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第一讲
代入排除、整除特性与赋值法............................................ 1
第二讲
和差倍比与方程法...................................................... 5
第三讲
工程问题.............................................................. 9
第四讲
容斥问题............................................................. 13
第五讲
溶液问题与十字交叉法................................................. 17
第六讲
余数、平方数与等差数列............................................... 21
第七讲
经济利润问题......................................................... 25
第八讲
经济利润之增长率、函数最值........................................... 29
第九讲
和定最值与最不利极限题............................................... 33
第十讲
周期循环与日期星期问题............................................... 37
第十一讲
几何问题........................................................... 41
第十二讲
几何最值、最短路径与等比放缩....................................... 47
第十三讲
行程问题........................................................... 53
第十四讲
趣味杂题........................................................... 58
第十五讲
基础排列组合....................................................... 62
第十六讲
基础概率问题....................................................... 67
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第十七讲
排列组合之相邻与不相邻问题......................................... 71
第十八讲
排列组合之定序与相同元素分配....................................... 75
第十九讲
排列组合之平均分堆、环形、错位与重复排列........................... 78
第二十讲
概率之二人同组与比赛概率........................................... 82
第二十一讲
统筹分配问题..................................................... 85
第二十二讲
考场蒙猜技巧..................................................... 90
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第一讲
代入排除、整除特性与赋值法
✎代入排除：
例题1（2023 广东县级）
某工厂加工出一批正方体奶酪,抽检时质检员从奶酪中切下了一个厚度
为2 厘米的长方体（如图所示）。如果剩余奶酪的体积为144 立方厘米，则
奶酪原本的边长为多少厘米？
A．4
B．6
C．8
D．10
例题2（2023 山东）
某科研团队中男性占比高于50%，低于60%，问这一团队最少有几人？
A．5
B．6
C．7
D．8
例题3（2022 甘肃）
一件工作由甲、乙、丙三人完成，若甲、乙合作先干10 小时，丙再单干1 小时可以完成。已知乙单
干用的时间比甲多4 小时，丙单干用的时间是甲的1/2 还多2 小时，问甲单干需多少小时？
A．20
B．25
C．30
D．35
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例题4（2023 吉林）
轨道交通公司定期进行轨道检修工作，甲、乙两个工程队合作进行需4 小时完成，甲队单独完成比乙
队单独完成快15 小时，则甲队单独完成需要的时间是：
A．5 小时
B．6 小时
C．7 小时
D．8 小时
✎整除特性：
例题5（2022 天津）
某地组织大型公益演出，临时抽调一支一百多人的志愿服务队。其中，20 至30 岁（不含30 岁）的人
数占总人数的68%，30 岁及以上的人数是不到20 岁人数的7 倍。已知30 岁以下的人数比30 岁及以上的
人数多66 人，问这支服务队共多少人？
A．90
B．120
C．150
D．180
例题6（2023 北京）
某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其中甲、乙两个部门拥有中
级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥有中级工程师职称的人员比重为多少？
A．60%
B．52%
C．44%
D．36%
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例题7（2019 联考）
某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的毛色分为黑、白两种。肉
兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色的肉兔至少有多少只？
A．25
B．50
C．100
D．200
例题8（2022 深圳）
小王从图书馆借了一本书，书共204 页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4 个页码被墨水污染，
将其余200 个页码加总，其和刚好可以被85 整除，则被污染的4 个页码中最小的数是多少？
A．100
B．95
C．75
D．41
例题9（2022 四川）
企业销售甲、乙、丙三种不同的机械，单价分别为33 万元、17 万元和13 万元，某月三种设备共销售
53 台，甲设备的销量是丙设备的3 倍，且乙设备的销售额比甲、丙设备的销售额之和高1 万元，问当月，
丙设备的销售额比乙设备少多少万元？
A．385
B．415
C．466
D．496
✎赋值法：
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例题10（2018 北京）
甲、乙、丙、丁四人赛跑。已知乙比丙快3 分钟，丁比甲快6 分钟，丙比丁慢1 分钟。那么最快和最
慢的相差几分钟？
A．6
B．7
C．8
D．9
例题11（2018 北京）
一家电影院的电影票收费标准为50 元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
办卡费用（元）
每张电影票收费（元）
A 类
50
40
B 类
100
35
C 类
200
30
若小李一年内在该电影院观影次数介于10－20 次之间，则对于他来说最省钱的方式为
A．购买A 类会员年卡
B．不购买会员年卡
C．购买C 类会员年卡
D．购买B 类会员年卡
例题12（2022 安徽）
某商场为庆祝开业三周年，制作了一个长方形大蛋糕，并切成
四块，如图所示。假设这个蛋糕可供350 人享用，左下角那块蛋糕
平均可供50 人享用，右上角那块蛋糕平均可供70 人，则中间最大
块蛋糕平均可供多少人享用？
A．150
B．155
C．175
D．180
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第二讲
和差倍比与方程法
✎方程法：
例题1（2023 北京）
某单位有甲、乙两个处室，甲处室有职工14 名，如从乙处室调动25%的职工到甲处室，再从甲处室调
动2 名职工到乙处室后，两个处室人数相同。则乙处室原来有多少名职工？
A．12
B．16
C．20
D．24
例题2（2021 国考）
社区工作人员小张连续4 天为独居老人采买生活必需品，已知前三天共采买65 次，其中第二天采买
次数比第一天多50%，第三天采买次数比前两天采买次数的和少15 次，第四天采买次数比第一天的2 倍少
5 次。问这4 天中，小张为独居老人采买次数最多和最少的日子，单日采买次数相差多少次？
A．9
B．10
C．11
D．12
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例题3（2021 安徽）
小明去某楼盘售楼部咨询售房情况。置业顾问告诉他，如果再卖出50 套，则已卖出的数量与未卖出
的数量相等；如果再卖出150 套，则已卖出的数量比未卖出的数量多一半，问该楼盘目前还剩下多少套房
子未卖出？
A．350 套
B．450 套
C．550 套
D．650 套
例题4（2022 国考）
张和李2 名社区工作者上门统计某小区内住户的新冠疫苗接种情况，两人各负责1 栋住宅楼，每访问
1 户居民均需要5 分钟。李因处理公文比张晚出发一段时间。已知14:00 时两人共访问63 户，15:00 时张
访问的户数是李的2 倍。问李访问完50 户居民是在什么时候？
A．16:30
B．16:45
C．17:00
D．17:15
例题5（2023 国考副省级）
甲、乙、丙三家科技企业2021 年的收入之和比2020 年提升了20%。其中甲企业的收入上升了400 万
元，乙企业的收入下降了100 万元且是甲企业收入的一半，丙企业的收入上升了30%且其2020 年的收入与
甲、乙两企业同年收入之和相同。问2020 年甲企业的收入比乙企业高多少万元？
A．900
B．1100
C．400
D．600
✎不定方程：
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例题6（2020 下半年四川）
某人花400 元购买了若干盒樱桃。已知甲、乙、丙三个品种的樱桃单价分别为28 元/盒、32 元/盒和
33 元/盒，问他最多购买了多少盒丙品种的樱桃？
A．3
B．4
C．5
D．6
例题7（2022 江苏）
某企业年终评选了30 名优秀员工，分三个等级，分别按每人10 万元、5 万元、1 万元给与奖励。若
共发放奖金89 万元，则获得1 万元奖金的员工有多少？
A．14 人
B．19 人
C．20 人
D．21 人
例题8（2023 上海）
足球比赛在每个半场结束时都有一段时间的伤停补时，这是由当值主裁判决定的。某场比赛的主裁判
确定伤停补时的规则为：每次处理受伤增加30 秒，每次换人增加20 秒，其他情况每次增加10 秒。在下
半场即将结束时，主裁判确定伤停补时的时长为4 分30 秒。若已知下半场比赛时间内，处理受伤、换人
和其他情况都存在且共计有10 次，那么下半场两队总共换了多少人？
A．1
B．2
C．3
D．4
例题9（2022 湖北选调）
小贝计划到银行兑换面值5 元、10 元、20 元人民币若干。已知小贝恰好用5 张面值100 元人民币兑
换上述面值人民币45 张，那么请问有多少种兑换方法？
A．14
B．15
C．16
D．18
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✎和差倍比：
例题10（2022 深圳）
某学校有三队冬奥会志愿者，每队30 人，已知第一队的男生数和第二队的女生数相同，第三队的男
生数占全部男生数的2/5，则女生共有多少名？
A．30
B．40
C．45
D．50
例题11（2022 天津）
一个袋子里红球、白球、蓝球的数量比例为3∶8∶4，再向袋子中放入14 个红球和若干个蓝球后，红
球、白球、蓝球的数量比例变为5∶4∶3。如果此时从袋子里取出10 个红球、6 个白球和2 个蓝球后，袋
子里剩余红球、白球、蓝球的数量比例为多少？
A．1∶2∶1
B．2∶3∶1
C．1∶1∶2
D．1∶1∶1
例题12（2020 江苏）
台风过后，某单位发起救灾捐款活动，甲、乙两部门的员工人数之比是4∶3，捐款总额之比是5∶4。
若甲部门的人均捐款是300 元，则乙部门的人均捐款是多少？
A．270 元
B．290 元
C．320 元
D．350 元
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第三讲
工程问题
✎已知条件为时间、效率比、不同完工情况：
例题1（2023 北京）
甲、乙两个工程队被安排实施某个工程。甲工程队先施工，用了15 天完成了一半，剩下部分甲、乙
合作，比前一半的用时短了9 天。则乙工程队独立完成整个工程需要多少天？
A．10
B．15
C．16
D．20
例题2（2023 国考副省级）
一项工作甲独立完成需要3 小时，乙独立完成的用时比其与甲合作完成多4 小时，且乙和丙合作完成
需要4 小时。问丙独立完成需要多少小时？
A．10
B．12
C．6
D．8
例题3（2022 福建）
甲、乙、丙三个工程队接到A．B 两个工程的施工任务，若由甲单独完成B 工程需要30 天；若甲乙两
队合作施工，则完成A 工程需要30 天，完成B 工程需要20 天；乙丙合作完成A 工程则需要24 天。现在
三个工程队合作完成A、B 两个工程，多少天可以完工？（不足1 天按1 天计算）
A．24
B．25
C．26
D．27
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例题4（2020 山东）
甲、乙两个工程队共同完成某项工程需要12 天，其中甲单独完成需要20 天。现8 月15 日开始施工，
由甲工程队先单独做5 天，然后甲、乙两个工程队合作3 天，剩下的由乙工程队单独完成，问工程完成的
日期是？
A．9 月5 日
B．9 月6 日
C．9 月7 日
D．9 月8 日
例题5（2022 天津）
甲、乙二人合作计划30 天完成一项工程，甲的工作效率是乙的2 倍。两人合作10 天后，甲的效率提
升25%，乙的效率提升50%。又合作10 天后，乙因其他任务撤出，甲单独完成剩余任务。问最终工作比预
计时间？
A．早2 天
B．晚2 天
C．早4 天
D．晚4 天
例题6（2023 国考）
甲和乙两个工程队共同承担某项工程的施工任务。两队合作时各自的效率均比单独施工时高20%。已
知两队合作施工需要25 天完工；如甲先施工15 天后乙加入，两队合作15 天后剩余工作乙单独施工还需
要10 天完成。问甲队的效率是乙队的多少倍？
A．3/2
B．4/3
C．1/2
D．2/3
✎比例法运用：
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例题7（2023 广东县级）
某印刷厂原计划用全自动装订机花费4 小时装订一批文件，但在还剩300 份文件时装订机出现故障，
无法装订。印刷厂立即安排了部分员工进行人工装订，由于人工装订的总效率仅为机器的20%，最终比原
计划排迟1 小时完成装订。则这批文件共有多少份？
A．2400
B．3600
C．4800
D．6000
例题8（2023 上海）
某超市设有10 个人工收银台。周末10 个收银台全开，顾客结账平均排队20 分钟。为提高效率，超
市撤了4 个人工收银台，并改造为6 个自助收银台。若自助收银的效率是人工收银效率的90%。改造后，
周末当人工收银台和自助收银台全开，预计顾客结账平均排队耗时约为多少？
A．12 分钟
B．14 分钟
C．16 分钟
D．18 分钟
✎合作完工：
例题9（2022 湖北选调）
某工厂一机器需要同类零件分别安装在A 和B 处。已知零件安装在A 处可工作600 小时报废，安装在
B 处可工作900 小时报废。两零件分别安装在A．B 两处工作一段时间后，交换零件位置继续工作。这时零
件恰好同时报废，忽略安装和更换零件的时间，请问这两个零件使机器工作了多少小时？
A．640
B．720
C．800
D．840
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例题10（2022 江苏B）
甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库K 和L 的货物搬运任务。已知两个仓库的工作量相同，他
们先在K 工作2 小时，完成了K 工作量的75%；然后乙、丙先去L 工作，甲留在K 继续工作，并用3 小时
完成了K 的剩余工作量后再去L 工作，直至任务全部完成。甲在L 工作的总时间为多少？
A．20 分钟
B．30 分钟
C．40 分钟
D．50 分钟
例题11（2022 四川）
工厂甲、乙、丙3 条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部任务的1/3，接着乙、
丙合作两天完成剩下任务的45%，最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问甲完成的部分占全部任务的
多少？
A．4/15
B．1/3
C．2/5
D．3/5
例题12（2018 浙江）
某蛋糕店接到300 个蛋糕的订单。已知老板一天能做30 个蛋糕，店员小红一天只能做10 个。蛋糕制
作过程中，老板有一个周末外出，小红请了8 天假，两人在外时间不重叠。问制作这批蛋糕一共花了多少
天？
A．11
B．12
C．13
D．14
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第四讲
容斥问题
✎代入公式：
例题1（2022 广东）
某单位计划从全部80 名员工中挑选专项工作组成员，要求该组成员须同时有基层经历和计算机等级
证书。已知，单位内有40 人有基层经历，有46 人有计算机等级证书，既没有基层经历又未获得计算机等
级证书的有10 人。那么能够进入工作组的员工有多少人？
A．16
B．40
C．46
D．54
例题2（2022 天津）
某班期末考试结束后统计，物理、化学均不及格的人数占全班的14%，物理及格的人数比化学及格的
人数多10 人，且化学及格的人数占全班人数的60%。已知全班人数不超过70 人，问物理及格的人中化学
也及格的有多少人？
A．25
B．26
C．27
D．28
第14 页
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例题3（2023 浙江）
某班级对70 多名学生进行数学和英语科目摸底测验，有12%的学生两个科目均不及格。已知有2/3 的
学生英语及格，数学及格的学生比英语多10 人，那两科均及格的学生有多少人？
A．31
B．37
C．41
D．44
例题4（2020 新疆）
某单位共有240 名员工，其中订阅A 期刊的有125 人，订阅B 期刊的有126 人，订阅C 期刊的有135
人，订阅A、B 期刊的有57 人，订阅A、C 期刊的有73 人，订阅3 种期刊的有31 人，此外，还有17 人没
有订阅这三种期刊中的任何一种。问订阅B、C 期刊的有多少人？
A．57
B．64
C．69
D．78
例题5（2018 黑龙江）
联欢会上，有24 人吃冰激凌、30 人吃蛋糕、38 人吃水果，其中既吃冰激凌又吃蛋糕的有12 人，既
吃冰激凌又吃水果的有16 人，既吃蛋糕又吃水果的有18 人，三样都吃的则有6 人。假设所有人都吃了东
西，那么只吃一样东西的人数是多少？
A．12
B．18
C．24
D．32
例题6（2022 北京）
单位组织职工前往甲、乙、丙三个爱国主义教育基地学习，要求每名职工至少去1 个基地。已知有48
人去了甲基地，有42 人未去乙基地，去丙基地的人中，去1 个、2 个、3 个基地的人数比为3∶2∶1。如
仅去2 个基地和去3 个基地的职工分别有x 人和y 人，则x 和y 的关系为？
A．x＝4y＋6
B．x＝4y－6
C．x＝3y＋6
D．x＝3y－6
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✎画图解决：
例题7（2023 广东县级）
某单位共有员工200 人，其中订阅杂志的人数比只订阅报纸的人数多88%。则报纸和杂志均未订阅的
员工有多少人？
A．36
B．56
C．76
D．96
例题8（2023 深圳）
小明对甲、乙、丙三种手机软件的安装情况进行街头调查。随机选取的一批调查对象中，手机安装了
甲、乙、丙三种软件的人数分别是40，36，35，只安装了其中一种软件的人数分别占其中的25%、25%、
20%，同时安装了甲、乙两种软件而未安装丙软件的有4 人，同时安装了甲、丙两种软件而未安装乙软件
的人数比同时安装乙、丙两种软件而未安装甲软件的人数多3 人，有多少人同时安装了甲、乙、丙三种软
件？
A．15
B．21
C．27
D．33
例题9（2023 国考副省级）
农科院在某村287 名淡水鱼养殖人员中开展防病培训和育种培训。已知参加防病培训的养殖人员中，
参加育种培训的人数比未参加的多21%；参加育种培训的养殖人员中，参加防病培训的人数比未参加的多
76 人。问共有多少人未参加任何一项培训？
A．21
B．23
C．25
D．27
第16 页
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例题10（2023 北京）
某公司有80 人报名参加会计、法律和技术三项培训中的一项或多项，三项培训的报名人数比为6∶5∶4。
已知同时参加会计和法律培训的人数，和同时参加法律和技术培训的人数，分别是同时参加会计和技术培
训的人数的70%和80%，且无人同时参加3 项培训，则只参加技术培训的有多少人？
A．4
B．6
C．8
D．10
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第五讲
溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：
例题1（2022 江苏C）
某种杀虫剂每桶5 公斤，浓度为40%，使用时需将浓度稀释到5%，每亩地喷洒60 公斤。若某农户家
中有4 亩地，则至少需要该杀虫剂多少桶？
A．3 桶
B．4 桶
C．5 桶
D．6 桶
例题2（2022 深圳）
实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3 瓶溶液全部倒入一瓶中，
得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，则丙溶液重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5
B．5.5
C．6.5
D．7.5
例题3（2022 湖北选调）
将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液浓度变为36%
且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为多少？
A．24%
B．28%
C．30%
D．32%
第18 页
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✎十字交叉法：
例题4（2022 下四川）
某年级有甲、乙、丙三个班级，三个班级的期末考试平均成绩分别为70 分、88 分和74 分。若甲班和
乙班的平均成绩为78 分，乙班和丙班的平均成绩为82 分。问该年级的期末考试平均成绩为多少分？
A．75
B．77
C．79
D．81
例题5（2023 上海）
某公司生产A．B 两种产品，其中B 是A 的升级产品。经过调研，预判2022 年市场对A 产品的需求比
2021 年下降30%（A 产品的价格不变）。因此公司决定增加对B 产品营销，使B 产品在2022 年的销售收入
比2021 年增长70%，这样恰好使公司2022 年的总销售收入比2021 年增长10%。则2021 年B 产品的销售
额占总销售额的比例是多少？
A．40%
B．50%
C．60%
D．70%
第19 页
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例题6（2022 甘肃）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的长方形和正方
形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，仓库管理员在核查工作人员
四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有误？
次数
正方形纸板（张）
长方形纸板（张）
第一次
562
933
第二次
420
860
第三次
502
1000
第四次
980
1015
A．一
B．二
C．三
D．四
例题7（2022 北京）
甲、乙两条生产线每小时分别可以生产15000 件和9000 件某种零件，产品合格率分别为99%和99.8%。
现接到36 万件这种零件的生产任务，要求合格率不得低于99.5%，则两条生产线合作，至少需要多少小时
完成?
A．15
B．18
C．24
D．25
例题8（2016 联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音乐系男女生人
数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数之比为多少？
A．5∶2
B．5∶1
C．3∶1
D．2∶1
第20 页
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例题9（2020 山东）
由于改良了种植技术，农场2017 年种植的A 和B 两种作物，产量分别增加了10%和25%。已知2017
年两种作物总产量增加了18%，问2017 年A 和B 两种作物的产量比为多少？
A．7∶8
B．8∶7
C．176∶175
D．77∶100
例题10（2023 深圳）
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b 相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤60 元，乙咖啡
豆每公斤80 元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降15%，以致该拼配咖啡豆的成
本上调了5%，则a∶b 为多少？
A．1∶1
B．5∶3
C．8∶3
D．2∶1
第21 页
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第六讲
余数、平方数与等差数列
✎等差数列：
例题1（2022 青海）
某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9 个团体新创节目的数量恰好
成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目总数是70。那么这9 个文艺
表演团体去年新创节目的总数是多少？
A．72
B．76
C．78
D．80
例题2（2022 江苏B）
某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9 家企业获得的贷款额从少到多
排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万元贷款，排第8 的企业获得的贷款额为多少？
A．620 万元
B．660 万元
C．720 万元
D．760 万元
第22 页
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例题3（2022 安徽）
某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，第一次升空
n 架，第二次升空n－1 架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形背景的灯光秀，那么第10
次升空的无人机数量是多少？
A．3 架
B．5 架
C．8 架
D．10 架
例题4（2021 安徽）
送奶工人给11 楼住户送牛奶，由于小区停电导致电梯无法使用。如果他走楼梯从第1 层到第2 层需
要5 秒，以后每多走一层需多花2 秒，其中走到5 层以后每多走一层需多休息5 秒，那么他走到11 层需
要多少秒？
A．210
B．215
C．220
D．235
例题5（2022 下四川）
商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销量都比前一天多1 台。已知6 月
16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种电器？
A．555
B．600
C．645
D．690
例题6（2020 国考）
某种产品每箱48 个。小李制作这种产品，第1 天制作了1 个，以后每天都比前一天多制作1 个。X 天
后总共制作了整数箱产品。问X 的最小值在以下哪个范围内？
A．在41～60 之间
B．超过60
C．不到20
D．在20～40 之间
第23 页
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✎平方数问题：
例题7（2022 天津）
有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等于那一年的年份。
这个人是哪年出生的？
A．1995
B．1990
C．1985
D．1980
例题8（2017 吉林）
已知张先生的童年占去了他年龄的1/14，再过了1/7 他进入成年，又过了1/6 他结婚了，婚后3 年他
的儿子出生了，儿子7 岁时，他们的年龄和为某个素数的平方，则张先生结婚时的年龄是？
A．38 岁
B．32 岁
C．28 岁
D．42 岁
例题9（2022 甘肃）
甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：每人各自订
购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数。每人订购的医
疗器械种类数都未超过15 类，并且两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都比自己的助手多购45 台。
问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A．150
B．170
C．210
D．240
第24 页
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✎余数问题：
例题10（2023 广东县级）
某社区计划组建多支社工团队，为此招幕了一批社工。如果每支团队由3 名社工组成，则剩余2 名社
工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，则该社区可能招募了多少名社工？
A．32
B．34
C．36
D．38
例题11（2019 江苏事业编）
N 为自然数，被9 除余数是8，被7 除余数是6，被5 除余数是4。已知100＜N＜1000，则这样的数有
多少个？
A．1
B．2
C．3
D．4
例题12（2018 山东）
某市场调查公司3 个调查组共40 余人，每组都有10 余人且人数各不相同。2017 年重新调整分组时发
现，若想分为4 个人数相同的小组，至少需要新招1 人；若想分为5 个人数相同的小组，至少还需要新招
2 人。问原来3 个组中人数最多的组比人数最少的组至少多几人？
A．2
B．3
C．4
D．5
第25 页
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第七讲
经济利润问题
✎基础题型：
例题1（2023 北京）
一件商品售价100 元/件时，卖出4 件的利润与售价80 元/件时卖6 件的利润相同。则这种商品的成
本是多少元/件？
A．30
B．40
C．50
D．60
例题2（2021 北京）
一种设备打九折出售，销售12 件与原价出售销售10 件时获利相同。已知这种设备的进价为50 元/件，
其他成本为10 元/件。问如打八折出售，1 万元最多可以买多少件？
A．80
B．83
C．86
D．90
例题3
已知A、B 两种设备定价相同，C 设备单价为8000 元/台。现A、B 两种设备分别打六折、七折促销，
购买1 台B 设备的费用比购买A、C 设备各1 台的总费用高2 万元。问促销期间1000 万元预算最多可以购
买多少台A 设备？
A．35
B．51
C．59
D．77
第26 页
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例题4（2023 浙江）
某商品上月售价为进价的1.4 倍，销售m 件。本月该商品进价下降20%，售价不变，销售利润为上月
的1.8 倍。那么本月的销量为多少件？
A．1.3m
B．1.25m
C．1.2m
D．1.15m
例题5（2021 山东）
某种商品第一天原价销售，第二天开始每天的销售价格比上一天下降原价的10%。在最后一天前，每
天的销量比上一天提高100%。最后一天的销量与第三天相同。总共6 天全部卖完。如果这种商品的成本为
原价的60%，问销售这种商品的总利润是总成本的？
A．不到10%
B．10%～20%之间
C．20%～30%之间
D．30%以上
例题6（2023 吉林）
某商场柜台出售一款小家电，如果按定价打九折出售可获得利润70 元，如果按定价打九五折出售可
获得利润100 元，这款小家电进货价格所在区间是？
A．400～450 元
B．450～500 元
C．500～550 元
D．550～600 元
✎阶梯计费：
第27 页
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例题7（2023 安徽）
某智慧公共停车场的收费标准如下：停车不超过15 分钟，不收费；超过15 分钟但不超过60 分钟，
按1 小时计，收费5 元；超过1 小时后，超过的部分按每30 分钟4 元收费（不足30 分钟，按30 分钟计）。
若李先生支付停车费17 元，则他停车的时长可能为？
A．2 小时
B．2 小时15 分钟
C．2 小时45 分钟
D．3 小时
例题8（2022 深圳）
某商城停车场实行按时长阶梯式收费，收费规则如下：不超出某一基础时长的，按5 元/小时收费。
超出该基础时长的，超出的部分每小时收费增加3 元；停车时长达基础时长3 倍以上时，则超出基础时长
3 倍的部分，每小时收费再增加3 元。若甲某次停车离场时超出基础时长11 小时，共交费116 元，则基础
时长为多少小时？（该基础时长为整数，停车时长不满1 小时的按1 小时计）
A．6
B．5
C．4
D．3
✎分批销售：
第28 页
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例题9（2022 北京）
商店销售某种商品，先按定价卖了300 件，打七五折卖了200 件，后在此基础上再打八折卖完了剩下
的100 件，总利润为总成本的2/3。单件成本相当于单件定价的多少？
A．57%
B．54%
C．51%
D．48%
例题10（2018 国考）
甲商店购入400 件同款夏装。7 月以进价的1.6 倍出售，共售出200 件；8 月以进价的1.3 倍出售，
共售出100 件；9 月以进价的0.7 倍将剩余的100 件全部售出，总共获利15000 元。问这批夏装的单件进
价为多少元？
A．125
B．144
C．100
D．120
例题11（2018 浙江事业编）
商场以120 元/套的价格购进了N 套某款服装，又以135 元/套的价格购进了2N 套，商场以定价售完
1.5N 套后，以定价的七折又销售了N 套，最后以定价四折售完剩余所有服装，利润总计为330N 元。问最
初定价是多少元？
A．200
B．240
C．280
D．300
例题12（2019 年四川）
某助农项目从农民手中以1 元/斤的价格收购一批芒果，通过网络平台销售，定价30 元/10 斤包邮，
售出芒果的60%后调价为35 元/10 斤，售完全部芒果的总收入比调价前预计的多20 万元。问这批芒果总
重量为多少吨？
A．50
B．100
C．500
D．1000
第29 页
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第八讲
经济利润之增长率、函数最值
✎增长率相关：
例题1（2023 北京）
某公司去年的营业额比前年高20%，今年的营业额比去年高360 万元，比前年高600 万元。这3 年的
营业额一共是多少万元？
A．4200
B．4440
C．4680
D．4920
例题2（2023 辽宁）
某高校今年共有231 名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减少1/6，而考
试录取人数比上年度增加31/150，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今年推荐录取的研究生
人数为多少？
A．40 人
B．45 人
C．50 人
D．55 人
第30 页
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例题3（2023 黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩100 万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增长，四月份生产
口罩133.1 万包，这个增长率是多少？
A．10%
B．8%
C．6%
D．5%
例题4（2022 湖北选调）
去年某厂的电解镍出厂价格为15 万元/吨。今年年初镍矿价格暴涨，因此该厂将电解镍的产能扩大了
25%。假设今年和去年生产的产品都全部售出，利润率与出厂价格之比为常数，该厂为实现今年电解镍利
润同比翻一番，请问今年该厂电解镍出厂价格为多少万元/吨？
A．15 2
B．10 3
C．6 10
D．20
例题5（2021 浙江）
由于采用了新的种植技术，某种农产品的产量和品质都得到了提升。在平均每亩增产25%的同时，每
千克售价也增加了20%。尽管每亩生产成本增加了35%，但每亩利润也增加了100%。问采用新种植技术后，
每亩利润占每亩销售收入的比例在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．25%～35%
C．35%～45%
D．超过45%
例题6（2022 国考）
为降低碳排放，企业对生产设备进行改造，改造后日产量下降了10%，但生产每件产品的能耗成本下
降了50%，其他成本和出厂价不变的情况下每天的利润提高了10%。已知单件利润＝出厂价－能耗成本－
其他成本，且改造前产品的出厂价是单件利润的3 倍，则改造前能耗成本为其他成本的？
A．不到
1
4
B．
1
4 −
1
3之间
C．
1
3 −
1
2之间
D．超过
1
2
第31 页
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✎函数最值：
例题7（2018 联考）
某苗木公司准备出售一批苗木，如果每株以4 元出售，可卖出20 万株，若苗木单价每提高0.4 元，
就会少卖10000 株。问在最佳定价的情况下，该公司最大收入是多少万元？
A．60
B．80
C．90
D．100
例题8（2020 江苏）
某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已知销售单价每降低1 元，每
天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的金额是多少？
A．5 元
B．6 元
C．7 元
D．8 元
例题9（2022 安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进价为每个40
元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商
家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 元
B．52 元
C．54 元
D．57 元
第32 页
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例题10（2019 重庆公检法）
某网站销售10 个不同档次的衬衣，其中最高档的每年销售500 件，每件利润为300 元。往下每降低1
个档次，每年销量增加1000 件，每件利润降低30 元。问年总利润最高的3 个档次的衬衣，全年销量之和
为多少万件？
A．1.05
B．1.50
C．1.65
D．1.80
第33 页
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第九讲
和定最值与最不利极限题
✎和定最值：
例题1（2023 安徽）
某小区物业准备了230 盒口罩免费派发给10 栋楼，要求任意两栋楼派发的口罩数量都不相同，但最
多相差不超过1 倍。假设口罩不拆盒发放，那么派发口罩数量最少的那栋楼最少可派发多少口罩？
A．18 盒
B．15 盒
C．14 盒
D．12 盒
例题2（2023 辽宁）
19 个不同的正整数从小到大排序，总和为191，则最大的数只能取多少？
A．18
B．19
C．20
D．21
例题3（2022 上海）
某单位进行了一次绩效考评打分，满分为100 分。有5 位员工的平均分为90 分，而且他们的分数各
不相同，其中分数最低的员工得分为77 分，那么排第二名的员工至少得多少分？（员工分数取整数）
A．90
B．92
C．94
D．96
第34 页
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例题4（2021 年国考）
某地10 户贫困农户共申请扶贫小额信贷25 万元。已知每人申请金额都是1000 元的整数倍，申请金
额最高的农户申请金额不超过申请金额最低农户的2 倍，且任意2 户农户的申请金额都不相同。问申请金
额最低的农户最少可能申请多少万元信贷？
A．1.5
B．1.6
C．1.7
D．1.8
✎最不利极限题：
例题5（2023 山东）
一个袋子里装了50 个苹果，5 个香蕉，30 个橘子和50 个梨，若每次从袋子里随机取出1 个水果，问
至少需要取多少次能肯定拿出10 个相同种类的水果？
A．10
B．35
C．33
D．32
例题6（2022 河北）
有200 人参加招聘会，其中法学70 人，经济学60 人，工业设计50 人，统计学20 人，至少有多少人
找到工作才能保证一定有50 人的专业相同？
A．167
B．168
C．170
D．175
第35 页
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例题7（2023 浙江）
某部门举行年会抽奖活动。抽奖箱里有80 个抽奖券，共20 个不同的数字，每个数字均出现4 次，且
分别对应一份礼品，不同的数字对应的礼品不同。每人当天限抽1 次。那么最少多少人当天参加抽奖活动，
才能保证至少有3 人领取的礼品相同？
A．41
B．42
C．61
D．62
例题8（2018 山东）
甲、乙、丙和丁四个依次相邻的农场分别饲养76 头、82 头、45 头和93 头牛，位置如下图所示（虚
线位置为栅栏）。现由于两处栅栏损坏，有3 个农场的牛混在一起。问最多需要分辨多少头牛，就一定能
将所有牛还回原本的农场？
甲
乙
丙
丁
A．219
B．220
C．250
D．251
✎其他极限思维：
第36 页
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例题9（2023 湖北选调）
公司组织员工团建，有6 项趣味活动，每个人最多参加三项不同的活动。如果每项活动需12 个人参
加且至少有8 个人只参加本项活动，那么本次团建至少有多少人参加？
A．56
B．60
C．64
D．72
例题10（2022 北京）
下方九宫格中为从1 到9 不重复的9 个整数，虚线上角的数字为虚线所
经过区域的数字之和，则灰色格子中的数字最大可能是多少？
A．7
B．6
C．5
D．4
例题11（2023 浙江）
将一叠文件分为若干组，每组正好有10 份文件。已知其中2 组文件中有18 份通知，其余每组文件中
最多有5 份通知，且所有文件中通知占比正好为60%。那么这叠文件最多可能有多少份？
A．50
B．60
C．70
D．80
第37 页
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第十讲
周期循环与日期星期问题
✎周期循环：
例题1（2023 上海）
某班有48 位同学，教室里有6 排，每排8 个座位。若在每个周一早上班里同学按照如下要求换座位：
①第一排同学换到最后一排，其他每排同学向前换一排；②最左边一列的同学换到最右边一列，其他每列
同学向左换一列。那么坐在第一排最左边的同学经过多少周后首次回到第一排最左边？
A．12 周
B．24 周
C．36 周
D．48 周
例题2（2022 河北）
两个信号灯分别以30 秒和36 秒的固定间隔闪亮一次，若他们10 点第一次同时闪亮，则第七次同时
闪亮的时间为多少？
A．10:15
B．10:16
C．10:18
D．10:21
第38 页
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例题3（2016 国考）
某政府机关内甲、乙两部门通过门户网站定期向社会发布消息，甲部门每隔两天、乙部门每隔3 天有―
个发布日，节假日无休。问甲、乙两部门在一个自然月内最多有几天同时为发布日？
A．5
B．2
C．6
D．3
例题4（2021 黑龙江急需）
在某次班级活动中，所有学生围成一圈做游戏，恰好每个学生左右相邻的两个同学性别均不相同。问
该班可能有多少个学生？
A．52
B．53
C．54
D．55
✎日期星期问题：
例题5（2022 青海）
2021 年7 月1 日是中国共产党建党100 周年的纪念日，这一天是星期四，那么建党110 周年纪念日是？
A．星期一
B．星期二
C．星期三
D．星期四
第39 页
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例题6（2020 河南事业编）
2020 年的2 月1 日为星期六，那么下一个2 月1 日为星期六的年份是？
A．2024
B．2025
C．2026
D．2027
例题7（2019 河北）
甲、乙、丙三人均每隔一定时间去一次健身房锻炼。甲每隔2 天去一次，乙每隔4 天去一次，丙每7
天去一次。4 月10 日三人相遇，下一次相遇是哪天？
A．5 月28 日
B．6 月5 日
C．7 月24 日
D．7 月25 日
例题8（2019 浙江事业编）
小米、小明、小华三人参加补习班，小米每隔1 天补习一次，小明每隔2 天补习一次，小华每隔6 天
补习一次。已知9 月15 日他们相约第一次补习，则下一次三人同时来补习是哪天？
A．9 月27 日
B．9 月29 日
C．10 月26 日
D．10 月27 日
例题9（2016 江苏）
小明，小红，小桃三人定期到某棋馆学围棋，小明每隔3 天去一次，小红每隔4 天去一次，小桃每隔
5 天去一次，若2016 年2 月10 日三人恰好在棋馆相遇，则下次三人在棋馆相遇的日期是？
A．2016 年4 月8 日
B．2016 年4 月11 日
C．2016 年4 月9 日
D．2016 年4 月10 日
第40 页
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✎利用休息日工作日确定星期：
例题10（2023 深圳）
博物馆员工周二至周六上班，周日、周一休息。某月有31 天，员工小王工作了22 天，则该月的4 号
是周几？
A．周一
B．周二
C．周一或周四
D．周四或周日
例题11（2015 北京市考）
小王在每周的周一和周三值夜班，某月他共值夜班10 次，则下月他第一次值夜班可能是几号？
A．2
B．3
C．4
D．5
例题12（2014 江苏省考）
某年的3 月份共有5 个星期三,并且第一天不是星期一,最后一天不是星期五,则该年的3 月15 日是？
A．星期二
B．星期三
C．星期四
D．星期五
第41 页
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第十一讲
几何问题
✎平面几何：
例题1（2023 吉林）
为推动产业园和产业集聚区加快转型，某地计划在三角形ABC 区域内建设新能源产业园区（如下图所
示），三角形DEF 是中央工厂区，已知BD∶DE∶EC=1∶2∶3，F 为AE 的中点，则新能源产业园区总面积
是中央工厂区面积的多少倍？
A．7 倍
B．6 倍
C．5 倍
D．4 倍
第42 页
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例题2（2023 国考执法）
公园里有一片四边形草坪，沿对角线修建的小道相交于O 点，O 到四个顶点A、B、C、D 的距离之比正
好为1∶2∶3∶4，一名工人花费1 天正好完成AOB 区域的修剪，问第二天至少需要额外增加多少名效率相
同的工人一起工作，才能在当天内完成剩余草坪的修剪？
A．8
B．10
C．11
D．12
例题3（2023 福建）
边长为10 厘米的正方形ABCD 如下图所示，E 为正方形中的某一点，已知AE 长8 厘米，BE 长6 厘米，
问三角形ADE 的面积为多少平方厘米？
A．24
B．32
C．44
D．48
第43 页
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例题4（2023 福建）
如下图所示，某地计划修建一个长50 米，宽40 米的长方形观光园。现在需要在观光园中修建几条鹅
卵石小道供游客行走，其中一条是长为50 米，宽为2 米的水平直线型小路，另外两条修成斜线型，并且
要求这两条斜线型小路任何地方的水平方向宽度都是1 米，问修完小路后观光园剩下部分的面积是多少平
方米？
A．1862
B．1880
C．1950
D．1960
例题5（2023 浙江）
一只闹钟的秒针顶点距离表盘圆心4 厘米，分针顶点距离表盘圆心3 厘米。小王烧开一壶水的时间内，
秒针顶点累计移动了40π厘米。那么这一时间段内，分针顶点与表盘圆心的连线扫过的扇形面积为多少平
方厘米？
A．0.5π
B．0.75π
C．π
D．1.5π
例题6（2022 下四川）
一艘轮船在点A 处测得灯塔M 在北偏西15°，向北航行了20 千米后到达B 点，测得灯塔M 在北偏西
30°。此后该船继续向北航行，在到达灯塔正东方向C 处时，轮船与灯塔M 的距离为多少千米？
A．10
B．12
C．6 3
D．20 2 −
3
第44 页
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例题7（2022 福建）
兔子和乌龟举行一场跑步比赛，终点位于起点正北方500 米处。兔子和乌龟同时出发，均保持匀速奔
跑，且兔子的速度是乌龟的5 倍。兔子先向正东方跑了一会后发现自己跑错了方向，马上直奔终点，速度
不变，结果兔子和乌龟同时到达终点。那么兔子发现跑错方向时已经跑了多少米？
A．600
B．1200
C．2400
D．3000
✎立体几何：
例题8（2022 国考）
一个圆柱体零件的高为1，其圆形底面上的内接正方形边长正好也为1。现将圆柱体零件切割4 次，
得到棱长为1 的正方体，则切去部分的总表面积为多少？
A．2 π + 2
B．2 2 π −2
C．
2 + 1 π + 2
D．2 2π −2
第45 页
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例题9（2020 国考）
一个无盖长方体饮料盒如下图所示，其底面为正方形，高为23 厘米。若插入一根足够细的不可弯折
的吸管与底部接触，已知插入饮料盒内的吸管长度最大为27 厘米，问饮料盒底面边长为多少厘米？
A．5 2
B．8
C．10
D．10 2
例题10（2021 辽宁）
如下图1 所示，在一个金字塔造型（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的铸造件内部挖
空一个圆柱。现沿铸造件顶点A 且垂直底面的方向切开，切开后的截面如下图2 所示，已知DE、GF 为圆
柱的高，BC＝4 2分米，DE＝2 分米，AO＝4 分米，那么挖后铸造件的体积是？
A．128 −4π立方分米
B．
128
3 −4π立方分米
C．
64
3 −4π立方分米
D．64 −4π立方分米
第46 页
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例题11（2023 湖北）
下图所示是一种帐篷屋顶的示意图，底面是一个长4 米宽3 米的长方形，屋顶高1 米，上棱长2 米且
平行于底面，那么该帐篷屋顶的体积是：
A．5 立方米
B．11 立方米
C．12 立方米
D．24 立方米
第47 页
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第十二讲
几何最值、最短路径与等比放缩
✎几何最值：
例题1（2019 新疆）
某健身馆准备将一块周长为100 米的长方形区域划为瑜伽场地，将一块周长为160 米的长方形区域划
为游泳场馆。若瑜伽场地和游泳场馆均是满足周长条件下的最大面积。问两块场地面积之差为多少平方
米？
A．625
B．845
C．975
D．1150
例题2（2023 安徽）
某村拟建造一个容积为144 立方米，深度为4 米的长方体无盖蓄水池。为节约成本，侧面积最小为多
少平方米？
A．24
B．36
C．96
D．132
第48 页
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例题3（2018 四川）
在美化城市活动中，某街道工作人员想借助如图所示的直角墙角，用28 米长的篱笆围成一个矩形花
园ABCD，篱笆只围AB、BC 两边。图中的P 为一棵直径为1 米的树，其与墙CD、AD 的最短距离分别是14
米和5 米，若要将这棵树围在花园内，则花园的最大面积为多少平方米？
A．187
B．192
C．195
D．196
✎最短路径：
第49 页
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例题4（2023 湖北）
A、B 两村在一条笔直公路的同侧，到公路的垂直距离分别是3 公里和7 公里，两村相距8.5 公里，现
需在公路边建一个物资集散中心，为节约物资配送成本，集散中心到两个村的直线路程之和应尽可能小，
若货车的速度约为60 公里/小时，那么货车从集散中心出发，到两村送货后返回中心，路途所花费的最少
时间为多少？
A．18 分钟
B．21 分钟
C．24 分钟
D．27 分钟
例题5（2022 安徽）
A、B 两个乡镇分布于山谷两侧，山谷间有一条宽为2km 的河道（如下图所示）。当地政府决定在两个
乡镇间修建一条跨河公路促进旅游发展。由于架桥费用高昂，所以要求跨河公路中的桥梁路段长度最短。
那么根据图中数据，从A 镇前往B 镇的最短距离为多少？
A．17km
B．15km
C．19km
D．20km
第50 页
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例题6（2023 北京）
一个半径为120 米的圆形人工湖正中有一个半径为60 米的圆形人工岛。甲从岛的正北岸边出发，以1
米/秒的速度匀速划船前往湖的正南岸边，则最少需要多长时间？
A．不到3 分45 秒
B．3 分45 秒～4 分之间
C．4 分～4 分15 秒之间
超过4 分15 秒
✎等比放缩：
例题7（2020 浙江）
用边长为0.2m 的正三角形地砖铺满一块边长为1m 的正六边形地面，需要多少块地砖？
A．30
B．60
C．150
D．180
第51 页
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例题8（2023 安徽）
某餐馆承诺25 分钟内上齐一桌菜，若超时则未上的菜品免单。每张餐桌上都有一个装满后正好25 分
钟漏完的圆锥形沙漏（如下图所示）。某位顾客在等待的过程中发现沙漏内上方沙子的高度为原先的一半，
此时还差一道菜未上，则再过多久还未上菜，这位顾客将享受免单服务？
A．不到3 分钟
B．3～4 分钟之间
C．4～5 分钟之间
D．超过6 分钟
例题9（2022 安徽）
商家门口摆放了一把正四棱锥形（底面为正方形，侧面为四个全等的等腰三角形）的遮阳伞，第一次
伞撑开到图1 所示的位置，伞柄与伞骨成角∠CPQ 为30°，继续撑开到如图2 所示的位置，伞柄与伞骨成
角∠C'PQ'变为60°，那么第二次伞撑开后形成的正方形A'B'C'D'是第一次撑开后正方形ABCD 面积的：
A．3 2倍
B．3倍
C．2 倍
D．3 倍
第52 页
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例题10（2021 国考）
一个人工湖的湖面上有一个露出水面3 米的圆锥体人工景观（底面朝下）。如人工湖水深减少20%，
则该景观露出水面部分的体积将增加61/64。问原来的人工湖水深为多少米？
A．3.5
B．3.75
C．4.25
D．4.5
第53 页
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第十三讲
行程问题
✎基础行程：
例题1（2021 安徽）
小张开车经高速公路从甲地前往乙地。该高速公路限速为120 千米/小时。返程时发现有
1
3的路段正在
维修，且维修路段限速降为60 千米/小时。已知小张全程均按最高限速行驶，且返程用时比去程用时多30
分钟，则甲、乙两地距离为多少千米？
A．150
B．160
C．180
D．200
例题2（2023 湖北选调）
某公司组织员工到景区旅游，先乘坐大巴1 小时，再步行2 小时；返回时的路线跟来时不同，需先步
行1 小时，再乘坐大巴2 小时。已知来回途中员工步行速度相同，大巴车速相同，返回的路程是去程的1.5
倍。若员工来回均步行，需要多少小时？
A．15
B．10
C．9
D．8
第54 页
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例题3（2023 国考）
从A 地前往B 地的道路前40%的路程为上坡路，其余为下坡路。张某驾驶满载的汽车从A 地去B 地卸
货，然后空车返回A 地。已知他满载时上坡的速度是下坡速度的一半，空车时上、下坡的速度分别是满载
时的1.5 倍和1.2 倍。问他返程的用时是去程的多少倍？
A．
5
6
B．
5
7
C．
17
21
D．
19
24
✎比例法运用：
例题4（2023 广东乡镇）
小明骑车从甲镇前往乙镇。如果骑车的速度为每小时20 千米，那么将准时到达。如果骑车的速度为
每小时24 千米，那么将提早5 分钟到达。则甲镇到乙镇的距离为多少千米？
A．8
B．10
C．12
D．16
例题5（2022 江苏B）
某人以每小时10 公里的速度从甲地骑车前往乙地，中午12:30 到达。若以每小时15 公里的速度行驶，
上午11:00 到达，则他出发的时间是？
A．上午7:15
B．上午7:30
C．上午7:45
D．上午8:00
第55 页
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例题6（2022 天津）
冬奥会男子短道速滑1500 米比赛中，A、B 两位运动员同时出发，已知本次比赛需要绕场地滑13.5 圈，
假设每位运动员滑完全程的速度是不变的，A 运动员滑完全程需要2 分15 秒，B 运动员滑一圈比A 运动员
少用时1 秒，则A 开始滑第几圈时，B 运动员正好领先A 运动员一整圈？
A．9
B．10
C．11
D．12
✎相遇追及问题：
例题7（2022 北京）
甲和乙同时出发，在长360 米的环形道路上沿同一方向各自匀速散步。甲出发2 圈后第一次追上乙，
又走了4 圈半第二次追上乙。则甲出发后走了多少米第一次到达乙的出发点？
A．160
B．200
C．240
D．280
例题8（2022 河北）
甲乙两人顺时针方向沿圆形跑道跑步。甲跑完一圈要10min，乙跑完一圈要12min，如果他们分别从
圆形跑道直径两端同时出发，甲第一次追上乙需要多少分钟？
A．30
B．60
C．15
D．45
第56 页
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例题9（2022 福建）
ABCD 四个学校分布在矩形的四个顶点上，小李早上骑自行车从A 校出发去D 校学习，半个小时后到达
D 校，学习3 个小时后立即由D 校去C 校，小李离开A 校4 个小时后妈妈驾车沿A→B→C 的路线去C 校接
小李，已知小李骑车速度为15 千米/小时，妈妈驾车速度为50 千米/小时，最终二人同时到达C 校。若妈
妈11 点出发，那么到达C 校的时间在以下哪个范围内？
A．11:25 之前
B．11:25～11:30 之间
C．11:30～11:35 之间
D．11:35 之后
例题10（2023 吉林）
为加快推进县域交通基础设施内畅外联、互联互通，A、B 两地新修建了一条高速公路。甲、乙两辆汽
车在这条高速公路上同时从A、B 两地相向开出，甲车每小时行驶74 千米，乙车每小时行驶65 千米，两
车在距中点18 千米处相遇。这条连通A、B 两地的高速公路全长是：
A．139 千米
B．256 千米
C．278 千米
D．556 千米
✎流水问题：
第57 页
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例题11（2021 新疆）
甲、乙两地分别为一条河流的上下游，两地相距360 千米，A 船往返需要35 小时，其中从甲地到乙地
的时间比从乙地到甲地的时间短5 小时。B 船在静水中的速度为12 千米每小时。问其从甲地开往乙地需要
多少小时？
A．12
B．20
C．24
D．40
例题12（2022 下四川）
甲、乙两名游泳运动员同时从下游A 点出发，游向900 米外的上游B 点并立刻原路返回。甲游了200
米时，乙游了120 米。已知甲顺流游泳的速度是逆流的1.8 倍，问两人迎面相遇的地点距离A 点多少米？
A．270
B．390
C．510
D．630
第58 页
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第十四讲
趣味杂题
✎牛吃草问题：
例题1（2020 浙江）
火车站售票窗口一开始有若干乘客排队购票，且之后每分钟增加排队购票的乘客人数相同。从开始办
理购票手续到没有乘客排队，若开放3 个窗口，需耗时90 分钟，若开放5 个窗口，则需耗时45 分钟。问
如果开放6 个窗口，需耗时多少分钟？
A．36
B．38
C．40
D．42
例题2（2019 联考）
某河道由于淤泥堆积影响到船只航行安全，现由工程队使用挖沙机进行清淤工作，清淤时上游河水又
会带来新的泥沙。若使用1 台挖沙机300 天可完成清淤工作，使用2 台挖沙机100 天可完成清淤工作。为
了尽快让河道恢复使用，上级部门要求工程队25 天内完成河道的全部清淤工作，那么工程队至少要有多
少台挖沙机同时工作？
A．4
B．5
C．6
D．7
第59 页
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例题3（2020 广东）
某政务服务大厅开始办理业务前，已经有部分人在排队等候领取证书，且每分钟新增的人数一样多。
从开始办理业务到排队等候的人全部领到证书，若同时开5 个发证窗口就需要1 个小时，若同时开6 个发
证窗口就需要40 分钟。按照每个窗口给每个人发证书需要1 分钟计算，如果想要在20 分钟内将排队等候
的人的证书全部发完，则需同时开多少个发证窗口？
A．7
B．8
C．9
D．10
例题4（2022 江苏B）
某疫苗接种点市民正在有序排队等候接种。假设之后每小时新增前来接种疫苗的市民人数相同，且每
个接种台的效率相同，经测算：若开8 个接种台，6 小时后不再有人排队；若开12 个接种台，3 小时后不
再有人排队。如果每小时新增的市民人数比假设的多25%，那么为保证2 小时后不再有人排队，需开接种
台的数量至少为多少？
A．14 个
B．15 个
C．16 个
D．17 个
例题5（2022 下四川）
某零件生产车间每天产量固定且目前有一定库存，车间用货车将库存零件运往买方仓库。如每天运24
车，5 天刚好运完；如每天运18 车，8 天刚好运完。现每天运x 车，4 天后车间生产效率提高了50%，又
用了7 天运完存货。问x 可能的最小值为多少？
A．18
B．19
C．20
D．21
第60 页
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✎鸡兔同笼：
例题6（2019 河南）
某饮料厂生产的A、B 两种饮料均需加入某添加剂，A 饮料每瓶需加该添加剂4 克，B 饮料每瓶需加3
克，已知370 克该添加剂恰好生产了这两种饮料共计100 瓶，则A、B 两种饮料各生产了多少瓶？
A．30、70
B．40、60
C．50、50
D．70、30
例题7（2022 北京）
某测试共有100 道题，答对一道题得3 分，不答或答错一道题扣2 分，小张测试成绩为285 分，则他
一共答对了多少道题？
A．85
B．90
C．95
D．97
例题8（2023 北京）
28 名运动员在羽毛球馆打比赛，馆内共有10 块羽毛球场地，所有运动员都要上场比赛，或者参加单
打比赛，或者参加双打比赛。如果保证每名运动员都在打比赛，且每块羽毛球场地上都有运动员在打比赛，
则有多少名运动员参加双打比赛？
A．20
B．24
C．12
D．16
第61 页
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✎方阵问题、植树问题：
例题9（2023 福建）
某学院有新生两百多人，将学生从1 开始依次编号，选取编号为3 的倍数的学生，正好构成新生运动
会开幕式方队，选取编号为m（3＜m＜10，且m 为整数）的倍数的学生，恰好构成闭幕式方队，问该学院
新生人数有多少人？
A．242
B．243
C．245
D．246
例题10（2019 广东）
某机构计划在一块边长为18 米的正方形空地开展活动，需要在空地四边每隔2 米插上一面彩旗，若
该空地的四个角都需要插上彩旗，那么一共需要多少面彩旗？
A．32
B．36
C．44
D．48
例题11（2018 黑龙江）
一条笔直的林荫道两旁种植着梧桐树，同侧道路每两棵梧桐树间距50 米。林某每天早上七点半穿过
林荫道步行去上班，工作地点恰好在林荫道尽头。经测试，他每分钟步行70 步，每步大约50 厘米，每天
早上八点准时到达工作地点。那么，这条林荫道两旁栽种的梧桐树共有多少？
A．44 棵
B．42 棵
C．22 棵
D．21 棵
第62 页
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第十五讲
基础排列组合
✎基础排列组合：
例题1（2023 广东县级）
某公司向餐馆订购盒饭，要求每份盒饭包含2 种荤菜、2 种素菜。如果餐馆共准备了6 种荤菜和4 种
素菜,则最多有多少种盒饭？
A．42
B．60
C．72
D．90
例题2（2023 吉林）
教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。
学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习
的顺序共有多少种？
A．120 种
B．72 种
C．36 种
D．24 种
第63 页
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例题3（2023 吉林）
在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各地参会代表一周内
每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120 次电话，这次参与培训交流的人数是多少？
A．20
B．18
C．16
D．15
例题4（2023 上四川）
如图所示，一面墙被分成A、B、C、D 四块，现有4 种不同的颜色，要求在每一块里涂上一种颜色且
相邻的两块颜色不相同（可以使用少于4 种颜色），问有几种不同的涂法？
A．84
B．64
C．36
D．24
✎分情况讨论：
第64 页
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例题5（2022 广东）
甲、乙、丙3 个单位订阅同一款报刊，已知3 个单位共订了12 份，其中，每个单位订阅数量不少于3
份，但不超过5 份，则这3 个单位的报刊订阅数量可能有多少种组合？
A．2
B．6
C．7
D．9
例题6（2022 北京）
将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙3 个不同的科室，要求每个科室至少分配1
人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则有多少种不同的分法？
A．12
B．21
C．35
D．72
例题7（2022 青海）
某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6 组志愿者中选出4 组分别从事防疫协助、嘉宾引导、英
语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只能从事防疫协助工作，
则派选方案有多少种？
A．36 种
B．72 种
C．108 种
D．144 种
✎全部减不符：
第65 页
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例题8（2021 安徽）
某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选
一门，则选法有多少种？
A．18 种
B．22 种
C．26 种
D．34 种
例题9（2023 黑龙江）
在一个3×3 的表格（如下图所示）中，分别填入5 个数字0 和4 个数字1，若要求灰色方格中不能同
时填入数字1，问有多少种填法？
A．98
B．100
C．120
D．126
例题10（2022 安徽）
滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和
北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算
去现场观看比赛，共选择6 个项目，并且每个大项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的
观赛方式有多少种？
A．83 种
B．84 种
C．92 种
D．102 种
第66 页
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例题11（2022 黑龙江）
某智能停车场泊车的泊车位置由电脑随机派位生成。现有两排车位，每排4 个，有4 辆不同的车需要
泊车。泊车要求至少有一车与其它车不同排，且甲乙两车在同一排。则电脑可生成几种派位方式？
A．672
B．480
C．384
D．288
第67 页
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第十六讲
基础概率问题
✎基础概率问题：
例题1（2019 江苏）
已知一个箱子中装有12 件产品，其中有2 件次品。若从箱子中随机抽取2 件产品进行检验，则恰好
抽到1 件次品的概率是多少？
A．
13
22
B．
10
33
C．
7
11
D．
8
11
例题2（2023 北京）
甲和乙两个办公室分别选出2 人听一个讲座。如每个办公室均随机选择，则甲办公室员工小刘和小陈
同时被选中的概率正好为10%。乙办公室员工小吴被选中的概率为20%，则两个办公室共有多少名员工？
A．11
B．15
C．16
D．20
第68 页
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例题3（2023 辽宁）
抛掷两颗质地均匀的骰子，记录向上的面出现的数字，那么这两个数字之和等于8 的概率是多少？
A．
5
36
B．
1
6
C．
1
12
D．
5
24
例题4（2023 黑龙江）
如果3 个学生一起报名，且3 个学生都通过科目一考试，那么就可以减免1 个学生的报名费。他们3
人不能通过科目一考试的概率分别为
1
2、
1
3、
1
4，则减免1 个学生报名费资格的概率为多少？
A．
3
4
B．
2
3
C．
1
3
D．
1
4
例题5（2020 山东）
在ATM 机上输入银行卡密码时，若连续三次输入错误则会吞卡，老李忘了银行卡密码的末两位数，只
记得是两个不相同的奇数，若他在末两位上随意输入两个不同奇数，能在吞卡前猜中正确密码的概率是多
少？
A．
3
20
B．
1
5
C．
1
9
D．
2
9
✎分情况讨论与全部减不符：
第69 页
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例题6（2022 江苏C）
“双减”政策实施后，某小学下午5：30 放学，小李5:00 下班去接孩子回家，当不堵车时，5:30 之
前到校；当堵车时，5:30 之前到校的概率为0.6。若5:00～5:30 堵车的概率为0.3，则小李5:30 之前到
校的概率是多少？
A．0.78
B．0.80
C．0.88
D．0.91
例题7（2023 安徽）
某学习平台收到的征文，将通过两轮评审决定能否采用。先由两位编辑进行初审，若两位编辑评审都
通过，则予以采用；若两位编辑都未予通过，则不予采用；若仅有一位编辑初审通过，则再由主编进行复
审，若复审通过，则予以采用，否则不予采用。设稿件能通过各初审编辑评审的概率均为0.4，复审的稿
件能通过的概率为0.2，各编辑独立评审，则每篇征文被采用的概率为多少？
A．0.32
B．0.256
C．0.24
D．0.208
例题8（2022 天津）
某部门共7 人，其中有2 人博士毕业，5 人硕士毕业。某日，该部门随机分成3 个小组参加3 项不同
的活动，3 个小组人数各不相同。问其中2 位博士毕业人员分在同一小组的概率在以下哪个范围内？
A．不到25%
B．在25%到35%之间
C．在35%到45%之间
D．45%以上
例题9（2022 广东）
某街道对辖内6 个社区的垃圾分类情况进行考核评估，结果显示，有2 个社区的垃圾分类考核不通过。
如果从6 个社区中随机抽取3 个进行现场检查，则抽取的社区中，既有考核通过的又有考核不通过的社区
的概率为多少？
A．
1
5
B．
1
2
C．
2
3
D．
4
5
第70 页
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例题10（2022 安徽）
为了加强环境治理和生态修复，某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3 个勘探点进行环
境检测，要求每个勘探点至少安排一名专家。那么甲、乙两名专家去了不同勘探点的概率是多少？
A．
3
4
B．
1
6
C．
5
6
D．
1
4
第71 页
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第十七讲
排列组合之相邻与不相邻问题
✎相邻问题：
例题1（2019 下半年四川）
某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计算5 个主题，每个主题有2 位发言嘉宾。如果
要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，问共有多少种不同的发言次序？
A．120
B．240
C．1200
D．3840
例题2（2020 新疆）
某美术馆计划展出12 幅不同的画，其中有3 幅油画、4 幅国画、5 幅水彩画，排成一行陈列，要求同
一种类的画必须连在一起，并且油画不放在两端，问有多少种不同的陈列方式？
A．不到1 万种
B．1 万～2 万种之间
C．2 万～3 万种之间
D．超过3 万种
第72 页
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例题3（2022 青海）
某单位拟于下周周一至周六期间举办“人人学党史，人人讲党史”和“我为群众办实事”实践活动，
每个活动均需连续开展两天，那么这两个活动的时间完全不重叠的概率为多少？
A．40%
B．48%
C．52%
D．60%
例题4（2022 湖北选调）
某单位组织员工参加业务培训，小王和小李所在部门员工10 人在同一排就坐，一排正好10 个座位，
假设座位是随机安排的。问小王和小李之间相隔人数小于等于3 人的概率为多少？
A．
1
3
B．
1
2
C．
8
15
D．
2
3
✎不相邻问题：
例题5（2020 联考）
某学习平台的学习内容由观看视频、阅读文章、收藏分享、论坛交流、考试答题五个部分组成。某学
员要先后学完这五个部分，若观看视频和阅读文章不能连续进行，该学员学习顺序的选择有多少种？
A．24 种
B．72 种
C．96 种
D．120 种
第73 页
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例题6（2018 广东）
某条道路一侧共有20 盏路灯。为了节约用电，计划只打开其中的10 盏。但为了不影响行路安全，要
求相邻的两盏路灯中至少有一盏是打开的，则共有多少种开灯方案？
A．2
B．6
C．11
D．13
例题7（2023 北京）
某车库有10 个并排的车位，有3 辆不同的车要停进这10 个车位之中，而且彼此不能相邻，则有多少
种不同的停放方法？
A．336
B．246
C．156
D．66
例题8（2023 浙江）
某停车场有7 个连成一排的空车位。现有3 辆车随机停在这排车位中，则任意两辆车之间至少间隔一
个车位的概率为多少？
A．
1
5
B．
2
7
C．
6
35
D．
9
35
例题9（2023 安徽）
某空军基地举行飞行训练，有8 架歼击机、3 架预警直升机、2 架反潜直升机参与训练，每架飞机编
号不同。训练时，需派出3 架歼击机、2 架预警直升机、1 架反潜直升机进行起降飞行。若每次只能起飞1
架飞机，其中3 架歼击机必须相邻起飞，2 架预警直升机不能相邻起飞，那么不同的起飞方式有多少种？
A．504
B．4032
C．8064
D．24192
第74 页
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例题10（2021 黑龙江公检法）
英语小组成员小明、小红、小花、小白、小玲坐成一排，小玲和小红挨着坐，而小红和小花不挨着坐
的概率是多少？
A．
1
10
B．
1
5
C．
3
10
D．
9
10
第75 页
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第十八讲
排列组合之定序与相同元素分配
✎定序问题：
例题1（2008 国考）
一张节目表上原有3 个节目，如果保持这3 个节目的相对顺序不变，再添进去2 个新节目，有多少种
安排方法？
A．20
B．12
C．6
D．4
例题2（练习题）
现有5 个红球、3 个篮球、2 个黄球，排成一列，共有多少种安排方式？
A．2520
B．4200
C．2860
D．3640
例题3（2020 国家）
扶贫干部某日需要走访村内6 个贫困户甲、乙、丙、丁、戊和己。已知甲和乙的走访次序要相邻，丙
要在丁之前走访，戊要在丙之前走访，己只能在第一个或最后一个走访。问走访顺序有多少种不同的安排
方式？
A．24
B．16
C．48
D．32
第76 页
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例题4（2023 辽宁）
712934856 是一个包含1 至9 每个数字恰好一次的九位数，它具有以下特征：数字1 至6 在其中是从
小到大排列的，但是数字1 至7 不是从小到大排列的。则符合这种特征的九位数共有多少个？
A．12
B．336
C．432
D．504
✎相同元素分配：
例题5（2020 联考）
某城市一条道路上有4 个十字路口，每个十字路口至少有1 名交通协管员，现将8 个协管员名额分配
到这4 个路口，则每个路口协管员名额的分配方案有多少种？
A．35 种
B．70 种
C．96 种
D．114 种
例题6（2015 年黑龙江省考）
某单位共有10 个进修的名额分到下属科室，每个科室至少一个名额，若有36 种不同分配方案，问该
单位最多有多少个科室？
A．7
B．8
C．9
D．10
第77 页
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例题7（2013 年陕西省考）
某领导要把20 项任务分给三个下属，每个下属至少分得三项任务，则共有多少种不同的分配方式：
A．28
B．36
C．54
D．78
例题8（2023 福建）
某高校学生会选拔乡村支教志愿者，初试合格者中，语文类5 名，数学类6 名，文体类4 名，从中选
取9 名志愿者，但每类至少要选2 名。问就9 名志愿者的科目类别构成而言，共有几种选拔方式？
A．6
B．7
C．8
D．9
例题9（2023 国考执法）
单位将10 个培训名额分配给4 个分公司，要求在每个分公司至少分配1 个名额的所有分配方案中，
随机选择1 个方案实施，问4 个分公司中有3 个分配名额数量相同的概率为多少？
A．
3
50
B．
1
10
C．
3
25
D．
1
7
第78 页
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第十九讲
排列组合之平均分堆、环形、错位与重复排列
✎错位排序：
例题1（2014 北京）
相邻的4 个车位中停放了4 辆不同的车，现将所有车开出后再重新停入这4 个车位，要求所有车都不
得停在原来的车位中，则一共有多少种不同的停放方式？
A．9
B．12
C．14
D．16
例题2（2015 山东）
某单位从下属的5 个科室各抽调了一名工作人员，交流到其他科室，如每个科室只能接收一个人的话，
有多少种不同的人员安排方式？
A．120
B．78
C．44
D．24
第79 页
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例题3（2017 上海）
元宵节时某单位工会组织猜灯谜活动，需要在标号1、2、3、4 四个灯笼上贴上四道不同难度的谜语，
1 号灯笼对应难度最低的灯谜，2、3、4 号灯笼对应灯谜的难度依次递增。工作人员安排了一位志愿者帮
忙贴灯谜，但由于匆忙忘记告诉志愿者灯谜的难度，那么灯谜位置全部贴错的概率是多少？
A．
3
8
B．
5
12
C．
1
3
D．
1
24
例题4（2017 年国考）
某集团企业5 个分公司分别派出1 人去集团总部参加培训。培训后再将5 人随机分配到这5 个分公司，
每个分公司只分配1 人。问5 个参加培训的人中，有且仅有1 人在培训后返回原分公司的概率？
A．低于20%
B．在20%～30%之间
C．在30%～35%之间
D．大于35%
✎环形排列：
例题5（2021 云南）
两个大人带四个孩子去坐只有六个位置的圆型旋转木马，那么两个大人不相邻的概率为多少？
A．
2
5
B．
3
5
C．
1
3
D．
2
3
第80 页
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例题6（2012 年国考）
有5 对夫妇参加一场婚宴，他们被安排在一张10 个座位的圆桌就餐，但是婚礼操办者并不知道他们
彼此之间的关系，只是随机安排座位。问5 对夫妇恰好都被安排在一起相邻而坐的概率是多少？
A．在1‰到5‰之间
B．在5‰到1%之间
C．超过1%
D．不超过1‰
✎重复排列：
例题7（2023 国考副省级）
某单位有甲和乙2 个办公室，分别有职工5 人和4 人。每周从这9 名职工中随机抽取1 人下沉社区担
任志愿者（同一人有可能被连续、重复选中）。问7 月前2 周的志愿者均来自甲办公室的概率在以下哪个
范围内？
A．不到25%
B．25%～35%之间
C．35%～45%之间
D．超过45%
例题8（2019 联考）
某小学组织6 个年级的学生外出参观包括A 科技馆在内的6 个科技馆，每个年级任选一个科技馆参观，
则有且只有两个年级选择A 科技馆的方案有：
A．1800 种
B．18750 种
C．3800 种
D．9375 种
第81 页
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✎平均分堆：
例题9（练习题）
某市派出4 位专家（甲、乙、丙、丁）前往某山区3 个勘探点进行环境检测，每个勘探点至少一人，
共有多少种安排方式？
A．36
B．48
C．72
D．144
例题10（2015 四川）
将10 名运动员平均分成两组进行对抗赛，问有多少种不同的分法？
A．120
B．126
C．240
D．252
例题11（2018 浙江）
某班共有8 名战士，现在从中挑出4 人平均分成两个战斗小组分别参加射击和格斗考核，问共有多少
种不同的方案？
A．210
B．420
C．630
D．840
第82 页
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第二十讲
概率之二人同组与比赛概率
✎二人同组：
例题1（2018 联考）
某单位工会组织桥牌比赛，共有8 人报名，随机组成4 队，每队2 人。那么，小王和小李恰好被分在
同一队的概率是多少？
A．
1
7
B．
1
14
C．
1
21
D．
1
28
例题2（2021 江苏）
某次圆桌会议共设8 个座位，有4 个部门参加，每个部门2 人，排座位时，要求同一部门的两人相邻，
若小李和小王代表不同部门参加会议，则他们座位相邻的概率是多少？
A．
1
48
B．
1
24
C．
1
12
D．
1
6
第83 页
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例题3（2019 联考）
某学校举行迎新篝火晚会，100 名新生随机围坐在篝火四周。其中，小张与小李是同桌，他俩坐在一
起的概率为多少？
A．
2
97
B．
2
98
C．
2
99
D．
2
100
例题4（2018 国考）
某单位的会议室有5 排共40 个座位，每排座位数相同。小张和小李随机入座，则他们坐在同一排的
概率是多少？
A．不高于15%
B．高于15%但低于20%
C．正好为20%
D．高于20%
例题5（2019 国考）
小张和小王在同一个学校读研究生，每天早上从宿舍到学校有6:40、7:00、7:20 和7:40 发车的4 班
校车。某星期周一到周三，小张和小王都坐班车去学校，且每个人在3 天中乘坐的班车发车时间都不同。
问这3 天小张和小王每天都乘坐同一趟班车的概率在？
A．3%以下
B．3%～4%之间
C．4%～5%之间
D．5%以上
✎比赛概型：
第84 页
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例题6（2020 安徽事业编）
某场羽毛球单打比赛采取三局两胜制。假设甲选手在每局都有80%的概率赢乙选手，那么这场单打比
赛甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.768
B．0.800
C．0.896
D．0.924
例题7（2014 年浙江省考）
两支篮球队打一个系列赛，三场两胜制，第一场和第三场在甲队的主场，第二场在乙队的主场。已知
甲队主场赢球概率为0.7，客场赢球概率为0.5。问甲队赢得这个系列赛的概率为多少？
A．0.3
B．0.595
C．0.7
D．0.795
例题8（2020 福建事业编）
某场乒乓球单打比赛采取5 局3 胜制。假设甲选手在每局都有70%的概率赢乙选手，若要打满5 局，
那么这场单打比赛甲有多大概率战胜乙选手？
A．0.031
B．0.103
C．0.185
D．0.343
例题9（2023 湖北选调）
某市职工篮球赛甲、乙两队决赛，采取7 场4 胜制（先赢4 场者胜，每场没有平局）。若两队水平相
当，现在已经比了3 场，甲赢了2 场，乙赢了1 场。问甲获得最后胜利的概率有多少？
A．
2
3
B．
3
4
C．
5
8
D．
11
16
第85 页
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第二十一讲
统筹分配问题
✎时间统筹：
例题1（2023 北京）
小王去医院看病，上午要看3 个科室的门诊（已提前完成了挂号取号）。
以下是当天小王在医院发生的所有诊疗相关活动和相应的时间（单位：分钟）。已知同一科室靠左的
项目完成后才能进行靠右的项目且每个项目只进行1 次，等待化验结果时可以进行其他科室的项目，且多
个科室的交费环节或多个科室的取药环节可以合并一次完成。则小王完成所有诊疗活动最少需要多少分
钟？
项目
科室
问诊、开检查单、
开药
检查（药费）单
交费
检查
/治疗
等待化验结果
药房取药
科室1
5
3
10
20
/
科室2
10
3
/
/
5
科室3
10
3
/
/
5
A．74
B．63
C．54
D．46
第86 页
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例题2（2021 江苏）
某产品的生产须经历A、B、C、D 四道工序，由甲、乙、丙、丁每人负责其中一道工序，四人单独完
成每道工序所需的时间（单位：分钟）如下表所示，则他们完成四道工序所需的总时间最少是多少？
工序
时间
人员
A
B
C
D
甲
3
16
14
5
乙
7
3
13
14
丙
5
10
12
9
丁
7
8
11
9
A．18 分钟
B．22 分钟
C．24 分钟
D．26 分钟
例题3（2022 江苏B）
甲、乙两人对100 个家庭进行电话调查。若甲、乙完成对1 个家庭的调查需要的时间分别是12 分钟
和20 分钟，则他们完成这次电话调查需要的时间至少是多少？
A．12 小时28 分钟
B．12 小时32 分钟
C．12 小时36 分钟
D．12 小时40 分钟
例题4（2023 湖北选调）
汽修厂有两个车间（每个车间不能同时维修2 辆车），现有并排的5 台车等待进入车间维修，它们的
修复时间分别为18、30、17、25、20 分钟，且每台车等待一分钟会造成该汽修厂服务体验值下降0.1（维
修时间也计入等待时间）。问修理完这5 台车服务体验值最少下降多少？
A．16.2
B．16.3
C．18.2
D．18.3
第87 页
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✎费用统筹：
例题5（2021 江苏）
为发展乡村旅游，某地需建设一条游览线路，甲工程队施工，工期为60 天，费用为144 万元；若由
乙工程队施工，工期为40 天，费用为158 万元。为在旅游旺季到来前完工，工期不能超过30 天，为此需
要甲、乙两工程队合作施工，则完成此项工程的费用最少是多少？
A．156 万元
B．154 万元
C．151 万元
D．149 万元
例题6（2019 河北）
某单位需要搬家，可以使用甲、乙、丙三个搬家公司。单独完成该搬家任务，甲需要3 天，乙需要4
天，丙需要12 天；搬家费用分别为甲1000 元/天，乙850 元/天，丙350 元/天。要求在2 天内搬完，最
少需要花费多少元？（搬家不足一天按一天计算）
A．3200
B．3400
C．3550
D．3700
例题7（2018 广州）
文体用品店有一批数量为35 支的羽毛球拍，进货价为每支130 元。在进货价基础上提高20%销售，并
实行消费返现制度，顾客购买羽毛球拍每满100 元即减5 元。假如规定每名顾客最多只能买3 支球拍，则
销售这批球拍至少可赚多少元？
A．650
B．675
C．735
D．900
第88 页
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例题8（2022 北京）
某单位组织文艺表演需要统一购买15 套服装，下表为甲、乙、丙和丁四个网店同款上衣和裤子的价
格，上衣和裤子可以分开购买，每个网店发货均收取40 元快递费，则本次购买服装的最低成本为多少？
网店
品类
甲
乙
丙
丁
上衣
77
79
78
80
裤子
65
64
63
62
A．2125 元
B．2155 元
C．2165 元
D．2185 元
✎策略统筹：
例题9（2018 深圳）
桌子上放有2018 枚硬币，小芳、小强两人轮流取走其中一些。当小芳取硬币时，只能取2 枚或4 枚；
当小强取硬币时，只能取1 枚或3 枚，取走最后一枚硬币的人即为获胜者，假设两人均使用最佳策略，则
谁能获胜？
A．先取者
B．后取者
C．小芳
D．小强
第89 页
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例题10（2014 河北）
一架天平，只有5 克和30 克的砝码各一个，要将300 克的食盐平均分成三份，最少需要用天平称几
次？
A．6 次
B．5 次
C．4 次
D．3 次
例题11（2015 山东）
在直径10 米的圆形小广场上放置了7 根旗杆，将距离最近的两根旗杆用绳子连起来。问绳子的长度
最长可能为多少米？
A．5
B．10
C．5
D．5 2
第90 页
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第二十二讲
考场蒙猜技巧
✎可秒杀题型：
例题1（2023 山东）
某工会组织了一次乒乓球单打比赛，由54 名职工参加，比赛规则如下：每轮比赛所有参赛人抽签捉
对厮杀，胜者和轮空者进入下一轮，直至决出冠军，问总共要进行多少轮比赛？
A．4
B．5
C．6
D．7
例题2（2023 深圳）
小孟有58 枚硬币，其中1 枚为假，目前已知道真币重量相同，假币重量偏轻。如果小孟手中只有一
个天平，则至少称多少次一定能找出假币？
A．4
B．5
C．6
D．7
第91 页
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例题3（2022 江苏）
某机构对全运会收视情况进行调查，在1000 名受访者中，观看过乒乓球比赛的占87%，观看过跳水比
赛的占75%，观看过田径比赛的占69%。这1000 名受访者中，乒乓球、跳水和田径比赛都观看过的至少有
多少？
A．310 人
B．440 人
C．620 人
D．690 人
✎考场蒙猜技巧：
例题4（2023 浙江）
某地打算在绿地上建两个圆形花坛，如下图所示，大圆的直径为6 米，小圆的直径为2 米，修建期间
暂时在外围设置围栏。已知围栏呈矩形，大圆与围栏的三条边相切，小圆与围栏的两条边相切，且两圆相
切，那么矩形围栏的面积是多少平方米？
A．12 2 +
3
B．12 1 + 2 3
C．12 13
D．6 3 +
13
第92 页
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例题5（2023 国考副省级）
一个三角形公园ABC 内的道路如下图中实线所示。已知AE＝EF＝FB，AD＝DC，且黑色部分为人工湖。
问公园总面积是人工湖面积的多少倍？
A．9
B．12
C．16
D．18
例题6（2022 江苏C）
如图所示，某主题公园将一块正方形的地面按七巧板图案设计，其中平行四边形1 个、正方形1 个、
等腰直角三角形5 个，并用油漆将七块区域刷成不同的颜色。若每种颜色的油漆单价相同，平行四边形区
域的油漆费用为200 元，则整块地面的油漆费用为多少？
A．1200 元
B．1600 元
C．2000 元
D．2400 元
第93 页
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例题7（2023 安徽）
某大型商场的地下停车场入口处横截面如下图所示，入口处斜坡的坡角为30 度，下坡起点至入口顶
部水平距离为6 米，楼板厚为0.6 米。商场管理处需在入口处张贴限高标志，以便告知车辆能否安全驶入。
若停车场内部的高度均高于入口处汽车可通过的最低高度，则下列限高最为合理的是多少？
A．1.8 米
B．2.3 米
C．2.6 米
D．3.2 米
例题8（2023 国考副省级）
在一块正方形土地中，画一条经过某个顶点的规划线，将其分割为三角形和梯形两块土地，且梯形土
地的面积正好是三角形土地的2 倍。问三角形和梯形土地的周长之比是多少？
A．1 ∶2
B．5 ∶7
C．1 +
5 ∶2 +
5
D．5 +
13 ∶7 +
13
例题9（2022 国考）
甲、乙等16 人参加乒乓球淘汰赛。每轮对所有未被淘汰选手进行抽签分组两两比赛，胜者进入下一
轮。已知除甲以外，其余任意两人比赛时双方胜率均为50%。甲对乙的胜率为0%，对其他14 人的胜率均
为100%。则甲夺冠的概率为多少？
A．
3
4
B．
8
11
C．
11
15
D．
225
256
第94 页
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例题10（2023 国考地市级）
从A 地前往B 地的道路前40%的路程为上坡路，其余为下坡路。张某驾驶满载的汽车从A 地去B 地卸
货，然后空车返回A 地。已知他满载时上坡的速度是下坡速度的一半，空车时上、下坡的速度分别是满载
时的1.5 倍和1.2 倍。问他返程的用时是去程的多少倍？
A．
5
6
B．
5
7
C．
17
21
D．
19
24
例题11（2022 江苏B）
小王和小李进行七局四胜的乒乓球比赛，两人水平相当，每局胜对方的概率都是
1
2。若前三局过后小王
获胜的概率是
11
16，则她前三局的胜负情况是？
A．胜3 局
B．胜2 局、负1 局
C．负3 局
D．胜1 局、负2 局
