【免费下载】25-26学年同步培优讲义第2课时 两个计数原理的综合应用(教师版

第2课时　两个计数原理的综合应用

题型一

组数问题

【例1】　用0，1，2，3，4五个数字.

（1）可以排成多少个三位数字的密码？

（2）可以排成多少个三位数？

（3）可以排成多少个能被2整除的无重复数字的三位数？

解：（1）三位数字的密码，首位可以是0，数字也可以重复，每个位置都有5种排法，共有5×5×5＝5³＝125（个）.

（2）三位数的首位不能为0，但可以有重复数字，首先考虑首位的排法，除0外共有4种方法，第二、三位可以排0，因此，共有4×5×5＝100（个）.

（3）被2整除的数即偶数，末位数字可取0，2，4，因此，可以分两类，一类是末位数字是0，则有4×3＝12（种）排法；另一类是末位数字不是0，则末位有2种排法，即2或4，再排首位，因0不能在首位，所以有3种排法，十位有3种排法，因此有2×3×3＝18（种）排法.因而有12＋18＝30（种）排法.即可以排成30个能被2整除的无重复数字的三位数.

【母题探究】

（变设问）由本例中的五个数字可组成多少个无重复数字的四位奇数？

解：完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四步：第一步定个位，只能从1，3中任取一个，有2种方法；第二步定首位，从1，2，3，4中除去用过的一个，从剩下的3个中任取一个，有3种方法；第三步，第四步把剩下的包括0在内的3个数字先排百位有3种方法，再排十位有2种方法.由分步乘法计数原理知共有2×3×3×2＝36（个）.

通性通法

解决组数问题的方法

（1）对于组数问题，一般按特殊位置（一般是末位和首位）优先的方法分类或分步完成；如果正面分类较多，可采用间接法从反面求解；

（2）解决组数问题，应特别注意其限制条件，有些条件是隐藏的，要善于挖掘.组数时，要注意特殊元素、特殊位置优先的原则.

提醒数字“0”不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.

【跟踪训练】

　由0，1，2，3这四个数字，可组成多少个：

（1）无重复数字的三位数？

（2）可以有重复数字的三位数？

解：（1）0不能做百位数字，所以百位数字有3种选择，十位数字有3种选择，个位数字有2种选择，所以无重复数字的三位数共有3×3×2＝18（个）.

（2）百位数字有3种选择，十位数字有4种选择，个位数字也有4种选择.

由分步乘法计数原理知，可以有重复数字的三位数共有3×4×4＝48（个）.

题型二

抽取（分配）问题

【例2】　高三年级的三个班到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，其中工厂甲必须有班级去，每班去哪个工厂可自由选择，则不同的分配方案有（）

A.16种　B.18种

C.37种　D.48种

解析：C　法一（直接法）按甲工厂分配的班情况进行分类，共分为三类：第一类，三个班都去甲工厂，此时分配方案只有1种情况；第二类，有两个班去甲工厂，剩下的一个班去另外三个工厂，分配方案共有3×3＝9（种）；第三类，有一个班去甲工厂，另外两个班去其他三个工厂，分配方案共有3×3×3＝27（种）.综上所述，不同的分配方案有1＋9＋27＝37（种）.

法二（间接法）先计算三个班自由选择去哪个工厂的总数，再扣除甲工厂无人去的情况，即4×4×4－3×3×3＝37（种）方案.

通性通法

解决抽取（分配）问题的方法

（1）当涉及对象的数目不大时，一般选用列举法、树状图法、框图法或图表法；

（2）当涉及对象的数目很大时，一般有两种方法：①直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原理：一般地，若抽取是有顺序的，则按分步进行；若是按对象特征抽取的，则按分类进行；

②间接法：去掉限制条件，计算所有的抽取方法数，然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可.

【跟踪训练】

1.把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（）

A.18种　B.9种

C.6种　D.3种

解析：A　由于1号球不放入1号盒子，则1号球可放入2，3，4号盒子，有3种选择，则2号球有3种选择，3号球有2种选择，4号球只有1种选择.根据分步乘法计数原理可得1号球不放入1号盒子的方法有3×3×2×1＝18（种）.故选A.

2.甲、乙、丙三人各写一张贺卡，放在一起，再各取一张不是自己的贺卡，则不同取法的种数为.

答案：2

解析：不妨由甲先来取，共2种取法，而甲取到谁的将由谁在甲取后第二个来取，余下来的人，都只有了一种选择，所以不同取法共有2×1×1＝2（种）.

题型三

涂色（种植）问题

【例3】（1）将5种不同的颜色涂在如图所示的四个区域A，B，C，D中，每个区域涂一种颜色，且相邻区域所涂颜色不同，则不同的涂色方法有　180　种；

（2）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在三块不同土质的土地上，其中黄瓜必须种植，则有　18　种不同的种植方法.

解析：（1）法一可分步进行，A有5种涂法，B有4种.当A与D不同色时，D有3种涂法，C有2种涂法，共有5×4×3×2＝120（种）涂法.当A与D同色时，C有3种涂法，共有5×4×3＝60（种）.综上，不同的涂色方法有180种.

法二先排B，C，D，两两不同色，有5×4×3＝60（种）方法.再排A，A只要与B，C不同色即可，有3种涂色方法.故不同的涂色方法有60×3＝180（种）.

（2）法一（直接法）若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6（种）不同的种植方法.同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有3×2＝6（种）不同的种植方法.故不同的种植方法共有6×3＝18（种）.

法二（间接法）从4种蔬菜中选出3种，种在三块地上，有4×3×2＝24（种），其中不种黄瓜有3×2×1＝6（种），故共有24－6＝18（种）不同的种植方法.

通性通法

解决涂色（种植）问题的一般思路

（1）按区域的不同，以区域为主分步计数，用分步乘法计数原理分析；

（2）以颜色（种植作物）为主分类讨论，适用于“区域、点、线段”等问题，用分类加法计数原理分析；

（3）对于涂色问题，将空间问题平面化，转化为平面区域的涂色问题.

【跟踪训练】

1.对图中的A，B，C三个区域染色，每块区域染一种颜色，有公共边的区域不同色.现有红、黄、蓝三种不同的颜色可以选择，则不同的染色方法共有（）

A

B

C

A.22种　B.18种

C.12种　D.6种

解析：C　先给A选色，有3种方法；再给B选色，有2种方法；再给C选色，有2种方法，由分步乘法计数原理可得不同的染色方法共有3×2×2＝12（种）.故选C.

2.如图，将1个四棱锥的每个面染上1种颜色，使每两个具有公共棱的面染成不同颜色.如果只有4种颜色可使用，那么不同的染色方法有（）

A.36种B.48种C.72种D.108种

解析：C　当侧面SAB与侧面SDC同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有2种染色方法，共有4×3×2×1×2＝48（种）染色方法.当侧面SAB与侧面SDC不同色时，底面ABCD有4种染色方法，侧面SDC有3种染色方法，侧面SAD有2种染色方法，侧面SAB有1种染色方法，侧面SBC有1种染色方法，共有4×3×2×1×1＝24（种）染色方法.则不同的染色方法共有48＋24＝72（种）.

1.用1，2，3，4四个数字组成没有重复数字的三位偶数共有（）

A.6个　B.18个

C.24个　D.12个

解析：D　先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由3×2＝6种选择，根据分步乘法计数原理可得共有2×6＝12个没有重复数字的三位偶数.故选D.

2.某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左数第2个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这10个数字中选择（数字可以重复）.若某车主第1个号码（从左到右）只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他号码只想在1，3，6，9中选择，则他可选的车牌号码的所有可能情况有（）

A.180种　B.360种

C.720种　D.960种

解析：D　按照车主的要求，从左到右第1个号码有5种选法，第2个号码有3种选法，其余3个号码各有4种选法，因此共有5×3×4×4×4＝960（种）情况.

3.如图，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有　72　种.

A	B
C
D

解析：先涂A，有4种选择，则B有3种选择，而为了让C与A、B都不一样，则C有2种选择，再涂D，只要与C涂不一样的就可以，也就是D有3种，所以一共有4×3×2×3＝72（种）.

1.某乒乓球队里有6名男队员，5名女队员，从中选取男、女队员各1名组成混合双打队，则不同的组队方法的种数为（）

A.11　B.30

C.5⁶D.6⁵

解析：B　先选1名男队员，有6种方法，再选1名女队员，有5种方法，故共有6×5＝30（种）不同的组队方法.

2.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）

A.243　B.252

C.261　D.279

解析：B　0，1，2，…，9共能组成9×10×10＝900（个）三位数，其中无重复数字的三位数有9×9×8＝648（个），∴有重复数字的三位数有900－648＝252（个）.

3.把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（）

A.24种　B.4种

C.4³种　D.3⁴种

解析：C　第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法，只要把这3封信投完，就完成了这件事情.由分步乘法计数原理可得共有4³种方法，故选C.

4.用5种不同颜色给如图所示的五个圆环涂色，要求相交的两个圆环不能涂相同的颜色，共有多少种不同的涂色方案（）

A.1 140　B.1 520

C.1 400　D.1 280

解析：D　从左到右依次涂色（也可以任选一个环作为开始），第一个圆环有5种选择，第二个圆环以及后面每个圆环均有4种选择，所以共有5×4×4×4×4＝1280（种）涂色方法.故选D.

5.某班同学准备了5个节目参加班级音乐会活动.节目顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位，则在这次活动中节目顺序的编排方案种数为（）

A.8　B.10

C.12　D.15

解析：B　由题意知甲的位置影响乙的排列，所以要分两类：①甲排在第一位，丙排在最后一位，则其余3个节目共有3×2×1＝6种编排方案；②甲排在第二位，丙排在最后一位，从第三、四位中排乙，其余2个节目排在剩下的2个位置，共有2×2×1＝4种编排方案.故编排方案共有6＋4＝10种.

6.（多选）某食堂窗口供应两荤三素共5种菜，甲、乙两人每人在该窗口打2份菜，且每人至多打1份荤菜，则下列说法正确的是（）

A.甲若选1份荤菜，则有6种选法

B.乙的选菜方法数为9

C.若两人分别打菜，则总的方法数为18

D.若两人打的菜均为一荤一素且只有一份相同，则方法数为30

解析：AB　甲选一份荤菜，则有2×3＝6（种）选法，选项A正确；乙的选菜方法数为2×3＋3＝9（种），选项B正确；两人分别打菜时，总的方法数为9×9＝81（种），选项C不正确；两人所打菜只有一份相同时，若荤菜相同，则有2×3×2＝12（种）；若素菜相同，则有3×2＝6（种）.所以若两人所打菜均为一荤一素且只有一份相同时的选法数为12＋6＝18，选项D错误.

7.在如图所示的四个区域中，有5种不同的花卉可选，每个区域只能种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法共有　240　种（用数字作答）.

解析：由分步乘法计数原理得不同的种植方法共有5×4×3×4＝240种.

8.在一个三位数中，若十位数字小于个位和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如“102”“546”为“驼峰数”.由数字1，2，3，4可构成无重复数字的“驼峰数”有　8　个，其中偶数有　5　个.

解析：十位上的数为1时，有213，214，312，314，412，413，共6个，十位上的数为2时，有324，423，共2个，所以共有6＋2＝8个.偶数为214，312，314，412，324，共5个.

9.已知某超市为顾客提供四种结账方式：现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲、乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以，则甲、乙、丙、丁购物后依次结账，他们结账方式共有种.

答案：20

解析：当乙用现金结账时，此时甲和乙都用现金结账，所以丙有3种方式，丁有4种方式，共有3×4＝12（种）方式；当乙用银联卡结账时，此时甲用现金结账，丙有2种方式，丁有4种方式，共有2×4＝8（种）方式.综上，共有12＋8＝20（种）方式.

10.一植物园的参观路径如图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线共有（）

A.6种B.8种

C.36种D.48种

解析：D　如图所示，由题意知在A点可先参观区域1，也可先参观区域2或3，选定一个区域后可以按逆时针参观，也可以按顺时针参观，所以第一步可以从6个路口任选一个，有6种结果，参观完第一个区域后，选择下一步走法，有4种结果，参观完第二个区域，只剩下最后一个区域，有2种走法，根据分步乘法计数原理，共有6×4×2＝48（种）不同的参观路线.

11.（多选）6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品.已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）

A.1B.2

C.3D.4

解析：BD　设6位同学分别用a，b，c，d，e，f表示.若任意两位同学之间都进行交换，需要进行5＋4＋3＋2＋1＝15（次）交换，现只进行了13次交换，说明有2次交换没有发生，此时可能有两种情况：①由3人构成的2次交换，如a～b和a～c之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有b，c两人.②由4人构成的2次交换，如a～b和c～d之间的交换没有发生，则收到4份纪念品的有a，b，c，d四人.

12.用0，1，2，3，4，5可以组成无重复数字的四位整数有　300　个；其中比2 000大的四位偶数有　120　个.

解析：①分四步：第1步，千位数字有5种选取方法；第2步，百位数字有5种选取方法；第3步，十位数字有4种选取方法；第4步，个位数字有3种选取方法.由分步乘法计数原理知，可组成无重复数字的四位整数共5×5×4×3＝300（个）.②分为三类：第1类，末位是0的有4×4×3＝48（个）；第2类，末位是2的有3×4×3＝36（个）；第3类，末位是4的有3×4×3＝36（个）.由分类加法计数原理知，共有48＋36＋36＝120（个）.

13.如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色，共有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有　72　种（以数字作答）.

解析：①当使用4种颜色时，先着色区域1，有4种方法，剩下3种颜色涂其他4个区域，即有1种颜色涂相对的2块区域，有3×2×2＝12（种），由分步乘法计数原理得，共有4×12＝48（种）.②当使用3种颜色时，从4种颜色中选取3种，有4种方法，先着色区域1，有3种方法，剩下2种颜色涂4个区域，只能是一种颜色涂第2，4区域，另一种颜色涂第3，5区域，有2种着色方法.由分步乘法计数原理得有4×3×2＝24（种）.综上，共有48＋24＝72（种）.

14.高中学生甲到教室需要走楼梯，一步可以迈一级或两级或三级台阶.

（1）若楼梯有4级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法；

（2）若楼梯有10级台阶，则甲有多少种不同的爬楼方法.

解：（1）用1，2，3分别表示学生甲一步迈一级、两级、三级台阶，用例举法可知学生甲有1111，121，112，13，211，22，31，共7种不同的爬楼方法.

（2）设学生甲爬n级台阶有a_n种方法，考虑最后一步：若最后一步只迈一级台阶，则前n－1级台阶有a_n－1种方法；

若最后一步迈两级台阶，则前n－2级台阶有a_n－2种不同的方法；

若最后一步迈三级台阶，则前n－3级台阶有a_n－3种不同的方法，

由分类加法计数原理得：a_n＝a_n－1＋a_n－2＋a_n－3（n≥4），显然a₁＝1，a₂＝2，a₃＝4，则：a₄＝a₁＋a₂＋a₃＝7，a₅＝a₂＋a₃＋a₄＝13，a₆＝a₃＋a₄＋a₅＝24，a₇＝a₄＋a₅＋a₆＝44，a₈＝a₅＋a₆＋a₇＝81，a₉＝a₆＋a₇＋a₈＝149，a₁₀＝a₇＋a₈＋a₉＝274，

故该学生上10级台阶的楼梯有274种不同的爬楼方法.

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