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第六讲 溶液问题与十字交叉法
✎溶液问题：纯浓度溶液问题 用溶质不变
盐水 酒精 盐酸溶液
例题1（2024 河北事业单位）
某天妈妈给小兰买了一瓶果汁，浓度为70%，小兰觉得太浓，往果汁中加了50ml 水，
果汁浓度变成了50%。则该瓶果汁共有？
A．120ml
B．125ml
C．135ml
D．140ml
【参考答案】B
【实战解析】方法一：根据溶质不变，设该瓶果汁共有Xml,列方程可得0.7X=0.5（X+50），
解得X=125，答案为B 选项；
方法二：赋值溶质为35 份，原果汁为
%
70
35
=50 份，现果汁=
%
50
35 =70 份，
果汁浓度由50
35 →70
35 ，可得20 份对应50ml,原果汁50 份为125ml;
方法三：十字交叉法，水浓度为0%，可得该瓶果汁125ml.
例题2（2022 深圳）
实验室有甲、乙、丙3 瓶盐酸溶液，浓度分别为10%、40%、60%，实验员将3 瓶溶液全
部倒入一瓶中，得到浓度为52%的盐酸溶液。已知乙溶液重量为甲溶液的1.5 倍，则丙溶液
重量为甲溶液的多少倍？
A．4.5
B．5.5
C．6.5
D．7.5
【参考答案】D
【实战解析】分别设甲、乙、丙重量为1、1.5、X，根据溶质不变列方程可得：
0.1+0.6+0.6X=0.52(2.5+X)，解得X=7.5，答案为D 选项。
例题3（2022 湖北选调）
将一满容器浓度为24%的溶液放置太阳下暴晒一段时间，经过一段时间蒸发水分后溶液
浓度变为36%且无沉淀。然后再用浓度为12%的溶液将容器加满。请问容器内溶液浓度变为
多少？
A．24%
B．28%
C．30%
D．32%
【参考答案】B
【实战解析】假设溶质为24 和36 的最小公倍数72，溶液浓度从24%变为36%，即300
72
→200
72 ，少了100 份水，将容器用12%的溶液加满，新溶液浓度=
100
200
12
72
+
+
=28%，答案为
B 选项。
例题4（2024 广东事业单位）
甲、乙两个相同的烧杯中分别装满了浓度为24%和40%的同种溶液，将甲杯中倒出一半
溶液，用乙杯中的溶液将甲杯加满混合，再将甲杯倒出一半溶液，又用乙杯中的溶液将甲杯
加满，最后甲杯中溶液的浓度是？
A．25%
B．32%
C．36%
D．40%
【参考答案】C
【实战解析】假设两个烧杯容量都为100，甲烧杯溶液浓度变化为100
24 →50
12 →
50
50
20
12
+
+
=100
32 →
50
50
20
16
+
+
=36%，答案为C 选项。
例题5（2020 浙江大学生）
实验室内有浓度分别为10%和25%的盐酸各500 毫升，从两种溶液中分别倒出一部分配
成浓度为15%的盐酸600 毫升。如果将剩余的盐酸混合，则该溶液的浓度为？
A．16.5%
B．18.6%
C．20%
D．21.25%
【参考答案】D
【实战解析】抓住溶质、溶液变化列式可得，剩余溶液浓度为
600
500
500
90
125
50
−
+
−
+
=21.25%，
答案为D 选项。
✎十字交叉法：类浓度 十字交叉
平均分 平均年龄 长方形；正方形 增长率 占比等
例题6（2021 广东选调）
某单位有40 名职工，有部分人分A、B 两个批次参与一次法律素质测评，每人只能参加
一个批次，A 批次的平均成绩为86 分，B 批次的平均成绩为80 分，总的平均成绩为84 分，
则该单位参与这次法律素质测评的职工最多有多少人？
A．36
B．37
C．38
D．39
【参考答案】D
【实战解析】根据十字交叉法可得A、B 批次人数比为2:1，则总人数应为3 的倍数，
小于40 的情况下，最多为39 人，答案为D 选项。
例题7（2024 联考）
高校管理学院某期培训班有不到100 名学员参加，期中、期末两次考试平均分分别为
68 分和75 分，期中考试不及格学员平均分为53 分，及格学员平均分为74 分；期末考试不
及格学员平均分为47 分、及格学员平均分为83 分。问这期培训班有多少名学员参加？
A．42
B．54
C．63
D．77
【参考答案】C
【实战解析】分别根据期中考试与期末考试列出十字交叉公式可得，学员总数为7、9
倍数，答案为C 选项。
例题8（2024 江苏）
某商店购进一款无线路由器，进价100 元/个，加价30%出售，半年后将剩下的打7 折
全部售出，共盈利7410 元，若成本利润率为19%，则打7 折售出的路由器共有多少个？
A．90 个
B．100 个
C．105 个
D．110 个
【参考答案】D
【实战解析】打折前利润率为30%，打折后利润率为
100
100
7.0
130
−
=-9%，代入十字交
叉公式可得成本之比为28:11,因为成本为100 元/个,则量之比也为28:11,所以打折后卖出
量应为11 的倍数，答案为D 选项。
例题9（2022 联考改编）
某工厂要做如图①所示的竖式和横式的两种无盖纸盒若干个，需从仓库领取如图②中的
长方形和正方形纸板作侧面和底面，每次领取的纸板必须用完。工作人员领取记录如下表，
仓库管理员在核查工作人员四次领取纸板数的记录时发现有一次记录有误。问第几次记录有
误？
次数
正方形纸板(张)
长方形纸板(张)
第一次
562
933
第二次
420
860
第三次
500
1000
第四次
980
1015
A．一
B．二
C．三
D．四
【参考答案】D
【实战解析】列出两种纸盒所需长方形、正方形纸板之比可得，左侧：长：正=4:1，右
侧：长：正=3:2，根据混合浓度可知
4
5.1
＜
＜正
长
（整体）
（整体）
，分析选项，第四次不符，答案为D
选项。
例题10（2016 联考）
某高校艺术学院分音乐系和美术系两个系别，已知学院男生人数占总人数的30%，且音
乐系男女生人数之比为1∶3，美术系男女生人数之比为2∶3，问音乐系和美术系的总人数
之比为多少？
A．5∶2
B．5∶1
C．3∶1
D．2∶1
【参考答案】D
【实战解析】根据男占比= 总人数
男生
，女占比= 总人数
女生
，代入十字交叉公式可得，答案
为D 选项。
改编题：十字交叉中，求谁就将谁放在分母。
附加题：
【参考答案】B
【实战解析】代入十字交叉公式可得：
应注意此时7:8 为2016 年产量之比，求2017 年产量比还应再乘以增长率，2017
年产量比为7×（1+10%）：8×（1+25%）=77:100，答案为B 选项。
