数学八上冀教版（2025秋）(1)_初中数学_冀教版

义
务
教
育
教
科
书
数
义务教育教科书
数 学
学
八
年
级
八年级 上册
上
册
绿色印刷产品
定价：11.80元
冀发改价调〔2022〕1365号 冀发改价审〔2025〕102086 全国价格举报电话：12315义 务 教 育 教 科 书
数 学
八年级 上册致 同 学
你们好! 又是一个金秋时节,你们将带着过去一学年的满满收获,扬起探究的风
帆,开始新学年的数学学习生活。
当你们拿到这本八年级上册教科书时,一定想了解它的内容、它的特点、它的
一切。
在设计上,这本书有以下栏目:
观察与思考: 通过观察、感悟和思考,期待你们进一步学会用数学的眼光观察现
实世界,发现问题,提出问题。
一起探究: 通过和大家一起探究,学会用数学的思维方式思考问题,领悟数学思
想和方法。在探究过程中互相启发,有利于分析问题,解决问题。
大家谈谈: 重视问题探究后的反思,尝试将问题进行拓展,并用数学的语言表达
你们的认识。这是促进你们学习进步的重要环节。
做一做: 在学习活动中,通过做一做,你们将体会到运用已有知识和方法解决问
题、巩固应用时获得数学发现的乐趣。
回顾与反思: 把握整体内容,梳理知识脉络,概括总结思想方法,学会从整体上
认识问题和概括归纳。这是不可或缺的学习环节。
在内容上,这本书共有六章内容等待你们去探究,去认识:
分式和分式方程———分式与分数有许多相似之处,可以类比分数来学习分式。分
式方程是重要的数学模型之一,有着广泛的应用。
全等三角形———学习三角形之间的全等关系,经历几何证明的过程,是进行图形
研究的重要途径。
实数———随着数学学习的深入,有理数扩充到了实数。实数与数轴上的点具有一
一对应关系,这种关系使得 “数”与 “形”紧密地结合在一起。
二次根式———通过开平方运算引出了二次根式。二次根式是代数式的新成员,可
类比整式学习二次根式的相关运算。
轴对称和中心对称———用数学的眼光观察现实世界,并去研究图形的轴对称和中
心对称,对深刻认识现实世界中的各种图形具有很好的启迪作用。
特殊三角形———等腰三角形和直角三角形是两类特殊的三角形,它们都具有一些
特殊的性质。其中,勾股定理的地位和作用尤为突出,它建立了直角三角形三边之间
的数量关系,是解决几何问题的重要工具。
同学们,在新学期里,让我们携手前行,一起走进数学新天地!第十二章 分式和分式方程 1 15.3 二次根式的加减运算 110
12.1 分式 2 15.4 二次根式的混合运算 113
12.2 分式的乘除 8 回顾与反思 116
12.3 分式的加减 14 复习题 117
12.4 分式方程 21 第十六章 轴对称和中心
读一读 分式方程的增根 24 对称 119
12.5 分式方程的应用 25
16.1 轴对称 120
数学活动 橙汁与苹果汁的
16.2 线段的垂直平分线 125
多少 29
16.3 角的平分线 134
回顾与反思 30
16.4 中心对称 139
复习题 31
16.5 利用图形的平移、旋转和
第十三章 全等三角形 35
轴对称设计图案 144
13.1 命题与证明 36
读一读 换个角度思考 148
13.2 全等图形 40
数学活动 中心对称图形与
13.3 全等三角形的判定 44
面积等分 149
读一读 几何学的发展 58
13. 4 三角形 的尺规作图 59 回顾与反思 150
数学活动 利用三角形全等 复习题 152
测距离 62 第十七章 特殊三角形 159
回顾与反思 63 17.1 等腰三角形 160
复习题 64 17.2 直角三角形 167
第十四章 实数 67 17.3 勾股定理 171
14.1 平方根 68 读一读 勾股定理 181
14.2 立方根 75 17.4 直角三角形全等的判定 182
14.3 实数 79 17.5 反证法 186
读一读 无理数 90 回顾与反思 190
14.4 近似数 91 复习题 191
读一读 圆周率 的近似值 95 项目学习 主题探究(一)
π
回顾与反思 96
探秘中国载人航天工程中的
复习题 97
航天技术 195
第十五章 二次根式 99
项目学习 主题探究(二)
15.1 二次根式 100
15.2 二次根式的乘除运算 107 最优设计方案 196L,D0U5 (*"U
E3EKMUB
  m *
t T+
EUM/U*K
m U +
FU

? 1KMU >U

 0U1!/+D/U
 0+ + B+3
E+ D0/+  ?"U
*/?0+KKM
ED 0+UE D1!
3 +*U/ /K
+ 52UPD06 A6

/KOU D/U*
EE@U(P !
  UEUE/K@*
 +KEOU


OO



从整式到分式,如同从整数到分数,都是源于现实世界的客观需要
.
.一项工程 甲施工队 天可以完成 那么它平均每天完成的工程量
1 , 5 ,
是多少 aa 天完成的工程量又是多少 如果乙施工队b天可以完成这
? (<5) ?
项工程 那么它平均每天完成的工程量是多少 cc b 天完成的工程量又
, ? (< )
是多少
?
.已知甲 乙两地之间的路程为m .如果 车行驶的速度为
2 、 km A
n 车比 车每小时多行驶 那么从甲地到乙地 车和
km/h,B A 20km, ,A B
车所用的时间各为多少
?
由上面的问题 我们分别得到下面一些代数式
, :
a c m m
1 1 .
, ,b,b,n,n
5 5 +20
这些代数式按 分母 含不含字母可分成两类.
“ ”
A
一般地 我们把形如 的代数式叫作分式 .其中 A B都是
, B (fraction) , ,
整式 且B含有字母.A叫作分式的分子 B叫作分式的分母.
, ,
由于分式中的字母可以表示不同的数 因此 分式比分数更具有一般性.
, ,
例1 下列各式 哪些是整式 哪些是分式
, , ?
x x ab
x +3 x2 -3 1 2.
-2, ,5 ,x ,x y, ,x
5 3 +2 - 4
x
解 x +3 x2 1都是整式
: -2, ,5 , ;
5 4
x ab
因为 -3 2的分母都含有字母 所以它们都是分式.
x ,x y,x ,
3 +2 -
2 数学 八年级上册在分数中 分母不能等于 .同样 在分式中 分母也不能等于 即
, 0 , , 0,
当分式的分母等于 时 分式没有意义.如分式 1 当x 即x
0 , x , -5≠0, ≠
-5
时 它有意义 当x 即x 时 它没有意义.
5 , ; -5=0, =5 ,
在什么情况下 下列各分式有意义
, ? 如无特别说明,
x ab
2 -3 . 本章出现的分式都有
x,x ,x y
3 +2 - 意义.
分数的分子和分母同乘 或除以 一个不等于 的数 其值不变.如
( ) 0 ,
2 2×2 10 10÷10.
= , =
3 3×2 100 100÷10
类比分数的这种性质 思考 分式的分子和分母同乘 或除以 一个不等
, : ( )
于 的整式 分式的值会怎样
0 , ?
分式的基本性质
分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式,分式的值
不变.
A A×M A A÷M
= , = .其中,M是不等于0的整式.
B B×M B B÷M
a b b
当a a b b 时 分式 - 与 相等吗 还有与它们相
≠0, - ≠0, ≠0 , aa b ab ?
(- )
等的分式吗 如果有 请写出两个这样的分式.
? ,
第十二章 分式和分式方程 3.当x取何值时 下列分式有意义
1 , ?
x
1 2 -3.
(1)x ; (2)x
-1 2 +3
.请写出一个分式 使其只含有字母a 且无论a取何数分式都有意义.
2 , ,
.判断下面的语句是否正确 并说明理由.
3 ,
分式1与2相等. 分式5与5×5相等.
(1) x x (2) a a a
2 ·
xy y
分式4与2相等. 分式 与 相等.
(3) a a (4) x2 x
6 3
M
组
A
.在一条公路上,如果同向行驶且前后相邻的两辆车的车头与车头之间的
1
v
平均距离为d(米/辆),车辆的平均速度为v (/),那么 (辆/秒)叫
ms d
作这条公路的同向行驶的车流量.求当v /,d 米/辆时,同
=20ms =10
向行驶的车流量.
.当x取何值时,下列分式有意义?
2
x x
() ; () 1 ; () -2.
1 x 2 x 3 x2
+1 -2 +1
4 数学 八年级上册组
B
.在下列等式中,从等号的左边到右边是通过怎样的变形得到的?
3
y x2y x
() ; ()2 2;
1 x=x3 2 x2=x
x x x
() 4 20 ; () -2 1 .
3 x y= (x y) 4 (x ) 2=x
+ 5 + -2 -2
.写出与分式2相等的两个分式.
4 x2
利用分式的基本性质也可以将分式化简.
ab ac
当d b c 时 分式 + 能不能化简 如果能 那么化简的
≠0, + ≠0 , bd cd ? ,
+
依据是什么 化简的结果又是什么
, ?
ab ac
分式 + 可以化简 化简过程如下
bd cd , :
+

像上面这样 把分式中分子和分母的公因式约去 叫作分式的约分
, , (reduction
.分子和分母没有公因式的分式 叫作最简分式
ofafraction) , (fractioninlowest
.
terms)
ab ac
如在分式 + 中 分子和分母的公因式为
bd cd , 分式化简的结果应
+
a a
是最简分式或整式.
bc 约去这个公因式 得到 .分式 是最简分式.
+ , , d d
约分是为了将分式化为最简分式.
第十二章 分式和分式方程 5例2 约分
:
a2b2 x2 y2 m m2
35 - 4 - .
(1) a3b; (2)ax y ; (3)m2 m
15 (+ ) -8 +16
a2b2
解 35
:(1) a3b
15
b a2b
7 ·5
=a a2b
3 ·5
b
7 .
=a
3
x2 y2
-
(2) ax y
(+ )
x y x y
(- )(+ )
= ax y
(+ )
x y
- .
= a
m m2
4 -
(3) m2 m
-8 +16
m m
(4- )
= m 2
(4- )
m
.
= m
4-
当p q 时 请分别用直接代入求值和化简后代入求值两种
=12, =-8 ,
p2 pq
方法求分式 - 的值 并比较哪种方法较简单.
p2 pq q2 ,
-2 +
.下列分式的约分是否正确 请把不正确的改正过来.
1 ?
x3 a2 mn x y
x - + .
(1)x2= ; (2)a=1; (3)mn2=0; (4)x y =-1
2 -
6 数学 八年级上册.约分
2 :
ab2 x2 xy a2 a
6 -2 +2 +1.
(1) b3 ; (2)x2 xy y2 ; (3) a2 a
8 -4 +4 +
M
组
A
.约分:
1
()5
m2x
; () -2
a
; ()
x2
-9;
1 mx2 2 a a2 3 x
10 3 + +3
ab ab2 a2 b2 a3 ab2
() + ; () - ; () -4 .
4 b2 5 a2 ab b2 6 a3 a2b ab2
1- +2 + - -4 -4
x2 xy
.当x ,y 时,求 + 的值.
2 =2 =3 x2 xy y2
+2 +
组
B
.如图,计算 ABC与 DEF的面积比.
3 △ △
%
"
# $ & '
第 题
( 3 )
组
C
x2 xy y2
.已知x,y 满足x (y ) 2 .求 -2 + 的值.
4 +1 + -2 =0 (x y) 3
-
第十二章 分式和分式方程 7根据分数的乘除法法则,我们能进行分数的乘法运算和除法运算.
那么,怎样进行分式的乘法运算和除法运算呢?
我们知道分数的乘法运算 如
, :
2 6 2×6 4.
× = =
3 7 3×7 7
A C
请类比分数的乘法运算 思考分式 与 相乘的结果.
, B D
分式的乘法法则
分式与分式相乘,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的
分母.
A C A·C
· = .
B D B·D
例1 计算下列各式
:
y z y2 x
3 8 3 .
(1)x·a; (2)x2 ·y3
2 3 4
y z y z yz
解 3 3 · 3 .
:(1) x·a=x a=ax
2 2 · 2
y2 x
8 3 分式的运算结
(2) x2 ·y3
3 4
果要化为最简分式
y2 x
8 ·3
=x2 y3
或整式.
3 ·4
2.
=xy
8 数学 八年级上册例2 计算下列各式
:
x2 x x a2 a
-4 +3 -4 +3.
(1)x ·x ; (2)a2 a ·a
+3 -4 +6 +9 +2
x2 x x
解 -4 +3
:(1) x ·x
+3 -4
x2 x x
( -4 )(+3)
= x x
(+3)(-4)
xx x
(-4)(+3)
= x x
(+3)(-4)
x.
=
a2 a
-4 +3
(2) a2 a ·a
+6 +9 +2
a2 a
( -4)(+3)
=a2 a a
( +6 +9)(+2)
a a a
(+2)(-2)(+3)
= a 2a
(+3)(+2)
a
-2.
=a
+3
计算下列各式
:
x x x2
xy2 2 -1 -4.
(1)-3 · y2 ; (2)x2 x ·x2
15 -4 +4 -1
.计算下列各式
1 :
x3 y2 a2 b2
2 9 .
(1)y3 ·x; (2)b2 ·a3
3
.计算下列各式
2 :
a b a2b2 a a
- 2 +1 -3.
(1)ab ·a2 b2 ; (2)a2 ·a
- -9 +1
第十二章 分式和分式方程 9M
组
A
.计算下列各式:
1
()
a
·
c2
; ()3
y
·20
x
;
1 bc a2 2 x y2
4 9
a xy
()a2b2 · ; ()(xy x2 )· .
3 8 b2 4 - x y
12 -
.计算下列各式:
2
x2 xy y2 y
() +2 + · ;
1 x2y xy2 x y
+ +
x2 y2 x2
() - · ;
2 x x2 xy y2
+2 +
x y x y
() -2 · +2 ;
3 x2 xy y2 x2 xy
+4 +4 -2
a2 b2 a b
() - ·2 - .
4 a2 ab b2 a2 ab
4 -4 + +
组
B
.计算下列各式:
3
bc ac ab
()12 ·5 ·7 ;
1 a2 b2 c2
2 15
x2 xy y2 x2 y2 x(x y)
() -2 + · -9 ·2 +3 .
2 x2 xy y2 x2y x y
+6 +9 3 -
.计算下列各式:
4
() b 2; () b 4; () bn (n为正整数).
1 a 2 a 3 a
组
C
.先化简,再求值: a 2· 5 b2 2 · a .其中,a ,b .
5 -b a2 b =2 =1
2 5
10 数学 八年级上册王师傅用m 加工了a个零件 徒弟小刘用n 加工了b个零件.那
h , h
a b
么 王师傅的工作效率是徒弟小刘工作效率的 倍.
, m÷n
a b
算式 就涉及分式的除法.
m÷n
一个分数除以另一个分数 是将除数的分子与分母颠倒位置后 与被除
, ,
数相乘.如
:
2 7 2 3 2.
÷ = × =
3 3 3 7 7
A C
请类比分数的除法运算 思考分式 除以 的结果.
, B D
与分数除法的运算法则类似 我们得到分式除法的运算法则.
,
分式的除法法则
分式除以分式,把除式的分子与分母颠倒位置后,与被除式相乘.
A C A D A·D
÷ = · = .
B D B C B·C
由此可知 分式的除法运算是转化为分式的乘法运算进行的.
,
例3 计算下列各式
:
y2 y x a2 ab a b
5 2 -6 x +3 +3 .
(1) x÷x; (2)x ÷(-3); (3)a2 ab b2÷a2 b2
2 4 -2 +2 + -
y2 y
解 5
:(1) x÷x
2 4
y2 x
5 4
= x·y
2
y.
=10
x
2 -6 x
(2) x ÷(-3)
-2
x
2 -6 1
=x ·x
-2 -3
第十二章 分式和分式方程 11x
2(-3)
=x x
(-2)(-3)
2 .
=x
-2
a2 ab a b
+3 +3
(3) a2 ab b2÷a2 b2
+2 + -
a2 ab a2 b2
+3 -
=a2 ab b2 ·a b
+2 + +3
aa b a b a b
(+3 )(+ )(- )
= a b2a b
(+ )(+3 )
aa b
(- ).
= a b
+
例4 八年级 班的同学在体育课上进行
(1)
长跑训练 小芳跑完 用了t
, 1000m s,
小雯用相同的时间跑完了 .这次
800m
训练 小芳的平均速度是小雯平均速
,
度的多少倍
?
解 小芳的平均速度为1000 小雯的平均速度为800 .
: t m/s, t m/s
t
1000 800 1000 1000 .
t ÷t = t × = =1.25
800 800
答 这次训练 小芳的平均速度是小雯平均速度的 倍.
: , 1.25
.计算下列各式
1 :
a a
2
(1) m2n÷ m;
3 6
x
2- x x2
(2)x ÷(2 - );
+1
a2 b2 a b2
- (+ ).
(3)a2 ab÷a b
+2 +2
a a2
.已知a2 a .求 -1 -4 1 的值.
2 - =3 a ·a2 a ÷a2
+2 -2 +1 -1
12 数学 八年级上册M
组
A
.计算下列各式:
1
a2 a2 x y
() ; () - (x y);
1 b2÷b 2 xy ÷ -
2
x2 x a a2
()(x ) -4 +4; () -2 -4.
3 -2 ÷ x 4 a2 a ÷a
+2 +8 +16 +4
.如图,圆锥的体积V 1Sh.其中,S为圆锥的底面
2 =
3
积,h为圆锥的高.
()当圆锥的高扩大到原来的a倍而底面积不变时,变
1
化后的圆锥的体积是原来的多少倍?
()当圆锥的底面积扩大到原来的a倍而体积不变时, 第 题
2 ( 2 )
变化后的圆锥的高是原来的几分之一?
组
B
.计算下列各式:
3
a2 (a )(a )
() -1 (a )· +1 +2 ;
1 a2 a ÷ +1 a
+4 +4 -1
x2 xy y2 x y
()(xy x2 ) -2 + · - .
2 - ÷ xy x2
x2 x3 xy2 x2y y2 x2
.已知x ,y .求 · + -2 - 的值.
4 =3 =-4 (x y) 2 x2 ÷xy y2
- +
组
C
(x y) 2 x2 xy
.有这样一道题:“先化简,再求值: - · + x3.其中,x
5 x2 y2 x y ÷ =
- -
.”小杰同学在做这道题时,错将x 看成x ,但他的答案是
-3 =-3 =3
正确的.你能找出其中的原因吗?
第十二章 分式和分式方程 13我们已经学习了分式的乘法运算和除法运算.那么,怎样进行分式
的加法运算和减法运算呢?
.类比同分母分数的加减运算法则 完成下面同分母分式的加减运算
1 , :
b c
1 2
(1)a+a= , a+a= ;
b c
5 2 .
(2)a-a= , a-a=
.同分母分式的加减运算应当怎样进行呢
2 ?
同分母分式的加减法法则
同分母的两个分式相加(或相减),分母不变,把分子相加(或相减).
A C A±C
± = .
B B B
例1 计算下列各式
:
a a x y y a2 ab b2
4 - 2 2 .
(1)b-b; (2)x y+x y; (3)a2 b2+b2 a2+a2 b2
+ + - - -
a a a a a
解 4 4 - 3 .
:(1) b-b= b =b
x y y x y y
- 2 - +2 .
(2) x y+x y= x y =1
+ + +
a2 ab b2
2
(3) a2 b2+b2 a2+a2 b2
- - -
a2 ab b2
-2
=a2 b2+a2 b2+a2 b2
- - -
14 数学 八年级上册a2 ab b2
-2 +
= a2 b2
-
a b2
(- )
=a b a b
(+ )(- )
a b
- .
=a b
+
.异分母两个分数相加减 是将其化为同分母分数的加减进行的.如
1 , :
1 2 1×3 2×2 3±4.
± = ± =
2 3 2×3 2×3 6
.类比异分母分数的加减 思考异分母分式的加减应当怎样进行呢
2 , ?
b d
.试计算 .
3 :a±c
事实上
,
像这样 把几个异分母分式分别化为与它们相等的同分母分式 叫作分
, ,
式的通分 这个相同的分
(reductionoffractionstoacommondenominator).
母叫作这几个分式的公分母
(commondenominator).
几个分式的公分母不止一个 通分时一般选取各分母的所有因式的最高
,
b d
次幂的积作公分母 这样的公分母叫作最简公分母.如a3c是分式 的
, a2 ,ac
公分母 但a2c是它们的最简公分母.
,
异分母分式的加减法法则
异分母的两个分式相加(或相减),先通分,化为同分母的分式,再
相加(或相减).
A C A·D B·C A·D±B·C
± = ± = .
B D B·D B·D B·D
第十二章 分式和分式方程 15例2 计算下列各式
:
b2 c x
1 .
(1)a2-a; (2)xz+y
4 2
b2 c b2 ac b2 ac
解 4 -4 .
:(1) a2-a=a2-a2= a2
4 4 4 4
x y x2z y x2z
1 2 2 + .
(2) xz+y=xyz+xyz= xyz
2 2 2 2
.计算下列各式
1 :
a b
2 1 .
(1)a b-a b; (2) a-a
- - 1- -1
.下面的运算是否正确 如果不正确 请改正
2 ? , :
b d b d b d b d b d
+ - .
(1)a+c=a c; (2)a-c=ac-ac=ac
+
.计算下列各式
3 :
x y
1 1.
(1)a-b; (2)ab+bc
M
组
A
.计算下列各式:
1
x y a b
() 2 ; () -1 +1;
1 x y-x y 2 a b+a b
- - - -
x x x
() -1; () 9 3-4 .
3 x +x 4 x - x
+1 +1 2 -3 3-2
组
B
. 计算下列各式:
2
()1 1; ()1 2 3 .
1 xy-x2 2 ab+ac+abc
16 数学 八年级上册.某种商品,原来每盒的售价为
p
元,现在每盒的售价降低了 元.那么
3 2
同样用 元钱购买这种商品,现在可比原来多买多少盒?
500
.小明在计算机上打m千字的文稿需
4
要a ,小华在计算机上打n千字的
h
文稿需要b .
h
()小明和小华在计算机上平均每
1
小时各打多少千字?
()小明和小华在计算机上打文稿
2
的时间分别为 和 ,他们
2h 3h
共打文稿多少千字?
()如果小明比小华打字快,那么小明比小华平均每小时多打多少千字?
3
例3 计算下列各式
:
x x
+2 -2 1 1 .
(1)x -x ; (2)a2 a +a
-2 +2 9 +6 +1 3 +1
x x
解 +2 -2
:(1) x -x
-2 +2
x 2 x 2
(+2) (-2)
=x x -x x
(+2)(-2) (+2)(-2)
x 2 x 2
(+2)-(-2)
= x x
(+2)(-2)
x2 x x2 x
+4 +4-( -4 +4)
= x x
(+2)(-2)
x
8 .
=x x
(+2)(-2)
1 1
(2) a2 a +a
9 +6 +1 3 +1
a
1 3 +1
= a 2+ a 2
(3 +1) (3 +1)
第十二章 分式和分式方程 17a
1+(3 +1)
= a 2
(3 +1)
a
3 +2 .
= a 2
(3 +1)
分式的混合运算 与数的混合运算类似.在进行分式的加 减 乘 除
, 、 、 、
混合运算时 一般要按照运算顺序进行 先算乘除 后算加减 如果有括
, : , ;
号 要先算括号内的.
,
例4 计算下列各式
:
a2 b2 ab x x x
+2 -1 -4.
(1)a b+b a ·a b; (2)x2 x-x2 x ÷ x2
- - + -2 -4 +4
a2 b2 ab
解
:(1) a b+b a ·a b
- - +
a2 b2 ab
=a b-a b ·a b
- - +
a2 b2 ab
-
=a b·a b
- +
a b a b ab
(- )(+ )
= a b ·a b
- +
ab.
=
x x x
+2 -1 -4
(2) x2 x-x2 x ÷ x2
-2 -4 +4
x x
􀭠 +2 -1
=xx -x 2
􀭡 (-2) (-2)
18 数学 八年级上册
􀪁􀪁
􀭤
􀭥
􀪁􀪁 x
-4
÷ x2
x x xx
􀭠(+2)(-2) (-1)
= xx 2 -xx 2
􀭡 (-2) (-2)
􀪁􀪁
􀭤
􀭥
􀪁􀪁 x
-4
÷ x2
x x xx x
(+2)(-2)- (-1) -4
= xx 2 ÷ x2
(-2)
x2 x2 x x
-4- + -4
= xx 2 ÷ x2
(-2)
x x
-4 -4
=xx 2÷ x2
(-2)x x2
-4
=xx 2 ·x
(-2) -4
x
.
=x 2
(-2)
a2 a a
当a 2时 求 1 +6 +9 -1 的值.
=- , a - a2 ·a a
5 +1 -1 (+3)(+1)
.计算下列各式
1 :
a b
2 1 1 +
(1)a -a ; (2)a b-a2 b2 ab;
-1 +1 - + -2
x2 x
1 1 1 -2.
(3)x ·1-x ; (4)x + x ·x
-1 -2 2- +1
x
.当x 1时 求 1 1 的值.
2 = , x -x ÷x2
2 -1 +1 2 -2
M
组
A
.计算下列各式:
1
x y x
() 2 + ; () 1 ;
1 x y-(x y) 2 2 x2 -x
- - -1 +1
a b a2 b2 a2 a2b
() - + ; () 2 4 .
3 a b-a2 b2 4 a b+b2 a2
+ - -2 4 -
.计算下列各式:
2
y x x y ab
() + ; () 1 1 · ;
1 x y-y x ÷xy 2 a+b a2 ab b2
- - +2 +
x2 x xy
() 1 -2 +1; () 1 1 .
3 1-x ÷ x 4 x y-x y ÷x2 y2
- + -
第十二章 分式和分式方程 19组
B
.计算下列各式:
3
a a2
() 3 ;
1 a +1 ÷1- a2
+1 1-
x y
()1 1 · + x y ;
2 x-x y x - -
2 + 2
x y2 x4y x2
() · ;
3 x y x y-x4 y4÷x2 y2
- + - +
() 1 2 1 2 .
4 1-a b -1+a b
- -
.化简并求值.
4
a2 b2
()已知a ,b .求 - 1的值.
1 =-3 =-5 1+a2 ab÷a
-
xy x3
()已知x ,y .求 x 1的值.
2 =-3 =2 +x y ÷x2 y2-x
- -
组
C
.观察下列各式:
5
1 1, 1 1 1, 1 1 1,….
=1- = - = -
1×2 2 2×3 2 3 3×4 3 4
()求 1 1 1 … 1 的值.
1 + + + +
1×2 2×3 3×4 2023×2024
()化简 1 1 1 … 1 .其中,n ,且n为整数.
2 + + +
+n(n )
≥1
1×2 2×3 3×4 +1
20 数学 八年级上册我们在用方程解决实际问题时,会遇到一些分母中含有未知数的方
程.这就是我们将要学习的分式方程.
.一个两位数的十位数字是 如果把这个两位数的个位数字与十位数
1 4,
字交换 那么得到的新两位数与原两位数的比值是4 求原来的两位数.
, ,
7
设原两位数的个位数字是x 列出的方程为 .
,
.某公司生产 两种设备 生产 设备每台的成本是生产 设备
2 A,B , B A
每台成本的 倍.若公司投入 万元生产 设备 万元生产 设备
1.5 16 A ,36 B ,
则可生产两种设备共 台.生产 两种设备每台的成本分别是多少万元
10 A,B ?
设生产 设备每台的成本是x万元 列出的方程为 .
A ,
x
由此 我们得到了方程 10 +4 4 16 36 .
, : x= ,x+ x=10
40+ 7 1.5
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同 这两个方程有哪些共
?
同特点
?
x
像10 +4 4和16 36 这样 分母中含有未知数的方程 叫作
x= x+ x=10 , ,
40+ 7 1.5
分式方程 .使得分式方程两边相等的未知数的值 叫作
(fractionalequation) ,
分式方程的解 也叫作分式方程的根 .
( )
x x x
解分式方程10 +4 4和 +1 -3 .
x= x = x+1
40+ 7 -1 1-
第十二章 分式和分式方程 21小明的解答过程 大刚的解答过程
x x x
解分式方程10 +4 4. 解分式方程 +1 -3 .
x= x = x+1
40+ 7 -1 1-
解:方程两边同乘 ( x),得 解:方程两边同乘x ,得
740+ -1
(x ) ( x). x (x ) (x ).
710 +4 =440+ +1=- -3+ -1
整理,得 x . 整理,得x .
66 =132 =1
解得x . 所以,方程的解是x .
=2 =1
所以,方程的解是x .
=2
.小明和大刚求出的方程的解是原分式方程的解吗 为什么
1 ? ?
.你认为在解分式方程时应注意些什么
2 ?
x
实际上 把x 代入分式方程10 +4 4中 方程左右两边相等 所
, =2 x= , ,
40+ 7
x
以 x 是分式方程10 +4 4的解 而当x 时 x 即分式方
, =2 x= ; =1 , -1=0,
40+ 7
x x
程 +1 -3 中的分母为 方程中的分式无意义 所以 x 不是
x = x+1 0, , , =1
-1 1-
这个分式方程的解.
在解分式方程时 首先通过去分母将分式方程转化为整式方程 并解这
, ,
个整式方程 然后将整式方程的解代入分式方程中检验.当分式方程左右两
,
边相等时 这个整式方程的解就是分式方程的解.当分式方程中某个分式的
,
分母的值等于 或公分母等于 时 分式方程无解 我们把这样的根叫作
0( 0) , ,
分式方程的增根.
x
例 解方程 2 2- .
x - x=3
+2 2+
解 方程两边同乘x 得
: +2,
x x .
2-(2- )=3(+2)
解这个整式方程 得
,
解分式方程时一
x .
=-3 定要注意验根.
经检验 x 是原分式方程的解.
, =-3
22 数学 八年级上册.解下列方程
1 :
x
1 4 3 .
(1)x=x ; (2)x =2- x
-3 -3 3-
. 如图 已知直线l l 点A D和
2 , 1∥2, ,
点B C E F 分别在直线l l 上
, , , 1, 2 ,
ABC与 DEF的面积之比为 边
△ △ 1∶2,
EF比边BC长 .求BC EF的长.
3cm ,
.解分式方程时 首先要考虑去分母. 第 题
3 , ( 2 )
请思考 去分母的目的是什么 解分式方程为什么必须验根
: ? ?
M
组
A
.解下列方程:
1
() 1 2 ; ()15 25 1;
1 x =x 2 x-x=
+1 +2 2 2
x
() -8 1 ; () 1 2 .
3 x - x=8 4 x -x =0
-7 7- +1 -4
.某玩具厂接到一份生产 件儿童玩具的订单.如果由一车间生产这
2 2400
批玩具,那么恰好按规定时间完成;如果由二车间生产这批玩具,那么
在规定时间内还差 件没有完成.已知一车间和二车间每天一共生产
400
件玩具,那么一车间和二车间平均每天各生产多少件?
550
组
B
.解下列方程:
3
() 1 1 2; () 5 1 ;
1 x +x =x 2 x2 x-x2 x=0
-1 -2 + -
x x x x2
() 3 ; ()2 +2 +2 -2.
3 x -1= (x )(x ) 4 x -x =x2 x
-1 -1 +2 -2 -2
第十二章 分式和分式方程 23组
C
x
.已知A,B是数轴上关于原点对称的两点,它们表示的数分别是 和
4 x
-2
x2 x
-4 +4.求x的值.
x x2
2 -
分式方程的增根
解分式方程为什么会出现增根呢?
事实上,解分式方程产生增根,主要是在去分母时造成的.根据等式
的基本性质,等式的两边同乘(或除以)一个不等于 的数,所得的结果仍
0
是等式.而在解分式方程时,由于去分母是将方程左右两边同乘公分母,
但此时还无法知道所乘的公分母的值是不是 ,于是,未知数的取值范围
0
可能就扩大了.如果去分母后得到的整式方程的根使所乘的公分母的值为
,就产生了增根.增根是整式方程的根,但不是原分式方程的根.
0
例如:解方程 1 2 4 .
x +x =x2 ①
+1 -1 -1
解:方程两边同乘(x )(x ),得整式方程
+1 -1
(x ) (x ) .
-1 +2 +1 =4 ②
解这个整式方程,得
x .
=1
检验:当x 时,(x )(x ) .
=1 +1 -1 =0
所以x 是整式方程 的根,是原分式方程 的增根.
=1 ② ①
因为解分式方程时可能产生增根,所以,解分式方程必须验根.
24 数学 八年级上册有些实际问题可以通过列分式方程来解决.
小红和小丽分别将 字和 字的两篇文
9000 7500
稿录入计算机 所用时间相同.已知两人每分钟录入
,
字数的和是 那么两人平均每分钟各录入多少字
220, ?
.请找出上述问题中的等量关系.
1
.试列出方程 并求方程的解.
2 ,
.写出问题的答案 并与同学交流.
3 ,
例1 某工程队承建一所实验小学.在施工过程中 由于引进了先进设备 工作
, ,
效率提高了 因此提前 个月完工.那么 这个工程队原计划用几
20%, 1 ,
个月的时间建成这所实验小学
?
分析 本题中的等量关系为
:
引进设备前的工作效率 引进设备后的工作效率.
×(1+20%)=
解 设工程队原计划用x个月的时间建成这所实验小学.根据题意 得
: ,
1 1 .
x·(1+20%)=x
-1
解这个方程 得
,
x .
=6
经检验 x 是原分式方程的解.
, =6
答 这个工程队原计划用 个月的时间建成这所实验小学.
: 6
第十二章 分式和分式方程 25请说说用分式方程解决实际问题的一般步骤.它与用一元一次方程以及
二元一次方程组解决实际问题的一般步骤有哪些异同
?
.在 阳光体育一小时 活动中 小明和小亮参加跳绳比赛.在某段
1 “ ” ,
相同时间内 小明跳了 次 小亮跳了 次.已知小明每分钟比小亮少
, 180 , 210
跳 次 则小明和小亮平均每分钟各跳多少次
20 , ?
.某项工作 甲 乙两人合做 天后 剩下的工作由乙单独来做 用
2 , 、 3 , ,
天即可完成.已知乙单独完成这项工作所需天数是甲单独完成这项工作所
1
需天数的 倍 那么甲 乙单独完成这项工作各需多少天
2 , 、 ?
M
组
A
.某校八年级()班和()班的同学,在双休日参加修整花卉的社会实践活
1 1 2
动.已知()班比()班每小时多修整 盆花,()班修整 盆花所用的
1 2 2 1 66
时间与()班修整 盆花所用的时间相等,那么()班和()班的同学平
2 60 1 2
均每小时各修整多少盆花?
.一艘轮船在静水中航行的速度是 / ,顺水航行 后返回,返
2 21kmh 80km
回时用同样的时间只航行了 .求水流的速度.
60km
组
B
.一项工程原计划由 人在一定时间内完成,但从开工之日起就采用了提
3 52
高工作效率 的新技术,这样,改用 人去工作,结果还比原计划
50% 40
提前 天完成.那么,采用新技术完成这项工程用时多少天?
6
. , 两地之间的路程为 ,甲、乙两辆汽车同时从 地开往 地,
4 A B 200km A B
两车速度的比是 ,结果乙车比甲车早 到达 地.求甲车的速度.
4∶5 30min B
26 数学 八年级上册今年父亲的年龄是儿子年龄的 倍 年后父亲和儿子年龄的比是
3 ,5
.求父亲和儿子今年的年龄.
22∶9
.上述问题中有哪些等量关系
1 ?
.列出方程 求出方程的解 并写出问题的答案.
2 , ,
例2 某服装店销售一款服装.若按原价销售 则每月销售额为 元
, 10000 ;
若按八五折销售 则每月多卖出 件 且月销售额还会增加 元.
, 20 , 1900
那么 每件服装的原价为多少元
, ?
分析 本题中的等量关系为
:
每月按八五折销售服装的数量 每月按原价销售服装的数量 件.
- =20
解 设每件服装的原价为x元.根据题意 得
: ,
10000+1900 10000 .
x - x =20
85%
解这个方程 得
,
x .
=200
经检验 x 是原方程的解.
, =200
答 每件服装的原价为 元.
: 200
.相邻的两个偶数的比是 .求这两个偶数之间的奇数.
1 24∶25
.某班组织学生从学校出发到科技馆参观. 部分学生骑自行车先出发
2
后 其余学生乘坐公交车前往 结果同时到达. 已知学校到科技馆的
20min , ,
路程是 如果公交车的平均速度是自行车平均速度的 倍 那么自行
8km, 2 ,
车和公交车的平均速度各是多少
?
M
组
A
.某超市的一种瓶装饮料每箱售价为 元.“五一”期间对这种瓶装饮料
1 36
进行促销,买一箱送两瓶,这相当于每瓶按原价的九折销售.那么,这
家超市销售这种饮料的原价是每瓶多少元?
第十二章 分式和分式方程 27.某学校订购了 件新年礼物,计划每班分得数量相同的若干件,结果
2 65
还少 件;改为每班少分 件,结果剩余 件.那么,这所学校有多少
3 1 14
个班?
组
B
.某市为创建全国文明城市,开展 “美化、绿化城市”活动,计划经过若
3
干年使城区绿化总面积新增 万平方米.自前年年初活动开始实施以
360
来,城区平均每年实际新增的绿化面积是原计划的 倍,这样可提前
1.5
年完成任务.城区平均每年实际新增的绿化面积为多少万平方米?
4
.某超市为了促销,将本来售完后可得 元的奶糖和 元的水果糖
4 1800 900
混合后配成杂拌儿糖出售.这种杂拌儿糖每千克比奶糖便宜 元,比水
4
果糖贵 元.已知这两种糖的质量相等,求杂拌儿糖的单价.
6
.如图, , 两海港相距 ,甲、乙两船同时从 港驶出 乙船直
5 A B 540km B .
接驶向 港 甲船先驶向 海港, 后到达 港,然后立即返回 港,
A . C 3h C B
驶达 港后,又立即驶向 港,最后与乙船同时到达 港.已知甲船
B A A
的速度是乙船速度的6倍,求甲、乙两船的速度.(水流速度不计)
5
第 题
( 5 )
28 数学 八年级上册橙汁与苹果汁的多少
有甲、乙两个杯子,分别盛了体积相同的橙
汁与苹果汁.将这两种果汁进行部分混合,把甲
杯中的苹果汁与橙汁的体积比记为m,乙杯中的
橙汁与苹果汁的体积比记为n.通过操作和计
算,比较m,n的大小.
活动一: 甲 乙
将甲杯中的橙汁全部倒入乙杯,并搅拌均匀,再将乙杯中混合果汁的一
半倒入甲杯,比较m,n的大小.
活动二:
甲、乙两个杯子中原来的橙汁与苹果汁均为a .准备一个小勺,一
mL
勺果汁的体积为b ,且b a.
mL <
第一次操作:先从甲杯中取出一勺橙汁倒入乙杯,并搅拌均匀,再从乙
杯中取出一勺混合果汁倒入甲杯.
第二次操作:在第一次操作的基础上,先从甲杯中取出一勺混合果汁倒
入乙杯,并搅拌均匀,再从乙杯中取出一勺混合果汁倒入甲杯.
根据上述操作,填写下表.
混合前的体积 第一次操作后的体积 第二次操作后的体积
橙汁 苹果汁 橙汁 苹果汁 橙汁 苹果汁
甲杯
乙杯
m n的大小
,
关系
观察表中数据,你有什么猜想? 说明你的猜想的正确性.
第十二章 分式和分式方程 29一、知识结构
:%
%&)*+,-
;%
%&
%&)<=
!
%&)./
"
%&)>?
#
$
%&’( 0%&’( %&’()0
12 89
03&’( 3&’()0
04、67
二、总结与反思
本章的主要内容是分式的概念 分式的基本性质及分式的运算 加 减
、 ( 、 、
乘 除 和分式方程.
、 )
类比和转化是重要的数学思想.通过与分数类比 我们得到了分式的概
,
念 基本性质及运算法则等.分式的运算都是通过转化的方法来进行的 异
、 ,
分母分式的加减运算是转化为同分母分式的加减运算 解分式方程是转化为
,
解整式方程.
.分式的基本性质.
1
分式的基本性质是分式运算和变形的重要依据 如分式的通分 约分
, 、
等都是利用分式的基本性质进行恒等变形的.分式的基本性质可以用式子
A A M A A M
表示为 × ÷ 其中 M 是不等于 的整式.
B=B M,B=B M, , 0
× ÷
.分式的运算.
2
A C A D
分式的加 减 乘 除运算法则可以用式子表示为 ·
、 、 、 B±D=B D±
·
B C A D B C A C A C A C A D A D
· · ± · · · .
B D= B D ,B·D=B D,B÷D=B·C=B C
· · · ·
分式约分的一般步骤是 如果分式的分子和分母都是单项式或是几个因
:
30 数学 八年级上册式乘积的形式 那么可直接将它们的公因式约去 如果分式的分子或分母是
, ;
多项式 那么要先将其分解因式 再将公因式约去. 分式约分的结果一般是
, ,
最简分式或整式.
分式通分的一般步骤是 先确定异分母分式的最简公分母 再分别把它
: ,
们化为同分母的分式.
在进行分式的加 减 乘 除混合运算时 运算顺序是 先算乘除 后
、 、 、 , : ,
算加减 如果有括号 要先算括号内的.
; ,
.分式方程.
3
分式方程是一种重要的数学模型 在解决实际问题中有着广泛的应用.
,
解分式方程的基本思路是将分式方程转化为整式方程.一般步骤是 先
:
确定分式方程中各分母的最简公分母 再把分式方程两边都乘最简公分母
, ,
将分式方程化为整式方程 然后解这个整式方程 最后经过验根以确定分式
, ,
方程的解.
三、注意事项
.因为 不能做除数 所以只有当分式的分母不为 时 分式才有意
1 0 , 0 ,
义.当分子的值为 而分母的值不为 时 分式的值才等于 .
0 0 , 0
.几个分式通分时 一般选取最简公分母作为通分后分式的分母.
2 ,
.分式运算的结果要化为最简分式或整式.
3
.解分式方程一定要验根.
4
组
A
.当x为何值时,下列分式有意义?
1
x x
() 1 ; ()2 +1; () 3-2 .
1 x 2 x 3 (x ) 2
2 +5 -1 -2
.计算下列各式:
2
c2 a2 a2b2 c2
() · ; ()3 ·10 ;
1 ab bc 2 c a3b3
2
() 1
x
-1; ()
xy
-
y2
(x y);
3 x2 ÷x 4 x ÷ -
-1 +1
第十二章 分式和分式方程 31a2 a a2 a a2 a a2 a
() +2 +1· +3 ; () -8 +16 -4 .
5 a2 a 6 a2 a ÷a
-9 +1 +4 +4 +2
.计算下列各式:
3
x x x
()3 4 +2;
1 a+a- a
2 2 2
x2 y2 xy
() 2 ;
2 x y+x y-x y
- - -
x y x z
() + + ;
3
(x y)(y z)
-
(x y)(y z)
- - - -
a b b c c a
() - - - ;
4 ab +bc +ca
()a 4 ;
5 - a+2
2-
x x x
() +2 -1 · .
6 x2 x-x2 x x
-2 -4 +4 -4
.求下列各式的值.
4
x2 xy y2
() +2 + .其中,x ,y .
1 x2 y2 =5 =-10
-
x x
() .其中,x .
2 x+ x =-3
1- 1+
.解下列方程:
5
() 2 1 ; () 1 3 ;
1 x =x 2 x + x=0
+3 -1 +1 2-
x x
() 2 3 7 ; () 2 .
3 x + = (x ) 4 x +x =2
+3 2 2 +3 2 -1 -2
.某地有
2
的沙漠,原计划每年治理a 2.为了尽快改善生态环
6 30km km
境,当地加大了治理力度,每年比原计划多治理 2.照此计算,该
2km
地实际可比原计划提前几年使全部沙漠得到治理?
.一条小船顺流航行 后,又立即返回原地.如果船在静水中的速度
7 50km
为a / ,水流的速度为 / ,那么顺流航行比逆流航行少用多少
kmh 8kmh
小时?
32 数学 八年级上册.有一个分数,分母比分子的 倍少 ,把分子加上 后,所得分数的值
8 4 1 1
为2.求这个分数.
3
. , 两地之间的路程是 .甲、乙两人都从 地到 地,甲骑自
9 A B 25km A B
行车,乙骑摩托车.乙比甲晚出发 ,却和甲同时到达.已知乙的速度
1h
是甲速度的 倍,甲、乙两人的速度各是多少?
2.5
.某工厂两个班组加工同一种零件,甲组的工作效率比乙组高 ,因
10 20%
此,甲组加工 个零件所用的时间比乙组加工 个零件所用的时间
210 200
少半小时.那么,甲、乙两组每小时各加工多少个零件?
组
B
ab a
.已知a2 ab b2 a b .求 + 的值.
11 -2 + + -2 +3 =0 b2
-1
.计算下列各式:
12
()1 1 ;
1 a-a
+1
() 1 1 … 1 .
2
a(a )
+
(a )(a )
+ +
(a )(a )
+1 +1 +2 +9 +10
.某边防哨所运来一筐苹果,共有 个.计划每名战士分得数量相同的
13 60
若干个苹果,结果还剩 个苹果;改为每名战士再多分 个,结果还差
5 1
个苹果.那么,这个哨所共有多少名战士?
6
.一艘轮船从 港口向 港口行驶,以在本航线航行时的常规速度走完
14 A B
全程的3,此后航速减小了 海里/时,并以此速度一直行驶到 港
10 B
5
口.这样,本次航行减速后行驶所用的时间和减速前行驶所用的时间相
等.那么,这艘轮船在本航线上的常规速度是多少?
.某商场用 万元购进一批新款衬衫,上架后很快销售一空.商场又紧急
15 8
购进第二批这种衬衫,数量是第一批的 倍,但进价涨了 元/件,结
2 4
果共用去 万元.商场销售这种衬衫时,每件定价都是 元;第二
17.6 58
批衬衫销售剩至 件时按八折出售,全部售完.那么,售完这两批衬
150
衫商场共盈利多少元?
第十二章 分式和分式方程 33组
C
x x(x y)y(x y)
.已知 .求2 + - + 的值.
16 y=2 x2 xy y2
4 -4 +
.我们知道,一个房间窗户的面积与该房间地面面积的比值越大,采光越
17
好.在某房间的设计图中,房间窗户的面积与该房间地面的面积分别为
m,n(m n).小明提出,若把该房间窗户与地面的面积都增加a,采
<
光会更好.你认为小明的说法正确吗?
.“互联网 ”助力乡村全面振兴.某乡政府为推广当地特色农产品,积
18 +
极组织在线销售甲、乙、丙三种农产品.已知 乙产品的售价比
1kg
甲产品的售价多 元, 丙产品的售价是 甲产品售价的
1kg 5 1kg 1kg
倍,用 元购买丙产品的质量是用 元购买乙产品质量的 倍.
3 270 60 3
()求甲、乙、丙三种农产品每千克的售价.
1
()电商推出如下销售方案:甲、乙、丙三种农产品搭配销售共 ,
2 40kg
其中,乙产品的质量是丙产品质量的 倍,且甲、丙两种产品的质
2
量之和不超过乙产品质量的 倍.请帮忙计算,按此方案购买
3
农产品至少要花费多少元?
40kg
34 数学 八年级上册命题,有真命题,也有假命题 要判断一个命题是假命题,只要举
.
出反例即可;要判断一个命题是真命题,则需要推理论证,即证明
.
对于平行线 我们知道
, :
在这两个命题中 其中一个命题的条件和结论 与另一个命题的条
(1) , ,
件和结论有怎样的关系
?
请再举例说明两个具有这种关系的命题
(2) .
像这样 一个命题的条件和结论分别为另一个命题的结论和条件的两个
,
命题 称为互逆命题
, .
在两个互逆的命题中 如果我们将其中一个命题称为原命题 那么另一
, ,
个命题就是这个原命题的逆命题
(converseproposition).
请写出下列命题的逆命题 并指出原命题和逆命题的真假
, .
两条直线被第三条直线所截 如果内错角相等 那么这两条直线
(1) , ,
平行
.
如果两个角是对顶角 那么这两个角相等
(2) , .
如果一个数能被 整除 那么这个数也能被 整除
(3) 3 , 6 .
已知两数a b.如果a b 那么a b .
(4) , + >0, - >0
36 数学 八年级上册命题 有真命题 也有假命题.
, ,
要判断一个命题是假命题 只需举出一个反例即可.例如 做一做
, ,“ ”(3)
就是假命题 反例如 能被 整除 但不能被 整除 .
, “9 3 , 6 ”
要判断一个命题是真命题 则要从命题的条件出发 根据已学过的基
, ,
本事实 定义和定理等 进行有理有据的推理.这个推理的过程叫作证
、 ,
明 .
(proof)
例 证明平行于同一条直线的两条直线平行.
已知 如图 直线a b c ac bc.
: 13.1 1, , , , ∥ , ∥
求证 ab. 图
: ∥ 13.1 1
证明 如图 作直线d 分别与直线a b c
: 13.1 2, , , ,
相交.
ac 已知
∵ ∥ ( ),
两直线平行 同位角相等 .
∴ ∠1=∠2 ( , )
bc 已知
∵ ∥ ( ),
两直线平行 同位角相等 .
∴ ∠2=∠3 ( , ) 图
13.1 2
等量代换 .
∴ ∠1=∠3 ( )
ab 同位角相等 两直线平行
∴ ∥ ( , ),
即平行于同一条直线的两条直线平行.
像这样用文字叙述的命题的证明 应当按下列步骤进行
, :
第一步 依据题意画图 将文字语言转换为符号 或图形 语言.
, , ( )
第二步 根据图形写出已知 求证.
, 、
第三步 根据已学过的基本事实 定义和定理等进行证明.
, 、
例题中的证明格式 在今后的学习中将会经常用到.
,
如果一个定理的逆命题是真命题 那么这个逆命题也可以称为原定理的
,
逆定理 .一个定理和它的逆定理是互逆定理.如 两直
(conversetheorem) “
线平行 内错角相等 与 内错角相等 两直线平行 两直线平行 同旁
, ” “ , ”,“ ,
内角互补 与 同旁内角互补 两直线平行 都是互逆定理.
” “ , ”
第十三章 全等三角形 37已知 如图 点O在直线AB上 OD
: 13.1 3, , ,
OE分别是 AOC BOC的平分线.
∠ ,∠
求证 OD OE.
: ⊥
图
13.1 3
.写出下列命题的逆命题 并判断它们的真假.对于假命题 请举出
1 , ,
反例说明 对于真命题 请给出证明.
; ,
如果两个角是直角 那么这两个角相等.
(1) ,
已知两个角.如果一个是锐角 另一个是钝角 那么它们的和是
(2) , ,
平角.
偶数一定能被 整除.
(3) 2
.已知 如图 直线a b被直线c所截 与 互补.求证 ab.
2 : , , ,∠1 ∠2 : ∥
第 题
( 2 )
M
组
A
.写出下列命题的逆命题,并判断原命题和逆命题的真假.对于假命题,
1
请举出反例说明;对于真命题,请给出证明.
()如果一个三角形的三个内角的度数之比为 ,那么这个三角
1 1∶2∶3
形是直角三角形.
()两个非 数,如果它们互为相反数,那么其和等于 .
2 0 0
()对于任意两数a,b,如果a b,那么 a b.
3 > -3 >-3
38 数学 八年级上册.已知:如图,C,D是线段AB上两点,C是线段AD的中点,D是线
2
段CB的中点.求证:AD CB.
=
第 题
( 2 )
.已知:如图, AOB A'O'B', .求证: .
3 ∠ =∠ ∠1=∠3 ∠2=∠4
第 题
( 3 )
组
B
.如图,在 ABC 中,DE BC, ADE , C .求 B 和
4 △ ∥ ∠ =50° ∠ =70° ∠
DEC的度数.
∠
第 题
( 4 )
.求证:在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线平行.
5
第十三章 全等三角形 39图形的形状和大小是几何研究的重要内容.本节我们来研究形状相
同、大小相等的这类图形.
如图 观察给出的五组图形.
13.2 1,
在每组中 两个图形的形状和大小各有怎样的关系
(1) , ?
先在半透明纸上画出同样大小的图形 再将每组中的一个图形叠放
(2) ,
在另一个图形上 观察它们是否能够完全重合.
,
图
13.2 1
在上面的五组图形中 组 组和 组中的两个图形能够完全重
,(1) 、(2) (3)
合 组和 组中的两个图形不能完全重合.我们把能够完全重合的两个
;(4) (5)
图形叫作全等图形 .在这两个全等图形中 互相重合的
(congruentfigures) ,
点叫作对应点.
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形 在两
(congruenttriangles).
个全等的三角形中 互相重合的边叫作对应边 互相重合的角叫作对应角.
, ,
如图 ABC与 A'B'C'是两个全等三角形 点A 与
13.2 1(2),△ △ ,
点A' 点B与点B' 点C与点C'分别是对应点 边AB与边A'B' 边AC
, , ; ,
40 数学 八年级上册与边A'C' 边BC与边B'C'分别是对应边 A 与 A' B 与 B'
, ;∠ ∠ ,∠ ∠ ,
C与 C'分别是对应角.
∠ ∠ 表示两个三角形
我们用符号 来表示两个图形全等.如
“≌”
全等时,通常把表示
图 ABC与 A'B'C'是两个全等
13.2 1(2),△ △ 对应顶点的字母写在
三角形 记作 ABC A'B'C' 读作 三
, “△ ≌△ ”, “ 对应的位置上.
角形ABC全等于三角形A'B'C'.
”
.两条能够完全重合的线段有什么关系
1 ?
.两个能够完全重合的角有什么关系
2 ?
.两个全等三角形的对应边之间有什么关系 对应角之间又有什么
3 ,
关系
?
全等三角形的对应边相等,对应角相等.
例 已知 如图 ABC DEF
: 13.2 2,△ ≌ △ ,
A B BC .
∠ =78°,∠ =35°, =18
写出 ABC 和 DEF 的对应边和对
(1) △ △
应角.
图
求 F的度数和边EF的长. 13.2 2
(2) ∠
解 边AB和边DE 边BC和边EF 边AC和边DF分别是对
:(1) , ,
应边 A和 D B和 DEF ACB和 F分别是对
;∠ ∠ ,∠ ∠ ,∠ ∠
应角.
在 ABC中
(2) △ ,
A B ACB 三角形内角和定理
∵ ∠ +∠ +∠ =180°( ),
ACB A B .
∴ ∠ =180°-∠ -∠ =180°-78°-35°=67°
ABC DEF 已知
∵ △ ≌△ ( ),
F ACB EF BC . 全等三角形的对
∴ ∠ =∠ =67°, = =18 (
应边相等 对应角相等
, )
第十三章 全等三角形 41.写出下列每组全等图形中的对应边和对应角.
1
 
第 题
( 1 )
.如图 AMB AMC.请写出图中相等的线段.
2 ,△ ≌△
第 题
( 2 )
M
组
A
.观察房梁支架和窗户的示意图.请分别指出图中的三组全等图形.
1
第 题
( 1 )
.如图, AOC BOD.请写出它们的对应边和对应角.
2 △ ≌△
第 题
( 2 )
42 数学 八年级上册组
B
.如图, ABD ACE.
3 △ ≌△
()写出这两个三角形的对应边和对应角.
1
()若 ADB ,求 AEB的度数.
2 ∠ =75° ∠
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.已知:如图, ABC DCB.求证: ACD DBA.
4 △ ≌△ ∠ =∠
组
C
.把如图所示的各个图形分别分割成两个全等的图形.
5
第 题
( 5 )
第十三章 全等三角形 43在全等图形中,全等三角形是最基本、应用最广泛的一类图形.那
么,如何判定两个三角形全等呢?
我们知道 三条边分别相等 三个角分别相等的两个三角形全等 但我
, 、 ,
们希望能用较少的条件来判定两个三角形全等.这样的条件应当是怎样的呢
?
.根据下面表中给出的 ABC和 A'B'C'边和角的相等条件及对应
1 △ △
的图形 判断 ABC和 A'B'C'是否全等 并把结果填写在表中.
, △ △ ,
边和角的相等条件 对应的图形 是否全等
BC B'C'
=
B B'
∠ =∠
A
AB A'B' A′
=
BC B'C'
= B(B′) C(C′)
BC B'C'
=
B B'
∠ =∠
A B'A'C'
∠ =∠
B B'
∠ =∠
.有三个角分别相等的两个三角形一定全等吗 说说你的理由.
2 ?
44 数学 八年级上册.小亮认为 判断两个三角形全等的较少条件 只有以下三种情况才
3 , ,
有可能 三条边分别相等 或两条边和一个角分别相等 或两个角和一条边
: , ,
分别相等.你认为这种说法对吗
?
准备一些长为 的细木条
3cm,4cm,5cm,7cm .
取三根细木条摆成边长分别为 的三角形 把你
(1) 4cm,5cm,7cm .
摆出的三角形和同学摆出的三角形作一下比较 它们能重合吗
, ?
取三根细木条摆成边长分别为 的三角形.和同
(2) 3cm,4cm,5cm
学摆出的三角形作一下比较 它们能重合吗
, ?
和同桌取同样长度的三根能摆成三角形的细木条 同时摆三角形.
(3) ,
摆成的两个三角形能重合吗
?
基本事实一 三边分别相等的两个三角形全等.
基本事实一可简记为 边边边 或 .
“ ” “SSS”
如图 用三根木条钉成一个三角形框架 不论怎
13.3 1, ,
样拉动 它的形状和大小都不改变 即只要三角形的三边确
, ,
定 它的形状和大小就完全确定了.三角形所具有的这一性 图
, 13.3 1
质叫作三角形的稳定性.
在日常生活中 三角形的稳定性有着广泛的应用 图 反映了三
, , 13.3 2
角形稳定性的部分应用.除此之外 你还能举出应用三角形稳定性的例
,
子吗
?
图
13.3 2
第十三章 全等三角形 45回顾 作一个角等于已知角 的方法 并说说作图的依据.
“ ” ,
.已知 如图 AB CB AD CD.求证 ABD CBD.
1 : , = , = :△ ≌△
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.如图 工人师傅在安装木制门框时 为了防止门框变形 常常先在
2 , , ,
门框上钉上两个斜拉的木条.请说明这样做的道理.
M
组
A
.已知:如图,AD BC,BD AC.求证: ABD BAC.
1 = = △ ≌△
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,AB EF,AC ED,BF CD.求证: A E.
2 = = = ∠ =∠
组
B
.如图是房梁支架的示意图.如果AB AC,BD
3 = =
CD,那么 BAD和 CAD相等吗? 如果不相
∠ ∠
等,请说明理由;如果相等,请给出证明.
第 题
( 3 )
46 数学 八年级上册.已知:如图,AB AD,AC AE,BC DE.求证: BAD CAE.
4 = = = ∠ =∠
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
.如图,AB CD,AD CB.那么,AB和CD 具有怎样的位置关系?
5 = =
AD和CB呢? 请说明理由.
两条边和一个角分别相等的两个三角形是不是全等的呢
?
画一个三角形 使它的两条边长分别是 并且使长为
, 1.5cm,2.5cm,
的这条边所对的角是 .
1.5cm 30°
小明的画图过程如图 所示
13.3 3 :
他得到了两
个符合条件的三
角形!
图
13.3 3
小明根据所给的条件 画出了两个形状不同的三角形.这说明两个三角
,
形的两条边和其中一边的对角分别相等时 这两个三角形不一定全等.
,
当两边和它们的夹角分别相等时 这两个三角形是否全等呢
, ?
第十三章 全等三角形 47如图 在 ABC和 A'B'C'中 AB A'B' B B'
13.3 4, △ △ , = ,∠ =∠ ,
BC B'C'.
=
图
13.3 4
将 ABC叠放在 A'B'C'上 使顶点B与顶点B'重合 边BC落
(1) △ △ , ,
在边B'C'上 点A与点A'在边B'C'的同侧.那么 点C与点C'是否重合
, , ,
边BC与边B'C'是否重合 边BA是否落在边B'A'上 点A与点A'是否重合
? , ?
由 两点确定一条直线 能不能得到边AC 与边A'C'重合
(2) “ ”, ,
ABC和 A'B'C'全等
△ △ ?
基本事实二 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
基本事实二可简记为 边角边 或 .
“ ” “SAS”
图 是一种测量工具的示意图.其中 AB CD AB CD的
13.3 5 , = , ,
中点O被固定在一起 AB CD可以绕点O张合.
, ,
在图 中 要想知道玻璃瓶的内径是多少 只要量出AC的长就
13.3 6 , ,
可以了.你知道这是为什么吗 请把你的想法和同学交流一下.
?
图 图
13.3 5 13.3 6
48 数学 八年级上册例1 已知 如图 AD BC AD CB.
: 13.3 7, ∥ , =
求证 ADC CBA.
:△ ≌△
证明 AD BC 已知
:∵ ∥ ( ),
两直线平行 内错角相等 .
∴ ∠1=∠2( , )
在 ADC和 CBA中 图
△ △ , 13.3 7
AD CB 已知
􀮠 = ( ),
已证
∵ 􀮡∠1=∠2 ( ),
AC CA 公共边
􀮢 = ( ),
第十三章 全等三角形 49
􀪁􀪁
􀪁􀪁
ADC CBA .
∴ △ ≌△ (SAS)
.判断下列各组中的两个三角形是否全等 并说明理由.
1 ,
图 中的 AEC与 ADB.已知条件是AB AC AD AE.
(1) (1) △ △ = , =
图 中的 ABC 与 BAD.已知条件是 BAC ABD
(2) (2) △ △ ∠ =∠ ,
AC BD.
=
图 中的 ABD 与 ACE.已知条件是AB AC AD AE
(3) (3) △ △ = , = ,
BE CD.
=
第 题
( 1 )
.已知 如图 AB AC AD AE BD与CE相交于点O.求证
2 : , = , = , :
B C.
∠ =∠
第 题
( 2 )M
组
A
.已知:如图,AC,BD 相交于点O,且AO CO,BO DO.求证:
1 = =
AB CD.
=
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,AC DB, ACB DBC.
2 = ∠ =∠
求证: ABC DCB.
△ ≌△
.已知:如图,AC ED,BD FC,AC DE.
3 = = ∥
求证:AB FE.
∥ 第 题
( 3 )
组
B
.已知:如图,AB AD,AE AC, BAD CAE.求证: B D.
4 = = ∠ =∠ ∠ =∠
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
.已知:如图,AB AC,EB EC,AE的延长线交BC于点D.求证:
5 = =
BD CD.
=
组
C
.如图,有一个池塘,要测量池塘岸边A,B两
6
点间的距离.请设计一个可行的测量方案,按照
设计的方案画出图形,并说明理由.
第 题
( 6 )
50 数学 八年级上册有两角和一边分别相等的两个三角形全等吗
?
如图 在 ABC和 A'B'C'中 B B' BC B'C'
13.3 8, △ △ ,∠ =∠ , = ,
C C'.把 ABC和 A'B'C'叠放在一起 它们能够完全重合吗 请
∠ =∠ △ △ , ?
提出你的猜想 并试着说明理由.
,
图
13.3 8
可以这样验证 将 ABC叠放在 A'B'C'上 使边BC落在边B'C'上
: △ △ , ,
顶点A与顶点A'在边B'C'的同侧.由BC B'C' 可得边BC与边B'C'完全
= ,
重合.因为 B B' C C' B的另一边BA落在边B'A'上 C
∠ =∠ ,∠ =∠ ,∠ ,∠
的另一边CA落在边C'A'上 所以 B与 B'完全重合 C与 C'完全重
, ∠ ∠ ,∠ ∠
合.由于 两条直线相交只有一个交点 所以点A与点A'重合.
“ ”,
所以 ABC和 A'B'C'全等.
,△ △
基本事实三 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
基本事实三可简记为 角边角 或 .
“ ” “ASA”
可以证明 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
,
已知 如图 在 ABC和 A'B'C'中 A A' B
: 13.3 9, △ △ ,∠ =∠ ,∠ =
B' BC B'C'.
∠ , =
求证 ABC A'B'C'.
:△ ≌△
图
13.3 9
第十三章 全等三角形 51证明 A B C A' B' C' 三角
:∵ ∠ +∠ +∠ =180°,∠ +∠ +∠ =180°,(
形内角和定理
)
又 A A' B B' 已知
∵ ∠ =∠ ,∠ =∠ ,( )
C C' 等量代换 .
∴ ∠ =∠ ( )
在 ABC和 A'B'C'中
△ △ ,
B B'
􀮠∠ =∠ ,
BC B'C'
∵ 􀮡 = ,
C C'
􀮢∠ =∠ ,
52 数学 八年级上册
􀪁􀪁􀪁
􀪁􀪁
ABC A'B'C' .
∴ △ ≌△ (ASA)
全等三角形的判定定理
两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等.
这个定理可简记为 角角边 或 .
“ ” “AAS”
例2 已知 如图 AD BE A
: 13.3 10, = ,∠ =
FDE BC EF.
∠ , ∥
求证 ABC DEF.
:△ ≌△
证明 AD BE 已知 图
:∵ = ( ), 13.3 10
AD BD BE BD 等式的基本性质 .
∴ + = + ( )
AB DE.
∴ =
BC EF 已知
∵ ∥ ( ),
ABC E 两直线平行 同位角相等 .
∴ ∠ =∠ ( , )
在 ABC和 DEF中
△ △ ,
A FDE
􀮠∠ =∠ ,
AB DE
∵ 􀮡 = ,
ABC E
􀮢∠ =∠ ,
􀪁􀪁􀪁
􀪁􀪁
ABC DEF .
∴ △ ≌△ (ASA).如图 AB CD 相交于点O OA OD.要使 OAC ODB
1 , , , = △ ≌△ ,
还需要添加一个条件 这个条件是什么
, ?
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知 如图 AB CD相交于点E EC ED C D.求证
2 : , , , = ,∠ =∠ :
AEC BED.
△ ≌△
M
组
A
.下面的三个命题都是假命题,请举反例说明.
1
()有两个角和一条边分别相等的两个三角形全等.
1
()有三个角分别相等的两个三角形全等.
2
()有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三
3
角形全等.
.已知:如图,AD AE, ADC AEB.求
2 = ∠ =∠
证:BD CE. 第 题
= ( 2 )
.已知:如图,l l,AC l,AC l,垂足分别为A,C,点B在
3 1∥2 ⊥ 1 ⊥ 2
AC上,且AB BC,过点B的任一直线与l,l 分别交于点M,N.
= 1 2
求证:MB NB.
=
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.已知:如图,AB AD,AC A E ,A B AD, B D.求证:BC
4 ⊥ ⊥ = ∠ =∠ =
DE.
第十三章 全等三角形 53组
B
.已知:如图,在 ABC和 DEF中,AB DE,BC EF,AC DF,
5 △ △ = = =
ABM CBM, DEN FEN.求证:BM EN.
∠ =∠ ∠ =∠ =
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
.已知:如图,点D在 ABC的边BC上,BE AD,CF AD,垂足
6 △ ⊥ ⊥
分别为E,F,BE CF.请判断AD是不是 ABC的中线.如果是,
= △
请给出证明.
如图 每组图形中都有两个三角形全等.
13.3 11,
图
13.3 11
观察每组中两个全等的三角形 请说出其中一个三角形经过怎样的
(1) ,
变化 平移或旋转 后 能够与另一个三角形重合.
( ) ,
请再分别画出几组具有类似位置关系的两个全等的三角形.
(2)
实际上 在我们遇到的两个全等的三角形中 有些图形具有特殊的位置
, ,
关系 即其中一个三角形是由另一个三角形经过平移或旋转 有时是两种变
, (
化 得到的.发现两个三角形间的这种特殊关系 能够帮助我们找到命题证
) ,
明的途径 快捷地解决问题.
,
54 数学 八年级上册例3 已知 如图 在 ABC中 D 是
: 13.3 12, △ ,
BC 的 中 点 DE AB 交 AC 于 点E
, ∥ , ,
DF AC 交AB于点F.
∥ ,
求证 BDF DCE.
:△ ≌△
证明 D是BC的中点 已知 图
:∵ ( ), 13.3 12
BD DC 线段中点的定义 .
∴ = ( )
DE AB DF AC 已知
∵ ∥ , ∥ ,( )
B EDC BDF C. 两直线平行 同位角相等
∴ ∠ =∠ ,∠ =∠ ( , )
在 BDF和 DCE中
△ △ , 观 察 可 知,将
B EDC
􀮠∠ =∠ , BDF沿BC方向向
BD DC △
∵ 􀮡 = , 右平移,可使 BDF
△
BDF C
􀮢∠ =∠ , 与 DCE重合.
△
第十三章 全等三角形 55
􀪁􀪁
􀪁􀪁
BDF DCE .
∴ △ ≌△ (ASA)
例4 已知 如图 在 ABC中 D是AB
: 13.3 13, △ ,
上任意一点 E是AC的中点 CF AB 交
, , ∥ ,
DE的延长线于点F.
求证 DE FE.
: = 图
13.3 13
证明 CF AB 已知
:∵ ∥ ( ),
A ECF 两直线平行 内错角相等 .
∴ ∠ =∠ ( , )
在 EAD和 ECF中
△ △ , 观察可知,将
A ECF
􀮠∠ =∠ , ECF绕点E旋转
AE CE △
∵ 􀮡 = , ,它可与 EAD
AED CEF 对顶角相等 180° △
􀮢∠ =∠ ( ), 重合.
􀪁􀪁
􀪁􀪁
EAD ECF .
∴ △ ≌△ (ASA)
DE FE 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )
已知 如图 AB CD AD BC.
: 13.3 14, ∥ , ∥
求证 AB CD AD BC.
: = , =
图
13.3 14.已知 如图 AC EF AB CD AB CD.求证 BE DF.
1 : , = , ∥ , = : ∥
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知 如图 AC DC BC EC ACD BCE.求证 .
2 : , = , = ,∠ =∠ :∠1=∠2
M
组
A
.已知:如图,AB,CD 相交于点E,AD CB, D B.求证:
1 = ∠ =∠
AB CD.
=
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,AB AC,AD AE,BD CE.求证: BAC DAE.
2 = = = ∠ =∠
.在 ABC中,AB AC.P是任意一点,连接AP,再将AP绕点A顺
3 △ =
时针旋转至AQ,使 QAP BAC,连接BQ,CP.
∠ =∠
 
第 题
( 3 )
56 数学 八年级上册()如图(),若点P在 ABC的内部,则BQ与CP相等吗? 若相等,
1 1 △
请给出证明.
()如图(),若点P在 ABC的外部,则BQ与CP相等吗? 若相等,
2 2 △
请给出证明.
组
B
.已知:如图,AD BC,垂足为D,AD BD,点E在AD上, ABD
4 ⊥ = ∠ =
CED , ABE ACE.请写出图中相等的线段,并进行证明.
∠ =45° ∠ =∠
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
.已知:如图, ABD ACE,BD,CE相交于点F.请写出图中相
5 △ ≌△
等的线段,并进行证明.
组
C
.()如图(), BAC ,AB AC,直线m 经过点A,BD m,
6 1 1 ∠ =90° = ⊥
CE m,垂足分别为D,E.猜想DE,BD,CE之间有怎样的数
⊥
量关系,并进行证明.
(1)
第 题
(2)
( 6 )
()如图(),若将()中的条件改为 “AB AC,D,A,E三点都在直
2 2 1 =
线m上,且 BDA CEA BAC α(其中,α为任意锐角或
∠ =∠ =∠ =
钝角)”,则上述数量关系还成立吗? 如果成立,请给出证明;如果
不成立,请说明理由.
第十三章 全等三角形 57历史悠久的几何学
几何学是一门古老而实用的科学,是自然科学的重要组成部分,它和
算术一样产生于实践.在远古时代,人们在实践中形成了十分丰富的几何
概念,如平面、直线、方、圆、长、短等,这些都成了几何学的基本概
念.古代中国、古巴比伦、古埃及、古印度、古希腊都是几何学的重要发
源地.
大量出土文物表明,很早以前,我国劳动人民就已经掌握了几何学的
基本知识,并将其广泛应用于生产生活实际,如一些陶器、青铜器、玉
器、丝织品等,上面都有设计精巧的图案.文物中的几何元素,不仅体现
了我国古人的数学智慧,也反映了他们对几何美学的深刻理解与熟练应
用.这些瑰宝是中华民族的骄傲,印证了我国在几何学领域的重要历史贡
献,为世界几何学发展史书写了璀璨的篇章.
新石器时代 商
舞蹈纹彩陶盆 后母戊鼎
战国 北朝
玉透雕双夔龙纹佩 方格兽纹锦
58 数学 八年级上册我们已经学过用尺规作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知
角.在此基础上,我们就可以用尺规作三角形了.
由三角形全等的判定可以得知 利用每一种判定两个三角形全等的条
,
件 都只能作出唯一的三角形.
(SSS,SAS,ASA,AAS),
例 已知三边 用尺规作三角形.
,
如图 已知线段a b c 求作 ABC 使AB c BC a
13.4 1, , , , △ , = , = ,
AC b.
=
图
13.4 1
分析 由作一条线段等于已知线段 能够作出边AB 即A B两点确
: , , ,
定.由BC a AC b 故以点A为圆心 b为半径画弧 再
= , = , 、 ,
以点B为圆心 a为半径画弧 两弧的交点就是点C.
、 ,
作法
:
第十三章 全等三角形 59.已知两边及其夹角 用尺规作三角形.
1 ,
如图 已知线段a b α 求作 ABC 使BC a AC b
13.4 2, , ,∠ , △ , = , = ,
ACB α.
∠ =∠
图
13.4 2
.已知两角及其夹边 用尺规作三角形.
2 ,
如图 已知 α β 线段a 求作 ABC 使BC a
13.4 3, ∠ ,∠ , , △ , = ,
ABC α ACB β.
∠ =∠ ,∠ =∠
图
13.4 3
.已知线段a 求作 ABC 使AB BC AC a.
1 , △ , = = =
第 题
( 1 )
.已知线段a和 α 求作 ABC 使AB AC a A α.
2 ∠ , △ , = = ,∠ =∠
第 题
( 2 )
.如何作一个三角形与已知三角形全等 请思考作图依据并与同学
3 ?
交流.
60 数学 八年级上册M
组
A
.已知线段a,b,求作 ABC,使AB AC a,BC b.
1 △ = = =
第 题
( 1 )
.已知线段a,b和直角α,求作直角三角形ABC,使 C α,BC a,
2 ∠ =∠ =
AC b.
=
第 题
( 2 )
组
B
.已知线段a,直角α和锐角 β ,求作直角三角形ABC,使 C α,
3 ∠ =∠
A β ,BC a.
∠ =∠ =
第 题
( 3 )
第十三章 全等三角形 61利用三角形全等测距离
测绘学是一门古老的科学,在我国源远流长,自有文字记载就有关于测
绘的记述.《史记·夏本纪》上说,大禹治水,“左准绳,右规矩,载四时,
以开九州,通九道……”春秋战国时,测绘地图已普遍应用于军事领域.
《管子·地图第二十七》说:“凡兵主者,必先审知地图……然后可以行军袭
邑,举错 (措)知先后,不失地利,此地图之常也.”
古人测量河宽的方法:先面向河对岸站好,然后调整帽子,使视线通过
帽檐正好落在对岸岸边;接着,保持头部姿势不变,向后转,这时视线落在
了自己所在岸上的某一点;最后,用步测出自己与那个点之间的距离,这个
距离就是河宽,如下图所示.这实际上就是利用了三角形全等的判定和
性质.
活动一:
请独立思考,根据古人测量河宽的方法,画出几何图形,写出已知与求
证,并给出证明.
活动二:
小组合作交流,类比古人的方法,设计一个测量学校草坪或花圃宽度的
方案,完成测量数据的记录,并分析测量数据之间的关系,体会古人做法的
合理性.
62 数学 八年级上册一、知识结构

  444


  4"4

  "4"

  ""4
二、总结与反思
本章的主要内容是命题与证明 全等三角形的性质及判定 三角形的尺
、 、
规作图.
推理是数学的基本思维方式 也是一种基本的数学思想方法.在本章
,
中 主要学习演绎推理 即证明.证明是说明一个命题正确性的重要方法.
, ,
证明的依据是已学过的基本事实 定义和定理等.证明要合乎逻辑 证明过
、 ,
程要做到步步有据.
.命题 逆命题 证明.
1 、 、
一般地 命题是由条件和结论两部分组成的.将一个命题的条件和结论
,
互换 就得到这个命题的逆命题.原命题的真假和它的逆命题的真假没有必
,
然的联系.若要判断一个命题是假命题 只要举出反例即可 若要判断一个
, ;
命题是真命题 则需要证明.
,
第十三章 全等三角形 63.全等三角形.
2
全等图形就是能够完全重合的两个图形 而全等三角形是全等图形之一.
,
两个图形全等包含两方面 一是形状相同 二是大小相等.两者缺一不可.
: ,
全等三角形的性质 对应边相等 对应角相等.
: ,
判定两个三角形全等至少要有三个元素分别相等 且其中至少有一个元
,
素是边.判定两个三角形全等的三个基本事实是边边边 边角边 角边角
、 、 ,
判定定理是角角边.
.三角形的尺规作图.
3
已知三边 两边及其夹角 两角及其夹边 或两角及其中一角的对边
、 、 ( ),
都可以用尺规作三角形.
三、注意事项
.用符号表示两个三角形全等时 一般要将对应顶点写在对应的位
1 ,
置上.
.证明过程中的每一步都要有依据.这些依据是已学过的基本事实 定
2 、
义和定理等.
组
A
.如图,AD CF.要使 ABC与 FED全等,应添加哪些条件?
1 = △ △
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,AD与BE相交于点F,BD与CE相交于点G, D E,
2 ∠ =∠
A C,BA BC.求证:AF CG.
∠ =∠ = =
64 数学 八年级上册.小明同学想出了一种测量河宽的方法.要测量河岸两侧A,B两点之间的
3
距离(如图),可以在AB的垂线BF上取两点C,D,使CD CB;再画
=
出BF的垂线DE,使点A,C,E在一条直线上.这时测得的DE的长就
是AB的长.你认为小明同学这样得到的结果正确吗? 为什么?
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.一个三角形工件,现已破碎成如图所示的三部分.选用这三块中的哪一
4
块,就能复原出这个三角形工件? 请说明理由.
.某工件的内槽截面如图所示.利用你所学过的全等三角形
5
的知识,设计一种测量工具,使它能测量出工件内槽的宽
度.请写出你的设计方案和依据. 第 题
( 5 )
组
B
.如 图,在 直 角 三 角 形 ABC 中, C ,
6 ∠ =90°
BAC B,AD 是 BAC 的 平 分 线,
∠ =2∠ ∠
DE AB于点E.那么,AE和BE相等吗? 如
⊥
果相等,请给出证明.
.如图,已知直角 β.利用它作一个直角三角形,
第 题
7 ( 6 )
使该直角三角形的斜边等于已知线段a,一个锐
角等于已知角α.
第 题
( 7 )
第十三章 全等三角形 65.全等三角形对应边上的高相等吗? 如果相等,请写出已知、求证和证明
8
过程.
.如图,已知线段AB,小明用三角板画出了如下的图形:
9
第 题
( 9 )
()直线MN与线段AB垂直吗? 为什么?
1
()AD与BD相等吗? 为什么?
2
组
C
.已知:如图,AB AC,AD AE,BE与
10 = =
CD相交于点P.
()求证:PC PB.
1 =
()求证: CAP BAP.
2 ∠ =∠
()由()的结论,你能设计出一种画角平分 第 题
3 2 ( 10 )
线的方法吗?
.先画一个三边互不相等的 ABC,然后再作一个三角形,使所作的三角
11 △
形和 ABC有一个公共的顶点C,且与 ABC全等.请以尽可能多的方
△ △
法作出图形,并说明全等的理由.
66 数学 八年级上册

 K*UEA@0/ + 
+ J' MP7*K9 L+K0KMU
+D04 B3D+ )8*U U
 >+)UE +8 
U


 0U1! )+D/U 
ED0U2D0U / 
D+ U @@D+% 
2U!D+U!+, 4


ED 0+U++>U
4 +UPA6 D06U
  3* ,>DF
 CM +,>>
!"#& E,>>U!D+P#$
U .+ UEUE +DJ U已知一个数,我们可以求出这个数的平方.反过来,如果已知某个
数的平方,又能否求出这个数呢?
.3的平方等于多少 3的平方等于多少
1 ? - ?
5 5
.平方等于9的数有哪些 平方等于 的数有哪些
2 ? 100 ?
25
.满足x2 的x的值是多少
3 =25 ?
一般地 如果一个数x的平方等于a 即x2 a 那么这个数x就叫作a
, , = ,
的平方根 也叫作a的二次方根.
(squareroot),
例如 9的平方根为3和 3 的平方根为 和 的平方根
, - ,100 10 -10,25
25 5 5
为 和 .
5 -5
.填写下表
1 :
x 3 3
… -3 - -1 0 1 3 …
2 2
x2
… …
.观察上面填写后的表格 探究
2 , :
正数的平方根有几个 它们之间有什么关系
(1) ? ?
有平方根吗 如果有 它是什么数
(2)0 ? , ?
负数有平方根吗
(3) ?
68 数学 八年级上册一个正数有两个平方根,它们互为相反数.
0只有一个平方根,是0本身.
负数没有平方根.
一个非负数a的平方根可记为 a 读作
“± ”,
a实 际 上 是
正负根号a .其中 a称为被开方数.
“ ” ,
2a省略了 “”,所
一个正数a有两个平方根 一个是正数a 读 2
: , 以也可以读作 “二
作 根号a 一个是负数 a 读作 负根号a .
“ ”; - , “ ” 次根号a”.
的平方根是 .
0 0
由此 我们知道 a 其中a .
, : ≥0, ≥0
如 的平方根为 被开方数是 的平方根为 被开方
2 ±2, 2;0.01 ± 0.01,
数是 .
0.01
观察下图 说一说求一个数的平方运算和求一个数的平方根运算具有怎
,
样的关系.
我们把求一个数的平方根的运算 叫作
,
对于正数来说,
开平方
(extractionofsquareroot). 开平方与平方互为
我们可以借助平方运算来求一个正数的平方根
. 逆运算.
例1 求下列各数的平方根
:
36
(1)81; (2) ; (3)0.04.
121
解 因为 所以 的平方根为 即
2
:(1) (±9)=81, 81 ±9,
± 81=±9.
第十四章 实数 69因为 6 2 36 所以36的平方根为 6 即
(2) ± = , ± ,
11 121 121 11
36 6
± =± .
121 11
因为 所以 的平方根为 即
2
(3) (±0.2)=0.04, 0.04 ±0.2,
± 0.04=±0.2.
填空
1. :
x x2 x x
→ →±
→ 0 0 →
1.21 ±2
→ →
3
± 0.64
2 → →
± 2.1
±3 → →
4
→ 0.16 9 →
回答下列问题
2. :
是 的平方根吗
(1)12 144 ?
的负的平方根是哪个数
(2)169 ?
是 的平方根吗
(3)±0.3 0.9 ?
哪个数的平方根只有一个
(4) ?
M
组
A
填写下表:
1.
x 5
5 -
4
x2 25 -6
0.36 0.09 10
4
70 数学 八年级上册.判断下列说法是否正确,并说明理由.
2
() 是 的平方根. () 的平方根是 .
1 1 1 2 1 1
()( ) 2 的平方根是 . () 的平方根是 .
3 -2 -2 4 -1 -1
.求下列各数的平方根:
3
() ; () ; ()81; () .
1 225 2 1600 3 4 0.0144
49
组
B
一个正方形鱼池的边长是 ,另一个正方形鱼池的面积比它大
4. 60m
求较大鱼池的边长
2
4500m . .
学校小会议室的面积为 ,小亮数了一下地面铺的正方形地板砖,
2
5. 18m
正好是 块 求每块地板砖的边长
50 . .
组
C
已知正数a的两个不同的平方根分别是x 和 x .求a的值.
6. +2 3 -10
一个正数的两个平方根互为相反数.我们把一个正数a的正的平方根a
叫作a的算术平方根
(arithmeticsquareroot).
当求得一个正数的算术平方根后 它的负的平方根可相应求得
, .
例如 的算术平方根为 它的负的平方根
,9 3, 对 于 正 数 a,
就是 即
-3,
a表示其算术平
9=3,- 9=-3. 方根
.
25的算术平方根为5 它的负的平方根就是 5 即
, - ,
4 2 2
25 5 25 5
= ,- =- .
4 2 4 2
的平方根只有一个 就是 我们也说 的算术平方根为 即
0 , 0, 0 0,
0=0.
第十四章 实数 71求下列各数的算术平方根
:
4 2 2
(1)144; (2)0.01; (3) ; (4)13; (5)(-16).
49
由平方根的意义 易知 当a 时 a2 a.
, : >0 , =
例2 计算下列各式
:
9 2
(1) 1.69; (2)- 225; (3)± ; (4)- (-17).
49
解
2
:(1) 1.69= 1.3 =1.3.
2
(2)- 225=- 15 =-15.
2
9 3 3
(3)± =± =± .
49 7 7
2 2
(4)- (-17)=- 17 =-17.
例3 某小区有一块长方形草坪 为了加强保护 小区管理人员准备用篱笆
. ,
沿草坪边缘将其围起来 已知该长方形草坪的长是宽的 倍 草坪的
. 4 ,
面积是 求所需篱笆的总长度
2
900m . .
解 设这块长方形草坪的宽为x 则长为 x
: m, 4 m.
因为长方形草坪的面积是 所以
2
900m ,
x x
4 · =900,
即
x2
=225.
72 数学 八年级上册所以x
2
=± 225=± 15 =±15.
x 不合题意 舍去
=-15 , .
所以x
=15,2×(15+4×15)=150(m).
答 所需篱笆的总长度是
: 150m.
求下列各式的值
1. :
1 81
(1) 256; (2) ; (3)± ;
144 4
(4)- 0.16; (5) 2500; (6)- 0.0049.
求下列各数的算术平方根
2. :
25
(1) ; (2)0.0001; (3)900;
121
169 -2 2
(4) ; (5)2 ; (6)(-2).
16
.求下列各式中x的值
3 :
x2 x2 25 x2 .
(1) =64; (2) = ; (3) =1.21
81
M
组
A
求下列各数的算术平方根:
1.
() ; () ; ()49; () 3 2; () 5 2 .
1 36 2 0.16 3 4 5 -
64 2 13
.求下列各式的值:
2
() ; () 1;
1 8100 2 - 2
4
() 25; () .
3 ± 4 0.0121
196
第十四章 实数 73.()一个正数的平方等于 ,求这个数.
3 1 196
()一个负数的平方等于121,求这个数.
2
36
()一个数的平方等于 ,求这个数.
3 1.44
组
B
求下列各式中x的值:
4.
() x2 ; () x2 ;
1 2 =128 2 -36=0
() x2 ; () (x ) 2 .
3 9 -1=24 4 4 +1 -81=0
一个正方体的表面积是 ,求这个正方体的棱长
5. 486 .
组
C
用一个边长为 的正方形和五个边长为 的正方形可以拼成一个大正方
6. 2 1
形吗? 如果能拼成,请画出所拼大正方形的示意图,并直接写出大正方
形的边长
.
74 数学 八年级上册利用数的平方运算可以求出一个数的平方根 那么,已知一个数的
.
立方,能不能求出这个数呢?
如图 已知小正方体的棱长为 那
14.2 1, 2,
么它的体积是多少 反过来 如果大正方体的体
? ,
积V 你能不能求出它的棱长x呢
=27, ?
小亮是这样想的 由已知小正方体的棱长为
:
图
可以求出它的体积为 3 同样 根据正方 14.2 1
2, 2=8; ,
体的体积公式以及立方运算 由大正方体的体积 也可以求出它的棱长.
, ,
他是这样做的 因为
:
3
3=27,
所以 这个大正方体的棱长为 .
, 3
你认为小亮的想法和做法有没有道理 你是怎么做的
? ?
求满足下列各式的x的值
:
x3 x3 x3 x3 1 .
(1) =8; (2) =-64; (3) =0.027; (4) =-
125
一般地 如果一个数x的立方等于a 即x3 a 那么这个数x就叫作
, , = ,
a的立方根 也叫作a的三次方根.
(cuberoot),
例如 的立方根为 的立方根为 1 的立方根为
,-64 -4,0.027 0.3,-
125
1.
-
5
第十四章 实数 75.一个正数有几个立方根 正数的立方根是正数还是负数
1 ? ?
.一个负数有几个立方根 负数的立方根是正数还是负数
2 ? ?
. 的立方根是什么数
3 0 ?
一个正数有一个正的立方根.
一个负数有一个负的立方根.
0的立方根是0.
我们把数a的立方根用符号 3a 来表示 读作 三次根号a .其
“ ” , “ ”
中 a称为被开方数 称为根指数.
, ,3
3
例如 3 3 3 1 1.
, 8=2, -64=-4, 0.027=0.3, - =-
125 5
求一个数的立方根的运算 叫作开立方 .
, (extractionofcubicroot)
开立方和立方互为逆运算.借助立方运算 可以求一个数的立方根.
,
例1 求下列各数的立方根
:
8 64 .
(1) ; (2)- ; (3)-0.008
27 125
解 因为 2 3 8 所以8的立方根为2 即
:(1) = , ,
3 27 27 3
3
8 2.
=
27 3
因为 4 3 64 所以 64的
(2) -
5
=-
125
, -
125
负数没有平方根,
立方根为 4 即
但是它有立方根.
- ,
5
3
64 4.
- =-
125 5
因为 所以 的立方根为 即
3
(3) (-0.2)=-0.008, -0.008 -0.2,
3 .
-0.008=-0.2
76 数学 八年级上册易见 3a3 a 3 a 3a.
: = , - =-
这样 求一个负数的立方根 可以先求这个负数的绝对值的立方根 再
, , ,
取它的相反数.
例2 求下列各式的值
:
3
3 6 1 .
(1) -10 ; (2) -
216
解 3 6 3 6 2 .
:(1) -10 =- 10 =-10=-100
3 3 3
3
1 1 1 1.
(2) - =- =- =-
216 216 6 6
.求下列各数的立方根
1 :
1 27.
(1)- ; (2)0.008; (3)-125; (4)
8 64
.求下列各式的值
2 :
3 3 3
(1) (-3); (2)- 1000;
3
27 3 .
(3) - ; (4) 0.343
1000
M
组
A
求下列各数的立方根:
1.
() ; () ; () 8 ; ()64
1 -216 2 -0.125 3 4 .
343 125
求下列各式的值:
2.
3 3
()3 ; () 8; () 27
1 -729 2 - 3 - .
27 64
.求下列各式中x的值:
3
()x3 ; ()x3 2 ; ()x3 .
1 =0.343 2 = -8 3 =-512
第十四章 实数 77组
B
有两个正方体纸盒,第一个纸盒的棱长是 ,第二个纸盒的体积比第
4. 6cm
一个纸盒的体积大 求第二个纸盒的棱长
3
127cm . .
已知一个底面为正方形的长方体,高是底面边长的 倍,体积为
3
5. 2 432cm.
求这个长方体的表面积
.
()一条线段的长为a 若将它的长扩大到原来的 倍,则线段的长变
6. 1 . 3
为多少?
()一个正方形的边长为a 若将它的边长扩大到原来的 倍,则正方
2 . 3
形的面积变为多少?
()一个正方体的棱长为a 若将它的棱长扩大到原来的 倍,则正方
3 . 3
体的体积变为多少?
78 数学 八年级上册学习了平方根和立方根之后,我们发现有些有理数的平方根、立方
根不是有理数.所以,数的范围需要继续扩充.
如图 在纸上画一个两条直角边都是 的直角三角形ABC
14.3 1(1), 2cm ,
然后剪下这个直角三角形 再沿斜边上的高CD剪开 拼成如图
, , 14.3 1(2)
所示的正方形.那么 这个正方形的边长是多少呢
, ?
 
图
14.3 1
因为S △ ABC = 1 ×2×2=2(cm 2 ), 所以S 正方形 =2 cm 2.
2
如果设正方形的边长为x 那么x2 .因为正方形的边长是正数
cm, =2 ,
所以x是 的算术平方根 即
2 ,
x .
= 2
是一个什么样的数呢
2 ?
. 是整数吗 的平方等于 吗 你认
1 2 ? -3,-2,-1,0,1,2,3 2 ?
为有平方后等于 的整数吗
2 ?
. 是分数吗 5 2 1 1 1 1 2 5的平方等于
2 2 ? - ,- ,- ,- , , , ,
3 3 3 2 2 3 3 3
吗 你认为有平方后等于 的分数吗
2 ? 2 ?
第十四章 实数 79借助计算机可以得到
.
2=1.414213562373095048801688724209698078569…
它是一个无限不循环小数.
我们早就认识的圆周率 它也是一个无限不循环小数
π, :
.
π=3.1415926535897932384626433832795028841971…
.分数1 1 22 1写成小数的形式分别为
1 ,- , ,-6
2 3 7 8
1 1 · 22 · · 1 .
=0.5,- =-0.3, =3.142857,-6 =-6.125
2 3 7 8
任意一个分数都能写成小数的形式吗
?
.有限小数或无限循环小数 · ·· 写成分数的形式
2 0.4,0.81,0.5,3.15
分别为
4 2 81
0.4= = , 0.81= ,
10 5 100
· · 1 .·· .··
0.5=0.5×(10-1)× 315=3+015
9
· · 1 .·· 1
=(5.5-0.5)× =3+015×(100-1)×
9 99
1 15
=5× =3+
9 99
5 5.
= , =3
9 33
任意一个有限小数或无限循环小数都能写成分数的形式吗
?
我们知道 整数和分数统称为有理数.整数可以看成分母为 的分数
, 1 ,
如 5.
5=
1
事实上 任意一个有理数总可以写成有限小数或无限循环小数的形式
, ,
任意一个有限小数或无限循环小数总可以写成有理数的形式 而 是无
, 2,π
限不循环小数 所以不是有理数.
,
80 数学 八年级上册我们把无限不循环小数叫作无理数 .
(irrationalnumber)
其实 无理数有很多 像
, ,
3=1.73205…, 5=2.23606…, 6=2.44948…,
3 3 3
2=1.25992…, 3=1.44224…, 10=2.15443…,
每两个 之间依次多一个
1.212212221…( 1 2)
等 都是无限不循环小数 它们都是无理数.
, ,
无理数包括正无理数和负无理数.如 等 都是正
2,π, 3, 5, 7 ,
无理数 等 都是负无理数.
;- 2,-π,- 3,- 5,- 7 ,
一般地 如果a是一个正无理数 那么 a是一个负无理数.
, , -
我们把有理数和无理数统称为实数 .
(realnumber)
.判断下列说法正确与否.如果不正确 请举反例说明.
1 ,
无限小数都是无理数.
(1)
无限小数都是实数.
(2)
带根号的数都是无理数.
(3)
实数都是有理数.
(4)
实数都是无理数.
(5)
.下列各数中 哪些是有理数 哪些是无理数
2 , , ?
··
3 2 3 π
8,0.8482,- , -6, , 10,0.015,
13 2
每两个 之间依次多一个 .
2.12112111211112… ( 2 1)
M
组
A
.下列各数中,哪些是有理数,哪些是无理数?
1
·
, , , ,3 ,4,3 , .
7 3.14 2.8 11 12 4 - 9
7
.把一个底面半径为 、高为 的圆柱形铁质毛坯锻造成一个正方
2 1cm 4cm
体零件.求这个正方体零件的棱长.( 取 ,损耗忽略不计)
π 3
第十四章 实数 81组
B
已知一个小正方体的棱长是 ,一个大正方体的体积是小正方体体积
3. 5cm
的 倍 求大正方体的棱长
2 . .
判断下列说法是否正确 若正确,请说明理由;若不正确,请举例说明
4. . .
()已知两个实数a,b,则a b a.
1 + >
()两个无理数的和一定是无理数
2 .
组
C
有一个数值转换器,程序如图所示:
5.
第 题
( 5 )
()若输入的x的值为 ,则输出的
y
的值为 ;若输入的x
1 3
的值为 ,则输出的 y 的值为 .
9
()若输入x的值后,经过两次取算术平方根运算,输出的
y
的值为
2
,则输入的x的值为 .
6
()小亮同学输入非负数x的值后,却始终输不出
y
的值.请分析,他
3
输入的x的值为 .
我们知道 任意一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示 那么 无
, . ,
理数能不能用数轴上的点来表示呢
?
.如图 将面积分别为 和
1 14.3 2, 2 3
的两个正方形放置在数轴上 使得正方形的
,
一个顶点和原点O重合 一条边恰好落在数
,
轴正方向上 其另一个顶点分别为数轴上的
, 图
点A和点B. 14.3 2
82 数学 八年级上册线段OA OB的长分别是多少
(1) , ?
点A B在数轴上对应的数分别是哪两个
(2) , ?
.如图 设一枚 角硬币的直径为 个单位长度 将这枚硬币
2 14.3 3, 5 1 ,
放置在平面内一条数轴上 使硬币边缘上的一点P与原点O重合.让这枚硬
,
币沿数轴的正方向无滑动滚动一周 这时点P转到数轴上点P'的位置.
,
图
14.3 3
线段OP'的长是多少
(1) ?
在数轴上与点P'对应的数是哪个
(2) ?
实际上 图 中小正方形的边长是 所以线段OA的长为
, 14.3 2 2, 2,
与点A对应的数是 同理 线段OB的长为 与点B对应的数是
2; , 3, 3;
图 中线段OP'的长等于 与点P'对应的数是 .
14.3 3 π, π
由此可知 无理数 都可以用数轴上的点来表示.在图 所
, 2,3,π 14.3 2
示的数轴上 按负方向取点A' 使OA' OA 则点A'对应的数是 .
, , = , -2
同理可知 无理数 也可以用数轴上的点来表示.
, - 3,-π
事实上 每个有理数或无理数都可以用数轴上的一个点来表示 反过
, ;
来 数轴上的点表示的数是有理数或无理数.
,
实数和数轴上的点是一一对应 的 即每一
(one-to-onecorrespondence) ,
个实数都可以用数轴上的一个点来表示 反过来 数轴上的每一个点都表示
; ,
一个实数.
实数是由有理数和无理数组成的 我们可对实数作如下分类
, :
正有理数
􀮠
有理数
􀮡0
负有理数
实数
􀮢
第十四章 实数 83
􀪁􀪁
􀪁􀪁
􀮠
􀮡
正无理数
无理数
􀮢
负无理数
􀪁􀪁
􀪁􀪁下列各组实数与所对应的数轴上的点如图 所示.
14.3-4
.
(1)4,-4; (2)3,- 3; (3) 5,- 5
图
14.3 4
.这些点到原点的距离分别是多少
1 ?
.类比有理数的绝对值的定义 谈谈实数的绝对值的意义.
2 ,
在数轴上 表示一个实数的点到原点的距离称为这个实数的绝对值.实
,
数a的绝对值记为a .
||
对于符号不同而绝对值相等的两个实数 我们称其中一个数是另一个数
,
的相反数 也称这两个数互为相反数.a的相反数可以表示为 a.
, -
如果两个实数的积为 则称这两个实数互为倒数.
1,
例如 表示 的点到原点的距离是 我们就说 的绝对值是
, - 5 5, - 5
记作 与 两个数符号不同 绝对值相等 我们就
5, - 5 = 5; 5 - 5, , ,
说 是 的相反数 或 是 的相反数 即 与 互为相反数
- 5 5 , 5 - 5 , 5 - 5 ;
1 我们就说 与1互为倒数.
5× =1, 5
5 5
.把下列各数分别填入相应的圈内
1 :
1 22 3 3 .
,0,15, 4,- 2,π,-3.14, ,- 9, 27
2 7
正实数 负实数 有理数 无理数
84 数学 八年级上册.请完成下列表格
2 :
原数 π 3 3
13 - 25 3.14 - 17 -3
2
绝对值
相反数
M
组
A
.已知下列各数:
1
1, , , ,4,3 , , , ,3 .
- 7 3 0 -8 0.205 -π - 15 -16
2 3
其中,有理数有 ,无理数有 ,
正实数有 ,负实数有 .
.如图,已知A,B,C,D四点在一条没有标明原点和单位长度的数轴
2
上,且AB BC CD.
= =
第 题
( 2 )
()若点A和点C表示的两数互为相反数,则原点为 .
1
()若点B和点D表示的两数的绝对值相等,则原点为 .
2
()若B为原点,点A表示的数为 ,则点D表示的数为 .
3 -3
组
B
.判断下列说法正确与否.如果不正确,请举例说明.
3
()所有有理数都可用数轴上的点来表示.
1
()数轴上所有的点表示的数都是有理数.
2
()数轴上所有的点表示的数都是实数.
3
.如图,在 ABC中,AC BC, C .
4 △ = ∠ =90°
()如果S ,求AC的长.
ABC
1 △ =1
()如果S ,求AC的长.
ABC
2 △ =3 第 题
( 4 )
第十四章 实数 85组
C
.将直径为 的半圆(半圆的弧长为圆周长的一半)按如图所示的方式放置在
5 2
数轴上,使直径的一端点P与原点O重合,直径与数轴垂直.让半圆沿
数轴的正方向无滑动滚动至点P第一次落在数轴上,这时点P转到数轴
上点P'的位置.那么,点P'对应的实数是多少? 它是有理数还是无理数?
0

1
第 题
( 5 )
.在图 所示的问题情境中 由两个正方形的面积 和 的大
1 14.3 2 , (3 2)
小 能不能比较它们边长 和 的大小
, (3 2) ?
.将面积分别为a和ba b 的两个正方形 按图 所示的方
2 (> ) , 14.3 2
式摆放 它们的边长 a和b的大小关系是怎样的
, ?
一般地 已知两个正数a和b 如果a b 那
, , > ,
借助数轴,也
么 a b 反过来 如果 a b 那么a b.
> ; , > , > 可以比较实数的
数轴上的两点 右边的点表示的数大于左边的
, 大小.
点表示的数.
请根据图 所示的数轴上点的位置 将下列各数按从小到大的顺
14.3 5 ,
序用 排列起来.
“<”
.
- 3, 2,3, 3,0, 5,- 8,- 5

8 
5 
3 0 2 3 5 3
图
14.3 5
86 数学 八年级上册例1 比较下列各组中两个数的大小
:
2和 和 .
(1)2 7; (2)- 10 -π
3
解 因为 2 2 8 2 64 2 63 而
:(1) 2 = = ,(7)=7= ,
3 3 9 9
64 63
> ,
9 9
所以
64
> 7,
9
即 2 .
2 > 7
3
因为 而
2 2 2 2
(2) (10)=10,π=(3.14159…)<3.15=9.9225,
2
10>9.9225>π,
所以
10>3.15>π,
即
10>π.
从而
.
- 10<-π
例2 判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间
:
32.
(1) 5; (2)-
3
解 因为
:(1)
4<5<9,
所以
2< 5<3,
即 在 和 之间.
5 2 3
第十四章 实数 87因为
(2)
32
9< <16,
3
所以
32 .
3< <4
3
从而
32
-4<- <-3,
3
即 32在 和 之间.
- -4 -3
3
比较下列各组中两个数的大小
:
和 和 5-1和 .
(1) 5 2; (2) 5-1 1; (3) 0.5
2
究竟有多大呢 我们可以这样做
2 ? :
因为 所以
2 2
1=1,2=4,1<2<4, 1< 2<2;
取 与 之间的一个数 如 而 所
2
1 2 , 1.5,1.5 =2.25, 1<2<2.25,
以
1< 2<1.5;
取 与 之间的一个数 如 而
2
1 1.5 , 1.3,1.3=1.69, 1.69<2<2.25,
所以
1.3< 2<1.5;
取 与 之间的一个数 如 而
2
1.3 1.5 , 1.4,1.4=1.96, 1.96<2<2.25,
所以 .
1.4< 2<1.5
如果精确到 取 与 之间的一个数 如
2
0.1, 1.4 1.5 , 1.45,1.45=2.1025,
而 所以 那么 .这样进行下去
1.96<2<2.1025, 1.4< 2<1.45, 2≈1.4 ,
我们可以得到 的更精确的近似值.
2
类比上面的方法 你能得到3 的近似值吗
, 5 ?
88 数学 八年级上册.判断下列各实数在哪两个相邻的整数之间
1 :
.
3, 13,- 2, 57
.比较下列各组中两个数的大小
2 :
和 1 2和1 1和 2.
(1) 7 6 ; (2) ; (3)- -
2 2 2 3 5
.你知道比较两个实数的大小有哪些方法吗 请结合不同类型的例子
3 ?
说明你的方法 并与同学交流.
,
M
组
A
.分别写出所有符合下列各条件的数.
1
() 和 之间的整数. ()小于 的正整数.
1 - 5 10 2 47
()满足 x 的x的整数值.()大于 且小于 的一个无理数.
3 - 2≤ ≤ 3 4 2 3
.比较下列各组中两个数的大小:
2
() 和 ; () 和 ;
1 - 2 - 3 2 3 3- 2
() 和 4; () 和 .
3 15 3 4 - 7 -2.45
5
组
B
.已知x为整数,且x x .求x的值.
3 < 19+2< +1
.把下列各数按从小到大的顺序用 “ ”排列起来:
4 <
, , , , 5.
5- 2 26 -2+ 2 5 2-
2
组
C
.两个底面均为正方形的长方体,一个高为 ,体积为 ,另一个高为 ,
5 8 27 6
体积为 .请比较这两个长方体的底面边长的大小.
24
第十四章 实数 89无 理 数
远在公元前 年至公元前 年间,古希腊有一个以哲学家、天文
529 400
学家、数学家毕达哥拉斯为代表的学派,他们起初认为:宇宙的一切现象
都能归结为整数或整数之比 整数之比就是分数,也就是说,宇宙的一切
.
现象都能用有理数来表示
.
但是,毕达哥拉斯学派的成员之一希帕索斯( ,约公元前 年
Hippasus 470
前后)发现:正方形的对角线与它的一边之比就不能用两个整数之比来表
示 这个发现使该学派的成员大为惊恐 据说,希帕索斯因为他的发现打
. .
破了毕达哥拉斯学派原来的信条而被同伴们抛入了大海
.
此后,该学派的西奥多罗斯( ,约公元前 公元前 )
Theodorus 465- 399
又证明(按现在的说法)了 , , 等不能表示为两个整数之比
3 5 7 .
这样,希帕索斯的发现得到了承认和验证
.
像这样的不能表示为两个整数之比的数(也就是无限不循环小数),被
称为无理数
.
90 数学 八年级上册在进行实数的计算时,有时需要估计实数的范围或者按一定的精确
度取近似的数 这就是我们将要学习的近似数
. .
下面是小亮两次测量身高情况的示意图
:
根据上面左图读出的数据 小亮的身高是
1. ,
根据上面右图读出的数据 小亮的身高是
由测量产生的
1.63m; ,
这两个数据都是准确的吗
数据,一般都有误
1.628m. ?
差,都不是准确数
中的三个数字 哪些数字是准确的
.
2.1.63 , ,
哪个数字不一定准确 对于 中的四个数字
? 1.628 ,
哪些数字是准确的 哪个数字不一定准确
, ?
通常 我们用 来表示小亮的身高就足够了
, 1.63m .
例如 根据计算要求 一般取 等作为它的近似值 又如
2, , 1.4,1.414 .
一般取它的近似值 等
π, 3,3.14,3.1416 .
像这样 接近实际的数或在计算中按要求所取的与某个准确数接近的
,
数 我们称它为近似数
, (approximatenumber).
第十四章 实数 91下列情境中的各数 哪些是准确数 哪些是近似数
, , ?
妈妈花 元钱买了 香蕉
(1) 10 2kg .
某教学楼共有 层 每层楼梯都有 级台阶 经测量 每级台阶
(2) 5 , 28 . ,
的高都是 则教学楼的高度是
12cm, 5×28×0.12=16.8(m).
小亮用直尺测得一本数学课本的厚度是 由此 他认为
(3) 1.05cm, ,
本这样的数学课本摞起来的高度就是
10 10.5cm.
除了测量 在生产与生活中也会经常遇到或用到近似数 例如 年
, . ,2024
我国国内生产总值达 亿元 同比增长 这里的 亿
1349084 , 5.0%. 1349084
是统计得到的近似数 是计算得到的近似数
,5.0% .
在很多情况下 常采用四舍五入法得到一个数的近似数
, .
例 将圆周率 以及 按下列要求取近似数
π 4π :
精确到个位 精确到十分位
(1) ; (2) .
解 的十分位 即小数点后面第一位 上是 按四舍五入法应
:(1)π ( ) “1”,
舍去 所以
, π≈3.
4π≈3.1×4=12.4≈12.
的百分位 即小数点后面第二位 上是 按四舍五入法应
(2)π ( ) “4”,
舍去 所以
, π≈3.1.
4π≈3.14×4=12.56≈12.6.
一般地 一个近似数四舍五入到哪一位 就说这个数精确到哪一位 需
, , .
要计算后取近似数的 计算过程中所取的近似数的位数要比结果多一位
, .
用计算器求下列各式的近似值 结果精确到
:( 0.001)
3
3
7 3 5 7
(1) ; (2) 120; (3) - ; (4) .
13 8 8
92 数学 八年级上册下列各数 哪些是准确数 哪些是近似数
1. , , ?
王敏同学的身高是
(1) 1.72m.
小明家里有 口人
(2) 4 .
检查一双没洗过的手 发现带有各种细菌 万个
(3) , 80 .
我国的人口有 亿
(4) 14 .
用四舍五入法写出下列各数的近似数
2. :
精确到 精确到
(1)1.538( 0.01); (2)0.3654( 0.001);
精确到十分位 精确到个位
(3)15.96( ); (4)257.47( ).
用计算器求下列各式的近似值 结果精确到
3. :( 0.001)
3
(1) 50; (2) 5;
3
3 5
5 15
(3) ; (4) - .
4 7
M
组
A
下列各数都是用四舍五入法得到的近似数,请写出它们各是精确到哪
1.
一位:
()某地区成年男性的平均身高为 ,平均体重为
1 1.697m 67.7kg.
() 年我国城镇居民家庭人均可支配收入为 元
2 2024 54188 .
()珠穆朗玛峰是世界第一高峰,海拔为
3 8848.86m.
将 按要求取近似数:( …)
2. 5 5=2.23606797
()精确到个位;
1
()精确到百分位;
2
()保留四位小数
3 .
第十四章 实数 93组
B
一个圆形游泳池的直径为 求这个圆形游泳池的面积 ( 取
3. 32.7m. . π
,结果保留两位小数)
3.14
已知自由落体运动公式h 1gt2.其中,g(/
2
)是重力加速度,取
g
4. = ms =
2
/
2
,t()是物体降落的时间,h( )是物体在时间t内降落的高度
9.8ms s m .
如果h , 那么物体降落的时间t是多少秒? (结果精确到 )
=300m 0.1s
.一根圆柱形一次性筷子的底面圆直径为 ,高为 .请估计加
5 0.4cm 20cm
工 万双这样的一次性筷子需要多少立方厘米的木材.若要生产这
1000
些筷子,需要用多少根半径为 、高为 的圆柱形木材? ( 取
0.1m 1m π
,损耗忽略不计)
3.14
组
C
某喷水池中央的顶端放置了一个大理石球,已知球的质量公式为m
6. =
4r3ρ.其中,m( )表示球的质量,r( )表示球的半径,
ρ
( /
3
)为
π kg m kgm
3
大理石的密度.如果球的质量 m 为 ,大理石的密度 ρ 为
400kg
/
3
,那么这个大理石球的半径r是多少? ( 取 ,结果精
2600kgm π 3.14
确到 )
0.01m
第 题
( 6 )
94 数学 八年级上册圆周率 的近似值
π
同一个圆的周长与它的直径之比是一个定值,叫作圆周率,用 来表
π
示 它是一个无理数 几千年来,人们为了寻求更精确的 的近似值,进
. . π
行了不懈的研究
.
在我国古代,人们早就有 “周三径一”的说法 这是人们为 确定的
. π
第一个近似值,即
π≈3.
公元前 年左右,古希腊数学家阿基米德( ,公元
250 Archimedes
前 —公元前 )利用计算圆内接正九十六边形和圆外切正九十六边形
287 212
的周长,求得
10 1
3 <π<3 .
71 7
公元 年,我国数学家刘徽运用他所创造的 “割圆术”,计算出圆
263
内接正一百九十二边形的面积,得到
64 169
3.14+ <π<3.14+ .
62500 62500
公元 年左右,我国数学家祖冲之( — ,今河北涞水人)求得
466 429 500
3.1415926<π<3.1415927.
祖冲之对 精确计算的纪录,在世界上保持了近千年
π .
世纪到 世纪,国外数学家也在不断进行研究,并将 值计算到
15 19 π
了小数点后 多位
800 .
从 世纪中叶起,人们开始用计算机计算 的近似值,其纪录不断被打
20 π
破 到 年,有人已用计算机把 的近似值精确到小数点后第 亿位
. 1999 π 2061 .
现在,这样的计算主要是用于衡量计算机的运算速度和精确度
.
第十四章 实数 95一、知识结构
二、总结与反思
在本章中 我们认识了无理数 把数从有理数扩充到了实数.实数与数
, ,
轴上的点具有一一对应关系 任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表
:
示 反过来 数轴上任意一点都表示一个实数.这种对应关系使得 数 与
; , “ ”
形 紧密结合起来 充分体现了 数形结合 的数学思想 为数学研究带
“ ” , “ ” ,
来很大方便.
.有理数包括整数和分数 无理数是无限不循环小数.有理数和无理
1 ;
数统称实数.
.平方与开平方互为逆运算 立方与开立方互为逆运算.我们通常借助
2 ,
于平方运算来求一个非负数的平方根 借助于立方运算来求一个数的立方根.
,
在实数范围内 非负数开平方和任意数开立方都是有意义的.
,
.在实数范围内 绝对值 相反数 倒数的意义和它们在有理数范围
3 , 、 、
内的意义是一样的.在数轴上 互为相反数的两个实数对应的点分别在原点
,
的两侧 它们到原点的距离相等.
,
.在比较实数大小时 经常用到 如果 a b 那么 a b.
4 , : 0≤ < , <
.近似数.通常按四舍五入法 根据要求的精确度 对一个数取其近似值.
5 , ,
三、注意事项
对于实数 特别是其中的无理数 在很多情况下是取它的近似值.在实际
, ,
问题或有关计算中 只要满足精确度的要求 有关的数就可以用其适当的近似值
, ,
来代替.在运算过程中取的近似值 要比最终需要保留的近似值多取一位小数.
,
96 数学 八年级上册组
A
求下列各数的算术平方根和平方根:
1.
() ; () ; ()25; () ; ()9; () 2 2
1 36 2 0.64 3 4 7 5 6 - .
16 2 3
求下列各数的立方根:
2.
() ; ()1; () ; ()( )
3
; () 27; ()
3
1 -1 2 3 0.125 4 -3 5 - 6 4.
8 125
求下列各式的值:
3.
() 13; () 25; () 3 10 3 ; () 3 5 3
1 1 2 - 3 4 .
36 144 27 6
下列各数,哪些是无理数?
4.
, , , , ,3 ,3 ,22
3.14 2 π 1.414 4 2 8 .
7
求下列各数的绝对值:
5.
,3 , , ( )
2
,π
- 0.1 -6 1- 3 - -2 -1.2.
3
比较下列各组中两个数的大小:
6.
() 和 ; () 和 ; () 和9; () 和3
1 8 3 2 -1.4 -2 3 5 4 27 27.
4
一个圆柱的体积是 ,且底面圆的直径与圆柱的高相等 求这个圆
3
7. 54πm .
柱的底面半径
.
求下列各式中x的值:
8.
()x2 ; ()x2 ; () x3 ; ()x3 .
1 =81 2 2 -3=29 3 -4 =108 4 8 -5=22
组
B
.用平方根表示下列各式中的x:
9
()x2 ; ()x2 ; ()x2 ; ()x2 .
1 =2 2 =6 3 2 =7 4 2 -1=9
第十四章 实数 97.用立方根表示下列各式中的x:
10
()x3 ; ()x3 ; ()x3 ; ()x3 .
1 =2 2 =-7 3 3 =12 4 2 -1=11
.有一个面积为
2
的正方形纸片.如果将它做成一个圆柱的侧面,
11 64cm
那么这个圆柱的底面圆的半径是多少厘米? (结果保留一位小数)
.某地拟在广场中心建一个面积为
2
的花坛,花坛四周用铁栏杆围
12 100m
成.有两种建造方案:正方形和圆形.从节省材料的角度考虑,应选择
哪种方案? ( 取 )
π 3.14
.()填空: , .(填 “ ”“ ”或 “ ”)
13 1 1 2 2 3 < > =
()由()中的结果可知: , .
2 1 1-2 = 2-3 =
()计算: … .
3 1-2 + 2-3 + 3-4 + + 2023- 2024
(结果保留根号)
组
C
.已知x2 , y2 ,求x y 的值.
14 -9=0 16 -1=0 +
.如图,在直角三角形ABC中, B ,AB ,BC ,点P从
15 ∠ =90° =5cm =6cm
点B开始沿BA以 / 的速度向点A运动,同时,点Q从点B开始沿
1cms
BC以 / 的速度向点C运动.那么几秒后, PBQ的面积为
2
?
2cms △ 9cm
第 题 第 题
( 15 ) ( 16 )
.如图,有一边长为 的正方形客厅,它的地面由黑、白两种完全相
16 5m
同的正方形大理石方砖密铺而成.客厅四角上的三角形地砖面积均是大
理石方砖面积的1,客厅边上的三角形地砖面积均是大理石方砖面积的
4
1.求这种大理石方砖的边长.(结果精确到 )
0.01m
2
98 数学 八年级上册我们已经学习了数的开平方,并用 a(a )表示非负数a的算术
≥0
平方根.现在,我们学习二次根式及其性质.
. 8 3的算术平方根是怎样表示的
1 (1)2,18, , ?
15 10
非负数m p q t2 的算术平方根又是怎样表示的
(2) , + , -1 ?
.学校要修建一个占地面积为b
2
的圆形喷水池 它的半径应为多少
2 m ,
米 如果在这个圆形喷水池的外围增加一个占地面积为a
2
的环形绿化带
? m ,
那么所成大圆的半径应为多少米
?
在上面的问题中 我们得到了 8 3 m p q
, 2, 18, , , , + ,
15 10
b b a
t2 + 等式子 它们分别表示某个非负数的算术平方根.
-1, , ,
π π
我们把形如 aa 的式子叫作二次根式 .
(≥0) (quadraticradical)
.小亮和小颖对二次根式 aa 分别有如下观点.你认同小亮
1 “ (≥0)”
和小颖的观点吗 请举例说明.
?
100 数学 八年级上册小亮的观点 小颖的观点
因为 a表示的是非负 因为 a表示的是非负数a
数a的算术平方根,所以, 的算术平方根,所以,根据算术
根据算术平方根的意义,有 平方根和被开方数的关系,有
a . (a) 2 a.
≥0 =
.计算 a2 a 并与同学交流你的结果.
2 (≥0),
事实上 对于二次根式 有
, ,
aa 是一个非负数
(≥0) ,
a 2 aa
( )= (≥0),
a2 aa .
= (≥0)
化简
:
2
2 5 2 2 3 .
(1) 3 ; (2) ; (3) 5 ; (4)
2 4
例1 化简
:
2
1 .
(1) 0.04; (2) 3
9
解 2 .
:(1) 0.04= 0.2 =0.2
2
1 􀭠 1 2
(2) 3 = 3×
9 􀭡 3
第十五章 二次根式 101
􀪁􀪁􀪁
􀭤
􀭥
􀪁􀪁􀪁 2
1 2 2 .
= 3× =1=1
3
化简
:
2
2 2 7 .
(1)(2); (2) 0.04 ; (3) 0.64; (4) 2
8M
组
A
.化简:
1
() 2 ; () 8 2 ;
1 9 2
17
() ; () 4
2
.
3 121 4
25
.化简:
2
() 3 2 ; ()( )2; ()􀭠 2 2
1 4 2 10 1.69 3
16 􀭡 3
102 数学 八年级上册
􀪁􀪁􀪁 􀭤
􀭥
􀪁􀪁􀪁 2 .
组
B
.做一个面积为
2
的长方形镜框,使其长与宽的比为 .那么镜
3 300cm 3∶2
框的宽应为多少厘米?
.有边长分别为a 和b 的两个正方形,还有一个大正方形,其面积
4 cm cm
为这两个正方形的面积之和.那么,这个大正方形的边长是多少厘米?
当a ,b 时,这个大正方形的边长又是多少厘米?
=3cm =4cm
组
C
.一个物体从高处自由落下,落到地面所用的时间t(单位: )与其开始落
5 s
下的高度h(单位: )满足关系h t2.
m =5
()用含有h的式子表示t.
1
()当h的值分别为 , , , , 时,得到的t的值分别是什么?
2 0 10 15 20 25
t的值是怎样变化的?.计算下列各组算式 对比它们的结果 你能得到什么结论 请根据
1 , , ?
你得到的结论 对 a b和 a b a b 的关系提出你的猜想
, · · (≥0, ≥0) ,
并说明理由.
× = × =
4 9 , 4 9 ;
× = × =
16 25 , 16 25 ;
× = × = .
36 49 , 36 49
.计算下列各组算式 对比它们的结果 你能得到什么结论 请根据你得
2 , , ?
a a
到的结论 对 和 a b 的关系提出你的猜想 并说明理由.
, b
b
(≥0, >0) ,
4 4
= , = ;
9
9
16 16
= , = ;
25
25
36 36 .
= , =
49
49
a a
事实上 a b a b .
, · = · , b=b
理由如下
:
因为当a b 时
(1) ≥0, ≥0 ,
a b 2 a b a b 2 a 2 b 2 a b
( · )= · ,( · )= ( )·( )= · ,
所以
a b a b.
· = ·
因为当a b 时
(2) ≥0, >0 ,
a 2 a a 2 a 2 a
( )
b =b, b = b 2=b,
( )
第十五章 二次根式 103所以
a a
.
b=b
二次根式的性质
1.积的算术平方根等于积中各因数的算术平方根的积,即
a·b=a·b(a 0,b 0).
≥ ≥
2.商的算术平方根等于被除数的算术平方根与除数的算术平方根
的商,即
a a
= (a 0,b 0).
b b ≥ >
例2 化简
:
.
(1)54; (2)50 利用二次根式的性
解 = × = × = . 质,把二次根式的被开
:(1)54 9 6 9 6 36
= × = × = . 方数中能开得尽方的因
(2)50 25 2 25 2 52
例3 化简 数或因式移到根号外.
:
1 4 .
(1) ; (2) ; (3) 40.5
2 3
×
解 1= 1 2= 2= 2= 2. 化简后,二次根
:(1) ×
2 2 2 4 2
4 式的被开方数的因数
×
4= 4 3= 12= 12=23.
是整数,因式是整式.
(2) ×
3 3 3 9 3
9
×
= 81= 81 2= 162= 162=92.
(3)40.5 ×
2 2 2 4 2
4
观察例 例 的化简结果 2 23 92 这些式子有
2、 3 36,52, , , ,
2 3 2
如下两个特点
:
被开方数的因数是整数 因式是整式
(1) , ;
104 数学 八年级上册被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
(2)
我们把满足上述两个条件的二次根式叫作最简二次根式
(simplestquadratic
radical).
二次根式的化简结果应为最简二次根式或整式.
化简
:
2 .
(1) 18; (2) 24; (3) ; (4) 2.5
5
.判断下列二次根式是不是最简二次根式.若不是 请化简.
1 ,
3.
13, 45, 43, 0.2,
4
.化简
2 :
1
(1) 0.5; (2) ;
3
9.
(3) 4.5; (4)
5
M
组
A
.下列二次根式的化简结果是不是最简二次根式? 若不是,请进一步化简.
1
() ; () 28 7; () 3.
1 112=2 28 2 = 3 1.5=
20 5 2
.化简:
2
() ; () ; ()1 .
1 48 2 125 3 72
6
第十五章 二次根式 105组
B
.化简:
3
() 2 ; () 3 ; () 24.
1 3 2 4 3 10
3 8 5
组
C
.阅读材料:已知 ABC的三边长分别为a,b,c,设S为 ABC的面积,
4 △ △
则S p(p-a)(p-b)(p-c),其中,p 1(a+b+c).
= =
2
请根据上面的阅读材料,解答下面的问题:
王大爷承包了一块三角形田地,其三边长分别为 , , .
100m 120m 180m
若每亩的承包价格为 元,则王大爷应支付多少元的承包费? (注:
600 2≈
, 亩 ,结果取整数)
2
1.4 1 ≈666.7m
106 数学 八年级上册我们已经学过整式和分式的乘除运算,那么二次根式怎样进行乘除
运算呢?
我们知道二次根式的性质
:
a b a ba b
· = · (≥0, ≥0),
a a
a b .
b=b (≥0, >0)
反向利用它们 就可以进行二次根式的乘除运算了.
,
二次根式的乘法和除法法则
1.a·b= a·b(a 0,b 0).
≥ ≥
a a
2. = (或a÷b= a÷b)(a 0,b 0).
b b ≥ >
例1 计算下列各式
:
(1) 3× 2;
(2) 8× 32;
.
(3) 20× 50
解 .
:(1) 3× 2= 3×2= 6 二次根式运算
. 的结果,应化为最
(2) 8× 32= 8×32= 256=16
简二次根式.
(3) 20× 50= 20×50= 1000=
.
10 10
第十五章 二次根式 107例2 计算下列各式
:
2 4 8 7 5.
(1) ; (2) ÷ ; (3) ÷
5 5 6 8
3
解 2 2 6 6.
:(1) = = =
3 9 3
3
4 8 4 8 4 5 1 1 2.
(2) ÷ = ÷ = × = = =
5 5 5 5 5 8 2 2
2
7 5 7 5 7 8 28 27 2 105.
(3) ÷ = ÷ = × = = =
6 8 6 8 6 5 15 15
15
在本例的解答过程中 将 2 1 27分别化成了 6 2 2 105
, , , , , ,
3 2 15
3 2 15
也就是将分母中含二次根式的式子化为分母中不含二次根式的式子.像这
样 把分母中的二次根式化去的过程 叫作分母有理化
, , (rationalizationof
.
denominator)
请就小明和大刚分别计算
27
2× 18,
3
的做法给予评价 并谈谈你的想法.
,
小 明的做法 先运算 后化简 大刚的做法 先化简 后运算
( , ) ( , )
解: 解:
2× 18 2× 18
= 2×18 = 2× 2×9
= 36 = 2×32
. .
=6 =6
27 27 . 27 33 .
= = 9=3 = =3
3
3 3 3
108 数学 八年级上册.计算下列各式
1 :
(1) 5× 10; (2)33× 15;
2 6.
(3) ; (4)
12 2
.写出一个无理数 使它与 的积是有理数.
2 , 2
M
组
A
.计算下列各式:
1
() ; () ;
1 9× 64 2 8× 128
() 5; () 5 15.
3 4 ÷
3 6
49
.计算下列各式:
2
() ; () 1;
1 0.4× 3.6 2 14×
7
() 104; () 9.
3 4 45÷
2
13
组
B
.已知一个长方形的长为 ,宽为 .求它的面积.
3 15 3
.现有面积都是
2
的长方形、正方形和圆各一个,其中长方形的长是宽的
4 28cm
倍.试比较它们周长的大小.通过比较,你有什么发现? ( 取 ,
2 π 3.14
可借助计算器进行计算)
第十五章 二次根式 109类比整式加减运算中合并同类项的方法,可以进行二次根式的加减
运算.
请尝试解决下列问题 并将你的做法和同学进行交流.
,
1.
(1)53+23; (2) 12+ 75; (3)67-
7
实际上 对于 有 就像整式加减运算
, (1),
中合并同类项那样,被
.
53+23 = (5+2)3=73 开方数相同的最简二次
含相同二次根式 合并
3 根式也可以合并.
对于 和 同样有
(2) (3),
12+ 75=23+53=(2+5)3=73;
1 7 1 417.
67- =67- =6- 7=
7 7 7 7
二次根式的加减运算 其实就是合并被开方数相同的项.为此 首先应
, ,
将每个二次根式化为最简二次根式 然后将被开方数相同的最简二次根式的
,
项合并.
例1 计算下列各式
:
(1)23-3 12+5 27;
1 .
(2) 8+ 0.5- 0.2-
32
解
:(1) 23-3 12+5 27
=23-63+153
.
=113
110 数学 八年级上册1 在进行二次根式
(2) 8+ 0.5- 0.2-
32
的有关运算时,一般
1 1 1 1 是先将根号下的小数
=22+ - -
2 5 4 2
化成分数.
2 5 2
=22+ - +
2 5 8
212 5.
= -
8 5
计算下列各式
:
1 5 .
(1)2 28-3 63+5 49; (2) 24+ - + 0.96
6 6
例2 计算下列各式
:
1
(1)2 12-3 - 27;
3
1 .
(2)(48-10 0.2)-3 45-
3
解 1
:(1) 2 12-3 - 27
3
=43- 3-33
.
=0
1
(2) (48-10 0.2)-3 45-
3
5 3
=43-10× -3 35-
5 3
=43-25-95+ 3
.
=53-115
第十五章 二次根式 111.判断下列各式的计算结果是否正确
1 :
(1) 3+ 2= 5; (2) 5-2= 5- 2;
36+ 12 .
(3) 4+ 25= 4+25; (4) =3+ 3
2
.计算下列各式
2 :
1 6 .
(1)53-23+ ; (2) 54- + 0.06
3 11
M
组
A
.计算下列各式:
1
() 1 ; () 1 ;
1 3+ 75- 108 2 2-4 + 128
5 8
() 1 ; () 1 .
3 5+ 80- 245 4 12 + 24- 150
4 6
.计算下列各式:
2
() ( ); () 2 1 .
1 18- 2 75- 27 2 24-2 - - 6
3 8
组
B
.已知三角形的三边长分别为 , , .求三角形的周长.
3 7 50 3 72 4 98
.计算下列各式:
4
()1( ) 1( );
1 32+ 64 - 50- 75
2 5
() 1 5 .
2 0.2- 20- - 0.45+ 90
2 4
112 数学 八年级上册类比整式的混合运算,我们可以按一定的顺序进行二次根式的混合
运算.
与数 整式和分式的混合运算一样 二次根式的混合运算也应先算乘
、 ,
除 后算加减 有括号时 先算括号内的.
, ; ,
计算下列各式
:
(1) 3×(6+ 10); (2)(62+3 18)÷ 2;
.
(3)(3-2)(3+2); (4)(6- 3)(6+ 3)
谈一谈你在计算时 用到了哪些运算律和乘法公式.
,
例1 计算下列各式
:
.
(1) 2×(8- 10); (2)(24+ 50)÷ 2
解
:(1) 2×(8- 10)
= 16- 20
.
=4-25
还可以这样计算
:
2×(8- 10)
= 2×(22- 2× 5)
.
=4-25
(2) (24+ 50)÷ 2
= 24÷ 2+ 50÷ 2
= 12+ 25
.
=23+5
第十五章 二次根式 113还可以这样计算
:
(24+ 50)÷ 2
=(26+52)÷ 2
=26÷ 2+52÷ 2
.
=23+5
例2 计算下列各式
:
2.
(1)(5+ 2)(5- 2); (2)(3+1)
解
:(1) (5+ 2)(5- 2)
乘法公式在实
2 2
=(5)-(2) 数范围内也是成
=5-2
立的.
.
=3
2
(2) (3+1)
2 2
=(3)+2× 3×1+1
.
=4+23
计算下列各式
:
2 .
(1)5×(25-3 15); (2)(7-1); (3)(3-2)(12+8)
例3 计算下列各式
:
1 .
(1) ; (2)(5+ 3)(3-3)
2-1
解 1
:(1)
2-1
2+1
=
(2-1)(2+1)
2+1
=
2-1
.
= 2+1
114 数学 八年级上册(2) (5+ 3)(3-3)
2
=53-15+(3)-33
.
=23-12
计算下列各式
:
(1) 5×(15+ 35);
(2)(3 24+ 54)÷ 6;
(3)(13-2 11)(13+2 11);
.
(4)(32- 48)(18-43)
M
组
A
.计算下列各式:
1
()( )( ); ()( ) .
1 2+ 3 32+23 2 15-25 ÷ 5
.计算下列各式:
2
() 1 ; ()2+ 3.
1 2
3+ 7 2- 3
组
B
.已知a 1 ,b .试比较a与b的大小.
3 = =2- 3
2+ 3
. 计算下列各式:
4
() 4 1 ; () 1 1 .
1 - 2 +
2 22+1 8-1 12+1
第十五章 二次根式 115一、知识结构
二、总结与反思
本章主要学习被开方数为 数 的二次根式.因此 所学习的二次根式
“ ” ,
的有关概念以及加 减 乘 除运算 实质上是实数的算术平方根的有关概
、 、 、 ,
念和相关运算.
至此 从整式到分式 再到二次根式 我们对代数式的认识更加丰富了.
, , ,
.二次根式 aa 具有双重意义
1 (≥0) :
对非负数a的开平方运算
(1) ;
表示非负数a的算术平方根.
(2)
.二次根式的性质 都是根据非负数的算术平方根的意义推导出来的
2 , ,
它们分别是
:
a b a b a b
· = · (≥0, ≥0);
a a
a b .
b = b (≥0, >0)
116 数学 八年级上册.最简二次根式应满足的条件是
3 :
被开方数的因数是整数 因式是整式
(1) , ;
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.
(2)
.二次根式的乘除运算法则是
4 :
a b a ba b
· = · (≥0, ≥0);
a a
a b .
b= b(≥0, >0)
.二次根式的加减运算与整式的加减运算相类似 其运算步骤是
5 , :
把二次根式化为最简二次根式
(1) ;
将被开方数相同的最简二次根式进行合并.
(2)
三、注意事项
.在化简二次根式时 往往需要把被开方数分解因数.
1 ,
.当一个式子的分母中含有二次根式时 要进行分母有理化.
2 ,
.二次根式的混合运算 一定要按照这样的顺序进行 先算乘除 后
3 , : ,
算加减 有括号时 先算括号内的.
; ,
.二次根式运算结果中的根式应化成最简二次根式.
4
组
A
.判断下列各式的计算结果是否正确:
1
() ; () 8 2;
1 7+ 3= 10 2 =
3
18
() ; () .
3 23×32=66 4 3- 2=1
.化简:
2
() ;() ;() ;() 1;() 50;() 32.
1 72 2 780 3 375 4 5 6
18 16 45
第十五章 二次根式 117.计算下列各式:
3
() ; ()1 3 1;
1 48+23- 75 2 3+ -6
2 4 3
() ; () 1 .
3 28-5 32-35 4 40-2 + 90
10
.计算下列各式:
4
() ( ); () ;
1 84× - 21 2 2 18÷ 32
() ; () 1 ;
3 5÷ 15× 30 4 72÷3 × 12
2
()( )( ); () ( ) .
5 35+23 35-23 6 48+ 27- 12 ÷ 6
组
B
.计算下列各式:
5
2
() 3 1 2 ; () 2 1 ;
1 - 8- 2 1 - 1
2 2 3 3 4
()( ) 1 ; ()( ) 7 .
3 50+ 32 ÷ 2- 4 63- 28 ÷ +7
8 4
.计算下列各式:
6
() 4 ; () 5 6 .
1 2 -
5-1 13 13-3
.当x 时,求代数式x2 x 的值.
7 = 5-1 +5 -6
组
C
.已知n是正整数, n也是正整数,那么满足条件的n的最小值是多
8 432
少?
x y
.当x 1( ),y 1( )时,求代数式 的值.
9 = 11-3 = 11+3 y+x
2 2
118 数学 八年级上册

L3D/D+ -@UD
/ D  +@@U( E -/D/
 / 


 0U>(*"+/(AU
ED>5("O@0"UD
/ D/ / / +  
BU3 ,3+B)E)U>3+B
)E)U* +/D D/@@ 


ED 0+U6+>>>7&*
+/(AU)?/ +'U*/+
B?,KMU,> )6U/K>
 *@
  'U D/ U /
UU在小学阶段,我们对轴对称已经有了初步认识 现在,我们进一步
.
学习轴对称的性质及其应用
.
如图 观察这几幅图片 它们是不是轴对称的 可通过什么方
16.1 1, , ?
法说明
?
图
16.1 1
一般地 如果一个图形沿某条直线对折后 直线两旁的部分能够完全重
, ,
合 那么这个图形就叫作轴对称图形 这条直线
, (axiallysymmetricfigure),
叫作对称轴
(axisofsymmetry).
轴对称图形是指具有轴对称性的一个图形 两个图形之间有时也具有这
,
种对称性
.
如图 中的两个图形 沿着图中的虚线对折后 这两个图形完全
16.1 2 , ,
重合
.
图
16.1 2
一般地 如果两个图形沿某条直线对折后能够完全重合 那么 我们就
, , ,
称这两个图形成轴对称 这条直线叫作对称轴 关于对称轴对称的点 对称
, . 、
120 数学 八年级上册的线段 对称的角分别叫作对应点 对应线段 对应角
、 、 、 .
如图 ABC与 A'B'C'
16.1 3,△ △
成轴对称 直线l是对称轴.在这两
,
个成轴对称的三角形中 点A 与
,
点A' 点B与点B' 点C与点C'
, ,
图
分别是对应点 线段 AB 与线段 16.1 3
;
A'B' 线段AC与线段A'C' 线段BC与线段B'C'分别是对应线段 A
, , ;∠
与 A' B与 B' C与 C'分别是对应角.
∠ ,∠ ∠ ,∠ ∠
如图 ABC与 A'B'C'成轴对称 直线l是对称轴.
16.1 3,△ △ ,
根据全等图形的意义 判断 ABC与 A'B'C'是否全等.对应线
(1) , △ △
段有怎样的数量关系 对应角呢
? ?
对应点的连线AA' BB' CC'分别与对称轴l有怎样的位置关系
(2) , , ?
由上面的探究可知
,
成轴对称的两个图形是全等图形,对应点的连线被对称轴垂直平分.
成轴对称图形的性质对于轴对称图形同样适用.
垂直且平分一条线段的直线 叫作这条线段的垂直平分线
, (perpendicular
.如图 直线l是线段AA'的垂直平分线 也是线段BB'和
bisector) 16.1 3, ,
CC'的垂直平分线.
线段是轴对称图形 线段的垂直平分线是它的对称轴.
,
例 如图 已知线段AB和直线l.画出线段AB关于直线l的
16.1 4(1),
对称线段.
解 如图 .
: 16.1 4(2)
分别过点A和点B画直线l的垂线段AO和BO' 垂足分别为
(1) ,
O和O'.
第十六章 轴对称和中心对称 121分别延长AO到点A' BO'到点B' 使A'O AO B'O'
(2) , , = , =
BO'.
连接A'B'.
(3)
线段A'B'即为所求.


图
16.1 4
.下列图形中 哪些是轴对称图形 请画出轴对称图形的对称轴.
1 , ?
 
 
第 题
( 1 )
.请画出下列各轴对称图形的对称轴 并指出图中标出的点关于对称
2 ,
轴对称的点.
  
第 题
( 2 )
122 数学 八年级上册M
组
A
.如图.
1
   
第 题
( 1 )
()哪些图形是轴对称图形? 你是怎样判断的?
1
()请把轴对称图形的对称轴画出来.
2
.在下列网格图中,分别画出所给图形关于直线l成轴对称的图形.
2


第 题
( 2 )
.请用折纸的方法剪出图中所示的图案,并试着剪出更美丽的对称图案.
3
第 题
( 3 )
第十六章 轴对称和中心对称 123组
B
.如图,两个四边形关于直线l对称.请在图中标出点A,B,C的对称
4
点A',B',C'.
第 题 第 题
( 4 ) ( 5 )
.如图,直线m是多边形ABCDE的对称轴,其中 A , B .
5 ∠ =130° ∠ =110°
求 BCD的度数.
∠
组
C
.下图是由四个小正方形组成的 形图.在图中添加两个小正方形,将其
6 L
补成轴对称图形,并画出相应的对称轴.请至少写出三种方案.
第 题
( 6 )
124 数学 八年级上册线段是最简单的轴对称图形,它的垂直平分线就是它的对称轴. 本
节我们将探究线段垂直平分线的性质及其应用.
如图 已知线段AB和它的垂直平分线l O为垂足.在直
16.2 1(1), ,
线l上任取一点P 连接PA PB 如图 所示.线段PA和线
, , , 16.2 1(2)
段PB有怎样的数量关系 请提出你的猜想并说明理由.
?
 
图
16.2 1
事实上 因为线段AB是轴对称图形 垂直平分线l是它的对称轴 所
, , ,
以 线段AB沿对称轴l对折后 点A和点B重合 线段PA和线段PB重
, , ,
合 从而PA PB.
, =
对这个猜想的证明如下
:
已知 如图 线段AB和它的垂直平分线l
: 16.2 2, ,
O为垂足 P为直线l上任意一点 连接PA PB.
, , ,
求证 PA PB.
: =
证明 在 PAO和 PBO中
图
: △ △ , 16.2 2
AO BO 垂直平分线的意义
􀮠 = ( ),
POA POB 同上
∵ 􀮡∠ =∠ =90°( ),
PO PO 公共边
􀮢 = ( ),
第十六章 轴对称和中心对称 125
􀪁􀪁
􀪁􀪁
PAO PBO .
∴ △ ≌△ (SAS)
PA PB 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )线段垂直平分线的性质定理
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
例1 如图 古诗描述了一位将军在观望
  
16.2 3,
烽火之后 从山脚A处出发 到河边饮马  
, , ,
再回到宿营地B处的活动过程.那么怎样选
择饮马地点 才能使路程最短
, ?
分析 如图 将河岸抽象为直线l
: 16.2 4, ,
问题便转化为在直线l上选取一点
P 使得线段PA与PB的和最短. 图
, 16.2 3
图 图
16.2 4 16.2 5
解 如图 作点A关于直线l的对称点A' 连接A'B 交
: 16.2 5, , ,
直线l于点P 则AP BP最短.
, +
理由如下
:
点A A'关于直线l对称
∵ , ,
直线l为线段AA'的垂直平分线.
∴
AP A'P 线段垂直平分线的性质定理 .
∴ = ( )
AP BP A'P BP A'B 等量代换 .
∴ + = + = ( )
如图 在直线l上任取一点P' 连接
16.2 6, ,
AP' BP' A'P' 则
, , ,
A'P' BP' A'B 两点之间线段最短 图
+ ≥ ( ), 16.2 6
即AP' BP' A'P' BP' A'B AP BP.
+ = + ≥ = +
AP BP最短.
∴ +
126 数学 八年级上册已知 如图 D E分别是AB AC的中
: 16.2 7, , ,
点 CD AB于点D BE AC于点E.
, ⊥ , ⊥
求证 AC AB.
: =
图
.已知 P Q为线段AB垂直平分线上的两点. 16.2 7
1 : ,
如图 当点P Q 在线段AB 的两侧时 你认为 PAQ 和
(1) (1), , , ∠
PBQ相等吗 为什么
∠ ? ?
如图 当点P Q 在线段AB 的同侧时 你认为 PAQ 和
(2) (2), , , ∠
PBQ相等吗 为什么
∠ ? ?
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.如图 在 ABC中 线段AB的垂直平分线交AB于点D 交AC
2 , △ , ,
于点E AC EBC的周长是 .求BC的长.
, =14,△ 24
M
组
A
.如图,将长方形纸片ABCD对折,使AB和DC重合,E,F分别是折
1
痕与边BC,AD的交点. ABE和 DCE全等吗? 为什么?
△ △
第 题
( 1 )
第十六章 轴对称和中心对称 127.已知:如图, ABC的边AB的垂直平分线与边AC的垂直平分线相交
2 △
于点O.求证:AO BO CO.
= =
第 题
( 2 )
组
B
.如图,在 ABC中,AC的垂直平分线交BC于点D,交AC于点E,
3 △
AE , ABD的周长为 .求 ABC的周长.
=3cm △ 13cm △
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.如图,在 ABC中,BC的垂直平分线交BC于点E,交AB于点D,
4 △
B .求 ADC的度数.
∠ =28° ∠
我们知道 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等 反过来 到
, ; ,
线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上吗
?
.写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题.
1
.结合图 写出这个逆命题的条件和
2 16.2 8,
结论.
.猜想这个逆命题的真假 并试着证明你的 图
3 , 16.2 8
猜想.
128 数学 八年级上册已知 如图 P为线段AB外一点 且PA PB.
: 16.2 9, , =
求证 点P在线段AB的垂直平分线上.
:
证明 设线段AB的中点为O 连接PO并延长.
: ,
在 POA和 POB中
△ △ ,
PA PB 已知 􀮠 = ( ), 图
16.2 9
PO PO 公共边
∵ 􀮡 = ( ),
AO BO 中点的意义
􀮢 = ( ),
第十六章 轴对称和中心对称 129
􀪁􀪁􀪁
􀪁􀪁
POA POB .
∴ △ ≌△ (SSS)
POA POB 全等三角形的对应角相等 .
∴ ∠ =∠ ( )
POA POB 平角的意义
∵ ∠ +∠ =180°( ),
POA 即 POA .
∴ 2∠ =180°, ∠ =90°
直线PO是线段AB的垂直平分线 垂直平分线的意义 .
∴ ( )
点P在线段AB的垂直平分线上.
∴
线段垂直平分线性质定理的逆定理
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
例2 已知 如图 在 ABC中 AB AC
: 16.2 10, △ , ,
的垂直平分线DP与EP相交于点P.
求证 点P在BC的垂直平分线上.
:
证明 如图 连接PA PB PC.
: 16.2 11, , ,
图
DP EP 分别是AB AC的垂直 16.2 10
∵ , ,
平分线 已知
( ),
PA PB PC 线段垂直平分线的
∴ = = (
性质定理 .
)
点P在BC的垂直平分线上 线段
∴ (
图
垂直平分线性质定理的逆定理 . 16.2 11
)已知 如图 在四边形ABCD 中
: 16.2 12, ,
AB BC CD AD AC与BD相交于点O.
= = = ,
求证 AO OC BO OD.
: = , =
图
16.2 12
.如图 要在河边l上修建一个抽水站 将河水送到A B两点处.
1 , , ,
该站建在河边l的什么地方 可使铺设的两条直管道的长度相等 试在图中
, ?
确定该点 并说明理由.
,
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知 如图 AB AD BC DC E是AC上一点.求证 BE DE.
2 : , = , = , : =
M
组
A
.如图,三条路围成一个三角地带,要在它的中间建一个市场,并且使市
1
场到三个交叉路口的距离相等.那么,怎样才能找到这个市场的位置呢?
请画出示意图,并说明理由.
第 题
( 1 )
130 数学 八年级上册.已知:如图, ABC内部一点P在BC的垂直平分线上,且PA PB.
2 △ =
求证:点P在AC的垂直平分线上.
第 题
( 2 )
组
B
.如图,AD BC,BD DC,点C在AE的垂直平分线上.请写出AB
3 ⊥ = +
BD与DE的数量关系,并给出证明.
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.已知:如图,在 ABC中, C ,线段BC的垂直平分线交AB于
4 △ ∠ =90°
点D,交BC于点E,DF AC于点F.求证:DF是线段AC的垂直平
⊥
分线.
下面 我们继续学习用尺规作有关图形.
,
例3 如图 已知线段AB.
16.2 13,
图
求作 线段AB的垂直平分线.
: 16.2 13
分析 由线段垂直平分线性质定理的逆定理可知 只要作出到这条线
: ,
段端点距离相等的两点 过这两点作直
,
线 即得所求作的直线.
,
作法 如图 .
: 16.2 14
分别以点A和点B为圆心 aa
(1) 、 (>
1AB 为半径 在线段AB的两侧画
) , 图
2 16.2 14
第十六章 轴对称和中心对称 131弧 分别相交于点C D.
, ,
作直线CD.
(2)
直线CD即为所求.
例4 如图 已知直线AB及AB外一点P.
16.2 15,
求作 经过点P且垂直于AB的直线.
:
分析 在直线AB 上作出一条线段CD 使得
: , 图
点P在线段CD 的垂直平分线上.再作 16.2 15
出到点C D距离相等的点Q 作直线PQ
, , ,
直线PQ即为所求.
作法 如图 .
: 16.2 16
以点P为圆心 适当长为半径画弧
(1) 、 ,
交直线AB于点C D.
,
分别以点C和点D为圆心 以适当 图
(2) , 16.2 16
长为半径 在直线AB的另一侧
,
想一想:作图
画弧 两弧相交于点Q.
,
的依据是什么呢?
作直线PQ.
(3)
直线PQ即为所求.
已知 如图 点P在直线AB上.
: 16.2 17,
求作 经过点P且垂直于AB的直线. 保留作图
: ( 图
16.2 17
痕迹 不要求写出作法
, )
.如图 已知两点A B.
1 , ,
求作 直线l 使点A B关于l对称. 保留作图痕迹 不要求写出作法
: , , ( , )
第 题
( 1 )
.求作 ABC . 保留作图痕迹 不要求写出作法
2 :∠ =90° ( , )
132 数学 八年级上册M
组
A
.如图,已知线段AB.
1
求作:线段AB的中点.(保留作图痕迹,不要求写出作法)
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.如图,已知 ABC, B .
2 △ ∠ =90°
求作:以直线BC为对称轴,且与 ABC对称的 A'B'C'.(保留作图
△ △
痕迹,不要求写出作法)
组
B
.如图,已知线段a,b.
3
求作:以线段a,b为相邻两边的长方形.(保留作图痕迹,不要求写出
作法)
第 题
( 3 )
第十六章 轴对称和中心对称 133角是轴对称图形,角的平分线所在直线就是它的对称轴.本节我们
将探究角的平分线的性质及其应用.
.在一张半透明纸上画出一个角 将纸对折 使这个角的两边重合.
1 , ,
从中你能得出什么结论
?
.按图 所示的过程 将你画出的 AOB依上述办法对折 设
2 16.3 1 , ∠ ,
折痕为直线OC 再折纸 设折痕为直线n 直线n与边OA OB分别交于
; , , ,
点D E 与折线OC交于点P 最后将纸展开铺平.猜想线段PD与线段
, , ;
PE 线段OD与线段OE分别具有怎样的数量关系 并说明理由.
, ,
图
16.3 1
事实上 AOB是轴对称图形 它的平分线OC所在的直线是对称轴.
,∠ ,
由折纸过程可知 PD PE.特别地 当折痕n与OB垂直时 可得出 角
, = , , :
平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
下面就来证明折纸过程中发现的结论.
已知 如图 OC是 AOB的平分线
: 16.3 2, ∠ ,
P是OC上任意一点 PD OA PE OB 垂足
, ⊥ , ⊥ ,
分别为D E.
,
求证 PD PE.
: =
图
16.3 2
134 数学 八年级上册证明 OC是 AOB的平分线 已知
:∵ ∠ ( ),
角平分线的概念 .
∴ ∠1=∠2 ( )
PD OA PE OB 已知
∵ ⊥ , ⊥ ,( )
PDO PEO 垂直的概念 .
∴ ∠ =∠ =90°( )
在 PDO和 PEO中
△ △ ,
已证
􀮠∠1=∠2 ( ),
PDO PEO 已证
∵ 􀮡∠ =∠ =90°( ),
OP OP 公共边
􀮢 = ( ),
第十六章 轴对称和中心对称 135
􀪁􀪁
􀪁􀪁
PDO PEO .
∴ △ ≌△ (AAS)
PD PE 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )
角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理的逆命题是一个真命题 定理 .角平分线的
( )
性质定理的逆命题是真命题还是假命题呢
?
写出角平分线的性质定理的逆命题.
(1)
根据这个逆命题的内容 画出图形.
(2) ,
结合图形 提出你对这个逆命题是否正确的猜想.
(3) ,
试着验证你的猜想.
(4)
事实上 角平分线的性质定理的逆命题是一个真命题.
,
角平分线性质定理的逆定理
〔1〕
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
角平分线性质定理的逆定理将在第十七章给出证明
〔1〕 .例 如图 已知 AOB.
16.3 3, ∠
求作 AOB的平分线.
:∠
图
16.3 3
作法 如图 .
: 16.3 4
以点O为圆心 适当长为半径画弧 分别交OA OB于
(1) 、 , ,
点D E.
,
分别以点D 和点E为圆心 以适
(2) ,
你能证明OC是
当长为半径 在 AOB内部画弧
, ∠ , AOB的平分线吗?
两弧相交于点C. ∠
请试试看.
作射线OC.
(3)
射线OC即为所求.
图
16.3 4
.已知 如图 在直角三角形ABC中 C AD是 BAC的
1 : , ,∠ =90°, ∠
平分线 DE AB于点E.求证 DE DC.
, ⊥ : =
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知 如图 在 ABC中 B C D为边BC的中点 DE
2 : , △ ,∠ =∠ , , ⊥
AB DF AC 垂足分别为E F.求证 点D在 A的平分线上.
, ⊥ , , : ∠
136 数学 八年级上册M
组
A
.某考古队为进行考古研究,要
1
寻找一座古城遗址.根据资料
记载,这座古城在森林附近,
到两条河岸的距离相等,到古
塔的距离是 .根据这 第 题
3000m ( 1 )
些资料,考古队很快就找到了这座古城的遗址.你能运用学过的知识在
图上标出古城遗址吗? 请你试一试.(比例尺为 )
1∶100000
.已知:如图,AD平分 BAC,DE AB,DF AC,垂足分别为E,
2 ∠ ⊥ ⊥
F,且BE CF.求证:BD CD.
= =
第 题 第 题
( 2 ) ( 3 )
.已知:如图,CD AB,BE AC,垂足分别为D,E,BE,CD相交
3 ⊥ ⊥
于点O.
()求证:当 BAO CAO时,OB OC.
1 ∠ =∠ =
()求证:当OB OC时, BAO CAO.
2 = ∠ =∠
组
B
.已知:如图,C是 AOB的平分线OD上的一点, ACD BCD.
4 ∠ ∠ =∠
求证:OA OB.
=
第 题
( 4 )
第十六章 轴对称和中心对称 137.已知:如图,E是 AOB的平分线上的一点,EC OA,ED OB,垂
5 ∠ ⊥ ⊥
足分别为C,D,连接CD,交OE于点F.
()求证:OC OD.
1 =
()求证: ECD EDC.
2 ∠ =∠
()求证:OE是线段CD的垂直平分线.
3
第 题
( 5 )
组
C
.如图,要在公路m,n之间的S区域修建一座电视信号发射塔P.按照
6
设计要求,发射塔P到区域S内的两个城镇A,B的距离相等,到两条
公路m,n的距离也相等.发射塔P应建在什么位置? 请在图上标出它
的位置.
m
# 4
0
"
n
第 题
( 6 )
.求证:在一个三角形中,两条角平分线的交点到这个三角形三边的距离
7
相等.
138 数学 八年级上册我们已经学习了轴对称图形和两个图形成轴对称.本节我们将类比
研究轴对称的方法来学习中心对称图形和两个图形成中心对称.
.如图 观察这几幅图片 将它们分别绕各自标示的 中心
1 16.4 1, , “
点 旋转多少度后能与它们自身重合
” ?
(1) (2) (3) (4)
图
16.4 1
.如图 已知线段AB和它的中点O.
2 16.4 2,
当线段AB绕点O旋转多少度后 这条线段能与它自
,
身重合
?
.你还能举出具有上述特征的图形的例子吗
3 ?
图
16.4 2
在图 中 图 绕 中心点 旋转 或 后与自身重合
16.4 1 , (1) “ ” 72° 144° ,
图 绕 中心点 旋转 或 后与自身重合 图 绕 中心点 旋转
(2) “ ” 90° 180° , (3) “ ”
后与自身重合 图 绕 中心点 旋转 后与自身重合.在图
180° , (4) “ ” 180° 16.4 2
中 线段AB绕中点O旋转 后 能与自身重合.
, 180° ,
像图 中的 和图 这样 如果一个图形绕某
16.4 1 (2)(3)(4) 16.4 2 ,
一个点旋转 后能与它自身重合 我们就把这个图形叫作中心对称图
180° ,
形 这个点叫作它的对称中心 .
(central-symmeticfigure), (centerofsymmetry)
其中 关于对称中心对称的点叫作对应点.
,
第十六章 轴对称和中心对称 139线段是中心对称图形 线段的中点是它的对称中心 两个端点为一对对
, ,
应点.
中心对称图形是指具有中心对称性的一个图形 两个图形之间有时也具
,
有这种对称关系.
.如图 ABC和 DEF的顶点A C F D在同一条直
1 16.4 3,△ △ , , ,
线上 O为线段CF的中点 AC DF BC EF ACB DFE.将
, , = , = ,∠ =∠
ABC绕点O旋转 后 它能与 DEF重合吗 如果能重合 那么线
△ 180° , △ ? ,
段AB AC BC分别与哪些线段重合 点A B C分别与哪些点重合
, , , , , ?
图
16.4 3
.请再画出两个具有上述特征的图形.
2
如果一个图形绕某一点旋转 后与另一个图形重合 我们就称这两个
180° ,
图形成中心对称 这个点叫作对称中心.其中 成中心对称的点 线段和
, , 、
角 分别叫作对应点 对应线段和对应角.
, 、
如图 ABC 和 DEF 成中心对称 点O 为对称中心.
16.4 3,△ △ ,
点A B C的对应点分别为点D E F 线段AB AC BC的对应线段分
, , , , ; , ,
别为线段DE DF EF A B C的对应角分别为 D E F.
, , ;∠ ,∠ ,∠ ∠ ,∠ ,∠
.如果将成中心对称的两个图形看成一个图形 那么这个图形是不是
1 ,
中心对称图形
?
140 数学 八年级上册.我们已经学习过图形的旋转 中心对称图形和图形的旋转之间有什
2 ,
么关系
?
.图形的旋转有以下基本性质 一个图形和它经过旋转所得到的图形
3 :“
中 对应点到旋转中心的距离相等 两组对应点分别与旋转中心连线所成的
, ,
角相等. 中心对称图形具有怎样的性质
” ?
与同学交流你的想法.
在成中心对称的两个图形中,对应点的连线经过对称中心,且被对
称中心平分.
例 如图 已知线段AB和点O.请画出线段AB关于点O的中心
16.4 4,
对称图形.
图 图
16.4 4 16.4 5
解 如图 .
: 16.4 5
连接AO BO 并延长AO到点C 延长BO到点D 使得
(1) , , , ,
OC OA OD OB.
= , =
连接CD.
(2)
线段CD即为所求.
.请举出生活中两个图形成中心对称的实例.
1
.在如图所示的四张扑克牌中 哪一张的牌面是中心对称图形 是中
2 , ?
心对称图形的 请画出它的对称中心.
,
第 题
( 2 )
第十六章 轴对称和中心对称 141M
组
A
.如图,四边形ABCD与四边形A'B'C'D'是成中心对称的两个图形.请
1
试着确定其对称中心的位置.
第 题
( 1 )
.指出图中的中心对称图形.
2
第 题
( 2 )
.指出图中的中心对称图形,并画出其对称中心.
3
第 题
( 3 )
.如图,请画出 ABC关于边BC的中点O成中心对称的图形.
4 △
第 题
( 4 )
142 数学 八年级上册组
B
.将图中的两个全等的等腰直角三角形分别拼接成满足下列条件的图形,
5
并画出拼成的图形.
()是轴对称图形,但不是中心对称图形.
1
()是中心对称图形,但不是轴对称图形.
2
第 题
()既是轴对称图形,又是中心对称图形. ( 5 )
3
.用图中四个全等的直角三角形和一个正方形拼接成一个中心对称图形,
6
并画出你所拼接的图形.
第 题
( 6 )
第十六章 轴对称和中心对称 143在现实生活中,人们常常利用图形的平移、旋转和轴对称来设计一
些图案.
.如图 组成网格图的小正方形的边长为 个单位长度.请将
1 16.5 1, 1
网格图中的图案沿箭头所示的方向平移三次 每次平移 个单位长度. 保
, 3 (
留原图痕迹
)
图 图
16.5 1 16.5 2
.如图 将这个三角形绕两条虚线的交点 先顺时针旋转
2 16.5 2, , 90°,
再将整个图形旋转 .请画出旋转后的图形. 保留原图痕迹
180° ( )
观察下面三组图案 请说说每组图案是怎样变化的.你还能用其他方式
,
得到变化后的图案吗
?
 



















   ZZZZZZZZZZZZZZZZZZZ
图 图
16.5 3 16.5 4
144 数学 八年级上册图
16.5 5
图 是用同一平面内的一些几何图形设计出的一个房屋示意图.
16.5 6
图
16.5 6
. 请说说这个房屋示意图是由这些几何图形经过怎样的变化得到的.
1
. 请利用图形的平移 旋转和轴对称 设计出其他图案.
2 、 ,
.有一幅长方形的图案是轴对称图形 分割成下面 四个部分.
1 , ①②③④
请把图片的序号写在右边图中相应的位置上 还原成原来的图案. 你认为原
,
来这是一幅什么图案
?







 














 







   
第 题
( 1 )
第十六章 轴对称和中心对称 145.观察图案.
2
请说说由图案 到图案 的变化过程.
(1) (1) (3)
请利用图案 再设计一个图案.
(2) (1)
第 题
( 2 )
M
组
A
.请收集 个是轴对称图形的不同标志的图案,并找出它们的对称轴.
1 3~5
.观察图案,请说说由图案()到图案()的变化过程.
2 1 3
第 题
( 2 )
.利用线段、三角形和圆设计一个图案.
3
组
B
.观察图案.
4
()请说说由图案()到图案()的变化过程.
1 1 2
146 数学 八年级上册()请利用图案()再设计一个图案.
2 1
第 题
( 4 )
.利用所给图形,通过旋转和轴对称设计两个其他图案.
5
第 题
( 5 )
组
C
.剪纸是我国一项传统的民间艺术,具有广泛的群众基础,交融于各族人
6
民的社会生活之中,是各种民俗活动的重要组成部分. 年 月 日,
2006 5 20
经国务院批准,剪纸被列入第一批国家级非物质文化遗产名录.剪纸不
仅是美的艺术,还蕴含着丰富的数学知识.剪纸时,常常会用到轴对称、
平移、旋转等图形变化的知识.请仿照下面两幅图片,做一个剪纸作品.
第十六章 轴对称和中心对称 147换个角度思考
北宋有个历史学家叫司马光( — ),
1019 1086
他因编撰 《资治通鉴》而流芳百世,关于他小
时候砸缸救人的故事至今仍广为流传.
司马光有一次跟一群小伙伴玩耍,其中一个
小孩儿不小心跌入储满水的大缸里.由于缸太
高,同伴们无法救出这个小孩儿,大家都慌了
神.这时,司马光把缸砸破,小孩儿便得救了.
在 “让人离开水”有困难时,司马光设法
“让水离开人”,这种逆向思维就是司马光的聪
明所在.
逆向思考也是数学中常用的一种思维方式.例如,本章中对 “线段垂
直平分线上的点到线段两端的距离相等”进行逆向思考,经过证明就得到
了它的逆定理——— “到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上”;
又如,对 “整式乘法法则和公式”进行逆向思考,就得到了 “多项式因式
分解”的方法;再如,探求证明的途径时,如果不能顺利地从条件出发推
出结论,不妨逆向思考,即从结论出发,寻找使结论成立的条件,往往能
找到证明的途径.
学会 “换个角度思考”,有助于不断提高我们提出问题和解决问题的
能力.
148 数学 八年级上册中心对称图形与面积等分
学校操场西侧有一块空地〔如图()所示〕.为了美化校
1
园环境,学校计划在这块空地上修建花草园,一部分种花,
一部分种草,种花和种草的面积相等,并且花和草之间用
一条笔直的石子小路(宽度忽略不计)分开.请同学们自主
分组,以小组为单位,帮助学校设计这个美丽的花草园小
(1)
路吧.
活动一:画图思考
.图()是一个平行四边形.请画一条直线l,使
1 2
得直线l将这个平行四边形分成面积相等的两部分.
.符合条件的直线一共有多少条?
2
(2)
活动二:类比探究
.图()是一个由平行四边形和圆构成的 “组
1 3
合图形”.如何用一条直线同时将平行四边形和圆
分成面积相等的两部分?
.这样的直线你能作出几条? (3)
2
活动三:问题解决
.请结合活动一、活动二的经验,与小组成员一起设计图()中这条小
1 1
路的位置.
.总结本次活动的经验.思考:具有不同对称中心的两个中心对称图
2
形组合成的图形,如何用一条直线将其分成面积相等的两部分?
第十六章 轴对称和中心对称 149一、知识结构
二、总结与反思
轴对称和中心对称是图形变化的基本方法. 在本章中 我们结合生活中
,
广泛存在的对称现象 通过观察 思考 操作和探究等方式 学习了轴对称
, 、 、 ,
和中心对称的有关概念 性质 探索并证明了线段和角的有关性质 利用图
、 , ,
形的平移 旋转和轴对称设计了一些简单图案.
、
图形的对称具有双重属性 一是从 形 上刻画图形自身的基本特征或
: “ ”
两个图形之间的位置关系 二是从 量 上描述图形对应元素之间的数量关
, “ ”
系.这是用图形的对称性来研究图形性质的基础.
.轴对称.
1
轴对称图形或成轴对称的两个图形 关于对称轴两侧的对应部分 沿
(1) , ,
对称轴对折时能够重合.因此 其对应线段和对应角分别相等 对应图形是全等
, ,
图形.
150 数学 八年级上册轴对称图形或成轴对称的两个图形中 对应点的连线被对称轴垂直
(2) ,
平分.
轴对称图形指的是一个图形 反映的是这个图形自身的对称性 两
(3) , ;
个图形成轴对称 反映的是两个图形之间的轴对称关系.二者既有联系也有
,
区别 若将一个轴对称图形看成被对称轴分成的两个图形 则这两个图形成
: ,
轴对称 对称轴不变 若将成轴对称的两个图形看成一个图形 则这个图形
, ; ,
是轴对称图形 对称轴也不变.
,
.中心对称.
2
中心对称图形或成中心对称的两个图形 绕对称中心旋转 时
(1) , 180° ,
中心对称图形自身或成中心对称的两个图形能够重合.因此 其对应线段和
,
对应角分别相等 成中心对称的两个图形是全等图形.
,
中心对称图形或成中心对称的两个图形中 对应点的连线被对称中
(2) ,
心平分.
中心对称图形指的是一个图形 反映的是这个图形自身的中心对称
(3) ,
性 两个图形成中心对称 反映的是两个图形之间的中心对称关系.如果将
; ,
成中心对称的两个图形看成一个图形 那么这个图形是中心对称图形 对称
, ,
中心不变.
.线段.
3
线段既是轴对称图形 也是中心对称图形.线段的垂直平分线是它的对
,
称轴 线段的中点是它的对称中心.
,
线段垂直平分线的性质定理 线段垂直平分线上的点到线段两端的
(1) :
距离相等.
线段垂直平分线性质定理的逆定理 到线段两端距离相等的点在线
(2) :
段的垂直平分线上.
.角.
4
角是轴对称图形 角的平分线所在的直线是它的对称轴.
,
角平分线的性质定理 角平分线上的点到角两边的距离相等.
(1) :
角平分线性质定理的逆定理 角的内部到角两边距离相等的点在角
(2) :
的平分线上.
第十六章 轴对称和中心对称 151.设计图案.
5
利用图形的平移 旋转和轴对称设计图案 是人们在进行图案设计时经
、 ,
常使用的一种方法.作一个图形关于某条直线的轴对称图形 是逆用轴对称
,
的性质来进行的 作一个图形关于某点的中心对称图形 是逆用中心对称的
; ,
性质来进行的.
三、注意事项
.轴对称图形至少有一条对称轴 有时可能有多条.如三边相等的三
1 ,
角形 一共有 条对称轴 每条边的垂直平分线都是它的对称轴.
, 3 ,
.线段垂直平分线的性质定理及其逆定理和角平分线的性质定理及其
2
逆定理 是进行推理论证的重要依据 在今后的学习中 应结合具体问题
, , , ,
注意其应用.
组
A
.观察下列图形,请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上.
1
第 题
( 1 )
没有对称轴的图形是 .
有一条对称轴的图形是 .
有两条对称轴的图形是 .
有三条对称轴的图形是 .
有三条以上对称轴的图形是 .
152 数学 八年级上册.观察下列图形,请把符合要求的图形的标号填在相应的横线上.
2
第 题
( 2 )
是轴对称图形的有 .
是中心对称图形的有 .
既是轴对称图形又是中心对称图形的有 .
既不是中心对称图形又不是轴对称图形的有 .
.请分别在图()和图()中画出点P关于直线l 的对称点P',再画出点P'
3 1 2 1
关于直线l 的对称点P″.
2
第 题
( 3 )
.如图,村庄A,B分别在笔直公路l的两侧.一辆汽车在公路上行驶到
4
什么位置时,它到这两个村庄的距离相等? 请在图中标出该位置,并说
明理由.
第 题
( 4 )
第十六章 轴对称和中心对称 153.图中下面的轿车图片是由上面的轿车图片绕某点旋转 得到的,请找
5 180°
出这个点.
第 题
( 5 )
组
B
.如图,在直角三角形ABC中, B .在BC边上是否存在一点D,
6 ∠ =90°
使得点D到边AB和AC的距离相等? 如果存在,请把这个点找出来;
如果不存在,请说明理由.
第 题
( 6 )
.如图,要在高压输电线的旁边修一个小型变电站.该变电站建在输电线
7
旁边的什么地方,才能使变电站到A村和B村架设的电线线路最短?
第 题
( 7 )
.()把一张正方形薄纸片按图示方法对折,并剪去两个相同的角:
8 1
第 题
( 8 )
154 数学 八年级上册你能猜出将纸片打开后的形状吗? 请试着画出这个形状的图形.
①
这个图形是轴对称图形吗? 如果是,请画出它的所有对称轴.
②
()先用一张正方形的纸设计并剪出一个轴对称图形,然后与同学交流
2
各自的剪法.
.如图,将长方形ABCD沿AE折叠.已知 BAD' ,求 AED的度数.
9 ∠ =30° ∠
第 题 第 题
( 9 ) ( 10 )
.如图,将一张长方形纸片对折两次,剪下一个角,然后展开.如果要剪
10
出一个正方形,那么剪口线与折痕应该成多少度角?
.如图,OB,OC是两条公路,在两条公路夹角内部的点A处有一座油
11
库.若在两公路上分别建一个加油站,并使油罐车从油库出发先到一个
加油站,再到另一个加油站,最后回到油库的路程最短,则加油站应如
何选址?
()作点A关于OB,OC对称的点M,N.
1
()连接MN,与OB,OC分别交于点P,Q.
2
点P,Q 就是所求的加油站的位置.请根据作图的过程,说明确定
点P,Q位置的合理性.
第 题 第 题
( 11 ) ( 12 )
.如图,这是由两个等腰三角形构成的图形,它是轴对称图形吗? 如果不
12
是,请绕点O旋转其中的一个三角形,使它与另一个三角形一起构成
轴对称图形.
第十六章 轴对称和中心对称 155.如图, ABC的外角 CAE和 ACF的平分线交于点D,那么点D
13 △ ∠ ∠
是否在 EBF的平分线上? 请证明你的结论.
∠
第 题
( 13 )
.在如图所示的正方形网格图中,每个小正方形的边长都是 个单位长度,
14 1
ABC和 ABC 的顶点均在格点上,且 ABC ABC.
△ △ 1 1 1 △ ≌△ 1 1 1
()按要求画图.
1
画出 ABC关于直线a对称的 ABC ;
① △ △ 2 2 2
画出 ABC ,使 ABC 和 ABC关于点O成中心对称.
② △ 3 3 3 △ 3 3 3 △
() ABC 与 ABC 是否关于某条直线成轴对称? 若是,请在
2 △ 3 3 3 △ 2 2 2
图中画出这条直线.
()写出一种由 ABC 经过轴对称、平移或旋转变化得到
3 △ 2 2 2
ABC 的过程.
△ 1 1 1
第 题
( 14 )
156 数学 八年级上册组
C
.已知:如图, C D ,AE 是 BAD 的平分线,交CD 于
15 ∠ =∠ =90° ∠
点E,且AE BE.求证:BE平分 ABC.
⊥ ∠
第 题
( 15 )
.已知:如图,在 ABC中, ACB ,BD是 ABC的平分线,E
16 △ ∠ =90° ∠
为AB边上一点,且CE BD,垂足为O.
⊥
()求证:BD是线段CE的垂直平分线.
1
()求证: ADE ABC.
2 ∠ =∠
第 题
( 16 )
.已知:如图,在 ABC 中,AD 是 BAC 的平分线,DE AB,
17 △ ∠ ⊥
DF AC,垂足分别为E,F.求证:AD是线段EF的垂直平分线.
⊥
第 题
( 17 )
第十六章 轴对称和中心对称 157.观察下列画图步骤,并回答问题.
18
第 题
( 18 )
步骤 :以图()中六边形每条边所在的直线为对称轴,向图形外画与六
1 1
边形的边重合的小三角形的轴对称图形,构成六角星形,如图()
2
所示.
步骤 :以图()中六角星形每条边所在的直线为对称轴,向图形外画
2 2
与六角星形的边重合的小三角形的轴对称图形,构成较大的六
边形,如图()所示.
3
()图()和图()中的小三角形各有多少个?
1 2 3
()对图()所示六边形重复上述步骤 和步骤 ,又可得到一个更大
2 3 1 2
的六边形,那么这个六边形中的小三角形有多少个?
()如果连续画下去,那么第n个图形和第(n )个图形中,各含有
3 +1
小三角形多少个?
.如图,直线l,l,l 表示三条相互交叉的公路.现要建立一个货物中
19 1 2 3
转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的位置有几处? 请在
图中标出来.
第 题
( 19 )
158 数学 八年级上册等腰三角形是一类特殊的三角形,它具有一些特殊的性质 现在我
.
们就来探究等腰三角形的性质
.
在我们的身边 许多物体的形状是两边相等的三角形 如房梁支架 红
, , 、
领巾 交通标志牌等
、 .
有两边相等的三角形叫作等腰三角形 在等腰三角形中 相等的两边叫
. ,
作腰 另一边叫作底边 两腰的夹角叫作顶角 腰和底边的夹角叫作底角
, , , .
如图 在 ABC中 AB AC.AB和AC是
17.1 1, △ , =
腰 BC是底边 A是顶角 B和 C是底角.
, ,∠ ,∠ ∠
顶角是直角的等腰三角形叫作等腰直角三角形.
图
17.1 1
如图 ABC是等腰三角形 其中 AB AC.
17.1 1,△ , , =
我们知道 线段BC为轴对称图形 它的垂直平分线为它的对称轴.
(1) , ,
由AB AC可知 点A在BC的垂直平分线上.据此 你认为 ABC是轴
= , , △
对称图形吗 如果是 那么它的对称轴是哪条直线
? , ?
B和 C有怎样的关系
(2)∠ ∠ ?
底边BC上的高 中线及 A的平分线有怎样的关系
(3) 、 ∠ ?
不难发现 等腰三角形是轴对称图形 底边的垂直平分线是它的对称
, ,
轴 B C 底边上的高 中线和顶角的平分线三线重合.
,∠ =∠ , 、
下面 我们来证明等腰三角形的两个底角相等.
,
已知 在 ABC中 AB AC.
: △ , =
求证 B C.
:∠ =∠
160 数学 八年级上册证明 如图 作 A的平分线AD.
: 17.1 2, ∠
在 ABD和 ACD中
△ △ ,
AB AC 已知
􀮠 = ( ),
角平分线的概念
∵ 􀮡∠1=∠2 ( ),
AD AD 公共边
􀮢 = ( ),
图
17.1 2
第十七章 特殊三角形 161
􀪁􀪁
􀪁􀪁
ABD ACD .
∴ △ ≌△ (SAS)
B C 全等三角形的对应角相等 .
∴ ∠ =∠ ( )
从上面的证明过程还可知道
:
BD CD 全等三角形的对应边相等
= ( ),
ADB ADC 全等三角形的对应角相等 .
∠ =∠ ( )
因为 ADB ADC 所以
∠ +∠ =180°,
ADB ADC .
∠ =∠ =90°
因此 A的平分线AD 也是 ABC底边BC上的中线和高.
,∠ , △
等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等.( 简称 “等边对等角” )
等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.(简称 “三线
合一”)
三边都相等的三角形叫作等边三角形.等边三角形是等腰三角形的
特例.
已知 如图 在 ABC中 AB BC AC.
: 17.1 3, △ , = =
求证 A B C .
:∠ =∠ =∠ =60°
图
17.1 3
等边三角形的性质定理
等边三角形的各角都等于60.
°例1 已知 如图 在 ABC 中
: 17.1 4, △ ,
AB AC BD CE 分别为 ABC
= , , ∠ ,
ACB的平分线.
∠
求证 BD CE. 图
: = 17.1 4
证明 BD CE分别为 ABC ACB的平分线 已知
:∵ , ∠ ,∠ ( ),
ABD 1 ABC ACE 1 ACB. 角平分线的概念
∴ ∠ = ∠ ,∠ = ∠ ( )
2 2
AB AC 已知
∵ = ( ),
ABC ACB 等边对等角 .
∴ ∠ =∠ ( )
ABD ACE 等量代换 .
∴ ∠ =∠ ( )
在 ABD和 ACE中
△ △ ,
ABD ACE 已证
􀮠∠ =∠ ( ),
AB AC 已知
∵ 􀮡 = ( ),
A A 公共角
􀮢∠ =∠ ( ),
162 数学 八年级上册
􀪁􀪁
􀪁􀪁
ABD ACE .
∴ △ ≌△ (ASA)
BD CE 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )
.下面各等腰三角形的顶角的度数如图所示.请分别求出它们的底角
1
的度数 并画出各等腰三角形的对称轴.
,

第 题
( 1 )
.已知各等腰三角形底角的度数分别是
2 :
.
(1)80°; (2)50°; (3)45°; (4)30°
请分别求出它们顶角的度数.
.回答下列问题 并说明理由.
3 ,
等腰三角形的底角可以是锐角吗 可以是直角或钝角吗
(1) ? ?
等腰三角形的顶角可以是锐角吗 可以是直角或钝角吗
(2) ? ?M
组
A
.如图,在 ABC中,AB AC,点D在AC上,且BD
1 △ = =
BC AD.
=
()请指出图中所有的等腰三角形.
1
()求 A的度数.
2 ∠
.根据下列条件,求等腰三角形中未知内角的度数.
第 题
2 ( 1 )
()一个内角是 .
1 80°
()一个内角是 .
2 100°
()底角的度数是顶角度数的一半.
3
组
B
.如图, ABC是等边三角形,点D在BC上,BD DC.求 CAD的
3 △ = ∠
度数.
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.如图,在 ABD中, B ,点C在BD上,且AB BC,AC CD.
4 △ ∠ =50° = =
求 D的度数.
∠
组
C
.一个等腰三角形一腰上的中线所在的直线把这个等腰三角形的周长分成
5
和 两部分.求这个等腰三角形底边的长.
15cm 18cm
.等腰三角形两腰上的中线相等吗? 等腰三角形两腰上的高相等吗? 请证
6
明你的判断.
第十七章 特殊三角形 163我们知道 等腰三角形的两个底角相等.反过来 如果一个三角形中有
, ,
两个角相等 那么这个三角形是等腰三角形吗
, ?
如图 在 ABC中 B C.
17.1 5, △ ,∠ =∠
请作出 BAC的平分线AD.
(1) ∠
将 ABC 沿AD 所在直线折
(2) △
叠 ABC被直线AD分成的两部分能
,△
够重合吗
?
由上面的操作 你是否发现了
(3) ,
边AB和边AC之间的数量关系 图
? 17.1 5
已知 如图 在 ABC中 B C.
: 17.1 6, △ ,∠ =∠
求证 AB AC.
: =
图 图
17.1 6 17.1 7
证明 如图 作 A的平分线AD 交BC于点D.
: 17.1 7, ∠ ,
在 ABD和 ACD中
△ △ ,
B C 已知
􀮠∠ =∠ ( ),
BAD CAD 角平分线的概念
∵ 􀮡∠ =∠ ( ),
AD AD 公共边
􀮢 = ( ),
164 数学 八年级上册
􀪁􀪁
􀪁􀪁
ABD ACD .
∴ △ ≌△ (AAS)
AB AC 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )
等腰三角形的判定定理
有两个角相等的三角形是等腰三角形.
在等腰三角形中 两个相等的角所对的边相等. 简称 等角对等边
, ( “ ”).三个内角都相等的三角形是等边三角形吗 请说明理由.
1 ?
.有一个角是 的等腰三角形一定是等边三角形吗 请说明理由.
2 60° ?
等边三角形的判定定理
三个角都相等的三角形(或有一个角是60的等腰三角形)是等
°
边三角形.
例2 已知底边及底边上的高 用尺规作等腰三角形.
,
如图 已知线段a和h.
17.1 8,
求作 等腰三角形ABC 使BC a 高AD h.
: , = , =
图
分析 先作出线段BC a 再作出BC的垂 17.1 8
: = ,
直平分线.在这条垂直平分线上取点A 使
,
点A到BC的距离为h 连接相关点即得.
,
作法 如图 .
: 17.1 9
作线段BC a.
(1) =
作BC的垂直平分线MD 垂足
(2) ,
为D.
图
在DM 上截取DA h. 17.1 9
(3) =
连接AB AC.
(4) ,
ABC即为所求.
△
.如图 CD是等腰直角三角形ABC斜边AB上
1 ,
的高.请找出图中所有的等腰直角三角形 ABC除
第 题
(△
( 1 )
外 并说明理由.
),
.已知 如图 ABC是等边三角形 DE BC
2 : ,△ , ∥ ,
分别交AB AC于点D E.求证 ADE是等边三
, , :△
角形.
第 题
( 2 )
第十七章 特殊三角形 165M
组
A
.已知:如图,AD BC,BD 平分 ABC.求证: ABD 是等腰三
1 ∥ ∠ △
角形.
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,E为 ABC的边BA延长线上的一点,AD BC, EAD
2 △ ∥ ∠ =
CAD .求证: ABC是等边三角形.
∠ =60° △
组
B
.已知:如图,在 ABC中,AB AC, A 1 C,BD是 ABC的
3 △ = ∠ = ∠ ∠
2
平分线.求证:BD BC.
=
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.如图,在 ABC中,OB,OC分别是 ABC, ACB的平分线,MN过
4 △ ∠ ∠
点O,且MN BC,分别交AB,AC于点M,N.那么,图中有几个等
∥
腰三角形? 请写出来,并指出各等腰三角形的腰.
组
C
.如图,在 ABC中, B , C .
5 △ ∠ =40° ∠ =20°
请将这个三角形分成两个等腰三角形.
.你能用一张对边平行的纸条折出一个等腰三
6 第 题
角形吗? 试一试. ( 5 )
166 数学 八年级上册直角三角形是又一类特殊的三角形.它有哪些性质呢?
我们知道 有一个角等于 的三角形叫作直角三
, 90°
角形.直角三角形可以用符号 表示 如
“Rt△” ,
图 直角三角形ABC可以表示为 ABC .
17.2 1, “Rt△ ”
由三角形内角和定理 容易得到
图
, :
17.2 1
直角三角形的性质定理
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形性质定理的逆命题显然也是真命题.于是 有
, :
直角三角形的判定定理
有两个角互余的三角形是直角三角形.
在一张半透明的纸上画出 ABC C 如图 所
Rt△ ,∠ =90°, 17.2 2(1)
示 将 B折叠 使点B与点C重合 折痕为EF 如图 所示
; ∠ , , , 17.2 2(2) ;
沿BE画出虚线CE 将纸展开 如图 所示.
, , 17.2 2(3)
图
17.2 2
ECF与 B有怎样的数量关系 线段EC与线段EB有怎样的
(1)∠ ∠ ?
数量关系
?
折痕EF所在的直线与线段BC有怎样的位置关系
(2) ?
由发现的上述关系以及 A B ACB ACE ECF
(3) ∠ +∠ =∠ ,∠ +∠ =
第十七章 特殊三角形 167ACB 你能判断出 ACE与 A的大小关系吗 线段AE与线段CE呢
∠ , ∠ ∠ ? ?
你从中得出了什么结论 请将你的结论与大家交流一下.
?
我们发现 CE AE EB 即 CE是AB的中线 且CE 1AB.
, = = , , =
2
由此我们得出猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
:
已知 如图 在 ABC中 ACB
: 17.2 3, Rt△ ,∠ =
CD为斜边AB上的中线
90°, .
求证 CD 1AB.
: =
2
证明 如图 延长CD 到点E 使DE
: 17.2 4, , = 图
17.2 3
DC 连接AE
, .
在 ADE和 BDC中
△ △ ,
AD BD 已知
􀮠 = ( ),
ADE BDC 对顶角相等
∵ 􀮡∠ =∠ ( ),
DE DC
􀮢 = ,
图
17.2 4
168 数学 八年级上册
􀪁􀪁
􀪁􀪁
ADE BDC
∴ △ ≌△ (SAS).
AE BC 全等三角形的对应边相等
∴ = ( ),
EAD B 全等三角形的对应角相等
∠ =∠ ( ).
ACB 已知
∵ ∠ =90°( ),
CAB B 直角三角形的两个锐角互余
∴ ∠ +∠ =90°( ).
CAB EAD 等量代换
∴ ∠ +∠ =90°( ),
即 EAC
∠ =90°.
EAC BCA.
∴ ∠ =∠
在 CEA和 ABC中
△ △ ,
EA BC
􀮠 = ,
EAC BCA
∵ 􀮡∠ =∠ ,
AC CA
􀮢 = ,
􀪁􀪁
􀪁􀪁
CEA ABC
∴ △ ≌△ (SAS).
CE AB 全等三角形的对应边相等
∴ = ( ).
又 CD 1CE
∵ = ,
2CD 1AB 等量代换 .
∴ = ( )
2
直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
求证 在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半.
: °
.求等腰直角三角形的两个锐角的度数.
1
.已知 如图 在 ABC中 AD BE分别是边BC AC上的高
2 : , △ , , , ,
AD BE相交于点F AE BE.求证 AEF BEC.
, , = :△ ≌△
第 题
( 2 )
M
组
A
.在 ABC中, C , A B.求 A, B的度数.
1 Rt△ ∠ =90° ∠ =4∠ ∠ ∠
.已知:如图,在 ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的高,F是
2 △
BC的中点.求证: DEF是等腰三角形.
△
第 题
( 2 )
第十七章 特殊三角形 169组
B
.已知:如图,在 ABC中, ACB ,CD是边AB上的高, A
3 △ ∠ =90° ∠ =
.求证:BD 1AB.
30° =
4
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.已知:如图,在 ABC中, ACB ,CD是 ACB的平分线,CE
4 △ ∠ =90° ∠
是边AB上的中线,CF是边AB上的高.求证: ECD FCD.
∠ =∠
组
C
.如图, AOB ,点P在边OA 上,OP ,点M,N 在边OB
5 ∠ =60° =12
上,PM PN.若MN ,求OM 的长.
= =2
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
.已知:如图, BAC BDC ,点E在BC上,点F在AD 上,
6 ∠ =∠ =90°
BE EC,AF FD.求证:EF AD.
= = ⊥
170 数学 八年级上册直角三角形的三边具有特殊的关系,刻画这种关系的命题就是著名
的勾股定理.
.如图 每个小方格都是边长为 的小正方形 在所围成
1 17.3 1(1), 1 ,
的 ABC中 ACB .那么 图中以AC BC AB为边的三个正方
△ ,∠ =90° , , ,
形的面积分别是多少 这三个正方形的面积之间具有怎样的关系
? ?
图
17.3 1
.图 是用大小相同的两种颜色的正方形地砖铺成的地面示
2 17.3 1(2)
意图 ACB .那么 分别以AC BC AB为边的三个正方形 红色
,∠ =90° , , , (
框标出 的面积之间有怎样的关系
) ?
.如图 ACB 三个正方形的边长分别是AC
3 17.3 1(3),∠ =90°, ,
BC AB.请依据问题 和问题 中得出的结论 猜想 ABC三边之间的关
, 1 2 , Rt△
系 并表示出来.
,
通过探究可知 在直角三角形中 两条直角边的平方和等于斜边的
: ,
平方.
第十七章 特殊三角形 171赵爽弦图 巧妙地利用面积关系证明了勾股定
“ ”
理 是我国古代数学的伟大成就.如图 所示
, 17.3 2
的 赵爽弦图 是由四个全等的直角三角形和一个小
“ ”
正方形拼成的一个大正方形 请根据图形的特征 寻
, ,
找获得a2 b2 c2 的思路 并完成推导过程. 图
+ = , 17.3 2
如图 我国古代把直角三角形中较短的
17.3 3,
直角边叫作 勾 较长的直角边叫作 股 斜边
“ ”, “ ”,
叫作 弦 .因此 直角三角形三边之间的这种数量
“ ” ,
关系称为勾股定理.
图
17.3 3
勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a,b,斜边为c,那么a2+b2=c2.
勾股定理也可叙述为 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
:
观察图 和 中的两个大正方形 说明a2 b2 c2.
17.3 4(1) (2) , + =
图
17.3 4
在直角三角形中 如果知道两条边的长 根据勾股定理 就可以求出第
, , ,
三边的长.
172 数学 八年级上册.用四个图 所示的直角三角形拼成
1 (1)
图 .在图 中 用 两个正方形的面积之
(2) (2) , “
差 四个直角三角形的面积之和 验证勾股
= ”,
定理.
.在 ABC中 C .
2 Rt△ ,∠ =90°
已知a c 求b的值. 第 题
(1) =5, =7, ( 1 )
已知b c 求a的值.
(2) =60, =61,
M
组
A
.求图中各直角三角形未知的边长.
1
第 题
( 1 )
.图中数据分别表示其所在正方形的面积,请根据这些数据,分别求出未
2
知的正方形面积A,B和C.
第 题
( 2 )
第十七章 特殊三角形 173组
B
.如图, ABC BAD ,AC ,BC ,AD .求BD的长.
3 ∠ =∠ =90° =13 =5 =16
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.在北京召开的第 届国际数学家大会上,依据 “赵爽弦图”设计的如图
4 24
所示的会标,有力彰显了中国古代数学的伟大贡献.设赵爽弦图中直角
三角形较长直角边的长为a,较短直角边的长为b.若(a b)
2
,大
+ =24
正方形的面积为 ,求小正方形的面积.
14
组
C
.已知一个直角三角形的斜边长为 n2 n (n ),一条直角边的长为
5 2 +2 +1 >0
n2 n.求另一条直角边的长.
2 +2
.如图,四边形ABCD 和四边形CEFG都是正方
6
形,请在图中再画出一个正方形,使它的面积等
于已知的两个正方形的面积之和.
第 题
( 6 )
利用勾股定理 我们可以解决一些实际问题.
,
例1 如图 为了测得湖边上点A和
17.3 5,
点C间的距离 一观测者在点B处设
,
立了一根标杆 使 ACB 并测
, ∠ =90°,
得AB BC .根据测
=200m, =160m
量结果 求点A和点C间的距离.
, 图
解 在 ABC中 17.3 5
: △ ,
ACB
∵ ∠ =90°,
174 数学 八年级上册AC2 BC2 AB2 勾股定理 .
∴ + = ( )
AB BC
∵ =200m, =160m,
AC AB2 BC2
∴ = -
2 2
= 200-160
.
=120(m)
答 点A和点C间的距离是 .
: 120m
图 是某厂房屋顶的房梁支架的示意图.已知AB AC
17.3 6 = =17m,
AD BC 垂足为D AD .求BC的长.
⊥ , , =8m
图
17.3 6
例2 如图 在长为 宽为 的长方形零件上有两个圆
17.3 7, 50mm, 40mm
孔 与孔中心A B相关的数据如图所示.求孔中心A和B间的距离.
, ,
图
17.3 7
解 ABC是直角三角形
:∵ △ ,
AB2 AC2 BC2 勾股定理 .
∴ = + ( )
AC
∵ =50-15-26=9(mm),
BC
=40-18-10=12(mm),
AB AC2 BC2 2 2 .
∴ = + = 9+12 =15(mm)
答 孔中心A和B间的距离是 .
: 15mm
第十七章 特殊三角形 175.如图 一艘轮船以 海里 时的速度离开港口A向东南方向航行
1 , 16 / ,
另一艘轮船同时以 海里 时的速度离开港口A向西南方向航行.那么
12 / ,
它们离开港口 后 相距多远
1.5h , ?
45 45
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.如图 在 ABC中 AB AC BC .求 ABC的面积.
2 , △ , = =12, =16 △
M
组
A
.如图,一架梯子搭在墙上.已知梯子每两根横木之间的距离(包括一根横
1
木的宽在内)以及梯子下端到第一根横木的距离都是 ,梯子下端A
0.5m
到墙脚B的距离是 .求墙高.
3m
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.我国古代数学著作 《九章算术》中记载着名为 “池葭(jiā)出水”的一道
2
趣题:有一个正方形的池子,边长为 丈,池中心有一株芦苇,露出水
1
176 数学 八年级上册面 尺.将芦苇拽至池边中点处,它的末端刚好与水面相齐,那么水有
1
多深? 芦苇有多长? 求解此题.(注:“丈”和 “尺”都是旧制长度单位,
现已停止使用. 丈 尺, 米 尺)
1 =10 1 =3
组
B
.下图是某学校存放学生自行车的车棚顶部示意图,棚顶宽AB ,棚顶
3 =3m
高AC ,棚顶长BD .求长方形车棚顶(阴影部分)的面积.
=1.6m =15m
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.如图,在长方形ABCD中,AB ,AD .将长方形ABCD沿直线
4 =8 =10
AF折叠,使点D落在BC上的点E处.求CE的长.
组
C
.如图,在 ABC中,AB ,BC ,AC .求 ABC的面积.
5 △ =13 =14 =15 △
(1) (2)
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
.《九章算术》中记载了这样一道题: “今有开门去阃(kǔn,门槛的意思)
6
一尺,不合二寸,问门广几何?”题目大意是:如图〔图()为图()的平
2 1
面示意图〕,推开双门,点C和点D距离门槛AB都为 尺,双门间隙
1
CD的距离为 寸,求AB的长.(注: 尺 寸)
2 1 =10
第十七章 特殊三角形 177如果 ABC的三边a b c满足a2 b2 c2 那么 C是直角吗
△ , , + = , ∠ ?
在 ABC中 由边的关系a2 b2 c2 推导出 C是直角较难做到.
△ , + = , ∠
若作一个与 ABC全等的直角三角形 则可借助于全等的性质来说明 C
△ , ∠
是直角.
已知 如图 在 ABC
: 17.3 8(1), △
中 AB c BC a CA b 且a2
, = , = , = , +
b2 c2.
=
求证 C .
:∠ =90°
证明 如图 作 A'B'C'
: 17.3 8(2), △ ,
使 C' B'C' a C'A' b. 由勾股
∠ =90°, = , =
定理 可得 图
, 17.3 8
A'B'2 a2 b2.
= +
a2 b2 c2
∵ + = ,
A'B'2 c2.
∴ =
A'B' c.
∴ =
在 ABC和 A'B'C'中
△ △ ,
BC B'C' a AC A'C' b AB A'B' c
∵ = = , = = , = = ,
ABC A'B'C'.
∴ △ ≌△
C C' .
∴ ∠ =∠ =90°
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是
直角三角形.
例3 图 是一个机器零件的示意图
17.3 9 ,
ACD 是这种零件合格的一项指标.
∠ =90°
现测得AB BC CD
=4cm, =3cm, =
AD ABC .根据 图
12cm, =13cm,∠ =90° 17.3 9
178 数学 八年级上册这些条件 能否知道 ACD
, ∠ =90°?
解 在 ABC中
: △ ,
ABC
∵ ∠ =90°,
AC2 AB2 BC2 勾股定理 .
∴ = + ( )
AB BC
∵ =4, =3,
AC2 2 2 2.
∴ =3+4=5
AC .
∴ =5
在 ACD中
△ ,
AC CD AD
∵ =5, =12, =13,
AC2 CD2 2 2
∴ + =5+12=169,
AD2 2 .
=13=169
AC2 CD2 AD2.
∴ + =
ACD 勾股定理的逆定理 .
∴ ∠ =90°( )
.下列每组数分别是一个三角形三条边的长.请判断哪一组数对应的
1
三角形是直角三角形 并说明理由.
,
.
(1)0.5,1.2,1.3
.
(2)8,12,4 13
.
(3)4,5,6
.工人师傅在安装长方形铝合金窗框时 为检验窗框的四个角都是直
2 ,
角 可采用哪些方法 以图中的 B为例 请说明判断 B是直角的方法
, ? ∠ , ∠
和依据.
第 题
( 2 )
第十七章 特殊三角形 179M
组
A
.判断三条边长分别为下列三个数的三角形是不是直角三角形,并说明
1
理由.
() , , .
1 8 15 17
() , , .
2 20 21 29
.已知:如图,在 ABC 中,AD 是BC 边上的中线,
2 △
BC ,AD ,AB .求证:AB AC.
第 题
=6 =4 =5 =
( 2 )
组
B
.如图,在四边形ABCD中,AB ,BC ,CD ,
3 =4 =3 =52
AD ,且AB BC.求四边形ABCD的面积.
=5 ⊥
.在港口有甲、乙两艘渔船,甲船沿北偏东 方向以每小时
4 60°
海里的速度前进,乙船沿南偏东某个方向以每小时 海 第 题
8 15 ( 3 )
里的速度前进, 小时后,甲船航行到 岛,乙船航行到 岛.如果两
2 M P
岛相距 海里,那么你知道乙船是沿哪个方向航行的吗? (不考虑水流
34
速度)
组
C
.判断以下面两组数为边长的三角形是不是直角三角形.
5
() m,m2 ,m2 . (m )
1 2 -1 +1 >1
() mn,m2 n2 ,m2 n2.(m n )
2 2 - + > >0
.如图,分别以 ABC的三边为直径向图形外作半圆,
6 △
这三个半圆的面积分别为S ,S ,S ,且S S
1 2 3 1+ 2=
S ,那么 ABC是不是直角三角形? 请说明理由.
3 △
第 题
( 6 )
180 数学 八年级上册勾 股 定 理
勾股定理是几何学中最著名的定理,堪称数学史上里程碑式的发现.
我国是世界上最早了解勾股定理的国家之一.传说在公
元前 年以前,大禹就已经会用勾股定理来确定两地的地
2000
势差,并以此来治理洪水了.在我国古代数学著作 《周髀算
经》中,记载着商高关于勾股形问题与周公的谈话:“故折矩
以为勾广三,股修四,径隅五.”就是说,矩形以其对角相折所成的直
角三角形,如果勾为 ,股为 ,那么弦必定为 .这是勾股定理的一个
3 4 5
特例.因此,也有人称勾股定理为商高定理.我国三国时期的
数学家赵爽(生卒年不详)在为 《周髀算经》作注时,利用 “弦
图”巧妙地给出了勾股定理的证明.这个证明是有史以来四百
多种证明中最巧妙的证法之一. 赵爽
公元前 世纪,古希腊数学家毕达哥拉斯发现,用黑、白两种颜色
6
且大小相同的正方形石板铺成的路面,两个小正方形面积的和等于一个
大正方形的面积〔参照图 ()〕;进而又猜想这个关系对一般的直角
17.312
三角形也是成立的,并证明了它.因此,西方也称勾股定理为毕达哥拉斯
定理.
第十七章 特殊三角形 181在一个直角三角形中,由勾股定理可知:如果两条边确定,那么第
三边也随之确定.由此可以得出直角三角形全等的新的判定方法.
我们已经知道 三边分别相等的两个三角形全等.由勾股定理可知 斜
, ,
边和一条直角边分别相等的两个直角三角形 其第三边一定相等 从而可以
, ,
判定这两个直角三角形全等.证明过程如下
:
已知 如图 在 ABC 和
: 17.4 1, △
A'B'C'中 C C' AB
△ ,∠ =∠ =90°, =
A'B' AC A'C'.
, =
求证 ABC A'B'C'.
:△ ≌△
证明 在 ABC和 A'B'C'中
: △ △ ,
C C' 图
∵ ∠ =90°,∠ =90°, 17.4 1
BC2 AB2 AC2
∴ = - ,
B'C'2 A'B'2 A'C'2.
= -
AB A'B' AC A'C'
∵ = , = ,
BC B'C'.
∴ =
ABC A'B'C'.
∴ △ ≌△
直角三角形全等的判定定理
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等.
这个定理可简记为 斜边 直角边 或 .
“ 、 ” “HL”
我们知道 每一种判定两个三角形全等的条件 都能作出唯一确定的三
, ,
角形.根据直角三角形全等的判定定理 已知斜边和一条直角边 就可以利
, ,
用尺规作出唯一的直角三角形.
182 数学 八年级上册例1 已知 如图 线段a c.
: 17.4 2, ,
求作 ABC 使 C BC a AB c.
:△ , ∠ =90°, = , =
分析 首先作出边BC 由 C为直角可以作出另
: , ∠ 图
17.4 2
一直角边所在的射线 由AB c可以确定
, =
点A.
作法 如图 .
: 17.4 3
作线段CB a.
(1) =
过点C 作MC CB.
(2) , ⊥
以B为圆心 c为半径画弧 交
(3) 、 ,
CM 于点A.
连接AB.
图
(4)
17.4 3
ABC即为所求.
△
例2 已知 如图 点P在 AOB的内部 PC OA PD OB
: 17.4 4, ∠ , ⊥ , ⊥ ,
垂足分别为C D 且PC PD.
, , =
求证 点P在 AOB的平分线上.
: ∠
证明 如图 作射线OP.
: 17.4 5,
PC OA PD OB
∵ ⊥ , ⊥ ,
PCO PDO . 图
∴ ∠ =∠ =90° 17.4 4
在 OPC和 OPD中
Rt△ Rt△ ,
PC PD 已知
= ( ),
∵ OP OP 公共边
= ( ),
OPC OPD .
∴ Rt△ ≌Rt△ (HL)
POA POB.
∴ ∠ =∠
OP是 AOB的平分线 图
∴ ∠ , 17.4 5
即点P在 AOB的平分线上.
∠
这样 我们就证明了角平分线性质定理的逆定理
, :
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.
第十七章 特殊三角形 183.回答下列问题 并说明理由.
1 ,
有两条边分别相等的两个直角三角形是否全等
(1) ?
有一条边和一个锐角分别相等的两个直角三角形是否一定全等
(2) ?
.已知 如图 在 ABC中 BD AC CE AB 垂足分别为D E
2 : , △ , ⊥ , ⊥ , , ,
BD CE.求证 AB AC.
= : =
第 题
( 2 )
M
组
A
.已知:如图,在 ABC中,D为BC的中点,DE AB,DF AC, 垂
1 △ ⊥ ⊥
足分别为E,F,DE DF.求证:AB AC.
= =
第 题 第 题
( 1 ) ( 2 )
.已知:如图,CE AB,DF AB, 垂足分别为E,F,CE DF,
2 ⊥ ⊥ =
AC BD.
=
()求证:AE BF.
1 =
()求证:AC BD.
2 ∥
184 数学 八年级上册组
B
.已知:如图,在 ABC中, ACB ,D 为AC上的一点,DE
3 △ ∠ =90° ⊥
AB,垂足为E,BE BC,BD与CE相交于点O.求证:OE OC.
= =
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.已知:如图,BD AD,AC BC,垂足分别为D,C,且AC BD.
4 ⊥ ⊥ =
求证:AD BC.
=
组
C
. 已知:如图,AC平分 BAD,CE AB于点E,CF AD,交AD的
5 ∠ ⊥ ⊥
延长线于点F,且BC DC.
=
()求证:BE DF.
1 =
()求AB,AD,BE之间的数量关系.
2
第 题
( 5 )
第十七章 特殊三角形 185在证明命题为真命题时,一般用直接证明的方法,但有时用间接证
明的方法可能更方便.反证法就是一种常用的间接证明方法.
在第十章中 我们已经知道 一个三角形中最多有一个直角 这个结
, “ ”
论.那么 怎样证明它呢
, ?
已知 如图 ABC.
: 17.5 1,△
求证 在 ABC中 如果它含有直角 那么它只能
: △ , ,
有一个直角.
证明 假设 ABC中有两个 或三个 直角 不妨设
: △ ( ) , 图
17.5 1
A B .
∠ =∠ =90°
A B
∵ ∠ +∠ =180°,
A B C .
∴ ∠ +∠ +∠ >180°
这与 三角形的内角和等于 相矛盾.
“ 180°”
因此 一个三角形中有两个 或三个 直角的假设是不成立的.
, ( )
所以 如果一个三角形中含有直角 那么它只能有一个直角.
, ,
上面的证明过程 是先假设原命题的结论不正确 再从这个假设出发
, , ,
经过逐步推理论证 最后推出与学过的三角形内角和定理相矛盾的结果.因
,
此 假设是错误的 原结论是正确的.
, ,
这种证明命题的方法叫作反证法 .反证法是一
(proofbycontradiction)
种间接证明的方法.
用反证法证明一个命题是真命题的一般步骤是
:
第一步 假设命题的结论不成立.
,
第二步 从这个假设和其他已知条件出发 经过推理论证 得出与学过
, , ,
的概念 基本事实 已证明的定理 性质或题设条件相矛盾的结果.
、 , 、
第三步 由矛盾的结果 判定假设不成立 从而说明命题的结论是正
, , ,
确的.
186 数学 八年级上册例1
第十七章 特殊三角形 187
* 用反证法证明平行线的性质定理 两条平行线被第三条直线所截 同
: ,
位角相等.
已知 如图 直线AB CD 直线EF分别与直线AB CD
: 17.5 2, ∥ , ,
交于点G H 和 是同位角.
, ,∠1 ∠2
求证 .
:∠1=∠2
图
17.5 2
证明 假设 .
: ∠1≠∠2
过点G作直线MN 使得 EGN .
, ∠ =∠1
EGN
∵ ∠ =∠1,
MN CD 基本事实 .
∴ ∥ ( )
又 AB CD 已知
∵ ∥ ( ),
过点G 有两条不同的直线AB和MN都与直线CD平行.
∴ ,
这与 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
“ ”
相矛盾.
的假设是不成立的.
∴ ∠1≠∠2
因此 .
,∠1=∠2
例2 用反证法证明直角三角形全等的 斜边 直角边 定理.
“ 、 ”
已知 如图 在 ABC和 A'B'C'中 C C'
: 17.5 3, △ △ ,∠ =∠ =90°,
AB A'B' AC A'C'.
= , =
求证 ABC A'B'C'.
:△ ≌△
图
17.5 3证明 假设 ABC与 A'B'C'不全等 即BC B'C'.不妨设BC
: △ △ , ≠ <
B'C'.如图 在B'C'上截取C'D CB 连接A'D.
17.5 3, = ,
在 ABC和 A'DC'中
△ △ ,
AC A'C' C C' CB C'D
∵ = ,∠ =∠ , = ,
ABC A'DC' .
∴ △ ≌△ (SAS)
AB A'D 全等三角形的对应边相等 .
∴ = ( )
AB A'B' 已知
∵ = ( ),
A'B' A'D 等量代换 .
∴ = ( )
B' A'DB' 等边对等角 .
∴ ∠ =∠ ( )
A'DB' 三角形的内角和定理
∴ ∠ <90°( ),
即 C' A'DB' 三角形的外角大于和它不相邻的
∠ <∠ <90°(
内角 .
)
这与 C' 相矛盾.
∠ =90°
因此 BC B'C'的假设不成立 即 ABC与 A'B'C'不全等
, ≠ , △ △
的假设不成立.
所以 ABC A'B'C'.
,△ ≌△
用反证法证明
:
如果a b 那么a b中至少有一个等于 .
(1) · =0, , 0
两条直线相交 有且只有一个交点.
(2) ,
已知 直线a b 直线c与b相交 且c与b不垂直.请用反证法证
: ⊥ , ,
明 a与c相交.
:
188 数学 八年级上册M
组
A
.用反证法证明 “ 是无理数”,最恰当的方法是先假设 .
1 2
.填空:
2
小明尝试用反证法证明 “一个三角形中不能含有两个直角”,他写出了以
下三个步骤:
假设在 ABC中, A和 B都是直角;
① △ ∠ ∠
则 A B C , ;
② ∠ +∠ +∠ >180°
假设不成立,所以一个三角形中 含有两个直角.(填“能”或
③
“不能”)
组
B
.已知:在 ABC中,AB AC.用反证法证明: B C.
3 △ ≠ ∠ ≠∠
.用反证法证明:垂直于同一条直线的两条直线平行.
4
组
C
.用反证法证明:一个三角形中最大的内角不小于 .
5 60°
.用反证法证明:如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线也
6
互相平行.
第十七章 特殊三角形 189一、知识结构
二、总结与反思
本章的主要内容是等腰三角形 等边三角形 直角三角形的性质和判
、 、
定 直角三角形全等的判定 勾股定理和勾股定理的逆定理以及反证法.
, ,
特殊三角形除了具有一般三角形的性质外 还具有它的特殊性.三角形
,
有边和角两类元素 边的特殊性决定了角的特殊性 反过来 角的特殊性也
, ; ,
决定了边的特殊性.如果 ABC中 A B C的对应边分别为a bc
△ ∠ ,∠ ,∠ , , ,
那么
b c B C
= ⇔∠ =∠ ;
a b c A B C
= = ⇔∠ =∠ =∠ =60°;
A B C a2 b2 c2.
∠ +∠ =∠ =90°⇔ + =
190 数学 八年级上册.等腰三角形.
1
等腰三角形具有轴对称性 底边的垂直平分线就是它的对称轴.
,
等腰三角形的等角对等边 等边对等角.
,
等边三角形有三条对称轴 它的三个内角都是 .
, 60°
.直角三角形.
2
两锐角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形的两个锐角互余 斜边上的中线等于斜边的一半.
,
勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么
: , , ,
a2 b2 c2.
+ =
勾股定理的逆定理 如果三角形的三边a b c满足a2 b2 c2 那么
: , , + = ,
这个三角形是直角三角形.
运用勾股定理可以解决已知直角三角形两边求第三边的问题 运用勾股
,
定理的逆定理可以判断三角形是不是直角三角形.
判定两个直角三角形全等 除了 边边边 边角边 角边角 角角
, “ ”“ ”“ ”“
边 之外 还有 斜边 直角边 定理.
” , “ 、 ”
.反证法是一种证明命题的方法 一般适用于直接证明有困难的命题.
3 ,
三、注意事项
.等腰直角三角形同时具有等腰三角形和直角三角形的所有性质.
1
.已知三角形的三边 判断这个三角形是不是直角三角形 应先找出
2 , ,
最大边 再计算最大边的平方 最后看其是否等于另两边的平方和.
, ,
组
A
"
.如图,在 ABC 中,D 为BC 上一点, A
1 △ ∠ =
,BE BD,CD CF.求 EDF的度数.
70° = = ∠
第 题
( 1 )
第十七章 特殊三角形 191.已知:如图, ABC的 ABC和 ACB的外角平分线交于点D,过
2 △ ∠ ∠
点D作EF BC,分别交AB和AC的延长线于点E,F.求证:BE
∥ =
DE,CF DF.
=
第 题
( 2 )
.已知:如图, ABC, ADE 都是等边三角形.求证: ABD
3 △ △ △ ≌
ACE.
△
第 题 第 题
( 3 ) ( 4 )
.如图,这是小明制作的一个简易水平仪.其中,AC AB,D为BC的
4 =
中点,在点D 处悬挂一个自然下垂的铅锤.当点A恰好在铅垂线上时,
BC就处于水平位置.请说明理由.
.如图,在 ABC中,边BC,AB上的高AD,CE交于点F,EF EB.
5 △ =
图中还有哪些相等的线段? 请写出来,并给出证明.
第 题 第 题
( 5 ) ( 6 )
.已知:如图,在 ABC中,AD BC,垂足为D, BAD C.求
6 △ ⊥ ∠ =∠
证: ABC为直角三角形.
△
192 数学 八年级上册.如图,以 ABC的斜边AB为直角边作等腰直角三角形ABD,再作
7 Rt△
DE AC,交CA的延长线于点E.请利用面积相等证明勾股定理.
⊥
第 题 第 题
( 7 ) ( 8 )
.已知:如图,BC 和EF 是两个长度相等的滑梯,AC DF.求证:
8 =
ABC DFE .
∠ +∠ =90°
.已知直角三角形两直角边的长分别为 和 .求斜边上的高.
9 6 8
组
B
.如图,有一张直角三角形纸片,直角边AC ,BC .现将直
10 =6cm =8cm
角边AC沿 CAB的平分线AD折叠,使它落在斜边AB上,点C与
∠
点E重合,连接DE.求CD的长.
第 题 第 题
( 10 ) ( 11 )
.已知:如图,在 ABC中, C ,AC BC,AD是 BAC的平
11 △ ∠ =90° = ∠
分线.求证:AC CD AB.
+ =
.取一张长方形纸片ABCD,如图()所示,请按下列步骤操作:
12 1
第 题
( 12 )
第十七章 特殊三角形 193步骤一:将纸片对折,使较长的两边BC,AD重合,然后打开,折痕
为EF,如图()所示.
2
步骤二:再折叠,使点A 落在EF上的点G处,然后打开,折痕为
BH,连接AG,BG,如图()所示.
3
请证明 ABG是等边三角形.
△
组
C
.如图,网格图中每一个小格都是边长为 的正方形.请在网格图中找到
13 1
一个格点P,连接PA和PB,使得PA ,PB .
=13 =5
第 题
( 13 )
.已知:如图,在 ABC中, B C,AD是 BAC的平分线.求
14 △ ∠ =2∠ ∠
证:AB BD AC.
+ =
第 题
( 14 )
194 数学 八年级上册 
M/UU
探秘中国载人航天工程中的航天技术
一 问题背景
、
年 月 日 搭载神舟十四号载人飞船的长征二号 遥十四运载
2022 6 5 , F
火箭在酒泉卫星发射中心点火发射 约 秒后 神舟十四号载人飞船与火
, 577 ,
箭成功分离 进入预定轨道 这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首
, .
次载人飞行任务正式开启
.
你知道神舟十四号载人飞船预定轨道
的半径是多少吗 要把神舟十四号载人飞
?
船送到预定轨道 火箭需要达到的最终速
,
度是多少 当环绕地球运行时 航天器所
? ,
需要的最小速度是多少 若速度过大 航
? ,
天器会飞离绕地球的轨道 也就是会脱离地球 航天技术中还有很多有趣的
, .
问题等待着我们去探究
.
二 活动任务与建议
、
独立思考 完成下列任务
1. , :
了解我国载人航天工程的伟大成就
(1) .
长征二号 运载火箭的技术特点是什么 神舟十四号的飞行任务
(2) F ?
有哪些 中国空间站离地球多远 其飞行速度是多少
? , ?
什么是第一宇宙速度 什么是第二宇宙速度 如何计算它们呢
(3) ? ? ?
在小组内交流各自的探究结果 并与同学一起就航天技术中的航天
2. ,
运载器技术 航天器技术 航天测控技术等相关问题展开讨论 组长选择共
、 、 .
性问题在小组内探究
.
三 完成探究报告 分享交流
、 ,
项目学习 195 
M/UU
最优设计方案
一 问题背景
、
在现实生活中 我们经常遇到这样的问题 在确定的区域内 怎样合理
, : ,
布局安装太阳能光伏板 才能取得最大发电效益 在某个地区里 怎样布局
, ? ,
安装 信号塔 才能用最小的投入实现合理的信号覆盖 这样的问题还有
5G , ?
很多 它们的共同特征为 在给定的区域内 怎样设计方案才能更高效地利
, : ,
用空间 且满足其他相关要求
, ?
例如 学校生物实验基地有一块边长为 的正方形田地 计划栽种
: 10m ,
某种小树苗 要求如下
. :
在正方形田地内种植树苗 但树苗不可以栽种在地边上
1. , .
树苗的株距不小于
2. 1m.
在符合栽种要求的条件下 如何确定栽种方案可使所种树苗最多 即最
, (
优种植方案
)?
二 活动任务与建议
、
独立思考 完成下列任务
1. , :
将以上实际问题转化为数学问题 并利用图示展示自己设计的栽种
(1) ,
方案
.
运用学过的数学知识解释自己设计的方案的合理性和可行性
(2) .
在小组内交流各自的栽种方案 通过研讨 比较和归纳 共同提出
2. , 、 ,
最优种植方案 类似地 进一步尝试提出一个新问题并思考其解决方案
. , .
三 完成探究报告 分享交流
、 ,
196 数学 八年级上册后 记
年,国家正式启动了义务教育阶段的新一轮课程改革。有感于时代的召唤,
2001
编写组正式向教育部提出了编写立项申请。经专家评审,当年 月通过了立项。
12
年 月,依据 《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》编写的教科书,经
2003 3
全国中小学教材审定委员会审查通过,并公布于当年的用书目录中,作为义务教育课
程标准实验教科书,供实验区选用。
年 月,编写组依据 《义务教育数学课程标准( 年版)》完成了教科书的
2012 3 2011
修订工作。修订后的 年课标版教科书于 年秋季开始使用。
2011 2012
年 月,编写组启动新一轮教科书编修工作。 年 月,编写组依据 《义
2021 12 2023 3
务教育数学课程标准( 年版)》完成了本套教科书的修订稿。
2022
本套教科书的编写是在深入研究 《义务教育数学课程标准( 年版)》,认真听取
2022
年课标版教科书主编杨俊英、副主编王洁敏、核心编者徐建乐和简友等同志的建
2011
议,吸纳一线教师审读及课堂教学实验意见的基础上,进一步创新发展修订而成的,
凝聚了编写组的集体智慧。同时,在编写、完善教科书的过程中,我们得到了众多专
家、学者、教师的大力支持和热情帮助,在此我们表示衷心的感谢,并感谢所有为教
科书的编修工作提供帮助的教育界同人和社会各界朋友。
我们深知,教科书是全面落实立德树人根本任务、弘扬中华优秀传统文化、发展
学生核心素养的重要载体。我们会持续努力,不断提升教科书的质量,朝着建设精品
教科书的目标奋力进取。我们也诚挚地希望广大教师、学生和家长继续关注和支持这
套教科书,使它越来越好。
在使用过程中,如果您有意见或建议,请及时反馈给我们。
联系电话:
0311-88643523 0311-88643630
电子邮箱:
chuzhongshuxue@hbep.com义
务
教
育
教
科
书
数
义务教育教科书
数 学
学
八
年
级
八年级 上册
上
册
绿色印刷产品
定价：11.80元
冀发改价调〔2022〕1365号 冀发改价审〔2025〕102086 全国价格举报电话：12315