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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（天津卷）02
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共45 分）
一、选择题：本题共9 小题，每小题5 分，共45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设全集
，集合
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．若
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分必要条件
B．充分不必要条件
C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
3．已知
，
，
，则（ ）.
A．
B．
C．
D．
4．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，也称陀罗.图1 是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个
圆柱的组合体，其直观图如图2 所示，其中
分别是上､下底面圆的圆心，且
，底面圆的
半径为2，则该陀螺的体积是（ ）
1
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A．
B．
C．
D．
5．已知函数
的部分图象如图所示，则此函数的解析式可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．设
为数列
的前
项和，若
，
，则下列各选项在正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．同时具有性质：“①最小正周期是
；②图像关于直线
对称；③在区间
上是单调递增函
数”的一个函数可以是
A．
B．
2
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C．
D．
8．某校数学兴趣小组在某座山测得海拔高度
（单位：千米）与气压
（单位：千帕）的六组数据
绘制成如下散点图，分析研究发现
点相关数据不符合实际，删除
点后重新进行回归
分析，则下列说法正确的是（ ）
A．删除点
后，样本数据的两变量
正相关
B．删除点
后，相关系数的绝对值更接近于1
C．删除点
后，新样本的残差平方和变大
D．删除点
后，解释变量
与响应变量
相关性变弱
9．已知双曲线C：
（
，
）的焦距为
，左、右焦点分别为
、
，过
的直线分
别交双曲线左、右两支于A、B 两点，点C 在x 轴上，
，
平分
，则双曲线C 的方程为
（ ）
A．
B．
C．
D．
第二部分（选择题 共105 分）
二、填空题：本题共6 小题，每小题5 分，共30 分。
10．若为虚数单位，复数
= .
3
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11．二项式
的展开式中
的系数是 .
12．已知圆
的圆心在第一象限，且在直线
上，圆
与抛物线
的准线和
轴都相切，则圆
的方程为 .
13．有两台车床加工同一型号的零件，第一台车床加工的优秀率为15%，第二台车床加工的优秀率为
10%．假定两台车床加工的优秀率互不影响，则两台车床加工零件，同时出现优秀品的概率为 ；
若把加工出来的零件混放在一起，已知第一台车床加工的零件数占总数的60%，第二台车床加工的零件数
占总数的40%，现任取一个零件，则它是优秀品的概率为 ．
14．在边长为2 的菱形
中，
，E 是
的中点，F 是边
上的一点，
交
于H．
若F 是
的中点，
，则
；若F 在边
上（不含端点）运动，则
的取值范围是 ．
15．已知函数
，若函数
恰有4 个零点，则
的取值范围是
．
三、解答题：本题共5 小题，共75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
16．（本小题满分14 分）在
中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c.已知
，
.
(1)求证：
；
(2)求
的值；
(3)求
的值.
4
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17．（本小题满分15 分）如图，三棱柱
的所有棱长都是2，
平面
，
，
分别是
，
的中点.
(1)求证：平面
平面
；
(2)求平面
和平面
夹角的余弦值；
(3)在线段
（含端点）上是否存在点
，使点
到平面
的距离为
？若存在，请指出点
的
位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.
18．（本小题满分15 分）已知椭圆
的左顶点为点A，上、下顶点分别为点B、C，左
焦点为点F，且椭圆的焦距为
，
为等边三角形．
(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)设过原点O 且斜率为
的直线l 与椭圆交于P、Q 两点，直线l 与直线AB 交于点M，且点P、M
均在第一象限．若
的面积是
的面积的2 倍，求直线l 的方程．
5
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19．（本小题满分15 分）已知函数
．
(1)求曲线
在点
处的切线方程；
(2)证明：当
时，
；
(3)设
为整数，若对于
成立，求
的最小值．
20．（本小题满分16 分）若有穷数列
（n 是正整数），满足
即
（i 是正整数，且
），就称该数列为“对称数列”．
(1)已知数列
是项数为7 的对称数列，且
成等差数列，
，试写出
的每一项；
(2)已知
是项数为
的对称数列，且
构成首项为50，公差为
的等差数列，数
列
的前
项和为
，则当k 为何值时，
取到最大值？最大值为多少？
6
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(3)对于给定的正整数
，试写出所有项数为
的对称数列，使得
成为数列中的连续项；
当
时，并分别求出所有对称数列的前2024 项和
．
7
