于四边形KLMN面积的2倍，
故③错误；
1 1 (AD+BC)⋅EG
∵C =2(KL+KN)=2( EG+ FH)=EG+FH，S = =FH⋅EG，
矩形KLMN 2 2 梯ABCD 2
∴C2﹣4S＝（EG+FH）2﹣4FH•EG＝（EG﹣FH）2≥0，
故④正确，
综上所述，①②④正确；
故选：C．
【点评】本题主要考查中点四边形、等腰梯形的性质、中位线定理、菱形的判定和性质等内容，熟练
掌握相关知识是解题的关键．
二、填空题（共16分，每题2分）
9．（2分）（2025•扬州一模）若√x-2在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 x ≥2 ．
【考点】二次根式有意义的条件．
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【专题】二次根式；运算能力．
第13页（共35页）【答案】见试题解答内容
【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0，解之即可求出x的取值范围．
【解答】解：根据题意得：x﹣2≥0，
解得：x≥2．
故答案为：x≥2．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义时被开方数是非负数．
10．（2分）（2025•西城区二模）分解因式：2ax2+4axy+2ay2＝ 2 a （ x + y ） 2 ．
【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
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【答案】见试题解答内容
【分析】先提取公因式 2a，再根据完全平方公式进行二次分解即可求得答案．完全平方公式：
a2±2ab+b2＝（a±b）2．
【解答】解：2ax2+4axy+2ay2＝2a（x2+2xy+y2）＝2a（x+y）2．
故答案为：2a（x+y）2．
【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式．注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分
解，注意分解要彻底．
11．（2分）（2025•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，1）关于x轴对称的点的坐标是
（ 2 ，﹣ 1 ） ．
【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．
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【专题】平面直角坐标系；运算能力．
【答案】（2，﹣1）．
【分析】根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可求解．
【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点（2，1）关于x轴对称的点的坐标为：（2，﹣1），
故答案为：（2，﹣1）．
【点评】本题考查了求关于坐标轴对称的点的坐标，熟练掌握关于 x轴对称的点，横坐标相同，纵坐
标互为相反数是解题的关键．
12．（2分）（2025•西城区二模）写出一个比√5大且比√17小的整数 3 （答案不唯一） ．
【考点】估算无理数的大小．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】见试题解答内容
【分析】先分别求出√5与√17在哪两个相邻的整数之间，依此即可得到答案．
【解答】解：∵2＜√5＜3，4＜√17＜5，
第14页（共35页）∴所有比√17小且比√5大的整数有3，4，
∴这个整数可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查了实数的大小比较，也考查了无理数的估算的知识，分别求出√5与√17在哪两
个相邻的整数之间是解答此题的关键．
3 2
13．（2分）（2025•西城区二模）方程 - =0的解为 x ＝ 7 ．
x+2 x-1
【考点】解分式方程．
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【专题】分式方程及应用；运算能力．
【答案】x＝7．
【分析】根据解分式方程的方法，把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出 x的值，然后检验即
可．
3 2
【解答】解： - =0，
x+2 x-1
方程两边同时乘（x+2）（x﹣1），得3（x﹣1）﹣2（x+2）＝0，
去括号，得3x﹣3﹣2x﹣4＝0，
解得：x＝7，
检验：把x＝7代入（x+2）（x﹣1）≠0，
∴分式方程的解为x＝7．
故答案为：x＝7．
【点评】本题考查了解分式方程，掌握解分式方程的方法是解题的关键．
14．（2分）（2025•西城区二模）2024年7月27日，联合国教科文组织第46届世界遗产大会通过决议，
将“北京中轴线——中国理想都城秩序的杰作”列入《世界遗产名录》，其中天坛、正阳门、故宫、
鼓楼都是中轴线上的著名景点．小明和小华分别随机选择这四个景点中的任意一个去参观，则他们选
1
择参观同一个景点的概率是 ．
4
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
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【专题】概率及其应用；应用意识．
1
【答案】 ．
4
【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择参观同一个景点的结果数，再利用概率公式可
得出答案．
第15页（共35页）【解答】解：将这四个景点分别记为A，B，C，D，
列表如下：
A B C D
A （A，A） （A，B） （A，C） （A，D）
B （B，A） （B，B） （B，C） （B，D）
C （C，A） （C，B） （C，C） （C，D）
D （D，A） （D，B） （D，C） （D，D）
共有16种等可能的结果，其中他们选择参观同一个景点的结果有4种，
4 1
∴他们选择参观同一个景点的概率为 = ．
16 4
1
故答案为： ．
4
【点评】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本
题的关键．
15．（2分）（2025•西城区二模）如图，在 ABCD中，点E是BC上一点，延长AE，DC交于点F．若
AD＝3CE，△ECF的面积为6，则△ABE的▱面积为 2 4 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
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【专题】图形的相似；推理能力．
【答案】24．
【分析】由题易得BE＝2CE，再证△CFE∽△BAE，即可得解．
【解答】解：∵在 ABCD中，AD＝3CE，
∴BE＝2CE，AB∥C▱D，
∴△CFE∽△BAE，
CE 1
∴相似比位 = ，
BE 2
S CE 1
∴
△CFE=(
)
2=
，
S BE 4
△BAE
∴S ＝4S ＝24，
△ABE △ECF
第16页（共35页）故答案为：24．
【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是
解题的关键．
16．（2分）（2025•西城区二模）小林驾车去某地办事，目的地附近有甲、乙两个停车场．已知小林停
车时间不超过24小时．
甲停车场收费标准是：
停车时长t 0＜t≤1 1＜t≤3 3＜t≤6 6＜t≤9 9＜t≤12 12＜t≤24
（单位：小
时）
收费标准 免费 5 10 15 18 24
（单位：
元）
乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费）．
（1）若小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，则小林需交的停车费是 15
元；
（2）若小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，则小林停车时间最长为 7 小
时．
【考点】一元一次不等式的应用．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力；应用意识．
【答案】（1）15；
（2）7．
【分析】（1）由题意可知，停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9，即可得出结论；
（2）根据当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场
更优惠，列出一元一次不等式，解不等式，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵小林10点25分将车停入甲停车场，当天18点45分将车开出，
∴停车时长t＝8小时20分，满足6＜t≤9，
∴小林需交的停车费是15元，
故答案为：15；
（2）由题意可知，当停车时长超过9小时后，乙停车场比甲停车场更贵，
当停车时长超过6小时且不超过9小时，小林将车停到乙停车场，且停车费比停在甲停车场更优惠，
则2t＜15，
解得：t＜7.5，
∵乙停车场收费标准是：每小时2元（不足1小时按1小时收费），
第17页（共35页）∴t的最大值为7，
故答案为：7．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式的应用，找出数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的
关键．
三、解答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，
第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
1 -1
17．（5分）（2025•西城区二模）计算：-12+( ) +4sin60°-√27．
2
【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．
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【专题】实数；运算能力．
【答案】1-√3．
【分析】利用有理数的乘方法则，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，二次根式的性质计算后再算
加减即可．
√3
【解答】解：原式＝﹣1+2+4× -3√3
2
＝﹣1+2+2√3-3√3
＝1-√3．
【点评】本题考查实数的运算，负整数指数幂，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题
的关键．
{
-3(x-2)＞4-x
18．（5分）（2025•西城区二模）解不等式组： 1+2x ．
＞x-1
3
【考点】解一元一次不等式组．
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【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力．
【答案】x＜1．
【分析】分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小
小找不到”确定不等式组的解集．
【解答】解：由﹣3（x﹣2）＞4﹣x得：x＜1，
1+2x
由 ＞x﹣1得x＜4，
3
则不等式组的解集为x＜1．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；
第18页（共35页）同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
x(x-2y)+ y(2x-4 y)
19．（5分）（2025•舟山三模）已知x﹣2y﹣3＝0，求代数式 的值．
x+2y
【考点】分式的值．
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【专题】分式；运算能力．
【答案】3．
【分析】由已知条件得x﹣2y＝3，将分式的分子整理并等量代换计算后再约分即可．
【解答】解：∵x﹣2y﹣3＝0，
∴x﹣2y＝3，
x(x-2y)+2y(x-2y)
∴原式=
x+2y
(x+2y)(x-2y)
=
x+2y
＝x﹣2y
＝3．
【点评】本题考查分式的值，将原式进行正确地变形是解题的关键．
20．（6分）（2025•西城区二模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，
过点D作DE∥AC，交AB于点E，点F是AC上一点，且CF＝AE，连接EF．
（1）求证：四边形CDEF是矩形；
3
（2）连接DF，若AF＝3，sinB= ，求DF的长．
5
【考点】矩形的判定与性质；解直角三角形；等腰三角形的判定与性质．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能
力．
【答案】（1）见解析；
（2）√41．
【分析】（1）根据角平分线的性质及DE∥AC，得到AE＝DE，由CF＝AE，得到四边形CDEF是平行
第19页（共35页）四边形，根据∠C＝90°即可证明结论；
（2）根据矩形的性质得到EF∥BC，根据三角函数的定义得到AE＝5，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC，
∴∠DAC＝∠DAE．
∵DE∥AC，
∴∠DAC＝∠ADE，
∴∠ADE＝∠DAE，
∴AE＝DE．
∵CF＝AE，
∴DE＝CF，
∴四边形CDEF是平行四边形．
又∵∠C＝90°，
∴四边形CDEF是矩形；
（2）解：∵四边形CDEF是矩形，
∴EF∥BC，
∴∠AFE＝∠C＝90°，∠AEF＝∠B，
3
∵sinB= ，
5
AF 3
∴sin∠AEF= = ，
AE 5
∵AF＝3，
∴AE＝5，
∴EF=√AE2-AF2=4，
∵CF＝AE＝5，
∴DF=√52+42=√41．
【点评】本题主要考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，解直角三角形，解题的关键在于能
够熟练掌握相关知识进行求解．
21．（6分）（2025•西城区二模）关于x的方程x2+4x+2m﹣3＝0．
（1）若方程有实数根，求m的取值范围；
（2）若方程的两个根都是整数，求正整数m的值．
【考点】根与系数的关系；根的判别式．
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第20页（共35页）【专题】一元二次方程及应用；运算能力．
7
【答案】（1）m≤ ；
2
（2）3．
【分析】（1）利用根的判别式的意义得到Δ＝42﹣4（2m﹣3）≥0，然后解不等式即可；
（2）利用（1）中m的取值范围得到正整数m的值为1、2、3，接着分别把m的值代入方程，然后分
别解方程可确定满足条件的m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝42﹣4（2m﹣3）≥0，
7
解得m≤ ，
2
7
即m的取值范围为m≤ ；
2
7
（2）∵m≤ ，
2
∴正整数m的值为1、2、3，
当m＝1时，方程化为x2+4x﹣1＝0，此时方程两根为无理数，不合题意，舍去；
当m＝2时，方程化为x2+4x+1＝0，此时方程两根为无理数，不合题意，舍去；
当m＝3时，方程化为x2+4x+3＝0，解得x ＝﹣1，x ＝﹣3，
1 2
综上所述，正整数m的值为3．
【点评】本题考查了根与系数的关系：若x ，x 是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x +x
1 2 1 2
b c
=- ，x x = ．也考查了根的判别式．
a 1 2 a
22．（5分）（2025•西城区二模）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝2x+m和函数y＝mx（m≠0）的图象
相交于点A．
（1）当m＝4时，求点A的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值都大于函数y＝mx（m≠0）的值，直接写出m
的取值范围．
【考点】两条直线相交或平行问题；一次函数图象与系数的关系．
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【专题】一次函数及其应用；几何直观；运算能力．
【答案】（1）点A的坐标为（2，8）；
（2）2＜m≤4．
【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求解；
第21页（共35页）（2）根据点（2，8）结合图象即可求得．
【解答】解：（1）当m＝4时，则函数y＝2x+4和函数y＝4x的图象相交于点A，
{y=2x+4 {x=2
由 ，解得 ，
y=4x y=8
∴点A的坐标为（2，8）；
（2）在函数y＝2x+m中，当x＝2时，y＝4+m，
把点（2，4+m）代入y＝mx得4+m＝2m
解得m＝4，
∵当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝2x+m的值都大于函数y＝mx（m≠0）的值，
∴2＜m≤4．
【点评】本题是两条直线相交或平行问题，考查的是求两条直线的交点，一次函数和不等式的关系，
数形结合解答此题的关键．
23．（5分）（2025•西城区二模）某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，
先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
（1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分
中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
第22页（共35页）80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分 5组：第1组50≤x＜60，第2组60≤x＜70，第3组
70≤x＜80，第4组80≤x＜90，第5组90≤x≤100）
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80 m
乙 78 n 72
根据以上信息，解答下列问题：
①m的值为 8 0 ，n的值位于乙款软件评分的第 3 组；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足90≤x≤100的约为 18 0 个；
（2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2
各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
维度 维度1 维度2 维度3 维度4
软件
甲 94 k 92 93
乙 91 93 93 92
①乙款软件的评分为 92. 2 分 ；
②若甲款软件的评分更高，则表中k（k为整数）的最小值为 9 1 ．
【考点】频数（率）分布直方图；加权平均数；中位数；众数；用样本估计总体．
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【专题】统计的应用；数据分析观念．
【答案】（1）①80、3；②180；
（2）①92.2分；②91．
【分析】（1）①根据众数和中位数的定义求解即可；②用总个数乘以样本中满足90≤x≤100的数量所
第23页（共35页）占比例即可；
（2）①根据加权平均数的定义列式计算即可；
②根据“甲款软件的评分更高”，利用加权平均数的定义列出关于k的不等式，解之即可．
【解答】解：（1）①甲款软件评分的众数m＝80，
乙款软件评分的中位数是第10、11个数据的平均数，而这2个数据均位于第3组，
所以乙款软件评分的中位数落在第3组，
故答案为：80，3；
3
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足90≤x≤100的约为1200× =180（个），
20
故答案为：180；
（2）①乙款软件的评分为91×30%+93×30%+93×20%+92×20%＝92.2（分），
故答案为：92.2分．
②若甲款软件的评分更高，则94×30%+30%k+92×20%+93×20%＞92.2，
解得k＞90，
∵k为整数，
∴k的最小值为91，
故答案为：91．
【点评】本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条
件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．（6分）（2025•西城区二模）如图， O为△ABC的外接圆，点A为^BAC的中点， O的切线AD
交BO的延长线于点D，BD交AC于点E⊙．连接OA，OC，且∠AOC＝2∠AED． ⊙
（1）求证：∠DAE＝∠AED；
（2）若AD＝1，求BC的长．
【考点】切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心．
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【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；与圆有关的位置关系；图形的相似；运算
能力；推理能力．
【答案】见试题解答内容
第24页（共35页）【分析】（1）由切线的性质得∠OAD＝90°，则∠OAC＝90°﹣∠DAE，由OA＝OC，得∠OCA＝
∠OAC，则∠AOC＝180°﹣2∠OAC＝2∠DAE，而∠AOC＝2∠AED，所以∠DAE＝∠AED；
（2）设BD交 O于点L，连接并且延长AO交BC于点F，连接AL，由垂径定理证明AF垂直平分
BC，则∠AFB⊙＝∠FAD＝90°，所以BC∥AD，则∠LAE＝∠LBC＝∠D，可证明△AEL∽△DEA，得
∠ALE＝∠DAE＝∠AED，推导出∠OAE＝∠OAB＝90°﹣∠OAL＝∠DAL，进而证明∠AOD＝∠D＝
45°，则OB＝OC＝OA＝AD＝1，再证明∠BOC＝90°，求得BC=√2．
【解答】（1）证明：∵ O的切线AD交BO的延长线于点D，
∴AD⊥OA， ⊙
∴∠OAD＝90°，
∴∠OAC＝90°﹣∠DAE，
∵OA＝OC，
∴∠OCA＝∠OAC，
∴∠AOC＝180°﹣∠OCA﹣∠OAC＝180°﹣2∠OAC＝180°﹣2（90°﹣∠DAE）＝2∠DAE，
∵∠AOC＝2∠AED，
∴2∠DAE＝2∠AED，
∴∠DAE＝∠AED．
（2）解：设BD交 O于点L，连接并且延长AO交BC于点F，连接AL，
∵点A为^BAC的中⊙点，
∴^AB=^AC，AF垂直平分BC，
∴∠AFB＝∠FAD＝90°，
∴BC∥AD，
∴∠LAE＝∠LBC＝∠D，
∵∠AEL＝∠DEA，
∴△AEL∽△DEA，
∴∠ALE＝∠DAE＝∠AED，
∵BL是 O的直径，
∴∠BAL⊙＝90°，
∵AB＝AC，AF⊥BC，
∴∠OAE＝∠OAB＝90°﹣∠OAL＝∠DAL，
∴∠AOD＝∠AED﹣∠OAE＝∠ALE﹣∠DAL＝∠D＝45°，
∴OB＝OC＝OA＝AD＝1，
第25页（共35页）∴∠OCB＝∠OBC＝∠D＝45°，
∴∠BOC＝90°，
∴BC=√OB2+OC2=√2，
∴BC的长是√2．
【点评】此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、平行线的判定与性质、
圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
25．（5分）（2025•西城区二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明
家到幼儿园的路程为8km，幼儿园到小明妈妈单位的路程为3km，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载
重行驶，如表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）P与小明妈妈独自行
驶和载重行驶状态下可行驶的路程S （单位：km）和S （单位：km）的部分数据：
1 2
P 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100%
S 0 3 7 15 23 31 39
1
S 0 2 4 9 15 22 30
2
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画S 与P，S 与P之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，
1 2
补全这两个函数的图象；
（2）根据上述数据和函数图象，解决下列问题：
①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶 7. 1 km（结果精确到
0.1）；
②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为 30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车 不能
（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园；
③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为 44%
（精确到1%）．
第26页（共35页）【考点】函数的图象．
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【专题】函数及其图象．
【答案】（1）图象见解析；（2）①7.1；②不能；③44%．
【分析】（1）根据给定的表格数据，在平面直角坐标系中，分别找出 S 与P、S 与P对应的坐标点，
1 2
然后用平滑曲线连接这些点，即可补全函数图象．例如对于S 与P，有（0%，0），（10%，3）等点；
1
对于S 与P，有（0%，0），（10%，2）等点；
2
（2）①先根据函数图象或数据找到 P＝50% 时，S 和S 的值，然后计算两者差值；
1 2
②找到 P＝30% 时S 的值，与小明家到幼儿园的路程8km比较大小；
2
③小明家到幼儿园路程为8km，幼儿园到单位路程为3km，分别估算对应的P值，相加即可得解．
【解答】解：（1）如图，
（2）①从表格数据或图象估算，当 P＝50%时，S ≈19.1，S ≈12，
1 2
∴S ﹣S ≈19.1﹣12＝7.1km，
1 2
故答案为：7.1；
②从表格数据或图象估算，当P＝30%时，S 的值约为6.5km，
2
∵6.5＜8，
第27页（共35页）∴不能将小明送到幼儿园，
故答案为：不能；
③观察S 的数据，当P＝34%时，S ＝8，
2 2
观察S 的数据，当P＝10%时，S ＝3，
1 1
∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为10%+34%＝44%，
故答案为：44%．
【点评】本题主要考查函数图象的绘制、函数值的读取与计算以及利用函数模型解决实际问题．解题
关键在于准确分析表格数据，合理绘制函数图象，通过函数关系解决路程与电量相关的实际问题．
26．（6分）（2025•易门县二模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax经过点A（3，3）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）已知M（x ，m）（x ＞0）和N（m，n）是抛物线上的两个点，且n＞m总成立，求x 的取值范
0 0 0
围．
【考点】二次函数综合题．
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【专题】代数综合题；二次函数图象及其性质；运算能力．
【答案】（1）（1，﹣1）；
（2）0＜x ＜2或x ＞3．
0 0
【分析】（1）将点A坐标代入求解即可；
（2）法一：分别表示出n和m，再利用作差法可得n﹣m＝（m﹣x ）（m+x ﹣2）＞0，进而代入建立
0 0
关于x 的不等式求解即可；
0
法二：数形结合：结合函数图象，利用对称性和增减性求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣2ax过点A（3，3），
∴9a﹣6a＝3，
∴a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x，
∴抛物线的顶点坐标为（1，﹣1）；
（2）法一：∵M（x ，m）和N（m，n）在抛物线y＝x2﹣2x上，
0
∴m=x2-2x ，n＝m2﹣2m，
0 0
∴n﹣m＝（m﹣x ）（m+x ﹣2）＞0，
0 0
∴(x2-3x )(x2-x -2)＞0，
0 0 0 0
∴x （x ﹣3）（x ﹣2）（x +1）＞0，
0 0 0 0
第28页（共35页）∵x ＞0，
0
∴x （x +1）＞0，
0 0
∴（x ﹣3）（x ﹣2）＞0，
0 0
∴x ＞3或x ＜2，
0 0
∴x ＞3或0＜x ＜2
0 0
法二：∵M（x ，m）在抛物线y＝x2﹣2x上，
0
∴n＝m2﹣2m，
令m＝n，则m2﹣2m＝m，
∴m＝0或m＝3．
∴当n＞m时，结合函数y＝x2﹣2x的图象可得﹣1≤m＜0或m＞3．
当﹣1≤m＜0时，结合函数m=x2-2x 的图象可得0＜x ＜2；
0 0 0
当m＞3时，结合函数m=x2-2x 的图象可得x ＜﹣1或x ＞3；
0 0 0 0
∵x ＞0，
0
∴x ＞3，
0
综上所述，x 的取值范围是0＜x ＜2或x ＞3．
0 0 0
【点评】本题主要考查求二次函数解析式、顶点坐标、二次函数点的坐标特征、二次函数的图象和性
质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
27．（7分）（2025•西城区二模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝2 （0°＜ ＜90°），点D为边
BC上一点（BD＞CD），连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转2 得到α线段AEα，连接ED交AC于
点F，连接CE． α
（1）求证：CA平分∠BCE；
（2）若点M，N，H分别为BC，DE，DF的中点，连接MH，补全图形，用等式表示线段MH与NH
之间的数量关系，并证明．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
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第29页（共35页）【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；推理能力．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）补全图形见解答过程，MH＝NH，证明见解答过程．
【分析】（1）由AC＝AB，可得∠B＝∠ACB，证明△CAE≌△BAD（SAS），有∠B＝∠ACE，故
∠ACB＝∠ACE，CA平分∠BCE；
1
（2）根据已知补全图形，连接AM，AN，在MB上取MK＝MD，连接AK，证明NH＝DN﹣DH=
2
1 1
（DE﹣DF）= EF，MH= KF，再证△ABK≌△ACD（SAS），得∠BAK＝∠CAD，即可证明
2 2
△KAF≌△EAF（SAS），得KF＝EF，从而MH＝NH．
【解答】（1）证明：∵线段AD绕点A逆时针旋转2 得到线段AE，
∴AE＝AD，∠DAE＝2 ＝∠BAC， α
∴∠CAE＝∠BAD， α
∵AC＝AB，
∴∠B＝∠ACB，△CAE≌△BAD（SAS），
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ACB＝∠ACE，
∴CA平分∠BCE；
（2）解：MH＝NH，证明如下：
补全图形如下：
连接AM，AN，在MB上取MK＝MD，连接AK，如上图，
∵N为DE，中点，H为DF中点，
1 1
∴DN= DE，DH= DF，
2 2
1 1
∴NH＝DN﹣DH= （DE﹣DF）= EF，
2 2
第30页（共35页）∵H为DF的中点，DM＝KM，
∴MH为△DFK的中位线，
1
∴MH= KF，
2
∵AB＝AC，M为BC中点，
∴∠AMD＝∠AMK＝90°，
∵DM＝KM，
∴AK＝AD，
∵AD＝AE，
∴AK＝AE，
∵BM＝CM，KM＝DM，
∴BK＝CD，
∵AB＝AC，∠B＝∠ACB，
∴△ABK≌△ACD（SAS），
∴∠BAK＝∠CAD，
∵∠BAC＝∠DAE＝2 ，
∴∠BAC﹣∠BAK＝∠αDAE﹣∠CAD，即∠KAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△KAF≌△EAF（SAS），
∴KF＝EF，
1 1
∵MH= KF，NH= EF，
2 2
∴MH＝NH．
【点评】本题考查旋转的性质，全等三角形判定与性质，三角形中位线定理的应用等，解题的关键是
作辅助线，构造全等三角形解决问题．
28．（7分）（2025•西城区二模）给定线段MN和位于直线MN同一侧的两点P，Q，若在线段MN上
（不含端点M，N）存在点K，使得∠PKM＝∠QKN且PK＝QK，则称点P与Q关于线段MN等角等
距．在平面直角坐标系xOy中，已知点S（2，0）．
（1）点T的坐标为（0，1），
3
①在点A(-2，1)，B(2，1)，C(2， )，D（2，3）中，与点S关于线段OT等角等距的点是
2
B 、 C ；
第31页（共35页）②点E是直线y＝x上一点，若在以点S为圆心，1为半径的圆上总能找到一点与点E关于线段OT等
√2
角等距，则点E的横坐标x 的取值范围是 1≤x ＜2+ ；
E E 2
（2）已知点F（0，m）（m＞0），在以O为圆心，1为半径的圆上存在点H，使得点F与S关于线段
OH等角等距，直接写出m的取值范围．
【考点】一次函数综合题．
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【专题】新定义；推理能力．
√2
【答案】（1）①B、C；②1≤x ＜2+ ；
E 2
（2）0＜m＜2或2＜m＜2√3．
【分析】（1）①由定义可知PQ∥MN，且PQ中垂线与MN交于点K，据此求解即可；
②由题易得1≤x ≤3，利用临界值：EQ的中垂线刚好过点T时，此时E（n，n），Q（n，2﹣n），进
E
而利用勾股定理建立方程求解即可；
（2）已知点F（0，m）（m＞0），在以O为圆心，1为半径的圆上存在点H，使得点F与S关于线段
OH等角等距，直接写出m的取值范围．
【解答】解：（1）①由定义可知，∠PKM＝∠QKN，且PK＝QK，
∴PQ∥MN，且PQ中垂线与MN交于点K，
根据定义，显然，与点S关于线段OT等角等距的点是B、C；
第32页（共35页）故答案为：B、C；
②由题可知，即与点E关于线段OT等角等距的点Q在 S上，
根据定义可知，首先EQ∥OT， ⊙
∴1≤x ≤3，
E
当Q在x轴下方时，
若EQ的中垂线刚好过点T时，此时E（n，n），Q（n，2﹣n），
则（n﹣2）2+（2﹣n）2＝12，
√2
解得n=2+ ，
2
√2
∴1≤x ＜2+ ；
E 2
√2
故答案为：1≤x ＜2+ ；
E 2
（2）先在y轴上随便选取一点F，如图，
则作FS的垂直平分线l，
第33页（共35页）过点O作OH⊥l交 O于H，
只要满足OH与直线⊙l有交点，且交点不是端点O或H即可，
那么第一个临界状态即为直线l过点O，此时F（0，m），S（2，0），
m
则FS中点G(1， )，
2
此时△GAO为等腰直角三角形，
∴m＝2，
故当0＜m＜2时，符合题意；
当m＞2时，同理可得，当直线l与 O相切于H时，OH∥FS，
过点G作GK⊥y轴， ⊙
此时KG＝OH＝1，
∴△GKT≌△OHT，
∴OT＝GT，则ST平分∠OSF，
∴∠OST＝∠GST＝∠TFS＝30°，
∴m＝2√3，
∴2＜m＜2√3；
第34页（共35页）综上所述，0＜m＜2或2＜m＜2√3．
【点评】本题主要在圆的背景下考查新定义题型，正确理解题意是解题的关键．
第35页（共35页）
