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关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 1 页 第十三讲 基础排列组合 ✎基础排列组合： 有序为排列，无序为组合；分类用加法，分步用乘法；从特殊入手，全部减不符 无序：60 个人里选三个人一组，𝐶60 3 = 60×59×58 3×2×1 = 𝐴60 3 𝐴3 3 有序：60 个人里选三个人站成一排，𝐴60 3 = 60×59×58 分类：从家到学校可以选择坐车和不坐车，坐车有公交、地铁、出租车三种，不坐车有 走路自行车两种。从其中任选一种方式即可完成任务，用加法即𝐶3 1＋𝐶2 1 分步：从家到学校有两段路，第一段坐车，第二段不坐车，坐车有公交、地铁、出租车 三种，不坐车有走路自行车两种。一项工作分为几个步骤，其中每个步骤都不能单独完成该 任务，用乘法即𝐶3 1×𝐶2 1 有特殊要求：排列时的先安排有特殊要求的 全部减不符：用全部可能减去不符合题干要求的可能，有时这样解题更快捷简便 例题1（2023 吉林） 教育平台的网络课程由阅读资料、观看视频、论坛交流、练习作业和问卷考试五部分学习内容组成。 学员需先后完成这五部分学习内容，其中论坛交流与练习作业均不能在最先和最后完成，则学员安排学习 的顺序共有多少种？ A．120 种 B．72 种 C．36 种 D．24 种 【答案】C 【实战解析】因为有两项不能放在开头结尾，所以要先从剩余三个里面有顺序选择两个做首尾，即𝐴3 2； 然后剩下三个在中间按序排列，即𝐴3 3。总体即为𝐴3 2×𝐴3 3=36，答案为C 选项。 例题2（2023 吉林） 在一次“互联网+现代农业”培训会后，为了交流拓展农村电商产业路径，要求各地参会代表一周内 每两人互通一次电话，已知他们一周内共打了120 次电话，这次参与培训交流的人数是多少？ A．20 B．18 C．16 D．15 【答案】C 【实战解析】每两人打一次电话，两个人内部没有排序，所以是120 人组成x 个二人组，即𝐶𝑥2=120， 也就是 𝑥（𝑥−1） 2×1 = 120，x（x-1）= 240，带入可得x=16，答案为C 选项。 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 2 页 例题3（2023 联考吉林） 像中国的回文联“洞帘水挂水帘洞，山果花开花果山”一样，如果将一个数的数字倒排后所得的数仍 是这个数，这样的数称为回文数，例如11，22，343，565，1881，20102 等，在所有三位数中回文数共有 多少个？ A．81 个 B．90 个 C．99 个 D．100 个 【答案】B 【实战解析】三位数中各位数设为x、y、z，根据题干可得x=z，且x 作为首项不能为0 有9 种可能， y 为中间项有10 种可能，即𝐶9 1×𝐶10 1 = 9×10=90，答案为B 选项。 例题4（2024 联考） 企业将12 个技术培训名额分配给甲、乙、丙三个研发团队。要求乙团队分配的培训名额比甲团队少， 但比丙团队多，且每个团队至少分配1 个名额。问有多少种不同的分配方式？ A．6 B．7 C．36 D．42 【答案】B 【实战解析】枚举法： 按照一定顺序进行枚举 甲 乙 丙 9 2 1 8 3 1 7 4 1 6 5 1 7 3 2 6 4 2 5 4 3 综上，可能的分配方式有7 种，答案为B 选项。 例题5（2024 江苏） 某公司派出5 名人力资源专员去2 个一线城市和2 个二线城市参加秋季招聘会。若每名专员只去其中 一个城市，每个一线城市至少派一名专员，每个二线城市只派1 名专员，则不同的派出方法共有多少？ A．110 种 B．130 种 C．120 种 D．140 种 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 3 页 【答案】C 【实战解析】由题干可知，人员分配只能有（2,1,1,1）一种组合。先从5 人中选两个人为一个组合 （𝐶5 2），该组合只能去一线城市（𝐶2 1），剩下三个人各自去一个城市（𝐴3 3），所以不同的派出方式共有 𝐶5 2 × 𝐶2 1 × 𝐴3 3 = 10×2×6 = 120，答案为C 选项。 ✎简单枚举： 例题6（2025 国考） 某竞赛由5 道次序固定的判断题组成，参赛者起始为0 分，每答对1 题加1 分，每答错1 题扣1 分。 小王作答了所有试题，答完每道题时当前的得分都不低于1 分。问他的答题情况有多少种不同的可能？ A．7 B．6 C．4 D．3 【答案】B 【实战解析】枚举，由题干可知小王的得分始终要≥1，所以第一二题必须答对得分。 综上，共有6 种可能，答案为B 选项。 例题7（2025 甘肃省考） 第一题 第二题 第三题 第四题 第五题 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 4 页 甲乙丙三个科室分别有3 名、5 名和2 名党员。现有4 个去党校学习的名额，要求至少分配给2 个科 室。问有多少种不同的分配方式？ A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【实战解析】至少分配给两个科室，即可以分配给两个，也可以分配给三个。 两个科室可能的组合有（3,1）：甲乙、乙甲、甲丙、乙丙（4 种） （2,2）：甲乙/乙甲、甲丙/丙甲、乙丙/丙乙（3 种） 三个科室可能的组合有（2,1,1）：甲乙丙/甲丙乙、乙甲丙/乙丙甲、丙甲乙/丙乙甲（3 种） 因此，符合题干的分配方式共有4+3+3=10 种，答案为B 选项。 ✎分情况讨论： 例题8（2024 国考副省） 公司有六个编号依次为1～6 的研发团队，现安排这6 个团队参与甲、乙两个科研课题，要求每个团 队参与一个课题。每个课题最少安排2 个团队，每个课题安排一个团队负责，且负责团队不能是该课题所 有参与团队中编号最小的团队。问有多少种不同的安排方式？ A．300 B．340 C．150 D．170 【答案】D 【实战解析】由题干可知有三种可能的组合（2,4）（3,3）（4,2） 甲2 乙4：𝐶6 2×𝐶3 1 = 45（甲从6 个课题中选2 个，不用选负责人；乙从剩余4 人中3 个较大的编 号团队中选一个做负责人） 甲3 乙3：𝐶6 3×𝐶2 1×𝐶2 1 = 80（甲从6 个课题中选3 个，从2 个数字较大团队中选一个做负责人， 乙也是从2 个数字较大的团队中选一个做负责人） 甲4 乙2：𝐶6 4×𝐶3 1 = 45（甲从6 个课题中选4 个，再从3 个较大的编号团队中选一个做负责人， 乙为剩下2 个团队，不用选负责人） 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 5 页 综上，符合题干要求的安排方式共有45+80+45=170，答案为D 选项。 例题9（2024 联考） 安排A、B、C、D 共4 个研发团队参与甲、乙、丙3 个课题的研究，要求每个课题至少有1 个团队参 与，每个团队必须且只能参与1 个课题，如甲课题参与的团队数超过1 个，则A、B 都不参与甲课题，问 共有多少种不同的安排方式？ A．24 B．26 C．36 D．42 【答案】B 【实战解析】甲有两种情况，2 个团队和1 个团队。 甲2 个团队：𝐴2 2 = 2（只能CD 参与甲课题） 甲1 个团队：𝐶4 1×𝐶3 2×𝐶2 1 = 24（先给甲选一个团队，从剩下3 个中选2 个组成组合，从乙丙中 选一个是2 个团队的） 综上，符合题干的安排方式有2+24=26 种，答案为B 选项。 例题10（2022 北京） 将张、王、李、陈、赵五名应届毕业生分配到甲、乙、丙3 个不同的科室，要求每个科室至少分配1 人，甲科室分配的人数多于乙科室，且张和王不能去丙科室。则有多少种不同的分法？ A．12 B．21 C．35 D．72 【答案】B 【实战解析】由题干可知，甲科室人数要多于乙科室，因此可能的情况有两种（3,1,1）（2,1,2） （3,1,1,）：𝐶3 1×𝐶4 1 = 12（张王不能去丙，先从除张王3 个人中选1 个给丙，再从剩余4 个人 中选1 个给乙，剩下的归甲） （2，1，2）：𝐶3 2×𝐶3 1 = 9（张王不能去丙，先从除张王3 个人中选2 个给丙，再从剩余3 个人 中选1 个给乙，剩下的归甲） 综上，符合题干的分法有12+9=21 种，答案为B 选项。 例题11（2022 青海） 某市举办世界遗产大会，开幕式会场需要从6 组志愿者中选出4 组分别从事防疫协助、嘉宾引导、英 语翻译、物资发放四项不同的工作，其中甲、乙组不能从事英语翻译工作，丙组只能从事防疫协助工作， 则派选方案有多少种？ A．36 种 B．72 种 C．108 种 D．144 种 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 6 页 【答案】C 【实战解析】由题干可知，丙只能干防疫，所以可以分为有丙和无丙两种情况。 有丙：𝐶3 1×𝐴4 2 = 36（丙干防疫协助，从除甲乙丙之外的3 人中选1 人给英语翻译，剩余4 人中 选2 人负责嘉宾引导和物资发放） 无丙：𝐶3 1×𝐴4 3 = 72（从除甲乙丙之外的3 人中选1 人给英语翻译，剩余4 人中选3 人负责嘉宾 引导、物资发放和防疫协助） 综上，符合题干要求的方案有36+72=108 种，答案为C 选项。 ✎全部减不符： 例题12（2021 安徽） 某高校开设A 类选修课四门，B 类选修课三门。小刘从中共选取四门课程，若要求两类课程各至少选 一门，则选法有多少种？ A．18 种 B．22 种 C．26 种 D．34 种 【答案】D 【实战解析】全部-不符 全部情况数：𝐶7 4 = 35（从总共3+4=7 门课中选4 门课程） 不符和情况数：1（4 门课程全选A 类） 综上，符合题干的情况数为全部-不符=35-1=34 种，答案为D 选项。 例题13（2023 黑龙江） 在一个3×3 的表格（如下图所示）中，分别填入5 个数字0 和4 个数字1，若要求灰色方格中不能同 时填入数字1，问有多少种填法？ 关注“花生十三”公众号，每日图推、类比、速算等 第 7 页 A．98 B．100 C．120 D．126 【答案】C 【实战解析】全部-不符 全部情况数：𝐶9 4 = 126（一共9 个格子，从中选出4 个格子给1） 不符合的情况数：𝐶6 1 = 6（三个灰色格子全填1 ，再在剩余6 个格子中选1 个给剩下的一个1） 综上，符合题干的情况数为全部-不符=126-6=120，答案为C 选项。 例题14（2022 安徽） 滑雪和滑冰是冬奥会的两大项赛事，其中高山滑雪、自由式滑雪、单板滑雪、跳台滑雪、越野滑雪和 北欧两项是滑雪大项中的6 个分项，短道速滑、速度滑冰和花样滑冰是滑冰大项中的3 个分项。小林打算 去现场观看比赛，共选择6 个项目，并且每个大项不少于1 个，若所有项目比赛时间均不交叉，则不同的 观赛方式有多少种？ A．83 种 B．84 种 C．92 种 D．102 种 【答案】A 【实战解析】全部-不符 全部情况数：𝐶9 6 = 84（从全部6+3=9 个赛事中选择6 个） 不符合的情况数：1（6 个全部选择滑雪大项，只有一种情况） 综上，符合题干的情况数为全部-不符=84-1=83 种，答案为A 选项。
