数学长征中易错题解析

数学长征是一款数学闯关 App，题目从简至难，涵盖小学、中学、大学数学知识点，另有一些趣味、竞赛、知识扩展题目，目前已出到常系数线性微分方程组阶段。

在第二版本上线并清理题目时，检索出了小学阶段出错最多的题目和卡住最多的题目，为较难理解的题目开发专用小游戏以数形结合的方式辅助理解。本系列文章按小学、初中、高中阶段分别列出出错率最高的 20 题并作解析。本次先讲小学阶排名前 20 的后 5 题：

1. 冰雹猜想（197 题）
2. 谁先报的数（69 题）
3. 鸡兔同笼（174 题）
4. 一道网红题（177 题）
5. 抢数游戏（169 题）

1. 冰雹猜想（197 题）

题目：任意想一个正整数 m，如果 m 是奇数，计算 3m+1 的值，如果 m 是偶数，计算 m/2 的值，得到的数再根据奇偶做上述运算，最终将陷入一个循环，这个循环中最小的数是多少？

做错数：1285，还有 633 人卡在这一题上，如下图

没有分析过为什么会错这么多次，可能做题者多为小孩的原因，为了帮助理解，开发了演示程序嵌入题目，可输入一个数自动按以上规则计算，如下图。

关于冰雹猜想：

• 冰雹猜想（也称 3n+1 猜想）最早是由德国数学家 Lothar Collatz 于 1937 年 提出的。因此，它的国际通称是“Collatz 猜想”。

  至于它在中国常被称为“角谷猜想”，是因为后来由日本数学家 角谷静夫 将这一猜想带回到亚洲，并进行了传播。所以，角谷静夫是著名的传播者，而最初的提出者还是 Collatz。

• 计算机验证：通过计算机的强大算力，数学家们已经验证了远超人脑计算范围的数。例如，已经确认在小于 2^68（大约 3×10^20）的所有自然数中，冰雹猜想都是成立的。这意味着在这个极其庞大的数字范围内，找不到任何反例。

• 目前世界上还没有人能够完全证明它。尽管无数数学家为此付出了巨大努力，但它至今仍是数学界一个未解的难题。数学家对此猜想的新研究从未停止，几乎每年都有新的论文发表。例如，在 2023 年和 2024 年，就有学者尝试用二进制字符串、代数逆树等新方法去分析它。不过，这些研究都还没有被数学界公认为最终的证明。

2. 谁先报的数（69 题）

题目：有一本漫画书，19 个小朋友都想先看，于是他们从 A 到 S 按顺时针围成一圈，然后从某个小朋友开始按顺时针方向进行 1 到 3 报数，凡报到 3 的人就退出圈子，余下的人继续进行，直到剩下最后一人，这个小朋友就是第一个看书的人，如果最后剩下的是 C，那么是谁先报的数？

做错数：1809，还有 797 人卡在这一题上，如下图

这个题放在小学二年级阶段可能是出错数高的主要原因，解决方法是在提示里加入详细的计算过程。后期考虑将这题移到 4 年级左右。

思路：把 A 到 S 排成一排，在下面写依次写 1、2、3、1、2、3、……，划掉是 3 的字母，依次循环 1、2、3，跳过已划掉的字母，最后留下的字母就是第一个看书的。

在最后留下的字母下写上 C，因为题目中 C 是第一个看书的人，然后依次向后写字母，写到 A 下的就是第一个报数的。

解题过程：

3. 鸡兔同笼（174 题）

题目：笼子里有鸡和兔共 32 只，总共有 76 条腿，问鸡和兔各有多少只？

做错数：1996，还有 858 人卡在这一题上，如下图

解题思路：

方法 1，抬腿法。命令所有鸡和兔都抬一起只腿，此时应该有 76-32 只腿着地。再命令它们抬起一只腿来，现在应该有 76-32-32 只腿着地，此时所有的鸡都坐到地上了，兔子则用两只腿站着。

方法 2，假设法。如果鸡和兔不听话，那么假设笼子里全是鸡，在假设的情况下可以算出一共有 32 x 2 只腿，然后与题中给出的腿数相比较，看看少了多少，每少两只腿就表明有一只兔子。

为了让小孩子理解思路 1，数学长征开发了抬腿法的演示程序嵌入题目，可以调节动物总数、腿总数后计算鸡免的数量并给出计算过程，如下图。

4. 一道网红题（177 题）

题目：观察下图，想一想，桌子有多高。

做错数：3253，还有 969 人卡在这一题上。

解题思路：

方法 1：

在 172 题中学过用附号代表一个数，原题如下： 以下两题中，三角形代表一个数，四边形代表另一个数，它们分别代表多少？

△+△+△=96

4×□−12=48

本题理解“代数” 的概念，用一个符号代替未知数进行计算是人类在数学上的一大进步，人类花了近千年才有了这样的逆向转变。

那么对于这道题，我们可以设站着的猫高是 △，卧着的猫高是 □ 那么有

△+桌子高-□=120

□+桌子高-△=100

方法 2：

两图都有一个站立的猫，也都有一个卧着的猫。

将右图叠到左图上面，这时站立猫身高可以忽略：

卧猫身高+桌高+桌高-卧猫身高=100cm+120cm=220cm=桌高 ×2

桌高=220cm÷2=110cm

也可以将左图叠到右图上面，这时卧猫身高可以忽略。

两个图的叠加，相当于方法 1 中的两个方程相加。

5. 抢数游戏（169 题）

题目：两人轮流报数游戏，每次只能在对方报的数上加 11 或 22 或 33 ，谁先报到 1919 谁就胜出，第一个报数的只能报 11 、22 、33 中的一个，如果你第一个报数，应该报几才能胜出？

做错数：6370，还有 2187 人卡在这一题上，如下图

解题思路：从终点数 19 向前推理，在你报的数上加 1、2、3 都不能到 19，那么对方无论加几，你再加一次即胜出。以这个小于 19 的数为新的终点数，继续再向前推直到小于等于 3。

由于做错和卡在本题的人太多，第二版开发了一个小程序来演示抢数过程，可以设定目标数、报数范围，小学生可以将这两个数调小一些理解原理。