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第
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讲
请
设
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边
文
内
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2
“
”
很开心能见到你，本书将带领你进入全新的领域。在过去
的学习中，无论你是卓越还是略有失意，此刻将是新的征途的开
始。你是否已准备好谱写新的辉煌？
在这里，你会知道许多著名数学家的趣事。你也会揭开数学
神秘的面纱，了解数学之美。
大数学家高斯说：“数学是一切科学的皇后。”如果说物理是
上帝的游戏，那数学就是上帝的游戏规则。数学是通往星辰大海
的秘钥，是国防科技的护盾，是我们脚下这片土地的未来。华罗
庚说过：“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之
变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在。”
现在的你，肯定已迫不及待想要扬帆起航。但睿智的你肯定
也明白，学习的事，容不得半点含糊。
亲爱的同学：
第一，凡事预则立，不预则废。
第二，认真听课，积极互动。认真做笔记，总结解题方法、技巧。
第三，温故而知新，可以为师矣。不忘温习，方得始终。
第四，及时完成随堂练习。今朝有题今朝做，明朝又有明朝事。
第五，整理错题，学会总结。聪明人知错就改，糊涂人有错就瞒。
最后，青春的帆已扬起，只待你乘风破浪，勇往直前。
对于初中直播课学习，给你一些建议：
序言
华
罗
庚
高
斯
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第
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讲
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3
1
心形函数曲线
π
5
2
3
4
金字塔
有趣的黄金分割线
对称美
古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线条和其他一切
美的形体都必须有对称的形式。”对称本身即具有和谐的
整体美。
早在南北朝时期，大数学家祖冲之就利用割圆术将圆周
率π精算到小数点后七位，直到15世纪，阿拉伯数学
家阿尔·卡西才打破了这一纪录。
金字塔，是古埃及人智慧代表的巅峰之作。早在古希腊
时期，几何学家泰勒斯就可以根据投影与相似三角形定
理，测量出金字塔的高度。
0.618比1，著名的“黄金分割比”。意大利著名画家
达·芬奇笔下的《蒙娜丽莎》就多次应用黄金分割比，
蒙娜丽莎之所以越看越美，就是因为她的脸型、身材均
符合黄金矩形。
笛卡尔给公主的信中，只有一道函数公式：r=a(1-sinθ）。
而极具浪漫色彩的是，当公主把函数图象画出来后，一颗饱满
的心跃然纸上。这就是著名的“心形线”。
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第
0
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5
希望学教研团队
亲爱的同学：
当你翻开这本书的时候，你又开始了一段新的学习之旅。
本书由希望学教研团队编写而成。团队有多年的教研沉淀，致力于
为同学们提供小学、初中和高中全学科的课外有益补充，培养学生分
析问题和自主解决问题的能力。锻炼思维，开拓视野，由“知识型”
向“能力型”转化。
下面我们将向你介绍本书的诞生过程：
1、对标教材和课程标准建立课程大纲
希望学教研团队根据教育部审定的最新中学教材，选取重难点模
块，收集各地区题目，精心敲定教学大纲。
2、依据大数据、编撰高标准
①依托多年教研沉淀，精品题库、讲义素材、课件切片等四大库教
研基建，为讲义编撰提供优质素材；
②希望学大数据核心算法定位学习中的薄弱环节；
③百人教研团队，历经1000+小时，严格按照大纲目录进行编写，
三轮审核三轮校对。
3、三审三校
初稿经由希望学教研中心内部一审，学科产品、教学中心、主讲老
师集中二审，外部专家专业三审后进入校对环节。
由编者一次精校；教研中心资深教研员二次精校；排版团队三次精
校。只有经过全面的三审三校，这本书才能发送给我们的用户！
4、排版
编撰与审校结束后，会安排专业团队进行排版印刷。模板和风格由
专业设计师进行设计，并不断更新迭代，紧跟审美风向标，提升可读
性。由供应部门统一调配和发货，这本书就会到达你的手中啦！
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！接下来的每一天，我们都会在
你的见证下不断精进，不断成长。
未来，希望学也会继续承担起用科技推动教育进步的重任，不断致
力于教育资源的均衡发展。伴随着你的成长，见证着你的成功，每天
进步一点点，一起做更好的自己！
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目录
第6 讲
直角三角形与勾股定理2
1
模块一
勾股定理逆定理
3
模块二
算术平方根几何意义
4
模块三
直角三角形的性质与判定
5
模块四
直角三角形斜边中线
8
【习题课】直角三角形与勾股定理2
14
第7 讲
全等辅助线进阶1
17
模块一
角平分线相关辅助线
19
模块二
互补角进阶
24
【习题课】全等辅助线进阶1
33
第8 讲
全等辅助线进阶2
37
模块一
异侧二倍角
39
模块二
内错、同位二倍角
45
模块三
共顶点二倍角
48
【习题课】全等辅助线进阶2
54
第9 讲
一次函数与特殊三角形
59
模块一
一次函数与等腰三角形
61
模块二
一次函数与直角三角形
65
【习题课】一次函数与特殊三角形
73
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第10 讲
一次函数与几何综合
77
模块一
一次函数与面积
79
模块二
一次函数与全等三角形
81
【习题课】一次函数与几何综合
89
第11 讲
一次函数的应用综合
93
模块一
一次函数的实际应用
95
模块二
一次函数的整点问题
99
模块三
一次函数与不等式进阶
101
【习题课】一次函数的应用综合
105
第12 讲
概率进阶
109
模块一
概率初步
111
模块二
特殊事件的概率
116
【习题课】概率进阶
122
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第6 讲
直角三角形与
直角三角形与勾股
定理2
模块一
勾股定理逆定理
模块二
算术平方根几何意义
模块三
直角三角形的性质与判定
模块四
直角三角形斜边中线
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
2
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
勾股定理
逆定理
勾股定理逆定理
的应用
★★★
例1
算术平方
根的几何
意义
直角三角形的
构造
★★★
例2
随堂练习1
数形结合求最值
★★★★
例3
★★★★
例4
直角三角
形的性质
与判定
斜边中线定理的
证明
★★★
例5
含直角三角形的
推导
★★★★
例6
随堂练习2
直角三
角形斜
边中线
斜边中线定理的
应用
★★★★
例7
随堂练习3
★★★★★
例8
共斜边直角三
角形
★★★★
例9
随堂练习4
★★★★★
例10
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
3
模块一
模块一
勾股定理逆定理
知识梳理
【勾股定理的逆定理】
如果三角形的三边长𝑎，𝑏，𝑐满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2，那么这个三角形是直角三角形.
利用此定理可以判断三角形的形状，在△𝐴𝐵𝐶中，设𝐴𝐵= 𝑐，𝐵𝐶= 𝑎，𝐴𝐶= 𝑏．
1. 若𝑐2 < 𝑎2 +𝑏2，则∠𝐶是锐角；
2. 若𝑐2 > 𝑎2 +𝑏2，则∠𝐶是钝角．
【勾股数】
满足𝑎2 +𝑏2 = 𝑐2 的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17．
【勾股数的构造】
利用一定的方式可以构造出所有勾股数，例如：令𝑎= 𝑚2 −𝑛2，𝑏= 2𝑚𝑛，𝑐= 𝑚2 +𝑛2（其中
𝑚、𝑛为正整数），这样可以得到所有的勾股数组．
典型例题1
如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 3cm,𝐴𝐷= 4cm,𝐵𝐶= 13cm,𝐶𝐷= 12cm，且∠𝐴= 90∘，则四边
形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是
．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
4
模块二
模块二
算术平方根几何意义
典型例题2
求三边长为√10、√29、√61 的三角形的面积．
典型例题3
设𝑎，𝑏，𝑐，𝑑都是正数．求证：√𝑎2 +𝑐2 +𝑑2 +2𝑐𝑑+√𝑏2 +𝑐2 > √𝑎2 +𝑏2 +𝑑2 +2𝑎𝑏．
典型例题4
已知𝑎，𝑏，𝑐均为正实数，求证：√𝑎2 +𝑏2 +√𝑏2 +𝑐2 +√𝑐2 +𝑎2 ⩾√2(𝑎+𝑏+𝑐)．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
5
模块三
模块三
直角三角形的性质与判定
知识梳理
【直角三角形的性质】
1. 直角三角形的两个锐角互余；
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
【注意】
以上的逆定理也成立.
【直角三角形的判定】
1. 有两个角互余的三角形为直角三角形；
2. 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形，这条
边为斜边.
【常用结论】
如图，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐷为𝐵𝐶中点，则有：
1. ∠𝐵+∠𝐶= 90∘
2. 𝐴𝐷= 1
2𝐵𝐶= 𝐵𝐷= 𝐶𝐷；
3. ∠𝐴𝐷𝐵= 2∠𝐶，∠𝐴𝐷𝐶= 2∠𝐵
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
6
【共斜边直角三角形模型】
在Rt△𝐴𝐵𝐶与Rt△𝐷𝐵𝐶中，𝑀为公共斜边的中点，则有：𝐴𝑀= 𝑀𝐷，∠𝐴𝑀𝐷= 2∠𝐴𝐵𝐷
典型例题5
用三种方法证明：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
已知：如图，∠𝐵𝐶𝐴= 90∘，𝐴𝐷= 𝐷𝐵．求证：𝐶𝐷= 1
2𝐴𝐵．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
7
典型例题6
已知Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐶𝐸是∠𝐴𝐶𝐵的平分线，交𝐴𝐷于
𝐹，交𝐴𝐵于𝐸，𝐺是𝐸𝐹的中点，连接𝐴𝐺并延长交𝐵𝐷于𝐻，求证：𝐶𝐻= 𝐶𝐴．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
8
模块四
模块四
直角三角形斜边中线
典型例题7
（1）已知直角三角形的周长为3 + √3，斜边上的中线长为1，则该直角三角形的面积是
．
（2）直角三角形斜边上的高线与中线的长分别是5 和6，则它的面积是
．
典型例题8
如图1，在Rt△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐶𝐷是斜边𝐴𝐵上的中线，𝐵𝐶= √3𝐶𝐷．
（1）求∠𝐷𝐶𝐵的大小．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
9
（2）如图2，点𝐹是边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐹沿𝐴𝐹所在直线翻折，点𝐵的对应点是点
𝐻，直线𝐻𝐹⊥𝐴𝐵，垂足为𝐺，如果𝐴𝐵= 2，求𝐵𝐹的长．
（3）如图3，点𝐸是△𝐴𝐶𝐷内一点，且∠𝐴𝐸𝐶= 150∘，连接𝐷𝐸，请判断线段𝐷𝐸、𝐴𝐸、𝐶𝐸
能否构成直角三角形？如果能，请证明；如果不能，请说明理由．
典型例题9
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐸、𝐶𝐹分别为边𝐴𝐶、𝐴𝐵上的高，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐷𝑀⊥𝐸𝐹于点𝑀．
求证：𝐹𝑀= 𝐸𝑀．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
10
典型例题10
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 90∘，点𝐸在直线𝐴𝐵上，𝐸𝐷与直线𝐴𝐶垂直，垂足为𝐷，且
点𝑀为𝐸𝐶中点，连接𝐵𝑀、𝐷𝑀．
（1）如图1，若点𝐸在线段𝐴𝐵上，探究线段𝐵𝑀与𝐷𝑀及∠𝐵𝑀𝐷与∠𝐵𝐶𝐷所满足的
数量关系，并直接写出你得到的结论．
（2）如图2，若点𝐸在𝐵𝐴的延长线上，
（1）中的结论是否发生变化？写出你的猜想并证
明．
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第
6
讲
直
角
三
角
形
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勾
股
定
理
2
11
随堂练习
随堂练习1
下面几组数：①7，8，9；②12，9，15；③𝑚2 +𝑛2，𝑚2 −𝑛2，2𝑚𝑛(𝑚，𝑛均为正整数，𝑚> 𝑛)；④𝑎2，
𝑎2 +1，𝑎2 +2．其中能组成直角三角形的三边长的是( )
A. ①②
B. ②③
C. ①③
D. ③④
随堂练习2
若△𝐴𝐵𝐶的三边𝑎，𝑏，𝑐满足(𝑎−𝑏)(𝑎2 +𝑏2 −𝑐2) = 0，则△𝐴𝐵𝐶的形状为
．
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第
6
讲
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角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
12
随堂练习3
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐷在𝐵𝐶上，𝐸为𝐴𝐵的中点，𝐴𝐷、𝐶𝐸相交于𝐹，且
𝐴𝐷= 𝐷𝐵．若∠𝐵= 20∘，则∠𝐷𝐹𝐸等于
∘．
随堂练习4
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐷是𝐵𝐶边上一点，过𝐷点作𝐷𝐸⊥𝐴𝐵于𝐸，𝐷𝐹⊥𝐴𝐶于𝐹，𝑀、𝑁分
别是𝐴𝐷、𝐸𝐹的中点．求证：𝑀𝑁⊥𝐸𝐹．
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讲
直
角
三
角
形
与
勾
股
定
理
2
13
思维游戏
思维游戏——鸡蛋不破
你拿一个生鸡蛋，让它自由下落。在地上没有任何铺垫物的情
况下，你能够使鸡蛋下落1 米而不破吗？
可以。只要将生鸡蛋的高度拿到1 米以上，然后让鸡蛋自由下
落，当它下落了1 米的时候，并没有碰到地面，当然不会破。
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直
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定
理
2
14
“三精”习题课
第 讲
6
直角三角形与勾股定理2
进阶拓展1
频率：较高
我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．
观察:3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；...，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3 起就
没有间断过．
（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数:
．
（2）若第一个数用字母𝑛(𝑛为奇数，且𝑛⩾3) 表示，那么后两个数用含𝑛的代数式分别
表示为
和
，请用所学知识说明它们是一组勾股数．
睛
点
法
方
勾股定理与平方差公式结合的规律探究问题。
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第
6
讲
直
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三
角
形
与
勾
股
定
理
2
15
进阶拓展2
频率：中
求√(𝑥−4)2 +(2−𝑦)2 +√4+(7−𝑦)2 +√(6−𝑥)2 +25 的最小值．
提示：点(𝑥,2)，点(4,𝑦)，点(6,7)．
睛
点
法
方
利用勾股定理与坐标系中两点间距离公式将所求的三个根式与两点距离联系，尝试
构造三个点，相互的距离个满足一个原式中的项。
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第7 讲
全等辅助
全等辅助线进阶1
模块一
角平分线相关辅助线
模块二
互补角进阶
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
18
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
角平分
线相关
辅助线
平行构造等腰
★★★
例1
随堂练习1
★★★★
例2
截取构造对称
★★★★
例3
随堂练习2
延长构造对称
★★★★
例4
随堂练习3
★★★★★
例5
互补角
进阶
共顶点、共边互补角
★★★★
例6
内错、同位互补角
★★★★
例7
随堂练习4
★★★★★
例8、9
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
19
模块一
模块一
角平分线相关辅助线
知识梳理
【平行构等腰】
如图，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑀为𝑂𝐴上一点．
1. 若𝑀𝑁//𝑂𝐵交𝑂𝐶于𝑁，则△𝑂𝑀𝑁是等腰三角形，𝑂𝑀= 𝑀𝑁；
2. 若𝑀𝑁//𝑂𝐶交𝐵𝑂延长线于𝑁，则△𝑂𝑀𝑁是等腰三角形，𝑂𝑀= 𝑂𝑁．
方法
总结
角分线+ 平行线，等腰三角必呈现
典型例题1
如图，点𝐼为△𝐴𝐵𝐶的角平分线的交点，𝐴𝐵= 8，𝐴𝐶= 6，𝐵𝐶= 4，将∠𝐴𝐶𝐵平移使其顶点
𝐶与𝐼重合，则图中阴影部分的周长为（ ）．
A. 9
B. 8
C. 6
D. 4
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
20
典型例题2
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐸为三角形的角平分线，𝐴𝐷⊥𝐶𝐸于点𝐹交𝐵𝐶于点𝐷．
（1）若∠𝐵𝐴𝐶= 96∘，∠𝐵= 28∘，直接写出∠𝐵𝐴𝐷=
度．
（2）若∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐵．
①求证：𝐴𝐵= 2𝐶𝐹．
②若𝐸𝐹= 2，𝐶𝐹= 5，直接写出𝐵𝐷
𝐶𝐷= ．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
21
知识梳理
【截取构对称】
如图，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃为𝑂𝐶上一点，𝑀为𝑂𝐴上一点，此时可在𝑂𝐵上取点𝑁，使得
𝑂𝑀= 𝑂𝑁，连接𝑃𝑁，则有△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁．
方法
总结
角分线，截两边，对称全等要记全
典型例题3
如图，点𝑃是△𝐴𝐵𝐶三个内角的角平分线的交点，连接𝐴𝑃、𝐵𝑃、𝐶𝑃，∠𝐴𝐶𝐵= 60∘，且
𝐶𝐴+𝐴𝑃= 𝐵𝐶，则∠𝐶𝐴𝐵的度数为
．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
22
典型例题4
如图，点𝑃为△𝐴𝐵𝐶内部一点，使得∠𝑃𝐵𝐶= 30∘，∠𝑃𝐵𝐴= 8∘，且∠𝑃𝐴𝐵= ∠𝑃𝐴𝐶= 22∘，
求∠𝐴𝑃𝐶的度数．
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7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
23
知识梳理
【延长构对称】
如图，𝑂𝐶平分∠𝐴𝑂𝐵，𝑃为𝑂𝐶上一点，𝑃𝑀⊥𝑂𝐶于点𝑃，此时可延长𝑀𝑃交𝑂𝐵于𝑁，
则有△𝑂𝑃𝑀≌△𝑂𝑃𝑁．
方法
总结
角分线，垂中间，三线合一等腰现
典型例题5
如图，点𝐸为𝐵𝐶中点，𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，𝐷𝐸平分∠𝐴𝐷𝐶．求证：∠𝐷𝐴𝐸+ 1
2∠𝐵𝐴𝐷= 90∘．
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第
7
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全
等
辅
助
线
进
阶
1
24
模块二
模块二
互补角进阶
知识梳理
【共顶点共边互补角】
如图，∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐴𝑂𝐶= 180∘（或2∠𝐴𝑂𝐵+∠𝐵𝑂𝐶= 180∘或∠𝐴𝑂𝐵+ 1
2∠𝐵𝑂𝐶= 90∘）．
此时可延长𝐵𝑂或𝐶𝑂：
1. 延长𝐵𝑂到𝐷，则有∠𝐴𝑂𝐶= ∠𝐴𝑂𝐷；
2. 延长𝐶𝑂到𝐸，则有∠𝐴𝑂𝐵= ∠𝐴𝑂𝐸．
方法
总结
共顶共边互补角，延长出去找等角
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
25
典型例题6
已知△𝐴𝐵𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐶．点𝐷为△𝐴𝐵𝐶外一点，连接𝐵𝐷，𝐶𝐷，𝐴𝐷，且
∠𝐵𝐷𝐶+2∠𝐵𝐷𝐴= 180∘，∠𝐴𝐵𝐷= 60∘，求证：𝐷𝐶+𝐵𝐷= 𝐴𝐵．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
26
知识梳理
【内错、同位互补角】
1. 如图，∠𝐶𝐴𝐵+∠𝐴𝐵𝐷= 180∘，∠𝐶𝐴𝐵和∠𝐷𝐵𝐴是内错角．
①延长𝐴𝐶、𝐷𝐵交于点𝐸，则△𝐴𝐵𝐸是等腰三角形．
②过点𝐶作𝐶𝐹//𝐵𝐷交𝐴𝐵于𝐹，则△𝐴𝐶𝐹是等腰三角形．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
27
③延长𝐶𝐴到𝐺，使得𝐴𝐺= 𝐵𝐷，连接𝐴𝐷、𝐵𝐺，则有△𝐴𝐵𝐺≌△𝐵𝐴𝐷．
2. 如图，∠𝐸𝐴𝐶+∠𝐸𝐵𝐷= 180∘，∠𝐸𝐴𝐶和∠𝐸𝐵𝐷是同位角．
此时也可类似内错角延长或平移构造等腰三角形．
方法
总结
内错、同位互补角，延长、平移造等腰，内错还有新方法，中垂对称拼平角
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
28
典型例题7
在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶是对角线，𝐴𝐵= 𝐶𝐷，∠𝐷𝐴𝐶+∠𝐵𝐶𝐴= 180∘，∠𝐵𝐴𝐶+∠𝐴𝐶𝐷= 90∘．
若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积是18，则𝐶𝐷的长是
．
典型例题8
如图，在等腰直角△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵= 90∘，𝐴𝐶= 𝐵𝐶．𝐸为斜边上一点，过点𝐵作𝐵𝐷⊥𝐶𝐸，
交𝐶𝐸的延长线于𝐷，连接𝐴𝐷．如图2，若𝐶𝐸= 2𝐵𝐷，𝐶𝐷的垂直平分线交𝐴𝐷于点𝑃，
连接𝐶𝑃，点𝐺是𝐴𝐷边上一点，连接𝐸𝐺．当∠𝐸𝐺𝐴+∠𝐴𝑃𝐶= 180∘，求证：𝐴𝑃= 𝐸𝐺．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
29
典型例题9
如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是𝐵𝐶的中点，𝐸是△𝐴𝐵𝐶内一点，∠𝐴𝐵𝐸= ∠𝐵𝐶𝐸，
连接𝐴𝐸、𝐷𝐸．求证：∠𝐴𝐸𝐶+∠𝐵𝐸𝐷= 180∘．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
30
随堂练习
随堂练习1
如图，在△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶和∠𝐴𝐶𝐵的平分线相交于点𝐹，过𝐹作𝐷𝐸//𝐵𝐶，交𝐴𝐵于点
𝐷，交𝐴𝐶于点𝐸．若𝐵𝐷= 3,𝐷𝐸= 5，则线段𝐸𝐶的长为（ ）
A. 3
B. 4
C. 2
D. 2.5
随堂练习2
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐶𝐷//𝐴𝐵，点𝐸在𝐵𝐶边上，∠𝐴𝐸𝐷= ∠𝐵𝐴𝐶，求证：𝐴𝐸= 𝐸𝐷．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
31
随堂练习3
如图，已知在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷𝐴𝐶+ ∠𝐴𝐶𝐵= 180∘，∠𝐵𝐴𝐶+ ∠𝐷𝐶𝐴= 90∘，且𝐴𝐵= 6，
𝐶𝐷= 4，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积为
．
随堂练习4
如图，已知∠𝐵+∠𝐶𝐷𝐸= 180∘，𝐴𝐶= 𝐶𝐸．求证：𝐴𝐵= 𝐷𝐸．
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
32
思维游戏
思维游戏——称糖1
有一个两臂不一样长却处于平衡状态的天平，给你2 个500
克的砝码，如何称出1 千克的糖？
两个砝码放左边，右边放糖，平衡后把左边的砝码换成糖即可。
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第
7
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全
等
辅
助
线
进
阶
1
33
“三精”习题课
第 讲
7
全等辅助线进阶1
进阶拓展1
频率：高
如图，△𝐴𝐵𝐶的面积为8cm2，𝐴𝑃垂直∠𝐴𝐵𝐶的平分线𝐵𝑃于点𝑃，则△𝑃𝐵𝐶的面积为
（ ）．
A. 2cm2
B. 3cm2
C. 4cm2
D. 5cm2
睛
点
法
方
角分线，垂中间，三线合一等腰现
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全
等
辅
助
线
进
阶
1
34
进阶拓展2
频率：较高
如图1，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷，𝐵𝐷分别平分∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐷、𝐵𝐷相交于点𝐷．过点𝐷作
𝐷𝐸//𝐴𝐶，𝐷𝐹//𝐵𝐶分别交𝐴𝐵于点𝐸、𝐹．
①若∠𝐸𝐷𝐹= 80∘，则∠𝐴𝐷𝐵= ．
②若∠𝐶= 𝑥∘，则∠𝐴𝐷𝐵= ．
睛
点
法
方
角分线+ 平行线，等腰三角必呈现
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第
7
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
1
35
进阶拓展3
频率：较高
△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 2∠𝐴𝐶𝐵，∠𝐵+∠𝐵𝐶𝐷= 180∘，𝐵𝐸= 𝐹𝐶，𝐷𝐸//𝐴𝐶. 求证：𝐸𝐹= 𝐹𝐷．
睛
点
法
方
内错、同位互补角，延长、平移造等腰，内错还有新方法，中垂对称拼平角
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第8 讲
全等辅助
全等辅助线进阶2
模块一
异侧二倍角
模块二
内错、同位二倍角
模块三
共顶点二倍角
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第
8
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
2
38
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
异侧二
倍角
同三角形内二倍角
★★★
例1
角平分线与异侧二倍角
★★★★
例2
随堂练习1
等线段与二倍角
★★★★★
例3
内错、
同位二
倍角
内错二倍角
★★★
例4
同位二倍角
★★★★
例5
随堂练习2
共顶点
二倍角
共顶点二倍角
★★★★
例6、7
随堂练习3
★★★★★
例8
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第
8
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
2
39
模块一
模块一
异侧二倍角
知识梳理
【同三角形内二倍角】
如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐵= 2∠𝐶，此时可以通过“半角翻倍”或“倍角折半”来构造等腰三角形．
1.“半角翻倍”：
如图，在𝐵𝐶上取点𝐷，使得𝐴𝐷= 𝐷𝐶，则△𝐴𝐵𝐷和△𝐴𝐷𝐶是等腰三角形，𝐴𝐵
= 𝐴𝐷= 𝐷𝐶．
2.“倍角折半”：
如图，延长𝐶𝐵到𝐸，使得𝐵𝐸= 𝐴𝐵，则△𝐴𝐵𝐸和△𝐴𝐶𝐸是等腰三角形．
方法
总结
同三角内二倍角，内割外补双等腰
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第
8
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
40
典型例题1
如图所示，在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 2𝐵𝐶，∠𝐵= 2∠𝐴，求∠𝐶的度数．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
41
知识梳理
【异侧二倍角+ 角平分线】
1. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷平分∠𝐵𝐴𝐶交𝐵𝐶于𝐷，此时可借助角平分线构造全等与等腰三
角形．
①在𝐴𝐶上取点𝐸，使得𝐴𝐸= 𝐴𝐵，连接𝐷𝐸，则△𝐴𝐵𝐷≌△𝐴𝐸𝐷，△𝐶𝐷𝐸是等腰三角
形．
②如图，延长𝐴𝐵到𝐹，使得𝐴𝐹= 𝐴𝐶，连接𝐷𝐹，则△𝐴𝐷𝐹≌△𝐴𝐷𝐶，△𝐵𝐷𝐹是等腰三
角形．
方法
总结
异侧二倍角分线，对称全等+ 等腰
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
42
典型例题2
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐷是∠𝐵𝐴𝐶的平分线，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵，𝑀是𝐵𝐶的中点，𝑀𝐸⊥𝐴𝐷，分别
交𝐴𝐵、𝐴𝐷的延长线于𝐸、𝐹，求证：𝐵𝐷= 2𝐵𝐸．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
43
知识梳理
【异侧二倍角+ 中点或等线段】
1. 如图，△𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵，𝑀是𝐵𝐶中点，则可利用𝐵𝐶中垂线构造对称．
①过𝐴作𝐴𝐸//𝐵𝐶，∠𝐸𝐶𝐵= ∠𝐴𝐵𝐶，连接𝐴𝑀、𝐸𝑀，则△𝐴𝐵𝑀≌△𝐸𝐶𝑀，△𝐴𝐸𝐶是等
腰三角形，𝐴𝐵= 𝐴𝐸= 𝐶𝐸．
②作𝐵𝐹平分∠𝐴𝐵𝐶交𝐴𝐶于𝐹，连接𝐹𝑀，则△𝐵𝐶𝐹是等腰三角形，若𝐴𝐵= 𝐵𝑀，
还有△𝐴𝐵𝐹≌△𝑀𝐵𝐹≌△𝑀𝐶𝐹．
2. 将“𝑀是𝐵𝐶中点”的条件改为“𝐵𝑀= 𝐶𝑀”，也可利用同样的方法解决．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
44
3. 再将“∠𝐴𝐵𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐵”的条件改为“∠𝐴𝐵𝑀= 2∠𝐴𝐶𝑀”，仍然可利用同样的方法解决．
方法
总结
异侧二倍等线段，中垂对称造全等
典型例题3
如图，已知点𝐷是△𝐴𝐵𝐶内一点，满足𝐴𝐷= 𝐴𝐶．若∠𝐴𝐶𝐵= 2∠𝐴𝐵𝐶，𝐵𝐷= 𝐶𝐷，试证明
∠𝐶𝐴𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐷．
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等
辅
助
线
进
阶
2
45
模块二
模块二
内错、同位二倍角
知识梳理
【同位二倍角】
如图，∠𝐵𝐴𝐸= 2∠𝐷𝐶𝐸，∠𝐵𝐴𝐸和∠𝐷𝐶𝐸是同位角，此时可构造等腰三角形或平行线解决
问题．
①延长𝐵𝐴、𝐷𝐶交于点𝐹，则△𝐴𝐶𝐹是等腰三角形．
②过点𝐴作𝐴𝐺//𝐶𝐷，则𝐴𝐺平分∠𝐵𝐴𝐸．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
46
③过点𝐶作𝐶𝐻//𝐴𝐵，则𝐶𝐷平分∠𝐸𝐶𝐻．
【内错二倍角】
如图，∠𝐵𝐴𝐶= 2∠𝐴𝐶𝐷，∠𝐵𝐴𝐶和∠𝐴𝐶𝐷是内错角，也可利用同位二倍角类似的方法解决．
方法
总结
同位、内错二倍角，延长就会有等腰，还可构造平行线，同时出现角分线
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
47
典型例题4
若四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是一个凸四边形，∠𝐶𝐵𝐷= 2∠𝐴𝐷𝐵，∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶𝐷𝐵，𝐴𝐵= 𝐵𝐶，求证：
𝐴𝐷= 𝐶𝐷．
典型例题5
如图，等边△𝐴𝐵𝐶中，点𝐷在𝐶𝐵延长线上，点𝐸、𝐹分别在𝐵𝐷、𝐴𝐷上，𝐴𝐹= 𝐵𝐷，𝐷𝐸=
2，𝐷𝐹= 5，∠𝐷𝐴𝐵= 2∠𝐷𝐹𝐸，求𝐵𝐶的长．
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辅
助
线
进
阶
2
48
模块三
模块三
共顶点二倍角
知识梳理
【共顶点、共边二倍角】
如图，∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝐵𝑂𝐶．
①构造等腰三角形：
②构造角平分线：
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
49
【共顶点、不共边二倍角】
如图，∠𝐴𝑂𝐵= 2∠𝐶𝑂𝐷．
此时可构造角平分线：
方法
总结
遇到共边二倍角，补个等腰出等角，倍角作出角分线，半角翻出变等角
典型例题6
如图，在等腰△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷是底边𝐵𝐶上一点，𝐸在线段𝐴𝐷上，且∠𝐵𝐴𝐶=
∠𝐵𝐸𝐷= 2∠𝐶𝐸𝐷．求证：𝐵𝐸= 2𝐴𝐸．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
50
典型例题7
四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶⊥𝐵𝐶，𝐴𝐶= 𝐶𝐷= 𝐷𝐴，∠𝐴𝐵𝐷= 2∠𝐶𝐵𝐷．求证：𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
典型例题8
在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，𝑃为𝐵𝐶的中点，𝑃𝑀⊥𝑃𝑁，𝐵𝑀平分∠𝐴𝐵𝐶，𝐶𝑁平
分∠𝐴𝐶𝐵．求证∠𝑀𝐴𝑁= 45∘．
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第
8
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
2
51
随堂练习
随堂练习1
已知：在△𝐴𝐵𝐶中，𝐶𝐷平分∠𝐴𝐶𝐵交𝐴𝐵于点𝐷，点𝐸在线段𝐶𝐷上，且∠𝐸𝐴𝐶= 2∠𝐸𝐵𝐶．
求证：𝐴𝐸+𝐴𝐶= 𝐵𝐶．
随堂练习2
如图，△𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，点𝐷在线段𝐵𝐶上，∠𝐸𝐷𝐵= 22.5∘，𝐵𝐸⊥𝐷𝐸，垂足
为𝐸，𝐷𝐸与𝐴𝐵相交于𝐹，若𝐵𝐸= 6，则𝐹𝐷=
．
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8
讲
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辅
助
线
进
阶
2
52
随堂练习3
如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，点𝐸是𝐴𝐷中点．若点𝐹是𝐴𝐷边上一点，且∠𝐶𝐵𝐹= 2∠𝐴𝐵𝐸．
求证：𝐵𝐹= 𝐴𝐵+𝐷𝐹．
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
53
思维游戏
思维游戏——称糖2
用一个只能称100 克以上物品重量的天平，称3 个重量都比
50 克大一点但都达不到100 克的糖。
请问：你用什么办法能准确地称出它们各自的重量？
分别把三块糖设编号为1、2、3。我们可以先称出1 号和2 号
两块糖的总重量，然后再把3 号糖放上去，称出这三块糖的总重量。
这样，用它们的总重量减去1、2 两块糖的重量，就得到了3 号糖的
重量。以此类推，可以分别称出1 号、3 号糖的重量和2 号、3 号糖
的重量，用总的重量去减，就得到了2 号和1 号糖的重量。
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
54
“三精”习题课
第 讲
8
全等辅助线进阶2
进阶拓展1
频率：较高
已知：如图，𝐴𝐷= 𝐷𝐶= 𝐵𝐶,∠𝐵𝐶𝐷= 2∠𝐵𝐴𝐷．求证：∠𝐴𝐵𝐶= 120∘−∠𝐵𝐴𝐷．
睛
点
法
方
异侧二倍等线段，中垂对称造全等
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全
等
辅
助
线
进
阶
2
55
进阶拓展2
频率：较高
如图，在等腰三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵= 𝐴𝐶，𝐷为线段𝐵𝐶的中点，∠𝐸𝐷𝐹= ∠𝐴𝐵𝐶，𝐴𝐸= 𝐶𝐷，
𝐸𝐹交𝐴𝐷于点𝐺，𝐺为𝐴𝐷的中点，2∠𝐹𝐷𝐶= ∠𝐴𝐵𝐶，求证：𝐴𝐸= 2𝐸𝐺．
睛
点
法
方
同位、内错二倍角，延长就会有等腰，还可构造平行线，同时出现角分线
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第
8
讲
全
等
辅
助
线
进
阶
2
56
进阶拓展3
频率：高
回答下列问题：
（1）如图1，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵= ∠𝐷= 90∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的
点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系
．
（2）如图2，在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷上的
点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷，
（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程．
（3）在四边形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵= 𝐴𝐷，∠𝐵+∠𝐷= 180∘，𝐸、𝐹分别是边𝐵𝐶、𝐶𝐷所在直线上
的点，且∠𝐸𝐴𝐹= 1
2∠𝐵𝐴𝐷．请直接写出线段𝐸𝐹，𝐵𝐸，𝐹𝐷之间的数量关系
．
睛
点
法
方
遇到共边二倍角，补个等腰出等角，倍角作出角分线，半角翻出变等角
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第9 讲
次函数与
一次函数与特殊三角形
模块一
一次函数与等腰三角形
模块二
一次函数与直角三角形
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
60
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一次函数
与等腰三
角形
单动点存在性问题
★★★
例1
随堂练习1、2
★★★★
例2
双动点存在性问题
★★★★★
例3
一次函数
与直角三
角形
直角三角形存在性
★★★★
例4
随堂练习3
等腰直角三角形存
在性
★★★★
例5
★★★★★
例6
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
61
模块一
模块一
一次函数与等腰三角形
知识梳理
等腰三角形的存在性问题
1. 问题背景：已知线段𝐴𝐵，在直线𝑙上找一点𝑃, 使得△𝐴𝐵𝑃为等腰三角形
2. 求解方法：
①几何法：
分别以点𝐴、𝐵为圆心，𝐴𝐵为半径作圆，找点𝑃1，𝑃2，𝑃3，𝑃4．
作线段𝐴𝐵的垂直平分线𝑘，找点𝑃5．
②代数法：
设点𝑃的坐标为（𝑚, 𝑛），求出𝐴𝐵、𝐴𝑃、𝐵𝑃的长度，分类讨论：
1∘𝐴𝐵= 𝐴𝑃；
2∘𝐴𝐵= 𝐵𝑃；
3∘𝐴𝑃= 𝐵𝑃.
求出点𝑃（𝑚, 𝑛）．
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
62
典型例题1
如图，在平面直角坐标系中，直线𝑦= −2𝑥+12 与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，与直线
𝑦= 𝑥交于点𝐶．
（1）求点𝐶的坐标．
（2）若𝑃是𝑥轴上的一个动点，直接写出当△𝑃𝑂𝐶是等腰三角形时𝑃的坐标．
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9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
63
典型例题2
已知，如图1，𝐵𝐷是边长为1 的正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线，𝐵𝐸平分∠𝐷𝐵𝐶交𝐷𝐶于点𝐸，
延长𝐵𝐶到点𝐹，使𝐶𝐹= 𝐶𝐸，连接𝐷𝐹，交𝐵𝐸的延长线于点𝐺．
（1）求证：△𝐵𝐶𝐸≌△𝐷𝐶𝐹．
（2）求𝐶𝐹的长．
（3）如图2，在𝐴𝐵上取一点𝐻，且𝐵𝐻= 𝐶𝐹，若以𝐵𝐶为𝑥轴，𝐴𝐵为𝑦轴建立直角坐标
系，问在直线𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使得以𝐵、𝐻、𝑃为顶点的三角形为等腰三角形？
若存在，直接写出所有符合条件的𝑃点坐标；若不存在，说明理由．
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9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
64
典型例题3
如图，直线𝑦= −√3
3 𝑥+3 的图象与𝑦轴、𝑥轴分别交于𝐴、𝐵两点．
（1）求点𝐴、点𝐵的坐标和∠𝐵𝐴𝑂的度数．
（2）点𝐶、𝐷分别是线段𝑂𝐴、𝐴𝐵上一动点(不与端点重合)，且𝐶𝐷= 𝐷𝐴，设线段𝑂𝐶的
长度为𝑥，𝑆△𝑂𝐶𝐷= 𝑦，请求出𝑦关于𝑥的函数关系式以及定义域．
（3）点𝐶、𝐷分别是射线𝑂𝐴、射线𝐵𝐴上一动点，且𝐶𝐷= 𝐷𝐴，当△𝑂𝐷𝐵为等腰三角形
时，求点𝐶的坐标．(直接写出分类情况和答案，不用过程)
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
65
模块二
模块二
一次函数与直角三角形
知识梳理
直角三角形的存在性问题
1. 问题背景
已知线段𝐴𝐵，找一点𝑃, 使得△𝐴𝐵𝑃为直角三角形
2. 常规方法
①几何法：
分别过点𝐴、𝐵作线段𝐴𝐵的垂线，找点𝑃1，𝑃2．
以线段𝐴𝐵为直径作圆，利用直径所对的圆周角为90∘，找点𝑃3，𝑃4．
②代数法：
设点𝑃的坐标为（𝑚, 𝑛），求出𝐴𝐵、𝐴𝑃、𝐵𝑃的长度，分类讨论：
1∘𝐴𝐵2 = 𝐴𝑃2 +𝐵𝑃2；
2∘𝐴𝑃2 = 𝐴𝐵2 +𝐵𝑃2；
3∘𝐵𝑃2 = 𝐴𝐵2 +𝐴𝑃2.
求出点𝑃（𝑚, 𝑛）
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第
9
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一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
66
③三垂直模型（弦图）构造法
构造三垂直模型或弦图，可以将线段长度关系转移到与坐标轴平行的线段上，从而简
化运算
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9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
67
典型例题4
如图所示，直线𝑙与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴(6,0)、𝐵(0,3) 两点，点𝐶(4,0) 为𝑥轴上一点，
点𝑃在线段𝐴𝐵（包括端点𝐴、𝐵）上运动．
（1）求直线𝑙的解析式．
（2）当点𝑃的纵坐标为1 时，按角的大小进行分类，请你确定△𝑃𝐴𝐶是哪一类三角形，
并说明理由．
（3）是否存在这样的点𝑃，使得△𝑃𝑂𝐶为直角三角形？若存在求出点𝑃的坐标；若不存
在，请说明理由．
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9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
68
典型例题5
如图，在平面直角坐标系中，𝐴、𝐵、𝐶为坐标轴上的三点，且𝑂𝐴= 𝑂𝐵= 𝑂𝐶= 4，过点𝐴的
直线𝐴𝐷交𝐵𝐶于点𝐷，交𝑦轴于点𝐺，△𝐴𝐵𝐷的面积为8．过点𝐶作𝐶𝐸⊥𝐴𝐷，与𝐴𝐵交
于点𝐹，垂足为点𝐸．
（1）求𝐷点的坐标．
（2）求证：𝑂𝐹= 𝑂𝐺．
（3）在第一象限内是否存在点𝑃，使得△𝐶𝐹𝑃为等腰直角三角形？若存在，请求出点𝑃
的坐标，若不存在，请说明理由．
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9
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一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
69
典型例题6
如图，已知直线𝑙1 ∶𝑦= 2𝑥+4 与坐标轴𝑦轴交于点𝐴，与𝑥轴交于点𝐵，以𝑂𝐴为边在𝑦
轴右侧作正方形𝑂𝐴𝐶𝐷将直线𝑙1 向下平移5 个单位得到直线𝑙2．
（1）求直线𝑙2 的解析式；以及𝐴、𝐵两点的坐标．
（2）已知点𝑀在第一象限，且是直线𝑙2 上的点，点𝑃是边𝐶𝐷上一动点，设𝑀(𝑚,2𝑚−1)
若△𝐴𝑃𝑀是等腰直角三角形，求点𝑀的坐标．
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9
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一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
70
随堂练习
随堂练习1
如图，在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，𝐴(0,2)，𝐵(0,6)，动点𝐶在直线𝑦= 𝑥上．若以𝐴、𝐵、𝐶
三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点𝐶的个数是（ ）．
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
随堂练习2
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝐴的坐标为(2,0)，点𝐵的坐标为(0,4)，直线𝑙经过(−1,0)
并且垂直于𝑥轴于点𝐷，请你在直线𝑙上找一点𝐶，使△𝐴𝐵𝐶为直角三角形，则下列不
满足题意的点𝐶的坐标为（ ）．
A. (−1, 7
2)
B. (−1,−3
2)
C. (−1, 4
5)
D. (−1,3)
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
71
随堂练习3
在平面直角坐标系中，已知等腰梯形𝐴𝐵𝐶𝐷的三个顶点𝐴(−2,0)，𝐵(6,0)，𝐶(4,6)，对角
线𝐴𝐶与𝐵𝐷相交于点𝐸．
（1）求𝐸的坐标．
（2）若𝑀是𝑥轴上一动点，求𝑀𝐶+𝑀𝐷的最小值．
（3）在𝑦轴正半轴上求点𝑃，使以𝑃、𝐵、𝐶为顶点的三角形为等腰三角形．
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
72
思维游戏
思维游戏——移数字
请移动下面等式中的一个数字（只能是数字，不能将数字对
调，也不能移动符号），使等式成立。
将102 改为10 的2 次方。
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
73
“三精”习题课
第 讲
9
一次函数与特殊三角形
进阶拓展1
频率：高
如图，在平面直角坐标系中，过点𝐴的两条直线分别交𝑦轴于𝐵(0,3)、𝐶(0,−1) 两点，且
∠𝐴𝐵𝐶= 30∘，𝐴𝐶⊥𝐴𝐵于𝐴．
（1）求线段𝐴𝑂的长及直线𝐴𝐶的解析式．
（2）若点𝐷在直线𝐴𝐶上，且𝐷𝐵= 𝐷𝐶，求点𝐷的坐标．
（3）在(2) 的条件下，直线𝐵𝐷上是否存在点𝑃，使以𝐴、𝐵、𝑃三点为顶点的三角形是等
腰三角形？若存在，请直接写出𝑃点的坐标；若不存在，请说明理由．
睛
点
法
方
遇到等腰三角形存在性，先判断需要分几种情况讨论，是否有限定条件帮助减少情况
再利用勾股定理构建方程或者利用垂直平分线进行求解
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第
9
讲
一
次
函
数
与
特
殊
三
角
形
74
进阶拓展2
频率：高
如图，一次函数𝑦1 = 5
4𝑥+𝑛与𝑥轴交于点𝐵，一次函数𝑦2 = −3
4𝑥+𝑚与𝑦轴交于点𝐶，且
它们的图象都经过点𝐷(1,−7
4)．
（1）则点𝐵的坐标为
，点𝐶的坐标为
．
（2）在𝑥轴上有一点𝑃(𝑡,0)，且𝑡> 12
5 ，如果△𝐵𝐷𝑃和△𝐶𝐷𝑃的面积相等，求𝑡的值．
（3）在（2）的条件下，在𝑦轴的右侧，以𝐶𝑃为腰作等腰直角△𝐶𝑃𝑀，直接写出满足条
件的点𝑀的坐标．
睛
点
法
方
遇到等腰直角三角形存在性问题考虑构造弦图简化求解
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第10 讲
次函数与
一次函数与几何综合
模块一
一次函数与面积
模块二
一次函数与全等三角形
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
78
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一次函数
与面积
已知面积求点坐标
★★★
例1
随堂练习1
动态问题中面积的表示
★★★★
例2
一次函数
与全等三
角形
全等三角形的应用
★★★★
例3、4
全等三角形存在性
★★★★
例5
随堂练习2
★★★★★
例6、7
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
79
模块一
模块一
一次函数与面积
典型例题1
一次函数𝑦= −2𝑥+2 的图象与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝐴、𝐵．在𝑦轴左侧有一点𝑃(−1,𝑎)．
（1）当𝑎= 3
2 时，求△𝐴𝐵𝑃的面积．
（2）当𝑎= −2 时，点𝑄是直线𝑦= −2𝑥+2 上一点，且△𝑃𝑂𝑄的面积为5，求𝑄的坐标．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
80
典型例题2
如图1，直线𝑦= −2𝑥+3 与𝑥轴交于点𝐴，与直线𝑦= 𝑥交于点𝐵．
（1）点𝐴坐标为
，∠𝐴𝑂𝐵=
．
（2）求𝑆△𝑂𝐴𝐵的值．
（3）动点𝐸从原点𝑂出发，以每秒1 个单位长度的速度沿着𝑂→𝐴的路线向终点𝐴
匀速运动，过点𝐸作𝐸𝐹⊥𝑥轴交直线𝑦= 𝑥于点𝐹，再以𝐸𝐹为边向右作正方形
𝐸𝐹𝐺𝐻．设运动𝑡秒时，正方形𝐸𝐹𝐺𝐻与△𝑂𝐴𝐵重叠部分的面积为𝑆．求：𝑆与𝑡之
间的函数关系式，并写出𝑡的取值范围．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
81
模块二
模块二
一次函数与全等三角形
典型例题3
在平面直角坐标系中，已知点𝐴(𝑎,0)，𝐶(0,𝑏)，且𝑎，𝑏满足(𝑎+1)2 +√𝑏+3 = 0．
（1）直接写出：𝑎=
，𝑏=
．
（2）如图，点𝐵为𝑥轴正半轴上一点，过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝐴𝐶于点𝐸，交𝑦轴于点𝐷，连接
𝑂𝐸，若𝑂𝐸平分∠𝐴𝐸𝐵，此时，𝑂𝐵与𝑂𝐶有怎样的大小关系？证明你的结论．
（3）在(2) 的条件下，求直线𝐵𝐸的解析式．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
82
典型例题4
如图，已知直线𝑂𝐴的解析式为𝑦= 𝑥，直线𝐴𝐶垂直于𝑥轴于点𝐶，点𝐶的坐标为(2,0)，
直线𝑂𝐴关于直线𝐴𝐶的对称直线𝐴𝐵交𝑥轴于点𝐵．
（1）写出点𝐴及点𝐵的坐标．
（2）如图，直线𝐴𝐷交𝑥轴于点𝐷，且△𝐴𝐷𝐵的面积为1，求点𝐷的坐标．
（3）在(2) 的条件下，作𝑂𝐸⊥𝐴𝐷于点𝐸，交𝐴𝐶于点𝐻，作𝐵𝐹⊥𝐴𝐷于点𝐹，求证：𝑂𝐸=
𝐴𝐹，并直接写出点𝐻的坐标．
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10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
83
典型例题5
如图，直线𝐿：𝑦= −1
2𝑥+2 与𝑥轴、𝑦轴分别交于𝐴、𝐵两点，在𝑦轴上有一点𝐶(0,4)，动
点𝑀从𝐴点以每秒1 个单位的速度沿𝑥轴向左移动．
（1）求𝐴、𝐵两点的坐标．
（2）求△𝐶𝑂𝑀的面积𝑆与𝑀的移动时间𝑡之间的函数关系式．
（3）当𝑡为何值时△𝐶𝑂𝑀≌△𝐴𝑂𝐵，请直接写出此时𝑡值和𝑀点的坐标．
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10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
84
典型例题6
如图，直线𝑦= −√3
3 𝑥+1 与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝐴、𝐵．
（1）以线段𝐴𝐵为直角边作等腰直角△𝐴𝐵𝐶，点𝐶在第一象限内，∠𝐵𝐴𝐶= 90∘，求点𝐶
的坐标．
（2）若以𝑄、𝐴、𝐶为顶点的三角形和△𝐴𝐵𝐶全等，求点𝑄的坐标．
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10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
85
典型例题7
如图，一次函数𝑦= −4
3𝑥+ 4 的图象分别与𝑥轴，𝑦轴的正半轴交于点𝐸、𝐹，一次函数
𝑦= 𝑘𝑥−4 的图象与直线𝐸𝐹交于点𝐴(𝑚,2)，且交于𝑥轴于点𝑃．
（1）求𝑚的值及点𝐸、𝐹的坐标．
（2）求△𝐴𝑃𝐸的面积．
（3）若𝐵点是𝑥轴上的动点，问在直线𝐸𝐹上，是否存在点𝑄(𝑄与𝐴不重合)，使△𝐵𝐸𝑄
与△𝐴𝑃𝐸全等？若存在，请求出点𝑄的坐标；若不存在，请说明理由．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
86
随堂练习
随堂练习1
如图，在平面直角坐标系中，𝑂为坐标原点，直线𝑙1：𝑦= 1
2𝑥与直线𝑙2：𝑦= −𝑥+6 交于点
𝐴，𝑙2 与𝑥轴交于点𝐵，与𝑦轴交于点𝐶．
（1）求△𝑂𝐴𝐶的面积．
（2）如点𝑀在直线𝑙2 上，且使得△𝑂𝐴𝑀的面积是△𝑂𝐴𝐶面积的3
4，求点𝑀的坐标．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
87
随堂练习2
如图，一次函数𝑦= 2𝑥+ 4 的图象与𝑥，𝑦轴分别相交于点𝐴，𝐵，以𝐴𝐵为边作正方形
𝐴𝐵𝐶𝐷（点𝐷落在第四象限）．
（1）求点𝐴，𝐵，𝐷的坐标．
（2）连接𝑂𝐶，设正方形的边𝐶𝐷与𝑥轴相交于点𝐸，点𝑀在𝑥轴上，如果△𝐴𝐷𝐸与
△𝐶𝑂𝑀全等，求点𝑀的坐标．
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
88
思维游戏
思维游戏——一封军事情报
某军总司令部截获一份秘密情报。经过初步破译得知，下月初，
敌军的三个师的士兵将分东西两路再次发动进攻。在东路集结的部
队人数为“ETWQ”, 从西路进攻的部队人数为“FEFQ”，东西两路总
兵力为“AWQQQ”，但到底是多少却无从得知，通过又一情报得知：
W=4。后来，苦思不得其解的密码竟然被一位数学老师破译了。
你知道数学老师是怎么破译的吗?
E=7 , W=4 , F=6 , T=2 , Q=0 。东路兵力是7240，西路兵力
是6760，总兵力是14000。细心分析，可以发现只能是Q+Q=Q，而
不可能是Q+Q=2Q，故Q=0；同样，只能是W+F=10 ，T+E+1=10 ，
E+F+1=10+W 。所以有3 个式子：
（1）W+F=10 ，
（2）T+E=9 ，
（3）
E+F=9+W ，可以推出2W=E+1，所以E=7，F=6，T=2，A=1，Q=0。
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
89
“三精”习题课
第 讲
10
一次函数与几何综合
进阶拓展1
频率：高
如图，在平面直角坐标系中，直线𝑙的解析式为𝑦= 2𝑥−6，点𝐴，𝐵的坐标分别为(1,0)，
(0,2)，直线𝐴𝐵与直线𝑙交于点𝑃．
（1）求直线𝐴𝐵的解析式．
（2）求点𝑃的坐标．
（3）若直线𝑙上存在一点𝐶，使得△𝐴𝑃𝐶的面积是△𝐴𝑃𝑂的面积的2 倍，直接写出所
有满足条件的点𝐶的坐标．
睛
点
法
方
遇到面积关系问题，先考虑根据动点位置的差异有几种不同的面积表示方法
再利用公式法或割补法（铅垂线法）求出一个或多个几何图形面积，构建方程进行
求解
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第
10
讲
一
次
函
数
与
几
何
综
合
90
进阶拓展2
频率：高
如图①，已知直线𝑦= −2𝑥+4 与𝑥轴、𝑦轴分别交于点𝐴、𝐶，以𝑂𝐴、𝑂𝐶为边在第一象限
内作长方形𝑂𝐴𝐵𝐶．
（1）将△𝐴𝐵𝐶对折，使得点𝐴与点𝐶重合，折痕交𝐴𝐵于点𝐷，求直线𝐶𝐷的解析式．
（2）在坐标平面内，是否存在点𝑃(除点𝐵外)，使得△𝐴𝑃𝐶与△𝐴𝐵𝐶全等? 若存在，请
求出所有符合条件的点𝑃的坐标; 若不存在，请说明理由．
睛
点
法
方
遇到全等三角形存在性问题时，先通过除动点外的已知条件来限定问题情况
如本题：两个三角形都包含同一条边，可以根据此条件减少分析情况，进而化简过程
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第11 讲
次函数的
一次函数的应用综合
模块一
一次函数的实际应用
模块二
一次函数的整点问题
模块三
一次函数与不等式进阶
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第
11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
94
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
一次函数的
实际应用
经济利润问题与最
优方案
★★★
例1
★★★★
例2、3
随堂练习1
行程问题
★★★★★
例4
一次函数的
整点问题
无整点的参数范围
问题
★★★★
例5
随堂练习2
多个整点的参数范
围问题
★★★★★
例6
一次函数与
不等式进阶
初识线性规划
★★★★
例7
随堂练习3
★★★★★
例8
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第
11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
95
模块一
模块一
一次函数的实际应用
典型例题1
某经销商从市场得知如下信息：
他计划用4 万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100 台，设该经销商购进𝐴品牌计
算器𝑥台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为𝑦元．
（1）求𝑦与𝑥之间的函数关系式．
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于1.26 万元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）选择哪种进货方案，该经销商可获利最大？最大利润是多少元？
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第
11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
96
典型例题2
某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100 元，空调的销售价为每台1750 元，每台电
冰箱的进价比每台空调的进价多400 元，商场用80000 元购进电冰箱的数量与用64000
元购进空调的数量相等．
（1）求每台电冰箱与空调的进价分别是多少？
（2）现在商场准备一次购进这两种家电共100 台，设购进电冰箱𝑥台，这100 台家电的
销售总利润为𝑦元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2 倍，且购进电冰箱不
多于40 台，请确定获利最大的方案以及最大利润．
（3）实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调𝑘(0 < 𝑘< 100) 元，若商店保持这两种家电的
售价不变，请你根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100 台家电销售总利润最
大的进货方案．
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第
11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
97
典型例题3
为了美化环境，建设宜居城市，我市准备在一个广场上种植甲、乙两种花卉．经市场调查，
甲种花卉的种植费用𝑦（元）与种植面积𝑥(m2) 之间的函数关系如图所示，乙种花卉的
种植费用为每平方米100 元．
（1）求𝑦与𝑥的函数关系式．
（2）广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1000m2，若甲种花卉的种植面积不少于200m2，
且不超过乙种花卉种植面积的3 倍，那么应该怎么分配甲、乙两种花卉的种植面积
才能使种植费用最少？最少总费用为多少元？
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11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
98
典型例题4
甲、乙两车从𝐴地出发沿同一路线驶向𝐵地，甲车先出发匀速驶向𝐵地．40 分钟后，乙
车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶
安全，速度减少了50 千米/时，结果与甲车同时到达𝐵地．甲乙两车距𝐴地的路程𝑦（千
米）与乙车行驶时间𝑥（小时）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息解答下列问题：
（1）直接写出𝑎的值，并求甲车的速度．
（2）求图中线段𝐸𝐹所表示的𝑦与𝑥的函数关系式，并直接写出自变量𝑥的取值范围．
（3）乙车出发多少小时与甲车相距15 千米？直接写出答案．
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11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
99
模块二
模块二
一次函数的整点问题
典型例题5
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，一次函数𝑦= 𝑘𝑥+5(𝑥> −5) 的图象𝐺经过点𝐴(−2,3)，直线
𝑙∶𝑦= −4
3𝑥+𝑏与图象𝐺交于点𝐵，与𝑥轴交于点𝐶．
（1）求𝑘的值．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象𝐺在点𝐴，𝐵之间的部分与线段𝑂𝐴，𝑂𝐶，
𝐵𝐶围成的区域（不含边界）为𝑊．
①当𝑏= 2 时，直接写出区域𝑊内的整点个数．
②区域𝑊内恰有3 个整点，结合函数图象，求𝑏的取值范围．
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11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
100
典型例题6
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙∶𝑦= 𝑘𝑥+1(𝑘≠0) 与直线𝑥= 𝑘，直线𝑦= −𝑘分别交于
点𝐴，𝐵，直线𝑥= 𝑘与直线𝑦= −𝑘交于点𝐶．
（1）求直线𝑙与𝑦轴的交点坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段𝐴𝐵、𝐵𝐶、𝐶𝐴围成的区域（不含边界）为
𝑊．
①当𝑘= 2 时，结合函数图象，求区域𝑊内的整点个数．
②若区域𝑊内没有整点，直接写出𝑘的取值范围．
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11
讲
一
次
函
数
的
应
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综
合
101
模块三
模块三
一次函数与不等式进阶
典型例题7
求不等式|𝑥−1|+∣𝑦−1∣⩽2 表示的平面区域的面积．
典型例题8
设变量𝑥、𝑦满足约束条件
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥+𝑦⩾3
𝑥−𝑦⩾−1
2𝑥−𝑦⩽3
，则目标函数𝑧= 2𝑥+3𝑦的最小值为
．
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11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
102
随堂练习
随堂练习1
如图1 所示，在𝐴，𝐵两地之间有汽车站𝐶站，客车由𝐴地驶往𝐶站，货车由𝐵地驶往
𝐴地．两车同时出发，匀速行驶．图2 是客车、货车离𝐶站的路程𝑦1,𝑦2(千米) 与行驶时
间𝑥(小时) 之间的函数关系图象．
（1）填空：𝐴，𝐵两地相距
千米．
（2）求两小时后，货车离𝐶站的路程𝑦2 与行驶时间𝑥之间的函数关系式．
（3）客、货两车何时相遇？
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11
讲
一
次
函
数
的
应
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综
合
103
随堂练习2
一次函数𝑦= 𝑘𝑥+ 𝑏的图象经过点(0,5) 和𝐵(4,0)，则在该图象和坐标轴围成的三角形
内，横坐标和纵坐标都是正整数的点有（ ）．
A. 6 个
B. 7 个
C. 8 个
D. 9 个
随堂练习3
若变量𝑥，𝑦满足约束条件
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥−2𝑦−2 ⩽0
𝑥−𝑦+1 ⩾0
𝑦⩽0
，则𝑧= 3𝑥+2𝑦的最大值为
，最小值
为
．
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11
讲
一
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函
数
的
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综
合
104
思维游戏
思维游戏——消失的钱
3 个人住宿时，每人交100 元钱，将300 元钱交给服务员后，服
务员再交到会计那里去。会计找回50 元钱。服务员私吞了20 元
钱，只还给他们30 元钱。
3 人分30 元钱，每人退回10 元钱，合计每人付了90 元钱，加
在一起共270 元钱，再加上服务员私吞的20 元钱，一共290 元钱，
怎么都与付账的钱对不上。
是哪里出了问题呢？
与付账是吻合的。3 个人开始拿出300 元钱，后退回30 元钱，
其结果是3 人负担270 元钱。
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11
讲
一
次
函
数
的
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综
合
105
“三精”习题课
第 讲
11
一次函数的应用综合
进阶拓展1
频率：较高
甲、乙两人相约周末登花果山，甲、乙两人距地面的高度𝑦（米）与登山时间𝑥（分）之间
的函数图象如图所示，根据图象所提供的信息解答下列问题：
（1）甲登山上升的速度是每分钟
米，乙在𝐴地时距地面的高度𝑏为
米．
（2）若乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3 倍，请求出乙登山全程中，距
地面的高度𝑦（米）与登山时间𝑥（分）之间的函数关系式．
（3）登山多长时间时，甲、乙两人距地面的高度差为70 米？
睛
点
法
方
函数图象与实际问题结合切记看好横轴与纵轴代表的意义，从而更准确地理解其代
表的几何意义
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11
讲
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次
函
数
的
应
用
综
合
106
进阶拓展2
频率：较高
在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙∶𝑦= 𝑘𝑥+1(𝑘≠0) 与直线𝑥= 𝑘，直线𝑦= 𝑥+𝑘分别交
于点𝐴，𝐵，直线𝑥= 𝑘与直线𝑦= 𝑥+𝑘交于点𝐶．
（1）求直线𝑙与𝑦轴的交点坐标．
（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记线段𝐴𝐵，𝐵𝐶，𝐶𝐴围成的区域（不含边界）为
𝑊．
①当𝑘= 3 时，结合函数图象，求区域𝑊内的整点个数．
②若区域𝑊内没有整点，直接写出𝑘的取值范围．
睛
点
法
方
已知参数求整点数问题，画出图象数形结合进行求解
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11
讲
一
次
函
数
的
应
用
综
合
107
进阶拓展3
频率：中
设𝑥，𝑦满足约束条件
⎧{{{{
⎨{{{{⎩
𝑥+2𝑦−4 ⩽0
𝑥−𝑦−1 ⩽0
2𝑥+𝑦+1 ⩾0
，则𝑧= 𝑦+2
𝑥+3 的最大值是
．
睛
点
法
方
将不等式转化为一次函数，通过函数图象数形结合进行求解
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第12 讲
概率
概率进阶
模块一
概率初步
模块二
特殊事件的概率
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第
12
讲
概
率
进
阶
110
本讲概述
模块
知识模型
难度
对应例题
对应随堂练习
概率初步
确定事件与随机事件
★★★
例1
随堂练习1
古典概型
★★★
例2
随堂练习2
几何概型
★★★★
例3
随堂练习3
几何概型的构造
★★★★
例4
随堂练习4
★★★★★
例5
特殊事件
的概率
特殊事件的判断
★★★
例6
比赛问题
★★★★
例7
★★★★★
例8
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第
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概
率
进
阶
111
模块一
模块一
概率初步
知识梳理
【概率与频率】
1. 频率
在记录数据时，某类数据出现的次数称为这类数据的频数，频数与总次数的比值称为
频率，即频率= 频数/ 总数．
在一定条件下进行大量重复试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，
通常把这个常数作为该随机事件发生的概率的估计值．
2. 概率
用来表示某事件发生的可能性大小的数叫做这个事件的概率．如果用字母𝐴表示一
个事件，那么𝑃(𝐴) 表示事件𝐴发生的概率．
【注意】
事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，与实验次数有关．
【确定事件和随机事件】
1. 必然事件：在一定条件下必定出现的现象叫做必然事件．
2. 不可能事件：在一定条件下必定不出现的现象叫做不可能事件．
3. 随机事件：在一定条件下可能出现也可能不出现的现象叫做随机事件，也称为不确定
事件．
【注意】
必然事件和不可能事件统称为确定事件．
必然事件𝐴发生的概率是1，记作𝑃(𝐴) = 1；不可能事件𝐴发生的概率是0，记作
𝑃(𝐴) = 0；随机事件𝐴发生的概率𝑃(𝐴) 的取值范围是：0 ⩽𝑃(𝐴) ⩽1
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112
典型例题1
（1）下列事件中，是必然事件的是（ ）
A. 购买一张彩票，中奖
B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
D. 任意画一个三角形，其内角和是180∘
（2）不透明的袋子中只有4 个黑球和2 个白球，这些球除颜色外无其他差别，随机从袋
子中一次摸出3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ）
A. 3 个球都是黑球
B. 3 个球都是白球
C. 3 个球中有黑球
D. 3 个球中有白球
（3）下列事件：
①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2 点；
②明天下雨；
③某人买彩票中奖；
④从{1,2,3} 中任取两个元素，它们的和大于2；
⑤在标准大气压下，水加热到90∘C 时会沸腾．
其中是随机事件的个数有（ ）．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
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知识梳理
【概率的计算】
1. 古典概型
如果一项可以反复进行的实验具有以下特点：
①试验的结果是有限个
②各种结果出现的机会是均等的
那么这种条件下的概率模型就叫古典概型．
在古典概型中，若实验共有𝑛个等可能的结果，事件𝐴包含其中的𝑘个结果，那么
𝑃(𝐴) = 𝑘
𝑛．
例：掷一个骰子，朝上的面有6 种可能，每种可能相等，所以数字1 朝上的概率为1
6．
2. 几何概型
如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(或面积、体积、度数) 成比例，则
称这样的概率模型为几何概型．
典型例题2
一个不透明的布袋里装有2 个白球，1 个黑球和若干个红球，它们除颜色外其余都相同．
从中任意摸出1 个球，取出白球的概率为1
2．
（1）布袋里红球有多少个？
（2）先从布袋中摸出1 个球后不再放回，再摸出1 个球，求两次摸到的球都是白球的概
率．
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典型例题3
（1）有一个可以自由转动且质地均匀的转盘，被分成6 个大小相同的扇形，在转盘的适
当地方涂上灰色，未涂色部分为白色，为了使转动的转盘停止时，指针指向灰色的概
率为2
3，则下列各图中涂色方案正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.
（2）如图是一个边长为4 的正方形二维码，为了测算图中黑色部分的面积，在正方形区
域内随机投掷400 个点，其中落入黑色部分的有225 个点，据此可估计黑色部分的
面积为（ ）
A. 8
B. 9
C. 10
D. 12
典型例题4
（1）某人午觉醒来，发现表停了，他打开收音机想听电台整点报时，则他等待的时间不多
于10 分钟的概率是
．
（2）取一根长度为3 米的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段其中一段的长小
于1 米的概率为（ ）
A. 1
2
B. 2
3
C. 1
3
D. 1
4
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典型例题5
（1）在区间[0,1] 上随机取两个数𝑥，𝑦，记𝑃1 为事件“𝑥+ 𝑦⩾1
2”的概率，𝑃2 为事件
“∣𝑥−𝑦∣⩽1
2”的概率，𝑃3 为事件“𝑥𝑦⩽1
2”的概率，则（ ）
A. 𝑃1 < 𝑃2 < 𝑃3
B. 𝑃2 < 𝑃3 < 𝑃1
C. 𝑃3 < 𝑃1 < 𝑃2
D. 𝑃3 < 𝑃2 < 𝑃1
（2）甲、乙两同学约定在上午10 ∶00 −12 ∶00 在学校门口见面，先到的同学等后到的同
学30 分钟，则他们能见面的概率是（ ）．
A. 11
36
B. 7
16
C. 25
36
D. 9
16
（3）甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠8 小时，假定它们在同一昼夜时间段中随机地
到达且期间无其他轮船停靠，则这两艘船中有一艘在停靠泊位时必须等待的概率是
（ ）．
A. 5
9
B. 1
2
C. 4
9
D. 7
16
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116
模块二
模块二
特殊事件的概率
知识梳理
【特殊事件的分类与概率】
1. 互斥事件
若两个事件A 和B 不能同时发生，则称事件A 和事件B 为互斥事件. 此时，事件A
或B 发生的概率为A 与B 发生的概率之和，即𝑃(𝐴+𝐵) = 𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵)
例：明天上午10 点小许在写数学作业的概率为0.5，在写英语作业的概率为0.3，则明
天上午10 点小许在写数学作业或英语作业的概率为0.8.
2. 对立事件
若两个事件A 和B 不能同时发生且必有一个发生，则称事件A 和事件B 为对立事件.
此时，两个事件发生的概率之和为1，即𝑃(𝐴)+𝑃(𝐵) = 1. 已知一个事件的概率可以求
得另一个事件的概率.
例：明天上午10 点小许在写作业的概率为0.8，则他没有写作业的概率为0.2.
3. 独立事件
若两个事件A 和B 互不影响，则称事件A 与事件B 相互独立，此时两个事件同时发
生的概率为两个事件发生的概率之积，即𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)⋅𝑃(𝐵).
例：小许在创新班学习的概率为0.9，在希望学学习语文的概率为0.8，两者不互相影
响，则小许两门课都报名的概率为0.9×0.8 = 0.72.
根据上面三个事件，同时可以知道小许不报语文课的概率为0.2，不报创新班的概率为
0.1，报创新班不报语文课的概率为0.9 × 0.2 = 0.18，不报创新班但报语文课的概率为
0.1×0.8 = 0.08，两门都不报的概率为0.1×0.2 = 0.02
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典型例题6
（1）奥林匹克会旗中央有5 个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下
方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5 个环分发给甲、乙、丙、丁、
戊五位同学制作，每人分得1 个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）．
A. 对立事件
B. 不可能事件
C. 互斥但不对立事件
D. 不是互斥事件
（2）给出如下几个命题：
①若事件𝐴为随机事件，则0 ⩽𝑃(𝐴) ⩽1；
②若事件𝐴是必然事件，则𝐴与𝐵一定是对立事件；
③若事件𝐴与𝐵是互斥事件，则𝐴与𝐵一定是对立事件；
④若事件𝐴与𝐵是对立事件，则𝐴与𝐵一定是互斥事件．
其中正确命题的序号是（ ）
A. ①③
B. ②③
C. ①④
D. ②④
典型例题7
某射手在一次射击中射中10 环，9 环，8 环的概率分别为0.24，0.28，0.19，计算这一射手
在一次射击中．
（1）射中10 环或9 环的概率．
（2）不够8 环的概率．
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典型例题8
甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：
累计负两场者被淘汰，比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空，每场比赛的胜者与
轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰，当一人被淘汰后，剩余的
两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．
经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空．设每场比赛双方获胜的概率都为1
2．
（1）求甲连胜四场的概率．
（2）求需要进行第五场比赛的概率．
（3）求丙最终获胜的概率．
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119
随堂练习
随堂练习1
下列事件中，随机事件的个数为（ ）
①在学校运动会上，学生张涛获得100m 短跑冠军；
②在体育课上，体育老师随机抽取一名学生去拿体育器材，抽到李凯；
③从标有1，2，3，4 的4 张号签中任取一张，恰为1 号签；
④在标准大气压下，水在4∘C 时结冰．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
随堂练习2
将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（ ）
A. 2
5
B. 1
2
C. 3
5
D. 无法确定
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概
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阶
120
随堂练习3
一个不透明的袋中装有20 个只有颜色不同的球，其中5 个黄球，8 个黑球，7 个红球．
（1）求从袋中摸出一个球是黄球的概率．
（2）现从袋中取出若干个黑球，搅匀后，使从袋中摸出一个球是黑球的概率是1
3，求从袋
中取出黑球的个数．
随堂练习4
在区间[0,4] 内随机取出两个数𝑥，𝑦，则2 ⩽𝑥+𝑦⩽4 的概率是（ ）
A. 1
4
B. 3
8
C. 1
2
D. 5
8
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12
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阶
121
思维游戏
思维游戏——特殊两位数乘法的速算
如果两个两位数的十位相同，个位数相加为10，那么你可以立
即说出这两个数的乘积。如果这两个数分别写作𝐴𝐵和𝐴𝐶，那么
它们的乘积的前两位就是𝐴和𝐴+ 1 的乘积，后两位就是𝐵和𝐶
的乘积。
比如，47 和43 的十位数相同，个位数之和为10，因而它们
乘积的前两位就是4×(4+1)=20，后两位就是7×3=21。也就是说，
47×43=2021。
类似地，61×69=4209，86×84=7224，35×35=1225，等等。
你知道这是为什么吗？
这个速算方法背后的原因是，
(10𝑥+𝑦)[10𝑥+(10−𝑦)] = 100𝑥(𝑥+1)+𝑦(10−𝑦) 对任意𝑥和𝑦
都成立。
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第
12
讲
概
率
进
阶
122
“三精”习题课
第 讲
12
概率进阶
进阶拓展1
频率：较高
下列事件𝐴，𝐵是相互独立事件的是（ ）
A. 一枚硬币掷两次，事件𝐴为“第一次为正面”，事件𝐵为“第二次为反面”
B. 袋中有2 个白球，2 个黑球，不放回地摸两球，事件𝐴为“第一次摸到白球”，事件𝐵为
“第二次摸到白球”
C. 掷一枚骰子，事件𝐴为“出现点数为奇数”，事件𝐵为“出现点数为偶数”
D. 事件𝐴为“人能活到20 岁”，事件𝐵为“人能活到50 岁”
进阶拓展2
频率：较高
口袋中有若干红球、黄球与蓝球，摸出红球的概率为0.45，摸出红球或黄球的概率为0.65，
则摸出红球或蓝球的概率为
．
进阶拓展3
频率：高
已知甲、乙、丙3 名运动员击中目标的概率分别为1
2，2
3，2
3，若他们3 人分别向目标各发
1 枪，则三枪中至少命中2 次的概率为
．
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讲
概
率
进
阶
123
进阶拓展4
频率：中
甲、乙两人约定晚6 点到晚7 点之间见面，并约定甲若早到应等乙半小时，而乙还有其他
安排，若乙早到则不需等待，求甲、乙两人能见面的概率．
睛
点
法
方
利用图象数形结合进行概率的计算，难度较大，熟能生巧
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11220610482255
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