文档内容
几何-直线型几何-金字塔和沙漏模
型-0 星题
课程目标
知识点 考试要求 具体要求 考察频率
金字塔和沙漏模型 C 1.能够准确理解金字塔和沙漏模型 少考
2.能够用相似模型解决复杂的几何
问题
知识提要
金字塔和沙漏模型
金字塔模型
CD CE DE
= =
CA CB AB
沙漏模型AB AO BO
= =
CD DO CO
精选例题
金字塔和沙漏模型
1. ABCD 是平行四边形，面积为 72 平方厘米，E、F 分别为 AB、BC 的中点，则图中阴
影部分的面积为 平方厘米．
【答案】 48
【分析】 方法一：设 G、H 分别为 AD、DC 的中点，连接 GH、EF、BD．可得
1
S = S ,
△AED 4 平行四边形ABCD
对角线 BD 被 EF、AC、GH 平均分成四段，又 OM ∥ EF，所以
2 3
DO:ED= BD: BD=2:3,
4 4
OE:ED=(ED-OD):ED=(3-2):3=1:3,
所以
1 1 1 1
S = × S = × ×72=6(平方厘米),
△AEO 3 4 平行四边形ABCD 3 4
S =2×S =12(平方厘米).
△ADO △AEO
同理可得
S =6(平方厘米),S =12(平方厘米).
△CFM △CDM
所以
S -S -S =36-6-6=24(平方厘米),
△ABC △AEO △CFM
于是，阴影部分的面积为
24+12+12=48(平方厘米).
方法二：寻找图中的沙漏，
AE:CD=AO:OC=1:2,
FC:AD=CM:AM=1:2,
因此 O,M 为 AC 的三等分点，
1 1
S = S = ×72=12(平方厘米),
△ODM 6 平行四边形ABCD 6
1 1
S = S = ×12×2=6(平方厘米),
△AEO 4 △OCD 4
同理
S =6(平方厘米),
△FMC
所以S =72-12-6-6=48(平方厘米).
阴影
2. 如图，△ABC 中，DE，FG，MN，PQ，BC 互相平行，AD=DF=FM=MP=PB，
则 S :S :S :S :S = ．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB
【答案】 1:3:5:7:9
【分析】 设 S =1 份，S :S =AD2:AF2=1:4，因此 S =4 份，
△ADE △ADE △AFG △AFG
进而有 S =3 份，同理有 S =5 份，S =7 份，S =9
四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB
份．
所以有 S :S :S :S :S =1:3:5:7:9.
△ADE 四边形DEGF 四边形FGNM 四边形MNQP 四边形PQCB
3. 图中的大小正方形的边长均为整数（厘米），它们的面积之和等于 52 平方厘米，则阴影
部分的面积是 平方厘米．
【答案】 10.8【分析】 设大、小正方形的边长分别为 m 厘米、n 厘米（m>n），则
m2+n2=52,
所以
m<8.
若 m⩽5，则
m2+n2<52×2=50<52,
不合题意，所以 m 只能为 6 或 7．检验可知只有 m=6、n=4 满足题意，所以大、小正方
形的边长分别为 6 厘米和 4 厘米．根据相似三角形性质，
BG:GF=AB:FE=6:4=3:2,
而
BG+GF=6,
得
BG=3.6(厘米),
所以阴影部分的面积为：
1
×6×3.6=10.8(平方厘米).
2
4. 如图，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，那么 S :S = ．
△ADE △ECB
【答案】 4:15
【分析】 根据金字塔模型 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:(2+3)=2:5，
S :S =22:52=4:25，
△ADE △ABC
设 S =4 份，则 S =25 份，S =25÷5×3=15 份，所以
△ADE △ABC △BEC
S :S =4:15．
△ADE △ECB
5. 如图，已知 DE 平行 BC，BO:EO=3:2，那么 AD:AB= ．【答案】 2:3
【分析】 由沙漏模型得 BO:EO=BC:DE=3:2，再由金字塔模型得
AD:AB=DE:BC=2:3．
6. 梯形 ABCD 的面积为 12，AB=2CD，E 为 AC 的中点，BE 的延长线与 AD 交于
F，四边形 CDFE 的面积是 ．
8
【答案】
3
【分析】 延长 BF、CD 相交于 G．
由于 E 为 AC 的中点，根据相似三角形性质，CG=AB=2CD,
1 1
GD= GC= AB,
2 2
再根据相似三角形性质，
AF:FD=AB:DG=2:1,
GF:GB=1:3,
而
S :S =AB:CD=2:1,
△ABD △BCD
所以
1 1
S = S = ×12=4,
△BCD 3 ABCD 3
S =2S =8.
△GBC △BCD
又
S 1 1 1
△GDF = × = ,
S 2 3 6
△GBC
1
S = S ,
△EBC 2 △GBC
所以
( 1 1) 1 8
S = 1- - S = S = .
CDFE 2 6 △GBC 3 △GBC 3
7. 如图，在 △ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 的中点，且图中两个阴影部分（甲和乙）
的面积差是 5.04，则 S = ．
△ABC【答案】 20.16
【分析】 由于 D，E 都是中点，则 BC=2DE，设 DE 为 1 份，则 BC 为 2
份，根根据梯形中的蝴蝶模型，得到甲是 1 份，乙是 4 份，两个翅膀都是 2 份，由此可推
出 △ADE 为 3 份，且每份为
5.04÷(4-1)=1.68,
所以
S =1.68×(3+1+4+2+2)=20.16
△ABC
8. 如图，△ABC 中，DE，FG，BC 互相平行，AD=DF=FB，则
S :S :S = ．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGCB
【答案】 1:3:5
【分析】 设 S =1 份，根据面积比等于相似比的平方，
△ADE
所以 S :S =AD2:AF2=1:4，S :S =AD2:AB2=1:9，因此
△ADE △AFG △ADE △ABC
S =4 份，S =9 份，进而有 S =3 份，S =5 份，所以
△AFG △ABC 四边形DEGF 四边形FGCB
S :S :S =1:3:5．
△ADE 四边形DEGF 四边形FGCB
9. 如下图所示，三角形田地中有两条小路 AE 和 CF，交叉处为 D．张大伯常走这两条小
路，他知道 DF=DC，且 AD=2DE．则两块田地 ACF 和 CFB 的面积比是
．【答案】 1:2
【分析】 方法一：如下图所示，ACF 和 CFB 为同高三角形，所以面积比等于底边
比 AF:FB．
过 F 作 BC 的平行线，交 AE 于 G，则因为 DF=DC，所以三角形 CED 和 FGD 全
等，GD=DE．又因为 AD=2DE，所以 D 和 G 是 AE 的三等分点，所以
AF:FB=AG:≥=1:2．
方法二：如下图所示，连接 BD，设 S =1(份)，则 S =S =2(份)．
△CED △ACD △ADF{ x+1= y {x=3
设 S =x,S = y，则有 ，解得 ．
△BED △BFD 2x= y+2 y=4
所以 S :S =(2+2):(4+3+1)=1:2．
△ACF △CFB
10. 在下图中，线段 AE、FG 将长方形 ABCD 分成了四块；已知其中两块的面积分别是 2
平方厘米、11 平方厘米，且 E 是 BC 的中点，O 是 AE 的中点．请问长方形 ABCD 的
面积是 平方厘米．
【答案】 28
【分析】 如下图所示，延长 AE、DC 交于点 H．由于 E 是 BC 的中点，由 AB∥CH，有 AE:EH=BE:EC=1:1，
由于 O 是 AE 中点，那么 AO:OH=1:3．
由 AF∥GH，有 S :S =12:32=1:9．
△AOF △GOH
所以，S =2×9=18(平方厘米)，
△GOH
那么 S =18-11=7(平方厘米)．
△CEH
所以，S =4S =4S =4×7=28(平方厘米)．
平行四边形ABCD △ABE △CEH
11. 如下图所示，将边长 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形
的面积是 平方厘米．【答案】 43.2
【分析】 给图中标上字母，如下图．
OC BC 8 2
根据沙漏模型 = = = ．
OF EF 12 3
3
所以 OF=12× =7.2(厘米)．
2+3
S =7.2×12÷2=43.2(平方厘米)．
△EFO1 1
12. 如图，△ABC 中，AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，△EOD 的面积是 1
4 4
平方厘米．那么 △AED 的面积是 平方厘米．
5
【答案】
3
1 1
【分析】 因为 AE= AB，AD= AC，ED 与 BC 平行，
4 4
根据相似模型可知 ED:BC=1:4，EO:OC=1:4，S =4S =4 平方厘米，
△COD △EOD
则 S =4+1=5 平方厘米，又因为 S :S =AD:DC=1:3，所以
△CDE △AED △CDE
1 5
S =5× = (平方厘米)．
△AED 3 3
13. 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 都是平行四边形，四边形 ABCD 的面积是 16，
BG:GC=3:1，则四边形 EFGH 的面积 = ．
【答案】 3【分析】 因为 FGHE 为平行四边形，所以 EC∥AG，所以 AGCE 为平行四边
形．
BG:GC=3:1，那么 GC:BC=1:4，所以
1 1
S = ×S = ×16=4．
平行四边形AGCE 4 平行四边形ABCD 4
又 AE=GC，所以 AE:BG=GC:BG=1:3，根据沙漏模型，
3 3
FG:AF=BG:AE=3:1，所以 S = S = ×4=3．
平行四边形FGHE 4 平行四边形AGCE 4
14. 正六边形 A ,A ,A ,A ,A ,A 的面积是 2009 平方厘米，B ,B ,B ,B ,B ,B 分别
1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6
是正六边形各边的中点．请问下图中阴影六边形的面积是 平方厘米．
【答案】 1148
【分析】 方法一：如下左图，连接 A A ,A G,A A ，过 B 做 A A 的平行线
1 3 1 6 3 6 6 3
B E，交 A A 于 E．因为空白的面积等于 △A A G 面积的 6 倍，所以关键求
6 1 3 2 3
△A A G 的面积，在 △A A A 中用燕尾模型时，需要知道 A D,A D 的长度比，根据
2 3 1 2 3 1 3
沙漏模型得 A D=DE，再根据金字塔模型得 A E=A E，因此 A D:A D=1:3，在
1 1 3 1 3
△A A A 中，设 S =1 份，则 S =3 份，S =3 份，所以
1 2 3 △A A G △A A G △A A G
1 2 2 3 3 1
3 3 1 1 1
S = S = × × S = S ，
△A 2 A 3 G 7 △A 1 A 2 A 3 7 3 2 正六边形 14 正六边形
( 1 ) 4
因此 S = 1- ×6 S = ×2009=1148(平方厘米)．
阴影 14 正六边形 7方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，
把正六边形分割成 14 个大小形状相同的梯形，其中阴影有 8 个梯形，所以阴影面积为
8
×2009=1148(平方厘米)．
14
15. 如图，三角形 ABC 的面积为 60 平方厘米，D、E、F 分别为各边的中点，那么阴影部
分的面积是 平方厘米．
【答案】 12.5
【分析】 阴影部分是一个不规则的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个
三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为 △BEF 与 △EMN 的面积之差，又可以
转化为 △BCM 与 △CFN 的面积之差．
（法一）如图，连接 DE．由于 D、E、F 分别为各边的中点，那么 BDEF 为平行四边形，且面积为三角形 ABC 面
积的一半，即 30 平方厘米；那么 △BEF 的面积为平行四边形 BDEF 面积的一半，为 15
平方厘米．
根据几何五大模型中的相似模型，由于 DE 为三角形 ABC 的中位线，长度为 BC 的一半，
则
EM:BM=DE:BC=1:2,
所以
1
EM= EB;
3
EN:FN=DE:FC=1:1,
所以
1
EN= EF.
2
1 1 1
那么 △EMN 的面积占 △BEF 面积的 × = ，所以阴影部分面积为
2 3 6
( 1)
15× 1- =12.5(平方厘米).
6
（法二）如图，连接 AM．
根据燕尾定理，S :S =AE:EC=1:1,
△ABM △BCM
S :S =AD:DB=1:1,
△ACM △BCM
所以
1 1
S = S = ×60=20(平方厘米),
△BCO 3 △ABC 3
而
1 1
S = S = ×60=30(平方厘米),
△BDC 2 △ABC 2
所以
1
S = S =7.5(平方厘米),
△FCN 4 △BDC
那么阴影部分面积为
20-7.5=12.5(平方厘米).
【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：
（1）利用面积公式：底×高÷2；
（2）利用整体减去部分；
（3）利用比例和模型．
16. 在图中的正方形中，A、B、C 分别是 ED、EG、GF 的中点．请问：三角形 CDO 的
面积是三角形 ABO 面积的几倍？
【答案】 3 倍．
【分析】 不妨设正方形的边长是 2，所以
FC=CG=GB=BE=EA=AD=1.
又 A、C 分别是所在边的中点，所以 AC∥≥¿，即 OA∥BE，由此可见 OA 是 △DBE
OA 1
的中位线，有 = ，所以 △OAD 的面积是
BE 2
1 1
×1÷2= .
2 4△AOB 的面积等于 △BAD 的面积减去 △AOD 的面积，等于
1 1
1×1÷2- = .
4 4
△COD 的面积等于 △CAD 的面积减去 △AOD 的面积，等于
1 3
2×1÷2- = .
4 4
由此可得，△CDO 的面积是 △ABO 面积的 3 倍．
17. 如图所示，梯形 ABCD 的面积是 50，下底长是上底长的 1.5 倍，阴影三角形的面积是
多少？
【答案】 18．
【分析】 上底与下底的长度比为 2:3，设 △OCD 面积是 4 份，则 △AOD 与
△BOC 的面积均为 6 份，△ABO 的面积为 9 份，总面积为 50，故一份所对应的面积为
2，则 △ABO 的面积为 18．
1
18. 如图，平行四边形 ABCD 的面积是 12,DE= AD,AC 与 BE 的交点为 F，那么图
3
中阴影部分面积是多少？【答案】 4.4．
【分析】 AE:BC=2:3，设份数可知 ABCD 为 30 份，△AEF 为 4 份，阴影部
分占 11 份，面积为 4.4．
19. 已知正方形 ABCD，过 C 的直线分别交 AB、AD 的延长线于点 E、F，且
AE=10cm，AF=15cm，求正方形 ABCD 的边长．
【答案】 6
【分析】 方法一：本题有两个金字塔模型，根据这两个模型有
BC:AF=CE:EF,DC:AE=CF:EF,
设正方形的边长为 xcm，所以有
BC DC CE CF
+ = + =1,
AF AE EF EF
即
x x
+ =1,
15 10
解得x=6,
所以正方形的边长为 6cm．
方法二：或根据一个金字塔模型，列方程即
x 15-x
= ,
10 15
解得
x=6.
20. 如图所示，梯形的面积是 48 平方厘米，下底是上底的 3 倍，求阴影部分的面积．
【答案】 27 平方厘米．
【分析】 上底与下底之比为 1:3，由沙漏模型可知四个三角形的面积之比是
1:3:3:9，那么阴影部分的面积是
48÷(1+3+3+9)×9=27平方厘米.
21. 如下图，D、E、F、G 均为各边的三等分点，线段 EG 和 DF 把三角形 ABC 分成四
部分，如果四边形 FOGC 的面积是 24 平方厘米，求三角形 ABC 的面积．
【答案】 40.5【分析】
设三角形以 AB 为底的高为 h，由于
FG:AB=2:3,
所以
ED:FG=1:2;
所以三角形 OGF 以 GF 为底的高是
1 2 2
h× = h;
3 3 9
2
又因为三角形 CFG 以 FG 为底的高是 h，所以三角形 OGF 的面积与三角形 CGF 的
3
面积之比为
2 2
h: h=1:3,
9 3
所以三角形 CFG 的面积为
3
24× =18(平方厘米),
3+1
2 2 4
而三角形 CFG 的面积占三角形 ABC 的 × = ，所以三角形 ABC 的面积是
3 3 9
4
18÷ =40.5(平方厘米).
9
22. 如图所示，正方形 ABCD 面积为 1，E、F 分别是 BC 和 DC 的中点，DE 与 BF
交于 M 点，DE 与 AF 交于 N 点，那么阴影三角形 MFN 的面积是多少？1
【答案】
30
【分析】 如下图，延长 AF、BC 交于点 G，在沙漏 ADNEG 中，AD:EG=2:3，
2
所以 DN:NE=2:3，故 DN= DE．
5
如下图，延长 BF、AD 交于点 H，在沙漏 DHMBE 中，DH:BE=2:1，所以
1
DM:ME=2:1，故 ME= DE．
3( 2 1) 4
所以 NM= 1- - DE= DE，故
5 3 15
4 4 1
S = S = × ×S
△MFN 15 △DFE 15 2 △DCE
¿ ¿
23. 如图，长方形 ABCD 中，E、F 分别为 CD、AB 边上的点，DE=EC，FB=2AF，
求 PM:MN:NQ．
【答案】 7:18:10
【分析】 如图，过 E 作 AD 的平行线交 PQ 于 G．由于 E 是 DC 的中点，所以 G 是 PQ 的中点．
由于
DE=EC,FB=2AF,
所以
AF:DE=2:3,BF:CE=4:3.
根据相似性，
PM:MG=AM:ME=AF:DE=2:3,
GN:NQ=EN:NB=EC:BF=3:4,
于是
2
PM = PG,
5
3 3 36
MN = PG+ GQ= PG,
5 7 35
4 4
NQ = GQ= PG,
7 7
所以
2 36 4
PM:MN:NQ= : : =7:18:10.
5 35 7
24. 如图，DE 平行 BC，且 AD=2，AB=5，AE=4，求 AC 的长．【答案】 10
【分析】 由金字塔模型得 AD:AB=AE:AC=DE:BC=2:5，所以
AC=4÷2×5=10．
25. 如图，正方形 ABCD 中E是 BC 边的中点，AE 与 BD 相交于F点，三角形 DEF 的
面积是 2，那么正方形 ABCD 的面积是_________．
【答案】 12
【分析】 左边梯形 ABED，因为 E 为 BC 的中点，所以 BE:AD=1:2 所以
BF:FD=1:2 又因为三角形 DEF 的面积是 2 所以三角形 BEF 的面积是 1，三角形
ABF 的面积为 2，三角形 AFD 的面积为 4 而 S =S ，所以 S =3
△BED △DEC △DEC
S =1+2+2+4+3=12
△ABCD
26. 如图：MN 平行 BC，S :S =4:9，AM=4cm，求 BM 的长度．
△MPN △BCP
【答案】 2cm【分析】 在沙漏模型中，因为 S :S =4:9，所以 MN:BC=2:3，在金字塔
△MPN △BCP
模型中有：AM:AB=MN:BC=2:3，因为 AM=4cm，AB=4÷2×3=6cm，所以
BM=6-4=2cm．
27. 如图，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的中点，求 △AOD 的面积．
【答案】 12．
【分析】 连结DE，因为 BE 与 AD 之比是 1:2，可如图所示设份数，可知
△AOD 的面积是正方形面积的三分之一，是 12．
28. 在图中的正方形中，A，B，C 分别是所在边的中点，△CDO 的面积是 △ABO 面积的
几倍？
【答案】 3
【分析】连接 BC，易知 OA∥EF，可知 OB:OD=AE:AD，且 OA:BE=DA:DE=1:2，所以
1 1
△CDO 的面积等于 △CBO 的面积；由 OA= BE= AC 可得 CO=3OA，所以
2 4
S =S =3S ，即 △CDO 的面积是 △ABO 面积的 3 倍．
△CDO △CBO △ABO
29. 如下图，正方形 ABCD 的面积为 1，M 是 CD 边的中点，E,F 是 BC 边上的两点，
且 BE=EF=FC．连接 AE,DF 分别交 BM 分别于 H,G．求四边形 EFGH 的面积．
23
【答案】
210
【分析】过 M 点做 MQ 平行于 BC 交 FD 于 Q，过 E 点做 EP 交 BM 于 P，则因为 M
为 CD 的中点，所以 QM:FC=1:2，所以 QM:BF=1:4，所以 GM:GB=1:4，所以
BG:BM=4:5，又因为 BF:BC=2:3，所以
4 2 2
S = × S = ,
△BFG 5 3 △BCM 15
因为 E 为 BC 边上三等分点，所以 EP:CM=1:3，所以 EP:AB=1:6，所以
BH:HP=6:1，所以 BH:HM=6:15=2:5，所以 BH:BM=2:7，又因为 GM:GB=1:4，
所以 BH:BG=5:14，所以
5 1 1
S = × S = ,
△BEH 14 2 △BFG 42
因此，
2 1 23
S = - = .
阴 15 42 210
30. 如图，EF 与 BC 平行，AF:FB=1:2．已知 AE=2,EF=3，那么 CE 的长度是多少？
AC 的长度是多少？BC 的长度是多少？
【答案】 4,6,9．
AF AE 1 EF AF 1
【分析】 = = ，可求出 CE=4,AC=6, = = ，可求出 BC=9．
FB EC 2 BC AB 3
31. 如图所示，在正方形 ABCD 中，E,F 分别是 BC,CD 的中点，已知正方形 ABCD
的面积为 60 平方厘米，求阴影部分的面积．【答案】 10 平方厘米．
1
【分析】 由条件知，BE=AD=1:2，则 BG:GD=1:2,BG= BD，同理，
3
1 1
DF:AB=1:2，则 DH:HB=1:2,DH= BD，由此可得，GH= BD，阴影部分面积为
3 3
60÷2÷3=10 平方厘米．
32. 如图，将一个边长为 2 的正方形两边长分别延长 1 和 3，割出图中的阴影部分，求阴影
部分的面积是多少？
1
【答案】
30
【分析】根据相似三角形的对应边成比例有：
NF 3
= ,
1+2 2+3
EM 1
= ,
2+3 1+2
则
5 5
NF= ,EM= ,
9 3
所以
1 ( 9) ( 5) 1
S = × 2- × 2- = .
阴 2 5 3 30
33. 如右图，长方形 ABCD 中，EF=16，FG=9，求 AG 的长．
【答案】 15
DG AG AG DG FG 9 AG 9
【分析】 因为 = = ，且 = = ，所以 = 即
GB GE 25 GB GA AG 25 AG
AG2=25×9=225，所以 AG=15．1
34. 下图中正方形的面积为 1，E、F 分别为 AB、BD 的中点，GC= FC．求阴影部分的
3
面积．
5
【答案】
24
【分析】 题中条件给出的都是比例关系，由此可以初步推断阴影部分的面积要通过比
例求解，而图中出现最多的就是三角形，那么首先想到的就是利用相似三角形的性质．
阴影部分为三角形，已知底边为正方形边长的一半，只要求出高，便可求出面积．可以作
FH 垂直 BC 于 H，GI 垂直 BC 于 I．
根据相似三角形性质，
CI:CH=CG:CF=1:3,
又因为
CH=HB,
所以
CI:CB=1:6,
即
BI:BC=(6-1):6=5:6,
所以1 1 5 5
S = × × = .
△BGE 2 2 6 24
35. 如图所示，小高测出家里瓷砖的长为 24 厘米，宽为 10 厘米，而且还测出了边上的中间
线段均为 4 厘米，那么中间菱形的面积是多少平方厘米？
【答案】 64
【分析】 利用平行线中的线段比例关系来计算．把瓷砖右下角的直角三角形标上字母
（如图所示），同时过 B 作 BC⊥AG 于 C，DE⊥FG 于 E．
由于 BC 与 FG 平行，所以
BC AC 2 1
= = = ,
FG AG 14 7
因此
1 1
BC= ×FG= ×7=1.
7 7
由于 DE 与 AG 平行，所以
DE FE 2
= = ,
AG FG 7
因此
2 2
DE= ×AG= ×14=4.
7 7
由此可得菱形的两条对角线分别为：
24-4×2=16(厘米),10-1×2=8(厘米).
那么菱形的面积就是
16×8÷2=64(平方厘米).
36. 如图，线段 AB 与 BC 垂直，已知 AD=EC=4，BD=BE=6，那么图中阴影部分面
积是多少？
【答案】 15
【分析】 解法一：这个图是个对称图形，且各边长度已经给出，不妨连接这个图形的
对称轴看看．
作辅助线 BO，则图形关于 BO 对称，有
S =S ,S =S ,
△ADO △CEO △DBO △EBO
且
S :S =4:6=2:3.
△ADO △DBO
设 △ADO 的面积为 2 份，则 △DBO 的面积为 3 份，直角三角形 ABE 的面积为 8 份．
因为S =6×10÷2=30,
△ABE
而阴影部分的面积为 4 份，所以阴影部分的面积为
30÷8×4=15.
解法二：连接 DE、AC．
由于
AD=EC=4,BD=BE=6,
所以 DE∥AC，可知
DE:AC=BD:BA=6:10=3:5,
根据梯形蝴蝶定理，
S :S :S :S =32:(3×5):(3×5):52=9:15:15:25,
△DOE △DOA △COE △COA
所以
S :S =(15+15):(9+15+15+25)=15:32,
阴影 梯形ADEC
即
15
S = S ;
阴影 32 梯形ADEC
又
1 1
S = ×10×10- ×6×6=32,
梯形ADEC 2 2
所以
15
S = S =15.
阴影 32 梯形ADEC
37. 如图，长方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，AF 与 BE、BD 分别交于 G、H，OE
垂直 AD 于 E，交 AF 于 O，已知 AH=5cm，HF=3cm，求 AG．40
【答案】 cm
13
【分析】 由于 AB∥DF，利用相似三角形性质可以得到
AB:DF=AH:HF=5:3,
又因为 E 为 AD 中点，那么有
OE:FD=1:2,
所以
3
AB:OE=5: =10:3,
2
利用相似三角形性质可以得到
AG:GO=AB:OE=10:3,
而
1 1
AO= AF= ×(5+3)=4(cm),
2 2
所以
10 40
AG=4× = (cm).
13 13
38. 如图所示，梯形 ABCD 的上底 AD 长 10 厘米，下底 BC 长 15 厘米．如果 EF 与
上、下底平行，那么 EF 的长度为多少？【答案】 12 厘米．
OA AD 2 AO 2
【分析】 在沙漏 ADOBC 中， = = ，于是 = （如图所示）．
OC BC 3 AC 5
EO AO 2 2 2
由于 EO∥BC，因此 = = ，即 EO= ×BC= ×15=6(厘米)．
BC AC 5 5 5
同理，OF 也等于 6 厘米，所以 EF=EO+OF=6+6=12(厘米)．
39. 如图所示，三角形 ABC 中，DE 与 BC 平行，且 AD:DB=5:2，求 AE:EC 及
DE:BC．【答案】 5:2，5:7
【分析】 根据金字塔模型的结论即可直接得出答案．
40. 已知三角形 ABC 的面积为 a，AF:FC=2:1，E 是 BD 的中点，且 EF∥BC，交
CD 于 G，求阴影部分的面积．
a
【答案】
18
【分析】 已知 AF:FC=2:1，且 EF∥BC，可知 EF:BC=AF:AC=2:3，所以
2
EF= BC，且 S :S =4:9．
3 △AEF △ABC
1
又因为 E 是 BD 的中点，所以 EG 是三角形 DBC 的中位线，那么 EG= BC，
2
1 2
EG:EF= : =3:4，所以 GF:EF=1:4，可得 S :S =1:8，所以
2 3 △CFG △AFE
a
S :S =1:18，那么 S = ．
△CFG △ABC △CFG 1841. 如图，三角形 ABC 是一块锐角三角形余料，边 BC=120 毫米，高 AD=80 毫米，要
把它加工成正方形零件，使正方形的一边在 BC 上，其余两个顶点分别在 AB、AC 上，这
个正方形零件的边长是多少？
【答案】 48
【分析】 观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
有
PN AP PH BP
= , = ,
BC AB AD AB
设正方形的边长为 x 毫米，
PN PH AP BP
+ = + =1,
BC AD AB AB
即
x x
+ =1,
120 80
解得
x=48
即正方形的边长为 48 毫米．
42. 如图，在 △ABC 中，有长方形 DEFG，G、F 在 BC 上，D、E 分别在 AB、AC
上，AH 是 △ABC 边 BC 的高，交 DE 于 M，DG:DE=1:2，BC=12 厘米，AH=8
厘米，求长方形的长和宽．48 24
【答案】 长和宽分别是 厘米， 厘米．
7 7
【分析】 观察图中有金字塔模型 5 个，用与已知边有关系的两个金字塔模型，所以
DE AD DG BD
= , = ,
BC AB AH AB
所以有
DE DG AD BD
+ = + =1,
BC AH AB AB
设 DG=x，则 DE=2x，所以有
2x x
+ =1,
12 8
解得
24 48
x= ,2x= ,
7 7
48 24
因此长方形的长和宽分别是 厘米， 厘米．
7 7
43. 如图所示，在三角形 ABC 中，IF 和 BC 平行，GD 和 AB 平行，HE 和 AC 平行．
已知 AG:GF:FC=4:3:2，那么 AH:HI:IB 和 BD:DE:EC 分别是多少？
【答案】 AH:HI:IB=3:4:2，BD:DE:EC=4:2:3．
【分析】 （1）因为 AG:GF:FC=4:3:2，所以 AF:FC=7:2．
又因为 IF∥BC，所以 AI:IB=AF:FC=7:2．
因为 GD∥AB，所以 GF:AG=OF:IO=3:4．
由上可得 AH:HI:IB=3:4:2．（2）因为 AG:GF:FC=4:3:2，所以 AG:GC=4:5．
又因为 GD∥AB，所以 BD:DC=AG:GC=4:5．
因为 GF:FC=3:2，IF∥BC，所以 OD:GO=FC:GF=2:3．
又因为 HE∥AC，所以 DE:EC=OD:GO=2:3．
由上可得 BD:DE:EC=4:2:3．
44. 图中 ABCD 是边长为 12cm 的正方形，从 G 到正方形顶点 C、D 连成一个三角形，
已知这个三角形在 AB 上截得的 EF 长度为 4cm，那么三角形 GDC 的面积是多少？
【答案】 108cm2
【分析】 做 GM 垂直 DC 于 M，交 AB 于 N．
因为 EF∥DC，所以三角形 GEF 与三角形 GDC 相似，且为
EF:DC=4:12=1:3,
所以
GN:GM=1:3,
又因为MN=GM-GN=12,
所以
GM=18(cm),
所以三角形 GDC 的面积为
1
×12×18=108(cm2 ).
2
45. 如图，平行四边形 ABCD 的面积是 90．已知 E 点是 AB 上靠近 A 点的三等分点，
求阴影部分的面积．
【答案】 33．
【分析】 由沙漏模型知，BE:CD=BO:OD=EO:OC=2:3，设 △OBE 的面积为
4 份，则 △OBC 的面积为 6 份，△OCD 的面积为 9 份，△OBC 的面积与 △OCD 的
面积之和为整个四边形面积的一半，因此四边形的面积为 30 份，总面积为 90，则一份对应
面积为 3，阴影部分占了 11 份，面积为 33．
46. 如图，直角三角形 ABC 中，AB=4,BC=6，又知 BE:EC=1:3，求 ∠CDE 的面积．【答案】 6.75．
【分析】 由金字塔模型知
DE:AB=CE:CB=3:4
则
3
DE=4× =3
4
又知道
3
CE=6× =4.5
4
可求出 △CDE 的面积为
3×4.5÷2=6.75
47. 如图，已知 D 是 BC 中点，E 是 CD 的中点，F 是 AC 的中点．三角形 ABC 由
① ～ ⑥ 这 6 部分组成，其中 ② 比 ⑤ 多 6 平方厘米．那么三角形 ABC 的面积是多少
平方厘米？【答案】 48
【分析】 因为 E 是 DC 中点，F 为 AC 中点，有 AD=2FE 且 EF 平行于
AD，则四边形 ADEF 为梯形．在梯形 ADEF 中有 ③=④，②×⑤=③×④，
②:⑤=AD2:FE2=4．
又已知 ②-⑤=6，所以 ⑤=6÷(4-1)=2，②=⑤×4=8，所以 ②×⑤=④×④=16，
而 ③=④，所以 ③=④=4，梯形 ADEF 的面积为 ②、③、④、⑤ 四块图形的面积和，
为 8+4+4+2=18．
有 △CEF 与 △ADC 的面积比为 CE 平方与 CD 平方的比，即为 1:4．所以 △ADC
4 4 4
面积为梯形 ADEF 面积的 = ，即为 18× =24．
4-1 3 3
因为 D 是 BC 中点，所以 △ABD 与 △ADC 的面积相等，而 △ABC 的面积为 △ABD、
△ADC 的面积和，即为 24+24=48(平方厘米)．三角形 ABC 的面积为 48 平方厘米．
48. 如图，已知在平行四边形 ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么 FC 的长度是
多少？【答案】 8
【分析】 图中有一个沙漏，也有金字塔，但我们用沙漏就能解决问题，因为 AB 平
4
行于 CD，所以 BF:FC=BE:CD=4:16=1:4，所以 FC=10× =8．
1+4
49. 如图所示，边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并排放在一起，求图中阴影部分的面
积．
【答案】 45 平方厘米．
【分析】 由条件知，GF:BE=12:20=3:5，由沙漏模型知 GO:OE=3:5，那么
5
△GOF 与 △EOF 的面积之比也是 3:5,△OEF 的面积为 12×12÷2× =45 平方厘米．
8
50. 如图所示，正方形 ABCD 的边长是 6，E 点是 BC 的三等分点．△AOD 的面积是多
少？【答案】 13.5．
【分析】 由沙漏模型，BE:AD=BO:OD=1:3,△AOB 与 △AOD 等高，面积比
3
为 1:3，因此 △AOD 的面积为 6×6÷2× =13.5．
4
51. 如图所示，图中的两个正方形的边长分别是 10 和 6，那么阴影部分的面积是多少？
400
【答案】 ．
13
AH AD 5
【分析】 = = ，那么 △ABH 与 △BGH 的面积是
HG BG 8
5 400
10×16÷2× = ．
13 13
52. 如图所示，P 是三角形 ABC 内一点，DE 平行于 AB，FG 平行于 BC，HI 平行于
CA，四边形 AIPD 的面积是 12，四边形 PGCH 的面积是 15，四边形 BEPF 的面积是
20．请问：三角形 ABC 的面积是多少？【答案】 72
【分析】 当两个平行四边形的高相等时，它们底边的比等于面积比．
考虑平行四边形 BEPF 和 AIPD，分别以 PE 和 PD 为底边，它们的高相等，因此它们
EP S 20 5
底边的比等于面积比，即 = 平行四边形BEPF = = ．
PD S 12 3
平行四边形AIPDEH EP 5
由于 IH∥AC，所以 = = ，转化为面积比：得到：
HC PD 3
S 1 EH 1 5 5
△PEH = × = × = .
S 2 HC 2 3 6
平行四边形PGCH
5 25
而平行四边形 PGCH 的面积是 15，则 △PEH 的面积是 15× = .
6 2
9
类似的方法可以求出 △FPI 和 △DPG 的面积分别是 8 和 ，因此这三个小三角形的面积
2
9 25 9 25
分别是 、8、 ，所以大 △ABC 的面积就是 12+15+20+ +8+ =72．
2 2 2 2
53. 如图所示，DE 与 BC 平行，已知 AD=4,BD=5,DE=16，则 BC 的长度是多少？
【答案】 36．
【分析】 由金字塔模型，AD:AB=DE:BC=4:9,DE=16，则 BC=36．
54. 如图所示，DE 与 BC 平行，已知 AD=4,BD=5,△ADE 的面积为 32，则四边形
DECB 面积是多少？【答案】 130．
16
【分析】 AD:AB=4:9，则 AE:AC=4:9,△ADE 是 △ABC 面积的 ，则
81
△ABC 的面积是 162，四边形 DEBC 的面积为 130．
55. 已知 △ABC 中，DE 平行 BC，若 AD:DB=2:3，且 S 比 S 大
梯形DBCE △ADE
8.5cm2，求 S ．
△ABC
【答案】 12.5cm2
【分析】 根据金字塔模型
AD:AB=DE:BC=2:(2+3)=2:5,
S :S =22:52=4:25,
△ADE △ABC
设 S =4 份，则 S =25 份，S =25-4=21 份，S 比 S 大 17
△ADE △ABC 梯形DBCE 梯形DBCE △ADE
份，恰好是 8.5cm2，所以 S =12.5cm2 ．
△ABC56. 如图，测量小玻璃管口径的量具 ABC，AB 的长为 15 厘米，AC 被分为 60 等份．如
果小玻璃管口 DE 正好对着量具上 20 等份处（DE 平行 AB），那么小玻璃管口径 DE
是多大？
【答案】 10 厘米．
【分析】 有一个金字塔模型，所以 DE:AB=DC:AC，DE:15=40:60，所以
DE=10 厘米．
57. 如图，正方形 ABCD 的面积是 120 平方厘米，E 是 AB 的中点，F 是 BC 的中点，
四边形 BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】 14
1
【分析】 EG:GC=EB:CD=1:2，所以 EG= EC，
3
1 1 1 1
S△EBG= × AB× BC= ×120=10 连接 BH，设 S ="1"，则 S ="2"，
2 2 3 12 △BGH △AGH
由燕尾模型知 S ="3"，所以 S ="5"，又因为 S =4S =40，所以
△DHC △DGC △DGC △EBG
1
S =8，S =S -S = S -"2"=30-16=14
△BGH ❑ BGHF ❑ △DBF ❑ △DGH 4 ▱ABCD
58. 已知三角形 ADE 的面积为 3 平方厘米，D 是 AB 边的三等分点（靠近 A 点），且
DE 与 BC 平行．请求出三角形 OBC 的面积为多少平方厘米？【答案】 13.5 平方厘米．
【分析】 由金字塔模型知，AD:AB=DE:BC=1:3，设 △ODE 的面积为 1 份，
则 △ODB 的面积为 3 份，△OEC 的面积为 3 份，△OBC 的面积为 9 份，又因为
△ADE 与 △DEC 等高，可知 △ADE 的面积为 2 份，由此可知 △OBC 的面积为
3÷2×9=13.5 平方厘米．
59. 两盏 4 米高的路灯相距 10 米，有一个身高 1.5 米的同学行走在这两盏路灯之间，那么
他的两个影子总长度是多少米？
【答案】 6
【分析】 根据题意画出如图所示的图，延长 FE 与 AC 交于 I，则 △AEI 和
△EFH 以及 △CEI 和 △EFG 都能组成沙漏三角．
不难看出，EI=4-1.5=2.5(米)．
AE IE 2.5 5
而在沙漏 AIEFH 中，又有 = = = ．
EH EF 1.5 3
AC AE 5
在沙漏 ACEGH 中，有 = = ．
GH EH 3
3 3
由此可知 GH= AC= ×10=6(米)，这就是两个影子的总长度．
5 5
60. 如图，ABCD 是直角梯形，AB=4,AD=5,DE=3，那么梯形 ABCD 的面积是多少？【答案】 40
【分析】 分别计算 △AOD,△AOB,△DOC,△BOC 的面积，再求和．
延长 EO 交 AB 于 F 点，
可得
DE:BF=DO:OB=3:1,
所以
S :S =3:1;
△AOD △AOB
S :S =3:1,
△DOC △BOC
S =S .
△AOD △BOC
又因为
1
S = ×4×5=10,
△ABD 2
得到
3
S = S =7.5,
△AOD 4 △ABD
S =2.5,S =7.5,
△AOB △BOCS =3S =3×7.5=22.5.
△DOC △BOC
所以
S =7.5+2.5+7.5+22.5=40.
梯形ABCD
61. 如图，O 是矩形一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积为 3 和 4，那么阴
影部分的一块直角三角形的面积是多少？
25
【答案】
8
【分析】 连接 OB，
由已知可得
S =4-3=1,
△OEB
所以
OE:EA=1:3,
可以得到
CE:CA=5:8,
由三角形相似可得阴影部分面积为
(5) 2 25
8× = .
8 8
62. 如下图所示，三角形 AEF、三角形 BDF、三角形 BCD 都是正三角形，其中
AE:BD=1:3，三角形 AEF 的面积是 1．求阴影部分的面积．【答案】 15
【分析】 S :S =AE2:BD2=1:9，△AEF 面积是 1，那么
△AEF △BDF
S =S =9，
△BDF △BDC
因为 △AEF 与 △ACE 的高之比是 1:7，所以 S =7，因为 AD 与 BC 平行，所以
△ACE
S =S =9，所以 S :S =BI:IE=9:7．
△ABC △BCD △ABC △AEC
假设 BE 为 16 份，那么 BI=9,IE=7，又知道 BF:FE=3:1，所以 BF=12,FE=4，
所以 IF=3,S :S =FE:FI=4:3，所以 S =0.75，又有
△AEF △AIF △AIF
S :S =AF2:BC2=1:9，所以 S =6.75，于是可求阴影部分面积是
△AIF △BCI △BCI
(0.75+6.75)×2=15．
63. 如图，在长方形 ABCD 中，AB=6 厘米，AD=2 厘米，AE=EF=FB，求阴影部分的
面积．【答案】 3.5 平方厘米
【分析】 连接 DE、FC，在梯形 CDEF 中，由梯形基本结论知：
EF:DC=EO:OC=1:3，S❑ =6×2=12 由一半模型得所以 S =6 又
长ABCD △DEC
1
EO:OC=1:3，S =6× =1.5（平方厘米）又 S =2×2÷2=2（平方厘米）所以
△DEO 4 △ADE
S =2+1.5=3.5（平方厘米）
阴
64. 如图所示，平行四边形 ABED 与平行四边形 AFCD 的面积都是 30 平方厘米．其中
AF 垂直于 ED 于 O，AO、OD、AD 分别长 3、4、5 厘米．求三角形 OEF 的面积和
周长．
【答案】 面积为 13.5 平方厘米，周长为 18 厘米．
【分析】 平行四边形 ABED 的面积等于
AO×DE=3×DE=30,
由此可以求得
DE=10,OE=6.
平行四边形 AFCD 的面积等于
DO×AF=4×AF=30,
由此可以求得
AF=7.5,OF=4.5.
则 △OEF 的面积等于
EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5(平方厘米).由沙漏模型得
AO:OF=AD:EF=2:3,
则
EF=7.5.
所以 △OEF 的周长为
4.5+6+7.5=18(厘米).
65. 如图所示，已知三角形 ABC 的面积为 1 平方厘米，D、E 分别是 AB、AC 边的中点．
求三角形 OBC 的面积．
1
【答案】 平方厘米．
3
【分析】 由 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，可知 DE 与 BC 平行，且
1
DE= BC．
2
如下图所示，沙漏 DEOBC 中，有
OD OE DE 1
= = = .
OC OB BC 2
把线段的比例关系转化为面积的比例关系，得到
S =2S ,S =2S ,S =2S =4S ,
△BOD △DOE △COE △DOE △BOC △COE △DOE
那么梯形 DECB 的面积就是
(1+2+2+4)×S =9S .
△DOE △DOE
1
由于 △ABC 的面积为 1 平方厘米，则 △ADE 的面积是 平方厘米．而梯形 DECB 的
4
面积是1 3
1- = (平方厘米).
4 4
因此
1 1 3 1
S = ×S = × = (平方厘米),
△DOE 9 梯形BCDE 9 4 12
从而
1 1
S =4S =4× = (平方厘米).
△BOC △DOE 12 3
66. 如图所示，O 是长方形 ABCD 一条对角线的中点，图中已经标出两个三角形的面积 3
和 4，那么阴影直角三角形的面积是多少？
1
【答案】 3
8
1 1
【分析】 由 S =4 可知 S = ×S = ×4×S =8．而 △CDF
△AOD △BCD 2 长方形ABCD 2 △AOD
DF S 5
与 △CDB 从 C 出发的高相同，则 = △CDF = ．
DB S 8
△CDB
CE DF 3
由于 EF∥CD，把线段的比例转移到 BC 上，则有 = = ，从而得到
BC DB 8
BE 3 5 5
=1- = ，所以阴影 △BEF 的面积是 △BCF 面积的 ．于是阴影三角形的面积是
BC 8 8 8
5 5 5 25
×S = ×(S -S )= ×(8-3)= .
8 △BCF 8 △BCD △CDF 8 8
67. 如图，三角形 PDM 的面积是 8 平方厘米，长方形 ABCD 的长是 6 厘米，宽是 4
厘米，M 是 BC 的中点，则三角形 APD 的面积是 平方厘米．【答案】 8
【分析】 本题在矩形内连接三点构成一个三角形，而且其中一点是矩形某一条边的中
点，一般需要通过这一点做垂线．
取 AD 的中点 N，连接 MN，设 MN 交 PD 于 K．
则三角形 PDM 被分成两个三角形，而且这两个三角形有公共的底边 MK，可知三角形
PDM 的面积等于
1
×MK×BC=8(平方厘米),
2
所以
8
MK= (厘米),
3
那么
8 4
NK=4- = (厘米).
3 3
因为 NK 是三角形 APD 的中位线，所以
8
AP=2×NK= (厘米),
3
所以三角形 APD 的面积为
1 8
× ×6=8(平方厘米).
2 368. 已知长方形 ABCD 的面积为 70 厘米，E 是 AD 的中点，F、G 是 BC 边上的三等
分点，求阴影 △EHO 的面积是多少平方厘米？
【答案】 3
【分析】
因为 E 是 AD 的中点，F、G 是 BC 边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长
分成 6 份的话，那么
ED=AD=3(份)、BF=FG=GC=2(份),
在图形中找到沙漏 EDOBG：有
ED:BG=3:4,
所以
OD:BO=3:4,
相当于把 BD 分成 7 份（3+4），同理也可以在图中再次找到沙漏 EDHBF，
ED:BF=3:2,
由此可以推出：
HD:BH=3:2,
相当于把 BD 分成 5 份（3+2），那么我们就可以把 BD 分成 35 份（5 和 7 的最小公
倍数）其中 OD 占 15 份，BH 占 14 份，HO 占 6 份，连接 EB 则可知 △BED 的面
积为
35
70÷4= ,
2
在 BD 为底的三角形中 HO 占 6 份，则面积为：
35 6
× =3(平方厘米).
2 3569. 如图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积是 1，E、F 是 AB、AD 的中点，BF 交
EC 于 M，求 △BMG 的面积．
1
【答案】
30
【分析】 解法一：由题意可得，E、F 是 AB、AD 的中点，得 EF∥BD，而
FD:BC=FH:HC=1:2,
EB:CD=BG:GD=1:2.
所以
CH:CF=GH:EF=2:3,
并得 G、H 是 BD 的三等分点，可得 BG=GH，所以
BG:EF=BM:MF=2:3,
所以
2
BM= BF,
5
1 1 1 1
S = S = × S = ;
△BFD 2 △ABD 2 2 平行四边形ABCD 4
又因为
1
BG= BD,
3
所以
1 2 1 2 1 1
S = × ×S = × × = .
△BMG 3 5 △BFD 3 5 4 30
解法二：延长 CE 交 DA 于 I，如下图，可得，
AI:BC=AE:EB=1:1,
从而可以确定 M 的点的位置，
BM:MF=BC:IF=2:3,
2
BM= BF,
5
1
BG= BD
3
可得
2 1 2 1 1 1
S = × S = × × S = .
△BMG 5 3 △BDF 5 3 4 平行四边形ABCD 30
70. 边长为 8 厘米和 12 厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少
平方厘米？
【答案】 16.2
【分析】 给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为 ABCD，小正方形为
MNDE，EB 分别交 AC,AD 于 O,H 两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,
AH:BC=AO:OC=3:5,
所以
AO:AC=3:8,
AH:AD=3:5,
S :S =9:40.
△AHO △ADC
因为
1
S = ×122=72,
△ADC 2
所以
9 9
S = S = ×72=16.2.
△AHO 40 △ADC 40
71. 如图，ABCD 为正方形，AM=NB=DE=FC=1cm 且 MN=2cm，请问四边形
PQRS 的面积为多少？
2
【答案】
cm2
3【分析】 （法 1）由 AB∥CD，有
MP PC
= ,
MN DC
所以
PC=2PM,
又
MQ MB
= ,
QC EC
所以
1
MQ=QC= MC,
2
所以
1 1 1
PQ= MC- MC= MC,
2 3 6
1
所以 S 占 S 的 ，得到
SPQR AMCF 6
1 2
S = ×1×(1+1+2)= (cm2 ).
SPQR 6 3
（法 2）如图，
连结 AE，则
1
S = ×4×4=8(cm2 ),
△ABE 2
而
RB ER
= ,
AB EF
所以
RB AB
= =2,
EF EF
2 2 16
S = S = ×8= (cm2 ).
△ABR 3 △ABE 3 3
而1 1
S =S = ×3×4× =3(cm2 ),
△MBQ △ANS 2 2
因为
MN MP
= ,
DC PC
所以
1
MP= MC,
3
则
1 1 4
S = ×2×4× = (cm2 ),
△MNP 2 3 3
阴影部分面积等于
S -S -S +S 16 4 2
△ABR △ANS △MBQ △MNP -3-3+ ¿=¿ (cm2 ).¿
¿ 3 3 3
72. 如图，已知 S =14，点 D,E,F 分别在 AB,BC,CA 上，且
△ABC
AD=2,BD=5,AF=FC，S =S 则 S 是多少？
四边形DBEF △ABE △ABE
【答案】 10
【分析】 △ABC 的面积已知，若知道 △ABE 的面积占 △ABC 的几分之几就可以
计算出 △ABE 的面积．连接 CD．因为
S =S ,
四边形DBEF △ABE
所以
S
△≝¿=S .¿
△ADE
所以 AC 与 DE 平行，所以
S =S ,
△ADE △CDE
所以
S =S .
△ABE △CDB
因为 AD=2，BD=5，所以
S :S =2:5,
△ACD △CDB
所以
S =S
△ABB △CDB
5
¿ = ×14
7
¿ ¿
73. 已知 ABC 为等边三角形，面积为 400，D、E、F 分别为三边的中点，已知甲、乙、
丙面积和为 143，求阴影五边形的面积．（丙是三角形 HBC）【答案】 43
【分析】 因为 D、E、F 分别为三边的中点，所以 DE、DF、EF 是三角形
ABC 的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC
的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为 200．
根据图形的容斥关系，有 S -S =S +S -S ，即
△ABC 丙 △ABN △AMC AMHN
400-S =200+200-S ，所以 S =S ．
丙 AMHN 丙 AMHN
又 S +S =S +S +S ，所以
阴影 △ADF 甲 乙 AMHN
1
S =S +S +S -S =143- ×400=43．
阴影 甲 乙 丙 △ADF 4
74. 如图所示，在直角三角形 ABC 中，AC 的长 3 厘米，CB 的长 4 厘米，AB 的长 5
厘米，有一只小虫从 C 点出发，沿 CB 以 1 厘米/秒的速度向 B 爬行；另一只小虫从 B
点出发，沿 BA 以 1 厘米/秒的速度向 A 爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置
D、E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形？（请写出所有答案）
20 32
【答案】 2 秒、 秒或 秒．
13 13【分析】 设经过了 x 秒，则 BE=x 厘米，CD=x 厘米，两只小虫所在的位置 D、
E 与 B 组成的三角形 DBE 是等腰三角形的情况有三种：
（1）以 B 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 BD=BE（如图 1）．这个最好算，
BD=4-x，BE=x，故 x=4-x，解得 x=2；
（2）以 E 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=EB，如图 2，从 E 向 BD 作垂线，
BE BF x BF 4
垂足为 F，在金字塔 BEFAC 种， = ，即 = ，所以 BF= x．利用
BA BC 5 4 5
4 4 20
CD+DF+FB=4 列出方程 x+ x+ x=4，解得 x= ；（或者利用 △BEF 和 △BAC
5 5 13
BE 5 x 5 4
相似，得 = ，即 = ，所以 BF= x）
BF 4 BF 4 5
（3）以 D 为等腰三角形顶角所在的顶点，即 ED=DB，如图 3，从 D 向 AB 作垂线，
BF 4 BF 4 4
垂足为 F，利用 △BFD 和 △BCA 相似得 = ，即 = ，所以 BF= (4-x)．
BD 5 4-x 5 5
4 32
利用 BE=2BF 列出方程 x= (4-x)×2，解得 x= ．
5 13
20 32
综上，经过 2 秒或 秒或 秒后，两只小虫所在的位置 D、E 与 B 组成的三角形
13 13
DBE 是等腰三角形．75. 如下图所示，点 M 是平行四边形 ABCD 的边 CD 上的一点，且 DM:MC=1:2，四
边形 EBFC 为平行四边形，FM 与 BC 交于点 G．若三角形 FCG 的面积与三角形
MED 的面积之差为 13cm2，求平行四边形 ABCD 的面积．
【答案】 60
【分析】 连接 BD，因为 DE∥BC，所以
DE EM DM 1
= = = ,
BC MB MC 2
所以
S S S 1
△DEM = △CEM = △DEM = .
S S S 2
△CEM △CBM △BDM
令 S =a，则 S =S =2a，S =4a，
△DEM △CEM △BDM △CBM
所以
S =S =2+4=6a.
△BCF △BCE
因为 MB∥CF，所以
CG CF EB 3
= = = .
GB MB MB 2
所以
S CG 3
△GCF = = .
S GB 2
△BGF
所以
3 3 18
S = ×S = ×6= a.
△GCF 3+2 △BCF 5 5
因为
S -S =13,
△GCF △DEM
所以
18
a-a=13;a=5.
5因为
S =S +S =2a+4a=6a,
△BCD △BDM △BCM
所以
S =2×S =2×6a=12a=12×5=60cm2.
平行四边形ABCD BCD
76. 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，F 是 BC 边的中点，E 是 DC 边上的点，且
DE:EC=1:3，AF 与 BE 相交于点 G，求 S ．
△ABG
32
【答案】
11
【分析】 方法一：
连接 AE，延长 AF，DC 两条线交于点 M，构造出两个沙漏，所以有
AB:CM=BF:FC=1:1,
因此 CM=4，根据题意有 CE=3，再根据另一个沙漏有
GB:≥=AB:EM=4:7,
所以
4 4 32
S = S = ×(4×4÷2)= .
△ABG 4+7 △ABE 11 11方法二：
连接 AE,EF，分别求
S =4×2÷2=4,
△ABF
S =4×4-4×1÷2-3×2÷2-4=7,
△AEF
根据蝴蝶定理
S :S =BG:≥=4:7,
△ABF △AEF
所以
4 4 32
S = S = ×(4×4÷2)= .
△ABG 4+7 △ABE 11 11
77. 如图所示，正六边形的面积是 6，那么阴影部分的面积是多少？
2
【答案】 2
3
【分析】 方法一：连结阴影部分的对角线，如图 1 所示．这条辅助线平分阴影部分，也正好把正六边形平分成两个等腰梯形．那么每个梯形的面积为
6÷2=3.
要求出阴影部分的面积，只需求出其中的一半即可．
画出其中一个梯形，给它的各个顶点标上字母，如图 2 所示，△BCD 和 △ABD 是一对等
高三角形，并且底边 BC 是 AD 的 2 倍，所以 △BCD 的面积是 △ABD 面积的 2 倍，
于是 △BCD 面积为
2
3× =2.
3
OD 1
在沙漏 ADOBC 中， = ，所以
OB 2
2 1
S = S =1 .
△BOC 3 △BDC 3
因此正六边形中的阴影部分面积为
1 2
1 ×2=2 .
3 3方法二：利用正六边形中的格点，将其分割，如图 3 所示．
观察图形可知，这时正六边形被分割成 18 个三角形，这些三角形面积全都相等．阴影部分
由 8 个三角形组成，所以阴影部分面积为
2
6÷18×8=2 .
3
78. 如图所示，四边形 ABCD 是平行四边形，面积是 72 平方厘米，E、F 分别为边 AB、
BC 的中点，请问：阴影部分的面积为多少平方厘米？
【答案】 48
【分析】 因为 E 为边 AB 的中点，四边形 ABCD 是平行四边形，所以
1
AE= CD，且 AE∥CD．
2
在沙漏 AEHCD 中，有 AH:HC=1:2，EH:HD=1:2．1
由 EH:HD=1:2 可知，△AEH 的面积为 △AED 面积的 ．
3
1
易知 △AED 面积为平行四边形 ABCD 的面积的 ，即
4
1
72× =18(平方厘米).
4
所以 △AEH 的面积为
1
18× =6(平方厘米).
3
由 F 为边 BC 的中点，同理可求出 △FOC 的面积为 6 平方厘米．
由 AH:HC=1:2，FO:OD=1:2 可知，H、O 为边 AC 的三等分点．
所以
1
S =S =S = S .
△HOD △AHD △DOC 3 △ACD
1
而 S = ×72=36(平方厘米)，所以
△ACD 2
1
S = ×36=12(平方厘米).
△HOD 3
于是空白部分面积为 S +S +S =6+6+12=24(平方厘米)．
△AEH △FOC △HOD
因此阴影部分的面积为 72-24=48(平方厘米)．
