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® 义 务 教 育 教 科 书
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八年级
上册
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务
教
育
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科
义 务 教 育 教 科 书
书
八年级 上册
YIWU JIAOYU JIAOKESHU 数
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学
八
年
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上
册
定价：10.55元
初初中中数数学学六六三三制制八八上上封封面面..iinndddd 11 22002255//66//99 1144::1155义 务 教 育 教 科 书
八年级
上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
·北 京·顾 问：林 群 田 刚
主 编：王长平
执行主编：李海东
分册主编：孙延洲
编写人员（以姓氏笔画为序）：
王 嵘 王用华 刘长明 孙延洲
胡红芳 姚 芳 袁亚良 薛 彬
责任编辑：张 伟
责任设计：王俊宏
责任校对：田 莉
责任印制：×××
义务教育教科书 数学 八年级 上册
人民教育出版社 课程教材研究所 编著
出 版
（北京市海淀区中关村南大街17号院1号楼 邮编：100081）
网 址 http://www.pep.com.cn
版权所有·侵权必究致同学
亲爱的同学，八年级的数学学习开始了．在本学期，我们将要学习哪些内
容？快来了解一下吧．
相信你对三角形并不陌生，比如我们在小学已经学过 “三角形的内角和等
于１８０°”，怎样证明这个结论呢？在 “三角形”中，你不仅能够解决这个问题，
而且能够学到研究几何图形的重要思想和方法．“全等三角形”将带你认识全
等这种图形间特殊的关系，获得判断两个三角形全等的方法，探索并证明角的
平分线的性质．学习了这些内容，你的推理能力和解决问题的能力会进一步
提升．
在我们周围的世界中，你会看到许多美丽的轴对称图形，在 “轴对称”
中，你将学习轴对称这种图形变化，并利用它研究等腰三角形这种特殊的三角
形．学习了这些内容，你感知并描述图形运动和变化规律的能力以及推理能力
会进一步提升．
我们已经学习了整式这种基本的代数式，学习了整式的加减运算，在 “整
式的乘法”中，你将类比数的运算，进一步学习整式的乘除运算，学习一些重
要的运算性质和公式，加深对 “从数到式”这个由具体到抽象的过程的认识．
在 “因式分解”中，你将学习因式分解这种与整式乘法方向相反的变形．通过
这些内容的学习，你的运算能力会进一步提升．
数有整数与分数之分，式也有整式与分式之别．在 “分式”中，你将类比
分数的概念、性质、运算，学习分式的概念、性质、运算，并学习通过建立分
式方程解决实际问题．通过这些内容的学习，你的运算能力以及应用数学的概
念、原理和方法解决实际问题的能力会进一步提升．
此外，综合与实践 “确定匀质薄板的重心位置”将带你了解重心的概念，
探究确定平面组合图形重心位置的方法；“最短路径问题”将带你利用轴对称
和平移的相关知识解决生活中的最短路径问题，感受数学的广泛应用．
数学伴着我们成长，数学伴着我们进步，数学伴着我们成功．让我们扬帆
起航，开启一段新的数学之旅吧！
书书书目 录
第十三章 三角形
１
１３．１ 三角形的概念 ２
１３．２ 与三角形有关的线段 ５
１３．３ 三角形的内角与外角 １１
阅读与思考 为什么要证明 １８
数学活动
１９
小结
２０
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
２３
第十四章 全等三角形
２８
１４．１ 全等三角形及其性质 ２９
１４．２ 三角形全等的判定 ３２
信息技术应用 探究三角形全等的条件 ４６
１４．３ 角的平分线 ４８
图说数学史 公理化方法 ５４
数学活动
５６
小结
５７第十五章 轴对称
６１
１５．１ 图形的轴对称 ６２
１５．２ 画轴对称的图形 ７２
１５．３ 等腰三角形 ７８
探究与发现 三角形中边与角之间的
不等关系 ８６
数学活动
８８
小结
９０
综合与实践 最短路径问题
９４
第十六章 整式的乘法
９７
１６．１ 幂的运算 ９８
１６．２ 整式的乘法 １０３
１６．３ 乘法公式 １１２
阅读与思考 杨辉三角 １１８
数学活动
１１９
小结
１２０第十七章 因式分解
１２３
１７．１ 用提公因式法分解因式 １２４
１７．２ 用公式法分解因式 １２８
阅读与思考 狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的
因式分解 １３３
数学活动
１３４
小结
１３５
第十八章 分式
１３７
１８．１ 分式及其基本性质 １３８
１８．２ 分式的乘法与除法 １４６
１８．３ 分式的加法与减法 １５２
阅读与思考 容器中的水能倒完吗 １５７
１８．４ 整数指数幂 １５８
１８．５ 分式方程 １６４
数学活动
１７０
小结
１７１第十三章 三角形
三角形是一种基本的几何图形．从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨
大的高压输电塔到微小的分子结构，到处都有三角形的形象．为什么在工程建
筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢？这与三角形的性质有关．
一个三角形有三条边、三个角．三条边之间有什么关系？三个角之间有什
么关系？在小学，我们通过测量、剪拼等方法，知道三角形两边的和大于第三
边，三角形的内角和等于１８０°等结论．而在几何中，要确认一个命题的正确
性，还必须通过推理证明．在本章中，我们就来证明这些结论．
本章我们将比较系统地学习三角形，同时进一步学习推理证明的方法．学
习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且可以学习一些几何中研究问
题的基本思路和方法．
书书书１３．１ 三角形的概念
在小学，我们已经初步认识了三角形．本节我们将进一
步学习三角形的有关概念及其符号表示，以及三角形的分类．
如图１３．１１，由不在同一条直线上的三条线段首
尾顺次相接所组成的图形叫作三角形 （ｔｒｉａｎｇｌｅ）．组成
A
三角形的线段叫作三角形的边，相邻两边的公共端点
c b
叫作三角形的顶点，相邻两边所组成的角叫作三角形
的内角，简称三角形的角．例如，在图１３．１１中，线 B a C
段犃犅，犅犆，犆犃是三角形的边；点犃，犅，犆是三角
图１３．１１
形的顶点；∠犃，∠犅，∠犆是三角形的角．
顶点是犃，犅，犆的三角形，记作 “△犃犅犆”，读作 “三角形犃犅犆”．
△犃犅犆的三边有时也用犪，犫，犮来表示．如图１３．１１，顶点犃所对的边犅犆
用犪表示，顶点犅所对的边犃犆用犫表示，顶点犆所对的边犃犅用犮表示．
/
我们知道，按照三个内角的大小，可以将三角形分为锐角三角形、
直角三角形和钝角三角形．如何按照边的关系对三角形进行分类呢？说一
说你的想法，并与同学交流．
在三角形中，有的三角形三边都不相等 （图１３．１２ （１）），有的三角形有
两边相等 （图１３．１２ （２）），有的三角形三边都相等 （图１３．１２ （３））．
A
A
A
B C B C B C
（１） （２） （３）
图１３．１２
有两边相等的三角形叫作等腰三角形 （ｉｓｏｓｃｅｌｅｓｔｒｉａｎｇｌｅ），其中相等的两
边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底
２ 第十三章 三角形角．三边都相等的三角形叫作等边三角形 （ｅｑｕｉｌａｔｅｒａｌｔｒｉａｎｇｌｅ），等边三角形
是特殊的等腰三角形，即底边和腰相等的等腰三角形．
因此，可以先按 “是否有边相等”，将三角形分
成两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形；再

将等腰三角形分为底边和腰不相等的等腰三角形和  

等边三角形，得到三角形按边的相等关系分类如下：



三边都不相等的三角形
烄
三角形 底边和腰不相等的等腰三角形
烅 烄 三角形
等腰三角形
烅
等边三角形
烆 烆
例 如图１３．１３，在△犃犅犆中，点犇在边犅犆
A
上，犅犇＝犃犇＝犇犆＝犃犆．
（１）写出以点犆为顶点的三角形；
B D C
（２）写出以犃犅为边的三角形；
图１３．１３
（３）找出图中的等腰三角形和等边三角形．
解：（１）以点犆为顶点的三角形是△犃犅犆，△犃犇犆；
（２）以犃犅为边的三角形是△犃犅犆，△犃犅犇；
（３）等腰三角形是△犃犅犇，△犃犇犆；等边三角形是△犃犇犆．

１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犅犆＝犆犃，点犗在△犃犅犆内，犗犃＝犗犅＝
犗犆，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
A
A
O
B C B E D C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犅犃犆是直角，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，点犈在
线段犅犇上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
第十三章 三角形 ３

１．如图，写出以∠犃为角的三角形，写出以犅犆为边的三角形．
D
A A
E
B C B D E C
（第１题） （第２题）
２．图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．

３．如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，∠犅犃犆是钝角，犈是犇犆上一
点，且∠犅犃犈是锐角，犈犉⊥犃犆，垂足为犉．
（１）图中有几个三角形？用符号表示这些三角形．
（２）找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
D
A A C
F
B D E C B
（第３题） （第４题）
４．如图，犃犅＝犅犆＝犆犇＝犇犃＝犃犆，找出图中的等腰三角形和等边三角形．
 
５．如图，已知点犃，犅在直线犪上，点犆，犇，犈在直
A
线犫上．以点犃，犅，犆，犇，犈中的任意三点作为 B
a
三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写
出这些三角形．
b
C D E
（第５题）
４ 第十三章 三角形１３．２ 与三角形有关的线段
三角形的边是构成三角形的元素，本节我们研究三角形
三边之间的关系，并认识与三角形有关的三种重要线段．
１３２１ 三角形的边
/
任意画一个△犃犅犆（图１３．２１），从点犅出发，
A
沿三角形的边到点犆，有几条线路可以选择？各条线
路的长有什么关系？这说明三角形的边之间有什么关
系？能证明你的结论吗？ B C
图１３．２１
在从点犅到点犆的线路中，由点犅先到点犃再到点犆的线路，比由点犅
直接到点犆的线路长，即犅犃＋犃犆＞犅犆，这利用了在小学我们学过的 “三角
形两边的和大于第三边”的结论．下面对这个结论进行证明．
对于任意一个△犃犅犆，如果把其中任意两个顶点 （例如犅，犆）看成定
点，由 “两点之间，线段最短”，可得
犃犅＋犃犆＞犅犆． ①
同理有
犃犆＋犅犆＞犃犅， ②
犃犅＋犅犆＞犃犆． ③
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边．
进一步，由不等式②③，移项可得
犅犆＞犃犅－犃犆，
犅犆＞犃犆－犃犅．
这就是说，三角形两边的差小于第三边．
5
上面的结论表明了三角形三边之间的关系．反过来，对于三条线段，
当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
第十三章 三角形 ５一般地，如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条
线段能组成三角形；如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段，
那么这三条线段不能组成三角形．
例 用一条长为１８ｃｍ的细绳围成一个等腰三角形．
（１）如果腰长是底边长的２倍，那么各边的长是多少？
（２）能围成有一边的长是４ｃｍ的等腰三角形吗？为什么？
解：（１）设底边长为狓ｃｍ，则腰长为２狓ｃｍ，则
狓＋２狓＋２狓＝１８．
解得狓＝３．６．
所以，三角形三边的长分别为３．６ｃｍ，７．２ｃｍ，７．２ｃｍ．
（２）因为长为４ｃｍ的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
①如果４ｃｍ长的边为底边，设腰长为狓ｃｍ，则
４＋２狓＝１８．
解得狓＝７．
②如果４ｃｍ长的边为腰，设底边长为狔ｃｍ，则
２×４＋狔＝１８．
解得狔＝１０．
因为４＋４＜１０，不符合 “三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰
长是４ｃｍ的等腰三角形．
由以上讨论可知，可以围成底边长是４ｃｍ的等腰三角形．
在日常生活中，三角形的形状随处可见，并且
工程建筑中经常采用三角形的结构，如图１３．２２中
的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
图１３．２２
/
如图１３．２３，将三根木条用钉子钉成一个三
角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
图１３．２３
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性
的图形．
６ 第十三章 三角形三角形的稳定性有着广泛的应用，图１３．２４表示其中一些例子．你能再举
一些例子吗？
BF I
图１３．２４

１．下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
（１）３，４，８； （２）５，６，１１； （３）５，６，１０．
２．一根４ｄｍ长的木条和两根１ｄｍ长的木条，能否组成一个等腰三角形？
两根４ｄｍ长的木条和一根１ｄｍ长的木条呢？
１３２２ 三角形的中线、角平分线、高
与三角形有关的线段，除了三条边，还有三种重要的线段：三角形的中
线、角平分线、高．
如图１３．２５ （１），连接△犃犅犆的顶点犃和它所对的边犅犆的中点犇，所
得线段犃犇叫作△犃犅犆的边犅犆上的中线．
A A
F E
B D C B D C
（１） （２）
图１３．２５
一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点 （图１３．２５ （２））．三角
形三条中线的交点叫作三角形的重心．
如图１３．２６ （１），画△犃犅犆的∠犃的平分线犃犇，交∠犃所对的边犅犆于
点犇，所得线段犃犇叫作△犃犅犆的角平分线．三角形的三条角平分线相交于一
第十三章 三角形 ７点 （图１３．２６ （２））．
A A
E
F
B D C B D C
（１） （２）
图１３．２６
A
如图１３．２７，从△犃犅犆的顶点犃向它所对的边犅犆所
在直线画垂线，垂足为犇，所得线段犃犇叫作△犃犅犆的边
犅犆上的高线．三角形的高线简称三角形的高．
B D C
图１３．２７
/
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什
么发现？
锐角三角形的三条高都在三角形的内部 （图１３．２８ （１））；直角三角形有
两条高恰好是它的两条直角边 （图１３．２８ （２））；钝角三角形有两条高在三角
形的外部，两个垂足落在边的延长线上 （图１３．２８ （３））．
A A
A
F
D
E F
B C D
B D C B C E
（１） （２） （３）
图１３．２８

１．如图，过△犃犅犆的顶点犆分别画出它的中线、角平分线和高．
A A
A 1 2 E
F
F E
3 4
B D C B D C
（１） （２）
B C
（第１题） （第２题）
８ 第十三章 三角形２．填空题．
（１）如图 （１），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条中线，则犅犇＝ ，
１
犃犈＝ ，犃犅＝２ ；
２
（２）如图 （２），犃犇，犅犈，犆犉是△犃犅犆的三条角平分线，则∠１＝ ，
１
∠３＝ ，∠犃犆犅＝２ ．
２


１．三角形的三边长分别为２，７，犪，则犪的取值范围是 ．
２．长为１００ｃｍ，７０ｃｍ，５０ｃｍ，３０ｃｍ的四根木条，选其中三根组成三角形，
有几种选法？为什么？
３．对于下面每个三角形，分别过顶点犃画出它的中线、角平分线和高．
A
A
A
B C B C B C
（１） （２） （３）
（第３题）
４．如图，在△犃犅犆中，犃犈是中线，犃犇是角平分线，犃犉是高．填空：
１
（１）犅犈＝ ＝ ； A
２
１
（２）∠犅犃犇＝ ＝ ；
２
（３）∠犃犉犅＝ ＝９０°；
（４）若犅犆＝８，犃犉＝５，
C ED F B
则犛 ＝ ， （第４题）
△犃犅犆
犛 ＝ ．
△犃犅犈
第十三章 三角形 ９
５．一个等腰三角形的一边长为６，周长为２０，求其他两边的长．
６． （１）已知等腰三角形的一边长为５，一边长为６，求它的周长；
（２）已知等腰三角形的一边长为４，一边长为９，
A
求它的周长．
E
７． 如图，在△犃犅犆中，若犃犅＝２，犅犆＝４，则
△犃犅犆的高犃犇与犆犈的比是多少？（提示：利用
B D C
三角形的面积公式．）
（第７题）
 
８．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犇犈∥
A
犃犆，犇犈交犃犅于点犈，犇犉∥犃犅，犇犉交犃犆于
E
点犉．图中∠１与∠２有什么关系？为什么？ F
1 2
B D C
（第８题）
１０ 第十三章 三角形１３．３ 三角形的内角与外角
与边一样，三角形的角也是构成三角形的元素．本节我
们学习三角形的三个内角之间的关系，并进一步学习其他与
三角形有关的角．
１３３１ 三角形的内角
在小学，通过度量或剪拼，我们已经知道三角形的内角和等于１８０°，这样
的方法获得的结论可靠吗？
由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于１８０°，不能完全令人
信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所
有三角形的内角和等于１８０°．因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三
角形的内角和等于１８０°．
/
你还记得在小学是如何通过剪拼的方法得出三角形的内角和吗？图
１３．３１给出了两种剪拼的方法．从这个操作过程中，你能发现证明的思
路吗？
l l
B A C A
A
B C B C B
（１） （２）
图１３．３１
在图１３．３１ （１）中，将△犃犅犆的∠犅和∠犆剪下，分别拼在∠犃的左
右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点犃的直线犾，移动后的∠犅和
∠犆各有一条边在直线犾上．想一想，直线犾与△犃犅犆的边犅犆有什么关系？
你能由这个图想出证明 “三角形的内角和等于１８０°”的方法吗？
由上述拼合过程得到启发，过△犃犅犆的顶点犃作直线犾平行于△犃犅犆的
第十三章 三角形 １１边犅犆（图１３．３２）．由平行线的性质与平角的定义
A l
就能证明 “三角形的内角和等于１８０°”这个结论． 4 5
1
已知：△犃犅犆（图１３．３２）．
求证：∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°．
2 3
B C
证明：如图１３．３２，过点犃作直线犾，使犾∥犅犆．
图１３．３２
∵ 犾∥犅犆，
∴ ∠２＝∠４ （两直线平行，内错角相等）．
同理 ∠３＝∠５．
∵ ∠１，∠４，∠５组成平角，
∴ ∠１＋∠４＋∠５＝１８０°（平角定义）．
∴ ∠１＋∠２＋∠３＝１８０°（等量代换）．
由图 １３．３１（２），
以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都
你能给出这个定理的其
等于１８０°，得到如下三角形的内角和定理：
他证法吗？
三角形的内角和等于１８０°．
例１ 如图１３．３３，在△犃犅犆中，∠犅犃犆＝
C
４０°，∠犅＝７５°，犃犇是△犃犅犆的角平分线．求
∠犃犇犅的度数． D
解：由∠犅犃犆＝４０°，犃犇是△犃犅犆的角平分
A B
线，得
图１３．３３
１
∠犅犃犇＝ ∠犅犃犆＝２０°．
２
在△犃犅犇中，
∠犃犇犅＝１８０°－∠犅－∠犅犃犇＝１８０°－７５°－２０°＝８５°．
例２ 图１３．３４是犃，犅，犆三岛的平面图，
C 
犆岛在犃岛的北偏东５０°方向，犅岛在犃岛的北偏

E
D
东８０°方向，犆岛在犅岛的北偏西４０°方向．从犅岛
B
看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是多少度？从犆岛看
A
犃，犅两岛的视角∠犃犆犅呢？
图１３．３４
分析：犃，犅，犆三岛的连线构成△犃犅犆，所求
的∠犃犆犅是△犃犅犆的一个内角．如果能求出∠犆犃犅，∠犃犅犆，就能求出∠犃犆犅．
１２ 第十三章 三角形解：∠犆犃犅＝∠犅犃犇－∠犆犃犇＝８０°－５０°＝３０°．
由犃犇∥犅犈，得
∠犅犃犇＋∠犃犅犈＝１８０°．
所以
你还能给出其他解
∠犃犅犈＝１８０°－∠犅犃犇＝１８０°－８０°＝１００°，
法吗？
∠犃犅犆＝∠犃犅犈－∠犆犅犈＝１００°－４０°＝６０°．
在△犃犅犆中，
∠犃犆犅＝１８０°－∠犃犅犆－∠犆犃犅
＝１８０°－６０°－３０°＝９０°．
答：从犅岛看犃，犆两岛的视角∠犃犅犆是６０°，从犆岛看犃，犅两岛的视
角∠犃犆犅是９０°．

１．如图，从犃处观测犆处的仰角∠犆犃犇＝３０°，从犅处观测犆处的仰角
∠犆犅犇＝４５°．从犆处观测犃，犅两处的视角∠犃犆犅是多少度？
A
C
D
E
A B D C B
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝４０°，求∠犅＋∠犆＋∠犃犇犈＋∠犃犈犇的度数．
利用三角形的内角和定理，可以得到一些特殊三角形的内角的关系．
如图１３．３５，在直角三角形犃犅犆中，∠犆＝９０°，
A
由三角形的内角和定理，得
∠犃＋∠犅＋∠犆＝１８０°，
即
∠犃＋∠犅＋９０°＝１８０°，
B C
所以
图１３．３５
第十三章 三角形 １３∠犃＋∠犅＝９０°．
也就是说，直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号 “Ｒｔ△”表示，直角三角形犃犅犆可以写成
Ｒｔ△犃犅犆．
例３ 如图１３．３６，∠犆＝∠犇＝９０°，犃犇，犅犆相交于点犈．比较∠犆犃犈
与∠犇犅犈的大小．
解：在Ｒｔ△犃犆犈中，
C
D
∠犆犃犈＝９０°－∠犃犈犆．
E
在Ｒｔ△犅犇犈中，
∠犇犅犈＝９０°－∠犅犈犇． A B
∵ ∠犃犈犆＝∠犅犈犇，
图１３．３６
∴ ∠犆犃犈＝∠犇犅犈．
5
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角
互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？试说明理由．
由三角形的内角和定理可得 （请你自己完成证明）：
有两个角互余的三角形是直角三角形．

１．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇⊥犃犅，垂足为犇．∠犃犆犇与
∠犅有什么关系？为什么？
A
C
D
1
E
2
A D B C B
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，点犇，犈分别在边犃犅，犃犆上，且
∠１＝∠２，△犃犇犈是直角三角形吗？为什么？
１４ 第十三章 三角形１３３２ 三角形的外角
A
如图１３．３７，把△犃犅犆的一边犅犆延长，得
到∠犃犆犇．像这样，三角形的一边与另一边的延
长线组成的角，叫作三角形的外角．
B C D
图１３．３７
5
如图 １３．３８，在 △犃犅犆中，∠犃＝７０°，∠犅＝６０°，∠犃犆犇 是
△犃犅犆的一个外角．能由∠犃，∠犅求出∠犃犆犇吗？如果能，∠犃犆犇与
∠犃，∠犅有什么关系？
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
A
70e
60e
B C D
图１３．３８
一般地，由三角形的内角和定理可以推出下面
的推论 （请你自己完成证明）：
推论是由定理直接
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 推出的结论．和定理一
例４ 如图１３．３９，∠犅犃犈，∠犆犅犉，∠犃犆犇 样，推论可以作为进一
步推理的依据．
是△犃犅犆的三个外角，它们的和是多少？
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两
E
个内角的和，得
A
∠犅犃犈＝∠２＋∠３， 1
∠犆犅犉＝∠１＋∠３，
2 3
B
∠犃犆犇＝∠１＋∠２． C D
F
所以
图１３．３９
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２（∠１＋∠２＋∠３）．
你还能给出其他解
由∠１＋∠２＋∠３＝１８０°，得
法吗？
∠犅犃犈＋∠犆犅犉＋∠犃犆犇＝２×１８０°＝３６０°．
第十三章 三角形 １５
说出下列各图形中∠１和∠２的度数：
1
80e 2
1
40e
60e 1 2 30e 2 40e
（１） （２） （３）
A E
2
60e
70e
1
1
CEACD
40e 2 1
2
B C D 60e 20e 30e
（４） （５） （６）


１．求出下列各图形中狓的值：
xe
xe
72e xe
108e
39e xe xe xe xe (x36)e (x+36)e
（１） （２） （３） （４）
（第１题）
２． （１）一个三角形最多有几个直角？为什么？
（２）一个三角形最多有几个钝角？为什么？
A
（３）直角三角形的外角可以是锐角吗？为什么？
1
３．在△犃犅犆中，∠犅比∠犃大１０°，∠犆比∠犅
大１０°．求△犃犅犆各内角的度数．
2 65e
４．如图，在△犃犅犆中，犃犇⊥犅犆，垂足为犇，
B D C
∠１＝∠２，∠犆＝６５°．求∠犅犃犆的度数． （第４题）
１６ 第十三章 三角形
５．如图，犃犅∥犆犇，∠犃＝４０°，∠犇＝４５°．求∠１和∠２的度数．
D C B D
45e 1
2 A 45e O E
A 40e B C
（第５题） （第６题）
６．如图，犃犅∥犆犇，犃犈与犆犇相交于点犗，∠犃＝４５°，∠犆＝∠犈．求∠犆的度数．
７．如图，犅处在犃处的南偏西４５°方向，犆处在犃处的南偏东１５°方向，犆处在
犅处的北偏东８０°方向．求∠犃犆犅的度数．
A
A A
100e

D E
 C F 1 xe 3
2 4
B B C B C
（第７题） （第８题） （第９题）
８．如图，在△犃犅犆中，犇是边犃犅上一点，犈是边犃犆上一点，犅犈，犆犇相交于
点犉，∠犃＝６２°，∠犃犆犇＝３５°，∠犃犅犈＝２０°．求∠犅犇犆和∠犅犉犇的度数．
９．如图，在△犃犅犆中，∠犃＝１００°，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求狓的值．
 
１０．如图，犃犅∥犆犇，∠犅犃犈＝∠犇犆犈＝４５°．填空：
∵ 犃犅∥犆犇，
∴ ∠１＋４５°＋∠２＋４５°＝ ．
∴ ∠１＋∠２＝ ．
∴ ∠犈＝ ．
A B
E
45e
1
E
A
2
45e
C D B C D
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，犆犈是△犃犅犆的外角∠犃犆犇的平分线，且犆犈交犅犃的延长线于点
犈．求证∠犅犃犆＝∠犅＋２∠犈．
第十三章 三角形 １７ 
为什么要证明
李明：我们观察任意一个三角形，量出它的每个内角，都能得出它的内角
和等于１８０°，为什么还要证明这个结论呢？
刘老师：通过观察、试验等可以寻找规律，但是由于观察可能有误差，试
验可能受干扰，考察对象可能不具有一般性等原因，一般来说，由观察、试验
等所产生的 “结论”未必正确．例如，让一个班的学生每人任意画一个三角形，
再量出它的每个内角，计算三个内角的和，得到的结果未必全是１８０°，可能有
的会比１８０°大一些，有的会比１８０°小一些．
李明：如果观察细致，仪器精确，不产生误差，还需要证明吗？
刘老师：仅通过观察、试验等就下结论有时也缺乏说服力．例如，即使不
考虑误差等因素，当上面观察的所有结果全是１８０°时，人们还会有疑问：“不同
形状的三角形有无数个，我们画出并验证的只是其中有限个，其余三角形的内
角和是多少呢？能对所有的三角形都进行验证吗？”事实上，不管我们经历多长
时间，画出多少个三角形，观察、试验的对象也是有限个．因此，要确认 “三
角形的内角和等于１８０°”，就不能仅依靠度量等手段进行验证，而必须进行推理
论证———对于一般的三角形，推出它的三个内角的和等于一个平角，从而得出
“无论三角形的具体形状如何，它的内角和一定等于１８０°”．
李明：现在我明白了，一个数学命题是否正确，需要经过理由充足、使人
信服的推理论证才能得出结论．观察、试验等是发现数学公式、定理的重要途
径，而证明则是确认数学公式、定理的必要步骤．
１８ 第十三章 三角形
=#4K` Z/
取一些等长的磁力棒 （图１）．用３根磁力棒能组成１
个等边三角形 （图２），用６根磁力棒能组成４个等边三角
形吗？用９根磁力棒最多能组成几个等边三角形？动手试
图１
一试，并与同学交流．（提示：可以考虑立体图形．）
=#)`/G Z""
与三角形类似，多条线段首尾顺次相接就组成多边
形．容易发现，三角形是最简单的多边形，那么任意一个 图２
多边形是否都能分割成三角形呢？
把一个多边形用连接它的不相邻顶点的线段 （这些线段不在多边形
内部相交）划分为若干个三角形，叫作多边形的三角剖分．图３给出了七
边形的三角剖分的几种方法．
图３
（１）试着将一个四边形、五边形、六边形进行三角剖分，分别能剖
分出多少个三角形？狀边形呢？
（２）将一个四边形进行三角剖分，你有多少种剖分方法？五边形呢？
１７５１年，瑞士数学家欧拉 （Ｅｕｌｅｒ，１７０７—１７８３）向德国俄国数学家哥德
巴赫 （Ｇｏｌｄｂａｃｈ，１６９０—１７６４）提出了一个狀边形的三角剖分有多少种不同方
法的问题，并归纳得出了狀边形的不同三角剖分方法数 （犇）的公式．后来
狀
犇 ４狀－６
数学家发现并证明：当狀≥３时， 狀＋１＝ （犇＝１）．请你利用上述公
犇 狀 ３
狀
式，验证你前面得到的结果，并计算六边形、七边形的三角剖分方法数．
第十三章 三角形 １９
  
   
 
  
 


 
 
 

 
三角形是基本的几何图形，也是最简单的多边形．本章我们在小学学
习的基础上，学习了三角形的有关概念及分类，探索并证明了三角形三
边之间的关系以及三角形的内角和定理，了解了三角形具有稳定性．
构成几何图形的元素之间的关系是几何研究的重要内容．边和角是构
成三角形的元素．对于边，我们研究了三角形三边之间的关系，并认识了
三角形的中线、角平分线、高；对于角，我们研究了三角形三个内角之
间的关系，得到了三角形的内角和定理，并认识了三角形的外角．
三角形的内角和定理是几何中一个很重要的结论，我们可以借助几
何直观，由平行线的性质与平角的定义对它进行证明．由三角形的内角和
定理，可以推理得到直角三角形两个锐角的关系及三角形外角的有关结
论，这也可以进一步提升我们的推理能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．按照内角的大小，三角形可以怎样分类？按照边呢？
２．三角形的三边之间有怎样的关系？得出这个结论的依据是什么？
２０ 第十三章 三角形３．三角形中有哪几种重要的线段？你能画出这些线段吗？
４．三角形的三个内角之间有怎样的关系？如何证明这个结论？
５．直角三角形的两个锐角有怎样的关系？得出这个结论的依据是
什么？
６．三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角有怎样的关系？这个
结论能由三角形的内角和定理得出吗？
 

１．下列四个条件：
①在△犃犅犆中，∠犃，∠犅都是锐角；
②△犃犅犆的三个内角的度数之比是１∶２∶３；
③在△犃犅犆中，∠犃－∠犅＝∠犆；
④△犃犅犆的三个外角的度数之比是３∶４∶５．
其中能确定△犃犅犆是直角三角形的是 （只填序号）．
２．如图，在△犃犅犆中，犃犇，犃犈分别是边犅犆上的中线和高，犃犈＝２，犛 ＝
△犃犅犇
１．５．求犅犆和犇犆的长．
A
A
P D
B D E C B C
（第２题） （第３题）
３．如图，填空：
由三角形两边的和大于第三边，得
犃犅＋犃犇＞ ，
犘犇＋犆犇＞ ．
将不等式左边、右边分别相加，得
犃犅＋犃犇＋犘犇＋犆犇＞ ，
即犃犅＋犃犆＞ ．
第十三章 三角形 ２１４．求出下列各图形中狓的值．
xe
40e
50e
xe xe (x 1 0 )e ( x 7 0 )e
xe
（１） （２） （３）
（第４题）

５．如图，∠犅＝４２°，∠犃比∠１小１０°，∠犃犆犇＝６４°．求证犃犅∥犆犇．
A
A
D C
64e F
1
O
D
42e
A B B C B E D C
（第５题） （第６题） （第７题）
６．如图，在△犃犅犆中，∠犆＝∠犃犅犆＝２∠犃，犅犇是边犃犆上的高．求∠犇犅犆的
度数．
７．如图，在△犃犅犆中，犃犇是高，犃犈，犅犉是角平分线，且犃犈，犅犉相交于点
犗，∠犅犃犆＝５０°，∠犆＝７０°．求∠犇犃犆和∠犅犗犃的度数．
 
８．如图，在△犃犅犆中，犅犈，犆犉是角平分线，且犅犈，犆犉相交于点犌．求证：
１ １
（１）∠犅犌犆＝１８０°－ （∠犃犅犆＋∠犃犆犅）； （２）∠犅犌犆＝９０°＋ ∠犃．
２ ２
A A
B E
F E
G
D
B C C
（第８题） （第９题）
９．如图，连接犃犆，犃犇，犅犇，犅犈，犆犈，求证∠犃＋∠犅＋∠犆＋∠犇＋∠犈＝１８０°．
２２ 第十三章 三角形综合与实践
确定匀质薄板的重心位置
物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．例如，
比赛中运动员在转向时，通过调整身体重心的位置来改变滑行方向 （图１）；杂
技演员在表演转盘子时，用木棍支撑盘子的重心以使盘子长时间地转动 （图
２）；等等．
图１ 图２
在工程中，物体重心的位置也有重要的应用．例如，水坝、挡土墙等建筑
的重心必须在一定的范围内，否则可能会导致坍塌 （图３）；当飞机的重心位于
合适的位置时，不仅有利于飞机在飞行状态下保持平衡和稳定，而且能使飞机
具有良好的操纵性能 （图４）；为了达到预期的搅拌效果，混凝土搅拌机转动部
分的重心会设计得偏离转轴一定的距离 （图５）；等等．
图３ 图４ 图５
工程中使用的许多物体具有均匀的质地，如工程中常用的工字钢、角钢、
槽钢等型钢 （图６）．你能通过数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的
重心吗？
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 ２３图６
接下来，我们一起来探究解决这个问题．

发现确定匀质薄板、薄壳 （厚度可忽略）重心位置的方法．

１．材料用具
质地均匀的薄纸板、直尺、量角器、剪刀、细线．
２．资料学习
查阅资料，了解重心的概念以及工程中确定物体重心位置的方法．

由于许多工程用薄板的形状是由常见的简单平面图形组合而成的 （如图６
中的型钢截面），所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置，
再探究确定平面组合图形重心位置的方法．
确定简单平面图形的重心位置

我们已经知道，三角形的重心位于三条中线的交点处，那么其他平面图形
的重心在什么位置呢？
任务１ 认识平面图形的重心
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题．
（１）在物理学中，物体的重心指的是什么？匀质
薄板的重心位置与薄板的哪些方面有关？
（２）用一个支点顶住一个三角形匀质薄板 （图
７），慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此
时，薄板与支点接触的点就是薄板的重心．三角形匀
质薄板的重心位置与三角形的重心位置有什么关系？
图７
（３）你能仿照三角形的重心，给一般平面图形的
重心下一个定义吗？
２４ 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置任务２ 了解平面图形重心位置的分布特点
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，探究下列问题．
（１）你能利用物理知识，设计一个发现三角形的重心位置的实验吗？
（２）怎样确定其他常见的几何图形 （如线段、正方形、长方形、平行四边
形等）的重心位置？这些图形的重心位置有什么共同特点？你能尝试说明为什
么三角形的重心也满足上述特点吗？
（３）如果有人问你 “一个平面图形的重心指的是什么？位于它的什么位
置？”，你会怎样回答？
任务３ 确定一些平面图形的重心位置
通过查资料、做实验、讨论等小组合作活动，利用前面获得的结论，选择
一些平面图形，尝试确定它们的重心位置．
（１）你选择的是什么图形？能否根据它的形状确定其重心位置？如果能，
你的依据是什么？如何验证你找到的重心位置的准确性？
（２）当不能根据图形的形状确定它的重心位置时，你能通过把它分割成已
知重心位置的图形来寻找它的重心位置吗？如果能，你是如何做的？如果不
能，你遇到了什么困难？
确定平面组合图形的重心位置

平面组合图形由简单平面图形组成，如果能发现平面组合图形的重心位置
与被分成的简单平面图形的重心位置之间的关系，就可以确定平面组合图形的
重心位置了．为了更加明确地表达位置之间的数量关系，可以建立平面直角坐
标系，用坐标来研究重心的位置．
任务１ 把一个图形分成两部分，确定这个图形的重心位置与它的两部分
的重心位置之间的关系．
通过小组合作活动，选择一个已知重心位置的平面图形，将它分成已知重
心位置的两部分，建立平面直角坐标系，探究图形的重心位置与两部分的重心
位置坐标之间的关系．
（１）你选择的是什么图形？你是按照什么标准把图形分成两部分的？图形
的重心位置和两部分的重心位置分别位于哪里？
（２）你是如何建立平面直角坐标系的？图形的重心位置的横坐标狓、纵坐
标狔与两部分的重心位置的横坐标狓，狓、纵坐标狔，狔 之间有什么数量关
１ ２ １ ２
系？例如，能写成 “狓＝ （ ）狓＋ （ ）狓，狔＝ （ ）狔＋ （ ）狔”的
１ ２ １ ２
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 ２５形式吗？两者之间的关系与你选择的分割图形的标准有关吗？如果不能发现狓
与狓，狓、狔与狔，狔 之间的关系，换一种方式建立平面直角坐标系试试看．
１ ２ １ ２
（３）换一个标准把图形分成两部分，你能得到图形重心位置的横、纵坐标
与两部分的重心位置的横、纵坐标之间的什么数量关系？这种关系是否与前面
得到的关系具有一致性？
（４）你能根据前面的探究结论，猜想这个图形的重心位置的横、纵坐标与
分成的两部分的重心位置的横、纵坐标之间的数量关系吗？如果能，你能用式
子把这个关系表达出来，并进一步验证它的正确性吗？如果不能，可能的原因
是什么？
任务２ 确定一个工程用薄板类工件的重心位置
要求：以小组合作的形式，选择一个组合图形的薄板、薄壳工件 （或工件
的横截面），也可以从图８提供的工件或横截面中选择一个，通过推理、计算
确定它的重心位置．
12 cm 10 cm
20 cm
m
c
0
1
m
m
c
0
2
c
0
1 3
m
m c
c
2
0
1
1
80 cm 30 cm 30 cm
“Ｌ”形角钢的横截面 “Ｚ”形薄板 由小正方形薄板拼接成的薄板
图８
跳高运动员为什么采用 “背越式”（选做）

如图９，当跳高运动员采用 “背越式”越过横杆时，成绩往往比采用 “跨越
式”和 “滚式”要好．试通过查资料、讨论等小组合作活动，探究其中的原因．
跨越式 滚式 背越式
图９
２６ 综合与实践 确定匀质薄板的重心位置
１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．

通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
综合与实践 确定匀质薄板的重心位置 ２７第十四章 全等三角形
铺设地面的方砖、钢架桥中的三角形结构、足球比赛的场地……，都能在
其中找到形状、大小相同的图形的形象．形状、大小相同的图形是全等形．本
章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角
形全等的方法．
上一章我们通过推理论证得到了三角形的内角和定理等重要结论．在本章
推理论证将发挥更大的作用．我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角
相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质．通过本章的学习，你对三角形
的认识会更加丰富，推理能力会进一步提升．
第十四章 全等三角形１４．１ 全等三角形及其性质
如图１４．１１，对开的大门、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形
象，你能再举出一些类似的例子吗？
图１４．１１
形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合．能够完全重合的两个图形
叫作全等形．
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 （ｃｏｎｇｒｕｅｎｔｔｒｉａｎｇｌｅｓ）．
5
在图１４．１２ （１）中，把△犃犅犆沿直线犅犆平移，得到△犇犈犉．
在图１４．１２ （２）中，把△犃犅犆沿直线犅犆翻折１８０°，得到△犇犅犆．
在图１４．１２ （３）中，把△犃犅犆绕点犃旋转，得到△犃犇犈．
各图中的两个三角形全等吗？
A
E
A D
B C A
D
B C E F D B C
（１） （２） （３）
图１４．１２
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改
变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．全等用符号 “≌”表示，读作 “全等
于”．例如，图１４．１２（１）中的△犃犅犆和△犇犈犉全等，记作△犃犅犆≌△犇犈犉．
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫
第十四章 全等三角形 ２９作对应边，重合的角叫作对应角．例如，图１４．１２（１）
中△犃犅犆≌△犇犈犉，其中点犃和点犇，点犅和点
记两个三角形全等
犈，点犆和点犉是对应顶点；犃犅和犇犈，犅犆和 时，通常把表示对应顶
犈犉，犃犆和犇犉是对应边；∠犃和∠犇，∠犅和 点的字母写在对应的位
置上．
∠犈，∠犆和∠犉是对应角．
5
图１４．１２ （１）中，△犃犅犆≌△犇犈犉，对应边有什么关系？对应角
呢？其他两图中的全等三角形呢？
全等三角形有这样的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
例 如图１４．１３，△犃犅犆≌△犅犃犇，点犃和点犅，点犆和点犇是对应顶
点，∠犅犃犆＝６５°，∠犃犅犆＝２６°，犃犆，犅犇的延长线相交于点犈．求∠犆犅犇，
∠犈的度数．
解：∵ △犃犅犆≌△犅犃犇，
E
∴ ∠犃犅犇＝∠犅犃犆＝６５°．
∴ ∠犆犅犇＝∠犃犅犇－∠犃犅犆＝６５°－２６°＝３９°．
C D
在△犃犈犅中，∠犈＋∠犅犃犈＋∠犃犅犈＝１８０°，
∴ ∠犈＝１８０°－∠犅犃犈－∠犃犅犈＝１８０°－６５°－６５°＝５０°． A B
图１４．１３

１．如图，△犃犅犆≌△犅犇犈，∠犃和∠犈犅犇，∠犆和∠犈是对应角．说出
这两个三角形的对应边和另一组对应角．
C E
C B
O
A
A B D D
（第１题） （第２题）
２．如图，△犗犆犃≌△犗犅犇，点犆和点犅，点犃和点犇是对应顶点．说出
这两个三角形中相等的边和角．
３０ 第十四章 全等三角形

１．如图，△犃犅犆≌△犆犇犃，犃犅和犆犇，犅犆和犇犃是对应边．写出其他对应边
和对应角．
A
A
B
D
C B M N C
（第１题） （第２题）
２．如图，△犃犅犖≌△犃犆犕，犃犅和犃犆是对应边，∠犅和∠犆是对应角．写出
其他对应边和对应角．

３．图中有两个全等三角形，其中的字母表示三角形的边长，则∠１等于多少度？
54e
1
a c b c
60e
b
（第３题）
４．如图，△犈犉犌≌△犖犕犎，∠犉和∠犕是对应角．在△犈犉犌中，犉犌是最长
边．在△犖犕犎中，犕犎是最长边，且犈犉＝２．１，犈犎＝１．１，犖犎＝３．３．
（１）写出其他对应边及对应角； （２）求线段犖犕及线段犎犌的长度．
E
H M C
D
F G
N A E B
（第４题） （第５题）
 
５．如图，△犃犅犆≌△犇犈犆，犆犃和犆犇，犆犅和犆犈是对应边．∠犃犆犇和∠犅犆犈
相等吗？为什么？
第十四章 全等三角形 ３１１４．２ 三角形全等的判定
性质和判定是几何研究的主要内容．在上一节，我们学
习了全等三角形的性质，知道了全等三角形的对应边相等、
对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
我们从构成三角形的元素———边、角的关系出发，研究三角
形全等的判定方法．
根据全等三角形的定义，如果△犃犅犆与△犃′犅′犆′满足三条边分别相等，
三个角分别相等，即
犃犅＝犃′犅′，犅犆＝犅′犆′，犆犃＝犆′犃′，
∠犃＝∠犃′，∠犅＝∠犅′，∠犆＝∠犆′，
就能判定△犃犅犆≌△犃′犅′犆′（图１４．２１）．
一定要满足三条边分别相等，三个角也分别
A A

相等，才能保证两个三角形全等吗？上述六个条
件中，有些条件是相关的．能否在上述六个条件
中选择部分条件，简捷地判定两个三角形全
B C B
 C

等呢？ 图１４．２１
我们按照条件由少到多的顺序进行研究．
4K
先任意画出一个△犃犅犆．再画一个△犃′犅′犆′，使△犃犅犆与△犃′犅′犆′
满足上述六个条件中的一个 （一边或一角分别相等）或两个 （两边、一
边一角或两角分别相等）．你画出的△犃′犅′犆′与△犃犅犆一定全等吗？
通过画图容易举出△犃犅犆和△犃′犅′犆′不全等的例子，因此满足上述六个
条件中的一个或两个，△犃犅犆与△犃′犅′犆′不一定全等．满足上述六个条件中
的三个，能保证△犃犅犆与△犃′犅′犆′全等吗？
我们分情况进行讨论．
３２ 第十四章 全等三角形4K
如图１４．２２，直观上，如果∠犃，犃犅，
C C

犃犆的大小确定了，△犃犅犆的形状、大小也就
确定了．也就是说，在△犃′犅′犆′与△犃犅犆中，
如果∠犃′＝∠犃，犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝犃犆，那
A B A
 B

么△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．这个判断正确吗？ 图１４．２２
如图１４．２３，由∠犃′＝∠犃可知，如果使点犃′与点犃
CUC 
U
重合，并且使射线犃′犅′与射线犃犅重合，那么射线犃′犆′与
射线犃犆重合．再由犃′犅′＝犃犅，犃′犆′＝犃犆，可知点犅′，
犆′分别与点犅，犆重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点与
AU A 
 U BUB 
U
△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完全 图１４．２３
重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究２可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “边角边”或
“ＳＡＳ”）．
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相
等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决．
例１ 如图１４．２４，犃犆＝犃犇，犃犅平分∠犆犃犇，求证
C
∠犆＝∠犇．
分析：如果能证明△犃犅犆≌△犃犅犇，就可以得出∠犆＝ A B
∠犇．由题意可知，△犃犅犆与△犃犅犇具备 “边角边”的条件．
证明：∵ 犃犅平分∠犆犃犇， D
图１４．２４
∴ ∠犆犃犅＝∠犇犃犅．
在△犃犅犆和△犃犅犇中，
烄犃犆＝犃犇， 犃犅既是△犃犅犆的
烅∠犆犃犅＝∠犇犃犅， 边又是△犃犅犇的边．我
们称它为这两个三角形
烆犃犅＝犃犅，
的公共边．
∴ △犃犅犆≌△犃犅犇 （ＳＡＳ）．
∴ ∠犆＝∠犇．
第十四章 全等三角形 ３３5
我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两
个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么
这两个三角形全等吗？
如图１４．２５，△犃犅犆与△犃犅犇满足两边和其中一边
A
的对角分别相等，即犃犅＝犃犅，犃犆＝犃犇，∠犅＝∠犅，
但△犃犅犆与△犃犅犇显然不全等．这说明，两边和其中一
边的对角分别相等的两个三角形不一定全等． B C D
图１４．２５

１．如图，有一池塘，要测池塘两端犃，犅的距离，可先在平地上取一个
点犆，从点犆不经过池塘可以直接到达点犃和点犅．连接犃犆并延长到
点犇，使犆犇＝犆犃．连接犅犆并延长到点犈，使犆犈＝犆犅．连接犇犈，
那么量出犇犈的长就是犃，犅的距离．为什么？
A B A D
C
E D B E F C
（第１题） （第２题）
２．如图，点犈，犉在犅犆上，犅犈＝犆犉，犃犅＝犇犆，∠犅＝∠犆．求证∠犃＝∠犇．
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况．接下来研究两
个三角形的两角和一边分别相等的情况．
4K
如图１４．２６，直观上，犃犅，∠犃，∠犅的大
C C

小确定了，△犃犅犆的形状、大小也就确定了．也
就是说，在△犃′犅′犆′与△犃犅犆中，如果犃′犅′＝
犃犅，∠犃′＝∠犃，∠犅′＝∠犅，那么△犃′犅′犆′≌ A B A
 B

图１４．２６
△犃犅犆．这个判断正确吗？
３４ 第十四章 全等三角形如图１４．２７，由犃′犅′＝犃犅可知，如果使点犃′与点犃
重合，点犅′在射线犃犅上，那么点犅′与点犅重合．再由
CUC 
U
∠犃′＝∠犃，∠犅′＝∠犅，可知射线犃′犆′与射线犃犆重合，
射线犅′犆′与射线犅犆重合，于是射线犃′犆′，犅′犆′的交点犆′
与射线犃犆，犅犆的交点犆重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点
AU A 
 U BUB 
U
与△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完 图１４．２７
全重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究３可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “角边角”或
“ＡＳＡ”）．
例２ 如图１４．２８，点犇在犃犅上，点犈在犃犆上，犃犅＝犃犆，∠犅＝
∠犆．求证犃犇＝犃犈．
分析：如果能证明△犃犆犇≌△犃犅犈，就可以得出犃犇＝犃犈．由题意可知，
△犃犆犇和△犃犅犈具备 “角边角”的条件．
证明：在△犃犆犇和△犃犅犈中，
A
烄∠犃＝∠犃（公共角），
烅犃犆＝犃犅，
D E
烆∠犆＝∠犅，
B C
∴ △犃犆犇≌△犃犅犈（ＡＳＡ）．
图１４．２８
∴ 犃犇＝犃犈．
两个三角形的两角和一边分别相等，除了两角和它们的夹边分别相等，还
有两角分别相等且其中一组等角的对边相等的情况．
5
如果两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对边相等，那么这
两个三角形全等吗？
根据三角形的内角和定理，如果两个三角形的两个角分别相等，那么它们
的另一个角也相等．这样，由两个三角形的两角分别相等且其中一组等角的对
边相等，可以得到这两个三角形的两角和它们的夹边分别相等，进而利用 “角
边角”的基本事实，就可以判定这两个三角形全等．
第十四章 全等三角形 ３５如图１４．２９，在△犃犅犆和△犃′犅′犆′中，∠犃＝
C C

∠犃′，∠犅＝∠犅′，犅犆＝犅′犆′．请你按照上述思路证
明△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．
由此，我们可以得到下面的结论： A B A
 B

两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两 图１４．２９
个三角形全等 （可以简写成 “角角边”或 “ＡＡＳ”）．

１．如图，犃犅⊥犅犆，犃犇⊥犇犆，垂足分别为犅，犇，且∠１＝∠２．求证
犃犅＝犃犇．
A
A
1 2
B C D F
B D
C E
（第１题） （第２题）
２．如图，要测量池塘两岸相对的两点犃，犅的距离，可以在池塘外取犃犅
的垂线犅犉上的两点犆，犇，使犅犆＝犆犇，再画出犅犉的垂线犇犈，使点
犈与点犃，犆在一条直线上，这时测得犇犈的长就是犃犅的长．为什么？
前面我们研究了两个三角形的两边和一角分别相等的情况以及两角和一边
分别相等的情况．接下来研究三边分别相等的情况．
4K
如图 １４．２１０，直 观 上，犃犅，犅犆，
C C

犆犃的大小确定了，△犃犅犆的形状、大小
也就确定了．也就是说，在△犃′犅′犆′与
A B A
 B

△犃犅犆中，如果犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝犅犆，
图１４．２１０
犆′犃′＝犆犃，那么△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．这个
判断正确吗？
３６ 第十四章 全等三角形如图１４．２１１，由犃′犅′＝犃犅可知，如果使点
CUC 
U
犃′与点犃重合，点犅′在射线犃犅上，那么点犅′与
点犅重合．另外，使点犆′落在直线犃犅的含有点犆
的一侧．由于点犆是以点犃为圆心、犃犆为半径的
AU A 
 U BUB 
U
圆和以点犅为圆心、犅犆为半径的圆的交点，点犆′
是以点犃′为圆心、犃′犆′为半径的圆和以点犅′为圆
心、犅′犆′为半径的圆的交点，所以由犃′犆′＝犃犆，
图１４．２１１
犅′犆′＝犅犆可知点犆′与点犆重合．这样，△犃′犅′犆′
的三个顶点与△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆能够完全重合，因
而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
由探究４可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
三边分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “边边边”或 “ＳＳＳ”）．
利用这个基本事实，可以说明我们曾经做过的实验的结果：将三根木条钉
成一个三角形木架，这个三角形木架的形状、大小就不变了，也就是三角形具
有稳定性．
上述分析过程也告诉我们：已知三角形的三边，可以利用直尺和圆规作一
个三角形．
如图１４．２１２，已知三条线段犪，犫，犮（其中任意两条线段的和大于第三
条线段），求作△犃犅犆，使其三边分别为犪，犫，犮．
C
a
b
c A B
图１４．２１２ 图１４．２１３
作法：如图１４．２１３．
（１）作线段犃犅＝犮；
（２）分别以点犃，犅为圆心，线段犫，犪为半径作弧，两弧相交于点犆；
（３）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的三角形．
例３ 在如图１４．２１４所示的三角形钢架中，犃犅＝犃犆，犃犇是连接点犃
与犅犆中点犇的支架．求证犃犇⊥犅犆．
分析：如果△犃犅犇≌△犃犆犇，那么∠犃犇犅＝∠犃犇犆，从而有犃犇⊥犅犆．
第十四章 全等三角形 ３７而△犃犅犇与△犃犆犇具备 “边边边”的条件．
证明：∵ 犇是犅犆的中点，
A
∴ 犅犇＝犆犇．
在△犃犅犇和△犃犆犇中，
B D C
烄犃犅＝犃犆，
图１４．２１４
烅犅犇＝犆犇，
烆犃犇＝犃犇，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＳＳＳ）．
∴ ∠犃犇犅＝∠犃犇犆．
又 ∠犃犇犅＋∠犃犇犆＝１８０°，
∴ ∠犃犇犅＝９０°．
∴ 犃犇⊥犅犆．
最后来看两个三角形的三角分别相等的情况．
5
三角分别相等的两个三角形全等吗？解答这个问题后，把三角形全等
的判定方法做一个小结．

１．如图，犃犆＝犅犇，犅犆＝犃犇．求证∠犃犅犆＝∠犅犃犇．
A
M
D C
O C
N
B
A B
（第１题） （第２题）
２．工人师傅常用角尺平分一个任意角．如图，在∠犃犗犅的边犗犃，犗犅上
分别取犗犕＝犗犖，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点犕，犖
重合．过角尺顶点犆的射线犗犆便是∠犃犗犅的平分线．为什么？
３８ 第十四章 全等三角形下面，利用三角形全等的判定方法，我们再来研究一些尺规作图问题．
5
线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素．我们
已经学习了作一条线段等于已知线段的尺规作图，如何用直尺和圆规作
一个角等于已知角呢？
如图１４．２１５ （１），已知∠犃犗犅，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关
键是能用直尺和圆规确定∠犃犗犅的大小．
对于一个三角形，其三条边、三个角是确定的．如果能将∠犃犗犅 “放在”
某个三角形中，作为其一个角，而我们又能用直尺和圆规作出这个三角形，进
而再作出与这个三角形全等的三角形，根据全等三角形的性质，∠犃犗犅的对
应角就是要求作的角．这就说明可以用直尺和圆规确定∠犃犗犅．
B B
D D

O A O C A O
 C

（１） （２） （３）
图１４．２１５
显然，这样的三角形是容易作出的．如图
１４．２１５ （２），在∠犃犗犅的边犗犃，犗犅上分别取点 为了作图方便，一
犆，犇，连 接 犆犇，得 到 △犆犗犇，∠犃犗犅 就 是 般取犗犆＝犗犇．
△犆犗犇的一个内角．再作出△犆′犗′犇′（图１４．２１５
（３）），使 △犆′犗′犇′≌ △犆犗犇，则 ∠犆′犗′犇′＝
∠犆犗犇＝∠犃犗犅．
由此我们得到作一个角∠犃′犗′犅′等于已知角∠犃犗犅的方法．
作法：如图１４．２１６．
B B

D D

O C A O
 C
 A

图１４．２１６
第十四章 全等三角形 ３９（１）以点犗为圆心，任意长为半径作弧，分别交犗犃，犗犅于点犆，犇；
（２）作一条射线犗′犃′，以点犗′为圆心，犗犆为半径作弧，交犗′犃′于
点犆′；
（３）以点犆′为圆心，犆犇为半径作弧，与上一步作的弧相交于点犇′；
（４）过点犇′作射线犗′犅′，则∠犃′犗′犅′＝∠犃犗犅．
与 “作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、
常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图．
例４ 如图１４．２１７，已知直线犃犅及直线犃犅外一点犆．利用直尺和圆规
过点犆作直线犃犅的平行线犆犇．
F
C
C D
A B A E B
图１４．２１７ 图１４．２１８
分析：我们知道，同位角相等，两直线平行．可以利用这个结论，过点犆
作直线犃犅的平行线犆犇．为此需要先作出截线，再作出相等的同位角．
作法：如图１４．２１８．
（１）过点犆作一条直线，与直线犃犅相交于
点犈；
还可以利用 “内错
（２）在点犆处作∠犆犈犅的同位角∠犉犆犇，使 角相等，两直线平行”
∠犉犆犇＝∠犆犈犅；
作图．
（３）反向延长犆犇，得直线犆犇，则直线犆犇∥犃犅．
例５ 如图１４．２１９，已知线段犪，犫和∠α，求作△犃犅犆，使犃犅＝犪，
犃犆＝犫，∠犃＝∠α．
a
b E
C
a
A B D
图１４．２１９ 图１４．２２０
４０ 第十四章 全等三角形作法：如图１４．２２０．
（１）作∠犇犃犈＝∠α；
（２）在射线犃犇上作犃犅＝犪，在射线犃犈上作犃犆＝犫；
（３）连接犅犆，则△犃犅犆就是所求作的三角形．

１．如图，用直尺和圆规作一条直线，使这条直线过△犃犅犆的顶点犃，并
且与边犅犆平行．
A
B C a b a
（第１题） （第２题）
２．如图，用直尺和圆规作一个三角形，使这个三角形的两角分别等于
∠α，∠β ，这两角的夹边等于线段犪．
下面我们来研究直角三角形全等的判定．
前面学习的三角形全等的判定方法，对满足条件的三角形都是适用的，同
样也适用于直角三角形．因为两个直角三角形的直角相等，所以对于两个直角
三角形，满足一直角边和它相对 （或相邻）的锐角分别相等，或斜边和一锐角
分别相等，或两直角边分别相等，这两个直角三角形就全等了．如果满足斜边
和一直角边分别相等，这两个直角三角形全等吗？
4K
如图 １４．２２１，在 △犃犅犆和
A A

△犃′犅′犆′中，∠犆′＝∠犆＝９０°，
犃′犅′＝犃犅，犅′犆′＝犅犆．这两个三
角形全等吗？ B C B
 C

图１４．２２１
如图１４．２２２，由∠犆′＝∠犆＝９０°可知，如果使点犆′与点犆重合，并且
使射线犆′犃′与射线犆犃重合，那么射线犆′犅′与射线犆犅重合．再由犅′犆′＝
第十四章 全等三角形 ４１犅犆，可知点犅′与点犅重合．
为了判断点犃′与点犃是否重合，我们讨论射
N
线犆犃上除点犆，犃外的点与点犅的连线和边犃犅
的大小关系．
AU A 
 U
M

设点犕在直角边犃犆（不包括端点）上，连接
M
犅犕，则∠犅犕犃＞∠犆，∠犅犕犃是钝角．若过点
BUB 
U CUC 
U
犕且垂直于犅犕的直线与线段犃犅相交于点犕′，
图１４．２２２
则有犃犅＞犅犕′＞犅犕．设点犖在线段犆犃的延长
线上，连接犅犖，同理可得犅犖＞犃犅．因此，在射
线犆犃上，与点犅的连线长度等于犃犅的点只有一
个．再由点犃′在射线犆犃上，犃′犅′＝犃犅，可知点
犃′与点犃重合．这样，△犃′犅′犆′的三个顶点与 在今后的学习中，
我们将用勾股定理证明
△犃犅犆的三个顶点分别重合，△犃′犅′犆′与△犃犅犆
这个判定方法．
能够完全重合，因而△犃′犅′犆′≌△犃犅犆．
一般地，有如下判定直角三角形全等的方法：
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 （可以简写成 “斜边、直
角边”或 “ＨＬ”）．
例６ 如图１４．２２３，犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，垂足分别为犆，犇，犃犆＝
犅犇．求证犅犆＝犃犇．
分析：如果能证明Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇，就可以得出犅犆＝犃犇．由题意
可知，Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇具备 “斜边、直角边”的条件．
证明：∵ 犃犆⊥犅犆，犅犇⊥犃犇，
D C
∴ ∠犆＝∠犇＝９０°．
在Ｒｔ△犃犅犆和Ｒｔ△犅犃犇中，
A B
烄犃犅＝犅犃，
图１４．２２３
烅
烆犃犆＝犅犇，
∴ Ｒｔ△犃犅犆≌Ｒｔ△犅犃犇 （ＨＬ）．
∴ 犅犆＝犃犇．
４２ 第十四章 全等三角形
１．如图，犆是路段犃犅的中点，两人从犆同时出发，以相同的速度分别
沿两条直线行走，并同时到达犇，犈两地，且犇犃⊥犃犅，犈犅⊥犃犅．
犇，犈到路段犃犅的距离相等吗？为什么？
D
C D
A
F E
C
E
B A B
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犆犇，犃犈⊥犅犆，犇犉⊥犅犆，垂足分别为犈，犉，犆犈＝犅犉．
求证犃犈＝犇犉．


１．如图，犕是犃犅的中点，∠犃犕犆＝∠犅犕犇，犕犆＝犕犇．求证犃犆＝犅犇．
A
C D D E
B
A M B C
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈，求证∠犅＝∠犆．
３．如图，把两根钢条的中点连在一起，可以做成一个测量
A B

工件内槽宽的工具 （卡钳）．在图中，要测量工件内槽宽
犃犅，只需要测量哪些量？为什么？
O
A

B
（第３题）
第十四章 全等三角形 ４３４．如图，∠１＝∠２，∠３＝∠４．求证犃犆＝犃犇．
D
A D
A 1 B 3 1
2 4
2
C B C
（第４题） （第５题）
５．如图，∠１＝∠２，∠犅＝∠犇．求证犃犅＝犆犇．
６．如图，从犆地看犃，犅两地的视角∠犆是锐角，犆地与犃，犅两地的距离相
等．犃地到路段犅犆的距离犃犇与犅地到路段犃犆的距离犅犈相等吗？为什么？
E
C
A
E D
D
A B B C
（第６题） （第７题）
７．如图，犃犅＝犃犇，犃犆＝犃犈，犅犆＝犇犈．求证∠犅犃犆＝∠犇犃犈．
８．如图，在一个平分角的仪器中，犃犅＝犃犇，犅犆＝犇犆．将点犃放在角的顶点，
犃犅和犃犇沿着角的两边放下，沿犃犆画一条射线犃犈，犃犈就是这个角的平
分线．你能说明它的道理吗？
A
B
B
B D
C
C
C
E O A A
（第８题） （第９题） （第１０题）
９．如图，点犆在∠犃犗犅的边犗犅上．利用直尺和圆规过点犆作射线犗犃的平行
线犆犇．
１０．如图，已知△犃犅犆．利用直尺和圆规作△犃犅犇，使∠犅犃犇＝∠犅犃犆，犃犇＝
犃犆（点犇与点犆在犃犅的不同侧）．
４４ 第十四章 全等三角形１１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犃犇是高．求证：犅犇＝犆犇，∠犅犃犇＝∠犆犃犇．
A
A D
B D C C B
（第１１题） （第１２题）
１２．如图，犃犆⊥犆犅，犇犅⊥犆犅，垂足分别为犆，犅，犃犅＝犇犆．求证∠犃犅犇＝
∠犃犆犇．

１３．如图，点犅，犈，犆，犉在一条直线上，犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉，犅犈＝犆犉．求
证∠犃＝∠犇．
A D D C
O
B E C F A B
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，犗犃＝犗犆，犗犅＝犗犇．求证犃犅∥犆犇．
１５．如图，点犅，犉，犆，犈在一条直线上，犉犅＝犆犈，犃犅∥犇犈，犃犆∥犇犉．求
证：犃犅＝犇犈，犃犆＝犇犉．
A
A A

B F C E
D B D C B
 D
 C

（第１５题） （第１６题）
１６．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应角的
平分线．求证犃犇＝犃′犇′．
第十四章 全等三角形 ４５ 
１７．如图，犇是犃犅上一点，犇犉交犃犆于点犈，犇犈＝犉犈，犉犆∥犃犅．犃犈与
犆犈有什么关系？证明你的结论．
A
A
F
E
E
D
B C B D C
（第１７题） （第１８题）
１８．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇是犅犆的中点，点犈在犃犇上．找出
图中的全等三角形，并证明它们全等．
 
探究三角形全等的条件
我们知道，三条边、三个角这六个元素中的两个分别相等的两个三角形不
一定全等．通过在两个元素分别相等的基础上添加一个元素相等的条件，可以
得到判定这两个三角形全等的方法．利用信息技术工具也可以探究这个问题．
先来探究在两边分别相等的基础上再添加它们夹角
C
相等的情况．
如图１，任意画△犃犅犆，在∠犅犃犆的内部作犃犆′， C

使犃犆′＝犃犆，连接犅犆′．这样△犃犅犆与△犃犅犆′有两边
分别相等．让犃犆′绕点犃旋转，使△犃犅犆与△犃犅犆′在
A B
犃犅的同旁，测量∠犅犃犆，∠犅犃犆′．可以发现： 图１
当∠犅犃犆′＜∠犅犃犆时，点犆′在∠犅犃犆的内部 （图２）；
C 
BAC 63.57˚ C( C 
 ) C
 C
BAC 63.57˚

BAC
 31.26˚ 
BAC 63.57˚ 
BAC
 94.76˚

BAC
 63.57˚
C

A B A B A B
图２ 图３ 图４
４６ 第十四章 全等三角形当∠犅犃犆′＝∠犅犃犆时，点犆′与点犆重合 （图３）；
当∠犅犃犆′＞∠犅犃犆时，点犆′在∠犅犃犆的外部 （图４）．
由此你能得出什么结论？
类似地，你能探究在两边分别相等的基础上再添加一边相等的情况吗？
我们再来探究两角和它们的夹边分别相等的两个三角形是否全等．
如图５，任意画△犃犅犆，在边犃犆上取点犆′，连接
犅犆′．这样△犃犅犆与△犃犅犆′有一边和一角分别相等．沿
C
射线犃犆拖动点犆′，测量∠犃犅犆，∠犃犅犆′．可以发现：
当∠犃犅犆′＜∠犃犅犆时，点犆′在边犃犆（不包括端 C

点）上 （图６）；
当∠犃犅犆′＝∠犃犅犆时，点犆′与点犆重合 （图７）； A B
当∠犃犅犆′＞∠犃犅犆时，点犆′在边犃犆的延长线上 图５
（图８）．
由此你能得出什么结论？

ABC 67.44˚ 
ABC 67.44˚ 
ABC 67.44˚ C


ABC
 44.52˚ 
ABC
 67.44˚ 
ABC
 77.16˚
C C( C 
 )
C
C

A B A B A B
图６ 图７ 图８
类似地，你能探究斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形是否全等吗？
第十四章 全等三角形 ４７１４．３ 角的平分线
前面我们学习了全等三角形的性质和判定，知道可以通
过证明三角形全等，来证明线段相等或角相等．本节利用这
个方法研究角的平分线，研究角的平分线上的点具有什么特
性，以及满足什么条件的点在角的平分线上．
角的平分线上的点的特性是由其与角的两边的关系体现的．我们先来看角
的平分线上的点与角两边上的点所连线段的数量关系．
/
如图１４．３１，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆
A
上的任意一点，犕，犖分别是犗犃，犗犅上的点，我们
研究犘犕与犘犖的关系． M C
P
研究几何图形的关系时，我们往往关注其中的一
O N B
些特殊情况．在图１４．３１中，当犗犕与犗犖满足什么
图１４．３１
关系时，犘犕＝犘犖？
在图１４．３１中可以发现，在△犗犘犕和△犗犘犖中，犗犘＝犗犘，∠犘犗犕＝
∠犘犗犖．如果犗犕＝犗犖，那么△犗犘犕≌△犗犘犖 （ＳＡＳ），就有犘犕＝犘犖．
反过来，如图１４．３２，犕，犖分别是∠犃犗犅的边
A
犗犃，犗犅上的点，犗犕＝犗犖．点犘在∠犃犗犅的内部，
犘犕＝犘犖．连 接 犗犘，可 以 证 明 △犗犘犕≌ △犗犘犖 M
P
（ＳＳＳ），所以∠犘犗犕＝∠犘犗犖，即点犘在∠犃犗犅的平分
O N B
线上． 图１４．３２
5
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗？
根据上述结论，可以先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两
点，再在角的内部作出与这两点距离相等的点，以角的顶点为端点，作过这个
４８ 第十四章 全等三角形点的射线，就能得到角的平分线了．下面是具体作法．
作法：如图１４．３３，已知∠犃犗犅．
（１）以点犗为圆心，适当长为半径作弧，交犗犃
A
于点犕，交犗犅于点犖；
M
１ C
（２）分别以点犕，犖为圆心，大于 犕犖的长为
２
O N B
半径作弧 （想一想为什么），两弧在∠犃犗犅的内部相
图１４．３３
交于点犆；
（３）作射线犗犆，则射线犗犆为∠犃犗犅的平分线．
下面再来看角的平分线上的点与角两边上的点所连线段与角两边的位置关
系，我们仍研究其中的特殊情形．
/
A
如图１４．３４，犗犆是∠犃犗犅的平分线．点犘，
１ D
3
犘，犘，…在犗犆上，过点犘，犘，犘，…分别画 D
2
C
２ ３ １ ２ ３ D
1 P
犗犃与犗犅的垂线，垂足分别为犇 与犈、犇 与犈、 P 3
１ １ ２ ２ P 1 2
犇 与犈……．分别比较犘犇 与犘犈、犘犇 与 O E 1 E 2 E 3 B
３ ３ １ １ １ １ ２ ２ 图１４．３４
犘犈、犘犇 与犘犈……，你有什么发现？
２ ２ ３ ３ ３ ３
可以发现，犘犇＝犘犈，犘犇＝犘犈，犘犇＝犘犈，…，由此我们
１ １ １ １ ２ ２ ２ ２ ３ ３ ３ ３
猜想角的平分线有以下性质：
角的平分线上的点到角两边的距离相等．
下面，我们证明这个性质．首先，要分清其中的 “已知”和 “求证”．显
然，已知为 “一个点在一个角的平分线上”，要证的结论为 “这个点到这个角
两边的距离相等”．为了更直观、清楚地表达题意，我们通常在证明之前画出
图形，并用符号表示已知和求证．
A
如图１４．３５，犗犆是∠犃犗犅的平分线，点犘在犗犆
D
上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，垂足分别为犇，犈．求证
C
P
犘犇＝犘犈．
O E B
分析：如果能证明△犗犘犇≌△犗犘犈，就可以得到 图１４．３５
犘犇＝犘犈．由题意可知，△犗犘犇和△犗犘犈具备 “角角边”的条件．
第十四章 全等三角形 ４９证明：∵ 犗犆是∠犃犗犅的平分线，
∴ ∠犃犗犆＝∠犅犗犆．
∵ 犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
∴ ∠犘犇犗＝∠犘犈犗＝９０°．
在△犗犘犇和△犗犘犈中，
烄∠犃犗犆＝∠犅犗犆，
烅∠犘犇犗＝∠犘犈犗，
烆犗犘＝犗犘，
∴ △犗犘犇≌△犗犘犈（ＡＡＳ）．
∴ 犘犇＝犘犈．
一般情况下，要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
１．明确命题中的已知和求证；
２．根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
３．经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程．

１．如图，在直线犕犖上求作一点犘，使点犘在∠犃犗犅的内部，且点犘到
射线犗犃和犗犅的距离相等．
A
F
A
D
C
M N
P
O B O E G B
（第１题） （第２题）
２．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，点犘在犗犆上，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
垂足分别为犇，犈．点犉，犌分别在犗犃，犗犅上，犇犉＝犈犌，连接
犘犉，犘犌．求证犘犉＝犘犌．
我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性
质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一
定在角的平分线上吗？
５０ 第十四章 全等三角形通过判定两个三角形全等，可以得到：
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． 按照证明命题的步
从上面两个结论可以看出，角的平分线上的点 骤，自己证明这个结论．
到角两边的距离相等；反过来，角的内部到角两边
距离相等的点在角的平分线上．所以在角的内部，角的平分线 （顶点除外）可
以看成到角两边距离相等的所有点的集合．
例 如图１４．３６，△犃犅犆的角平分线犅犕，
A
犆犖相交于点犘．求证： D
N F
P M
（１）点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等；
（２）△犃犅犆的三条角平分线交于一点．
B E C
分析：（１）由已知可得点犘到边犃犅，犅犆的距
图１４．３６
离相等，点犘到边犅犆，犆犃的距离相等，由此可得点犘到三边的距离相等；
（２）要证△犃犅犆的三条角平分线交于一点，只要证点犘也在∠犃的平分线上．
证明：（１）过点犘作犘犇⊥犃犅，犘犈⊥犅犆，犘犉⊥犆犃，垂足分别为犇，犈，犉．
∵ 犅犕是△犃犅犆的角平分线，点犘在犅犕上，
∴ 犘犇＝犘犈．
同理 犘犈＝犘犉．
∴ 犘犇＝犘犈＝犘犉．
即点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃的距离相等．
（２）由 （１）得，点犘到边犃犅，犆犃的距离相等，
∴ 点犘在∠犃的平分线上．
∴ △犃犅犆的三条角平分线交于一点．

１．如图，犃犅⊥犆犇，犆犈⊥犃犇，垂足分别为犅，犈，犃犅＝
A
犆犈，犃犅，犆犈相交于点犉，连接犇犉．求证：犉犇平
分∠犅犉犈．
F E
２．如图，已知△犃犅犆，犅犉是△犃犅犆的外角∠犆犅犇的平
C B D
分线，犆犌是△犃犅犆的外角∠犅犆犈的平分线，犅犉，犆犌
（第１题）
第十四章 全等三角形 ５１相交于点犘．求证：
E
（１）点犘到三边犃犅，犅犆，犆犃所在直线的距
C F
离相等；
P
G
（２）点犘在∠犃的平分线上．
A B D
（第２题）


１．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，且犅犇＝犆犇，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥
犃犆，垂足分别为犈，犉．求证犈犅＝犉犆．
A
A
E D
E F F
B D C B C
（第１题） （第２题）
２．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，犅犇⊥犃犆，犆犈⊥犃犅，垂足分别为犇，犈，
犅犇，犆犈相交于点犉．求证：犉犃平分∠犇犉犈．
３．如图，犆犇⊥犃犅，犅犈⊥犃犆，垂足分别为犇，犈，犅犈，犆犇相交于点犗，犗犅＝
犗犆．求证∠１＝∠２．
A
1 2 A
D E
O
B C B C
（第３题） （第４题）
４．如图，在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，在边犃犆上求作一点犘，使点犘到边犅犆
和边犃犅的距离相等．
５２ 第十四章 全等三角形
５．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线，犘是犃犇上一点，犘犈∥犃犅，交
犅犆于点犈，犘犉∥犃犆，交犅犆于点犉．求证：点犇到犘犈和犘犉的距离相等．
A A
D
P C
F
P
B E D F C O E B
（第５题） （第６题）
６．如图，犗犆是∠犃犗犅的平分线，犘是犗犆上的一点，犘犇⊥犗犃，犘犈⊥犗犅，
垂足分别为犇，犈．犉是犗犆上的另一点，连接犇犉，犈犉．求证犇犉＝犈犉．
 
７．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别为犈，犉，
连接犈犉，犈犉与犃犇相交于点犌．犃犇与犈犉垂直吗？证明你的结论．
D C
A
E
E
G
F
B D C A B
（第７题） （第８题）
８．如图，∠犅＝∠犆＝９０°，犈是犅犆的中点，犇犈平分∠犃犇犆．求证：犃犈平分
∠犇犃犅．（提示：过点犈作犈犉⊥犃犇，垂足为犉．）
第十四章 全等三角形 ５３公理化方法，就是从尽可能少的基本概
念和尽可能少的一组不加证明的原始命题
（公理或公设）出发，应用严格的逻辑推理，
推导出其余的命题，使某一数学分支成为演
绎系统的一种方法．
借助这种方法，就可以将知识整理在一
个严密的系统中，建成一座 “大厦”．《原本》
（犈犾犲犿犲狀狋狊）就是从５个公理、５个公设和一
古希腊数学家欧几里得 （Ｅｕｃｌｉｄ，活动
些基本定义出发，建立了一座由４００多个定
于公元前３００年前后）运用公理化方
理组成的 “几何大厦”，这是历史上的第一
法，系统整理已有的几何知识，写成了
个数学公理化体系，也称欧氏几何．此后，
《原本》．
它成为数学乃至科学发展的公理化典范．
最早的 《原本》（前六卷）汉译本是１６０７
年由徐光启 （１５６２—１６３３）和利玛窦
（ＭａｔｔｅｏＲｉｃｃｉ，１５５２—１６１０）合译的，翻
译时使用了 “几何原本”这个名称．
５４ 第十四章 全等三角形在欧氏几何中，第五公设为：同一平面内一条直线和另外两条直线相交，如果在某一
侧的两个内角的和小于１８０°，那么这两条直线无限延长后在这一侧相交．第五公设不像其他
几个公设那样，看上去简单明了，所以自古希腊时代，数学家们就想方设法地要 “证明”
它，但都未成功．１９ 世纪初，罗巴切夫斯基 （Ｌｏｂａｃｈｅｖｓｋｙ，１７９２—１８５６）、波尔约
（Ｂｏｌｙａｉ，１８０２—１８６０）、高斯 （Ｇａｕｓｓ，１７７７—１８５５）等数学家从 “证明”转向 “替代”，于
是，当定义不相交的直线为平行线，在新系统中，使用新的平行公设时，新的公理系
统———非欧几何就诞生了．
过给定直线外一点，可以并 欧氏几何中，三角形的内
且只能作一条直线与已知直 角和等于１８０°．
线平行．（等价于第五公设．）
替代公设：过给定直线外一 双曲几何中，三角形的内
点，至少可以作两条直线与 角和小于１８０°．
已知直线平行．
替代公设：过给定直线外一 球面几何中，三角形的内
点，不能作任何一条直线与 角和大于１８０°．
已知直线平行．
面对新出现的几何，数学家们开始探索它们之间的本质联系，德国数学家希尔伯特
（Ｈｉｌｂｅｒｔ，１８６２—１９４３）在 《几何基础》（１８９９年）一书中建立了一个完备的几何公理系统．
《原本》启示人们，在众多事物中，可以找出最基本的那些，并把它们作为起点，以推
导出各种各样的结论，形成公理体系．
第十四章 全等三角形 ５５
=#"E!K\\'8
图１是两个根据全等形设计的图案．仔细观察一下，每个图案中有哪
些全等形？有哪些全等三角形？你能类似地设计一些图案吗？
注意一下你的身边，哪些是全等形？哪些是全等三角形？各找几个
例子与同学交流．
图１
=#E!K Z/\63'C1
如图２，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′．把△犃犅犆，△犃′犅′犆′剪下来，用它们
拼图，使边犅犆与边犅′犆′重合，顶点犃与顶点犃′不重合，画出你拼出的
图形．在你画出的图形中，连接犃犃′，用测量、折纸等方法猜想犅犆，
犃犃′有什么关系，然后用全等三角形的知识证明你的猜想．
A A

B C B
 C

图２
５６ 第十四章 全等三角形
  
  
 


  

    

 
本章我们首先通过生活实例认识了全等形，了解了全等三角形及其
性质．然后，从定义出发，利用几何直观，得出了判定三角形全等的基本
事实 （“边角边”“角边角”“边边边”）；由 “角边角”的基本事实，通
过推理论证得到了 “角角边”的判定方法；并通过证明三角形全等得出
线段相等或角相等．最后，利用全等三角形的知识进一步研究了角的平
分线．
三角形的三条边、三个角之间的关系刻画了三角形的性质，全等三
角形的性质也是用它们的对应边、对应角之间的关系刻画的．由全等三角
形的性质可知，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等，对应角
相等．三角形全等的判定方法则指明了两个三角形的边、角分别满足什么
条件时这两个三角形全等．对于直角三角形的全等，还可以用 “斜边、直
角边”来判定．
先判定两个三角形全等，再利用全等三角形的性质，可以证明线段
相等或角相等，角的平分线的性质就是用这种方法证明的．今后，我们经
常使用这种利用三角形全等研究图形性质的方法，以进一步提升我们的
推理能力．
第十四章 全等三角形 ５７在本章中，我们还进一步学习了尺规作图，包括作一个角等于已知角，
已知三边、已知两边和它们的夹角或已知两角和它们的夹边作三角形，作
一个角的平分线，等等．我们经历了这些尺规作图的过程，理解了这些尺
规作图的原理和方法．在几何学习中，作出规范的图形往往有利于图形性
质的发现和问题的解决，对此你在后续的学习中会有进一步的体会．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．你能举一些实际生活中全等形的例子吗？
２．全等三角形有什么性质？
３．从三角形的三条边分别相等、三个角分别相等中任选三个作为条
件来判定两个三角形是否全等时，哪些是能够判定的？两个直角三角形
全等的条件是什么？
４．你对角的平分线有了哪些新的认识？你能通过判定三角形的全等
证明角的平分线的性质吗？
５．你能举例说明证明一个几何命题的一般过程吗？
６．从一些基本事实出发，通过推理论证得到图形的性质是几何研究
的常用方法．结合本章的学习，你对此有什么体会？
 

１．图中有三个正方形，请你说出图中所有的全等三角形．
A D
E
B F C
（第１题） （第２题）
２．如图，在长方形犃犅犆犇中，犃犉⊥犅犇，垂足为犈，犃犉交犅犆于点犉，连接犇犉．
（１）图中有全等三角形吗？
（２）图中有面积相等但不全等的三角形吗？
５８ 第十四章 全等三角形３．如图，犃犅＝犃犆，犃犇＝犅犇＝犃犈＝犆犈．求证∠犇＝∠犈．
A
A D
D E E
2
1
B C B C
（第３题） （第４题）
４．如图，犆犃＝犆犇，∠１＝∠２，犅犆＝犈犆．求证犃犅＝犇犈．
５．如图，海岸上有犃，犅两个观测点，点犅在点犃的正东方，海岛犆在观测点犃
的正北方，海岛犇在观测点犅的正北方．如果从观测点犃看海岛犆，犇的视角
∠犆犃犇与从观测点犅看海岛犆，犇的视角∠犆犅犇相等，那么海岛犆，犇到观
测点犃，犅所在海岸的距离犆犃，犇犅相等．请你说明理由．
D C
C D
E
A B A B
（第５题） （第６题）
６．如图，犃犅＝犆犇，犃犆⊥犅犇，垂足为犈，犃犈＝犆犈．求证犅犈＝犇犈．
７．如图，在△犃犅犆中，犇是犅犆的中点，犇犈⊥犃犅，犇犉⊥犃犆，垂足分别为犈，
犉，犅犈＝犆犉．求证：犃犇是△犃犅犆的角平分线．
A
E F
B D C
（第７题） （第８题）
８．如图，为了促进旅游业的发展，某地要在三条公路围成的一块平地上修建一个
度假村．要使这个度假村到三条公路的距离相等，应在何处修建？

９．如图，两车从路段犃犅的两端同时出发，沿平行路线以相同的速度行驶，相同时间
第十四章 全等三角形 ５９后分别到达犆，犇两地．犆，犇两地到路段犃犅的距离犆犈，犇犉相等吗？为什么？
A C
A
E
F C D
D B B E
（第９题） （第１０题）
１０．如图，点犆是犃犅的中点，犆犇∥犅犈，且犆犇＝犅犈．求证犃犇∥犆犈．
１１．如图，∠犃犆犅＝９０°，犃犆＝犅犆，犃犇⊥犆犈，犅犈⊥犆犈，垂足分别为犇，犈，犃犇＝
２．５，犇犈＝１．７．求犅犈的长．
B
E
C
D
D
C A A E B
（第１１题） （第１２题）
１２．如图的三角形纸片犃犅犆中，犃犅＝８ｃｍ，犅犆＝６ｃｍ，犃犆＝５ｃｍ．沿过点犅的
直线折叠这个三角形，使点犆落在犃犅边上的点犈处，折痕为犅犇．求△犃犈犇
的周长．
１３．如图，△犃犅犆≌△犃′犅′犆′，犃犇，犃′犇′分别是△犃犅犆，△犃′犅′犆′的对应边上的
中线．犃犇与犃′犇′有什么关系？证明你的结论．
A A
 A
B D C B
 D
 C
 B D C
（第１３题） （第１４题）
 
１４．如图，在△犃犅犆中，犃犇是它的角平分线．求证犛 ∶犛 ＝犃犅∶犃犆．
△犃犅犇 △犃犆犇
１５．求证：如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线分别相等，那么这两个三
角形全等．
６０ 第十四章 全等三角形第十五章 轴对称
我们生活在一个充满对称的世界中：自然界的许多动植物按对称形生长，
许多建筑都设计成对称形，艺术作品的创作往往也从对称角度考虑，我国的方
块字中有些也具有对称性，……对称给我们带来很多美的感受！
轴对称是一种重要的对称．本章我们将类比研究平移的方法，从生活中的
对称出发，学习几何图形的轴对称及其性质，并利用轴对称来研究等腰三角
形，进而通过推理论证得到等腰三角形、等边三角形的性质和判定方法，由此
体会图形变化在几何研究中的作用．
让我们一起探索轴对称的奥秘吧！
书书书１５．１ 图形的轴对称
与平移一样，轴对称也是一种基本的图形变化．本节我
们类比研究平移的方法，研究轴对称及其性质．
１５１１ 轴对称及其性质
对称现象无处不在，从自然景观到艺术作品，从建筑物到交通标志，甚至
日常生活用品中，都可以找到对称的例子 （图１５．１１）．
图１５．１１
图１５．１２是３种美丽的窗花，它们都是通过把一张纸对折，剪出一个
图案 （折痕处不要完全剪断），再打开这张对折的纸得到的．观察这些窗
花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
图１５．１２
６２ 第十五章 轴对称像窗花一样，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互
相重合，这个图形就叫作轴对称图形 （ａｘｉｓｙｍｍｅｔｒｉｃｆｉｇｕｒｅ），这条直线就是它
的对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫作对称点．这时，也说这个图形关于
这条直线对称．你能再举出一些轴对称图形的例子吗？
下面的每对图形有什么共同特点？
A
B
C
图１５．１３
把图１５．１３中的每一对图形沿着虚线折叠，左边的图形能与右边的图形
重合．
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如
果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形
请你标出图１５．１３
关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条 中点犃，犅，犆的对称
直线对称．同样地，这条直线叫作对称轴，折叠后 点犃′，犅′，犆′．
重合的点是对应点，叫作对称点．你能再举出一些
两个图形成轴对称的例子吗？
5
轴对称图形和两个图形成轴对称有什么区别和联系？
轴对称图形指的是一个图形沿对称轴折叠后，这个图形的两部分能够重
合；两个图形成轴对称指的是两个图形之间的位置关系，这两个图形沿对称轴
折叠后能够重合．把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形关于
这条轴对称；把成轴对称的两个图形看成一个整体，它就是一个轴对称图形．
下面，我们研究轴对称的性质．
显然，成轴对称的两个图形全等．接下来，类似于平移，我们研究图形变
化前后对应点之间的关系．
第十五章 轴对称 ６３/ M
A A

如图１５．１４，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线
P
犕犖对称，点犃′，犅′，犆′分别是点犃，犅，犆的
B B

对称点，线段犃犃′，犅犅′，犆犆′与直线犕犖有什
C C

N
么关系？其他对称点呢？
图１５．１４
图１５．１４中，点犃与犃′是对称点，设犃犃′交对称轴犕犖于点犘，将
△犃犅犆或△犃′犅′犆′沿犕犖折叠后，点犃与犃′重合．于是有
犃犘＝犃′犘，∠犕犘犃＝∠犕犘犃′＝９０°．
对于其他对称点，如点犅与犅′，点犆与犆′也有同样的
l
结论．因此，对称轴经过对称点所连线段的中点，并且垂直
于这条线段．这样，就得到轴对称的性质：
A A

成轴对称的两个图形中，连接对称点的线段被对称轴垂
直平分． B B

轴对称图形也具有类似的性质．例如图１５．１５中，对称
图１５．１５
轴犾垂直平分对称点所连线段犃犃′，犅犅′．
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线
（ｐｅｒｐｅｎｄｉｃｕｌａｒｂｉｓｅｃｔｏｒ）．由轴对称的性质可知，无论是成轴对称的两个图形，
还是轴对称图形，其对称轴都是其任意一对对称点所连线段的垂直平分线．

１．如图所示的每个图形是轴对称图形吗？如果是，指出它的对称轴．
（１） （２） （３） （４） （５）
（第１题）
２．如图所示的每幅图形中的两个图案是成轴对称的吗？如果是，指出它
们的对称轴，并找出一对对称点．
６４ 第十五章 轴对称（１） （２） （３）
（第２题）
３．如图，线段犃犅与犃′犅′关于直线犾对称，犃犃′
l
交直线犾于点犗，连接犅犗，犅′犗． A O A

（１）图中相等的线段有： ，
线段犃犃′的垂直平分线是 ；
B B

（２）△犗犃犅和△犗犃′犅′关于直线犾 ，
（第３题）
△犗犃犅 △犗犃′犅′， ∠犃犅犗 ＝
，∠犃′犗犅′＝ ．
１５１２ 线段的垂直平分线
轴对称图形的对称轴是连接其对称点的线段的垂直平分线，为作出对称
轴，需要研究线段的垂直平分线的性质．
我们类比角的平分线研究线段的垂直平分线．角的平分线的性质反映了角
的平分线上的点到角两边的距离的关系，类似地，我们研究线段的垂直平分线
上的点与线段两个端点的距离的关系．
P
1
/
P
2
如图１５．１６，直线犾垂直平分线段犃犅，
P
3
点犘，犘，犘，…在犾上，分别比较点犘，
１ ２ ３ １ A B
犘，犘，…与点犃的距离和这些点与点犅的
２ ３
距离，你有什么发现？ l
图１５．１６
可以发现，犘犃＝犘犅，犘犃＝犘犅，犘犃＝犘犅，…，如果把线段犃犅
１ １ ２ ２ ３ ３
沿直线犾对折，线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅、线段犘犃与犘犅……
１ １ ２ ２ ３ ３
都是重合的，因此它们也分别相等．由此猜想线段的垂直平分线有以下性质：
第十五章 轴对称 ６５线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．
通过证明两个三角形全等，可以证明这个性质．
l
如图１５．１７，直线犾⊥犃犅，垂足为犆，犃犆＝犅犆，
P
点犘在犾上．求证犘犃＝犘犅．
证明：当点犘与点犆不重合时， A C B
∵ 犾⊥犃犅， 图１５．１７
∴ ∠犘犆犃＝∠犘犆犅．
又 犃犆＝犅犆，犘犆＝犘犆，
∴ △犘犆犃≌△犘犆犅（ＳＡＳ）． 当点犘与点犆重合
∴ 犘犃＝犘犅． 时，显然成立．
5
把上面线段的垂直平分线的性质的题设和结论反过来，得到的命题还
成立吗？即如果犘犃＝犘犅，那么点犘是否在线段犃犅的垂直平分线上呢？
同样地，通过证明两个三角形全等，可以
得到：
请你自己证明这个
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂 结论．
直平分线上．
从上面两个结论可以看出，线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的
距离相等；反过来，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线
上．所以线段的垂直平分线可以看成与这条线段两个端点距离相等的所有点的
集合．
5
分析上面关于线段的垂直平分线的两个命题，它们的题设和结论有什
么关系？你还学习过其他具有类似关系的命题吗？
这两个命题的题设、结论正好相反．我们把具有这种关系的两个命题叫作
互逆命题．如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题．
一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立．例如，上
面关于垂直平分线的两个互逆命题都是成立的；而命题 “对顶角相等”成立，
它的逆命题 “如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”却不成立．
６６ 第十五章 轴对称如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两
个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理．在几何中，
有许多互逆的定理．例如，上面关于垂直平分线的两个互逆命题是互逆定理，
“两直线平行，内错角相等”和 “内错角相等，两直线平行”也是互逆定理．

１．如图，犃犇⊥犅犆，犅犇＝犇犆，点犆在犃犈的垂直平分线上．犃犅，犃犆，
犆犈的长度有什么关系？犃犅＋犅犇与犇犈有什么关系？
A
A
M
B D C E B C
（第１题） （第２题）
２．如图，犃犅＝犃犆，犕犅＝犕犆．直线犃犕是线段犅犆的垂直平分线吗？
为什么？
３．写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立．
（１）两直线平行，同位角相等；
（２）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；
（３）全等三角形的对应角相等．
5
如何利用直尺和圆规作线段的垂直平分线？
如图１５．１８，已知线段犃犅，要作线段犃犅的垂直
平分线．由于 “两点确定一条直线”，所以作线段犃犅的 C
垂直平分线，关键是确定所求作的垂直平分线上的两个
A B
点．根据与犃，犅距离相等的点在线段犃犅的垂直平分
线上，可以作出这样的两个点． D
作法：如图１５．１８． 图１５．１８
１
（１）分别以点犃和点犅为圆心，大于 犃犅的长为半径作弧，两弧相交于
２
第十五章 轴对称 ６７犆，犇两点；
（２）作直线犆犇，则直线犆犇就是线段犃犅的
也可以用这种方法
垂直平分线． 确定线段的中点．
学习了线段的垂直平分线的作法，就可以作对称轴了．
由于成轴对称的两个图形的对称轴是其任意一对对称点所连线段的垂直平
分线，所以只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可
以得到这两个图形的对称轴．
同样地，对于轴对称图形，只要任意找一对对称点，作出连接它们的线段
的垂直平分线，就得到此图形的对称轴．
例如，对于图１５．１９中的五角星，我们可以找出它的
一对对称点犃和犃′，连接犃犃′，作出线段犃犃′的垂直平分
A A

线犾，则犾就是这个五角星的一条对称轴．
类似地，你能作出这个五角星的其他对称轴吗？
l
利用作线段的垂直平分线，还可以完成其他尺规作图．
图１５．１９
例 尺规作图：经过已知直线外一点作这条直线的
垂线． C
已知：直线犃犅和犃犅外一点犆（图１５．１１０）．
求作：犃犅的垂线，使它经过点犆．
A D E B
分析：假设所求作直线已经作出，则它不仅过点犆 F
与直线犃犅垂直，而且是连接犃犅上与垂足距离相等的 图１５．１１０
两点的线段的垂直平分线．我们已经会作线段的垂直平分线，因此需要首先在
直线犃犅上确定这两点．根据前面关于线段的垂直平分线的定理，这两点只需
满足与点犆的距离相等即可．
作法：如图１５．１１０．
由 （１）可知，点
（１）以点犆为圆心，适当长为半径作弧，交直 犆在线段犇犈的垂直平
线犃犅于点犇和点犈； 分线上，因而再作出与
１ 犇，犈距离相等的另一
（２）分别以点犇和点犈为圆心，大于 犇犈的
２ 点犉，就能得到线段
长为半径作弧，两弧相交于点犉； 犇犈的垂直平分线．
（３）作直线犆犉，则直线犆犉就是所求作的垂线．
６８ 第十五章 轴对称
１．作出下列各图形的一条对称轴，和同学比较一下，你们作出的对称轴
一样吗？
 
 
（第１题） （第２题）
２．如图，与图形 （１）成轴对称的是哪个图形？作出它们的对称轴．
３．尺规作图：经过已知直线上的一点作这条直线的垂线．


１．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，画出它的对称轴．
（第１题）
２．图中有阴影的三角形与哪些三角形成轴对称？如果把４个三角形看成一个整
体，它是轴对称图形吗？共有几条对称轴？
1 2
3
（第２题）
第十五章 轴对称 ６９３．如图，△犃犅犆和△犃′犅′犆′关于直线犾对称，∠犅＝９０°，犃′犅′＝６．求∠犅′的度
数和犃犅的长．
A A

A
E
C B B
 C

l B D C
（第３题） （第４题）
４．如图，在△犃犅犆中，犇犈是犃犆的垂直平分线，犃犈＝３，
A
△犃犅犇的周长为１３．求△犃犅犆的周长．
５．如图，犃犅＝犃犆，犇犅＝犇犆，点犈在犃犇上．求证犈犅＝犈犆．
E
６．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成
B C
立吗？
（１）同旁内角互补，两直线平行；
D
（２）如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
（第５题）
（３）全等三角形的对应边相等．

７．下面的图形是轴对称图形吗？如果是，作出它的一条对称轴．
（第７题）
８．如图，犃犇与犅犆相交于点犗，犗犃＝犗犆，∠犃＝∠犆，犅犈＝犇犈．求证：犗犈
垂直平分犅犇．
A C
O
B D a
E c
（第８题） （第９题）
７０ 第十五章 轴对称９．如图，分别以线段犪，犮为一直角边和斜边，作直角三角形．
１０．如图，某地由于居民增多，要在公路犾上增加一个公共汽车站，犃，犅是路
边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路
程一样长？在图上标出它的位置．
A A

B
B B

A
C C

l l
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，△犃犅犆与△犃′犅′犆′关于直线犾对称，对应线段犃犅和犃′犅′所在的直
线相交吗？另外两组对应线段所在的直线相交吗？如果相交，交点与对称轴
犾有什么关系？如果不相交，这组对应线段所在直线与对称轴犾有什么关系？
再找几个成轴对称的图形观察一下，你能发现什么规律？
 
１２．如图，电信部门要在犛区修建一座电视信号发射塔．按照设计要求，发射塔
与两个城镇犃，犅的距离相等，到两条高速公路犿和狀的距离也相等．发射
塔应修建在什么位置？在图上标出它的位置．
m
A
S
B
O A P
B C
n
（第１２题） （第１３题）
１３．如图，在△犃犅犆中，边犃犅，犅犆的垂直平分线相交于点犘．
（１）求证犘犃＝犘犅＝犘犆．
（２）点犘是否也在边犃犆的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？
第十五章 轴对称 ７１１５．２ 画轴对称的图形
利用轴对称的定义，并结合轴对称的性质，可以画出与
已知图形关于某条直线对称的图形，并进一步解决有关的
问题．
5
已知一个图形和一条直线，如何画出与这个图形关于这条直线对称的
图形呢？
可以通过折叠画出与一个图形成轴对称的图形．如
图１５．２１，在一张半透明的纸的左边，画一只左脚印，
把这张纸对折后描图，打开对折的纸，就可以得到与左 P P

脚印对称的右脚印，折痕所在直线就是它们的对称轴，
l
并且连接任意一对对称点的线段被对称轴垂直平分．
图１５．２１
几何图形都可以看作由点组成．对于一些规则的几
何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点 （如线段端
点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形．
例１ 如图１５．２２ （１），已知△犃犅犆和直线犾，画出与△犃犅犆关于直线犾
对称的图形．
分析：△犃犅犆由三个顶点的位置确定，只要分别画出这三个顶点关于直
线犾的对称点，连接这些对称点，就能得到要画的图形．
B
C
A
B
C l
O
A A

C

l
B

（１） （２）
图１５．２２
画法：如图１５．２２ （２）．
７２ 第十五章 轴对称（１）过点犃画直线犾的垂线，垂足为犗，在垂线
上截取犗犃′＝犗犃，犃′就是点犃关于直线犾的对称点；
想一想，为什么点
（２）同理，分别画出点犅，犆关于直线犾的对 犃′是点犃关于直线犾的
称点犅′，犆′； 对称点．
（３）连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犃′，则△犃′犅′犆′即为所求．

１．如图，把各图形补成关于直线犾对称的图形．
l
l
l
（１） （２） （３）
（第１题）
２．用纸片剪一个三角形，分别沿它一边上的中线、高及这边对角的平分
线对折，看看哪些部分能够重合，哪些部分不能重合．
类似于平移，下面我们在平面直角坐标系中研究轴对称，研究关于坐标轴
对称的图形的对称点坐标之间的关系．
/
在如图１５．２３的平面直角坐标系中，画出下列已知点及其关于坐标
轴的对称点，并把它们的坐标填入表格中，看一看每对对称点的坐标有
怎样的规律，再和同学讨论一下．
（ ）
１
已知点 犃（２，－３） 犅（－１，２） 犆（－６，－５） 犇 ，１ 犈（４，０）
２
关于狓轴
犃′（ ， ）犅′（ ， ） 犆′（ ， ） 犇′（ ， ）犈′（ ， ）
的对称点
关于狔轴
犃″（ ， ）犅″（ ， ） 犆″（ ， ） 犇″（ ， ）犈″（ ， ）
的对称点
第十五章 轴对称 ７３y
6
5
4
3
2 再找几个点，分别
1
画出它们关于狓轴和狔
-6-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 6 x
-1
轴的对称点，检验一下
-2
-3 你发现的规律．
-4
-5
-6
图１５．２３
3
点 （狓，狔）关于狓轴对称的点的坐标为 （狓，－狔）；
点 （狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为 （－狓，狔）．
在平面直角坐标系中，我们可以利用上述规律画出与一个图形关于狓轴或
狔轴对称的图形．对于一些规则的几何图形，只要先求出已知图形中的一些关
键点 （如三角形的顶点）关于坐标轴对称的点的坐标，描出并连接这些点，就
可以得到与这个图形关于坐标轴对称的图形．
例２ 如图１５．２４，四边形犃犅犆犇的四个顶点的坐标分别为犃（－５，１），
犅（－２，１），犆（－２，５），犇（－５，４），画出与四边形犃犅犆犇关于狔轴对称的图形．
解：点 （狓，狔）关于狔轴对称的点的坐标为 （－狓，狔），因此四边形
犃犅犆犇的顶点犃，犅，犆，犇关于狔轴对称的点分别为犃′（５，１），犅′（２，１），
犆′（２，５），犇′（５，４），依次连接犃′犅′，犅′犆′，犆′犇′，犇′犃′，就可得到与四边
形犃犅犆犇关于狔轴对称的四边形犃′犅′犆′犇′．
y
C 5 C

D 4 D

3
2
A B 1 B
 A

类似地，请你在图
-5 -4 -3-2-1O 1 2 3 4 5 x
１５．２４中画出与四边形
-1
犃犅犆犇关于狓轴对称的
-2
-3 图形．
-4
-5
图１５．２４
７４ 第十五章 轴对称
１．分别写出下列各点关于狓轴和狔轴对称的点的坐标：
（－２，６），（１，－２），（１，３），（－４，－２），（１，０）．
２．如图，△犃犅犗关于狓轴对称，点犃的坐标为 （１，－２），写出点犅的坐标．
y
y
3 3
2 B
C(-3, 2)
2
1 A(-4, 1) 1
-2 -1O 1 2 3 x -4 -3 -2 -1O 1 2 3 4 x
-1 -1
B(-1, -1)
-2 A(1, -2) -2
-3 -3
（第２题） （第３题）
３．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出与△犃犅犆关
于狓轴和狔轴对称的图形．


１．如图，将各图形补成关于直线犾对称的图形．
l l l l
（第１题）
２．在下列各图中的适当位置添加最少的小方格，使得到的图形关于虚线成轴对称．
（第２题）
第十五章 轴对称 ７５３．如图，以正方形犃犅犆犇的中心为原点建立平面直角坐标系．点犃的坐标为
（１，１），写出点犅，犆，犇的坐标．
y y
B A(1, 1) C(4, 3)
A(0, 3)
O x O x
B(3, -2)
C D
（第３题） （第４题）
４．如图，利用关于坐标轴对称的点的坐标的特点，分别画出△犃犅犆关于狓轴和
狔轴对称的图形．

５．根据下列点的坐标的变化，判断它们进行了怎样的变化．
（１）（－１，３）→（－１，－３）；
（２）（－５，－６）→（－５，－１）；
（３）（３，４）→（－３，４）；
（４）（－２，３）→（２，－３）．
６．如图，小球起始时位于 （３，０）处，沿所示的方向击球，小球运动的轨迹如
图所示，用坐标描述这个运动，找出小球运动的轨迹上几个关于直线犾对称
的点．如果小球起始时位于 （１，０）处，仍按原来方向击球，请你画出这时小
球运动的轨迹．
y l
4
3
2
1 C
O 1 2 3 4 5 6 7 8 x A B
（第６题） （第７题）
７．如图，已知点犃，犅，犆，请你再找一个点犇，使犃，犅，犆，犇四点构成一
个轴对称图形．这样的点犇有几个？
７６ 第十五章 轴对称 
８．如图，分别作出△犘犙犚关于直线犿（直线犿上各点的横坐标都为１）和直线
狀（直线狀上各点的纵坐标都为－１）对称的图形．它们的对称点的坐标之间
分别有什么关系？
y
7
6
2 5
4
3
P
2
R 1
-7-6-5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 6 7 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
（第８题）
第十五章 轴对称 ７７１５．３ 等腰三角形
有些几何图形是轴对称图形，利用它们的轴对称性，可
以帮助我们研究图形的性质．本节我们利用轴对称研究等腰
三角形．
１５３１ 等腰三角形
我们知道，有两边相等的三角形是等腰三角形．等腰三角形是一种特殊的
三角形，它除了具有一般三角形的性质，还有一些特殊的性质．
/
如图１５．３１，在纸上画一个等腰三
A
角形，把它剪下来．将这个等腰三角形
对折，使它的两腰重合，再展开，找出
其中重合的线段和角．
B D C
由这些重合的线段和角，你能发现 图１５．３１
等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想．
我们可以发现等腰三角形的性质：
等腰三角形的两个底角相等 （简写成 “等边对等角”）；
等腰三角形底边上的中线、高及顶角平分线重合 （简写成 “三线合一”）．
由上面的探究过程获得启发，可以利用三角形的全等证明这些性质．
如图１５．３２，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，作底边犅犆的中线犃犇，则犅犇＝犆犇．
在△犃犅犇和△犃犆犇中，
A
烄犃犅＝犃犆，
烅犅犇＝犆犇，
烆犃犇＝犃犇，
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＳＳＳ）．
B D C
∴ ∠犅＝∠犆．
图１５．３２
这样就证明了 “等边对等角”．
７８ 第十五章 轴对称由△犃犅犇≌△犃犆犇，还可得出∠犅犃犇＝∠犆犃犇，∠犅犇犃＝∠犆犇犃，从
而犃犇⊥犅犆．这也就证明了等腰三角形犃犅犆底边上的中线犃犇平分顶角∠犃
并垂直于底边犅犆．用类似的方法，还可以证明等腰三角形顶角的平分线平分
底边并且垂直于底边，底边上的高平分顶角并且平分底边．这也就证明了等腰
三角形 “三线合一”．
从以上证明也可以得出，沿底边上的中线翻折等腰三角形，两部分重合，
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线 （顶角的平分线、底边上的高）所在
直线就是它的对称轴．
例１ 如图１５．３３，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，点犇在犃犆上，犅犇＝
犅犆＝犃犇．求△犃犅犆各角的度数．
解：∵ 犃犅＝犃犆，犅犇＝犅犆＝犃犇，
A
∴ ∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆，
∠犃＝∠犃犅犇 （等边对等角）．
D
设∠犃＝狓，则
∠犅犇犆＝∠犃＋∠犃犅犇＝２狓，
B C
从而
图１５．３３
∠犃犅犆＝∠犆＝∠犅犇犆＝２狓．
于是在△犃犅犆中，有
∠犃＋∠犃犅犆＋∠犆＝狓＋２狓＋２狓＝１８０°．
解得狓＝３６°．
所以，在△犃犅犆中，∠犃＝３６°，∠犃犅犆＝∠犆＝７２°．

１．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犇＝犇犆，∠犅犃犇＝２６°．求∠犅和∠犆的度数．
A
A
B D C B D C
（第１题） （第２题）
２．如图，△犃犅犆是等腰直角三角形 （犃犅＝犃犆，∠犅犃犆＝９０°），犃犇是
第十五章 轴对称 ７９底边犅犆上的高．标出∠犅，∠犆，∠犅犃犇，∠犇犃犆的度数，并写出
图中所有相等的线段．
３．求证：如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角
形是直角三角形．
5
我们知道，如果一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等．
反过来，如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？
如图１５．３４，在△犃犅犆中，∠犅＝∠犆．
作△犃犅犆的角平分线犃犇．
A
在△犃犅犇和△犃犆犇中，
1 2
烄∠１＝∠２，
烅∠犅＝∠犆，
烆犃犇＝犃犇，
B D C
∴ △犃犅犇≌△犃犆犇 （ＡＡＳ）．
图１５．３４
∴ 犃犅＝犃犆．
由上面的推理过程，可以得到等腰三角形的判定方法：
有两个角相等的三角形是等腰三角形 （简写成 “等角对等边”）．
例２ 求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这
个三角形是等腰三角形．
已知：如图１５．３５，犃犇是△犃犅犆的外角∠犆犃犈的平分
线，犃犇∥犅犆． E
1
求证：犃犅＝犃犆． A D
2
分析：要证明犃犅＝犃犆，可先证明∠犅＝∠犆．因为∠１＝
∠２，所以可以设法找出∠犅，∠犆与∠１，∠２的关系．
证明：∵ 犃犇∥犅犆，
∴ ∠１＝∠犅，∠２＝∠犆． B C
图１５．３５
又犃犇平分∠犆犃犈，
８０ 第十五章 轴对称∴ ∠１＝∠２．
∴ ∠犅＝∠犆．
∴ 犃犅＝犃犆．
例３ 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为犪，底边上高的长为犺（图
１５．３６ （１）），求作这个等腰三角形．
分析：根据等腰三角形 “三线合一”的性
质，当底边确定时，底边所对的顶点在底边的
M
C
垂直平分线上．由此，作出底边的垂直平分
线，利用高的长度确定底边所对的顶点的位
置，即可作出这个等腰三角形．
a
作法：如图１５．３６ （２）．
h A D B
（１）作线段犃犅＝犪；
N
（２）作线段犃犅的垂直平分线犕犖，与 （１） （２）
犃犅相交于点犇；
图１５．３６
（３）在犕犖上取一点犆，使犇犆＝犺；
（４）连接犃犆，犅犆，则△犃犅犆就是所求作的等腰三角形．

１．如图，∠犃＝３６°，∠犇犅犆＝３６°，∠犆＝７２°．分别计算∠１，∠２的度
数，并说明图中有哪些等腰三角形．
A
D C
D
2 1 O
B C A B
（第１题） （第２题） （第３题）
２．如图，把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形
吗？为什么？
３．如图，犃犆和犅犇相交于点犗，且犃犅∥犆犇，犗犃＝犗犅．求证犗犆＝犗犇．
第十五章 轴对称 ８１１５３２ 等边三角形
我们知道，三边都相等的三角形是等边三角形，等边三角形是特殊的等腰
三角形．对于等边三角形，我们同样从它的边、角关系出发，研究它的性质和
判定．
/
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角
形满足什么条件才是等边三角形？
由等腰三角形的性质和判定方法，可以得到：
等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都
等于６０°． 请你自己证明这些
三个角都相等的三角形是等边三角形． 结论．
有一个角是６０°的等腰三角形是等边三角形．
例４ 如图１５．３７，△犃犅犆是等边三角形，
犇犈∥犅犆，分别交犃犅，犃犆于点犇，犈．求证：
A
△犃犇犈是等边三角形．
证明：∵ △犃犅犆是等边三角形，
D E
∴ ∠犃＝∠犅＝∠犆．
B C
∵ 犇犈∥犅犆， 图１５．３７
∴ ∠犃犇犈＝∠犅，∠犃犈犇＝∠犆．
∴ ∠犃＝∠犃犇犈＝∠犃犈犇．
∴ △犃犇犈是等边三角形．

A
１．画出等边三角形的三条对称轴．你能发现什么？
２．如图，在等边三角形犃犅犆中，犃犇是犅犆上的
E F
高，∠犅犇犈＝∠犆犇犉＝６０°，图中有哪些与犅犇
相等的线段？证明你的结论． B D C
（第２题）
８２ 第十五章 轴对称利用等边三角形的性质和判定，可以发现并证明直角三角形的一个性质．
/ A
如图１５．３８，在△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犃＝３０°，
30e
测量∠犃所对的直角边犅犆与斜边犃犅，你能得到什么结
论？再画几个满足条件的三角形，你得到的结论还成立
B C
吗？证明你的结论．
图１５．３８
通过测量发现：在Ｒｔ△犃犅犆中，如果∠犃＝３０°，那么直角边犅犆等于斜
边犃犅的一半．下面证明这一结论．
１
要证明犅犆＝ 犃犅，只要证明２犅犆＝犃犅．为此可以构造长为２犅犆的线
２
段，证明它和犃犅相等即可．
如图１５．３９，延长犅犆到犇，使犆犇＝犅犆，连
A
接犃犇，则犃犆是犅犇的垂直平分线，所以犃犅＝
30e
犃犇．又因为∠犅＝９０°－∠犅犃犆＝９０°－３０°＝６０°，
所以△犃犅犇是等边三角形，所以犅犇＝犃犅．又
B C D
１
犅犇＝２犅犆，所以犅犆＝ 犃犅．由此可以得到：
图１５．３９
２
在直角三角形中，如果一个锐角等于３０°，那么
你还有其他证明方
它所对的直角边等于斜边的一半．
法吗？
例５ 图１５．３１０是屋架设计图的一部分，点
犇是斜梁犃犅的中点，立柱犅犆，犇犈垂直于横梁犃犆，犃犅＝７．４ｍ，∠犃＝
３０°．求立柱犅犆，犇犈的长．
解：∵ 犇犈⊥犃犆，犅犆⊥犃犆，∠犃＝３０°，
B
１ １
∴ 犅犆＝ 犃犅，犇犈＝ 犃犇． D
２ ２
１
∴ 犅犆＝ ×７．４＝３．７． A E C
２
图１５．３１０
１
又 犃犇＝ 犃犅，
２
１ １
∴ 犇犈＝ 犃犇＝ ×３．７＝１．８５．
２ ２
答：立柱犅犆的长是３．７ｍ，犇犈的长是１．８５ｍ．
第十五章 轴对称 ８３
１．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，∠犅＝２∠犃，∠犅和∠犃各是多少度？边
犃犅与犅犆之间有什么关系？
２．在Ｒｔ△犃犅犆中，∠犆＝９０°，犃犅＝２犅犆，∠犅和∠犃各是多少度？


１． （１）等腰三角形的一个角是１１０°，它的另外两个角是多少度？
（２）等腰三角形的一边长是８，周长是１８，它的另外两边长是多少？
２．如图，犃犇∥犅犆，犅犇平分∠犃犅犆．求证犃犅＝犃犇．
A
A D
B
M
B C
（第２题） （第３题）
３．如图，五角星中有五个全等的等腰三角形，它们的顶角都是３６°．求∠犃犕犅
的度数．
４．如图，在△犃犅犆中，点犇，犈在边犅犆上，犃犅＝犃犆，犃犇＝犃犈．求证犅犇＝犆犈．
A
D C
B D E C A E B
（第４题） （第５题）
５．如图，∠犃＝∠犅＝６０°，犆犈∥犇犃，犆犈交犃犅于点犈．求证：△犆犈犅是等边
三角形．
６．如图，犃犅＝犃犆，∠犃＝４０°，犃犅的垂直平分线犕犖交犃犆于点犇．求∠犇犅犆
的度数．
８４ 第十五章 轴对称A
A
M D
N
B C B D C
（第６题） （第７题）
７．如图，厂房屋顶钢架外框是等腰三角形，其中犃犅＝犃犆，立柱犃犇⊥犅犆，且
顶角∠犅犃犆＝１２０°．犃犇与犃犅有什么数量关系？

８．某中学的同学们设计了下面的方法检测教室的房梁是否水平：
在等腰直角三角尺斜边的中点拴一条线绳，线绳的另一端挂一个铅锤，把这
块三角尺的斜边贴在房梁上，如果线绳经过三角尺的直角顶点，那么可以确
定房梁是水平的．他们的方法对吗？为什么？
N
C 84e
O B
A B
C
42e
A
（第８题） （第９题）
９．上午８时，一条船从海岛犃出发，以１５ｎｍｉｌｅ／ｈ的速度向正北航行，１０时到
达海岛犅处．从犃，犅望灯塔犆，测得∠犖犃犆＝４２°，∠犖犅犆＝８４°．求海岛
犅与灯塔犆的距离．
１０．如图，△犃犅犆是等边三角形，犈是边犃犆上的点，且∠１＝∠２，犆犇＝犅犈．
判断△犃犇犈的形状，并说明理由．
A D D
E E
A
2
1
B C B C
（第１０题） （第１１题）
１１．如图，△犃犅犇，△犃犈犆都是等边三角形．求证犅犈＝犇犆．
第十五章 轴对称 ８５１２．如图，在△犃犅犆中，犃犅＝犃犆，∠犅＝３０°，犃犇⊥犃犅，交犅犆于点犇．若
犃犇＝２，求犅犆的长．
A
A
B D C B P 2 C
（第１２题） （第１３题）
１３．如图，犘，犙是△犃犅犆的边犅犆上的两点，并且犅犘＝犘犙＝犙犆＝犃犘＝犃犙．
求∠犅犃犆的度数．
 
１４．等腰三角形两底角的平分线相等吗？两腰上的中线呢？两腰上的高呢？证明
其中的一个结论．你还能发现其他结论吗？
A
１５．如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农
户．如果∠犆＝９０°，∠犅＝３０°，要使这三家农户所得土地
的大小、形状都相同，请你试着分一分，并在图上画出来． C B
（第１５题）

三角形中边与角之间的不等关系
学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反
过来，等角所对的边也相等．那么，不相等的边 （或角）所对的角 （或边）之
间的大小关系怎样呢？大边所对的角也大吗？
如图１，在△犃犅犆中，如果犃犅＞犃犆，那么我们可以将△犃犅犆折叠，使
边犃犆落在犃犅上，点犆落在犃犅上的犇点，折痕交犅犆于点犈，则
A A
D(C)
B C B E C
图１
８６ 第十五章 轴对称∠犆＝∠犃犇犈．
∵ ∠犃犇犈＞∠犅（想一想为什么），
∴ ∠犆＞∠犅．
这说明，在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等，
大边所对的角较大．
从上面的过程可以看出，利用轴对称的性质，可以把
A
研究两个量之间的不等问题，转化为较大量的一部分与较
小量相等的问题，这是几何中研究不等问题时常用的方法．
类似地，应用这种方法，你能说明 “在一个三角形中，
B C
如果两个角不等，那么它们所对的边也不等，大角所对的
图２
边较大”吗 （图２）？
利用上面两个结论，回答下面的问题：
（１）在△犃犅犆中，已知犅犆＞犃犅＞犃犆，那么∠犃，∠犅，∠犆有怎样的
大小关系？
（２）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角
三角形吗？为什么？
（３）直角三角形的哪一条边最长？为什么？
第十五章 轴对称 ８７
"
 4 D/
在美术字中，有些文字、字母和数字是轴对称的．如图１，画出这些
文字、字母和数字的对称轴，或者把它们补齐．
   
$ + : 
   %('
图１
你能再写出几个轴对称的美术字吗？画出它们的对称轴，并与同学交流．
"
 *D/@@
利用轴对称，可以由一个基本图形得到与它成轴对称的另一个图形，
重复这个过程，可以得到美丽的图案 （图２、图３）．
图２ 图３
自己动手在一张半透明的纸上画一个图形，将这张纸折叠，描图，
再打开纸，看看你得到了什么？改变折痕的位置并重复几次，你又得到
了什么？与同学交流一下．
８８ 第十五章 轴对称我们也可以利用多次轴对称进行图案设计．对称轴的位置不同，由同
样的基本图形得到的图案也不同，如图４和图５所示．
图４ 图５
有时，将平移和轴对称结合起来，可以设计出更丰富的图案，许多
镶边和背景的图案就是这样设计的 （图６）．
图６
展开你的想象，借助信息技术工具，从一个或几个图形出发，利用
轴对称或与平移进行组合，设计一些图案，并与同学交流．
"
 06>,0+3
猜想一下，等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？如图７，你可
以将等腰三角形犃犅犆沿对称轴犃犇折叠，观察犇犈与犇犉的关系，并证
明你的结论．
A
A
E F F
B D C D E C
B
图７
如果犇犈，犇犉分别是犃犅，犃犆上的中线或∠犃犇犅，∠犃犇犆的平分
线，它们还相等吗？由等腰三角形是轴对称图形，利用类似的方法，还
可以得到等腰三角形中哪些线段相等？证明其中的一些结论．
第十五章 轴对称 ８９
  




  

  
  
 

 
轴对称是一种图形变化，它在现实生活中有广泛的应用．本章我们类
比研究平移的思路与方法，首先学习了轴对称的概念及其性质，然后学
习了画对称轴和轴对称的图形的方法．在此过程中，我们还学习了线段的
垂直平分线的性质和与之相关的尺规作图．最后利用轴对称研究等腰三角
形，重点研究了等腰三角形和等边三角形的性质和判定方法．
等腰三角形是特殊的三角形，也是轴对称图形．利用它的轴对称性，
我们不仅发现了等腰三角形的一些性质，而且从中找到了证明这些性质
的思路．借助图形的变化研究图形的性质，是几何中常用的方法，有助于
增强空间观念和几何直观，提升推理能力．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．在现实世界中存在着大量的轴对称现象，你能举出一些例子吗？
成轴对称的图形有什么特点？
２．在我们学过的几何图形中，有哪些是轴对称图形？它们的对称轴
与这个图形有怎样的位置关系？
３．对于成轴对称的两个图形，对称点所连线段与对称轴有什么关系？
如何作出与一个图形成轴对称的图形？
９０ 第十五章 轴对称４．在平面直角坐标系中，如果两个图形关于狓轴或狔轴对称，那么
对称点的坐标有什么关系？请举例说明．
５．利用等腰三角形的轴对称性，我们发现了它的哪些性质？你能通
过全等三角形加以证明吗？等边三角形作为特殊的等腰三角形，有哪些
特殊性质？
 

１．下列图形是轴对称图形吗？如果是，画出它们的对称轴．
（第１题）
２．下列各命题都成立，写出它们的逆命题．这些逆命题成立吗？
（１）如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；
（２）等边三角形是锐角三角形；
（３）如果两个角是直角，那么它们相等；
（４）角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
３．如图，犇，犈分别是犃犅，犃犆的中点，犆犇⊥犃犅，垂足为犇，犅犈⊥犃犆，垂足
为犈．求证犃犆＝犃犅．
y
C
C A 2
D
E
-4 -2 O 2 4 x
A D B B -2 E
（第３题） （第４题）
４．如图所示的点犃，犅，犆，犇，犈中，哪两个点关于狓轴对称？哪两个点关于狔
轴对称？
第十五章 轴对称 ９１５．如图，在△犃犅犆中，∠犃犅犆＝５０°，∠犃犆犅＝８０°，延长犆犅至犇，使犇犅＝犅犃，
延长犅犆至犈，使犆犈＝犆犃，连接犃犇，犃犈．求∠犇，∠犈，∠犇犃犈的度数．
C
A D C
E
D B C E A B B D A
（第５题） （第６题） （第７题）
６．如图，犃犇＝犅犆，犃犆＝犅犇，求证：△犈犃犅是等腰三角形．
１
７．如图，在△犃犅犆中，∠犃犆犅＝９０°，犆犇是高，∠犃＝３０°．求证犅犇＝ 犃犅．
４

８．作出下列轴对称图形的对称轴．
（第８题）
９．如图，从图形Ⅰ到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果是轴对称，找出对称
轴；如果是平移，是怎样的平移？
y y
4 4

 2 
 2 

-4 -2 O 2 4 x -4 -2 O 2 4 x


-2 -2
-4 -4
（１） （２）
y y
4 4
2 2




-4 -2 O 2 4 x -4 -2 O 2 4 x


-2 -2


-4 -4
（３） （４）
（第９题）
９２ 第十五章 轴对称１０．如图，犃犇是△犃犅犆的角平分线，犇犈，犇犉分别是△犃犅犇和△犃犆犇的高．求
证：犃犇垂直平分犈犉．
A A A
D
D
E
F F
B D C B E C B C E
（第１０题） （第１１题） （第１２题）
１１．如图，在等边三角形犃犅犆的三边上，分别取点犇，犈，犉，使犃犇＝犅犈＝犆犉．
求证：△犇犈犉是等边三角形．
１２．如图，△犃犅犆是等边三角形，犅犇是中线，延长犅犆至犈，使犆犈＝犆犇．求证
犇犅＝犇犈．
 
１３．如图，△犃犅犆是等腰三角形，犃犆＝犅犆，△犅犆犇和△犃犆犈是等边三角形，犃犈
与犅犇相交于点犉，连接犆犉并延长，交犃犅于点犌．求证：犌为犃犅的中点．
C
l l
1 2
G G 1 G 2
D E
F
A G B
（第１３题） （第１４题）
１４．如图，直线犾，犾是两条平行的直线，图形犌是一条封闭的曲线．先作图形犌
１ ２
关于直线犾对称的图形，得到图形犌，再作图形犌关于直线犾对称的图形，
１ １ １ ２
得到图形犌．图形犌可以由图形犌平移得到吗？如果可以，平移的方向与直
２ ２
线犾，犾有什么关系？平移的距离是多少？
１ ２
第十五章 轴对称 ９３综合与实践
最短路径问题
日常生活中经常会遇到最短路径问题，从数学的角度看，这类问题抽象为
几何问题后，常常是求线段和的最小值问题．在前面的学习中，我们知道，
“两点之间，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段
最短”等，接下来我们对最短路径问题进行探究．

会用数学的眼光发现生活中的最短路径问题；会用数学知识、思想、方法
描述最短路径问题，把最短路径问题转化为数学问题；会通过逻辑推理解决数
学问题；会用数学问题的结果解释最短路径问题，获得最短路径问题的答案．

１．查阅资料，列举生活中的最短路径问题．
２．了解光行最速原理：光线所行进的 “光程”最短，即光行进的时间
最短．

牧民饮马问题

任务１ 如图１，牧民从犃地出发，到一条笔直的河边犾饮马，然后到犅
地．牧民到河边的什么地方饮马可使所走的路径最短？
B
B
A A
l l
C
图１ 图２
提示：从数学的角度看，如果把河边犾近似地看成一条直线，问题就是要
在直线犾上找一点犆，使犃犆与犆犅的和最小 （图２）．
９４ 综合与实践 最短路径问题（１）如果点犃，犅是直线犾异侧的两个点，如何在犾上找一点犆，使犃犆
与犆犅的和最小 （图３）？
B
A A
l l
C C
B B

图３ 图４
（２）在任务１中，点犃，犅在直线犾的同侧，你能利用轴对称，把这个问
题转化为 （１）中的问题吗 （参考图４）？
任务２ 证明你在任务１中得到的结论．
提示：设点犆为河边犾上使犃犆＋犆犅最小的点，在犾上另外任取一点犆′，
证明犃犆＋犆犅＜犃犆′＋犆′犅．
任务３ 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决．
牧民饮马问题的拓展

任务１ 如图５，牧民从犃地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮
马，最后回到犃处．牧民怎样走可使所走的路径最短？
 
A A B
图５ 图６
任务２ 如图６，牧民从犃地出发，先到草地边
某一处牧马，再到河边饮马，然后回到犅处．牧民怎
样走可使所走的路径最短？

任务３ 如图７，牧民每天从生活区的边沿犃处
出发，先到草地边的犅处牧马，再到河边犆处饮马，

然后回到犃处．如何确定犃，犅，犆的位置，使从犃 图７
综合与实践 最短路径问题 ９５处出发，到犅处牧马，再到犆处饮马，最后回到犃处所走的路径最短？
任务４ 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决．
造桥选址问题

任务１ 如图８，犃，犅两地在一条河的两
A
岸，现要在河上造一座桥犕犖．桥造在何处可使 M
从犃到犅的路径犃犕犖犅最短？（假设河的两岸
N
是平行的直线，桥要与河垂直．）
B
提示：可以把河的两岸看成两条平行线，由 图８
于河宽固定，所以可以考虑将点犃（或犅）按与河岸垂直的方向平移河宽的距
离，使问题转化为可以利用 “两点之间，线段最短”解决的问题．
任务２ 举出类似上述数学模型的其他现实问题并加以解决．

１组建合作团队
本次综合与实践活动需要团队协作．在班级中组成５～８人一组的研究小
组，每位同学参加其中一个小组，每个小组确定一名负责人．
２方案构思
小组成员进行充分的讨论与交流，集思广益，形成解决上述任务的方案．
３方案实施
按照小组设计的方案进行任务分工，使每位成员都有明确的任务．根据规
划的研究步骤实施，完成活动任务，形成研究报告．
４展示交流
制作向全班汇报的演示文稿，选出代表向全班同学展示本组的研究成果，
分享实践过程中的活动经验、遇到的困难及其解决方法，反思活动中的不足．

通过成果展示与交流，基于各组完成的研究报告，根据情况选择任务完成
表、表现评分表、自我反思表等进行评价．与老师和全班同学一起，通过质
疑、辩论、评价，总结成果，分享体会，分析不足，开展自我评价、同学评价
和教师评价，完成本次综合与实践活动．
９６ 综合与实践 最短路径问题第十六章 整式的乘法
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长为狆ｍ，宽为犫ｍ的长方形绿
地，向两边分别加宽犪ｍ和犮ｍ，你能用几种方法表示扩大后的绿地面积？不
同的表示方法之间有什么关系？
回答上面的问题，要用到整式的乘法知识．本章我们将在七年级学习整式
的加减法的基础上，继续学习整式的乘法．整式的乘法是代数运算以及解决许
多数学问题的重要基础．我们可以类比数的运算，以运算律为基础，研究整式
的乘法运算．

a b c
p
a
p
b
p
c
p
p(a+b+c)=pa+pb+pc１６．１ 幂的运算
幂的运算是整式的乘法的基础，学习整式的乘法，需要
先学习幂的运算性质．
１６１１ 同底数幂的乘法
问题 一种电子计算机每秒可进
行１亿亿 （１０１６ ）次运算，它工作１０３ｓ
可进行多少次运算？
它工作１０３ｓ可进行运算的次数为 搭载国产芯片的 “神威·太湖之光”
１０１６×１０３．怎样计算１０１６×１０３ 呢？ 是世界上首台运行速度超过每秒１０亿亿
根据乘方的意义可知
次的超级计算机．
１０１６×１０３＝（１０×１０×…×１０）×（１０×１０×１０）
烏 烐 烑
１６个１０
＝１０×１０×…×１０
烏 烐 烑
１９个１０
＝１０１９．
/
根据乘方的意义填空，观察计算结果，你能发现什么规律？
（１）１０５×１０２＝１０（ ）；
（２）犪３ ·犪２＝犪（ ）；
（３）５犿×５狀＝５（ ） （犿，狀都是正整数）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
犪犿 ·犪狀＝（犪·犪·…·犪）·（犪·犪·…·犪）＝犪·犪·…·犪＝犪犿＋狀．
烏 烐 烑 烏 烐 烑 烏 烐 烑
犿个犪 狀个犪 （犿＋狀）个犪
因此，我们有
犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀都是正整数）．
本章中，若没有特
即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 别说明，指数中的字母
均为正整数．
９８ 第十六章 整式的乘法例１ 计算：
（１）狓２ ·狓５ ； （２）犪·犪６ ；
（３）（－２）×（－２） ４×（－２）
３
； （４）狓犿 ·狓３犿＋１．
解：（１）狓２ ·狓５＝狓２＋５＝狓７ ；
（２）犪·犪６＝犪１＋６＝犪７ ； 三个或三个以上同
（３） （－２）×（－２） ４×（－２）
３
底数幂相乘，也具有这
＝（－２）
１＋４＋３
一性质．
＝（－２） ８＝２５６；
（４）狓犿 ·狓３犿＋１＝狓犿＋３犿＋１＝狓４犿＋１．

１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）犪３ ·犪２＝犪６ ； （２）犪·犪３＝犪０＋３＝犪３ ；
（３）犿３ ·犿３＝２犿３ ； （４）狓２犿 ·狓４狀－２＝狓２犿＋４狀－２．
２．计算：
（１）犪２ ·犪６ ； （２）犫５ ·犫；
（ １） （ １）
２
（ １）
３
（３）狔２狀 ·狔狀＋１ ； （４） － × － × － ．
２ ２ ２
１６１２ 幂的乘方与积的乘方
/
根据乘方的意义及同底数幂的运算性质填空，观察计算结果，你能
发现什么规律？
（１）（３２ ） ３＝３２×３２×３２＝３（ ）；
（２）（犪２ ） ３＝ ＝犪（ ）；
（３）（犪犿 ） ３＝ ＝犪（ ）．
一般地，对于任意底数犪与任意正整数犿，狀，
狀个犪犿 狀个犿
烇 烉 烋 烇 烉 烋
（犪犿 ） 狀＝犪犿 ·犪犿 ·…·犪犿＝犪犿＋犿＋…＋犿＝犪犿狀．
第十六章 整式的乘法 ９９因此，我们有
（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀都是正整数）．
即幂的乘方，底数不变，指数相乘．
例２ 计算：
（１）（１０３ ） ５ ； （２）（犪４ ） ４ ； （３）（犪犿 ） ２ ； （４）－（狓４ ） ３．
解：（１）（１０３ ） ５＝１０３×５＝１０１５ ；
（２）（犪４ ） ４＝犪４×４＝犪１６ ；
（３）（犪犿 ） ２＝犪犿×２＝犪２犿 ；
（４）－（狓４ ） ３＝－狓４×３＝－狓１２．
/
填空，下面的运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
（１）（犪犫） ２＝（犪犫）·（犪犫）＝（犪·犪）·（犫·犫）＝犪（ 犫） （ ）；
（２）（犪犫） ３＝ ＝ ＝犪（ 犫） （ ）．
一般地，对于任意底数犪，犫与任意正整数狀，
狀个犪犫
烇 烉 烋
（犪犫） 狀＝（犪犫）·（犪犫）·…·（犪犫）
狀个犪 狀个犫
烇 烉 烋 烇 烉 烋
＝（犪·犪·…·犪）·（犫·犫·…·犫）＝犪狀犫狀．
因此，我们有
（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀是正整数）．
三个或三个以上的
即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再 积的乘方，也具有这一
把所得的幂相乘． 性质．
例３ 计算：
（１）（２犪） ３ ； （２）（－５犫） ３ ； （３）（狓狔２ ） ２ ； （４）（－２狓３狔） ４．
解：（１）（２犪） ３＝２３ ·犪３＝８犪３ ；
（２）（－５犫） ３＝（－５）
３
·犫３＝－１２５犫３ ；
（３）（狓狔２ ） ２＝狓２ ·（狔２ ） ２＝狓２狔４ ；
（４）（－２狓３狔） ４＝（－２）
４
·（狓３ ）
４
·狔４＝１６狓１２狔４．
１００第十六章 整式的乘法
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（犪５ ） ２＝犪７ ； （２）（犪犫２ ） ３＝犪犫６ ； （３）（－２犪） ２＝－４犪２．
２．计算：
（１）（１０３ ）
３
； （２）（狓３ ）
２
； （３）－（狓犿 ）
５
； （４）（犪２ ）
３
·犪５．
３．计算：
（１）（犪犫）
４
； （２）（－３×１０２ ）
３
；
（ １ ）
（３） － 狓狔２ ３； （４）（２犪犫２ ） ３ ·２犪犫２．
２


１．计算：
（１）犫３ ·犫； （２）犪５ ·犪２ ；
（３）（－狓）·（－狓）
２
·（－狓）
３
； （４）狓犿 ·狓２犿－１．
２．计算：
（１）（１０２ ）
８
； （２）（狓犿 ）
２
；
（３）［（－犪） ３ ］ ５ ； （４）－（狓２ ） 犿．
３．计算：
（１）（２犪犫）
３
； （２）（－３狓）
４
；
（３）（狓犿狔狀 ） ２ ； （４）（－２×１０３ ） ４．
４．计算：
（１）狓·狓３＋狓２ ·狓２ ； （２）（－３狆狇）
３
；
（３）－（－２犪２犫） ４ ； （４）犪３ ·犪４ ·犪＋（犪２ ） ４＋（－２犪４ ） ２．

５．计算：
（１）（狓２ ） ３ ·狓２－（狓４ ） ２ ； （２）７狓２ ·狓５ ·（－狓） ５＋５（狓４ ） ３．
６．计算：
（１）［（－２犪２犫３ ） ３ ］ ２ ； （２）（－２狓狔２ ） ６＋（－３狓２狔４ ） ３．
第十六章 整式的乘法１０１７．信息存储设备常用Ｂ，ＫＢ，ＭＢ，ＧＢ，ＴＢ等作为存储量的单位，其中１ＫＢ＝
２１０Ｂ （字节），１ＭＢ＝２１０ＫＢ，１ＧＢ＝２１０ＭＢ，１ＴＢ＝２１０ＧＢ．例如，我们常
说某计算机的硬盘容量是２ＴＢ，某移动硬盘的容量是５１２ＧＢ，某文件的大小是
１５６ＫＢ等．对于一个存储量为６４ＧＢ的闪存盘，其容量有多少字节？
 
８． （１）已知２犿＝犪，３２狀＝犫，求２３犿＋１０狀 ；
（２）已知狓＋２狔－７＝０（狓，狔都是正整数），求２狓 ·４狔 的值．
９．若犪犿＝犪狀 （犪＞０，犪≠１），则犿＝狀．
请利用上面的结论解决下面的问题：
（１）如果２×８狓×１６狓＝２２２ ，求狓的值；
（２）如果 （９狓 ） ２＝３８ ，求狓的值．
１０２第十六章 整式的乘法１６．２ 整式的乘法
前面，我们学习了幂的运算性质．本节我们将以运算律
及幂的运算性质为基础，研究整式的乘法．
问题１ 光的速度约是３×１０５ｋｍ／ｓ，太阳光照射到地球上需要的时间约
是５×１０２ｓ，你知道地球与太阳的距离约是多少吗？
根据乘法的意义，地球与太阳的距离约是 （３×１０５ ）×（５×１０２ ）ｋｍ．
5
（１）怎样计算 （３×１０５ ）×（５×１０２ ）？计算过程中用到哪些运算律及幂
的运算性质？
（２）如果将上式中的数字改为字母，比如犪犮５ ·犫犮２ ，怎样计算这个
式子？
（３×１０５ ）×（５×１０２ ）是３×１０５ 与５×１０２ 相乘，利用乘法交换律、结合律
及同底数幂的运算性质，可以得到
（３×１０５ ）×（５×１０２ ）＝（３×５）×（１０５×１０２ ）
＝１５×１０７
＝１．５×１０８．
犪犮５ ·犫犮２ 是单项式犪犮５ 与犫犮２ 相乘，由于其中的字母表示数，所以同样可
以利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的运算性质来计算：
犪犮５ ·犫犮２＝（犪·犫）·（犮５ ·犮２ ） （乘法的交换律、结合律）
＝犪犫犮５＋２ （同底数幂的运算性质）
＝犪犫犮７．
一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘作为积的
因式，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
例１ 计算：
（１）３狓狔２ ·２狔３ ； （２）（－５犪２犫）（－３犪）；
（３）（２狓） ３ （－５狓狔２ ）； （４）（－３狓２狔） ２ （－狓狔３ ） ２．
第十六章 整式的乘法１０３解：（１） ３狓狔２ ·２狔３ ；
＝（３×２）狓·（狔２ ·狔３ ）
＝６狓狔５ ；
（２） （－５犪２犫）（－３犪）
＝［（－５）×（－３）］（犪２ ·犪）·犫
＝１５犪３犫；
（３） （２狓）
３
（－５狓狔２ ）
＝８狓３ ·（－５狓狔２ ）
＝［８×（－５）］（狓３ ·狓）·狔２
＝－４０狓４狔２ ；
由（犪犫）狀＝犪狀犫狀，可
（４） （－３狓２狔）
２
（－狓狔３ ）
２ 知犪狀犫狀＝（犪犫）狀，据此
＝９狓４狔２ ·狓２狔６ 你能给出例１（４）的其
＝９（狓４ ·狓２ ）（狔２ ·狔６ ） 他解法吗？
＝９狓６狔８．

１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）３犪３ ·２犪２＝６犪６ ； （２）３狓２ ·（－４狓２ ）＝－１２狓２ ；
（３）５狔３ ·３狔５＝１５狔１５ ； （４）狓２ ·狔２ （－狓狔３ ） ２＝狓４狔８．
２．计算：
（１）３狓２ ·５狓３ ； （２）６狓２ ·３狓狔；
（３）４狔·（－２狓狔２ ）； （４）－２犪犫２ ·（－３犪犫）．
３．计算：
（１）（－３狓狔２ ）
２
（－２狓狔）
２
； （２）（－犪） ５－（２犪·３犪）
２
·（－犪）．
４．卫星绕地球运动的速度 （即第一宇宙速度）是７．９×１０３ｍ／ｓ，求卫星
绕地球运行１ｈ飞过的路程．
下面来看本章引言中提出的问题．
为了求扩大后的绿地面积，可以先求扩大后的绿地的边长，再求面积，即
狆（犪＋犫＋犮）． ①
１０４第十六章 整式的乘法也可以先分别求原来绿地和新增绿地的面积，再求它们的和，即
狆犪＋狆犫＋狆犮． ②
你能根据分配律得
由于①②表示同一个数量，所以
到这个等式吗？
狆（犪＋犫＋犮）＝狆犪＋狆犫＋狆犮．
a b c
第十六章 整式的乘法
p
上面的等式提供了单项式与多项式相乘的方法．
这个结果也可以由图１６．２１看出．
pa pb pc
一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式
去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
图１６．２１
例２ 计算：
（２ ） １
（１）（－４狓２ ）（３狓＋１）； （２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫；
３ ２
（３）（狓－３狔）（狓狔２ ）
２
； （４）狓（狔－狕）－狔（狕－狓）＋狕（狓－狔）．
解：（１） （－４狓２ ）（３狓＋１）
＝（－４狓２ ）（３狓）＋（－４狓２ ）·１
＝（－４×３）（狓２ ·狓）＋（－４狓２ ） 把单项式与多项式
相乘的问题转化为单项
＝－１２狓３－４狓２ ；
式与单项式相乘的问题．
（２ ） １
（２） 犪犫２－２犪犫· 犪犫
３ ２
２ １ １
＝ 犪犫２ · 犪犫＋（－２犪犫）· 犪犫
３ ２ ２
１
＝ 犪２犫３－犪２犫２ ；
３
（３） （狓－３狔）（狓狔２ ）
２
＝（狓－３狔）·狓２狔４
＝狓·狓２狔４＋（－３狔）·狓２狔４
＝狓３狔４－３狓２狔５ ；
（４） 狓（狔－狕）－狔（狕－狓）＋狕（狓－狔）
＝狓狔＋狓（－狕）＋（－狔）狕＋（－狔）（－狓）＋ 与数的混合运算一
样，整式的混合运算要
狕狓＋狕（－狔）
注意运算顺序．
＝狓狔－狓狕－狔狕＋狔狓＋狕狓－狕狔
＝２狓狔－２狔狕．
１０５
１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（－２狓）（狓２－狓）＝－２狓３－２狓２ ；
（２）犪（犫－犮）＋犫（犮－犪）＋犮（犪－犫）＝０．
２．计算：
（１）３犪（５犪－２犫）； （２）－２狓狔（２狓狔２－３狓狔）；
（３）（狓－３狔）（－６狓）； （４）（－２犪犫）
２
（２犪－犫＋１）．
３．计算：狓（狓－１）＋２狓（狓＋１）－３狓（２狓－５）．
１
４．先化简，再求值：狓２ （狓－１）－狓（狓２＋狓－１），其中狓＝ ．
２
第十六章 整式的乘法
p
a b
ap bp
aq bq q
问题２ 如图１６．２２，为了扩大街心
花园的绿地面积，把一块原长犪ｍ、宽
狆ｍ的长方形绿地，加长了犫ｍ，加宽了
狇ｍ．你能用几种方法求出扩大后的绿地
面积？
图１６．２２
扩大后的绿地可以看成长为 （犪＋犫）ｍ，
宽为 （狆＋狇）ｍ的长方形，所以这块绿地的面积 （单位：ｍ２ ）为
（犪＋犫）（狆＋狇）．
扩大后的绿地还可以看成由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积 （单
位：ｍ２ ）为
犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
因此 （犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法．
计算 （犪＋犫）（狆＋狇），可以先把其中的一个多
项式 （如狆＋狇）看成一个整体，运用单项式与多
把多项式相乘的问
项式相乘的法则，得 题转化为单项式与多项
式相乘的问题．
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇），
再利用单项式与多项式相乘的法则，得
犪（狆＋狇）＋犫（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
１０６总体上看，（犪＋犫）（狆＋狇）的结果可以看作由犪＋犫的每一项乘狆＋狇的每
一项，再把所得的积相加而得到的，即
（犪＋犫）（狆＋狇）＝犪狆＋犪狇＋犫狆＋犫狇．
一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式
的每一项，再把所得的积相加．
例３ 计算：
（１）（犪＋３）（犪－２）； （２）（３狓＋１）（狓＋２）；
（３）（狓－８狔）（狓－狔）； （４）（犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２ ）．
解：（１） （犪＋３）（犪－２） （２） （３狓＋１）（狓＋２）
＝犪·犪＋犪·（－２）＋ ＝（３狓）·狓＋（３狓）·２＋
３·犪＋３×（－２） １·狓＋１×２
＝犪２－２犪＋３犪－６ ＝３狓２＋６狓＋狓＋２
＝犪２＋犪－６； ＝３狓２＋７狓＋２；
第十六章 整式的乘法
櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲櫲
（３） （狓－８狔）（狓－狔） （４） （犪＋犫）（犪２－犪犫＋犫２ ）
＝狓２－狓狔－８狓狔＋８狔２ ＝犪３－犪２犫＋犪犫２＋犪２犫－犪犫２＋犫３
＝狓２－９狓狔＋８狔２ ； ＝犪３＋犫３．
櫲櫲櫲櫲櫲

１．计算：
（１）（２狓＋１）（狓＋３）； （２）（犿＋２狀）（３狀－犿）；
（３）（犪－１）
２
； （４）（犪＋３犫）（犪－３犫）；
（５）（２狓２－１）（狓－４）； （６）（狓２＋２狓＋３）（２狓－５）．
x x2 qx
px pq p
２．计算：
（１）（狓＋２）（狓＋３）； （２）（狓－４）（狓＋１）；
（３）（狓＋４）（狓－２）； （４）（狓－５）（狓－３）．
由上面计算的结果找规律，观察右图，填空：
x q
（狓＋狆）（狓＋狇）＝（ ） ２＋（ ）狓＋（ ）． （第２题）
３．先化简，再求值：（狓－狔）（狓２＋狓狔＋狔２ ）－（狓＋狔）（狓２－狔２ ），其中狓＝
１
，狔＝５．
５
１０７在整式的运算中，有时还会遇到两个整式相除的情况．像利用数的乘法研
究数的除法那样，可以利用整式的乘法来研究整式的除法．
首先来看同底数幂相除的情况．
我们来计算犪犿÷犪狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，犿＞狀）．
我们知道，计算被除数除以除数所得的商，就是求一个数，使它与除数的积
等于被除数．类似地，计算犪犿÷犪狀 ，就是求一个式子，使它与犪狀 的积等于犪犿．
因为犪犿－狀 ·犪狀＝犪（犿－狀）＋狀＝犪犿 ，
所以犪犿÷犪狀＝犪犿－狀．
一般地，我们有
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀都是正整数，犿＞狀）．
即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如犪犿÷犪犿 ，根据
除法的意义可知所得的商为１． 另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，
又有犪犿÷犪犿＝犪犿－犿＝犪０．于是规定
犪０＝１ （犪≠０）．
这就是说，任何不等于０的数的０次幂都等于１．
例４ 计算：
（１）狓８÷狓２ ； （２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２．
解：（１）狓８÷狓２＝狓８－２＝狓６ ；
（２）（犪犫） ５÷（犪犫） ２＝（犪犫） ５－２＝（犪犫） ３＝犪３犫３．
对于单项式除以单项式，例如，计算 （１２犪３犫２狓３ ）÷（３犪犫２ ），就是要求一
个单项式，使它与３犪犫２ 的乘积等于１２犪３犫２狓３．
因为 （４犪２狓３ ）·（３犪犫２ ）＝１２犪３犫２狓３ ，
所以 （１２犪３犫２狓３ ）÷（３犪犫２ ）＝４犪２狓３．
上面的商式４犪２狓３ 的系数４＝１２÷３，犪的指数２＝３－１，犫的指数０＝
２－２，而犫０＝１，狓的指数３＝３－０．
一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只
在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
１０８第十六章 整式的乘法对于多项式除以单项式，例如，计算 （犪犿＋犫犿）÷犿，就是要求一个多项
式，使它与犿的积等于犪犿＋犫犿．
因为 （犪＋犫）犿＝犪犿＋犫犿，
所以 （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪＋犫．
又犪犿÷犿＋犫犿÷犿＝犪＋犫，
所以 （犪犿＋犫犿）÷犿＝犪犿÷犿＋犫犿÷犿．
把多项式除以单项
一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式 式的问题转化为单项式
的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 除以单项式的问题．
例５ 计算：
（１）（２８狓４狔２ ）÷（７狓３狔）； （２）（－５犪５犫３犮）÷（１５犪４犫）；
（３）（１２犪３－６犪２＋３犪）÷（３犪）．
解：（１） （２８狓４狔２ ）÷（７狓３狔）
＝（２８÷７）狓４－３狔２－１
＝４狓狔；
（２） （－５犪５犫３犮）÷（１５犪４犫）
＝［（－５）÷１５］犪５－４犫３－１犮
１
＝－ 犪犫２犮；
３
（３） （１２犪３－６犪２＋３犪）÷（３犪）
＝（１２犪３ ）÷（３犪）－（６犪２ ）÷（３犪）＋（３犪）÷（３犪）
＝４犪２－２犪＋１．

１．计算：
（１）狓７÷狓５ ； （２）犿８÷犿８ ；
（３）（－犪） １０÷（－犪） ７ ； （４）（狓狔） ５÷（狓狔） ３．
２．计算：
（１）（１０犪犫３ ）÷（－５犪犫）； （２）（－８犪２犫３ ）÷（６犪犫２ ）；
（３）（－２１狓２狔４ ）÷（－３狓２狔３ ）； （４）（６×１０８ ）÷（３×１０５ ）．
３．计算：
（１）（６犪犫＋５犪）÷犪； （２）（１５狓２狔－１０狓狔２ ）÷（５狓狔）．
第十六章 整式的乘法１０９

１．计算：
（１）３狓·６狓２狔； （２）犪２犫（－３犪犫２ ）；
（３）４狓２狔（－狓狔２ ） ３ ； （４）（１．２５×１０５ ）×（２×１０３ ） ３．
２．计算：
（ ）
１
（１）（４犪－犫２ ）（－２犫）； （２）２狓２狓－ ；
２
（ ）
２ ４
（３）５犪犫（２犪－犫＋０．２）； （４）２犪２－ 犪－ （－９犪）．
３ ９
３．计算：
（ ）（ ）
１ １
（１）（狓－６）（狓－３）； （２）狓＋ 狓－ ；
２ ３
（３）（３狓＋２）（狓＋２）； （４）（４狔－１）（５－狔）；
（５）（狓－２）（狓２＋４）； （６）（狓－１）（狓２＋狓＋１）．
４．计算：
（１）（犪３ ） ２÷（犪２ ）
３
； （２）（犪犫２ ） ３÷（－犪犫）
２
；
（３）（２５犪３犫２ ）÷（５犪犫）
２
； （４）（１４犿２狀） ２÷（７犿２ ）÷（７犿）；
（５）（－５犪３犫５犮＋３５犪２犫３犮２－犪犫犮）÷（－犪犫犮）；
（６）（－８１狓狀＋５＋１５狓狀＋１－３狓狀－１ ）÷（－３狓狀－１ ）．
５．计算：
（ ） （ ）
２ ３
（１）（－３狓２狔） ２ · － 狓狔狕÷ 狓狔２ ；
３ ４
（ ） （ ）
１ １ ２
（２）（－４犪犫３ ）－ 犪犫－ 犪犫２ ；
８ ２
（３）（狓－３）（狓－２）－６（狓２＋狓－１）；
（４）（－４犪犫３＋８犪２犫２ ）÷（４犪犫）－（２犪＋犫）（犪－犫）．

６．计算：
（１）［５犪４ ·犪２－（３犪３ ）
２
］÷（２犪２ ）
２
；
（２）［（犪犫＋１）（犪犫－１）－２犪２犫２＋１］÷（－犪犫） ２．
１１０第十六章 整式的乘法７．先化简，再求值：
（１）狓（１－狓２ ）＋狓２ （狓－１）＋狓（狓＋１），其中狓＝２；
１
（２）（犪２犫－２犪犫２－犫３ ）÷犫－（犪＋犫）
２
，其中犪＝ ，犫＝－１．
２
８．已知３狓－４狔＝３（狓，狔为正整数），求２７狓÷９２狔．
９．计算图中阴影所示绿地的面积 （长度单位：ｍ）．
第十六章 整式的乘法
a5.2
a 2a 2a
a5.1
2a a
（第９题）
b
a
（第１０题）
１０．如图，有一张长方形纸板，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四
周突出部分折起，制成一个高为犪ｃｍ的长方体形状的无盖纸盒．如果纸盒
的容积为４犪２犫ｃｍ３ ，底面长方形的一边长为犫（犫＜４犪）ｃｍ，求原长方形纸板
的长和宽．
 
１１．确定下列各式中犿的值 （其中狆，狇为正整数）：
（１）（狓＋４）（狓＋９）＝狓２＋犿狓＋３６；
（２）（狓－２）（狓－１８）＝狓２＋犿狓＋３６；
（３）（狓＋３）（狓＋狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（４）（狓－６）（狓－狆）＝狓２＋犿狓＋３６；
（５）（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋犿狓＋３６．
１１１１６．３ 乘法公式
某些特殊形式的多项式相乘，可以写成公式的形式，当遇
到相同形式的多项式相乘时，就可以直接运用公式写出结果．
１６３１ 平方差公式
/
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狓＋１）（狓－１）＝ ； （２）（犿＋２）（犿－２）＝ ；
（３）（２狓＋１）（２狓－１）＝ ．
上面的几个运算都是形如犪＋犫的多项式与形如犪－犫的多项式相乘．因为
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犪犫＋犪犫－犫２
＝犪２－犫２ ，
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以
直接写出运算结果，即
平方差公式是多项
式乘法 （犪＋犫）（狆＋狇）
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２．
中狆＝犪，狇＝－犫的特
也就是说，两个数的和与这两个数的差的积，等于 殊情形．
这两个数的平方差．
这个公式叫作 （乘法的）平方差公式．
5
第十六章 整式的乘法
a
b
a
b
你能根据图１６．３１中图形的面积
说明平方差公式吗？
b
图１６．３１
例１ 运用平方差公式计算：
（１）（３狓＋２）（３狓－２）； （２）（－狓＋２狔）（－狓－２狔）．
１１２分析：在 （１）中，可以把３狓看成犪，２看成犫，即
（３狓＋２）（３狓－２）＝（３狓） ２－２２．
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２ －犫２
解：（１） （３狓＋２）（３狓－２）
＝（３狓） ２－２２
＝９狓２－４；
（２） （－狓＋２狔）（－狓－２狔）
＝（－狓） ２－（２狔）
２
＝狓２－４狔２．
例２ 计算：
（１）（狓－１）（狓＋１）（狓２＋１）； （２）（狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）；
（３）１０２×９８．
解：（１） （狓－１）（狓＋１）（狓２＋１）
＝（狓２－１）（狓２＋１）
＝狓４－１；
（２） （狔＋２）（狔－２）－（狔－１）（狔＋５）
＝狔２－２２－（狔２＋４狔－５）
＝狔２－４－狔２－４狔＋５
＝－４狔＋１；
（３）１０２×９８＝（１００＋２）（１００－２）
＝１００２－２２＝１００００－４
＝９９９６．

１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（狓＋２）（狓－２）＝狓２－２；
（２）（－犪－２）（犪－２）＝犪２－４；
（３）（狓＋２狔）（－狓－２狔）＝狓２－４狔２ ；
（４）（３犪＋４犫）（３犪－４犫）＝９犪２－４犫２．
第十六章 整式的乘法１１３２．计算：
（１）（犪＋３犫）（犪－３犫）； （２）（３＋２犪）（－３＋２犪）；
（３）（狓狔＋１）（狓２狔２＋１）（狓狔－１）；
（４）（３狓＋４）（３狓－４）－（２狓＋３）（３狓－２）．
３．运用平方差公式计算：
１ ４
（１）５１×４９； （２）２００ ×１９９ ．
５ ５
１６３２ 完全平方公式
/
计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
（１）（狆＋１） ２＝（狆＋１）（狆＋１）＝ ；
（２）（犿＋２） ２＝（ ）（ ）＝ ；
（３）（狆－１） ２＝（ ）（ ）＝ ；
（４）（犿－２） ２＝（ ）（ ）＝ ．
上面的几个运算都是形如 （犪±犫）
２
的多项式相乘，因为
（犪＋犫） ２＝（犪＋犫）（犪＋犫）
＝犪２＋犪犫＋犪犫＋犫２
＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪－犫） ２＝（犪－犫）（犪－犫）
＝犪２－犪犫－犪犫＋犫２
＝犪２－２犪犫＋犫２ ，
所以，对于具有与此相同形式的多项式相乘，可以直接写出运算结果，即
（犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪＋犫）２＝犪２＋２犪犫＋
（犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２．
犫２ 是多项式乘法 （犪＋犫）·
也就是说，两个数的和 （或差）的平方，等于它们 （狆＋狇）中狆＝犪，狇＝犫
的平方和，加上 （或减去）它们的积的２倍． 的特殊情形．
这两个公式叫作 （乘法的）完全平方公式．
１１４第十六章 整式的乘法5
你能根据图１６．３２和图１６．３３中图形的面积说明完全平方公式吗？
第十六章 整式的乘法
b
a
a b
图１６．３２
a
b
b
a
图１６．３３
例３ 运用完全平方公式计算：
（ １）
（１）（４犿＋狀）
２
； （２）狔－ ２．
２
解：（１）（４犿＋狀） ２＝（４犿） ２＋２·（４犿）·狀＋狀２
＝１６犿２＋８犿狀＋狀２ ；
（ １） １ （１）
（２）狔－ ２＝狔２－２·狔· ＋ ２
２ ２ ２
１
＝狔２－狔＋ ．
４
例４ 运用完全平方公式计算：
（１）１０２２ ； （２）９９２．
解：（１） １０２２＝（１００＋２）
２
（２） ９９２＝（１００－１）
２
＝１００２＋２×１００×２＋２２ ＝１００２－２×１００×１＋１２
＝１０４０４； ＝９８０１．
櫲櫲櫲櫲櫲
5
（犪＋犫）
２
与 （－犪－犫）
２
相等吗？ （犪－犫）
２
与 （犫－犪）
２
相等吗？
（犪－犫）
２
与犪２－犫２ 相等吗？为什么？

１．下面的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
（１）（犪＋犫） ２＝犪２＋犫２ ； （２）（犪－犫） ２＝犪２－犪犫＋犫２．
１１５２．运用完全平方公式计算：
（１）（狓＋６）
２
； （２）（狔－５）
２
；
（３ ２ ）
（３）（－２狓＋５） ２ ； （４） 狓－ 狔２．
４ ３
３．运用完全平方公式计算：
（１）９８２ ； （２）７０．５２．
运用乘法公式计算，有时要在式子中添括号．在前面，我们学过去括号，
由去括号法则可以得到
犪＋（犫＋犮）＝犪＋犫＋犮；
犪－（犫＋犮）＝犪－犫－犮．
反过来，就得到
犪＋犫＋犮＝犪＋（犫＋犮）；
犪－犫－犮＝犪－（犫＋犮）．
也就是说，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符
号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
例５ 运用乘法公式计算：
（１）（狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）； （２）（犪＋犫＋犮） ２．
解：（１） （狓＋２狔－３）（狓－２狔＋３）
＝［狓＋（２狔－３）］［狓－（２狔－３）］ 有些整式相乘需要
＝狓２－（２狔－３）
２
先作适当变形，然后再
＝狓２－（４狔２－１２狔＋９）
用公式．
＝狓２－４狔２＋１２狔－９；
（２） （犪＋犫＋犮）
２
＝［（犪＋犫）＋犮］
２
＝（犪＋犫） ２＋２（犪＋犫）犮＋犮２
＝犪２＋２犪犫＋犫２＋２犪犮＋２犫犮＋犮２
＝犪２＋犫２＋犮２＋２犪犫＋２犪犮＋２犫犮．
１１６第十六章 整式的乘法
１．在等号右边的括号内填上适当的项．
（１）犪＋犫－犮＝犪＋（ ）； （２）犪－犫＋犮＝犪－（ ）；
（３）犪＋犫－犮＝犪－（ ）； （４）犪＋犫＋犮＝犪－（ ）．
２．运用乘法公式计算：
（１）（狓＋狔－１）（狓－狔－１）； （２）（２狓＋狔＋狕）（２狓－狔－狕）．
３．运用乘法公式计算：
（１）（犪＋２犫－１） ２ ； （２）（２狓－狔＋１） ２．


１．运用平方差公式计算：
（ ）（ ）
２ ２
（１） 狓－狔 狓＋狔； （２）（狔２＋１）（狔２－１）； （３）（２犪－３犫）（３犫＋２犪）；
３ ３
（４）（－２犫－５）（２犫－５）； （５）１００．５×９９．５； （６）９９８×１００２．
２．运用完全平方公式计算：
（１）（２犪＋５犫）
２
； （２）（４狓－３狔）
２
； （３）（－２犿－１）
２
；
（ ）
２ ２
（４）１．５犪－ 犫 ； （５）６３２ ； （６）８５２．
３
３．运用乘法公式计算：
（１）（３狓－５） ２－（２狓＋７）
２
； （２）（狓＋狔＋１）（狓＋狔－１）；
（３）（２狓－狔－３） ２ ； （４）［（狓＋２）（狓－２）］ ２．

１ １
４．先化简，再求值：（２狓＋３狔） ２－（２狓＋狔）（２狓－狔），其中狓＝ ，狔＝－ ．
３ ２
５．一个正方形纸片的边长增加３ｃｍ，它的面积就增加３９ｃｍ２ ，
这个正方形纸片的边长是多少？
a b
６．如图，一块直径为 （犪＋犫）ｃｍ的圆形钢板，从中挖去直径
分别为犪ｃｍ与犫ｃｍ的两个圆，求剩下的钢板的面积．
（第６题）
第十六章 整式的乘法１１７ 
７．已知犪＋犫＝５，犪犫＝３，求犪２＋犫２ 的值．
８．计算下列式子：
（狓－１）（狓＋１），（狓－１）（狓２＋狓＋１），（狓－１）（狓３＋狓２＋狓＋１），…．
你能发现什么规律？验证你发现的规律．利用你发现的规律，计算
２９＋２８＋２７＋…＋２＋１．
 
杨辉三角
我国著名数学家华罗庚曾在所撰写的 《数学是我国人民所擅长的学科》一
文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展

都曾居世界前列．他说：“实际上我们祖国伟
 
大人民在人类史上，有过无比的睿智的成就．”
  
其中 “杨辉三角”（图１）就是一例．
   
在我国南宋数学家杨辉 （约１３世纪）所
    
著的 《详解九章算法》（１２６１年）一书中，用
     
图１的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在
      
书中提到，在他之前北宋数学家贾宪 （约１１   
图１
世纪上半叶）发明了上述方法，因此我们称
这个三角形为 “杨辉三角”或 “贾宪三角”．
杨辉三角两腰上的数都是１，其余每个数为
它的上方 （左右）两数之和．事实上，这个三 这个三角形被欧洲
角形给出了 （犪＋犫） 狀 （狀＝０，１，２，３，４，５， 学者称为 “帕斯卡三角”．
６）的展开式 （按犪的次数由大到小的顺序）的 法国数学家帕斯卡 （Ｐａｓ
系数规律．例如，此三角形中第３行的３个数 ｃａｌ，１６２３—１６６２）于１６５４
年发现了此三角形．
１，２，１，恰好对应着 （犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２
展开式中的各项的系数；第４行的４个数１，３，
３，１，恰好对应着 （犪＋犫） ３＝犪３＋３犪２犫＋３犪犫２＋犫３ 展开式中各项的系数；等等．
利用上面的三角形，你能写出 （犪＋犫）
６
的展开式吗？请利用整式的乘法验
证你的结果．
１１８第十六章 整式的乘法
"
 +/U4U
如图１是某月的月历．
（１）选择其中所示的蓝色方框部分，将
每个蓝色方框部分中４个位置上的数交叉相
     
乘，再相减，能得出什么结论？请再选择几
个类似的部分试一试，看一看是否符合这个
规律．
（２）换一个月的月历试一试，是否有同
图１
样的规律？
（３）请利用整式的运算对以上的规律加以证明．
（４）你还能发现其他规律吗？
"
 +/+>
（１）计算下列两个数的积 （每组中两个数的和为定值），你能发现结
果有什么规律吗？
①３０×３０，３５×２５，４３×１７，５２×８；
②５０×５０，５３×４７，７４×２６，９１×９．
（２）你能用本章所学知识解释你发现的规律吗？
（３）利用你发现的规律解决下面的问题：
用１０ｍ长的绳子围成一个长方形，长方形的最大面积是多少？此时
长方形的两条邻边长有什么关系？你能得出更一般的结论吗？
第十六章 整式的乘法１１９
  
  





 
本章我们类比数的乘法学习整式的乘法．首先学习了幂的运算性质，
在此基础上学习了单项式的乘法、多项式的乘法等，并利用整式的乘法
学习了简单的整式除法．与整式的加减一样，整式的乘除也是今后进一步
学习代数式的运算的基础．根据运算法则和运算律进行运算，有助于提升
运算能力．
由于整式中的字母表示数，所以数的运算律和运算性质在整式的运
算中仍然成立．在整式的乘法中，多项式的乘法要利用分配律转化为单项
式的乘法，而单项式的乘法又要利用交换律和结合律转化为幂的运算．因
此，幂的运算是基础，单项式的乘法是关键．整式的除法也与此类似．
某些具有特殊形式的多项式相乘，可以写成乘法公式的形式，利用
它们可以简化运算．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方如何运算．
２．举例说明怎样将多项式乘 （或除以）单项式转化为单项式乘 （或
除以）单项式．多项式乘多项式是如何转化为单项式相乘的？
３．本章学习了哪几个乘法公式？你能说出它们的结构特点吗？你能
从几何直观的角度用图形的面积解释乘法公式吗？
１２０第十六章 整式的乘法 

１．计算：
（１）１００×１０３×１０２ ； （２）［（－２）
２
］
３
；
（３）（－狓） ２ ·狓３ ； （４）狓·狓２ ·狓３＋（狓３ ） ２．
２．计算：
（１）（－２狓２狔３ ）
２
（狓狔）
３
； （２）（２犪＋３犫）（２犪－犫）； （３）５狓２ （狓＋１）（狓－１）；
（４）（２狓＋狔－１）
２
； （５）５９．８×６０．２； （６）１９８２．
３．计算：
（ ） （ ）
２ ３
（１）（２犪） ３ ·犫４÷（１２犪３犫２ ）； （２） － 犪７犫５ ÷ 犪２犫５ ；
３ ２
（ ） （ ）
６ ３
（３） 犪３狓４－０．９犪狓３ ÷ 犪狓３ ； （４）（７狓２狔３－８狓３狔２狕）÷（８狓２狔２ ）．
５ ５
４．计算：
（１）２狓（狓２－１）－狓（狓２＋２）； （２）［（狓－３）（狓＋３）］ ２－（狓２＋１） ２．
５．先化简，再求值：（狓＋２狔） ２＋（狓＋狔）（狓－狔）－狔２ ，其中狓＝３，狔＝２．

６．计算：
（１）４（狓＋１） ２－２（狓＋５）（２狓－１０）；
（２）３（狔－狕） ２－（２狔＋狕）（－狕＋２狔）；
（３）（２狓２＋１） ２－（狓＋２）（狓２＋４）（狓－２）；
（４）［狓（狓２狔２－狓狔）－狔（狓２－狓３狔）］÷（３狓２狔）．
１ ３
７．已知犿＝ ，狀＝ ，求代数式 （犿－２狀）（犿＋２狀）＋（犿＋２狀） ２－４犿狀的值．
２ ５
D
d
第十六章 整式的乘法
h
８．已知 （狓＋狔） ２＝２５，（狓－狔） ２＝９，求狓狔与狓２＋狔２ 的值．
９．一张正方形纸片的边长减少２ｃｍ，它的面积就减少２０ｃｍ２ ，
这张正方形纸片的边长是多少？
１０．如图是一水压机空心钢立柱的示意图．如果其高犺为１８ｍ，
外径犇为１ｍ，内径犱为０．４ｍ，每立方米钢的质量为７．８ｔ，
求该立柱的质量．（π取３．１４，结果保留小数点后两位．）
（第１０题）
１２１ 
１１．已知狓犿＝６４，狓狀＝８，求狓犿－狀 的值．
１２．某种产品的原料提价，因而厂家决定对产品进行提价，现有三种方案：
（１）第一次提价狆％，第二次提价狇％；
（２）第一次提价狇％，第二次提价狆％；
狆＋狇
（３）第一、二次提价均为 ％．
２
其中狆，狇是不相等的正数．三种方案哪种提价最多？
（提示：因为狆≠狇，（狆－狇） ２＝狆２－２狆狇＋狇２＞０，所以狆２＋狇２＞２狆狇．）
１２２第十六章 整式的乘法第十七章 因式分解
在跳水比赛中，选手每一跳的得分是根据裁判的评分和难度系数计算得出
的．某单人跳水选手完成了一个难度系数为狆的动作，如果有７名裁判进行评
分，按照评分规则，去掉２个最高分和２个最低分后，会剩下３个分数犪，犫，
犮，选手的得分有两种计算方法：
狆犪＋狆犫＋狆犮 ①
和
狆（犪＋犫＋犮）． ②
我们知道上述两式是相等的．从整式运算的角度看，从②式到①式就是上
一章我们学习的整式的乘法运算；从①式到②式，相当于把一个多项式写成两
个整式的乘积．
利用整式的乘法运算，可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式．反
过来，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式，这就是本章要学习
的内容．在本章的学习中，要注意与整式的乘法紧密联系，运用对比方法进行
观察和思考，以加深对本章知识的理解和认识，提升运算能力．
书书书１７．１ 用提公因式法分解因式
在求最小公倍数和最大公因数时，往往需要把一个整数
分解成几个因数的乘积．如３３分解成３×１１，４２分解成２×
３×７．类似于整数的分解，有时也需要将整式分解成几个因
式的乘积的形式．
在章引言里，我们知道
狆犪＋狆犫＋狆犮＝狆（犪＋犫＋犮）．
这表明多项式狆犪＋狆犫＋狆犮可以写成两个整式的乘积的形式．
/
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
（１）狓２＋狓＝ ； （２）狓２－１＝ ；
（３）狓２＋２狓＋１＝ ．
根据整式的乘法，可以得到
狓２＋狓＝狓（狓＋１），
狓２－１＝（狓＋１）（狓－１），
狓２＋２狓＋１＝（狓＋１） ２．
上面我们把一个多项式化成了几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形
叫作这个多项式的因式分解 （ｆａｃｔｏｒｉｚａｔｉｏｎ），也叫作把这个多项式分解因式．
可以看出，因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
狆犪＋狆犫＋狆犮幑帯帯帯幐狆（犪＋犫＋犮）．
整式乘法
下面我们来学习如何对多项式进行因式分解．
观察多项式
狆犪＋狆犫＋狆犮，
它的各项都有一个公共的因式狆，我们把因式狆叫作这个多项式各项的公因式．
由
狆犪＋狆犫＋狆犮＝狆（犪＋犫＋犮）
１２４第十七章 因式分解可知，狆犪＋狆犫＋狆犮可以分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式狆是各项
的公因式，另一个因式犪＋犫＋犮是狆犪＋狆犫＋狆犮除以狆所得的商．
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多
项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因
式法．
利用提公因式法，可以把一些多项式分解因式．
例１ 分解因式：
（１）犿狓２＋犿狔２ ； （２）３狓２－４狓狔２＋狓．
解：（１）犿狓２＋犿狔２＝犿（狓２＋狔２ ）；
（２） ３狓２－４狓狔２＋狓 对于 （２），将狓提
＝狓·３狓－狓·４狔２＋狓·１ 出后，括号内的第三项
＝狓（３狓－４狔２＋１）．
为１．

１．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（１）４犪（犪＋２犫）＝４犪２＋８犪犫； （２）犪２－４＝（犪＋２）（犪－２）；
（３）狓２－３狓＋２＝狓（狓－３）＋２．
２．分解因式：
（１）犪狓－犪狔； （２）犪２－２犪；
（３）犪２＋犪犫； （４）狓狔－狔２＋狔狕．
３．利用因式分解计算：
（１）１．９９２＋１．９９×０．０１； （２）４９×２０．２２＋５２×２０．２２－２０．２２；
（３）５×３４＋４×３４＋９×３２．
例２ 把８犪３犫２＋１２犪犫３犮分解因式．
分析：先找出８犪３犫２ 与１２犪犫３犮的公因式，再提
出公因式．我们看这两项的系数８与１２，它们的最
如果提出公因式
大公因数是４；两项的字母部分犪３犫２ 与犪犫３犮都含
４犪犫，另一个因式的两项
有字母犪和犫，其中犪的最低次数是１，犫的最低次 是否还有公因式？
数是２，因此我们选定４犪犫２ 为要提出的公因式．提
第十七章 因式分解１２５出公因式４犪犫２ 后，另一个因式２犪２＋３犫犮的两项就不再有公因式了．
解： ８犪３犫２＋１２犪犫３犮
＝４犪犫２ ·２犪２＋４犪犫２ ·３犫犮
＝４犪犫２ （２犪２＋３犫犮）．
例３ 分解因式：
（１）２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮）； （２）４（犪－犫） ３＋８（犫－犪） ２．
分析：在 （１）中，犫＋犮是２犪（犫＋犮）和－３（犫＋犮）的公因式，可以用提公
因式法分解因式；在 （２）中，因为（犫－犪） ２＝（犪－犫）
２
，所以各项含有公因式
４（犪－犫）
２
，也可以用提公因式法分解因式．
解：（１） ２犪（犫＋犮）－３（犫＋犮）
＝（犫＋犮）（２犪－３）；
（２） ４（犪－犫） ３＋８（犫－犪）
２
＝４（犪－犫）
２
·（犪－犫）＋４（犪－犫）
２
·２
＝４（犪－犫）
２
（犪－犫＋２）．

１．分解因式：
（１）８犿２狀＋２犿狀； （２）４犪２犫＋１０犪犫－犪犫２ ；
（３）狆（犪２＋犫２ ）－狇（犪２＋犫２ ）； （４）２犪（狔－狕） ３－４犫（狕－狔） ３．
２．先分解因式，再求值：
４犪２ （狓＋７）－３（狓＋７），其中犪＝－５，狓＝３．


１．下列由左边到右边的式子变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？
（１）６犪狓－３犪狓２＝３犪狓（２－狓）；
（２）犪２－犫２＋１＝（犪＋犫）（犪－犫）＋１；
（３）狓（狓－狔）－狔（狓－狔）＝（狓－狔）
２
；
（４）犪２犫－３犪犫２＋犪犫＝犪犫（犪－３犫＋１）．
１２６第十七章 因式分解２．分解因式：
（１）狓＋狓狔； （２）－２狓＋３狓２ ；
（３）犪２犫＋５犪犫－犫； （４）２犿狀－狀２＋８狀．

３．利用因式分解计算：
（１）９９９２＋９９９； （２）１７×０．１１＋３７×０．１１－４６×０．１１．
４．分解因式：
（１）２犿狀２＋犿狀； （２）６狓狔２－８狓２狔３ ；
（３）６犪２犫＋９犪犫２－１５犪犫； （４）３犿２狀－３犿狀＋６狀；
（５）４狓２狔３＋８狓３狔２＋１２狓４狔； （６）２犿（狓－狔）－３狀（狓－狔）；
（７）２犪（犪－犫） ２－（犪－犫）
３
； （８）狓２ （３狔－６）＋狓（６－３狔）．
５．先分解因式，再求值：
（１）（犪－２） ２－６（２－犪），其中犪＝－２；
（２）４狓（狔＋４）－狓（狔＋４）
２
，其中狓＝２，狔＝５．
 
６．已知犪犫＝２，犪－４犫＝－５，求犪２犫－４犪犫２＋犪犫的值．
７．设狀为奇数，求证：狀２ 除以８的余数为１．
８．已知一个三角形的三边长分别为犪，犫，犮，且犪犫－犪犮＝犫２－犫犮，证明这个三
角形是等腰三角形．
第十七章 因式分解１２７１７．２ 用公式法分解因式
对于某些特殊的多项式相乘，可以直接运用公式写出结
果．类似地，对于某些特殊的多项式，也可以利用公式分解
因式．
5
多项式犪２－犫２ 有什么特点？你能将它分解因式吗？
这个多项式是两个数的平方差的形式．由于整式的乘法与因式分解是方向
相反的变形，把整式乘法的平方差公式
（犪＋犫）（犪－犫）＝犪２－犫２
的等号两边互换，就得到
犪２－犫２＝（犪＋犫）（犪－犫），
即两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．
运用这个公式，可以把形如平方差的多项式分解因式．
例１ 分解因式：
（１）４狓２－９； （２）犪２－２５犫２．
分析：在 （１）中，由于４狓２＝（２狓） ２ ，９＝３２ ，所以４狓２－９＝（２狓） ２－３２ ，
即可以利用平方差公式分解因式；在 （２）中，由于２５犫２＝（５犫）
２
，所以
犪２－２５犫２＝犪２－（５犫）
２
，即可以利用平方差公式分解因式．
解：（１） ４狓２－９ （２） 犪２－２５犫２
＝（２狓） ２－３２ ＝犪２－（５犫） ２
＝（２狓＋３）（２狓－３）； ＝（犪＋５犫）（犪－５犫）．
第十七章 因式分解
櫲櫲櫲櫲櫲
例２ 分解因式：
（１）狓２－狔４ ； （２）（狓＋狆） ２－（狓＋狇） ２．
分析：在 （１）中，由于狔４＝（狔２ ）
２
，所以狓２－狔４＝狓２－（狔２ ）
２
，即可以利
用平方差公式分解因式；在 （２）中，可把狓＋狆和狓＋狇各看成一个整体，设
狓＋狆＝犪，狓＋狇＝犫，则原式化为犪２－犫２ ，即可以利用平方差公式分解因式．
１２８解：（１） 狓２－狔４
＝狓２－（狔２ ）
２
＝（狓＋狔２ ）（狓－狔２ ）；
（２） （狓＋狆） ２－（狓＋狇）
２
＝［（狓＋狆）＋（狓＋狇）］［（狓＋狆）－（狓＋狇）］
＝（２狓＋狆＋狇）（狆－狇）．

１．下列多项式能否利用平方差公式分解因式？为什么？
（１）狓２＋狔２ ； （２）狓２－狔２ ；
（３）－狓２＋狔２ ； （４）－狓２－狔２．
２．分解因式：
１
（１）３６－犿２ ； （２）４９狀２－１； （３）犪２－ 犫２ ；
２５
（４）８１犪２－１６犫４ ； （５）４犫２－（犫＋犮）
２
；
（６）（犿＋狀） ２－（犿－２狀） ２．
5
多项式犪２＋２犪犫＋犫２ 与犪２－２犪犫＋犫２ 有什么特点？你能将它们分解因
式吗？
这两个多项式是两个数的平方和加上或减去这两个数的积的２倍，这恰是
两个数的和或差的平方，我们把犪２＋２犪犫＋犫２ 和犪２－２犪犫＋犫２ 这样的式子叫作
完全平方式，利用完全平方公式可以把形如完全平方式的多项式分解因式．
把整式乘法的完全平方公式
（犪＋犫） ２＝犪２＋２犪犫＋犫２ ，
（犪－犫） ２＝犪２－２犪犫＋犫２
的等号两边互换，就得到
犪２＋２犪犫＋犫２＝（犪＋犫）
２
，
犪２－２犪犫＋犫２＝（犪－犫） ２．
第十七章 因式分解１２９即两个数的平方和加上 （或减去）这两个数的积的２倍，等于这两个数的和
（或差）的平方．
例３ 分解因式：
（１）狓２＋４狓＋４； （２）１６狓２－２４狓＋９．
分析：在 （１）中，由于４＝２２ ，４狓＝２·狓·２，所以狓２＋４狓＋４是一个完
全平方式，即
狓２＋４狓＋４＝狓２＋２·狓·２＋２２．
犪２＋２·犪·犫＋犫２
在 （２）中，由于１６狓２＝（４狓）
２
，９＝３２ ，２４狓＝２·４狓·３，所以１６狓２－２４狓＋９
是一个完全平方式．
解：（１） 狓２＋４狓＋４ （２） １６狓２－２４狓＋９
＝狓２＋２·狓·２＋２２ ＝（４狓） ２－２·４狓·３＋３２
＝（狓＋２） ２ ； ＝（４狓－３） ２．
第十七章 因式分解
櫲櫲櫲櫲櫲
例４ 分解因式：
（１）（犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６； （２）－狓２＋４狓狔－４狔２．
分析：在 （１）中，将犪＋犫看作一个整体，设犪＋犫＝犿，则原式化为完全
平方式犿２－１２犿＋３６；对于 （２），可通过添括号将原式写成－（狓２－４狓狔＋
４狔２ ），括号内的式子为完全平方式．
解：（１） （犪＋犫） ２－１２（犪＋犫）＋３６
＝（犪＋犫） ２－２·（犪＋犫）·６＋６２
＝（犪＋犫－６）
２
；
（２） －狓２＋４狓狔－４狔２
＝－（狓２－４狓狔＋４狔２ ）
＝－［狓２－２·狓·２狔＋（２狔）
２
］
＝－（狓－２狔） ２．
可以看出，把乘法公式的等号两边互换，就可以得到把某些特殊形式的多
项式分解因式的公式．运用公式把多项式分解因式的方法叫作公式法．
１３０
１．下列多项式是不是完全平方式？为什么？
（１）犪２－４犪＋４； （２）１＋４犪２ ；
（３）４犫２＋４犫－１； （４）犪２＋犪犫＋犫２．
２．分解因式：
（１）犪２＋２犪＋１； （２）狓２－１２狓＋３６；
（３）４狓２－４狓＋１； （４）４狆２＋１２狆狇＋９狇２ ；
（５）（狓＋狔） ２－１０（狓＋狔）＋２５； （６）－２狓狔－狓２－狔２．
对于一些复杂的因式分解问题，有时需要多次运用公式法，有时还需要综
合运用提公因式法和公式法．
例５ 分解因式：
（１）狓４－狔４ ； （２）犪３犫－犪犫．
分析：在 （１）中，狓４－狔４ 可以写成（狓２ ） ２－（狔２ ）
２
的形式，可用公式法分
解因式；对于 （２），犪３犫－犪犫的两项有公因式犪犫，可以先提出公因式，再进一
步分解因式．
解：（１） 狓４－狔４
＝（狓２＋狔２ ）（狓２－狔２ ） 分解因式，要进行
＝（狓２＋狔２ ）（狓＋狔）（狓－狔）； 到每一个多项式因式都
（２） 犪３犫－犪犫
不能再分解为止．
＝犪犫（犪２－１）
＝犪犫（犪＋１）（犪－１）．
例６ 分解因式：
（１）３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２ ； （２）－犪狓２＋２犪２狓－犪３．
分析：先提出公因式，再用公式法进一步分解因式．
解：（１） ３犪狓２＋６犪狓狔＋３犪狔２ （２） －犪狓２＋２犪２狓－犪３
＝３犪（狓２＋２狓狔＋狔２ ） ＝－犪（狓２－２犪狓＋犪２ ）
＝３犪（狓＋狔） ２ ； ＝－犪（狓－犪） ２．
第十七章 因式分解
櫲櫲櫲櫲櫲
１３１
１．分解因式：
（１）狓２狔－４狔； （２）犪３－２犪２＋犪； （３）犪狓２＋２犪２狓＋犪３ ；
（４）－犪４＋１６； （５）３犪－６犪狓＋３犪狓２ ；（６）－４犫狓２＋８犫狓狔－４犫狔２．
２．分解因式：
（１）（犪－犫） ２＋４犪犫； （２）（狆－４）（狆＋１）＋３狆．


分解因式 （第１～３题）．
１ １ １
１．（１）９犪２－１６； （２）８１狓２－６４狔２ ； （３）犿２－ ； （４） 狔２－ 狕２．
３６ ２５ ４９
２． （１）犪２－４犪犫＋４犫２ ； （２）－狓２＋１０狓狔－２５狔２ ；
（３）４＋１２（狓－狔）＋９（狓－狔）
２
； （４）－（犿＋狀） ２＋４（犿＋狀）－４．
３． （１）１８狔３－２７狔４－３狔２ ； （２）犿４－１８犿２＋８１；
（３）狓４－１６狔４ ； （４）（犪２＋犫２－犮２ ） ２－（犪２－犫２－犮２ ） ２．

４．利用因式分解计算：
（１）１０３２＋１０３×１９４＋９７２ ； （２）２０２１２－２０２０２＋２０１０２－２００９２．
５．已知狓狔＝４，狓＋狔＝５，求狓３狔＋２狓２狔２＋狓狔３．
６．分解因式：
（１）（２犪犫＋１） ２－犪４犫４ ； （２）（狆＋狇） ２－６（狆２－狇２ ）＋９（狆－狇） ２．
 
７．已知狀为正整数，求证：（４狀＋３） ２－（２狀＋３）
２
能被２４整除．
８．已知４狔２＋犿狔＋９是完全平方式，求犿的值．
９．观察下列式子，你得出了什么结论？你能证明你的结论吗？
１２＋１２×２２＋２２＝（１＋１＋１）
２
，
２２＋２２×３２＋３２＝（４＋２＋１）
２
，
３２＋３２×４２＋４２＝（９＋３＋１）
２
，
……
１３２第十七章 因式分解 
狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子的因式分解
狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类
型的式子进行因式分解呢？
我们发现，（狓＋狆）（狓＋狇）＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇．这个规律可以利用多项
式的乘法法则推导得出：
（狓＋狆）（狓＋狇）
＝狓２＋狆狓＋狇狓＋狆狇
＝狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇．
因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得
狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇＝（狓＋狆）（狓＋狇）． （）
利用 （）式可以将某些二次项系数是１的二次三项式分解因式．例如，
将式子狓２＋３狓＋２分解因式．这个式子的二次项系数是１，常数项２＝１×２，一
次项系数３＝１＋２，因此这是一个狓２＋（狆＋狇）狓＋狆狇型的式子．利用 （）式
可得狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）．
上述分解因式狓２＋３狓＋２的过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：
先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，
分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于
一次项系数 （图１）．
１１


１ ２
１×２＋１×１＝３
图１
这样，我们也可以得到狓２＋３狓＋２＝（狓＋１）（狓＋２）．
利用这种方法，你能把下列多项式分解因式吗？
（１）狓２＋７狓＋１０； （２）狓２－２狓－８；
（３）狔２－７狔＋１２； （４）狓２＋７狓－１８．
第十七章 因式分解１３３
"++>
我们在过去的学习中已经发现了如下的运算规律：
１５×１５＝２２５＝１×２×１００＋２５，
２５×２５＝６２５＝２×３×１００＋２５，
３５×３５＝１２２５＝３×４×１００＋２５，
……
你能写出一般的规律吗？你能用所学知识证明你的结论吗？
"* ?*-
人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定
的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或０的因式码，将因式码
按从小到大的顺序排列就可以形成密码．例如多项式狓２狔－４狔，将其分解
因式为狔（狓＋２）（狓－２）．若取狓＝１５，狔＝１２，则有狔＝１２，狓＋２＝１７，
狓－２＝１３，其中１２，１７，１３分别为因式码．将这三个因式码按从小到大
的顺序排列就形成密码１２１３１７． 当然也可取另外一些适当的数字，得出
新的密码．
（１）已知多项式１６狆４－狇４ ，当取狆＝１０，狇＝５时，用上述方法生成
的密码是什么？
（２）已知多项式１６狆４－狇４ ，当狆，狇分别取正整数时，用上述方法生
成密码，若密码的前两个因式码为５，１５，你能求出第三个因式码吗？
（３）自己写一个多项式，并用上述方法生成密码．
１３４第十七章 因式分解
  
, 
  
' 
"

, 

a+b

ab
=a2b2
   

a±b
2=a2±ab+b2

 
本章我们在整式的乘法的基础上，学习了与整式的乘法方向相反的
变形———因式分解．整式的乘法是把几个整式相乘，得到一个新的整式，
而因式分解是把一个多项式化为几个整式相乘．知道这种关系，不仅有助
于理解因式分解的意义，而且可以把整式的乘法的过程反过来，得到因
式分解的方法．
在本章，我们学习了两种分解因式的方法———提公因式法和公式法．
在分解因式时，要注意灵活运用这两种方法，并且要把每一个多项式因
式都分解到不能再分解为止．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．举例说明因式分解与整式的乘法之间的关系．
２．因式分解的方法有哪几种？举例说明如何运用所学的方法分解
因式．
３．分解因式时应注意什么？
第十七章 因式分解１３５ 

分解因式 （第１～３题）．
１． （１）１５犪３＋１０犪２ ； （２）１２犪犫犮－３犫犮２ ；
（３）６狆（狆＋狇）－４狇（狆＋狇）； （４）犿（犪－３）＋２（３－犪）．
２． （１）１－３６犫２ ； （２）１２狓２－３狔２ ；
（３）０．４９狆２－１４４； （４）（２狓＋狔） ２－（狓＋２狔） ２．
３． （１）１＋１０狋＋２５狋２ ； （２）犿２－１４犿＋４９；
１
（３）狔２＋狔＋ ； （４）２５犪２－８０犪＋６４；
４
（５）（犿＋狀） ２－４犿（犿＋狀）＋４犿２ ； （６）犪２＋２犪（犫＋犮）＋（犫＋犮） ２．

４．利用因式分解计算：
（１）２１×３．１４＋６２×３．１４＋１７×３．１４；
（２）７５８２－２５８２．
R
r r
５．分解因式：
（１）３犪狓２－３犪狔２ ； （２）４狓狔２－４狓２狔－狔３．
６．如图，在半径为犚的圆形钢板上，挖去半径为狉的四 r r
个小圆，计算当犚＝５．６ｃｍ，狉＝１．２ｃｍ时剩余部分
的面积 （π取３．１４）．
（第６题）
 
７．求证：当狀是整数时，两个连续奇数的平方差（２狀＋１） ２－（２狀－１）
２
是８的倍数．
８．阅读下面的分解因式的过程：
狆２－１＋狇２＋２狆狇＝（狆２＋２狆狇＋狇２ ）－１
＝（狆＋狇） ２－１
＝（狆＋狇＋１）（狆＋狇－１）．
利用上述分解因式的方法证明：
如果犪，犫，犮是△犃犅犆的三条边的长，那么犪２－犫２＋犮２－２犪犮＜０．
１３６第十七章 因式分解第十八章 分式
我们知道，整式可以表示一些问题中的数量和数量关系．在表示有些问题
中的数量和数量关系时，还需要用到其他类型的代数式．例如，一艘轮船在静水
中的最大航速为３０ｋｍ／ｈ，它以最大航速沿江顺流航行９０ｋｍ所用的时间，与以
最大航速逆流航行６０ｋｍ所用的时间相等，江水的流速为多少？
９０
设江水流速为狏ｋｍ／ｈ，则轮船顺流航行９０ｋｍ所用的时间为 ｈ，逆
３０＋狏
６０ ９０ ６０
流航行６０ｋｍ所用的时间为 ｈ，由方程 ＝ 可以解出狏的值．
３０－狏 ３０＋狏 ３０－狏
９０ ６０ ９０
像 和 这样，分母中含有字母的式子都是分式，像 ＝
３０＋狏 ３０－狏 ３０＋狏
６０
这样，分母中含有未知数的方程是分式方程．在本章，我们将类比分数
３０－狏
的概念、基本性质、运算法则来学习分式的相应知识，研究分式方程的解法，
并利用分式和分式方程的知识解决一些实际问题．
第十七章 因式分解１８．１ 分式及其基本性质
分式与分数具有类似的形式，我们类比分数学习分式的
概念和基本性质．
１８１１ 从分数到分式
我们知道，两个数相除可以表示成分数的形式，例如，３÷４，（－７）÷２可
３ －７
以分别表示成 ， ．整式的除法也可以类似表示，例如，在章引言中，江水
４ ２
９０
流速为狏ｋｍ／ｈ，轮船顺流航行９０ｋｍ所用时间 ［９０÷（３０＋狏）］ｈ可以用 ｈ
３０＋狏
来表示．再来看几个问题．
5
（１）长方形的面积为１０，长为７，则宽为 ；长方形的面积为
犛，长为犪，则宽为 ．
（２）在越野滑雪比赛中，若一名滑雪运动员在平地滑行犪ｋｍ用时
犫ｈ，则他的平均速度为 ｋｍ／ｈ；若他在上坡滑行犪ｋｍ比在平地
滑行同样的距离多用犮ｈ，则他的平均速度为 ｋｍ／ｈ．
１０ 犛 犪 犪
在上面的问题中，填出的依次是 ， ， ， ．
７ 犪 犫 犫＋犮
5
犛 犪 犪 ９０ ６０
式子 ， ， 以及本章引言中的式子 ， 有什么共同
犪 犫 犫＋犮 ３０＋狏 ３０－狏
点？它们与分数有什么相同点和不同点？
犃
可以发现，这些式子与分数一样都是 （即犃÷犅）的形式．分数的分子
犅
犃与分母犅都是整数，而这些式子中的犃与犅都是整式，并且犅中都含有字母．
犃
一般地，如果犃，犅表示两个整式，并且犅中含有字母，那么式子 叫
犅
１３８第十八章 分式犃
作分式 （ｆｒａｃｔｉｏｎ）．在分式 中，犃叫作分子，犅叫作分母．
犅
犛 犪 犪 ９０ ６０
分式是不同于整式的另一类代数式．上面的 ， ， ， 和
犪 犫 犫＋犮 ３０＋狏 ３０－狏
等都是分式．因为字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性．例
２ 狓
如，分数 仅表示２÷３的商，而分式 既可以表示２÷３，又可以表示（－５）÷
３ 狔
２，８÷（－９）等．
5
我们知道，要使分数有意义，分数中的分母不能为０． 要使分式有意
义，分式中的分母应满足什么条件？
分式的分母表示除数，因为除数不能为０，所以分式的分母不能为０，即
犃
当犅≠０时，分式 才有意义．
犅
例１ 下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
２ 狓 １ 狓＋狔
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
３狓 狓－１ ５－３犫 狓－狔
２
解：（１）要使分式 有意义，则分母３狓≠０，
３狓
今后，如无特别说
即狓≠０；
明，本套书中出现的分
狓 式都有意义．
（２）要使分式 有意义，则分母狓－１≠０，
狓－１
即狓≠１；
１ ５
（３）要使分式 有意义，则分母５－３犫≠０，即犫≠ ；
５－３犫 ３
狓＋狔
（４）要使分式 有意义，则分母狓－狔≠０，即狓≠狔．
狓－狔

１．列式表示下列各量：
（１）某村有狀个人，耕地４０ｈｍ２ ，则人均耕地面积为 ｈｍ２．
（２）△犃犅犆的面积为犛，边犅犆的长为犪，则高犃犇为 ．
第十八章 分式１３９２．下列式子中，哪些是分式？哪些是整式？两类式子的区别是什么？
１ 狓 ４ ２犪－５ 狓 犿－狀 狓２＋２狓＋１ 犮
， ， ， ， ， ， ， ．
狓 ３ ３犫３＋５ ３ 狓２－狔２ 犿＋狀 狓２－２狓＋１ ３（犪－犫）
３．下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？
２ 狓＋１ ２犿
（１） ； （２） ； （３） ；
犪 狓－１ ３犿＋２
１ ２犪＋犫 ２
（４） ； （５） ； （６） ．
狓－狔 ３犪－犫 （狓＋２）
２
４．分式可以表示现实生活中的某些数量关系．请你构造一个问题情境，使
１００
其中的数量关系可以用分式 表示．
犪
１８１２ 分式的基本性质
下面，我们类比分数的基本性质，学习分式的基本性质．
5
回想一下，分数的基本性质是什么？请用符号表示分数的基本性质，
并猜想分式的基本性质．
类比分数的基本性质：分数的分子与分母都乘 （或除以）同一个不为０的
数，分数的值不变．分式具有基本性质：
分式的分子与分母乘 （或除以）同一个不等于０的整式，分式的值不变．
上述性质可以用式子表示为
犃 犃·犆 犃 犃÷犆
＝ ， ＝ ，
犅 犅·犆 犅 犅÷犆
其中犃，犅，犆（犆≠０）是整式．
例２ 下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
犪 犪犮 狓３ 狓２
（１） ＝ （犮≠０）； （２） ＝ ．
２犫 ２犫犮 狓狔 狔
犪
解： （１）分式 的分子与分母乘同一个不等于０的整式犮，分式的值不
２犫
犪 犪·犮 犪犮
变，即 ＝ ＝ ；
２犫 ２犫·犮 ２犫犮
１４０第十八章 分式狓３
（２）分式 的分子与分母除以同一个不等于０的整式狓，分式的值不变，
狓狔
狓３ 狓３÷狓 狓２
即 ＝ ＝ ．
狓狔 狓狔÷狓 狔
例３ 填空：
狓３ （ ） ３狓２＋３狓狔 狓＋狔
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
狓２狔 狔 ６狓２ （ ）
１ （ ） ２犪－犫 （ ）
（３） ＝ ； （４） ＝ （犫≠０）．
犪犫 犪２犫 犪２ 犪２犫
分析：观察等式，从左边到右边，分母 （或分
对于 （３）（４），观
子）是如何变化的．为保证分式的值不变，根据分
察等式，从左边到右边，
式的基本性质，分子 （或分母）也应做同样的变化． 分母是如何变化的？相
对于 （１），分母狓２狔除以狓２ 化为狔，因此分子也 应地，分子应该如何
变化？
需要除以狓２ ；对于 （２），分子除以３狓化为狓＋狔，
因此分母也需要除以３狓．
狓３ 狓３÷狓２ 狓
解：（１）因为 ＝ ＝ ，所以括号中应填狓；
狓２狔 狓２狔÷狓２ 狔
３狓２＋３狓狔 （３狓２＋３狓狔）÷（３狓）狓＋狔
（２）因为 ＝ ＝ ，所以括号中应填２狓；
６狓２ ６狓２÷（３狓） ２狓
１ １·犪 犪
（３）因为 ＝ ＝ ，所以括号中应填犪；
犪犫犪犫·犪犪２犫
２犪－犫 （２犪－犫）·犫 ２犪犫－犫２
（４）因为 ＝ ＝ ，所以括号中应填２犪犫－犫２．
犪２ 犪２ ·犫 犪２犫

１．下列等式，从左到右是如何运用分式的基本性质变形的？
犪２ 犪２狓 （狓－狔） ２ 狓－狔
（１） ＝ （狓≠０）； （２） ＝ ．
犫 犫狓 狓２－狔２ 狓＋狔
２．填空：
犪犫 犪 犪２＋犪 （ ）
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
犫２ （ ） 犪犮 犮
狔 （ ） １ （ ）
（３） ＝ ； （４） ＝ ．
狓 狓２ 狓狔 ２狓狔２
第十八章 分式１４１３．不改变分式的值，把下列各式中分子与分母的各项系数化为整数：
１ ２
狓＋ 狔
２ ３ ０．３犪＋０．５犫
（１） ； （２） ．
１ ２ ０．２犪－犫
狓－ 狔
２ ３
我们知道，分数的约分和通分在分数的运算中起着非常重要的作用．类似
地，分式的约分和通分在分式的运算中也有非常重要的作用．下面讨论分式的
约分和通分．
5
联想分数的约分，由例３ （１）（２），你能想出如何对分式进行约分吗？
狓３
与分数的约分类似，在例３ （１）中，我们利用分式的基本性质，约去
狓２狔
狓３ 狓
的分子和分母的公因式狓２ ，不改变分式的值，把 化为 ．像这样，根据分
狓２狔 狔
式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分
狓
（ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆａｆｒａｃｔｉｏｎ）．经过约分后的分式 ，其分子与分母没有公因式．像
狔
３狓２＋３狓狔
这样分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式．同样地， 被约
６狓２
狓＋狔 狓＋狔
分成 ， 也是最简分式．
２狓 ２狓
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简
分式或者整式．
例４ 约分：
－２５犪２犫犮３ 狓２－９ ６狓２－１２狓狔＋６狔２
（１） ； （２） ； （３） ．
１５犪犫２犮 狓２＋６狓＋９ ３狓－３狔
分析：为约分，要先找出分子和分母的公因式．
－２５犪２犫犮３ ５犪犫犮·５犪犮２ ５犪犮２
解：（１） ＝－ ＝－ ； 如果分式的分子或
１５犪犫２犮 ５犪犫犮·３犫 ３犫
分母是多项式，分解因
狓２－９ （狓＋３）（狓－３）狓－３
（２） ＝ ＝ ； 式对约分有什么作用？
狓２＋６狓＋９ （狓＋３） ２ 狓＋３
１４２第十八章 分式６狓２－１２狓狔＋６狔２ ６（狓－狔） ２
（３） ＝ ＝２（狓－狔）．
３狓－３狔 ３（狓－狔）
5
联想分数的通分，由例３ （３）（４），你能想出如何对分式进行通分吗？
与分数的通分类似，在例３ （３）（４）中，我们利用分式的基本性质，将分
１ ２犪－犫
子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把 和 化成分母相同的
犪犫 犪２
分式．像这样，根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的
分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分 （ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｏｆｆｒａｃｔｉｏｎｓｔｏａ
ｃｏｍｍｏｎｄｅｎｏｍｉｎａｔｏｒ）．
分式的通分，关键是确定几个分式的公分母，一般取各分母的所有因式的
最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母．
例５ 通分：
３ 犪－犫 ２狓 ３狓
（１） 与 ； （２） 与 ．
２犪２犫 ３犪犫２犮 狓２－２５ ２狓＋１０
分析：为通分，要先确定最简公分母．对于 （１），因为分母系数的最小公
倍数是６，字母犪，犫，犮的最高次幂分别是犪２ ，犫２ ，犮，所以最简公分母是
６犪２犫２犮；对于 （２），分母是多项式，要先分解因式，再通分．
解：（１）最简公分母是６犪２犫２犮．
３ ３·３犫犮 ９犫犮
＝ ＝ ，
２犪２犫 ２犪２犫·３犫犮 ６犪２犫２犮
犪－犫 （犪－犫）·２犪 ２犪２－２犪犫
＝ ＝ ．
３犪犫２犮 ３犪犫２犮·２犪 ６犪２犫２犮
（２）最简公分母是２（狓－５）（狓＋５）．
２狓 ２狓·２ ４狓
＝ ＝ ， 如果分式的分母是
狓２－２５ （狓－５）（狓＋５）·２ ２狓２－５０
多项式，分解因式对于
３狓 ３狓（狓－５） ３狓２－１５狓
＝ ＝ ． 通分有什么作用？
２狓＋１０ ２（狓＋５）（狓－５） ２狓２－５０
5
分数和分式在约分和通分的做法上有什么共同点？这些做法的根据是什么？
第十八章 分式１４３
１．约分：
２犫犮 （狓＋狔）狔 狓２＋狓狔 狓２－４狔２
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
犪犮 狓狔２ （狓＋狔） ２ （狓－２狔） ２
２．通分：
狓 狔 ２犮 ３犪犮
（１） 与 ； （２） 与 ；
犪犫 犫犮 犫犱 ４犫２
狓 狔 ２狓狔 狓
（３） 与 ； （４） 与 ．
犪（狓＋２） 犫（狓＋２） （狓＋狔） ２ 狓２－狔２


１．填空并判断所填式子是不是分式．
（１）一位作家先用犿天写完了一部小说的上集，又用狀天写完下集，这部小
说 （上、下集）共１２０万字，这位作家平均每天的写作量为
万字；
（２）走一段长１０ｋｍ的路，步行用２狓ｈ，骑自行车所用时间比步行所用时间
的一半少０．２ｈ，骑自行车的平均速度为 ｋｍ／ｈ；
（３）甲完成一项工作需狋ｈ，乙完成同样工作比甲少用１ｈ，乙的工作效率为
．
２．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
１ ３ 犫 犮 犪＋６ ３ 狓２＋２狓＋１ 犿＋狀
，狓－１， ， ， ， ， （狓＋狔）， ， ．
犪 犿 ３ 犪－犫 ２犫 ４ ５ 犿－狀
３．狓满足什么条件时下列分式有意义？
１ 狓－５ 狓＋５ １
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
３－狓 ３狓＋５ 狓２＋１ 狓２－１６
４．下列各组中的两个分式是否相等？为什么？
２狓 ４狓狔 ６犪犮 ２犮
（１） 与 ； （２） 与 ．
狔 ２狔２ ９犪２犫 ３犪犫
１４４第十八章 分式５．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母都不含 “－”号．
－５狔 －犪 ４犿 －狓
（１） ； （２） ； （３） ； （４）－ ．
－狓２ ２犫 －３狀 ２狔
６．约分：
５狓 ９犪犫２＋６犪犫犮 ９犪２＋６犪犫＋犫２ 狓２－３６
（１） ； （２） ； （３） ； （４） ．
２５狓２ ３犪２犫 ３犪＋犫 ２狓＋１２
７．通分：
狓 ３狓 ６犮 犮
（１） 与 ； （２） 与 ；
３狔 ２狔２ 犪２犫 ３犪犫２
狓－狔 狓狔 ２犿狀 ２犿－３
（３） 与 ； （４） 与 ．
２狓＋２狔 （狓＋狔） ２ ４犿２－９ ２犿＋３

８．小李要打一份１２０００字的文件，第一天她打字２ｈ，平均打字速度为狑字／ｍｉｎ，
第二天她平均打字速度比第一天快了１０字／ｍｉｎ，两天打完全部文件，第二天她
打字用了多长时间？
９．某村种植了犿ｈｍ２ 玉米，总产量为狀ｋｇ；水稻的种植面积比玉米的种植面积
多狆ｈｍ２ ，水稻的总产量比玉米总产量的２倍多狇ｋｇ．写出表示玉米和水稻的
单位面积产量 （单位：ｋｇ／ｈｍ２ ）的式子．
１０．有四块小场地：第一块是边长为犪ｍ的正方形，第二块是边长为犫ｍ的正方
形，其余两块都是长为犪ｍ、宽为犫ｍ的长方形．另有一块大长方形场地，
它的面积等于上面四块场地面积的和，它的长为２（犪＋犫）ｍ，用最简单的式
子表示出大长方形的宽．
 
１１．在什么条件下，下列分式的值为０？
３狓２－１２ ５犪－犫
（１） ； （２） ．
狓２＋４狓＋４ 犪＋犫
１ ２犪４－３犪２狓＋２
１２．已知犪－ ＝１，且 ＝１，求狓的值．
犪 犪３－犪
第十八章 分式１４５１８．２ 分式的乘法与除法
与学习了整式的概念后要学习整式的运算类似，学习了
分式的概念，接下来也要学习分式的运算．分式与分数具有
类似的形式，我们可以类比分数的运算法则认识分式的运算
法则．
5
你还记得分数的乘除法法则吗？类比分数的乘除法法则，你能说出分
式的乘除法法则吗？
类似于分数，分式有：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式
相乘．
上述法则可以用式子表示为
犪 犮 犪·犮
· ＝ ，
犫 犱 犫·犱
犪 犮 犪 犱 犪·犱
÷ ＝ · ＝ ．
犫 犱 犫 犮 犫·犮
例１ 计算：
４狓 狔 犪犫３ －５犪２犫２
（１） · ； （２） ÷ ．
３狔 ２狓３ ２犮２ ４犮犱
４狓 狔 ４狓狔 ２
解：（１） · ＝ ＝ ；
３狔 ２狓３ ６狓３狔 ３狓２
犪犫３ －５犪２犫２ 犪犫３ ４犮犱
（２） ÷ ＝ ·
２犮２ ４犮犱 ２犮２ －５犪２犫２
运算结果应化为最
＝－
４犪犫３犮犱
简分式．
１０犪２犫２犮２
２犫犱
＝－ ．
５犪犮
１４６第十八章 分式例２ 计算：
犪２－４犪＋４ 犪－１ １ １
（１） · ； （２） ÷ ．
犪２－２犪＋１ 犪２－４ ４９－犿２ 犿２－７犿
犪２－４犪＋４ 犪－１
解：（１） ·
犪２－２犪＋１ 犪２－４
（犪－２） ２ 犪－１
＝ ·
（犪－１）
２
（犪－２）（犪＋２）
分子、分母是多项
（犪－２）
２
（犪－１）
式时，通常先分解因
＝
（犪－１）
２
（犪－２）（犪＋２）
式，再约分．
犪－２
＝ ；
（犪－１）（犪＋２）
１ １ １
（２） ÷ ＝－ ·（犿２－７犿）
４９－犿２ 犿２－７犿 犿２－４９
犿（犿－７）
＝－
（犿＋７）（犿－７）
犿
＝－ ．
犿＋７
例３ 如图１８．２１，“丰收１号”小麦的试验田是边长为犪ｍ（犪＞１）的正
方形去掉一个边长为１ｍ的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收２号”小麦的
试验田是边长为（犪－１）ｍ的正方形，两块试验田都收获了５００ｋｇ小麦．
（１）哪种小麦的单位面积产量高？
（２）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
(a-1)m
1m a-1 m
1m
am am
图１８．２１ 图１８．２２
解：（１）“丰收１号”小麦的试验田面积是（犪２－１）ｍ２ ，单位面积产量是
５００
ｋｇ／ｍ２ ；“丰收２号”小麦的试验田面积是（犪－１） ２ｍ２ ，单位面积产量是
犪２－１
第十八章 分式１４７５００
ｋｇ／ｍ２．
（犪－１）
２
因为犪＞１，
所以（犪－１） ２＞０，犪２－１＞０． 因为犪＞１，所以
由图１８．２２，可得 （犪－１） ２＜犪２－１． （犪－１）２－（犪２－１）
５００ ５００
＝（犪２－２犪＋１）－（犪２－１）
所以 ＜ ．
犪２－１ （犪－１） ２ ＝－２（犪－１）＜０，
所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量高． 即（犪－１）２＜犪２－１．
５００ ５００ ５００ 犪２－１
（２） ÷ ＝ ·
（犪－１） ２ 犪２－１ （犪－１） ２ ５００
（犪＋１）（犪－１）犪＋１
＝ ＝ ．
（犪－１）
２
犪－１
所以，“丰收２号”小麦的单位面积产量是 “丰收１号”小麦的单位面积
犪＋１
产量的 倍．
犪－１

１．计算：
３犪 １６犫 １２狓狔
（１） · ； （２） ÷（８狓２狔）；
４犫 ９犪２ ５犪
２狔２ 狓＋狔 狔－狓
（３）（－３狓狔）÷ ； （４） · ．
３狓 狓－狔 狓＋狔
２．计算：
３犪－３犫 ２５犪２犫３ ４狔２－狓２ 狓－２狔
（１） · ； （２） ÷ ．
１０犪犫 犪２－犫２ 狓２＋２狓狔＋狔２ ２狓２＋２狓狔
３．一个水平放置的长方体容器，其容积为犞，底面的长为犪，宽为犫，当
犿
容器内的水占容积的 时，水面的高度为多少？
狀
４．大拖拉机犿天耕地犪ｈｍ２ ，小拖拉机狀天耕地犫ｈｍ２ ，大拖拉机的工作
效率是小拖拉机工作效率的多少倍？
１４８第十八章 分式在分式的乘法和除法运算基础上，我们来看分式的乘除混合运算．
２狓 ３ 狓
例４ 计算 ÷ · ．
５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３
２狓 ３ 狓
解： ÷ ·
５狓－３ ２５狓２－９ ５狓＋３
乘除混合运算可以
＝
２狓
·
２５狓２－９
·
狓
统一为乘法运算．
５狓－３ ３ ５狓＋３
２狓 （５狓＋３）（５狓－３） 狓
＝ · ·
５狓－３ ３ ５狓＋３
２狓２
＝ ．
３
5
（犪）
２
（犪）
３
（犪）
１０
＝ ； ＝ ； ＝ ．
犫 犫 犫
根据乘方的意义和分式的乘法法则，可得：
（犪） ２ 犪 犪 犪·犪 犪２
＝ · ＝ ＝ ；
犫 犫 犫 犫·犫 犫２
（犪） ３ 犪 犪 犪
＝ · · ＝ ；
犫 犫 犫 犫
（犪）
１０
＝ ．
犫
一般地，当狀是正整数时，
狀个
烇 烉 烋
（犪） 狀 犪 犪 犪 犪·犪·…·犪 犪狀
＝ · ·…· ＝ ＝ ，即
犫 犫 犫 犫 犫·犫·…·犫 犫狀
烏 烐 烑 烏 烐 烑
狀个 狀个
（犪） 狀 犪狀
＝ ．
犫 犫狀
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方．
例５ 计算：
（－２犪２犫） ２ （犪２犫） ３ ２犪 （犮） ２
（１） ； （２） ÷ · ．
３犮 －犮犱３ 犱３ ２犪
（－２犪２犫） ２ （－２犪２犫） ２ ４犪４犫２
解：（１） ＝ ＝ ；
３犮 （３犮） ２ ９犮２
第十八章 分式１４９（犪２犫） ３ ２犪 （犮） ２ 犪６犫３ ２犪 犮２
（２） ÷ · ＝ ÷ ·
－犮犱３ 犱３ ２犪 －犮３犱９ 犱３ ４犪２
分式与数有相同的
＝
犪６犫３
·
犱３
·
犮２
混合运算顺序：先乘
－犮３犱９ ２犪 ４犪２
方，再乘除．
犪３犫３
＝－ ．
８犮犱６

１．计算：
２犿２狀 ５狆２狇 ５犿狀狆 １６－犪２ 犪－４ 犪－２
（１） · ÷ ； （２） ÷ · ．
３狆狇２ ４犿狀２ ３狇 犪２＋８犪＋１６ ２犪＋８ 犪＋２
２．计算：
（－２狓４狔２ ）
３
（２狓）
２
（３狔）
３
（１） ； （２） · ；
３狕 ３狔 ４狓
（犫２ ） ３ （２犪犫３ ） ６犪４ （－３犮） ３
（３） ÷（－犫６犮）； （４） ２÷ · ．
犪犮 －犮２犱 犫３ 犫２


１．计算：
（ ）
６犪犫 １０犮 －７狓 ９狔２
（１） · ； （２） · － ；
５犮２ ３犫 ３狔狕 狓２
（ ）
２犿 ４犿２ 狓 ４狓２
（３） ÷ ； （４） ÷ － ．
５狀 １０狀３ ５狔 ５狔２
２．计算：
４犪＋４犫 １５犪２犫 狓２－４狔２ 狓＋２
（１） · ； （２） · ；
５犪犫 犪２－犫２ 狓２＋４狓＋４ ３狓２＋６狓狔
狓２＋１ 狓２－３６ 狔２－狓２ 狓＋狔
（３） · ； （４） ÷ ．
狓－６ 狓３＋狓 ５狓２－４狓狔 ５狓－４狔
３．计算：
（ ） （ ）
－３犪３ －３狓３狔２
（１） ； （２） ．
２犫 狕２
１５０第十八章 分式４．计算：
４犪２犫 ５犮２犱 ２犪犫犮 ８１－犪２ 犪－９ 犪＋３
（１） · ÷ ； （２） ÷ · ；
３犮犱２ ４犪犫２ ３犱 犪２＋６犪＋９ ２犪＋６ 犪＋９
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
（３） 犪２犫 ２· 犮２ ２ ÷ 犫犮４ ； （４） －犪 ２÷ ２犪２ ２ · 犪 ．
－犮 －犪犫 犪 犫 ５犫 ５犫
５．先化简，再求值：
犪－２ 犪２－１ １
（１） · ÷ ，其中犪＝３；
犪＋１ 犪２－４犪＋４ 犪２－４
（ ）
狓＋狔 狓２－狔２ ２ １ １ １
（２） ÷ ÷ ，其中狓＝－ ，狔＝ ．
２狓狔２ 狓狔 （狓－狔） ２ ２ ３

６．如图，有甲、乙两个花坛 （阴影部分），分别在这两个花坛中均匀播种犿颗花
（ ）
花种数量
种，哪一个花坛的撒播密度大 撒播密度＝ ？
撒播面积
第十八章 分式
a
b
a
b
a
2
b
2
甲 乙
（第６题）
狆
７．一艘船顺流航行狀ｋｍ用了犿ｈ，如果逆流航速是顺流航速的 ，那么这艘船
狇
逆流航行狋ｈ走了多少路程？
８．在一块犪ｈｍ２ 的稻田上插秧，如果１０个人插秧，要用犿天完成；如果一台插
秧机工作，要比１０个人插秧提前３天完成．一台插秧机的工作效率是一个人
工作效率的多少倍？
９．在调配饮料时，需要考虑不同原料的质量配比．如果一种由甲、乙两种原料配
制成的饮料成品是１ｋｇ，甲、乙两种原料的配比是狓∶狔，那么需要甲原料多
少千克？
 
１０．观察周边生活或查阅书籍，设计一个运用分式乘除运算的实际问题，并给出
解答．
１５１１８．３ 分式的加法与减法
与类比分数的乘法与除法学习分式的乘法与除法一样，
我们类比分数的加法与减法，学习分式的加法与减法．
5
观察下列分数加减运算的式子：
１ ２ ３ １ ２ １ １ １ ３ ２ ５ １ １ ３ ２ １
＋ ＝ ， － ＝－ ， ＋ ＝ ＋ ＝ ， － ＝ － ＝ ．
５ ５ ５ ５ ５ ５ ２ ３ ６ ６ ６ ２ ３ ６ ６ ６
你能将它们推广，得出分式的加减法法则吗？
分式的加减法与分数的加减法实质相同．类似分数的加减法，分式的加减
法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减．
上述法则可用式子表示为
犪 犫 犪±犫
± ＝ ，
犮 犮 犮
犪 犮 犪犱 犫犮 犪犱±犫犮
± ＝ ± ＝ ．
犫 犱 犫犱 犫犱 犫犱
例１ 计算：
５狓＋３狔 ２狓 犿＋２狀 狀 ２犿
（１） － ； （２） ＋ － ．
狓２－狔２ 狓２－狔２ 狀－犿 犿－狀狀－犿
５狓＋３狔 ２狓 ５狓＋３狔－２狓 ３狓＋３狔
解：（１） － ＝ ＝
狓２－狔２ 狓２－狔２ 狓２－狔２ 狓２－狔２
３
＝ ；
狓－狔
犿＋２狀 狀 ２犿 犿＋２狀 －狀 ２犿
（２） ＋ － ＝ ＋ －
狀－犿 犿－狀狀－犿 狀－犿 狀－犿 狀－犿
犿＋２狀－狀－２犿
＝
狀－犿
１５２第十八章 分式狀－犿
＝
狀－犿
＝１．
例２ 计算：
５ ２ ３ １２ ２
（１） － ＋ ； （２） ＋ ．
６犪犫 ３犪犮 ４犪犫犮 犿２－９ ３－犿
５ ２ ３ １０犮 ８犫 ９ １０犮－８犫＋９
解：（１） － ＋ ＝ － ＋ ＝ ；
６犪犫 ３犪犮 ４犪犫犮 １２犪犫犮 １２犪犫犮 １２犪犫犮 １２犪犫犮
１２ ２ １２ ２
（２） ＋ ＝ －
犿２－９ ３－犿 （犿＋３）（犿－３） 犿－３
１２ ２（犿＋３）
＝ －
（犿＋３）（犿－３） （犿－３）（犿＋３）
１２－２（犿＋３） －２犿＋６
＝ ＝
（犿＋３）（犿－３） （犿＋３）（犿－３）
－２（犿－３）
＝
（犿＋３）（犿－３）
２
＝－ ．
犿＋３

１．计算：
狓＋１ １ 犪 ２犪 ３犪
（１） － ； （２） ＋ － ．
狓 狓 犫＋１ 犫＋１ 犫＋１
２．计算：
１ １ ３ ２犿－狀
（１） ＋ ； （２） － ；
２犮２犱 ３犮犱２ ２犿－狀 （２犿－狀） ２
犪 １ 犪２
（３） － ； （４） －犪－１．
犪２－犫２ 犪＋犫 犪－１
式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先乘方，再乘
除，然后加减．
例３ 计算：
（２犪） ２ １ 犪 犫 （狓＋２ 狓－１ ） 狓－４
（１） · － ÷ ； （２） － ÷ ．
犫 犪－犫 犫 ４ 狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓
第十八章 分式１５３（２犪） ２ １ 犪 犫 ４犪２ １ 犪 ４
解：（１） · － ÷ ＝ · － ·
犫 犪－犫 犫 ４ 犫２ 犪－犫 犫 犫
４犪２ ４犪 ４犪２ ４犪（犪－犫）
＝ － ＝ －
犫２ （犪－犫）犫２ 犫２ （犪－犫） 犫２ （犪－犫）
４犪２－４犪２＋４犪犫
＝
犫２ （犪－犫）
４犪犫
＝
犫２ （犪－犫）
４犪
＝ ；
犪犫－犫２
（狓＋２ 狓－１ ） 狓－４ 熿 狓＋２ 狓－１ 燄 狓
（２） － ÷ ＝ － ·
狓２－２狓 狓２－４狓＋４ 狓 燀狓（狓－２） （狓－２） ２燅 狓－４
（狓＋２）（狓－２）－（狓－１）狓 狓
＝ ·
狓（狓－２）
２
狓－４
狓２－４－狓２＋狓
＝
（狓－２）
２
（狓－４）
１
＝ ．
（狓－２）
２
例４ 张华和李明同时从甲地沿同一路线步行去乙地．张华在前半段路程
的平均行走速度是犪ｋｍ／ｈ，在后半段路程的平均行走速度是犫ｋｍ／ｈ；李明全
犪＋犫
程的平均行走速度是 ｋｍ／ｈ．如果犪≠犫，两人谁先到达乙地？
２
解：设从甲地到乙地的路程为狊ｋｍ，张华从甲地到乙地的时间 （单位：ｈ）为
狊 狊
２ ２ （犪＋犫）狊
＋ ＝ ．
犪 犫 ２犪犫
李明从甲地到乙地的时间 （单位：ｈ）为
狊 ２狊
＝ ．
犪＋犫 犪＋犫
２
两人的时间差为
（犪＋犫）狊 ２狊 （犪＋犫） ２狊－４犪犫狊 （犪２－２犪犫＋犫２ ）狊 （犪－犫） ２狊
－ ＝ ＝ ＝ ，
２犪犫 犪＋犫 ２犪犫（犪＋犫） ２犪犫（犪＋犫） ２犪犫（犪＋犫）
（犪－犫） ２狊 （犪＋犫）狊 ２狊
因为狊，犪，犫均大于０，且犪≠犫，所以 ＞０，即 ＞ ．
２犪犫（犪＋犫） ２犪犫 犪＋犫
因此，李明先到达乙地．
１５４第十八章 分式
１．计算：
（狓） ２ 狔 狓 ２狔２ （ ５ ） ２犿－４
（１） · － ÷ ； （２） 犿＋２＋ · ；
２狔 ２狓 狔２ 狓 ２－犿 ３－犿
狓＋１ （２狓） ２ （ １ １ ） 犪＋犫 犪２－犫２
（３） · － － ；（４）１－ ÷ ．
狓 狓＋１ 狓－１ 狓＋１ 犪－２犫 犪２－４犪犫＋４犫２
２．甲工程队完成一项工程需狀天，乙工程队要比甲工程队多用３天才能完
成这项工程，两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
３．前年、去年、今年某地的森林面积 （单位：ｋｍ２ ）分别是犛，犛，犛，
１ ２ ３
今年与去年相比，森林面积增长率提高了多少？


１．计算：
犪 １ ３ ３狓
（１） ＋ ； （２） － ；
犪＋１ 犪＋１ 狓＋１ 狓＋１
犪 １ ３ ３狓
（３） ＋ ； （４） － ．
（犪＋１）２ （犪＋１）２ （狓－１） ２ （狓－１） ２
２．计算：
２犪 ３犫 ２犿 ３狀
（１） ＋ ； （２） － ；
５犪２犫 １０犪犫２ ５狀２狆 ４犿狆２
３狔 ２狓狔 ２狓 １
（３） ＋ ； （４） － ．
２狓＋２狔 狓２＋狓狔 狓２－６４狔２ 狓－８狔
３．计算：
（ ） （ ） （ ）
１ １ ２ １ １ ３狓２ ２ ２狔 狓２ ２狔２
（１） ＋ ÷ － ； （２） · ＋ ÷ ；
犪 犫 犪２ 犫２ ４狔 ３狓 ２狔２ 狓
（ ） （ ）
狓 ２狔 狓狔 １ １
（３） ＋ · ÷ ＋ ；
狓＋狔 狓＋狔 狓＋２狔 狓 狔
（ ）
犪＋犫２ ２犪－２犫 犪２ 犪
（４） · － ÷ ．
犪－犫 ３犪＋３犫 犪２－犫２ 犫
第十八章 分式１５５狓 狓２＋狓 １
４．先化简，再求值： ÷ ＋ ，其中狓＝２．
狓２－１ 狓２＋２狓＋１ 狓－１

５．绿化队原来用漫灌方式灌溉绿地，犪天用水犿ｔ，现在改用喷灌方式，可使这
些水多用３天，现在比原来每天节约用水多少吨？
６．甲、乙两地相距狀ｋｍ，提速前高铁列车从甲地到乙地要用狋ｈ，提速后行驶时
间减少了０．５ｈ，提速后高铁列车的平均速度比原来的平均速度快了多少？
７．一块麦田有犿ｈｍ２ ，甲收割完这块麦田需狀ｈ，乙比甲少用０．５ｈ就能收割完
这块麦田，两人一起收割完这块麦田需要多少小时？
 
８．一个无盖长方体盒子的容积是犞．
（１）如果盒子底面是边长为犪的正方形，这个盒子的
表面积是多少？
（２）如果盒子底面是长为犫、宽为犮的长方形，这个
盒子的表面积是多少？
（３）上面两种情况下，如果盒子的底面面积相等，那
（第８题）
么两种盒子的表面积相差多少？
（不计制造材料的厚度．）
１５６第十八章 分式 
容器中的水能倒完吗
１
一个容器装有１Ｌ水，按照如下要求把水倒出：第１次倒出 Ｌ水，第２
２
１ １ １ １
次倒出的水量是 Ｌ的 ，第３次倒出的水量是 Ｌ的 ，第４次倒出的水量
２ ３ ３ ４
１ １ １ １
是 Ｌ的 ，……第狀次倒出的水量是 Ｌ的 ，……按照这种倒水的方
４ ５ 狀 狀＋１
法，这１Ｌ水经过多少次可以倒完？
你可能会想到通过实验探寻问题的答案，但是实验中要精确地测量倒出的
水量，当倒出的水量很小时测量的难度非常大．我们不考虑实际操作因素，将
上面的问题抽象成数学问题加以解决．
容易列出倒狀次水倒出的总水量 （单位：Ｌ）为
１ １ １ １ １ １
＋ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ． ①
２ ２×３ ３×４ ４×５ （狀－１）狀 狀（狀＋１）
根据分式的减法法则，
１ １ 狀＋１ 狀 １
－ ＝ － ＝ ．
狀 狀＋１ 狀（狀＋１）狀（狀＋１）狀（狀＋１）
反过来，有
１ １ １
＝ － ． ②
狀（狀＋１） 狀 狀＋１
利用②可以把①改写为
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ）
１ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
＋ － ＋ － ＋ － ＋…＋ － ＋ － ． ③
２ ２ ３ ３ ４ ４ ５ 狀－１ 狀 狀 狀＋１
１
合并③中的相反数，得１－ ，即倒狀次水倒出的总水量 （单位：Ｌ）为
狀＋１
１ 狀
１－ ＝ ．
狀＋１ 狀＋１
狀
可以发现，从数学上看，随着倒水次数狀的不断增加，倒出的总水量 Ｌ
狀＋１
狀
也不断增加．然而，不论倒水次数狀有多大，倒出的总水量 Ｌ总小于１Ｌ．
狀＋１
因此，按这种方法，容器中的１Ｌ水是倒不完的．
第十八章 分式１５７１８．４ 整数指数幂
随着我们认识的数的范围不断扩大，数的运算也在不断
推广．例如，加法运算从非负整数范围推广到非负有理数范
围，再到有理数范围．同样地，对于幂的运算，是否也可以
从正整数指数幂推广到更大的范围呢？下面，我们从追溯幂
的符号的演变开始．
##
幂的符号的演变经历了漫长的时间，犪２ ，犪３ ，犪４ 的一些表示如图
１８．４１所示．












 



g, Kg, g  7JFUF ? aa, aaa, aaaa 
































  


























 


















Aq, Acu, Aqq
 )BSSJPU ?
a2, a3, a4







图１８．４１
犪狀 这种幂的符号不仅简明、利于运算，而且有助于幂的运算的推广．
１６７６年，牛顿 （Ｎｅｗｔｏｎ，１６４３—１７２７）提出了一个设想：“因为数学家将
１ １ １
犪犪，犪犪犪，犪犪犪犪，…写成犪２ ，犪３ ，犪４ ，…，所以我将 ， ， ，…写
犪 犪犪 犪犪犪
成犪－１ ，犪－２ ，犪－３ ，…．”
5
你认为牛顿的这个设想合理吗？也就是说，如果犪犿 中的犿可以是负
整数，那么负整数指数幂犪犿 表示什么？
由分式的约分可知，当犪≠０时，
犪３ 犪３ １
犪３÷犪５＝ ＝ ＝ ． ①
犪５ 犪３ ·犪２ 犪２
１５８第十八章 分式另一方面，如果把正整数指数幂的运算性质犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀
是正整数，犿＞狀）中的条件犿＞狀去掉，即假设这个性质对于像犪３÷犪５ 的情
形也能使用，则有
犪３÷犪５＝犪３－５＝犪－２． ②
１
由①②两式，我们想到如果规定犪－２＝ （犪≠０），就能使犪犿÷犪狀＝犪犿－狀
犪２
这条性质也适用于像犪３÷犪５ 这样的情形．为使上述运算性质适用范围更广，同
时也可以更简便地表示分式，数学中规定：
一般地，当狀是正整数时，
１ 今后，如无特别说
犪－狀＝ （犪≠０）．
犪狀
明，本套书中涉及的负
这就是说，犪－狀 （犪≠０）是犪狀 的倒数．
整数指数幂的底数均不
引入负整数指数幂后，指数的取值范围就扩充 为０．
到全体整数．
5
引入负整数指数和０指数后，正整数指数幂的运算性质
犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是正整数） ①
能否推广到犿，狀是任意整数的情形？
我们从特殊情形入手进行研究．例如，
犪３ １
犪３ ·犪－５＝ ＝ ＝犪－２＝犪３＋（－５） ，即
犪５ 犪２
犪３ ·犪－５＝犪３＋（－５） ；
１ １ １
犪－３ ·犪－５＝ · ＝ ＝犪－８＝犪（－３）＋（－５） ，即
犪３ 犪５ 犪８
可以换其他整数指
犪－３ ·犪－５＝犪（－３）＋（－５） ； 数再验证这个规律．
１ １
犪０ ·犪－５＝１· ＝ ＝犪－５＝犪０＋（－５） ，即
犪５ 犪５
犪０ ·犪－５＝犪０＋（－５）．
一般地，犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 这条性质对于犿，狀是任意整数的情形仍然适用．
第十八章 分式１５９/
类似地，你可以用负整数指数幂或０指数幂对于其他四个正整数指
数幂的运算性质
（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀是正整数）， ②
（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀是正整数）， ③
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 （犪≠０，犿，狀是正整数，犿＞狀）， ④
（犪） 犪狀
狀＝ （狀是正整数） ⑤
犫 犫狀
进行尝试，看看这些性质在整数指数幂范围内是否还适用．
事实上，随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数，这些运算性质也
推广到整数指数幂．
例１ 计算：
（犫３ ）
－２
（１）犪－２÷犪５ ； （２） ；
犪２
（３）（犪－１犫２ ） ３ ； （４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２ ） －３．
１
解：（１）犪－２÷犪５＝犪－２－５＝犪－７＝ ；
犪７
（犫３ ） －２ 犫－６ 犪４
（２） ＝ ＝犪４犫－６＝ ；
犪２ 犪－４ 犫６
犫６
（３）（犪－１犫２ ） ３＝犪－３犫６＝ ；
犪３
犫８
（４）犪－２犫２ ·（犪２犫－２ ） －３＝犪－２犫２ ·犪－６犫６＝犪－８犫８＝ ．
犪８
根据整数指数幂的运算性质，当犿，狀为整数时，
犪犿÷犪狀＝犪犿－狀 ，
犪犿 ·犪－狀＝犪犿＋（－狀）＝犪犿－狀 ，
因此
犪犿÷犪狀＝犪犿 ·犪－狀 ，
即同底数幂的除法犪犿÷犪狀 可以转化为同底数幂的乘法犪犿 ·犪－狀．
１６０第十八章 分式犪 （犪） 狀 （犪） 狀
特别地， ＝犪÷犫＝犪·犫－１ ，所以 ＝（犪·犫－１ ）
狀
，即商的乘方
犫 犫 犫
可以转化为积的乘方（犪·犫－１ ） 狀．
于是，整数指数幂的运算性质可以归结为：
（１）犪犿 ·犪狀＝犪犿＋狀 （犿，狀是整数）；
（２）（犪犿 ） 狀＝犪犿狀 （犿，狀是整数）；
（３）（犪犫） 狀＝犪狀犫狀 （狀是整数）．

１．填空：
（１）３０＝ ，３－２＝ ；
（ ） （ ）
（２） －３０＝ ， －３ －２＝ ；
（３）犫０＝ ，犫－２＝ ．
２．计算：
（１）狓２狔－３ ·（狓－１狔） ３ ； （２）（２犪犫２犮－３ ） －２÷（犪－２犫） ３．
我们已经知道，一些较大的数适合用科学记数法表示．例如，光速约为
３×１０８ｍ／ｓ，太阳半径约为６．９６×１０５ｋｍ等．有了负整数指数幂后，小于１的
正数也可以用科学记数法表示．例如，０．００００１＝１×１０－５ ，０．００００２５７＝
２．５７×１０－５ ，０．０００００００２５７＝２．５７×１０－８ 等．
一般地，小于１的正数可以用科学记数法表示为犪×１０－狀 的形式，其中１≤
犪＜１０，狀是正整数．这种形式更便于比较数的大小和运算，例如，自然科学和
生活中经常用到的分 （ｄ）、厘 （ｃ）、毫 （ｍ）、微 （
μ
）、纳 （ｎ）等国际单位制
词头，其中微对应１０－６ ，纳对应１０－９．微米（μｍ）、纳米（ｎｍ）都是长度单位，
１μｍ＝１０－６ｍ，１ｎｍ＝１０－９ｍ．
5
对于一个小于１的正小数，如果小数点后至第一个非０数字前有８个
０，用科学记数法表示这个数时，１０的指数是多少？如果有犿个０呢？
第十八章 分式１６１例２ 碳纳米管是一种前沿纳米材料，有很多
神奇的特性．它是由呈六边形排列的碳原子构成的
单层或多层的同轴圆管，其直径一般为２～２０ｎｍ．通
常一根头发丝的直径约为７０μｍ，一根头发丝的直
径大约是碳纳米管直径的多少倍？
解：７０μｍ＝７０×１０－６ｍ，２ｎｍ＝２×１０－９ｍ，
２０ｎｍ＝２０×１０－９ｍ． 纳米技术是一种高
（７０×１０－６ ）÷（２×１０－９ ）＝３．５×１０４． 新技术，主要是在纳米
尺度内探索物质的性
（７０×１０－６ ）÷（２０×１０－９ ）＝３．５×１０３．
质，从而创造新材料．
因此，一根头发丝的直径是碳纳米管直径的
３．５×１０３～３．５×１０４ 倍．

１．用科学记数法表示下列数：
０．００００００００１，０．００１２，０．００００００３４５，０．０００００００１０８．
２．计算：
（１）（２×１０－６ ）×（３．２×１０３ ）； （２）（２×１０－６ ） ２÷（１０－４ ） ３．


１．填空：
（１）若 （犪－３）
－２
有意义，则犪的取值范围为 ；
（２）１÷犪－１＝ ；犪２ ·犪－２＝ ； （－犪犫－１ ） －２＝ ．
２．计算：
（ ） （ ） （ ）
（１）π０＋（－２） －２－ － １ －３； （２）２－２－５× － ３ ０ × ５ －１ ．
３ ５ ２
３．计算：
（１）３犪－２犫·２犪犫－２ ； （２）４狓狔２狕÷（－２狓－２狔狕－１ ）；
（３）（－３犪犫－１ ）
３
； （４）（２犿２狀－２ ）
２
·３犿－３狀３．
１６２第十八章 分式４．用科学记数法表示下列数：
０．００００１，０．００００２，０．００００００５６７，０．００００００３０１．

５．计算：
（１）（２×１０－３ ）×（５×１０－３ ）； （２）（３×１０－５ ） ２÷（３×１０－１ ） ２．
６．计算：
（ ） （ ）
（１） 犪－２犫３ （－３犪－１犫２ ） ； （２） 狓２＋狓狔 －１÷ 狓－狔 · 狓 －３ ．
６犪－３犫－２ 狓 狓 狔－狓
 
７．已知狓＋狓－１＝３，求狓２＋狓－２ ，狓４＋狓－４ 的值．
８．通常分子的质量和体积都很小，已知１个水分子的质量约是３×１０－２６ｋｇ，１滴
水 （以２０滴水为１ｇ计）中大约有多少个水分子？假设１０亿人来数１滴水中
的水分子，每人每分数１００个，日夜不停，大约需要多长时间才能数完？
第十八章 分式１６３１８．５ 分式方程
为解决章引言中提出的问题，我们通过设未知数，用分
式表示问题中的量，根据问题中的等量关系得到了方程
９０ ６０
＝ ． ①
３０＋狏 ３０－狏
方程①的分母中含有未知数，像这样分母中含未知数的方程
叫作分式方程 （ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｅｑｕａｔｉｏｎ）．我们以前学习的方程都
是整式方程，它们的未知数不在分母中．
5
如何解分式方程①呢？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中含
未知数，因此解分式方程是一个新的问题．能否将分式方程化为整式方程呢？
我们自然会想到通过 “去分母”实现这种转变．
分式方程①中各分母的最简公分母是（３０＋狏）（３０－狏）．把方程①的两边乘
最简公分母可化为整式方程，得
９０（３０－狏）＝６０（３０＋狏）．
将方程①化成整式
解得
方程的关键步骤是什么？
狏＝６．
５ ５
检验：将狏＝６代入①中，左边＝ ，右边＝ ，这时左、右两边的值相
２ ２
等，因此狏＝６是分式方程①的解．
由此可知，江水的流速为６ｋｍ／ｈ．
/
运用上述 “去分母化为整式方程”的方法解分式方程
１ １０
＝ ， ②
狓－５ 狓２－２５
你发现了什么问题？
１６４第十八章 分式类似于解分式方程①，在分式方程②的两边乘最简公分母（狓－５）（狓＋５），
去分母得整式方程
狓＋５＝１０．
解得
狓＝５．
将狓＝５代入②，分母狓－５和狓２－２５的值都为０，相应的分式无意义．因
１ １０
此，狓＝５虽然是整式方程狓＋５＝１０的解，但不是分式方程 ＝ 的
狓－５ 狓２－２５
解．实际上，这个分式方程无解．
5
比较解分式方程①和②的过程，为什么分式方程①去分母后所得整式
方程的解就是①的解，而分式方程②去分母后所得整式方程的解却不是②
的解呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子 （最简公分
母）．方程①两边乘（３０＋狏）（３０－狏），得到整式方程，它的解为狏＝６． 当狏＝６
时，最简公分母（３０＋狏）（３０－狏）≠０，这就是说，去分母时，①两边乘了同一
个不为０的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同．
方程②两边乘（狓－５）（狓＋５），得到整式方程，它的解为狓＝５． 当狓＝５
时，最简公分母（狓－５）（狓＋５）＝０，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个
等于０的式子，这时所得整式方程的解使②分母为０，因此这样的解不是②的解．
一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分
母为０，因此应做如下检验：
将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为０，则整式方
程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．
２ ３
例１ 解方程 ＝ ．
狓－３ 狓
解：方程两边乘狓（狓－３），得
２狓＝３狓－９．
解得
狓＝９．
第十八章 分式１６５检验：当狓＝９时，狓（狓－３）≠０．
所以，原分式方程的解为狓＝９．
狓 ３
例２ 解方程 －１＝ ．
狓－１ （狓－１）（狓＋２）
解：方程两边乘（狓－１）（狓＋２），得
狓（狓＋２）－（狓－１）（狓＋２）＝３．
解得
狓＝１．
检验：当狓＝１时，（狓－１）（狓＋２）＝０，因此狓＝１不是原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
3
解分式方程的关键是将分式方程化为整式方程，具体做法是 “去分
母”，即方程两边乘最简公分母．得到整式方程的解后，要对其进行检验．
解分式方程的一般过程如下：











 
 
 


?/
X M
,
O
0 0
0  0
X M  
 X M  

解下列方程：
５ ７ ２ １
（１） ＝ ； （２） ＝ ；
狓 狓－２ 狓＋３ 狓－１
１ ２ 狓 ２狓
（３） ＝ ； （４） ＝ ＋１；
２狓 狓＋３ 狓＋１ ３狓＋３
２ ４ ５ １
（５） ＝ ； （６） － ＝０．
狓－１ 狓２－１ 狓２＋狓 狓２－狓
１６６第十八章 分式在解决实际问题时，有时需要列、解分式方程．
例３ 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工１个月完成总工
１
程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成．哪个
３
队的施工速度快？
１
分析：甲队１个月完成总工程的 ，设乙队单独施工１个月能完成总工程
３
１
的 ，那么甲队一个半月的施工量与乙队半个月的施工量的和等于总工程量．
狓
由此列方程，进而求出狓，就可以比较甲、乙两队的施工速度．
１
解：设乙队单独施工１个月能完成总工程的 ．记总工程量为１，根据工
狓
程的实际进度，得
１ １ １
＋ ＋ ＝１．
３ ６ ２狓
方程两边乘６狓，得
２狓＋狓＋３＝６狓．
解得
狓＝１．
检验：当狓＝１时，６狓≠０．
所以，原分式方程的解为狓＝１．
由上可知，若乙队单独施工１个月可以完成全部任务，对比甲队１个月完
１
成任务的 ，可知乙队的施工速度快．
３
例４ 某次列车平均提速狏ｋｍ／ｈ．在相同的时
间内，列车提速前行驶狊ｋｍ，提速后比提速前多行
表达问题时，用字
驶５０ｋｍ，提速前列车的平均速度为多少？ 母不仅可以表示未知数
分析：这里的字母狏，狊表示已知数据，设提
（或未知量），也可以表
示已知数 （或已知量）．
速前列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，那么提速前列车行
驶狊ｋｍ所用时间等于提速后列车运行（狊＋５０）ｋｍ
所用时间．由此列方程，进而求出狓．
第十八章 分式１６７解：设提速前这次列车的平均速度为狓ｋｍ／ｈ，则提速前它行驶狊ｋｍ所用
狊
时间为 ｈ；提速后列车的平均速度为（狓＋狏）ｋｍ／ｈ，提速后它行驶（狊＋５０）ｋｍ
狓
狊＋５０
所用时间为 ｈ．
狓＋狏
根据行驶时间的相等关系，得
狊 狊＋５０
＝ ． ①
狓 狓＋狏
方程两边乘狓（狓＋狏），得
狊（狓＋狏）＝狓（狊＋５０）．
解得
在例４中，出现了
狊狏 一些用字母表示已知数据
狓＝ ．
５０ 的形式，这在分析问题寻
狊狏 找规律时经常出现．方程
检验：因为狏，狊都是正数，所以当狓＝ 时，
５０ ①是以狓为未知数的分
狓（狓＋狏）≠０． 式方程，其中狏，狊是已
知数，根据它们所表示的
狊狏
所以，原分式方程的解为狓＝ ．
５０ 实际意义可知，它们是
狊狏
正数．
答：提速前列车的平均速度为 ｋｍ／ｈ．
５０

１．八年级学生去距学校３０ｋｍ的
中国人民抗日战争纪念馆参观，
一部分学生乘大巴先出发，过
了５ｍｉｎ，其余学生乘中巴出
发，结果他们同时到达．已知中
巴的平均速度是大巴平均速度
的１．２倍，求大巴的平均速度．
２．甲、乙两人做某种机械零件．已知甲每小时比乙多做６个，甲做９０个所
用的时间与乙做６０个所用的时间相等．求甲、乙每小时各做零件多少个．
１６８第十八章 分式

１．解下列方程：
１ ５ 狓 ３
（１） ＝ ； （２） ＝ －２；
狓 狓＋３ 狓－１ ２狓－２
２ ４ ３ １
（３） ＝ ； （４） － ＝０；
２狓－１ ４狓２－１ 狓２＋２狓 狓２－２狓
狓 狓＋１ 狓－３ ３
（５） ＝ ； （６） ＋１＝ ；
狓－３ 狓－１ 狓－２ ２－狓
２狓＋１ ５ ３ １ ５
（７） ＝ ； （８） － ＝ ．
狓２＋狓 ６狓＋６ ２ ３狓－１ ６狓－２

２．解下列关于狓的方程：
１ 犿 １
（１） ＋犪＝１（犪≠１）； （２） － ＝０（犿≠０，且犿≠１）．
狓－１ 狓 狓＋１
３．甲、乙两人分别从距目的地６ｋｍ和１０ｋｍ的两地同时出发，甲、乙的平均速
度比是３∶４，结果甲比乙提前２０ｍｉｎ到达目的地．求甲、乙的平均速度．
４．Ａ，Ｂ两种机器都被用来搬运化工原料，Ａ型机器比Ｂ型机器每小时多搬运
３０ｋｇ，Ａ型机器搬运９００ｋｇ所用时间与Ｂ型机器搬运６００ｋｇ所用时间相等，
两种机器每小时分别搬运多少化工原料？
５．王芳３ｈ清点完一批图书的一半，刘伟加入清点另一半图书的工作，两人合作
１．２ｈ清点完另一半图书．刘伟单独清点这批图书需要几小时？
６．一个圆柱形容器的容积为犞ｍ３ ，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度
达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管２倍的大水管注水，向容器中
注满水的全过程共用时狋ｍｉｎ．求两根水管各自的注水速度．（提示：要考虑大
水管的注水速度是小水管注水速度的多少倍．）
 
７．改良玉米品种后，迎春村玉米平均每公顷增加产量犪ｔ，原来产犿ｔ玉米的一块
土地，现在的总产量增加了２０ｔ．原来和现在平均每公顷玉米的产量各是多少？
８．两个小组同时开始攀登一座４５０ｍ高的山，第一组的平均登高速度是第二组
的１．２倍，他们比第二组早１５ｍｉｎ到达顶峰．两个小组的平均登高速度各是
多少？如果山高为犺ｍ，第一组的平均登高速度是第二组的犪倍，并比第二组
早狋ｍｉｎ到达顶峰，那么两组的平均登高速度各是多少？
第十八章 分式１６９
"/!+B
犪 犮
找一组都不为０的数犪，犫，犮，犱，使得 ＝ 成立 （即犪，犫，犮，犱
犫 犱
成比例）．由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有
什么关系．
犪 犫 犫 犱
（１） 和 ； （２） 和 ；
犮 犱 犪 犮
犪＋犫 犮＋犱 犪＋犫 犮＋犱
（３） 和 ； （４） 和 （犪≠犫，犮≠犱）．
犫 犱 犪－犫 犮－犱
多找几组这样的数犪，犫，犮，犱试一试．
猜想各组中的两个分式之间的关系，并证明你的猜想．
1
"/X2+ +>
X2
１ １ １ １
填写下表，分别求出当狓＝－３，－２，－１，－ ，－ ， ， ，１，
２ ３ ３ ２
１
２，３时狓２＋ 的值．
狓２
１ １ １ １
狓 －３ －２ －１ － － １ ２ ３
２ ３ ３ ２
１
狓２＋
狓２
１
由填写完成的表，你能提出关于狓２＋ 的值的一些猜想吗？能证明
狓２
你提出的猜想吗？
１７０第十八章 分式
  
   
  
     



  
   
   
   



 
数与式是数学的重要研究对象，由于式中的字母表示数，所以数的
运算律和运算性质在式中仍然成立，即 “数式通性”，因此可以类比数研
究式．与整式一样，本章对于分式的研究都是类比数进行的．分式与分数
具有类似的形式，也具有类似的性质和运算．本章通过与分数进行类比，
得到了分式的概念、基本性质、约分与通分及运算法则．通过对分式运算
的学习，可以提升运算能力．
与整式一样，分式也表达了数量和数量关系，因此也是解决现实问
题的有力工具．本章讨论了可化为一元一次方程的分式方程的解法，并应
用它解决了一些实际问题，增强应用意识．解分式方程的基本思路是：先
通过去分母将分式方程化归为整式方程，求出整式方程的解，再经过检
验得到分式方程的解．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
１．如何用式子表示分式的基本性质和运算法则？通过比较分数和分
式的基本性质和运算法则，你有什么认识？类比的方法在本章的学习中起
什么作用？
第十八章 分式１７１２．分式怎样约分和通分？依据是什么？
３．当狀是正整数时，犪－狀 表示什么意思？整数指数幂有哪些运算
性质？
４．怎样解分式方程？解分式方程要注意什么？为什么解分式方程要检验？
５．方程是一种刻画实际问题中数量关系的重要数学模型，你能结合
利用分式方程解决实际问题的实例，谈谈你的体会吗？
 

１．下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
狓 １ １ 犪＋５ 狕 ２犪犫
， ， ， ， ， ．
３ 狀 犪＋５ １５ 狓２狔 （犪＋犫） ２
２．计算：
狊－２狋 ６狊２ 狓－狔 ２犪 ２
（１） · ； （２） ÷（狓－狔） ２ ； （３） ＋ ；
３狊 狊＋２狋 狓＋狔 犪＋１ 犪＋１
（ ）
狌－２狏 ２ －３狓
（４） － ； （５）（狓－２狔３ ） －３ ； （６） ２．
狌＋２狏 狌２－４狏２ 狔３狕
３．计算：
（ ）
２犿 ３狀２ 犿狀
（１） · ÷ ； （２）犪２犫３ ·（犪犫２ ） －２ ；
３狀 狆 狆２
（ ）
狓２－１６ 狓 狆狇３ ２狆 １
（３） ＋ ； （４） ÷ ＋ ；
狓２＋８狓＋１６ 狓－４ ２狉 狉２ ２狇
（ ） （ ）
１－狓２ 犪－犫 ２犪犫－犫２
（５）１÷ ２狓＋ ； （６） ÷犪－ ；
狓 犪 犪
（ ）（ ）
犪－犫 犪２－犫２ ４狓狔 ４狓狔
（７）１－ ÷ ；（８）狓－狔＋ 狓＋狔－ ．
犪＋２犫 犪２＋４犪犫＋４犫２ 狓－狔 狓＋狔
４．解下列方程：
５狓＋２ ３ ２狓 ２
（１） ＝ ； （２） － ＝１．
狓２＋狓 狓＋１ ２狓－５ ２狓＋５

５．狓满足什么条件时下列式子有意义？
狓－２ １ ３狓 狓－２
（１） － ； （２） ÷ ．
２狓＋１ 狓－２ 狓＋２ ２狓－３
１７２第十八章 分式３狓－６
６． （１）当狓取什么值时，分式 的值为０？
２狓＋１
２狓＋１
（２）当狓取什么值时，分式 的值为正？
狓２
狓－２
（３）当狓取什么值时，分式 的值为负？
狓２
７．什么情况下２（狓＋１）
－１
与３（狓－２）
－１
的值相等？
狓２－１ 狓＋１ １－狓 １
８． （１）先化简，再求值： ÷ · ，其中狓＝ ；
狓２－２狓＋１ 狓－１ １＋狓 ２
狓２－４狓＋４ 狓－２
（２）当狓＝－３．２时，求 ÷ ＋３的值．
狓２－４ 狓２＋２狓
９．某工厂现在平均每天比原计划多生产５０台机器，现在生产６００台机器所需时间
与原计划生产４５０台机器所需时间相同．现在平均每天生产多少台机器？
１０．一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的１５０倍，用这台机器收割
１０ｈｍ２ 小麦比１００个农民人工收割这些小麦要少用１ｈ．这台收割机每小时收割
多少公顷小麦？
１１．一辆汽车开往距离出发地１８０ｋｍ的目的地，出发后第一小时内按原计划的速
度匀速行驶，一小时后以原来速度的１．５倍匀速行驶，并比原计划提前４０ｍｉｎ
到达目的地．求第一小时的行驶速度．
 
１２．如图，运动场两端的半圆形跑道外径
为犚，内径为狉，中间为直跑道，整
R
个跑道总面积为犛，试用含犛，犚，狉
r
的式子表示直跑道的长犪．
犪 犫 犮
１３． （１）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？ a
犫犮 犮犪 犪犫 （第１２题）
为什么？
犪－犫 犫－犮 犮－犪
（２）式子 ＋ ＋ 的值能否为０？为
（犫－犮）（犮－犪） （犪－犫）（犮－犪） （犪－犫）（犫－犮）
什么？
第十八章 分式１７３!"#
本套教科书 （七～九年级）由人民教育出版社课程教材研究所中学数学课程教材
研究开发中心依据教育部 《义务教育数学课程标准 （２０２２年版）》编写．
本套教科书集中反映了基础教育课程改革的最新成果，总结了上一版 《义务教育
教科书 数学》的编写经验，凝聚了教育专家、学科专家、教材编写人员、教研人员
及一线教师的集体智慧．参加本套教科书统稿的还有薛彬、王光明，参加本册教科书
统稿的还有刘长明，参加本册教科书编写的还有宋莉莉．本套教科书封面设计由中央
美术学院设计团队完成，人民教育出版社设计部制作．本册教科书版式设计为王俊
宏，封面插图绘制为康鲁雷，内文插图绘制为王俊宏、张婷婷、康鲁雷．我们感谢所
有对教科书的编写、审读、试教、出版等提供过帮助与支持的同仁和社会各界朋友．
本册教科书出版之前，我们通过多种渠道与教科书选用作品的作者进行了联系，
得到了他们的大力支持．视觉中国、ＩＣｐｈｏｔｏ等为本册教科书提供了图片素材．对此，
我们表示衷心的感谢！
我们真诚地希望广大教师、学生及家长在使用本册教科书的过程中提出宝贵的意
见和建议．我们将本着精益求精的态度，集思广益，不断修订，努力使教科书日趋
完善．
联系方式
电 话：０１０５８７５８３２６，５８７５８８６６
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