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第四讲 余数、平方数与等差数列
✎数列基础知识：
例题1（2022 青海）
数列常见性质：
性质
等差数列
一、若是奇数项等差数列，则平均数＝等差中项，Sn＝n×等差中项；
等差数列的平均数=
𝑎1+𝑎𝑛
2
；
二、若m＋n＝k＋i，则𝑎𝑚+ 𝑎𝑛= 𝑎𝑘+ 𝑎𝑖。
等比数列
一、若𝑎𝑛−1，𝑎𝑛，𝑎𝑛+1成等比数列，则𝑎𝑛2 = 𝑎𝑛−1𝑎𝑛+1；
二、若m＋n＝k＋i，则𝑎𝑚𝑎𝑛= 𝑎𝑘𝑎𝑖。
数列常考公式：
通项公式
求和公式
等差数列
𝑎𝑛= 𝑎1 + (𝑛−1)𝑑
𝑆𝑛= 𝑛(𝑎1 + 𝑎𝑛)
2
等比数列
𝑎𝑛= 𝑎1 × 𝑞𝑛−1
𝑆𝑛= 𝑎1(1 −𝑞𝑛)
1 −𝑞
某市对下辖9 个文艺表演团体去年新创节目的数量进行统计分析，发现9 个团体新创节
目的数量恰好成等差数列，其中前5 个团体的新创节目总数是60，前7 个团体的新创节目
总数是70。那么这9 个文艺表演团体去年新创节目的总数是多少？
A．72
B．76
C．78
D．80
【参考答案】A
【参考解析】
5 个团体的中间项是a3，所以a3=60/5=12；7 个团体的中间项的
中间项是a4，所以a4=70/7=10，d=-2,9 个团体中间项是 a5=8,一共
9 项，所以答案：8*9=72， 选A；
秒杀技巧：已知是9 个项数的和，就是9 倍的a5，所以答案一
定是9 的倍数，只有A 是9 的倍数， 只能选A。
例题2（2022 江苏B）
某金融机构向9 家“专精特新”企业共发放了4500 万元贷款，若这9 家企业获得的贷
款额从少到多排列，恰好为一个等差数列，且排第3 的企业获得420 万元贷款，排第8 的企
业获得的贷款额为多少？
A．620 万元
B．660 万元
C．720 万元
D．760 万元
【参考答案】A
【参考解析】
9 的中间项为5 ，a5 ＝4500/9=500 ，已知a3 ＝420 ，
d=(500-420)/2=40,a8=500+40*3=620,所以答案为 A 选项。
例题3（2022 四川）
某共享汽车公司年初购入一批二手电动汽车，每台16200 元。第一年每台电动汽车的维
护费用为1100 元，以后每年增加400 元，每台电动汽车每年可产生收益9100 元。问在第几
年时，单台汽车扣除购置和维护成本后产生的利润将超过2 万元？
A．5
B．6
C．7
D．8
【参考答案】B
【参考解析】
第一年纯收入：9100－1100＝8000 元；
第二年纯收入：8000－400＝7600 元
第三年纯收入：7600－400＝7200 元
收入＝成本＋利润；想要利润超过2 万元，收入就得超过36200
（16200＋20000）元即可；
代入A 选项，假设第5 年的时候，收入超过36200，第3 年是5
年的中间项，5 项之和为：5×7200＝36000；第五年未超过36200，
但是36000 与36200 就相差200，第6 年的时候一定可以超过，所以，
定位B 选项。
例题4（2024 山东）
若干职员参加某次强国知识竞赛，每个人的得分均不相同且为整数，分数排名相邻的2
人分差均为5 分。已知有3 人成绩低于70 分，且超过70 分的职员平均分为82 分。问所有
职员中竞赛成绩超过70 分的人数占比在下列哪个范围内？
A．低于50%
B．50%～60%之间
C．60%～70%之间
D．高于70%
【参考答案】C
【参考解析】
超过70 分的职员平均分为82 分，如果是奇数项那么82 为中
间项，分差均为5；可以试写成： 72、77、82、87、92；低于70 分
的有三人，分别为67、62、57；一共8 项，超过70 分的有5 个，占
比5/8,定位C 选项。
能不能为偶数项？ 如果为偶数项，82 是中间两项的平均数，
两个数差5，那么只能是79.5 和84.5，题干说每个人的得分均不
相同且为整数，所以，不能为偶数项。
例题5（2022 下四川）
商场6 月6 日开始销售某种电器，从6 月7 日起，每天这种电器的销量都比前一天多1
台。已知6 月16 日卖了22 台这种电器，问其6 月共卖了多少台这种电器？
A．555
B．600
C．645
D．690
【参考答案】B
【参考解析】
30－5＝25；25 天的中间项是第13 天；6 月6 号到6 月30 号，
需要找到第13 项。
如果从1 号开始，那么第13 天就是第13 项，如果从6 号开始，
那么第18 天就是第13 项，所以6 月18 日就是中间项，6 月16 是22
台，6 月18 日就是22+2=24，一共是25 天，24*25=600，所以答案是
B。
秒杀：一共25 天，总数应该是25 的中间项×25，所以答案一定
是25 的倍数，只能选B 选项。
批注 [1]: 从6 月6 日到6 月30 日一共卖了几天，一 共30
天，前5 天不卖，所以是25 天
例题6（2022 安徽）
某市举行庆典活动，将依次升空105 架无人机，升空方式如下：每架无人机间距均相等，
第一次升空n 架，第二次升空n－1 架，以此类推，最终在夜空中组成一个近似等边三角形
背景的灯光秀，那么第10 次升空的无人机数量是多少？
A．3 架
B．5 架
C．8 架
D．10 架
【参考答案】B
【参考解析】
根据题干得知：第一项为n,最后一项为1；
根据等差数列求和公式可得：
1+n
2 ×n＝105；，化简得：n（1+n）
=210=14*15，所以n＝14；a10＝14＋（10－1）×-1＝5，定位B 选
项。
例题7（2022 下四川）
某企业在“十二五”期间第一年的营业额比上一年增长了1.5 亿元，且往后每年的营业
额增量都保持1.5 亿元不变。已知该企业在“十四五”期间的营业额将是“十二五”和“十
三五”期间营业额之和的80%。问该企业在“十二五”到“十四五”期间的总营业额在以下
哪个范围内？
A．不到300 亿元
B．300～330 亿元
C．330～360 亿元
D．超过360 亿元
【参考答案】C
【参考解析】
公差＝1.5
批注 [2]:
批注 [3]: 将210 化成两个近似数相乘的样子，210 能想到
15×15＝225，那么就是15×14
十二五的中间项：a3
十三五的中间项：a8＝a3＋7.5
十四五的中间项：a13＝a3＋15
a3＋15＝0.8（a3＋a3＋7.5）得出a3＝15，那么a8＝22.5
a8＝22.5，15 项之和＝22.5×15＝337.5，定位到C 选项。
例题8（2024 浙江）
有一组算式1＋1、2＋3、3＋5、4＋7、1＋9、2＋11、3＋13、4＋15、1＋17、2＋19、
3＋21、4＋23、1＋25、2＋27、……和为2021 的是第几个算式？
A．507
B．1010
C．1012
D．1014
【参考答案】B
【参考解析】
每组式子“+”前的数字为1、2、3、4，周期循环，“+”后的
数字为奇数数列1、3、5、7.......，奇数数列可以表示2n－1；偶
数数列可以表示：2n
2021 是由左边为1、2、3、4 和右边为奇数数列组成，只考虑奇
数项得出2021＝2n－1；n＝1011。
第1011 项，不考虑左边为1、2、3、4，就已经为2021，所以答
案比1011 项小一点，定位B 选项。
✎平方数问题：
记住几个平方数：
12＝1 22 ＝4 32＝9 42＝16 52＝25
62＝36 72＝49 82＝64 92＝81 102＝100
11²=121 12²=144 13²=169 14²=196 15²=225
16²=256 17²=289 18²=324 19²=361 202＝400
例题9（2024 湖北）
小明购买一本书，发现该书的总页数p 是一平方数，且p－2 和p＋2 都是质数，已知该
书在100－400 页之间，小明打算每个星期读书不超过75 页，请问至少需要多少个星期才能
把书读完？
A．5
B．4
C．3
D．2
【参考答案】C
【参考解析】
p－2 和p＋2 都是质数,质数唯一的偶数为2，所以p 是奇数；
假设p 等于121，p－2 和p＋2，分别为119 和123；123 不是质
数，排除；
假设p 等于169，p－2 和p＋2，分别为167 和171；171 不是质
数，排除；
假设p 等于225，p－2 和p＋2，分别为223 和227，都是质数；
假设p 等于289，p－2 和p＋2，分别为287 和291；291 不是质
数，排除；
假设p 等于361，p－2 和p＋2，分别为359 和363；363 不是质
数，排除；
所以，p 是225,225÷75＝3，定位C 选项。
例题10（2022 天津）
有一个20 世纪八九十年代出生的人，在21 世纪，恰好有一年，他年龄的平方数等于那
一年的年份。这个人是哪年出生的？
A．1995
B．1990
C．1985
D．1980
【参考答案】D
【参考解析】
40²=1600，50²=2500，正好45²=2025，是在21 世纪内的，所
以正好在2025 年45 岁，所以，2025-45=1980，定位D 选项。
例题11（2022 甘肃）
甲、乙两家大型医疗公司的负责人各带一名助手参加展会订购医疗器械。最终订单显示：
每人各自订购了不同种类医疗器械，且其订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械
的种类数。每人订购的医疗器械种类数都未超过15 类，并且两位负责人所订购的医疗器械
台数不同，但都比自己的助手多购45 台。问甲、乙两公司一共订购了多少台医疗器械？
A．150
B．170
C．210
D．240
【参考答案】 B
【参考解析】
订购数量＝订购种类×每种台数；
订购的每种医疗器械台数恰巧等于他所订医疗器械的种类数，
所以，订购数量是某一个数的平方。
两位负责人所订购的医疗器械台数不同，但都比自己的助手
多购45 台；那么就是，两组差为45 的平方数。
1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 中4 和49 差45、36
和81 差45；
甲、乙两公司一共订购：4＋49＋36＋81＝170，定位B 选项。
✎余数问题：
例题12（2023 广东县级）
某社区计划组建多支社工团队，为此招募了一批社工。如果每支团队由3 名社工组成，
则剩余2 名社工；如果每支团队由4 名社工组成，同样剩余2 名社工，则该社区可能招募了
多少名社工？
A．32
B．34
C．36
D．38
【参考答案】 D
【参考解析】
除3 余2
除4 余2
符合余数相同，可以表示成12n+2,因为都是30 多，所以n 取3，
所以12n+2=38，定位D 选项。
特征
余同
余数相同
和同
除数与余数的和相同
差同
除数与余数的差相同
口诀
余同取余
和同加和
差同减差
被除数
最小公倍数＋余数
最小公倍数＋和
最小公倍数－差
实例
“一个数
除3 余1，
除5 余1，
除6 余1”
则被除数为30n＋1
“一个数
除7 余1，
除6 余2，
除5 余3”
则被除数为210n＋8
“一个数
除7 余5，
除6 余4，
除3 余1”
则被除数为42n－2
例题13（2021 联考）
不超过100 名的小朋友站成一列。如果从第一人开始依次按1，2，3，……，9 的顺序
循环报数，最后一名小朋友报的是7；如果按1，2，3，……，11 的顺序循环报数，最后一
名小朋友报的是9，那么一共有多少名小朋友？
A．98
B．97
C．96
D．95
【参考答案】 B
【参考解析】
除9 余7
除11 余9
符合差数相同，可以表示99n－2，n 取1,那么99－2＝97，定
位B 选项。
例题14（2019 江苏事业编）
N 为自然数，被9 除余数是8，被7 除余数是6，被5 除余数是4。已知100＜N＜1000，
则这样的数有多少个？
A．1
B．2
C．3
D．4
【参考答案】 C
【参考解析】
符合差数相同,3、5 与9 的最小公倍数=315,100＜N=315n-1＜
1000，所以n 可以取1、2、3，定位C 选项。
