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绝密★启用前
2022 年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本
试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
U ={1,2,3,4,5} ð M ={1,3}
1. 设全集 ，集合M满足 U ，则（ ）
A. 2ÎM B. 3ÎM C. 4ÏM D. 5ÏM
2. 已知z =1-2i，且z+az +b=0，其中a，b为实数，则（ ）
A. a=1,b=-2 B. a=-1,b=2 C. a=1,b=2 D. a =-1,b=-2
r r r r r r r r
3. 已知向量a,b满足|a|=1,|b|= 3,|a-2b|=3，则a×b=（ ）
A. -2 B. -1 C. 1 D. 2
4. 嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研
1
1 b =1+
究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列 b ：b =1+ ， 2 1 ，
n 1 a a+
1 1 a
2
1
b =1+
3 1
a
1
+
1
，…，依此类推，其中a
k
ÎN*(k =1,2,
L
)．则（ ）
a +
2 a
3
A. b p > p >0．记该棋手连胜两盘的概率为p，则（ ）
1 2 3 3 2 1
A. p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B. 该棋手在第二盘与甲比赛，p最大
C. 该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D. 该棋手在第二盘与丙比赛，p最大
11. 双曲线C的两个焦点为F,F ，以C的实轴为直径的圆记为D，过F 作D的切线与C交于M，N两
1 2 1
3
点，且cosÐFNF = ，则C的离心率为（ ）
1 2 5
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A. B. C. D.
2 2 2 2
12. 已知函数 f(x),g(x)的定义域均为R，且 f(x)+g(2-x)=5,g(x)- f(x-4)=7．若y = g(x)的图
22
像关于直线x=2对称，g(2)=4，则 å f k=（ ）
k=1
A. -21 B. -22 C. -23 D. -24
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13. 从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为____________．
14. 过四点(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为____________．
3 p
15. 记函数 f x=coswx+j(w>0,00且a ¹1）的极小值点和极大值点．若
1 2
x < x ，则a的取值范围是____________．
1 2
三、解答题：共 0分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第 22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：共 60分．
17. 记 ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(A-B)=sinBsin(C- A)．
V
（1）证明：2a2 =b2 +c2；
25
（2）若a =5,cosA= ，求 ABC 的周长．
V
31
18. 如图，四面体ABCD中，AD ^CD,AD =CD,ÐADB =ÐBDC，E为AC的中点．
（1）证明：平面BED^平面ACD；
（2）设AB = BD =2,ÐACB =60°，点F在BD上，当△AFC的面积最小时，求CF 与平面ABD所成
的角的正弦值．
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司19. 某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选
取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：
总
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
和
根部横截面积
008
0.04 0.06 0.04 . 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
x
i
材积量y 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
i
10 10 10
并计算得 åx2 =0.038,åy2 =1.6158,åx y =0.2474．
i i i i
i=1 i=1 i=1
（1）估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
（2）求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
（3）现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为
186m2．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量
的估计值．
n
å(x -x)(y - y)
i i
附：相关系数r = i=1 , 1.896 »1.377．
n n
å(x -x)2å(y - y)2
i i
i=1 i=1
æ3 ö
20. 已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,-2,B ç ,-1 ÷两点．
è2 ø
（1）求E的方程；
（2）设过点P1,-2
的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满
uuur uuur
足MT =TH ．证明：直线HN过定点．
21. 已知函数 f x=ln1+x+axe-x
（1）当a =1时，求曲线y = f x 在点 0, f 0 处的切线方程；
（2）若 f x 在区间 -1,0,0,+¥ 各恰有一个零点，求a的取值范围．
（二）选考题，共 10分．请考生在第 22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第
一题计分．
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学科网（北京）股份有限公司[选修 4-4：坐标系与参数方程]
ìïx= 3cos2t
22. 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为í ，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正
ïîy =2sint
æ pö
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为rsin
ç
q+
÷
+m=0．
è 3ø
（1）写出l的直角坐标方程；
（2）若l与C有公共点，求m的取值范围．
[选修 4-5：不等式选讲]
3 3 3
23. 已知a，b，c都是正数，且 ，证明：
a2 +b2 +c2 =1
1
（1）abc£ ；
9
a b c 1
（2） + + £ ；
b+c a+c a+b 2 abc
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