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第八讲 经济利润之函数最值、增长相关
✎函数最值：
画函数图形，图形开口向上，存在最小值；图形开口向下，存在最大值。
例题1（2022 联考）
某地的一种特色纪念品在旅游旺季十分畅销，有商家发现，进价为每个40 元的纪念品，
当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，每天销量减少10 个。现商家决
定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51
B．52
C．54
D．57
【参考答案】D
【实战解析】利润=单个利润×销量，假设利润为Y,涨价X 元。根据总利润=单个利润×销
量可列方程：Y=（4+X）×（300-10X）。当Y=0 时，X1=-4，X2=30，
13
2
4
30
2
X
X
X
2
1
=
−
=
+
=
时，Y 取最大值，此时售价为44+13=57 元。
例题2（2020 江苏）
某商品的进货单价为80 元，销售单价为100 元，每天可售出120 件。已知销售单价每
降低1 元，每天可多售出20 件。若要实现该商品的销售利润最大化，则销售单价应降低的
金额是多少？
A．5 元
B．6 元
C．7 元
D．8 元
【参考答案】C
【实战解析】假设降价X 元，利润为Y=（20-X）（120+20X），解得 X1=20，X2=-6,X=
2
6
20 −
=7 元。
例题3（2023 四川事业单位）
某电脑制造厂商生产销售一批电脑。每台电脑成本价格为4499 元，销售价格为5699
元。某单位计划以销售原价购买20 台电脑，在此基础上，若销售价格每降低100 元，就多
购买2 台。则该电脑制造厂商可在该笔交易中可获得的最大利润为多少元？
A．24200
B．24000
C．36000
D．31200
【参考答案】A
【实战解析】根据题意可得降价前每台电脑的利润为1200 元，设利润为Y 元，降
价100 元降了X 次，可列方程为：
1
2
10
12
X
10
X
12
X
X
2
20
X
100
1200
Y
2
1
=
−
=
−
=
=
+
−
=
，则
，
），
）（
（
，此
时Y=1100×22=24200 元。
例题4（2024 山东）
某线上店铺将进货单价为8 元的商品按每件10 元出售，每天可销售100 件。店铺计划
提高售价增加利润，若每件商品售价提高1 元，每天销售量就要减少10 件，为保证每天至
少获利350 元，问该商品售价应为多少？
A．不到13 元
B．13～15 元之间
C．15～17 元之间
D．17 元以上
【参考答案】B
【实战解析】只需把最高值算出来，获利350 元一定在最值附近（一左一右），如
下图所示：
总利润 Y=（2+X）（100-10X），解得X1=-2,X2=10,
4
2
8
X
=
=
。代入发现，获利最多360
元，此时售价为14 元，故选项范围应该包含14，定位到B 选项。
例题5（2022 安徽）
北京冬奥会期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”纪念品十分畅销。销售期间某商家发现，进
价为每个40 元的“冰墩墩”，当售价定为44 元时，每天可售出300 个，售价每上涨1 元，
每天销量减少10 个。现商家决定提价销售，若要使销售利润达到最大，则售价应为多少？
A．51 元
B．52 元
C．54 元
D．57 元
【参考答案】D
【实战解析】利润=单个利润×销量，假设利润为Y,涨价X 元。根据总利润=单个利
润×销
量可列方程：Y= （4+X ）× （300-10X ）。当Y=0 时，X1=-4 ，X2=30 ，
13
2
4
30
2
X
X
X
2
1
=
−
=
+
=
时，Y 取最大值，此时售价为44+13=57 元。
✎增长率相关：
2
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
R
1
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
R
A
X
R
+
−
=
+
+
=
+
+
=
=
比值
乘积
间隔
例题6（2023 辽宁）
某高校今年共有231 名本科毕业生被录取为硕士研究生。其中推荐录取人数比上年度减
少
1
6，而考试录取人数比上年度增加
31
150，总体录取人数比上年度高10%，那么，这所高校今
年推荐录取的研究生人数为多少？
A．40 人
B．45 人
C．50 人
D．55 人
【参考答案】C
【实战解析】本题考察倍数特性，可以利用415 思想。根据题意列表如下：
批注 [1]: 分数非常大，没法再约分，所以直接赋值去年考
试录取150 人。
去年
今年
推荐
60
231-181=50
考上
150
181
直接定位到C 选项。
例题7（2023 黑龙江）
某口罩生产车间一月份生产口罩100 万包，以后每个月都比前一个月按相同增长率增
长，四月份生产口罩133.1 万包，这个增长率是多少？
A．10%
B．8%
C．6%
D．5%
【参考答案】A
【实战解析】方法一：年均增长率。
3
R
1
331
.1
100
1.
133
）
（
基期
现期
+
=
=
=
，代入R=10%，A 选项当选。
方法二：间隔增长率。
1 月到4 月总共涨了33.1%，设增长率为10%如下图所示：
则1 到3 月的增长率为10%+10%+1%=21%；1 到4 月的增长率为21%+10%+2.1%=33.1%，
A 选项当选。
例题8（2024 联考）
某商家购进一批商品，每件成本为27 元，最初将商品定价为每件40 元，该商家经过百
分率相等的连续两次降价后，每件商品的利润率不超过20%。问每次降价的百分率至少是多
少？
A．20%
B．15%
C．10%
D．5%
【参考答案】C
批注 [2]: 减少1/6 后，今年50 人，则去年就是60 人
批注 [3]: 去年150 份，今年增长31/150，则今年是181 份，
今年总共231 人，故一份就是一人。
【实战解析】根据题意可列方程：40（1-R）（1-R）=32.4，
%
81
40
4.
32
R
1
2
=
=
−
）
（
，
则R=10%，定位到C 选项。
例题9（2023 上海）
某公司生产A、B 两种产品，其中B 是A 的升级产品。经过调研，预判2022 年市场对A
产品的需求比2021 年下降30%（A 产品的价格不变）。因此公司决定增加对B 产品营销，使
B 产品在2022 年的销售收入比2021 年增长70%，这样恰好使公司2022 年的总销售收入比
2021 年增长10%。则2021 年B 产品的销售额占总销售额的比例是多少？
A．40%
B．50%
C．60%
D．70%
【参考答案】A
【实战解析】已知3R 求量之比，用盐水：
显然基期21 年B 的占比是40%，A 当选。
例题10（2023 深圳）
有甲、乙两种咖啡豆，按照质量比a：b 相混合制成一种拼配豆，已知甲咖啡豆每公斤
60 元，乙咖啡豆每公斤80 元，现因产量变化，甲咖啡豆单价上涨15%，乙咖啡豆单价下降
15%，以致该拼配咖啡豆的成本上调了5%，则a∶b 为多少？
A．1∶1
B．5∶3
C．8∶3
D．2∶1
【参考答案】C
【实战解析】利用盐水思想求出变化前甲成本：变化前乙成本=2:1，如下图所示：
批注 [4]: 当利润率为20%时，定价为27（1+20%）
=27+5.4=32.4 元
批注 [5]: A 产品收入=A 产品销量×A 产品价格；
根据乘积增长率公式，价格不变销量下降30%，则A 产品
收入下降30%
批注 [6]: 注意问法，求的是基期量之比。本题转化成已知
3R 求基期量之比。
批注 [7]: 甲成本=甲质量×甲单价，甲质量没有变化，甲
单价上涨15%，则甲成本上涨15%；
同理，乙成本下降15%
批注 [8]: 甲成本上涨15%；乙成本下降15%，总成本上涨
5%；
则用盐水求出来的量之比是甲基期成本：乙基期成本
由成本=质量×单价，则
3
:
8
80
1
60
2
b
a
=
=
=
=
：
单价
成本
：
质量
。
例题11（2023 山东）
某企业花费3456 万元改造了一条自动化生产线，单位产品人工成本降低了50%，非人
工成本降低了10%，单日产量扩大了一倍，已知改造前的单位产品人工成本是非人工成本的
3 倍，改造后每天的人工成本比非人工成本高3.6 万元。问多少天后新生产线降低的成本可
与花费的改造成本相抵？
A．480
B．300
C．360
D．540
【参考答案】C
【实战解析】根据题意列表：
人工成本
非人工
产量
改造前
3X
X
1
改造后
1.5X
0.9X
2
根据题意可列方程为3X-1.8X=3.6，解得X=3。
原来生产一件4X 的成本，现在生产一件2.4X 的成本，生产一件可以省1.6X。
现在一天能生产两件，节省2×1.6X=9.6 万元。
3456÷9.6=360 天，定位到C 选项。
