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理论攻坚-数学运算 1
（全部讲义+本节课笔记）
主讲教师：尹燕
授课时间：2021.01.05
粉笔公考·官方微信第一部分 职业能力倾向测验
第一章 数学运算
第一节 代入排除法
【例1】（2017沧州）某公司五部门的总人数是一个三位数，将此三位数个位数
字与百位数字对调，得到新的三位数与原三位数之和为787。则该公司实际人数为
（ ）。
A. 187 B. 344
C. 225 D. 940
【例2】（2019成都）小张和小刘两人年龄不相同，已知小张像小刘那么大的时
候，小刘23 岁，小刘像小张那么大的时候，小张32 岁。今年小张和小刘的年龄分别
是（ ）岁。
A. 30，24 B. 29，26
C. 34，25 D. 33，24
【例3】（2018宁德）用大、小两种货车运送货物共计64吨。其中，大货车每车
载货10吨，小货车每车载货4吨。假如两种车都用了，都是满载，且本次送货车总
数超过10辆，则使用了大货车（ ）辆。
A. 2 B. 4
C. 6 D. 7
【例4】（2015联考）地质研究所组织了5支分队到山区收集矿石标本，每支分
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事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 114 2020-11-27 16:37:17第三篇 数量关系与资料分析
队人数均为个位数且各不相同。其中甲、乙、丙三队共有15人，乙、丙、丁三队共
有13人。已知戊队有6人。甲队人数最多，剩下的3支分队只有一支人数多于戊队。
问丁队有几人？（ ）
A. 8 B. 7
C. 4 D. 3
第二节 数字特性法
【例1】（2017成都）以下能同时被125和9整除的数是（ ）。
A. 120375 B. 999125
C. 1827525 D. 1023525
【例2】（2018潍坊）公司员工进行分组活动，要求每组人数相同，若每组33人，
则多出1 人未分进组，若少分一组，则恰好每组人数一样多，已知每组人数最多只能
43 人，则该公司员工总人数是（ ）。
A. 1155 B. 1156
C. 1157 D. 1158
【例3】（2016粤东西北）施工队需要运送一批沙子和钢筋。如果使用甲车，每次
可装载60袋沙子和20捆钢筋，钢筋刚好运完时，还剩40袋沙子；如果使用乙车，
每次可装载80袋沙子和10捆钢筋，沙子刚好运完时，还剩20捆钢筋。施工队共需
运送沙子（ ）袋。
A. 40 B. 80
C. 160 D. 320
【例4】（2019无锡）某公司从120名职工中选出部分代表参加歌咏比赛，最终由
男职工的20%和女职工的12.5%组成代表队，则代表队中男职工或女职工的人数不
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事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 115 2020-11-27 16:37:17第一部分 职业能力倾向测验
可能是（ ）。
A. 5 B. 6
C. 10 D. 16
【例5】（2017广东国税）某单位有三个处室，一处与二处的人数比是5∶4，二处
与三处的人数比是3∶2，三处比二处的人数少8人，则这三个处室的总人数是（ ）。
A. 50 B. 60
C. 70 D. 80
【例6】（2020公务员）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外三个人
1 1
总和的一半，乙带的钱是另外三个人的 ，丙带的钱是另外三个人的 ，丁带了91元，
3 4
他们一共带了（ ）元。
A. 364 B. 380
C. 420 D. 495
【例7】（2018福建）甲、乙两个派出所某月共受理案件180起，其中刑事案件
33起。甲派出所受理的案件中刑事案件占17%，乙派出所受理的案件中刑事案件占
20%，问乙派出所受理的非刑事案件是多少起？（ ）
A. 16 B. 32
C. 64 D. 80
第三节 方程法
【例1】（2019成都）去年光明中学的学生比涌泉中学学生的2倍多54人，今年
光明中学增加了20人，涌泉中学减少了8人，则光明中学的学生比涌泉中学的学生
的4倍少26人。去年光明中学比涌泉中学的学生多（ ）人。
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A. 115 B. 120
C. 130 D. 125
【例2】（2019联考）某单位购买A和B两种耗材，单价分别为50元/件和70元/件，
共花费710元，且所购耗材中A的件数占比不到一半。问该单位共购买A、B耗材多
少件？（ ）
A. 11 B. 12
C. 13 D. 14
【例3】（2018 联考）建筑公司租用吊车和叉车各若干辆，每日租金为10 万元。
已知吊车和叉车的日租金分别为1 万元和1500 元，问建筑公司最多租用了多少辆
吊车？（ ）
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【例4】（2018天津）某单位共有100人为灾区儿童进行捐款，捐款结束后统计数
额，捐款总额为19000元，其中一般员工平均捐款100元，中层员工平均捐款500元，
高层员工平均捐款2000元，则该单位中层员工的人数为（ ）。
A. 38 B. 35
C. 13 D. 10
【例5】（2018合肥）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲一件、乙三件、丙七件共
需200元；若购买甲两件、乙五件、丙十一件共需350元。则购买甲、乙、丙各一件
共需（ ）元。
A. 80 B. 100
C. 250 D. 200
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第四节 工程问题
一、给完工时间型
【例1】（2019深圳辅警）小志12分钟可以打扫完一间教室，小红需要15分钟才
能打扫完。现在两人同时开始打扫教室，小红中途因故离开，小志又单独打扫了3分
钟才完成，小志共打扫了（ ）分钟。
A. 6 B. 7
C. 8 D. 9
【例2】（2017联考）单独完成某项工程，甲队需要36天，乙队需要30天，丙队
需要32天。如果安排合作施工，按照甲乙、乙丙、丙甲、甲乙……的顺序按天轮转，
问完成这项工作时，甲工作了多少天？（ ）
A. 11天整 B. 11天多
C. 12天整 D. 12天多
二、给效率比例型
【例3】（2017临汾）甲、乙、丙三个施工队共同完成一项工程需要6 天时间，如
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事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 118 2020-11-27 16:37:17第三篇 数量关系与资料分析
果甲与乙的效率之比为4 ∶ 3，乙与丙的效率之比为2 ∶ 1，则乙单独完成这项工程
需要（ ）天。
A. 12 B. 17
C. 24 D. 32
【例4】（2019联考）一项工程，乙队单独完成所花的时间是甲队的1.5倍。若甲
队单独做20天后，两队合做还需要60天刚好完成；若甲队单独做x天后，由乙队单
独再做y天也刚好完成。则下列关系正确的是（ ）。
A. 2y=3x B. 3x=4y
C. x=120–2y D. y=180–1.5x
【例5】（2017辛集）某中学要修缮操场，工程队8个人用30天完成了工作量
1
的 ，接着又增加了4个人一起完成剩余的工作量，那么完成操场修缮共用了多
3
少天？（ ）
A. 70 B. 72
C. 78 D. 90
三、给具体单位型
【例6】（2018联考）甲、乙两名工匠共同完成600件礼品包装，甲每天比乙多完
成10件，第4天乙因病请假一天，最终共用了9整天完成了全部工作。问甲、乙两
人共同工作一天能完成多少件礼品包装？（ ）
A. 64 B. 70
C. 72 D. 80
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第五节 行程问题
一、基础行程
【例1】（2019长江海事）甲、乙两人每日一起晨跑，甲每天比乙多跑200米。某
2
年11月1—12日甲出差未晨跑，当月甲晨跑的总距离刚好是乙的 ，问11月乙晨跑
3
的总距离为多少千米？（ ）
A. 48 B. 51
C. 54 D. 57
【例2】（2018联考）运输工人将装满原材料的推车从库房推往厂房，并将空车推
回库房。推车装满原材料和空车时，工人推车行走的速度分别为72米/分和120米/
分，不计装卸材料的时间，累计8小时正好可以推车30个来回。问库房到厂房的距
离为多少米？（ ）
A. 480 B. 540
C. 720 D. 900
二、相对行程
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【例3】（2019宜兴）甲、乙两辆汽车从A地出发，同向而行，甲每小时走45千
米，乙每小时走60千米。若甲车比乙车早出发2小时，则乙车追上甲车需要（ ）。
A. 6小时 B. 7小时
C. 8小时 D. 9小时
【例4】（2016联考）汽车以每小时54千米的速度笔直地开向峭壁，驾驶员按一
声喇叭，6秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，问听到回声时，汽车离峭
壁的距离是多少米？（ ）
A. 975 B. 1020
C. 1065 D. 1155
【例5】（2017汕尾）小李和小麦两人从同一起跑线上绕400米环形跑道跑步，
小李的速度是8米/秒，小麦的速度是6米/秒，问第二次追上小麦时小李跑了
几圈？（ ）
A. 10 B. 8
C. 6 D. 4
【例6】（2019江阴）甲、乙两名运动员在长100米的跑道上练习跑步，甲的速度
是8.5m/s，乙的速度是7.5m/s。两人同时从跑道的两端相向运动做折返跑，不计运动
员加速时间及转向时间，则起跑后的1分钟内，两人一共相遇了（ ）次。
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【例7】（2017天津）一小船顺流而下航行36公里到达目的地。已知小船返回时多
用了1小时30分钟，小船在静水中速度为10公里/时，问水流速度是多少？（ ）
A. 8公里/时 B. 6公里/时
C. 4公里/时 D. 2公里/时
三、比例行程
121
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【例8】（2019河北）甲、乙、丙三人都始终以匀速进行400米赛跑，当甲冲过终
点时，领先乙50米，领先丙120米。当乙到达终点时，领先丙多少米？（ ）
A. 40米 B. 70米
C. 80米 D. 90米
第六节 经济利润问题
一、基础经济
【例1】（2018昌吉）某商品按规定出售，每件可获得利润30元，如果按规定的
8折售出10件，与按定价每个减20元出售14件所获得的利润一样多，这种商品每
件进价为（ ）元。
A. 80 B. 60
C. 50 D. 40
【例2】（2019福建）甲商品的成本比乙商品少100元，将甲、乙商品分别按30%
和20%的利润定价。后来又都按定价的9折出售，共获利40元。那么乙商品的成本
是多少元？（ ）
A. 205 B. 228
C. 270 D. 280
【例3】（2017临汾）某商店购进一批土豆，以高于进价10% 的定价出售，在售
2
出 后，以定价的8 折将剩下的土豆全部售出，该商店预计盈利为成本的（ ）。
3
A. 3.2% B. 不赚也不亏
C. 1.6% D. 2.7%
【例4】（2018成都）某工厂进行改革，今年产品出厂价与去年相比增加5%，产
122
事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 122 2020-11-27 16:37:18第三篇 数量关系与资料分析
品成本价与去年相比降低10%，产品利润率是去年的两倍，那么该企业今年的利润率
为（ ）。
A. 60% B. 20%
C. 40% D. 80%
二、分段计费
【例5】（2017阳泉）某市根据用电情况实行阶梯电价，当月用电量在100度之
内（包括100度），按0.48元/度收取；用电量超过100度，超出部分每度电价上涨
10%；用电量超过200度，超出部分每度电在原价基础上提价0.2元。若该市某居民
当月交电费121.2元，请问当月该居民用了多少度电？（ ）
A. 230 B. 232
C. 250 D. 261
三、函数最值
【例6】（2019深圳辅警）某玩具厂生产一种玩具，每件的成本是144元，售价是
200元。某经销商订购了该玩具120件，并提出：如果售价每降低2元，就多订购6
件。按经销商的要求，该玩具厂售出（ ）件时可以获得最大利润。
A. 144 B. 120
C. 150 D. 138
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第七节 排列组合与概率
一、排列组合
【例1】（2017广东国税）一个书柜共六层。小张计划选择相邻的两层，一层放哲
学书，一层放历史书，则他可选择的放法有（ ）种。
A. 3 B. 6
C. 10 D. 15
【例2】（2017联考）某车间有50名工人装配零件，男工每人装配4个，女工每
人装配2个，最终男工装配的零件数比女工多20个。车间准备从男工和女工中各任
意选择1名参加技能比赛，问共有多少种不同的组合？（ ）
A. 400 B. 500
C. 600 D. 800
【例3】（2018军队文职）从19、20、21、…、98、99这81个数中选取两个不同
的数，使其和为偶数的选法有（ ）种。
A. 1620 B. 1580
C. 1540 D. 1600
【例4】（2016深圳）在从O点出发的两条射线上各取4个不同的点，连同O点
一共9个点，以此9个点为顶点最多可以构成（ ）个三角形。
A. 64 B. 40
C. 84 D. 72
【例5】（2019公务员）某场科技论坛有5G、人工智能、区块链、大数据和云计
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事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 124 2020-11-27 16:37:18第三篇 数量关系与资料分析
算5个主题，每个主题有2位发言嘉宾。如果要求每个主题的嘉宾发言次序必须相邻，
问共有多少种不同的发言次序？（ ）
A. 120 B. 240
C. 1200 D. 3840
【例6】（2018浙江）某地组织9名政协委员负责调研农民工子弟小学教学情况。
调研结束合影前有3名委员因紧急工作已经离开，学校决定安排3名小学生代表与委
员一起坐在前排。现要求每位小学生的两边都坐着政协委员，一共有（ ）种不同
的方式。
A. 7200 B. 29600
C. 43200 D. 362880
二、概率
【例7】（2019深圳）某项目由甲、乙二人竞标，以所报单价高者胜，甲从10元，
11元，12元，13元，16元，17元六个单价中随机选择一个作为合作价，乙从13元，
14元，15元中随机选取一个作为报价，则乙中标的概率为（ ）。
7 11
A. B.
18 18
2 5
C. D.
3 6
【例8】（2019联考）某单位派甲、乙两名选手组队参加乒乓球比赛，其中甲每场
比赛均有40%的可能性获胜，乙每场比赛均有70%的可能性获胜。现安排甲参加1
场比赛，乙参加2场比赛，总计获胜2场及以上即可出线。问该单位代表队出线的概
率为（ ）。
A. 48.8% B. 56.4%
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C. 61.4% D. 65.8%
【例9】（2019桂林）小王开车上班需要经过4个交通路口，假设经过每个路口遇
到红灯的概率分别是0.1，0.2，0.25，0.4，他上班经过的4个路口至少有一处遇到绿
灯的概率是多少？（ ）
A. 0.899 B. 0.988
C. 0.989 D. 0.998
第八节 最值问题
一、构造数列
【例1】（2018新疆兵团）某公司为5名员工发共计3000元奖金，已知每名员
工的奖金数额均为整数且各不相同，那么获得奖金数额最多的员工至少可以得到多
少钱？（ ）
A. 605 B. 602
C. 1510 D. 2990
【例2】（2020公务员）从某物流园区开出6辆货车，这6辆货车的平均装货量为
62吨。已知每辆货车载重量各不相同且均为整数，最重的装载了71吨，最轻的装载
了54吨。问这6辆货车中装货第三重的卡车最少要装多少吨？（ ）
A. 59 B. 60
C. 61 D. 62
【例3】（2019宿迁）10个箱子总重100公斤，且重量排在前三位的箱子总重不超
过重量排在后三位的箱子总重的1.5倍，问最重的箱子重量最多是多少公斤？（ ）
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200 500
A. B.
11 23
C. 20 D. 25
二、最不利构造
【例4】（2018台州）某盒子内装50只球，其中10只是红球，10只是绿球，10
只是黄球，10只是蓝球，6只是白球，4只是黑球。为了确保取出的球中至少包含7
只同色的球，则最少必须从袋中取出多少只球？（ ）
A. 32 B. 33
C. 34 D. 35
【例5】（2018长沙）某班级设立了数学、物理、化学、生物4个学习兴趣小组，
要求每位同学参加其中1个或参加其中2个小组，无论如何安排，都有至少4名同学
参加的兴趣小组完全相同，则该班级至少有（ ）名同学。
A. 31 B. 37
C. 43 D. 45
【例6】（2015联考）某公司有38名男员工、27名女员工。现要参加集团组织的
羽毛球比赛，如采取自由报名的形式，至少有多少名员工报名才能保证一定能从报名
者中选出男、女选手各8名参赛？（ ）
A. 65 B. 46
C. 35 D. 16
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第九节 容斥原理问题
3 4
【例1】（2019福建）在一批旅客中，有 的人懂法语，有 的人懂英语，两种语
4 5
13
言都懂的占 ，另有10人这两种语言都不懂。那么这批旅客共有多少人？（ ）
20
A. 60 B. 80
C. 100 D. 120
【例2】（2015联考）31个学生参加体育课期末考评，学生可以从铅球、100米短
跑和跳远三个项目中任选至多两个项目。参加铅球、100米短跑和跳远的人数分别是
15人、22人、20人，其中铅球和100米短跑都参加的有9人，铅球和跳远都参加的
有6人，则100米短跑和跳远都参加的有几人？（ ）
A. 10 B. 12
C. 15 D. 11
【例3】（2017大连）100位医务人员中，有75人懂法语，83人懂英语，65人
懂日语，懂三种语言的有50人，三种语言都不懂的有10人，那么懂两种语言的有
（ ）人。
A. 88 B. 86
C. 38 D. 33
E. 90
【例4】（2017河北）某班开展甲、乙、丙三项课外兴趣活动，有46名同学参加，
其中甲、乙两个课外兴趣活动的报名人数分别是22人、16人，且知只报两项的有17
人，那么报丙项活动的最少有多少人？（ ）
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A. 23 B. 25
C. 27 D. 29
【例5】（2016江西法检）某单位派出80名职工参加三个项目的比赛：篮球、乒
乓球、排球。其中有8个人只能参加乒乓球比赛，有52人能参加篮球比赛，62人能
参加排球比赛。那么既能参加篮球比赛又能参加排球比赛的有多少人？（ ）
A. 42 B. 28
C. 78 D. 34
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事业单位考试·职业能力倾向测验与综合应用能力系统讲义（综合管理A类）.indb 129 2020-11-27 16:37:18理论攻坚-数学运算 1（本节课笔记）
【注意】数量关系：
1.三大方法（奠定数学部分的基础，考查相对灵活，会单独考查，也会为六
大题型奠定基础，后边做到具体题型时可能会用到）：代入排除法、数字特性法、
方程法。
2.六大题型：高频题型。
（1）工程问题、行程问题。
（2）经济利润、排列组合与概率。
（3）最值问题、容斥问题。
第一节 代入排除法
【注意】代入排除法（三大方法中最好理解的方法）：把选项代入题干，验
证是否符合题目所有的条件，如果符合所有条件，就是答案；如果不符合题目条
件，就排除。有同学认为：所有题目都是选择题，基础不好，验证是否符合条件
即可，想法很美好，但有些题目不适用代入排除法。
1.适用范围：什么时候用。
2.方法技巧：4个选项最少代入一次，最多代入三次，结合一定的方法和技
巧，可以减少代入的过程。
【知识点】代入排除法：适用范围——什么时候用？
1.特定题型：年龄、余数、多位数、不定方程。
2.选项信息充分：选项为一组数。
3.其他：条件多，题意乱。
【知识点】特定题型：
1.特定题型：年龄、余数、多位数、不定方程。
（1）年龄：涉及到年龄的问题。如：出现某某今年多少岁，优先考虑代入
排除。
1（2）余数：出现“余”。
例：一个数，除以7余3，除以 8余2，问这个数可能是多少？
A.68 B.67
C.66 D.65
答：题干出现余多少，判定题型为余数问题，列方程也不好列，有选项考虑
代入排除进行验证。“除以7余 3，除以8余2”，A项：68/7，商 9，余5，错误，
排除；B 项：67/7，商 9，余 4，错误，排除；C 项：66/7，商 9，余 3，满足第
一个条件，再验证第二个条件，66/8，商8，余2，满足题目所有的条件，正确，
当选。假设验证到C项依然不满足条件时，无需再验证 D项，共 4个选项排除了
3个选项，选择剩余的选项即可。
（3）多位数：出现位数的变化。只有一位不是多位数，大于等于两位才是
多位数，题干中还要出现位数的变化。
例：一个三位数，十位和个位对调，比原来大 9，问这个数可能是多少？
A.121 B.123
C.125 D.127
答：三位数（≥2位）是多位数，十位和个位对调，出现位数变化，多位数
问题，考虑代入排除法。A 项：如果把十位和个位对调，变为 112，比 121 小，
排除；B 项：十位和个位对调，变为 132，比 123 大 9，符合题干所有条件，当
选。C、D项无需验证。
（4）不定方程：未知数个数多于方程个数。是一种特殊的方程，在没有其
他条件情况下，无法精确求解，可以用奇偶特性、倍数特性、尾数法、代入排除
法求解。
例：3x+2y=10，求：x、y 的值
A.3、2 B.2、2
C.2、1 D.1、2
答：设了两个未知数（x、y），只有一个等式方程，没有其他条件，考虑代
入排除。A 项：3*3+2*2=9+4=13≠10，错误，排除；B 项：3*2+2*2=6+4=10，符
合等式关系，B项当选。
2.选项信息充分：选项为一组数（只有一个数不是一组，一组数指的是选项
2中的数≥2个）。
例：甲乙共有 100个，……，问甲、乙分别为：
（1）甲、乙分别为：
A.90，10 B.85，15
C.80，20 D.75，25
答：A、B、C、D项都存在 2 个数，即选项为一组数，考虑代入排除法，只需
要把选项代入验证是否满足题干条件，如果符合，当选；如果不符合，排除。
3.其他：
（1）条件多，题意乱：分开看可以理解题意，放在一起会出现乱糟糟的感
觉。
（2）如果题意都读不懂，不易列方程，此时就考虑将选项代入，看是否符
合题干所有条件，如果符合，当选；不符合，排除。
（3）如果列出方程，但是方程不好求解（如分数方程），此时可以代入选项
验证。
【注意】代入排除法：方法技巧——怎么用？
1.第一步：先排除，奇偶特性（已知两个数加和为奇数，这两个数必定一奇
一偶，排除选项中都为奇数或都为偶数的选项）、倍数特性（发现所求为 3 的倍
数，选项中有 2 个选项不是 3 的倍数，可以进行排除）、尾数法（涉及加法、减
法、乘法时可以确立尾数法，如果尾数不能成立，即可排除）。
2.第二步：再代入，最值（问最大：从最大数字开始代入；问最小：从最小
数字开始代入）、好算（一般值：较小的数字要比大数字好算，整十、整百、整
千比非整数好算，如786与800，786没有特点，不好计算，800更好算）。
例：一个两位数，除以7 余 3，除以8余2，问这个两位数最大是多少？
答：对于余数问题，优先考虑代入排除法。问“最大”，从大数字开始代入，
最大的是 67，67/7，商9，余 4，排除 C项；再代入第二大的 D项：66/7，商9，
余 3，符合，66/8，商 8，余 2，满足所有的条件，D 项当选。如果求最大的数，
可能较小的数也满足，如果 A 项依次代入，发现10/7，商1，余 3；10/8，商 1，
余 2，B 项也满足，此时就可能掉入了出题人的坑中，问最大，要从最大的选项
3代入。
【例 1】（2017 沧州）某公司五部门的总人数是一个三位数，将此三位数个
位数与百位数字对调，得到新的三位数与原三位数之和为 787。则该公司实际人
数为（ ）。
A.187 B.344
C.225 D.940
【解析】例1.出现“三位数”，满足大于等于两位数，已知“个位与十位对
调”，出现位数变化，属于多位数问题，优先考虑代入排除法，求一般值，按部
就班代入即可。A 项：个位和百位对调后为 781，相加：187+781，尾 7+尾 1=尾
8，不可能是787，排除；B项：个位和百位对调后为443，相加：344+443=787，
既满足三位数又满足个位与百位对调后加和为 787，满足题干所有条件，当选。
【选B】
【例 2】（2019 成都）小张和小刘年龄不相同，已知小张像小刘那么大的时
候，小刘23岁，小刘像小张那么大的时候，小张 32岁。今年小张和小刘的年龄
分别是（ ）岁？
A.30，24 B.29，26
C.34，25 D.33，24
【解析】例2.“小张和小刘年龄不相同”，年龄问题。选项为一组数，选项
信息充分，无论是通过特定题型年龄问题还是根据选项为一组数，都可以考虑代
入排除法。A项：假设小张30 岁，小刘24岁，此时年龄差为 6岁，小张像小刘
那么大的时候：小张 24 岁，小刘 23 岁，此时年龄差为 1 岁，两人年龄差变化，
不符合年龄差不变的条件，排除；B项：小张29岁，小刘26岁，年龄差为 3岁；
当小张像小刘那么大的时候，小张为 26岁，小刘23岁，此时年龄差为 3岁，年
龄差没有发生改变，小刘像小张那么大时：小刘29岁，小张 32岁，此时年龄差
也为3岁，年龄差也没有发生改变，符合年龄差自始至终不变，满足题干所有条
件，当选。【选 B】
4【注意】年龄问题：
1.两人年龄差不变：假设姐弟两个人，姐姐比弟弟大2岁，从弟弟出生那天
起，姐姐就比弟弟大 2 岁，无论是儿童还是成年人，亦或是成为老爷爷老奶奶，
年龄差都是 2岁。
2.过几年长几岁：有的同学今年 18岁，过5年即18+5=23 岁。
【例 3】（2018宁德）用大、小两种货车运送货物共计 64 吨。其中，大货车
每车载货 10 吨，小货车每车载货 4 吨。假如两种车都用了，都是满载，且本次
送货车总数超过 10辆，则使用了大货车（ ）辆。
A.2 B.4
C.6 D.7
【解析】例 3.不是年龄问题，不是多位数、余数问题，看不出来题型，选项
都是一位数，考虑列方程求解。设大货车为 x 辆，小货车为 y 辆，10x+4y=64，
两个未知数一个方程，属于不定方程，可以用代入排除法，“本次送货车总数超
过10辆”，即x+y＞10，数字越小越好计算，代入A项：x=2，10*2+4y=64，可得
y=11，又已知 x+y=2+11=13＞10，满足题目所有的条件，正确，当选。【选 A】
【注意】超过10辆即＞10，若等于10时，是≥10（此时包含 10），＞10 不
包含10 在内。
【例 4】（2015 联考）地质研究所组织了 5 支分队到山区收集矿石标本，每
支分队人数均为个位数且各不相同。其中甲、乙、丙三队共有 15 人，乙、丙、
5丁三队共有 13 人。已知戊队有 6 人。甲队人数最多，剩下的 3 支分队只有一支
人数多于戊队。问丁队有几人？（ ）
A.8 B.7
C.4 D.3
【解析】例 4.读完题目，发现题干很长，问丁队有几人，题干存在 5 个条
件，属于条件多，当条件放在一起时，发现比较乱，属于条件多，题意乱，考虑
代入排除进行验证。A项：丁=8，戊=6，“乙、丙、丁三队共有 13人”，乙+丙+丁
=13，乙+丙=5；“其中甲、乙、丙三队共有 15人”，甲+乙+丙=15，甲=10，“每支
分队人数均为个位数且各不相同”，即个位数只有1～9，由于是人数，不能包含
0，5 支分队，如果=0，说明有 1 支分队就不存在了，甲=10，不在 1～9 的范围
内，排除；B项：丁=7，乙+丙+丁=13，乙+丙=6，甲+乙+丙=15，甲=9，满足个位
数要求，乙+丙=6，而甲=9，丁=7，戊=6，说明乙、丙均小于6，满足“甲队人数
最多，剩下的 3支分队只有一支（丁）人数多于戊队”的条件，当选。【选 B】
【注意】代入排除法：
1.适用范围：
（1）特定题型：年龄、余数、多位数、不定方程。
（2）选项信息充分：选项为一组数；选项可转化为一组数。
（3）其他：条件多，题意乱。
2.方法技巧：
（1）先排除：尾数、奇偶、倍数。
（2）再代入：最值、好算。
第二节 数字特性
6【注意】数字特性法：主要掌握倍数特性法（整数与整数之间的倍数关系，
如 15/3=5，3 和 5 都是整数，15 能被 3 整除，15 也能被 5 整除；15/2=7……1，
有余数，此时就不能叫做整数，15/2=7.5，尽管可以除尽，但 7.5不是整数，15
不能被 2整除）。
1.整除型：奠定整个部分的基础，考查较少。
2.余数型。
3.比例型。
【知识点】整除型：
1.如果，A=B*C，（B、C 均为整数），那么，A 能被B整除，且 A能被C整除；
或者A是 B的倍数，且A是C 的倍数。例如：12=3*4，3和4 均为整数，12可以
被3整除，且12可以被4整除，或者12是3的倍数，且12 是4的倍数。
例：一堆苹果平均每人分 12 个，恰好可以分完，……则苹果有多少个？
A.110 B.120
C.130 D.140
答：根据已知条件，“一堆苹果平均每人分 12个”，苹果数=12*人数，12和
人数均为整数，则苹果的个数一定是 12的倍数，四个选项中，只有 B项为12的
倍数，当选。
2.整除判定法则：快速判断一个数是否能被另一个数整除。
（1）常见数：口诀法（有口诀用口诀）。
①2/5 看末1位：判断365是否可以被2/5整除，只要看末一位（从后往前
数第一位）数字 5，5 不能被 2 整除，则 365 不能被 2 整除；5 可以被 5 整除，
则365可以被 5整除。
②4/25 看末2位：判断54375是否能被4/25整除，无需除完再判断，只需
要看剩余的末两位（从后往前数 2位），75不能被4整除，则 54375不能被4整
除，75/25=3，75能被25整除，则54375能被25整除。
③8/125 看末 3 位（从后往前数 3 位）：判断 54375 是否能被 8/125 整除，
375不能被 8整除，则54375不能被 8整除；375/125=3，375 能被125整除，则
54375能被 125整除。
7④3/9 看各位数字之和（消 3/9的倍数）：
a.例如：判断54375是否可以被 3/9整除，各位数字之和为 5+4+3+7+5=24，
24 可以被 3 整除，则 54375 可以被 3 整除；24 不能被 9 整除，则 54375 不能被
9整除。
b.例如：如果选项给出4 个五位数，加和进行判断也是比较浪费时间的。可
以考虑消掉 3的倍数进行判断，54375中，3是3的倍数，消除，5+4=9，是3的
倍数，消掉5和4，剩余5和7，5+7=12，12能被3整除，则54375能被3整除。
判断54375 能否被9整除：5+4=9，9是9的倍数，能被9整除，消掉 5和4，剩
余3、7、5，3+7+5=15，15不能被 9整除，则54375不能被9 整除。
（2）复杂倍数用因式分解：tips：注意分解后的 2 个数必须互质（互质即
除了“1”没有公约数）。
①例如：6=2*3，一个数既能被 2 整除，又能被 3 整除，则这个数可以被 6
整除；12=2*6，一个数既能被2 整除又能被6整除，则这个数不一定被12整除，
18 能被 2 整除，也能被 6 整除，但 18/12=1.5（小数），18 不能被 12 整除，因
式分解后的两个数必须互质（除了 1 以外没有公约数），2 和 3 除了 1 以外没有
公约数，2 和 6 除了 1 以外还有公约数 2。12=3*4，则一个数既能被 3 整除，又
能被4整除，则这个数一定能被 12整除。
（3）通用：拆分法。（要验证是否是 m的倍数，只需拆分成 m的若干倍±小
数字n，若小数字 n也能被m整除，原数即能被 m整除）。
①例：273 能否被 13 整除，13 没有口诀，又不能因式分解，则找距离 273
较近的 13 的整数倍，273=260+13，260 是 13 的倍数，13 也是 13 的倍数，所以
273是13的的整数倍。
②判断 348是否可以被12 整除，找距离348较近的12的整数倍，348=360-
12，360 是12的整数倍，12是 12的整数倍，则348能被12 整除。
【例 1】（2017成都）以下能同时被 125和9整除的数是（ ）。
A.120375 B.999125
C.1827525 D.1023525
【解析】例 1.出现“整除”，利用整除思想进行判断。“同时”即两个数都需
8要满足。先判断 125 看末三位（从后往前数 3 位），A 项：375=125*3，满足；B
项：125能被125整除，符合；C、D项末三位都是525，525=375+150，375可以
被 125 整除，150 不能被 125 整除，则 C、D 项不能被 125 整除，排除 C、D 项；
判断选项是否可以被 9整除，看各位数字之和，A项：2+7=9，是9的倍数，消除
2和7，剩余1、0、3、5、9，1+0+3+5=9，能被9整除，符合题干所有条件，当
选。【选 A】
【知识点】余数型：是整除型的进一步拓展。
1.答案=ax±b，那么（答案∓b）能被a整除（a、x均为整数）。如果答案=ax+b，
则答案-b=ax，式子右边为两个数相乘，转化为整除型，答案-b为整体，答案-b
能被 a 整除；若答案=ax-b，答案+b=ax，答案+b 看作一个整体，答案+b 能被 a
整除。
2.常见形式：平均分，有剩余/缺少。
3.例 1：一堆苹果平均每人分 10个，还剩3个，则苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：出现“平均分，有剩余”，要求苹果数，苹果数=10*人数+3，苹果数-3=10*
人数，苹果数-3看成整体，苹果数-3能被10整除，苹果数-3 尾数一定为0，只
有C项-3尾数为0，C项当选。
4.例 2：一堆苹果平均每人分 10个，还缺3个，则苹果有多少个？
A.117 B.120
C.123 D.126
答：“缺 3 个”即少 3 个，求苹果数，苹果数=10*人数-3，苹果数+3=10*人
数，苹果数+3看成整体，苹果数+3能被10整除，只有A项+3符合。
【例 2】（2018 潍坊）公司员工进行分组活动，要求每组人数相同，若每组
33人，则多出1人未分进组，若少分一组，则恰好每组人数一样多，已知每组人
数最多只能 43人，则该公司员工总人数是（ ）。
A.1155 B.1156
9C.1157 D.1158
【解析】例2.“若每组33 人，则多出1人未分进组若少分一组，则恰好每
组人数一样多”，是平均分有剩余，余数型问题。总人数=33*组数+1，总数-1=33*
组数，将总数-1 看作一个整体，说明总数-1 一定是 33 的倍数，33=3*11，总数
-1既能被3整除，又能被11整除，结合选项进行验证。A项：1155-1=1154=1100+54，
B 项：1156-1=1155=1100+55，C 项：1157-1=1156=1100+56，D 项：1158-
1=1157=1100+57，A、C、D项都不能被 11整除，排除，对应 B项。【选B】
【例 3】（2016粤东西北）施工队需要运送一批沙子和钢筋。如果使用甲车，
每次可装载 60 袋沙子和 20 捆钢筋，钢筋刚好运完时，还剩 40 袋沙子；如果使
用乙车，每次可装载80袋沙子和 10捆钢筋，沙子刚好运完时，还剩 20捆钢筋。
施工队共需运送沙子（ ）袋。
A.40 B.80
C.160 D.320
【解析】例3.已知“每次可装载 60袋沙子和20捆钢筋，钢筋刚好运完时，
还剩40 袋沙子”，平均分组有剩余，通过题目当中条件判定余数型问题，使用倍
数特性解决。“如果使用甲车，每次可装载 60 袋沙子和 20 捆钢筋，钢筋刚好运
完时，还剩40袋沙子”，沙子=60*甲车次数+40①；“如果使用乙车，每次可装载
80袋沙子和 10捆钢筋，沙子刚好运完时，还剩 20捆钢筋”，沙子=80*乙车次数
②，第二个条件更好判断，沙子为 80的整数倍，排除A项；接着用第一个条件，
整理可得：沙子-40=60*甲车次数，沙子-40看作一个整体，沙子-40一定能被60
整除，发现 B 项-40=40；C 项-40=120；D 项-40=280，只有 C 项满足是 60 的倍
数，当选。【选 C】
【知识点】比例型：考查最多，这一形式出题相对比较灵活，需要掌握结论，
将比例型转化为整除型判断。
1.如果，A/B=m/n（m与n 互质，互质指的是除了1以外无公约数，m/n是最
简整数比，看到不同概念，知道指的是同一回事），分子和分子对应，分母和分
母对应，找倍数关系。
10（1）A是m的倍数。
（2）B是n的倍数。
（3）A+B是m+n的倍数。
（4）A-B是m-n的倍数。
2.已知某班：男/女=3/5，3 和5除了1以外没有公约数，3和5是最简整数
比，是互质的，分子对应分子、分母对应分母。问：
（1）男生人数是3的倍数。
（2）女生人数是5的倍数。
（3）全班人数是3+5=8的倍数。
（4）男女生人数差是（女生多、男生少，用多-少）5-3=2的倍数。
3.比例型变化形式比较灵活，掌握比例的常见形式，会判断，才知道何时运
用这一方法：后两种考查最多。
（1）男生人数与女生人数的比例是 3：5（比例），男生/女生=3/5，是最简
整数比，可以转化为倍数判断。
（2）男生人数是女生的3/5（分数），可以直接列出式子，男生=女生*3/5→
男生/女生=3/5。
（3）男生人数是女生的60%（百分数），列出等式关系，注意出现百分数时，
要进一步转化，将百分数转化为最简整数比/最简分数（分子和分母除了 1 以外
没有公约数），男生=女生*60%=女生*3/5→男生/女生=3/5。
（4）男生人数是女生的0.6 倍（倍数），出现小数倍，和刚刚的百分比一样，
将倍数转化为最简分数，男生=女生*0.6=女生*3/5→男生/女生=3/5。
4.总结：题干出现多个比例、分数、百分数、倍数，优先考虑倍数特性，有
可能运用其他方法，但优先考虑倍数特性，判断不了再用其他方法。
【例 4】（2019 无锡）某公司从 120 名职工中选出部分代表参加歌咏比赛，
最终由男职工的 20%和女职工的 12.5%组成代表队，则代表队中男职工或女职工
的人数不可能是（ ）。
A.5 B.6
C.10 D.16
11【解析】例 4.问代表队中男职工或女职工的人数不可能是多少，出现 20%、
12.5%，题目出现百分数，优先考虑倍数特性，优先原则不变，列式：代表队男
职工/男职工=20%=1/5，分子对分子，分母对分母，代表队男职工是 1 的倍数，
任何数都是 1 的倍数，无法排除；代表队女职工/女职工=12.5%=1/8，分子对分
子，分母对分母，代表队女职工是 1的倍数，无法判断，无法使用倍数特性判断。
列方程求解，设代表队男职工有 x 人，代表队女职工有 y 人，男职工有 5x 人，
女职工有 8y人，共有120名员工，列方程：5x+8y=120，两个未知数、一个方程，
属于不定方程。5 和 8 一奇一偶，可以运用奇偶特性；出现 5x，可以用尾数法；
8x、120 均是 8 的倍数（120=8*15），有公约数，可以考虑倍数特性；尾数、奇
偶、倍数都可用时，优先考虑倍数性，120是8的倍数，8y也是 8的倍数，说明
5x只能是 8的倍数，5不是8 的倍数，说明x一定是8的倍数，5x+8y=120，x可
能是8、16，x不能是24（5*24=120，女职工为0人，有 20%、12.5%，一定不是
0人），x=8，5*8+8y=120，y=10，排除C项；x=16，5*16+8y=120，y=5，排除A、
D项；问不可能，仅 B项未出现过，当选。【选 B】
【例 5】（2017 广东国税）某单位有三个处室，一处与二处的人数比是 5：
4，二处与三处的人数比是3：2，三处比二处的人数少8人，则这三个处室的总
人数是（ ）。
A.50 B.60
C.70 D.80
【解析】例 5.通过读题，先判断为何可用这一方法，出现 5：4、3：2，结
论中，当题干出现多个比例、分数、百分数、倍数时，优先考虑倍数特性，判断
要运用的方法。根据题意列式：一处/二处=5/4，一处人数是 5 的倍数，二处人
数是 4 的倍数；二处/三处=3/2，二处人数是 3 的倍数，三处人数是 2 的倍数，
求总人数，运用倍数特性，要找三处的总人数，观察题干的两组比例关系，均和
二处有关，二处人数同时为3和 4的倍数，即为12的倍数，设二处人数为 12x，
则一处人数为 15x，三处人数为 8x，总人数=15x+12x+8x=35x，与前面第一种整
除型统一起来，总人数一定是 35的倍数，仅C项是35的倍数，当选，不用关注
其他条件，无需计算 x的具体数值。【选 C】
12【例 6】（2020 公务员）甲、乙、丙、丁四人一起去踏青，甲带的钱是另外
三个人总和的一半，乙带的钱是另外三个人的 1/3，丙带的钱是另外三个人的 1/4，
丁带了 91元，他们一共带了（ ）元。
A.364 B.380
C.420 D.495
【解析】例6.“总和的一半”就是 1/2，出现1/2、1/3、1/4多个分数，优
先考虑倍数特性，问题入手，问他们一共带了多少钱，“他们”指甲、乙、丙、
丁四个人，求总和，总钱数=甲+乙+丙+丁。“甲带的钱是另外三个人总和的一半”
→乙+丙+丁=2*甲；“乙带的钱是另外三个人的 1/3”→甲+丙+丁=3*乙；“丙带的
钱是另外三个人的 1/4”→甲+乙+丁=4*丙。要求甲+乙+丙+丁，往总数靠拢，三
个式子等式两边分别加上甲、乙、丙，得到：总数=3*甲=4*乙=5*丙，总数同时
是3、4、5的倍数，转化为整除，总数同时能被 3、4、5整除，2、5看末一位，
排除 A 项；4 的倍数观察末两位，排除 D 项；只有 C 项能被 3 整除，当选。【选
C】
【注意】熟练掌握后，这一方法一定比解方程快，设三个未知数、找等量关
系、解方程，开始觉得慢，熟练后便可以做得越来越快。
【例 7】（2018 福建）甲、乙两个派出所某月共受理案件 180 起，其中刑事
案件 33 起。甲派出所受理的案件中刑事案件占 17%，乙派出所受理的案件中刑
事案件占 20%，问乙派出所受理的非刑事案件是多少起？（ ）
A.16 B.32
C.64 D.80
【解析】例 7.题目出现 17%、20%，出现百分数，根据前面给的结论，题目
出现比例、倍数、分数、百分数，优先考虑倍数特性，先有一种思维，“乙派出
所受理的案件中刑事案件占 20%”→乙刑事/乙=20%→乙非刑事/乙=1-20%=80%，
转化为最简整数比，为4/5，分子和分子对应、分母和分母对应找倍数关系，乙
派出所受理的非刑事案件一定是 4的倍数，选项均为4的倍数，无法判断；找间
13接利用的条件，“甲派出所受理的案件中刑事案件占 17%”→甲刑事/甲
=17%=17/100，分子对分子、分母对分母，则甲派出所受理的刑事案件是 17的倍
数，甲派出所受理的案件数为 100 的整数倍，甲+乙=180，则甲派出所受理的案
件数应为 100，乙派出所受理的案件数为 180-100=80，因此乙派出所受理的非刑
事案件数为 80*80%=64，对应 C项。【选C】
【注意】倍数特性法：
1.整除型：
（1）如果A=B*C，则A能被 B、C整除。
（2）前提：B、C均为整数。
2.余数型：
（1）若y=ax+b，则答案-b 能被a整除。
（2）若y=ax-b，则答案+b 能被a整除。
（3）前提：a、x均为整数。
3.比例型：
（1）若A/B=m/n，则分子对分子、分母对分母：
①A 是m的倍数，B是n的倍数。
②A±B是m±n的倍数。
（2）前提：A、B均为整数，m/n是最简整数比。
144.判定：
（1）口诀：2 和 5 看末 1 位，4 和 25 看末 2 位，8 和 125 看末 3 位，3、9
看各位数字之和。
（2）因式分解：12=3*4≠2*6，分解时必须互质。
（3）拆分：拆成两个数的和或差。
第三节 方程法
【注意】方程法：
1.常规方程（组）：通过题意可以列方程、精确求解的，大家比较熟悉，讲
得会快一点。
2.不定方程（组）：是大家相对陌生的，讲解会稍微慢一点。
【知识点】常规方程（组）：
1.设未知数：
（1）一般情况下求谁设谁：避免陷阱，用得最多，算出结果，直接去选。
（2）有些题目如果求谁设谁，计算量会比较大，因此需要掌握一些方法和
技巧：设中间量；设小不设大；按比例倍数设→减少分数计算，方便列式。
（3）例：
①甲比乙的 3倍多2，丙比乙多 5，……，甲是多少？
答：设甲为x，甲=3*乙+2→乙=（x-2）/3，丙=（x-2）/3+5，出现分数运算，
没有整数运算简单，建议设中间量，甲、丙均和乙有关，设乙为 m，则甲为3m+2，
丙为m+5，没有分数，找等量关系列方程。
②出现比例、倍数，如甲：乙：丙=2：3：5，……，甲是多少？
答：按照比例关系，设甲为 3x、乙为2x、丙为5x。按照技巧设未知数，目
的是消去分数，方便列式。
③求出的 m、x不是命题人让大家求的结果，需要进一步转化，不要掉坑。
2.列方程（组）：“共、和、总计、多/少、倍数、比例”，通过等量关系直接
列方程。
3.解方程（组）：消元（加减消元、代入消元），例，x+y=7①、2x+3y=19②，
15加减消元：①*2得2x+2y=14③，②-③得y=5、x=2；代入消元，将其中一个未知
数用另一个未知数表示，①转化为 y=7-x，代入②得 2x+3*（7-x）=19，转化为
一元一次方程，求出 y=5、x=2。
【例 1】（2019 成都）去年光明中学的学生比涌泉中学学生的 2 倍多 54 人，
今年光明中学增加了 20 人，涌泉中学减少了 8 人，则光明中学的学生比涌泉中
学的学生的 4倍少26人。去年光明中学比涌泉中学的学生多（ ）人。
A.115 B.120
C.130 D.125
【解析】例 1.不属于前面讲的代入排除的特定题型，不是年龄、多位数问
题，不符合整除型特征，没有百分数、倍数、比例，用大家最熟悉的方式，大家
以往喜欢将数学运算称为应用题，判断不了用方程法，设未知数，问去年光明中
学比涌泉中学的学生多多少人，需要将去年光明中学和涌泉中学的人数求出来，
根据设小不设大，则设去年涌泉中学有 x 名学生，去年光明中学有（2x+54）名
学生；今年光明中学有（2x+54）+20=2x+74名学生，涌泉中学有（x-8）名学生，
找等量关系，第三个条件“则光明中学的学生比涌泉中学的学生的4倍少26人”，
列式：2x+74=4*（x-8）-26，方程求解，进一步整理：2x+74=4x-58，2x=132，
x=66，选项没有 66，这一未知数并非所求，去年光明中学比涌泉中学多 2x+54-
x=x+54=66+54=120名学生，对应 B项。【选B】
【知识点】不定方程（组）：分为两类。
1.未知数必须是整数：通过生活常识、题干告知的，人数、年龄、桌椅的数
量一定是整数，考查相对较多，是考试的主流，运用四种方法——奇偶特性、倍
数特性、尾数法、代入排除法（前面举过不定方程的例子），这里重点讲解前三
种方法。
（1）奇偶：ax+by=M，先看 x、y 的系数 a、b，当系数 a、b 恰好一奇一偶
时，考虑奇偶特性。
①两数之和/差为奇数→这两数一奇一偶，如4和3一奇一偶，4+3=7，7为
奇数，4-3=1，1 为奇数；两数之和/差为偶数→这两数同奇或同偶，如 3+5=8，
168为偶数，3和5都是奇数（同奇），2+6=8，8为偶数，2和6都是偶数（同偶）；
两数之积为奇数→这两数均为奇数，如 3*5=15，15 是奇数，3 和 5 均为奇数；
两数之积为偶数→这两数至少一偶（≥1 个偶数），最少一个偶数，最多两个偶
数，如3*4=12，12为偶数，4 为偶数，满足有 1个偶数，2*6=12，2和6均为偶
数，满足至少 1个偶数。
②引例.3x+4y=25，x=？（x、y均为正整数）
A.2 B.3
C.4 D.5
答：系数 3、4 一奇一偶，优先考虑奇偶特性，两数之和为 25，25 是奇数，
两个数一奇一偶，故 3x 和 4y 必然一奇一偶。无论 y 是多少，4y 一定是偶数，
说明 3x 一定是奇数，则 x 一定是奇数，排除 A、C 项；剩二代一，代入 B 项，
x=3，3*3+4*y=25，y=4，满足 x、y均为正整数，符合题意，当选。
（2）倍数：
①ax+by=M，当a或b与M 有公因子（公约数）时，考虑倍数特性。
②引例.7x+3y=60，x为多少?（x、y均为正整数）
A.5 B.6
C.7 D.8
答：a、b、m 分别是 7、3、60，看是否有有公约数的，3、60 有公约数 3，
要求解 x，7x=60-3y=3*（20-y），故 7x 一定是 3 的倍数，只能 x 是 3 的倍数，
结合选项来看，仅 B项是3的倍数，快速选择答案。
（3）尾数：
①ax+by=M，针对特殊的数字，当a或b尾数是0或5时，出现几十或几百，
再乘以一个数，整体尾数一定是 0，5的倍数尾数为0或5，尾数少，验证、排除
时花费的时间少，考虑尾数。
②引例.7x+10y=71，x=？（x、y均为正整数）
A.1 B.3
C.2 D.4
答：无论 y 的值是多少，10y 的尾数为 0，71 尾数为 1，要让等式成立，可
以确定 7x尾数为1，只有B项符合，3*7=21。
172.未知数不一定是整数：考查较少，方法——凑系数、赋零法（重点掌握）。
【例 2】（2019 联考）某单位购买 A 和 B 两种耗材，单价分别为 50 元/件和
70元/件，共花费710元，且所购耗材中 A的件数占比不到一半。问该单位共购
买A、B 耗材多少件？（ ）
A.11 B.12
C.13 D.14
【解析】例2.无法判断题干特征，考虑方程法，设该单位购买 A、B耗材的
数量分别为 A、B，列式：50A+70B=710，“所购耗材中A的件数占比不到一半”→
A＜（A+B）/2＜B（A小于一半，可知 B多于一半），两个未知数、一个方程，为
不定方程，整理式子：5A+7B=71，5、7均为奇数，不能用奇偶特性；出现 5，运
用尾数法，5A尾数非常少，要么是 0，要么是5，两个数的加和 71尾数是1，若
5A 尾数为 0，则 7B 尾数为 1；若 5A 尾数为 5，则 7B 尾数为 6。若 7B 尾数为 1，
则B=3；若 7B尾数为6，则B=8。代入原式解方程：
（1）7B 尾数为 1，B=3，5A+7*3=71，A=10，A＞B，不满足条件 A＜（A+B）
/2＜B，排除。
（2）7B尾数为6，B=8，5A+7*8=71，A=3，A＜B，满足条件 A＜（A+B）/2＜
B，此时 A+B=11，A项当选。【选 A】
【注意】不定方程可以运用奇偶、倍数、尾数，也可以代入排除，多列一个
等式方程。
【例 3】（2018联考）建筑公司租用吊车和叉车各若干辆，每日租金为 10万
元。已知吊车和叉车的日租金分别为 1 万元和 1500 元，问建筑公司最多租用了
多少辆吊车？（ ）
A.6 B.7
C.8 D.9
【解析】例 3.通过“最多”，是求最大值，其他无法判断，优先设未知数、
列方程，设租用吊车数量为 x，租用叉车数量为 y，租金的单位既有“万元”也
18有“元”，将万元变成元是整数，反之会出现小数，大家擅长算整数，故将单价
转化为“元”。列式：10000x+1500y=10*10000，两个未知数，一个方程，是不定
方程，约分：100x+15y=1000→20x+3y=200。20 是偶数，3 是奇数，可以运用奇
偶特性，20x尾数是0，也可以用尾数法解决；20x、200 都是 20的倍数，还可以
运用倍数特性，3不能被20整除，不定方程同时可以用奇偶、尾数、倍数特性，
优先考虑倍数特性，这一情况下做题更快，20x、200 都是 20 的倍数，则 3y 是
20 的倍数，说明 y 是 20 的倍数，这两个等式的加和为 200，要让 x 尽量多，就
要让 y 尽量小，y 是 20 的倍数，y 最小是 20，代回原式：20x+3*20=200，x=7，
对应B项。【选B】
【知识点】不定方程组：
1.第一类：未知数一定是整数（主流，如三个未知数、两个方程），
aX+bY+cZ=A，aX+bY+cZ=B。
1 1 1 2 2 2
2.方法：先消元转化为不定方程，再按不定方程求解。
【例 4】（2018 天津）某单位共有 100 人为灾区儿童进行捐款，捐款结束后
统计数额，捐款总额为 19000 元，其中一般员工平均捐款 100 元，中层员工平均
捐款500 元，高层员工平均捐款 2000元，则该单位中层员工的人数为（ ）。
A.38 B.35
C.13 D.10
【解析】例4.判断不了的，优先考虑方程法，设捐款一般员工、中层员工、
高层员工的人数分别为 x、y、z，人数：x+y+z=100①，捐款额：
100x+500y+2000z=19000→x+5y+20z=190②，三个未知数、两个方程，为不定方
程组，x、y、z均为员工人数，人数一定是整数，消元转化为不定方程，消去 x：
②-①得：4y+19z=90，4 是偶数，19 是奇数，考虑奇偶特性，其他方法无法用，
两数之和为 90，90 为偶数，说明前面两数必然同奇同偶，无论 y 是什么数，4y
为奇数，故19z为偶数，z为偶数且是人数，z最少为2，4y+19*2=90，y=13，均
为整数，对应 C项。【选C】
19【知识点】不定方程组：
1.第二类：未知数不一定是整数（考得很少）。苹果可以买 5斤、5.2斤，不
一定是整数；老板定价可能是 5元/斤、4.8元/斤，价格不一定是整数，可以用
生活常识判断。
2.方法：
（1）凑系数：对于大家的要求较高，需要大家的数学基础比较好，有数字
敏感性，很快可以凑出来，数学基础好的同学可以凑系数，数学基础不好了解即
可。
（2）特值法（一般赋零）——赋零法（属于机械操作，不需要数学基础，
重点掌握）：对于未知数不一定是整数的不定方程组，可以赋其中 1 个未知数为
零。
【例 5】（2018 合肥）有甲、乙、丙三种货物，若购买甲一件、乙三件、丙
七件共需 200元；若购买甲两件、乙五件、丙十一件共需350元。则购买甲、乙、
丙各一件共需（ ）元。
A.80 B.100
C.250 D.200
【解析】例 5.不知道属于什么题型，设未知数，设甲、乙、丙的单价分别为
x、y、z，列方程：x+3y+7z=200①，2x+5y+11z=350②，三个未知数、两个方程，
为不定方程组，x、y、z为价格，根据刚刚讲的价格不一定是整数。
方法一：凑系数，②*2-①*3：x+y+z=100，对应B项。凑系数需要有数字敏
感度、数学基础。
方法二：赋零法，赋值其中一个未知数是 0，机械操作即可，赋值 z为0最
好算，z的系数最大，可以消去，赋值 z为0，代回原来的方程组，可得：x+3y=200、
2x+5y=350，为二元一次方程组，可以求解方程组，x=200-3y，代回②：2*（200-
3y）+5y=350，解得y=50，x=50，则 x+y+z=50+50+0=100，对应 B项。【选B】
【注意】原理：未知数不一定是整数的不定方程组，是初高中学习的线性方
程，有无数租解，其加和是唯一的定值，只有一个，求出任意一组解，都可以求
20出和，出现任意性，说明可以随便赋值，赋零法实际是赋值法，原则上赋值多少
都可以，赋值为1、10、99均可，赋值为 0，是因为赋值为0可以最简单地计算，
可以消掉一个数，因此运用赋零法。这里假设的 x、y、z 是价格，不一定是整数，
赋零法适用未知数不一定是整数的不定方程组，一定是整数的不能用。
【注意】方程法：
1.普通方程（组）：设 x。
（1）求谁设谁（避免陷阱）。
（2）设中间量（方便列式）。
（3）设小不设大（避免分数）。
（4）按比例倍数设。
2.不定方程：代入排除。
（1）奇偶特性：系数一奇一偶。
（2）倍数特性：系数与常数有公因子。
（3）尾数特性：系数尾数为 5或0。
（4）直接代入选项。
3.不定方程组：
（1）未知数一定是整数：消元。
（2）未知数不一定是整数的不定方程组（只有不定方程，则不能使用，确
21定好前提条件）：特值法（一般赋 0）。
【答案汇总】代入排除：1-4：BBAB
数字特性法：1-5：ABCBC；6-7：CC
方程法：1-5：BABCB
22遇见不一样的自己
Be your better self
23
