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2025 年高考第三次模拟考试
高三数学（江苏专用）01·全解全析
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1. 若全集
，则(CU A)∩B=（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】由题意得，CU A=
，所以(CU A)∩B=
，
故选：A
2.若复数z 满足
，则
（ ）
A.
B. 1
C. 2
D.
【答案】A
【解析】因为
，
所以
，
所以
，
故选：A.
1
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3. 已知向量
，
，
，若
，则
（ ）
A.
B.
C. 0
D. 1
【答案】B
【解析】因为
，
，
所以
，
因为
，
所以
，解得
，
故选：B
4. 延庆妫水公园岸边设有如图所示的护栏，护栏与护栏之间用一条铁链相连.数学中把这种两端固定的一
条均匀，柔软的链条，在重力的作用下所具有的曲线形状称为悬链线.已知函数
的部分
图象与悬链线类似，则下列说法正确的是（ ）
A.
为奇函数
B.
的最大值为1
C.
在
上单调递增
D. 方程
有2 个实数解
【答案】D
【解析】对A，
定义域为R，∵
，则
为偶函数，A 错误；
对BC，又∵
，根据
，在R 上均单调递增，
则在
在R 上单调递增，且
，
2
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则当
时，则
，当
时，则
，
∴
的单调递减区间为
，单调递增区间为
，故C 错误；
则
，即
的最小值为，B 错误；
对D，令
,
，
再结合指数函数性质知方程
有2 个实数根,故D 正确.
故选：D
5. 北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形像我国古代舀酒
的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节的依据之一.如图，用点A，B，
C，D，E，F，G 表示某季节的北斗七星，其中B，D，E，F 看作共线，其他任何三点均不共线，若过这
七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同三角形的个数为（ ）
A. 35
B. 34
C. 31
D. 30
【答案】C
【解析】从这七个点任意选取三个点有
个，
其中共线的四点中有
个不能构成三角形，
所以不同的三角形个数有31 个，
故选：C.
6.当
时，方程
的解的个数为（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
【答案】D
3
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【解析】由
，得
，
即
，所以
，
解得
，则
或
，
因为
，
当
时，则
或
，
当
时，则
，
因此共有三个解.
故选：D.
7. 设
为双曲线
的右焦点，
，
分别为
的两条渐近线的倾斜角，已知
点
到其中一条渐近线的距离为1，且满足
，则双曲线
的焦距为（ ）
A.
B. 2
C.
D. 4
【答案】D
【解析】双曲线
，其渐近线方程为
，不妨设
，
.
右焦点
到渐近线
（不妨取这条）的距离为
.
4
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根据双曲线的性质
，则
，已知点
到其中一条渐近线的距离为，所以
.
因为
，
分别为
的两条渐近线的倾斜角，且
，又
，所以
，解得
.
可得
，即
，解得
.
可得
，所以
. 双曲线的焦距为
.
故选：D.
8. 已知一几何体上半部分为圆台
，下半部分为圆锥
，其中圆锥
底面的半径为
，高为．圆
台
的两底面的半径分别为
和
，高为
．该几何体内接于表面积为
的球，则圆台
的
体积为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】外接球半径
，则
．
，
设外接球球心
，在
即
5
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在
即
则
，
，
故选：D．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 已知一组数据
，
，
，
的方差为3，则
，
，
，
的方差也为3
B. 对具有线性相关关系的变量x，y，其线性回归方程为
，若样本点的中心为
，则实
数m 的值是
C. 已知随机变量X 服从正态分布
，若
，则
D. 已知随机变量X 服从二项分布
，若
，则
【答案】BCD
【解析】对于A：设
的平均数为
，方差为
，
则
，
，
所以
，
，
，
的平均数为
，
所以方差为
6
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，故选项A 不正确；
对于B：因为线性回归直线过样本点中心，所以
，可得
，
故选项B 正确；
对于C：因为随机变量
服从正态分布
，所以对称轴为
，又
，
而
，所以
，
则
，故选项C 正确；
对于D：因为
服从二项分布
，所以
，
所以
，则
，故选项D 正确.
故选：BCD
10.已知数列
是首项为2 的等比数列，其前
项和为
，若
，则（ ）
A.
B.
C.
，
D.
【答案】BC
【解析】设公比为
，根据题意有
，
所以
或
，
当
时，
，
，
当
时，
，故A 错误，B 正确；
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当
时，
，
，
当
时，
，
，
所以
，
，故C 正确；
当
时，
，故D 错误.
故选：BC.
11.已知函数
存在两个极值点
，且
，
．
设
的零点个数为
，方程
的实根个数为
，则（ ）
A. 当
时，
B. 当
时，
C 当
时，
D.
一定能被3 整除
【答案】ABC
【解析】由题意可知
为二次函数，且
为
的零点，
由
得
或
，
当
时，令
，解得
或
；令
，解得
，
所以
在
内单调递增，在
内单调递减，
则
为极大值点，
为极小值点，
所以
，即
，
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若
，则
，此时
，与
矛盾，故
，A 说法正确；
所以
有2 个根，
有1 个根，可知
，B 说法正确；
当
时，令
，解得
，令
，解得
或
，
所以
在
内单调递增，在内
单调递减，
则
为极大值点，
为极小值点，
所以
，即
，
若
，则
，此时
，与
矛盾，故
，
当f (x2)=−x2>0，即
时，可知
，
，此时
，
，
当
，即
时，可知
，
，此时
，
，
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当
，即
时，可知
，
，此时
，
，
综上C 说法正确，D 说法错误；
故选：ABC
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12.已知
，则
______.
【答案】
【解析】
，
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．
故答案为：
．
13. 小明参加一项篮球投篮测试，测试规则如下：若出现连续两次投篮命中，则通过测式；若出现连续两
次投篮不中，则不通过测试.已知小明每次投篮命中的概率均为
，则小明通过测试的概率为__________.
【答案】
【解析】设第一次投篮成功为事件B，通过测试为事件A，
则
，
所以
，
所以
，
故答案为：
14.已知
分别是椭圆
的左、右焦点，
为椭圆上三个不同的点，直线
的方程为
，且
的平分线经过点
，设
内切圆的半径分别为
，则
__________.
【答案】5
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【解析】由题意可知
，
所以由
，
由上得
，且
所以
，
所以
，所以
即
，
令
得
，故直线
经过点
，
联立
，
所以
，
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所以同理可得
，
所以
.
故答案为：5.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）
在
中，内角
的对边分别为
，已知
．
(1)求
；
(2)若
为
的中点，且
的长为2，求
的最大值，并求此时
的值．
【答案】(1)
；(2)
的最大值为8，
.
【解析】（1）在
中，由
及正弦定理得
，（2 分）
由余弦定理得
，（4 分）
而
，
所以
.（6 分）
（2）在
中，由余弦定理得
，（8 分）
则
，
即
，当且仅当
时取等号，（11 分）
此时
，
所以
的最大值为8，
.（13 分）
16．（15 分）
一个不透明的盒子中装有规格完全相同的3 个小球，标号分别为
，现采用有放回的方式摸球两
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次，每次摸出1 个小球，记第一次摸到的小球号码为，第二次摸到的小球号码为
.
（1）记“
”为事件
，求
；
（2）完成两次摸球后，再将与前面3 个球规格相同的4 号球和5 号球放入盒中，并进行第三次摸球，且将
第三次摸到的小球号码记为
，号码
中出现偶数的个数记为
，求
的分布列及数学期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析；
.
【解析】（1）两次摸球，摸出的小球号码
的所有情况共
种，（2 分）
其中，满足“
”的情形有：
时，
；
时，
；
时，
；共5 种情况，（5 分）
故
；（7 分）
（2）X 的可能取值为
，
则
，
，
，
，（11 分）
故X 的分布列为：
X
0
1
2
3
P
（13 分）
故
（15 分）
17．（15 分）
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如图，在
中，
，
，
是边
上一点，将
沿
翻折至
，且平面
平面
.当
面积最大时：
（1）求
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）
（2）
【解析】（1）因为
，
所以当
时，即
面积最大，（2 分）
又当
时，因为
平面
，
所以
平面
，而
平面
，
所以平面
平面
，符合题意，
显然
，（5 分）
因为
，
，
所以
，因此设
，
由余弦定理可知：
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（7 分）
（2）建立如图所示的空间直角坐标系，
，
由（1）可知
平面
，
所以平面
的法向量为
，（9 分）
设平面
的法向量为
，
，
于是有
，（13 分）
所以二面角
的余弦值为
.
（15 分）
18．（17 分）
已知
，且曲线
在点
处的切线方程为
.
（1）求
的值；
（2）设
的导函数为
，求
的单调区间；
（3）证明：当
时，
.
【答案】（1）
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（2）单调递增区间为
，单调递减区间为
；
（3）证明见解析
【解析】（1）因为
，所以
，（2 分）
因为曲线
在点
处的切线方程为
，
所以
，解得
；（4 分）
（2）由（1）可得
，所以
，
则
，定义域为
，
所以
，（6 分）
因为
，令
，即
，解得
；
令
，即
，解得
，（8 分）
所以
的单调递增区间为
，单调递减区间为
；（9
分）
（3）由（2）可知
在
上单调递增，
又
，
，
又
，
所以
，即
，
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所以
，使得
，（12 分）
所以当
时
，即
，所以
在
上单调递减；
当
时
，即
，所以
在
上单调递增；（14 分）
又
，
，
所以
，
所以当
时，
.（17 分）
19．（17 分）
已知抛物线
的焦点为F，在第一象限内的点
和第二象限内的点
都在
抛物线C 上，且直线
过焦点F．按照如下方式依次构造点
：过点
作抛物线C 的切
线与x 轴交于点
，过点
作x 轴的垂线与抛物线C 相交于点
，设点
的坐标为
．用同
样的方式构造点
，设点
的坐标为
．
（1）证明：数列
都是等比数列；
（2）记
，求数列
的前n 项和
；
（3）证明：当
时，直线
都过定点．
【答案】（1）证明见解析 （2）
（3）证明见解析
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【解析】（1）抛物线C 的方程可化为
，求导可得
，
将点
的坐标代入抛物线C 的方程，有
， （2 分）
过点
的切线的方程为
，代入
，有
，
整理为
，（3 分）
令
，可得
，有
，
故数列
是公比为
的等比数列，
同理，数列
也是公比为
的等比数列；（4 分）
（2）由焦点
，设直线
的方程为
，
联立方程
消去y 后整理为
，有
，（6 分）
由数列
是公比为
的等比数列，有
，
有
，（8 分）
有
，
两边乘以
，有
，
两式作差，有
，
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有
，可得
；（11 分）
（3）由（2）知，点
的坐标为
，点
的坐标为
，
直线
的斜率为
， （13 分）
直线
的方程为
， （15 分）
令
，有
，
故当
时，直线
过定点
．（17 分）
20
