【奥数知识】枚举法(可打印!)

例1

如下图所示，已知长方形的周长为20厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能形状？哪种形状的长方形面积最大？（边长为1厘米的正方形的面积叫做1平方厘米）。

解：由于长方形的周长是20厘米，可知它的长与宽之和为10厘米。下面列举出符合这个条件的各种长方形。

（注意，正方形可以说成是长与宽相等的长方形）。

下面把5种长方形按实际尺寸大小一一画出来，见下面图（1）～（5）。

例2

如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米。问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。

解：将各种路线一一列出，可知共6条，见下图。

注意，如果题中不要求将路径一一画出，可采用如右图所示方法较为便捷。

图中交点处的数字表示到达该点的路线条数，如O点处的数字2，表示由A到O有2条不同的路径，见上图中的（1）和（2）；

又H点处的数字3的意义也如此，见上图中的（1）、（2）、（3）可知有3条路径可由A到H。

仔细观察，可发现各交点处的数字之间的关系，如O点的2等于F点和E点的数字相加之和，即1+1=2，又如，C点的6等于G点和H点的数字相加之和，即3+3=6。

例3

在10和31之间有多少个数是3的倍数？

解：由尝试法可求出答案：

3×4=12 3×5=15 3×6=18 3×7=21

3×8=24 3×9=27 3×10=30

可知满足条件的数是 12、15、18、21、24、27和30共7个。

注意，倘若问10和1000之间有多少个数是3的倍数，则用上述一一列举的方法就显得太繁琐了，此时可采用下述方法：

10÷3=3余1，可知10以内有3个数是3的倍数；

1000÷3=333余1，可知1000以内有333个数是3的倍数；

333-3=330，则知10～1000之内有330个数是3的倍数。

由上述这些例题可体会枚举法的优点和缺点及其适用范围。

例4

两个整数之积为144，差为10，求这两个数？

解：列出两个数积为144的各种情况，再寻找满足题目条件的一对出来：

1 2 3 4 6 8 9 12

144 72 48 36 24 18 16 12

可见其中差是10的两个数是8和18，这一对数即为所求。

例5

12枚硬币的总值是1元，其中只有5分和1角的两种，问每种硬币各多少个？

解：列举出两种硬币的可能搭配：

可见满足题目要求的搭配是：四个5分币，八个1角币。

例6

小虎给4个小朋友写信。由于粗心，在把信纸装入信封时都给装错了。4个好朋友收到的都是给别人的信。问小虎装错的情况共有多少种可能？

解：把4封信编号：1，2，3，4。

把小朋友编号，友1，友2，友3，友4。

并假定1号信是给友1写的，2号信是给友2写的，3号信是给友3的，4号信是给友4写的：再把各种可能的错装情况列成下表：

说明：如第一种错收情况是友1得2号信，友2得了1号信，友3得了4号信，友4得了3号信。