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2019年广东省中考数学试卷
一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学
记数法表示为（ ）
A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106
3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（ ）
A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6
5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（3分）（2019•广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（
）
第1页（共25页）A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D． ＜0
8．（3分）（2019•广东）化简 的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
9．（3分）（2019•广东）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的
1 2
是（ ）
A．x ≠x B．x 2﹣2x ＝0 C．x +x ＝2 D．x •x ＝2
1 2 1 1 1 2 1 2
10．（3分）（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边
在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分
别与AB，AM交于点N、K：则下列结论： △ANH≌△GNF； ∠AFN＝∠HFG； FN＝
2NK； S△AFN ：S△ADM ＝1：4．其中正①确的结论有（ ）② ③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
11．（4分）（2019•广东）计算：20190+（ ）﹣1＝ ．
12．（4分）（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ ．
13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 ．
14．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是 ．
15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15 米，在实
验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的
第2页（共25页）高度是 米（结果保留根号）．
16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图
所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样
的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 （结果用含a，b代数式表示）．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）（2019•广东）解不等式组：
18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
19．（6分）（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ＝2，求 的值．
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男
生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图
第3页（共25页）表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝ ，y＝ ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育
锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
21．（7分）（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知
每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶
点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的 与BC相切于点D，分别交
AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
（2）求图中由线段EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积．
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
第4页（共25页）23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于
A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞ 的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP ：S△BOP ＝1：2，求点P的坐标．
24．（9分）（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，过点C作
∠BCD＝∠ACB交 O于点D，连接AD交BC于点E，⊙延长DC至点F，使CF＝AC，连接
AF． ⊙
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是 O的切线；
（3）如图2，若点⊙G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+ x﹣ 与x
轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x
轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD ⊥x轴于点D ，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，
1 1
第5页（共25页）点M为垂足，使得△PAM与△DD A相似（不含全等）．
1
求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
①直接回答这样的点P共有几个？
②
第6页（共25页）2019 年广东省中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题10小题,每小题3分,共30分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正
确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.
1．（3分）（2019•广东）﹣2的绝对值是（ ）
A．2 B．﹣2 C． D．±2
【考点】绝对值．
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【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，即可解答．
【解答】解：|﹣2|＝2，故选：A．
2．（3分）（2019•广东）某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学
记数法表示为（ ）
A．2.21×106 B．2.21×105 C．221×103 D．0.221×106
【考点】科学记数法—表示较大的数．
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【分析】根据有效数字表示方法，以及科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|
＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与
小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：将221000用科学记数法表示为：2.21×105．
故选：B．
3．（3分）（2019•广东）如图，由4个相同正方体组合而成的儿何体，它的左视图是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
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第7页（共25页）【分析】左视图是从左边看得出的图形，结合所给图形及选项即可得出答案．
【解答】解：从左边看得到的是两个叠在一起的正方形，如图所示．
故选：A．
4．（3分）（2019•广东）下列计算正确的是（ ）
A．b6+b3＝b2 B．b3•b3＝b9 C．a2+a2＝2a2 D．（a3）3＝a6
【考点】合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
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【分析】直接利用合并同类项法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘法运算法则分别
化简得出答案．
【解答】解：A、b6+b3，无法计算，故此选项错误；
B、b3•b3＝b6，故此选项错误；
C、a2+a2＝2a2，正确；
D、（a3）3＝a9，故此选项错误．
故选：C．
5．（3分）（2019•广东）下列四个银行标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是
（ ）
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形；中心对称图形．
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【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项正确；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．
故选：C．
6．（3分）（2019•广东）数据3，3，5，8，11的中位数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考点】中位数．
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【分析】先把原数据按从小到大排列，然后根据中位数的定义求解即可．
第8页（共25页）【解答】解：把这组数据按照从小到大的顺序排列为：3，3，5，8，11，
故这组数据的中位数是，5．
故选：C．
7．（3分）（2019•广东）实数a、b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（
）
A．a＞b B．|a|＜|b| C．a+b＞0 D． ＜0
【考点】绝对值；实数与数轴．
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【分析】先由数轴可得﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，且|a|＞|b|，再判定即可．
【解答】解：由图可得：﹣2＜a＜﹣1，0＜b＜1，
∴a＜b，故A错误；
|a|＞|b|，故B错误；
a+b＜0，故C错误；
＜0，故D正确；
故选：D．
8．（3分）（2019•广东）化简 的结果是（ ）
A．﹣4 B．4 C．±4 D．2
【考点】算术平方根．
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【分析】根据算术平方根的含义和求法，求出16的算术平方根是多少即可．
【解答】解： ＝ ＝4．
故选：B．
9．（3分）（2019•广东）已知x ，x 是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，下列结论错误的
1 2
是（ ）
A．x ≠x B．x 2﹣2x ＝0 C．x +x ＝2 D．x •x ＝2
1 2 1 1 1 2 1 2
【考点】根与系数的关系．
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【分析】由根的判别式△＝4＞0，可得出x ≠x ，选项A不符合题意；将x 代入一元二次方
1 2 1
程x2﹣2x＝0中可得出x 2﹣2x ＝0，选项B不符合题意；利用根与系数的关系，可得出
1 1
x +x ＝2，x •x ＝0，进而可得出选项C不符合题意，选项D符合题意．
1 2 1 2
第9页（共25页）【解答】解：∵△＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴x ≠x ，选项A不符合题意；
1 2
∵x 是一元二次方程x2﹣2x＝0的实数根，
1
∴x 2﹣2x ＝0，选项B不符合题意；
1 1
∵x ，x 是一元二次方程x2﹣2x＝0的两个实数根，
1 2
∴x +x ＝2，x •x ＝0，选项C不符合题意，选项D符合题意．
1 2 1 2
故选：D．
10．（3分）（2019•广东）如图，正方形ABCD的边长为4，延长CB至E使EB＝2，以EB为边
在上方作正方形EFGB，延长FG交DC于M，连接AM，AF，H为AD的中点，连接FH分
别与AB，AM交于点N、K：则下列结论： △ANH≌△GNF； ∠AFN＝∠HFG； FN＝
2NK； S△AFN ：S△ADM ＝1：4．其中正①确的结论有（ ）② ③
④
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质；相似三角形的判定与性质．
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【分析】由正方形的性质得到FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，AD＝4，AH＝2，∠BAD＝90°，求
得∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，根据全等三角形的定理定理得到△ANH≌△GNF（AAS），
故 正确；根据全等三角形的性质得到∠AHN＝∠HFG，推出∠AFH≠∠AHF，得到
①
∠AFN≠∠HFG，故 错误；根据全等三角形的性质得到AN＝ AG＝1，根据相似三角形
②
的性质得到∠AHN＝∠AMG，根据平行线的性质得到∠HAK＝∠AMG，根据直角三角形
的性质得到FN＝2NK；故 正确；根据矩形的性质得到DM＝AG＝2，根据三角形的面积
公式即可得到结论． ③
【解答】解：∵四边形EFGB是正方形，EB＝2，
∴FG＝BE＝2，∠FGB＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，H为AD的中点，
∴AD＝4，AH＝2，
∠BAD＝90°，
∴∠HAN＝∠FGN，AH＝FG，
第10页（共25页）∵∠ANH＝∠GNF，
∴△ANH≌△GNF（AAS），故 正确；
∴∠AHN＝∠HFG， ①
∵AG＝FG＝2＝AH，
∴AF＝ FG＝ AH，
∴∠AFH≠∠AHF，
∴∠AFN≠∠HFG，故 错误；
∵△ANH≌△GNF， ②
∴AN＝ AG＝1，
∵GM＝BC＝4，
∴ ＝ ＝2，
∵∠HAN＝∠AGM＝90°，
∴△AHN∽△GMA，
∴∠AHN＝∠AMG，
∵AD∥GM，
∴∠HAK＝∠AMG，
∴∠AHK＝∠HAK，
∴AK＝HK，
∴AK＝HK＝NK，
∵FN＝HN，
∴FN＝2NK；故 正确；
∵延长FG交DC③于M，
∴四边形ADMG是矩形，
∴DM＝AG＝2，
∵S△AFN ＝ AN•FG＝ 2×1＝1，S△ADM ＝ AD•DM＝ ×4×2＝4，
∴S△AFN ：S△ADM ＝1：4故 正确，
故选：C． ④
第11页（共25页）二.填空题（本大题6小题，每小题4分，共24分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相
应的位置上.
11．（4分）（2019•广东）计算：20190+（ ）﹣1＝ 4 ．
【考点】有理数的加法；零指数幂；负整数指数幂．
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【分析】分别计算负整数指数幂、零指数幂，然后再进行实数的运算即可．
【解答】解：原式＝1+3＝4．
故答案为：4．
12．（4分）（2019•广东）如图，已知a∥b，∠1＝75°，则∠2＝ 105 ° ．
【考点】平行线的性质．
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【分析】根据平行线的性质及对顶角相等求解即可．
【解答】解：∵直线L直线a，b相交，且a∥b，∠1＝75°，
∴∠3＝∠1＝75°，
∴∠2＝180°﹣∠3＝180°﹣75°＝105°．
故答案为：105°
13．（4分）（2019•广东）一个多边形的内角和是1080°，这个多边形的边数是 8 ．
【考点】多边形内角与外角．
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【分析】根据多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）可得方程180（x﹣2）＝1080，再解方
程即可．
第12页（共25页）【解答】解：设多边形边数有x条，由题意得：
180（x﹣2）＝1080，
解得：x＝8，
故答案为：8．
14．（4分）（2019•广东）已知x＝2y+3，则代数式4x﹣8y+9的值是 2 1 ．
【考点】代数式求值；整式的加减．
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【分析】直接将已知变形进而代入原式求出答案．
【解答】解：∵x＝2y+3，
∴x﹣2y＝3，
则代数式4x﹣8y+9＝4（x﹣2y）+9
＝4×3+9
＝21．
故答案为：21．
15．（4分）（2019•广东）如图，某校教学楼AC与实验楼BD的水平间距CD＝15 米，在实
验楼顶部B点测得教学楼顶部A点的仰角是30°，底部C点的俯角是45°，则教学楼AC的
高度是 （ 15+1 5 ） 米（结果保留根号）．
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．
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【分析】首先分析图形：根据题意构造直角三角形．本题涉及到两个直角三角形△BEC、
△ABE，进而可解即可求出答案．
【解答】解：过点B作BE⊥AB于点E，
在Rt△BEC中，∠CBE＝45°，BE＝15 ；可得CE＝BE×tan45°＝15 米．
第13页（共25页）在Rt△ABE中，∠ABE＝30°，BE＝15 ，可得AE＝BE×tan30°＝15米．
故教学楼AC的高度是AC＝15 米．
答：教学楼AC的高度是（15 ）米．
16．（4分）（2019•广东）如图1所示的图形是一个轴对称图形，且每个角都是直角，长度如图
所示，小明按图2所示方法玩拼图游戏，两两相扣，相互间不留空隙，那么小明用9个这样
的图形（图1）拼出来的图形的总长度是 a + 8 b （结果用含a，b代数式表示）．
【考点】利用轴对称设计图案．
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【分析】用9个这样的图形的总长减去拼接时的重叠部分，即可得到拼出来的图形的总长
度．
【解答】解：由图可得，拼出来的图形的总长度＝9a﹣8（a﹣b）＝a+8b．
故答案为：a+8b．
三.解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）
17．（6分）（2019•广东）解不等式组：
【考点】解一元一次不等式组．
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【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分就是不等式组的
解集．
【解答】解：
解不等式组 ，得x＞3
解不等式组①，得x＞1
则不等式组②的解集为x＞3
18．（6分）（2019•广东）先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中x＝ ．
【考点】分式的化简求值．
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【分析】先化简分式，然后将x 的值代入计算即可．
第14页（共25页）【解答】解：原式＝
＝
当x＝ 时，
原式＝ ＝
19．（6分）（2019•广东）如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点．
（1）请用尺规作图法，在△ABC内，求作∠ADE，使∠ADE＝∠B，DE交AC于E；（不要求
写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若 ＝2，求 的值．
【考点】作图—基本作图；相似三角形的判定与性质．
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【分析】（1）利用基本作图（作一个角等于已知角）作出∠ADE＝∠B；
（2）先利用作法得到∠ADE＝∠B，则可判断DE∥BC，然后根据平行线分线段成比例定理
求解．
【解答】解：（1）如图，∠ADE为所作；
（2）∵∠ADE＝∠B
∴DE∥BC，
∴ ＝ ＝2．
四、解答题(二)(本大题3小题,每小题7分,共21分)
20．（7分）（2019•广东）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男
生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图
第15页（共25页）表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝ 4 ，y＝ 4 0 ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 3 6 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育
锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
【考点】频数（率）分布表；扇形统计图；列表法与树状图法．
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【分析】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝
4（名），即x＝4；扇形图中表示C的圆心角的度数360°× ＝36°；
（2）先画树状图，然后求得P（同时抽到甲，乙两名学生）＝ ＝ ．
【解答】（1）随机抽男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°× ＝36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：
第16页（共25页）P（同时抽到甲，乙两名学生）＝ ＝ ．
21．（7分）（2019•广东）某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共60个，已知
每个篮球的价格为70元，每个足球的价格为80元．
（1）若购买这两类球的总金额为4600元，求篮球，足球各买了多少个？
（2）若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？
【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用．
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【分析】（1）设购买篮球x个，购买足球y个，根据总价＝单价×购买数量结合购买篮球、足
球共60个\购买这两类球的总金额为4600元，列出方程组，求解即可；
（2）设购买了a个篮球，则购买（60﹣a）个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球
的总金额，列不等式求出x的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设购买篮球x个，购买足球y个，
依题意得： ．
解得 ．
答：购买篮球20个，购买足球40个；
（2）设购买了a个篮球，
依题意得：70a≤80（60﹣a）
解得a≤32．
答：最多可购买32个篮球．
22．（7分）（2019•广东）在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶
点叫格点，△ABC的三个顶点均在格点上，以点A为圆心的 与BC相切于点D，分别交
AB、AC于点E、F．
（1）求△ABC三边的长；
第17页（共25页）（2）求图中由线段EB、BC、CF及 所围成的阴影部分的面积．
【考点】勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算．
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【分析】（1）根据勾股定理即可求得；
（2）根据勾股定理求得AD，由（1）得，AB2+AC2＝BC2，则∠BAC＝90°，根据S阴 ＝S△ABC ﹣
S扇形AEF 即可求得．
【解答】解：（1）AB＝ ＝2 ，
AC＝ ＝2 ，
BC＝ ＝4 ；
（2）由（1）得，AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
连接AD，AD＝ ＝2 ，
∴S阴 ＝S△ABC ﹣S扇形AEF ＝ AB•AC﹣ •AD2＝20﹣5 ．
π π
五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)
23．（9分）（2019•广东）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝ 的图象相交于
A、B两点，其中点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
（1）根据图象，直接写出满足kx+b＞ 的x的取值范围；
（2）求这两个函数的表达式；
（3）点P在线段AB上，且S△AOP ：S△BOP ＝1：2，求点P的坐标．
第18页（共25页）【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
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【分析】（1）根据一次函数图象在反比例图象的上方，可求x的取值范围；
（2）将点A，点B坐标代入两个解析式可求k ，n，k ，b的值，从而求得解析式；
2 1
（3）根据三角形面积相等，可得答案．
【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1，4），点B的坐标为（4，n）．
由图象可得：kx+b＞ 的x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜4；
（2）∵反比例函数y＝ 的图象过点A（﹣1，4），B（4，n）
∴k ＝﹣1×4＝﹣4，k ＝4n
2 2
∴n＝﹣1
∴B（4，﹣1）
∵一次函数y＝kx+b的图象过点A，点B
∴ ，
解得：k＝﹣1，b＝3
∴直线解析式y＝﹣x+3，反比例函数的解析式为y＝﹣ ；
（3）设直线AB与y轴的交点为C，
∴C（0，3），
∵S△AOC ＝ ×3×1＝ ，
∴S△AOB ＝S△AOC +S△BOC ＝ ×3×1+ ×4＝ ，
∵S△AOP ：S△BOP ＝1：2，
第19页（共25页）∴S△AOP ＝ × ＝ ，
∴S△COP ＝ ﹣ ＝1，
∴ ×3•x ＝1，
P
∴x ＝ ，
P
∵点P在线段AB上，
∴y＝﹣ +3＝ ，
∴P（ ， ）．
24．（9分）（2019•广东）如图1，在△ABC中，AB＝AC， O是△ABC的外接圆，过点C作
∠BCD＝∠ACB交 O于点D，连接AD交BC于点E，⊙延长DC至点F，使CF＝AC，连接
AF． ⊙
（1）求证：ED＝EC；
（2）求证：AF是 O的切线；
（3）如图2，若点⊙G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．
【考点】圆的综合题．
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【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得
第20页（共25页）∠BCD＝∠ADC，从而得证；
（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝
∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得
证；
（3）证△ABE∽△CBA 得 AB2＝BC•BE，据此知 AB＝5，连接 AG，得∠BAG＝
∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合
∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB＝5．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，
∴∠BCD＝∠ADC，
∴ED＝EC；
（2）如图1，连接OA，
∵AB＝AC，
∴ ＝ ，
∴OA⊥BC，
∵CA＝CF，
∴∠CAF＝∠CFA，
∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，
∵∠ACB＝∠BCD，
∴∠ACD＝2∠ACB，
∴∠CAF＝∠ACB，
∴AF∥BC，
∴OA⊥AF，
第21页（共25页）∴AF为 O的切线；
⊙
（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，
∴△ABE∽△CBA，
∴ ＝ ，
∴AB2＝BC•BE，
∴BC•BE＝25，
∴AB＝5，
如图2，连接AG，
∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，
∵点G为内心，
∴∠DAG＝∠GAC，
又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，
∴∠BAG＝∠BGA，
∴BG＝AB＝5．
25．（9分）（2019•广东）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+ x﹣ 与x
轴交于点A、B（点A在点B右侧），点D为抛物线的顶点，点C在y轴的正半轴上，CD交x
轴于点F，△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，点A恰好旋转到点F，连接BE．
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）求证：四边形BFCE是平行四边形；
（3）如图2，过顶点D作DD ⊥x轴于点D ，点P是抛物线上一动点，过点P作PM⊥x轴，
1 1
点M为垂足，使得△PAM与△DD A相似（不含全等）．
1
求出一个满足以上条件的点P的横坐标；
①
第22页（共25页）直接回答这样的点P共有几个？
②
【考点】二次函数综合题．
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【分析】（1）利用抛物线解析式求得点A、B、D的坐标；
（2）欲证明四边形BFCE是平行四边形，只需推知EC∥BF且EC＝BF即可；
（3） 利用相似三角形的对应边成比例求得点P的横坐标，没有指明相似三角形的对应
边（角①），需要分类讨论；
根据 的结果即可得到结论．
② ①
【解答】解：（1）令 x2+ x﹣ ＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣7．
1 2
∴A（1，0），B（﹣7，0）．
由y＝ x2+ x﹣ ＝ （x+3）2﹣2 得，D（﹣3，﹣2 ）；
（2）证明：∵DD ⊥x轴于点D ，
1 1
∴∠COF＝∠DD F＝90°，
1
∵∠D FD＝∠CFO，
1
∴△DD F∽△COF，
1
∴ ＝ ，
∵D（﹣3，﹣2 ），
∴D D＝2 ，OD＝3，
1
∴D F＝2，
1
∴ ＝ ，
第23页（共25页）∴OC＝ ，
∴CA＝CF＝FA＝2，
∴△ACF是等边三角形，
∴∠AFC＝∠ACF，
∵△CAD绕点C顺时针旋转得到△CFE，
∴∠ECF＝∠AFC＝60°，
∴EC∥BF，
∵EC＝DC＝ ＝6，
∵BF＝6，
∴EC＝BF，
∴四边形BFCE是平行四边形；
（3）∵点P是抛物线上一动点，
∴设P点（x， x2+ x﹣ ），
当点P在B点的左侧时，
①∵△PAM与△DD
1
A相似，
∴ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣11或x ＝1（不合题意舍去）x ＝﹣ ；
1 2 1 2
当点P在A点的右侧时，
∵△PAM与△DD A相似，
1
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣3（不合题意舍去）或x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣
1 2 1 2
第24页（共25页）（不合题意舍去）；
当点P在AB之间时，
∵△PAM与△DD A相似，
1
∴ ＝ 或 ＝ ，
∴ ＝ 或 ＝ ，
解得：x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣3（不合题意舍去）或x ＝1（不合题意舍去），x ＝﹣
1 2 1 2
；
综上所述，点P的横坐标为﹣11或﹣ 或﹣ ；
由 得，这样的点P共有3个．
② ①
第25页（共25页）
