文档内容
2019-2020 学年河南省平顶山市汝州市九年级（上）期末
数学试卷
副标题
题号 一 二 三 总分
得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）
一个菱形的边长是方程x2−8x+15=0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱
形的面积为()
1.
A. 48 B. 24 C. 24或40 D. 48或80
在一个密闭不透明的袋子里有若干个白球．为估计白球个数，小何向其中投入8
个黑球，搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复摸
2.
球400次，其中88次摸到黑球，则估计袋中大约有白球()
A. 18个 B. 28个 C. 36个 D. 42个
如图，已知AB//CD//EF，它们依次交直线l 、l 于点
1 2
A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF=3：1，BE=10，
3.
那么CE等于()
10 20 5 15
A. B. C. D.
3 3 2 2
如图，是由几个大小相同的小立方块所搭几何体的俯视图，其中小
正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，你认为从左面看
4.
到的这个几何体的形状图是()
A. B. C. D.
1
已知函数y=− ，当x≥−1时，y的取值范围是()
x
5. A. y≥1 B. y≤1 C. y≥1或y<0 D. y≤1或y>0
在下列网格中，小正方形的边长为1，点A，B，O
都在格点上，求∠A的余弦值()
6.
√5
A.
5
√5
B.
10
2√5
C.
5
1
D.
2
某数学社团开展实践性研究，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，
继续向北走105m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北编东53°方
7.
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1 13
向．请计算一下南门A与历下亭C之间的距离约为()(参考数据：tan37°≈ ，
4
4
tan53°≈ )
3
A. 225m B. 275m C. 300m D. 315m
如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B(−1,3)，
与x轴的交点A在点(−3,0)和(−2,0)之间，以下结论：
8.
①b2−4ac=0，②2a−b=0，③a+b+c<0；
④c−a=3，其中正确的有()个．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的
解析式为()
9.
A. y=(x+1) 2+1 B. y=(x−1) 2+1
C. y=(x−1) 2+7 D. y=(x+1) 2+7
某公司今年4月的营业额为2500万元，按计划第二季度的总营业额要达到9100
万元，设该公司5，6两月的营业额的月平均增长率为x.根据题意列方程，则下列
10.
方程正确的是()
A. 2500(1+x) 2=9100
B. 2500(1+x％) 2=9100
C. 2500(1+x)+2500(1+x) 2=9100
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x) 2=9100
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，现
把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线
11.
的解析式为______．
如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(
12. 第 页，共 页
2 2两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，
且栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为xm，则根据
题意，可列方程为____．
k
如图，点A、B在反比例函数y= (k>0,x>0)的图
x
13. 象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为M、
N，延长线段AB交x轴于点C，若OM=MN=NC，
△AOC的面积为6，则k的值为______ ．
如图，矩形OABC的两边落在坐标轴上，反比例
k
14. 函数y= 的图象在第一象限的分支过AB的中点D
x
交OB于点E，连接EC，若△OEC的面积为12，
则k=______．
如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC
上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对
15.
应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为
______．
三、解答题（本大题共14小题，共123.0分）
如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平
分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点
16.
F，⊙O是△BEF的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：
CD=HF；
(3)若CD=1，EH=3，求BF及AF长．
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3 1如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点
D，AE⊥DC，垂足为E，F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE．
17.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE=6，∠D=30°，求图中阴影部分的面积．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD与过点
C的切线互相垂直，垂足为点D，AD交⊙O于点E，连
18.
接CE，CB．
(1)求证：CE=CB；
(2)若AC=2√5，CE=√5，求AE的长．
如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=90°，四边
形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连
19.
接CD并延长交AB的延长线于点F．
(1)求证：CF是⊙O的切线；
(2)若∠F=30°，EB=4，求图中阴影部分的
面积(结果保留根号和π)
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4 2如图，点A是⊙O直径BD延长线上的一点，C在⊙O上，AC=BC，AD=CD
(1)求证：AC是⊙O的切线；
20.
(2)若⊙O的半径为2，求△ABC的面积．
如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交
AB于点E．
21.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若AE：EB=1：2，BC=6，求AE的长．
在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=x2−4x+2m−1的顶点为C，图象与x
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5 1轴交于A、B两点(点A在点B的左侧)．
(1)求m的取值范围；
(2)当m取最大整数时，求△ABC的面积．
春节期间的一天晚上，小玲和小林去看灯展，当小林站
在灯杆AB和灯杆CD之间的F点处，小林的身高为
23.
EF，小玲发现了奇怪的一幕：小林在灯A的照射下，
影子恰好落在灯杆CD的底部B点处，小林在灯C的照
射下，影子恰好落在灯杆AB的底部B点处．如图，已
知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、
F，且AB=2m，CD=6m，求小林的身高EF．
如图，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需要绕行B地，已
知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，C地位于B地南偏东30°方向，
24.
若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长(结果保留
整数)
(参考数据：sin67°≈0.92；cos67°≈0.38；√3≈1.73)
如图，已知A(−4,n)，B(2,−4)是一次函数
25. 第 页，共 页
6 2m
y=kx+b的图象和反比例函数y= 的图象的两个交点．
x
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及△AOB的面积；
(3)直接写出一次函数的值小于反比例函数值的x的取值范围．
已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折
叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．如图，已知
26.
折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．
(1)求证：△OCP △PDA；
1
(2)若tan∠PAO=∽ ，求边AB的长．
2
某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不
低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段
27.
时间内，每天销售数量y(个)与销售单价x(元)符合一次函数关系，如图所示：
(1)根据图象，直接写出y与x的函数关系式；
(2)该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元
(3)销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？
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7 1如图1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D，E分别在边AB，AC
上，AD=AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
28.
(1)观察猜想
图1中，线段PM与PN的数量关系是______，∠MPN的度数是______；
(2)探究证明
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断
△PMN的形状，并说明理由；
(3)拓展延伸
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4，AB=8，请直接写出△PMN
面积的取值范围．
如图，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直
29. 线x=−1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线
y=x−1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对
称轴交于点E．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点P在直线AB上方的抛物线上运动，若
△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．
(3)在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶
点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点
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8 2D的坐标．
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9 1答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：(x−5)(x−3)=0，
所以x =5，x =3，
1 2
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为2√52−42=6，
1
∴菱形的面积= ×6×8=24．
2
故选：B．
利用因式分解法解方程得到x =5，x =3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形
1 2
三边的关系得到菱形的边长为5，利用勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后
计算
菱形的面积．
本题考查了解一元二次方程−因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的
解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了三角形三
边的关系．也考查了三角形三边的关系和菱形的性质．
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查用样本估计总体，解题的关键是明确题意，根据摸到黑球的概率求出总体，
根据摸到黑球的概率和黑球的个数，可以求出袋中放入黑球后总的个数，然后再减去
黑球个数，即可得到白球的个数．
【解答】
解：由题意可得，
88
白球的个数大约为：8÷ −8≈28，
400
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：∵AB//CD//EF，
AD BC
∴ = =3，
DF CE
∴BC=3CE，
∵BC+CE=BE，
∴3CE+CE=10，
5
∴CE= ．
2
故选：C．
AD BC
根据平行线分线段成比例定理得到 = =3，则BC=3CE，然后利用
DF CE
BC+CE=BE=10可计算出CE的长．
本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
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10 24.【答案】D
【解析】解：由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个
正方形，第2列只有前排2个正方形，
所以从左面看到的这个几何体的形状图是：
故选：D．
由俯视图知该几何体共2列，其中第1列前一排1个正方形、后1排2个正方形，第2
列只有前排2个正方形，据此可得左视图．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．
5.【答案】C
1
【解析】解：∵函数y=− 中k=−1<0，
x
∴在每个象限内y随着x的增大而增大，
∵当x=−1时，y=1，
∴当−1≤x<0时，y≥1，
当x>0时，y<0，
即y≥1或y<0，
故选：C．
首先根据k值确定反比例函数的增减性，然后根据自变量的取值确定反比例函数的函
数值的取值范围．
本题考查了反比例函数的性质，首先根据反比例函数的比例系数确定其增减性，然后
确定函数值的取值范围，本题也可利用函数的图象解题．
6.【答案】C
【解析】解：AO=√42+22=2√5，
AC 4 2√5
cos∠A= = = ，
AO 2√5 5
故选：C．
首先把∠A放在一个直角三角形内，再求出斜边长，然
后根据余弦定义可得∠A的余弦值．
此题主要考查了勾股定理和锐角三角函数，关键是掌握余弦：锐角A的邻边b与斜边c
的比叫做∠A的余弦，记作cosA．
7.【答案】C
【解析】解：如图，作CE⊥BA于E.设EC=xm，BE= ym．
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11 1EC 4 x
在Rt△ECB中，tan53°= ，即 = ，
EB 3 y
EC 3 x
在Rt△AEC中，tan37°= ，即 = ，
AE 4 105+ y
解得x=180，y=135，
∴AC=√EC2+AE2=√1802+2402=300(m)，
故选：C．
如图，作CE⊥BA于E.设EC=xm，BE= ym.构建方程组求出x，y即可解决问题．
本题考查解直角三角形的应用−方向角等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考常考题型．
8.【答案】C
【解析】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b2−4ac>0，故①错误；
由于对称轴为x=−1，
∴x=−3与x=1关于x=−1对称，
∵x=−3时，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③正确；
b
∵对称轴为x=− =−1，
2a
∴2a−b=0，故②正确；
∵顶点为B(−1,3)，
∴y=a−b+c=3，
∴y=a−2a+c=3，
即c−a=3，故④正确；
故选：C．
根据抛物线的图象与性质即可判断．
本题考查抛物线的图象与性质，解题的关键是熟练运用抛物线的图象与性质，本题属
于中等题型．
9.【答案】A
【解析】解：将抛物线y=x2+4向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x+1) 2+4；
再向下平移3个单位为：y=(x+1) 2+4−3，即y=(x+1) 2+1．
故选：A．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关
键．
10.【答案】D
【解析】[分析]
根据题意分别表示出5月，6月的营业额进而得出等式即可．
[详解]
解：设该公司5、6两月的营业额的月平均增长率为x．
根据题意列方程得：
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12 22500+2500(1+x)+2500(1+x) 2=9100．
故选：D．
[点评]
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，正确理解题意是解题关键．
1 8
11.【答案】y=− x2+ x
25 5
【解析】【分析】
此题主要考查二次函数的基本性质及用待定系数法求出函数的解析式，比较简单，要
学会设合适的函数解析式．
由题意抛物线过点(0,0)和(40,0)，抛物线的对称轴为x=20，根据待定系数法求出函
数的解析式．
【解答】
解：因为抛物线过点(0,0)和(40,0)，
∴y=ax(x−40)①
又∵函数过点(20,16)代入①得
20a(20−40)=16，
1
解得a=− ．
25
1 8
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x；
25 5
1 8
故答案为y=− x2+ x.
25 5
12.【答案】(12−x)(8−x)=77
【解析】【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，把中间修建的两条道路分别平移到
矩形地面的最上边和最左边是解本题的关键．把所修的两条道路分别平移到矩形的最
上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】
解：∵道路的宽应为x米，
∴由题意得，(12−x)(8−x)=77，
故答案为(12−x)(8−x)=77．
13.【答案】4
【解析】解：设OM=a，
k
∵点A在反比例函数y= ，
x
k
∴AM= ，
a
∵OM=MN=NC，
∴OC=3a，
1 1 k 3
∴S = ⋅OC⋅AM= ×3a× = k=6，
△AOC 2 2 a 2
解得k=4．
故答案为：4．
设OM的长度为a，利用反比例函数解析式表示出AM的长度，再求出OC的长度，然
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13 1后利用三角形的面积公式列式计算恰好只剩下k，然后计算即可得解．
本题综合考查了反比例函数与三角形的面积，根据反比例函数的特点，用OM的长度
表示出AM、OC的长度，相乘恰好只剩下k是解题的关键，本题设计巧妙，是不错的
好题．
14.【答案】12√2
【解析】解：如图，过点D、E分别作x轴的垂线，垂
足分别为F、G，
则S =S =2S =k，
△OBC 矩 形OADF△OEG
又∵EG//BC，
∴△OEG △OBC，
S ∽OB
∴ △OBC =( ) 2=2，
S OE
△OEG
OB
∴ =√2，
OE
S OB
∴ △OBC = =√2，
S OE
△OEC
k
∴ =√2，
12
∴k=12√2．
故答案为12√2．
过点D、E分别作x轴的垂线，垂足分别为F、G，根据矩形的性质以及反比例函数系
数k的几何意义得出S =S =2S =k，由△OEG △OBC，得出
△OBC 矩 形OADF△OEG
S OB OB S∽ OB
△OBC =( ) 2=2， =√2，再根据三角形的面积公式得出 △OBC = =√2，即
S OE OE S OE
△OEG △OEC
可求出k的值．
本题考查了反比例函数系数k的几何意义，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，
OB
三角形的面积，求出 =√2是解题的关键．
OE
5 5
15.【答案】 或
2 3
【解析】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作
D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB−BM=7−x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
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14 2∴x2+(7−x) 2=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，AM=7−3=4，D′N=5−3=2，
EN=4−a，
∴a2=22+(4−a) 2，
5 5
解得a= ，即DE= ，
2 2
②当MD′=4时，AM=7−4=3，D′N=5−4=1，EN=3−a，
∴a2=12+(3−a) 2，
5 5
解得a= ，即DE= ．
3 3
5 5
故答案为： 或 ．
2 3
连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点
P，先利用勾股定理求出MD′，再分两种情况利用勾股定理求出DE．
本题主要考查了折叠问题，解题的关键是明确掌握折叠以后有哪些线段是对应相等的．
16.【答案】证明：(1)如图，连接OE．
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∴BF是圆O的直径．
∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=∠OBE，
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE//BC，
∴∠AEO=∠C=90°，
∴AC是⊙O的切线；
(2)如图，连结DE．
∵∠CBE=∠OBE，EC⊥BC于C，EH⊥AB于H，
∴EC=EH．
∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°，
∴∠CDE=∠HFE．
在△CDE与△HFE中，
{
∠CDE=∠HFE
∠C=∠EHF=90°，
EC=EH
∴△CDE △HFE(AAS)，
∴CD=HF．
≌
(3)由(2)得CD=HF，又CD=1，
∴HF=1，
在Rt△HFE中，EF=√32+12=√10，
∵EF⊥BE，
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15 1∴∠BEF=90°，
∴∠EHF=∠BEF=90°，
∵∠EFH=∠BFE，
∴△EHF △BEF，
EF HF √10 1
∴ = ∽，即 = ，
BF EF BF √10
∴BF=10，
1
∴OE= BF=5，OH=5−1=4，
2
4
∴Rt△OHE中，cos∠EOA= ，
5
OE 4
∴Rt△EOA中，cos∠EOA= = ，
OA 5
5 4
∴ = ，
OA 5
25
∴OA= ，
4
25 5
∴AF= −5= ．
4 4
【解析】本题主要考查了切线的判定，全等三角形的判定与性质，三角形相似的判定
和性质以及解直角三角形等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心
与这点(即为半径)，再证垂直即可．
(1)连接OE，由于BE是角平分线，则有∠CBE=∠OBE；而OB=OE，就有
∠OBE=∠OEB，等量代换有∠OEB=∠CBE，那么利用内错角相等，两直线平
行，可得OE//BC；又∠C=90°，所以∠AEO=90°，即AC是⊙O的切线；
(2)连结DE，先根据AAS证明△CDE △HFE，再由全等三角形的对应边相等即可
得出CD=HF．
≌
(3)先证得△EHF △BEF，根据相似三角形的性质求得BF=10，进而根据直角三
角形斜边中线的性质求得OE=5，进一步求得OH，然后解直角三角形即可求得OA，
∽
得出AF．
17.【答案】(1)证明：连接OC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵AC平分∠BAE，
∴∠OAC=∠CAE，
∴∠OCA=∠CAE，
∴OC//AE，
∴∠OCD=∠E，
∵AE⊥DE，
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16 2∴∠E=90°，
∴∠OCD=90°，
∴OC⊥CD，
∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：在Rt△AED中，
∵∠D=30°，AE=6，
∴AD=2AE=12，
在Rt△OCD中，∵∠D=30°，
∴DO=2OC=DB+OB=DB+OC，
1
∴DB=OB=OC= AD=4，DO=8，
3
∴CD=√DO2−OC2=√82−42=4√3，
CD⋅OC 4√3×4
∴S = = =8√3，
△OCD 2 2
∵∠D=30°，∠OCD=90°，
∴∠DOC=60°，
1 8
∴S = ×π×OC2= π，
扇 形OB6C 3
∵S =S −S
阴影 △COD 扇 形OBC
8π
∴S =8√3− ，
阴影 3
8π
∴阴影部分的面积为8√3− ．
3
【解析】本题主要考查了切线的判定以及扇形的面积计算，解
(1)的关键是证明OC⊥DE，解(2)的关键是求出扇形OBC
的面积，此题难度一般．
(1)连接OC，先证明∠OAC=∠OCA，进而得到
OC//AE，于是得到OC⊥CD，进而证明DE是⊙O的切
线；
(2)分别求出△OCD的面积和扇形OBC的面积，利用
S =S −S 即可得到答案．
阴影 △COD 扇 形OBC
18.【答案】(1)证明：连接OC，
∵CD是⊙O的切线，
∴OC⊥CD．
∵AD⊥CD，
∴OC//AD，
∴∠1=∠3．
又OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
即弦CE与弦CB对应的圆周角相等，
∴CE=CB；
(2)解：∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∵AC=2√5，CB=CE=√5，
第 页，共 页
17 1∴AB=√AC2+CB2=√(2√5) 2+(√5) 2=5．
∵∠ADC=∠ACB=90°，∠1=∠2，
∴△ADC △ACB，
AD AC DC AD 2√5 DC
∴ = ∽= ，即 = = ，
AC AB CB 2√5 5 √5
∴AD=4，DC=2．
在直角△DCE中，DE=√EC2−DC2=1，
∴AE=AD−ED=4−1=3．
【解析】本题考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，
相似三角形的判定与性质，解题时，注意辅助线的作法．
(1)连接OC，利用切线的性质和已知条件推知OC//AD，根据平行线的性质和圆周
角定理及圆心角、弧、弦的关系证得结论；
(2)AE=AD−ED，通过相似三角形△ADC △ACB的对应边成比例求得AD=4，
DC=2.在直角△DCE中，由勾股定理得到DE∽=√EC2−DC2=1，故AE
=AD−ED=3．
19.【答案】(1)证明：如图连接OD，
∵四边形OBEC是平行四边形，
∴OC//BE，
∴∠AOC=∠OBE，∠COD=∠ODB，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠DOC=∠AOC，
在△COD和△COA中，
{
OC=OC
∠COD=∠COA，
OD=OA
∴△COD △COA，
∴∠CAO=∠CDO=90°，
≌
∴CF⊥OD，
∴CF是⊙O的切线．
(2)解：∵∠F=30°，∠ODF=90°，
∴∠DOF=∠AOC=∠COD=60°，
∵OD=OB，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠DBO=60°，
∵∠DBO=∠F+∠FDB，
第 页，共 页
18 2∴∠FDB=∠EDC=30°，
∵EC//OB，
∴∠E=180°−∠OBD=120°，
∴∠ECD=180°−∠E−∠EDC=30°，
∴∠EDC=∠ECD，
∴EC=ED=BO，
∵∠EBO=60°，OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB，
∵EB=4，
∴OB=OD═OA=2，
在Rt△AOC中，∵∠OAC=90°，OA=2，∠AOC=60°，
∴OC=2OA=4，
∴AC=√OC2−OA2=√42−22=2√3，
1 120π⋅22 4π
∴S =2⋅S −S =2× ×2×2√3− =4√3− ．
阴 △AOC 扇 形OAD 2 360 3
【解析】本题考查切线的判定、全等三角形的判定
和性质、扇形的面积公式、等边三角形的判定和性
质、平行四边形的性质等知识，解题的关键是添加
辅助线构造全等三角形，注意寻找特殊三角形解决
问题，属于中考常考题型．
(1)欲证明CF是⊙O的切线，只要证明
∠CDO=90°，只要证明△COD △COA即可．
(2)根据条件首先证明△OBD是等边三角形，∠FDB=∠EDC=∠ECD=30°，
≌
推出DE=EC=BO=BD=OA由此根据S =2⋅S −S 即可解决问题．
阴 △AOC 扇 形OAD
20.【答案】解：(1)连接OC．
∵AC=BC，AD=CD，OB=OC，
∴∠A=∠B=∠1=∠2．
∵∠ACO=∠DCO+∠2，
∴∠ACO=∠DCO+∠1=∠BCD，
又∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠ACO=90°，
又C在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
(2)由题意可得△DCO是等腰三角形，
∵∠CDO=∠A+∠2，∠DOC=∠B+∠1，
∴∠CDO=∠DOC，即△DCO是等边三角形．
∴∠A=∠B=∠1=∠2=30°，CD=AD=2，AB=6，
∴在Rt△BCD中，BC=√BD2−CD2=√42−22=2√3，
作CE⊥AB于点E．
在Rt△BEC中，∠B=30°，
1
∴CE= BC=√3，
2
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19 11 1
∴S = AB⋅CE= ×6×√3=3√3．
△ABC 2 2
【解析】本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接
圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．
(1)连接OC，根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角，
利用等量代换证得∠ACO=90°，据此即可证得；
(2)易证∠A=∠B=∠1=∠2=30°，即可求得AB、BC的长，作CE⊥AB于点
E，求得CE的长，利用三角形面积公式求解．
21.【答案】(1)证明：如图，连接OE、EC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠BEC=90°，
∵D为BC的中点，
∴ED=DC=BD，
∴∠1=∠2，
∵OE=OC，
∴∠3=∠4，
∴∠1+∠3=∠2+∠4，
即∠OED=∠ACB，
∵∠ACB=90°，
∴∠OED=90°，
∴DE是⊙O的切线；
(2)解：由(1)知：∠BEC=90°，
∵在Rt△BEC与Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，
∴△BEC △BCA，
BE BC
∴ = ∽，
BC BA
∴BC2=BE⋅BA，
∵AE：EB=1：2，设AE=x，则BE=2x，BA=3x，
∵BC=6，
∴62=2x⋅3x，
解得：x=√6，
即AE=√6．
【解析】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出
∠OED=∠BCA和△BEC △BCA是解此题的关键．
(1)求出∠OED=∠BCA=90°，根据切线的判定得出即可；
∽
(2)求出△BEC △BCA，得出比例式，代入求出即可．
22.【答案】解：(1)∵抛物线y=x2−4x+2m−1与x轴有两个交点，令y=0．
∽
∴x2−4x+2m−1=0．
∵与x轴有两个交点，
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20 2∴方程有两个不等的实数根．
∴△>0.即△=(−4) 2−4⋅(2m−1)>0，
∴m<2.5．
(2)∵m<2.5，且m取最大整数，
∴m=2．
当m=2时，抛物线y=x2−4x+2m−1=x2−4x+3=(x−2) 2−1．
∴C坐标为(2,−1)．
令y=0，得x2−4x+3=0，解得x =1，x =3．
1 2
∴抛物线与x轴两个交点的坐标为A(1,0)，B(3,0)，
1
∴△ABC的面积为 ⋅|−1|⋅(3−1)=1．
2
【解析】(1)根据抛物线与x轴有两个交点，得到△>0，由此求得m的取值范围．
(2)利用(1)中m的取值范围确定m=2，然后根据抛物线解析式求得点A、B的坐标，
利用三角形的面积公式解答即可．
考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象与系
数的关系等知识点，解题时，注意二次函数与一元二次方程间的转化关系．
23.【答案】解：∵AB，CD，EF都与BD垂直，
∴AB//CD//EF，
∴△≝¿ △DAB，△BEF △BCD，
EF FD
∽ ∴ = ①∽
AB BD
EF BF
= ②，
CD BD
EF EF FD+BF BD
由①+②得： + = = =1，
AB CD BD BD
∵AB=2，CD=6，
EF EF
∴ + =1，
2 6
∴EF=1.5，
答：小林的身高EF为1.5m．
【解析】先根据题意得出△≝¿ △DAB，△BEF △BCD，再由相似三角形的对
应边成比例即可得出结论．
∽ ∽
本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．
24.【答案】解：过点B作BD⊥AC于点D，
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21 1∵B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520km，
∴∠ABD=67°，
∴AD=AB⋅sin67°=520×0.92=478.4km，
BD=AB⋅cos67°=520×0.38=197.6km．
∵C地位于B地南偏东30°方向，
∴∠CBD=30°，
√3
∴CD=BD⋅tan30°=197.6× ≈113.9km，
3
∴AC=AD+CD=478.4+113.9≈592(km)．
答：A地到C地之间高铁线路的长为592km．
【解析】过点B作BD⊥AC于点D，利用锐角三角函数的定义求出AD及CD的长，
进而可得出结论．
本题考查的是解直角三角形的应用−方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，
构造直角三角形解决问题，需要熟记锐角三角函数的定义．
m
25.【答案】解：∵B(2,−4)在反比例函数y= 的图象上，
x
∴m=2×(−4)=−8，
8
∴反比例函数解析式为：y=− ，
x
8
把A(−4,n)代入y=− ，
x
得−4n=−8，解得n=2，
则A点坐标为(−4,2)．
把A(−4,2)，B(2,−4)分别代入y=kx+b，
{−4k+b=2 {k=−1
得 ，解得 ，
2k+b=−4 b=−2
∴一次函数的解析式为y=−x−2；
(2)∵y=−x−2，
∴当−x−2=0时，x=−2，
∴点C的坐标为：(−2,0)，
△AOB的面积=△AOC的面积+△COB的面积
1 1
= ×2×2+ ×2×4
2 2
=6；
(3)由图象可知，当−42时，一次函数的值小于反比例函数的值．
第 页，共 页
22 2m
【解析】(1)先把B点坐标代入代入y= ，求出m得到
x
反比例函数解析式，再利用反比例函数解析式确定A点
坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式；
(2)根据x轴上点的坐标特征确定C点坐标，然后根据三
角形面积公式和△AOB的面积=S +S 进行计
△AOC △BOC
算；
(3)观察函数图象得到当−42时，一次函数图象都在反比例函数图象下方．
本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题以及待定系数法的运用，灵活运用待
定系数法是解题的关键，注意数形结合思想的正确运用．
26.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°．
由折叠，可知：∠APO=∠B=90°，
∴∠APD+∠CPO=90°．
∵∠APD+∠DAP=90°，
∴∠DAP=∠CPO，
∴△OCP △PDA；
(2)解：由折叠，可知：∠APO=∠B=90°，AP=AB，PO=BO，
∽
PO BO 1
tan∠PAO= = = ．
AP AB 2
∵△OCP △PDA，
PO OC CP 1
∴ = ∽= = ．
AP PD DA 2
∵AD=8，
∴CP=4．
设BO=x，则CO=8−x，PD=2(8−x)，
∴AB=2x=CD=PD+CP=2(8−x)+4，
解得：x=5，
∴AB=10．
【解析】(1)根据矩形及折叠的性质可得出∠APO=∠B=90°、∠C=∠D=90°，
由同角的余角相等可得出∠DAP=∠CPO，结合∠C=∠D=90°即可证出
△OCP △PDA；
PO BO 1
(2)根据折叠的性质可得出 = ∽ = ，由相似三角形的性质可得出
AP AB 2
PO OC CP 1
= = = ，结合AD=8可得出CP=4，设BO=x，则CO=8−x，
AP PD DA 2
PD=2(8−x)，由AB=CD，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，
将其代入AB=2x中即可求出结论．
本题考查了相似三角形的性质、折叠的性质、矩形的性质以及解直角三角形，解题的
关键是：(1)根据矩形的性质结合同角的余角相等，证出△OCP △PDA；(2)利用
相似三角形的性质结合AB=CD，找出关于x的一元一次方程．
∽
27.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0,b为常数)
将点(50,160)，(80,100)代入得
{160=50k+b
100=80k+b
{k=−2
解得
b=260
第 页，共 页
23 1∴y与x的函数关系式为：y=−2x+260
(2)由题意得：(x−50)(−2x+260)=3000
化简得：x2−180x+8000=0
解得：x =80，x =100
1 2
∵x≤50×(1+90%)=95
∴x =100>95(不符合题意，舍去)
2
答：销售单价为80元．
(3)设每天获得的利润为w元，由题意得
w=(x−50)(−2x+260)
=−2x2+360x−13000
=−2(x−90) 2+3200
∵a=−2<0，抛物线开口向下
∴w有最大值，当x=90时，w =3200
最大值
答：销售单价为90元时，每天获得的利润最大，最大利润是3200元．
【解析】(1)由待定系数法可得函数的解析式；
(2)根据利润等于每件的利润乘以销售量，列方程可解；
(3)设每天获得的利润为w元，由题意得二次函数，写成顶点式，可求得答案．
本题综合考查了待定系数法求一次函数的解析式、一元二次方程的应用、二次函数的
应用等知识点，难度中等略大．
28.【答案】(1)PM=PN 60° ；
(2)△PMN是等边三角形．
由旋转知，∠BAD=∠CAE，
∵AB=AC，AD=AE，
∴△ABD △ACE(SAS)，
∴∠ABD=∠ACE，BD=CE，
≌
1 1
利用三角形的中位线得，PN= BD，PM= CE，
2 2
∴PM=PN，
∴△PMN是等腰三角形，
同(1)的方法得，PM//CE，
∴∠DPM=∠DCE，
同(1)的方法得，PN//BD，
∴∠PNC=∠DBC，
∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC
=∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC
=∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC=120°，
∴∠ACB+∠ABC=60°，
∴∠MPN=60°，
∴△PMN是等边三角形；
1
(3)由(2)知，△PMN是等边三角形，PM=PN= BD，
2
∴PM最大时，△PMN面积最大，PM最小时，△PMN面积最小
∴点D在BA的延长线上，△PMN的面积最大，
∴BD=AB+AD=12，
第 页，共 页
24 2∴PM=6，
√3 √3
∴S = PM2= ×62=9√3，
△PMN最 大4 4
当点D在线段AB上时，△PMN的面积最小，
∴BD=AB−AD=4，
∴PM=2，
√3 √3
S = PM2= ×22=√3，
△PMN最 小4 4
∴√3≤S ≤9√3．
△PMN
【解析】解：(1)∵点P，N是BC，CD的中点，
1
∴PN//BD，PN= BD，
2
∵点P，M是CD，DE的中点，
1
∴PM//CE，PM= CE，
2
∵AB=AC，AD=AE，
∴BD=CE，
∴PM=PN，
∵PN//BD，
∴∠DPN=∠ADC，
∵PM//CE，
∴∠DPM=∠DCA，
∵∠BAC=120°，
∴∠ADC+∠ACD=60°，
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=60°，
故答案为：PM=PN，60°；
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定
和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解(1)的关键是判
1 1
断出PM= CE，PN= BD，解(2)的关键是判断出△ABD △ACE，解(3)的关
2 2
键是点D在线段AB和BA的延长线上时，△PMN的面积≌最小和最大．
29.【答案】解：(1)令y=0，可得：x−1=0，解得：x=1，
∴点A(1,0)，
∵抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x=−1，
∴−1×2−1=−3，即点C(−3,0)，
{ a+b+3=0 {a=−1
∴ ，解得： ，
9a−3a+3=0 b=−2
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x+3；
(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P(m,−m2−2m+3)，
∵抛物线与直线y=x−1交于A、B两点，
{y=−x2−2x+3 {x =−4 {x =1
1 2
∴ ，解得： ， ，
y=x−1 y =−5 y =0
1 2
第 页，共 页
25 1∴点B(−4,−5)，
如图，过点P作PM// y轴交直线AB于点M，
则点M(m,m−1)，
∴PM=−m2−2m+3−m+1=−m2−3m+4，
∴S =S +S
△ABP △PBM △PBA
1 1
= (−m2−3m+4)(m+4)+ (−m2−3m+4)(1−m)
2 2
5 3 125
=− (m+ ) 2+ ，
2 2 8
3
∴当m=− 时，P最大，
2
3 15
∴点P(− , )；
2 4
(3)当x=−1时，y=−1−1=−2，
∴点E(−1,−2)，
如图，直线BC的解析式为y=5x+15，直线BE的解析式为y=x−1，直线CE的解析
式为y=−x−3，
∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D D 的解析式为y=5x+3，直线D D 的解析式为y=x+3，直线D D 的解
1 3 1 2 2 3
析式为y=−x−9，
{y=5x+3
联立 得D (0,3)，
y=x+3 1
同理可得D (−6,−3)，D (−2,−7)，
2 3
综上所述，符合条件的点D的坐标为D (0,3)，D (−6,−3)，D (−2,−7)．
1 2 3
【解析】(1)令y=0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x=−1，求出点C的
坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m,−m2−2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作
PM// y轴交直线AB于点M，利用S =S +S ，用含m的式子表示出
△ABP △PBM △PBA
△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；
(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点
B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D D 、直线D D 、直线
1 2 1 3
D D 的解析式，即可求出交点坐标．
2 3
本题主要考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条
平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，
不要漏解．
第 页，共 页
26 2
