【奥数知识】 最值规律(可打印!)

在表面积一定的正多面体（各面为正n边形，各面角和各二面角相等的多面体）中，面数越多，体积越大。

例如

表面积为8平方厘米的正四面体S—ABC（如图1.30），它每一个面均为正三角形，每个三角形面积为2平方厘米，它的体积约是1.1697立方厘米。而表面积为8平方厘米。

长约为1.1546厘米，体积约为1.539立方厘米。显然，正方体体积大于正四面体体积。

推论：由这一体积变化规律，可推出如下结论：

在表面积相等的所有封闭体中，以球的体积为最大。

例如，表面积为8平方厘米的正四面体，体积约为1.1697立方米；表面积为8平方厘米的正六面体（正方体），体积约为1.539立方厘米；而表面积是8平方厘米的球，体积却约有2.128立方厘米。可见上面的结论是正确的。

对于两个有序数组

a1≤a2≤…≤an 及b1≤b2≤…≤bn，

则a1b1+a2b2+……+anb抇n（同序）

T≥a1b抇1+a2b抇2+……+anb抇n（乱序）≥a1b

n+a2bn-1+……+a>nb1（倒序）（其中b抇1、b抇2、……、b抇n

为b1、b2、……、bn的任意一种排列（顺序、倒序排列在外），当且仅当a1=a2=…=an，或b1=b2=…=bn时，式中等号成立。）由这一不等式可知，同序积之和为最大，倒序积之和为最小。

例题：

设有10个人各拿一只水桶，同时到一个水龙头下接水。水龙头注满第一、第二、……九、十个人的桶，分别需要1、2、3、……、9、10分钟。问：如何安排这10个人的排队顺序，可使每个人所费时间的总和尽可能少？这个总费时至少是多少分钟？

解：

设每人水桶注满时间的一个有序数组为：1，2，3，……，9，10。

打水时，等候的人数为第二个有序数组，等候时间最长的人数排前，这样组成1，2，3，……，9，10。

根据排序不等式，最小积的和为倒序，即

1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1

=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2

=（10+18+24+28+30）×2

=220（分钟）

其排队顺序应为：根据注满一桶水所需时间的多少，按从少到多的排法。