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第三讲 整除问题和合作完工问题
✎利用倍数特性解决不定方程：
例题1（2024 事业单位）
企业招聘了100 多名应届毕业生，其中13 人被分配到总部工作，剩下的人正好分配到
7 个分公司，也能被平均分配到9 个分公司工作，问企业招聘了多少名应届毕业生？
A．126
B．139
C．176
D．189
【参考答案】B
【实战解析】
“剩下的人”可同时被7、9 整除，即剩下的人为63 的倍数；
63×2=126 人，126＋13=139 人。
例题2（2024 江苏）
某居民楼居住人数介于90 和110 之间，其中50 岁及以上居民占
1
12，女性占
7
16。若该居
民楼30 岁及以上居民比30 岁以下居民多20 人，则30 岁以下居民比50 岁及以上居民多？
A．30 人
B．27 人
C．23 人
D．20 人
【参考答案】A
【实战解析】
居民人数总和为12，16 的公倍数48。可得居民人数总和=48×2=96 人；
50 岁以上居民=96×1/12=8 人
（30＋）+（30-）=96 人
（30＋）+（30-）=20 人
解方程组可得出：30 以上58 人，30 以下38 人，则本题答案=38-8=30 人。
批注 [1]: 满足企业招聘范围为100 多名
例题3（2023 北京）
某单位3 个部门共有员工50 人，拥有中级工程师职称的人员比重为40%。其中甲、乙
两个部门拥有中级工程师职称的人员比重分别为45%和32%，则丙部门拥有中级工程师职称
的人员比重为多少？
A．60%
B．52%
C．44%
D．36%
【参考答案】A
【实战解析】
中级工程师职称的人员=20 人
甲=45/100=9/20，乙=32/100=8/25，则丙=3/5=60%。
例题4（2021 国考）
某地调派96 人分赴车站、机场、超市和学校四个人流密集的区域进行卫生安全检查，
其中公共卫生专业人员有62 人。已知派往机场的人员是四个区域中最多的，派往车站和超
市的人员中，专业人员分别占64%和65%，派往学校的人员中，非专业人员比专业人员少30%，
问派往机场的人员中，专业人员的占比在四个区域中排名？
A．第一
B．第二
C．第三
D．第四
【参考答案】A
【实战解析】
专业人员占比：车站=64/100=16/25＜60%，超市=65/100=13/20＜60%；
根据题干“非专业人员比专业人员少30%”，即非专业人员占7 份，专业人员占10 份，
则学校专业人员占比=10/17＜60%；
车站、超市、学校的总人数为各分母的倍数，考虑总和为96 人且机场人员最多，则车
站、超市、学校、机场的总人数分别为25、20、17、34 人，其中专业人员数分别为16、13、
10、23 人，则机场专业人员占比=23/34＞20/30≈66.6%；
综上，机场排名第一。
例题5（2019 联考）
某农户饲养有肉兔和宠物兔两种不同用途的兔子共计2200 只，所有兔子的毛色分为黑、
白两种。肉兔中有87.5%的毛色为黑色，宠物兔中有23%毛色为白。据此可知，毛色为白色
的肉兔至少有多少只？
批注 [2]: 总人数为50 人，甲的总人数为20 的倍数，乙为
25 的倍数，则甲为20 人，乙为25 人，则丙为5 人。
批注 [3]: 参考资料分析“王者荣耀法”
A．25
B．50
C．100
D．200
【参考答案】A
【实战解析】
肉兔（尽量少）
宠物兔（尽量多）
黑
7/8
白
1/8
23/100
肉＋宠=2200，总数为100 倍数，宠物兔为100 倍数，则肉兔也是100 倍数；
肉兔总数为8 和100 的最小公倍数，即200；
则毛色为白色的肉兔至少=200×1/8=25 只。
✎利用整除特性解决纯整除问题：
纯整除问题，优先考虑3、9、2、5。
a，b 分别为X 的倍数，则a+b，a-b 也都为X 的倍数。
例题6（2024 四川事业单位）
从0、3、5、7 这四个数字中任意选出三个，组成能同时被2、3、5 整除的三位数，这
样的三位数有多少个？
A．1
B．2
C．3
D．4
【参考答案】B
【实战解析】
同时被2、5 整除，尾数为0；
被3 整除，各数位和为3 的倍数，符合条件的为5、7；
满足题干条件的三位数为570、750。
例题7（2021 上海）
公司购买某设备24 套，现要登记单价，但是数据上没有标注单价，且总价第一位和最
后一位模糊不清，只看到是☆579△元。则☆可能是几？
A．3
B．5
C．7
D．9
【参考答案】C
【实战解析】
24=3×8，被3 整除，各数位和能被3 整除，被8 整除末三位能被8 整除；
24×单价=*579*，末三位只有为792 时能被8 整除，*＋5＋7+9+2，要被3 整除，则*=7
时成立。
例题8（2015 黑龙江）
小李某月请了连续5 天的年假，这5 天的日期数字相乘为7893600，问他最后一天年假
的日期是？
A．25 日
B．26 日
C．27 日
D．28 日
【参考答案】B
【实战解析】
7893600，各数位相加=33，即能被3 整除，不能被9 整除；
验证选项，26×25×24×23×22，成立。
例题9（2022 深圳）
小王从图书馆借了一本书，书共204 页，阅读时，他发现书的前半部分有连续的4 个页
码被墨水污染，将其余200 个页码加总，其和刚好可以被85 整除，则被污染的4 个页码中
最小的数是多少？
A．100
B．95
C．75
D．41
【参考答案】D
【实战解析】
书=污染+剩余，其中剩余的部分页码和可被85 整除；
总页数页码和=
1+204
2
×204=205×12，可被85 整除；
则污染部分页码和也可被85 整除，验证选项，D 成立。
✎合作完工问题的整体思想：
总工作量/总效率=总工作时间
重点题：例题12
例题10（2021 河南事业单位）
加工一批零件，小刘单独做8 天完成，小赵单独做10 天完成，现由两人共同加工该批
零件，中途小刘因事请假两天，则两人加工完这批零件共用了多少天？
A．4 天
B．5 天
C．6 天
D．7 天
【参考答案】C
【实战解析】
总工作量40，刘5，赵4；
（40-8）÷9=32/9，加上休息的2 天，两人加工完这批零件共用6 天。
例题11（2021 福建事业单位）
甲、乙两人共同加工一批零件，甲单独完成需要8 个小时，乙单独完成需要10 个小时。
甲、乙两人在合作了3 小时后，甲因事中断了一段时间，但是乙仍在继续工作，甲回来后两
人又继续合作了1 个小时完成了任务。那么在加工完这批零件的过程中，乙比甲多工作了多
少小时？
A．1
B．1.5
C．5
D．2.5
【参考答案】A
【实战解析】
批注 [4]: 总工作量40 份，有8 份为小刘休息，小赵自己
干两天，剩余的都为两人共同合作。
假设工作总量为40，甲5，乙4；
40=4t+4×9，解得t=1.
例题12（2022 江苏B）
甲、乙、丙三个物流公司合作完成两个仓库K 和L 的货物搬运任务。已知两个仓库的工
作量相同，他们先在K 工作2 小时，完成了K 工作量的75%；然后乙、丙先去L 工作，甲留
在K 继续工作，并用3 小时完成了K 的剩余工作量后再去L 工作，直至任务全部完成。甲在
L 工作的总时间为多少？
A．20 分钟
B．30 分钟
C．40 分钟
D．50 分钟
【参考答案】A
【实战解析】
假设K、L 工作总量都为1，则总工作量=1+1=2；
2（甲+乙+丙）=0.75=3/4，则甲+乙+丙=3/8
总工作时间=
2
3/8=16/3=5 小时20 分，甲在L 的工作时间=5 小时20 分-2 小时-3 小时=20
分钟。
例题13（2022 四川）
工厂甲、乙、丙3 条生产线共同完成一项任务，甲、丙先合作两天，完成了全部任务的
1
3，接着乙、丙合作两天完成剩下任务的45%，最后甲、乙合作两天恰好完成剩余任务。问
甲完成的部分占全部任务的多少？
A．
4
15
B．
1
3
C．
2
5
D．
3
5
【参考答案】C
【实战解析】
批注 [5]: 三人同时开始干活，同时结束工作，没有人休息。
甲
全部=1-2（2 乙+2 丙）=0.4，对应C 选项。
