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16.1 二次根式
知识点1：二次根式的定义
（1）√3−2x；（2）√3x+1；（3） √x+1 ；
一般地，我们把形如 |x|−2 的式子叫做二次根式。二次根式的实质是一个非负数数 a的算
数平方根。
注意：二次根式从形式上看，应含有二次根号；被开方数的取值范围有限制即被开方数a必须是非负数
。二次根式无意义的条件是因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时， 没有意义。
知识点2：二次根式的性质
√ ( x−1) 2
（1）二次根式的非负性， 的最小值是 0；也就是说 （ ）是一个非负数，即
√a≥0(a≥0)
。
√a≥0(a≥0)
注：因为二次根式 表示a的算术平方根，这个性质在解答题目时应用较多，如
若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。
（2） （ ）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。注：二次根式的性质公式
（ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则
，如：
（3）
知识点3： 与 的异同点
（1）不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a的算术平方根的
平方，而 表示一个实数a的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a可以
是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的
运算的结果是有差别的， ，而
（2）相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而
.【例题1】（2019•山东省济宁市 ）下列计算正确的是（ ）
A． ＝﹣3 B． ＝ C． ＝±6 D．﹣ ＝﹣0.6
2
【例题2】（2020•常德）若代数式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
√2x−6
一、选择题
1．（2020•绥化）化简|√2−3|的结果正确的是（ ）
A．√2−3 B．−√2−3 C．√2+3 D．3−√2
2.（2019湖南益阳）下列运算正确的是（ ）
A． ＝﹣2 B．（2 ）2＝6 C． + ＝ D． × ＝
3.若代数式 + 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
4.当1＜a＜2时，代数式 +|1﹣a|的值是（ ）
A． ﹣1 B． 1 C． 2a﹣3 D． 3﹣2a
5.把 根号外的因式移到根号内，得( )
A． B． C． D．
6．要使代数式 有意义，则x的（ ）A． 最大值是 B． 最小值是 C． 最大值是 D． 最小值是
7．要使式子 有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＞1 B．x＞﹣1 C．x≥1 D．x≥﹣1
8．若二次根式 有意义，则 a 的取值范围是（ ）
A．a≥2 B．a≤2 C．a＞2 D．a≠2
9．式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1
10．实数 a，b 在数轴上对应点的位置如图，化简|a|+ 的结果是（ ）
A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b
11．下列各式变形中，正确的是（ ）
A．x2•x3=x6B． =|x|
C．（x2﹣ ）÷x=x﹣1 D．x2 ﹣x+1=（x﹣ ）2+
12．下列结论正确的是（ ）
A． 3a3b﹣a2b=2
B． 单项式﹣x2的系数是﹣1
C． 使式子 有意义的x的取值范围是x＞﹣1
D． 若分式 的值等于0，则a=±1X k B 1 . c o m
13．若代数式 + 有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A． x≠1 B． x≥0 C． x≠0 D． x≥0且x≠1
14．下列哪一个选项中的等式不成立？（ ）
A． =34 B． =（﹣5）3
C． =32×55 D． =（﹣3）2×（﹣5）4
二、填空题
√x−1
15．（2020•苏州）使 在实数范围内有意义的x的取值范围是 ．
3
16．若y= + +2，则xy= ．17．若y= ﹣2，则（x+y）y= ．
18.若 =3﹣x，则x的取值范围是 ．
三、解答题
19.计算
20.已知a、b、c为△ABC的三边长，化简
21.实数 在数轴上对应的点如图：
化简 .
22.x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1) ； (2)
