【2026年南方台一轮复习江苏专用教辅电子版数学提高版word讲义微专题5导数中的构造问题

微专题　5　导数中的构造问题

同形构造

例1　(1) (2024·湖北宜荆荆随恩5月联考)(多选)已知x＞y＞0，则下列不等式正确的有(　ACD　)

A. e^x－e^y＞x－y

B. ln x－ln y＞x－y

C. ln x≥1－1x

D. exy＞eyx

【解析】 设f(x)＝e^x－x(x＞0)，则f′(x)＝e^x－1＞0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)＞f(y)，即e^x－x＞e^y－y，即e^x－e^y＞x－y，A正确；令x＝e，y＝1，则ln x－ln y＝1，而x－y＝e－1＞1，所以ln x－ln y＜x－y，B不正确；设h(x)＝ln x－1＋1x(x＞0)，则h′(x)＝1x－1×2＝x－1×2，当0＜x＜1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减；当x＞1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增，则h(x)_min＝h(1)＝ln 1－1＋11＝0，即ln x≥1－1x，C正确；设g(x)＝x·e^x(x＞0)，则g′(x)＝(x＋1)e^x＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上是增函数，由x＞y＞0，得x·e^x＞y·e^y，即exy＞eyx，D正确．

(2) (2024·淮安、连云港期末)已知a＝ln 3，b＝log₂e，c＝6(2－ln 2)e2，则a，b，c的大小关系是(　C　)

A. a＜b＜cB. b＜c＜a

C. c＜a＜bD. a＜c＜b

【解析】c＝6(2－ln 2)e2＝e22e22，a＝ln 3＝3ln 33，构造函数f(x)＝ln xx.因为f′(x)＝1－ln xx2，所以当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)＝ln xx在(e，＋∞)上单调递减；当0＜x＜e时，f′(x)＞0，函数f(x)＝ln xx在(0，e)上单调递增．又e22＞3＞e，所以e22e22＜ln 33，故e22e22＜3ln 33，即a＞c.因为a＝ln 3＝3ln 33＝ln 273，b＝log₂e＝log2e33，e⁴＞(2.7)⁴＞27，e³＞(2.7)³＞16，所以ln e⁴＝4＞ln 27，log₂e³＞log₂16＝4，所以log2e33＞ln 273，即b＞a，所以c＜a＜b.

变式1　(1) 已知a，b，c∈(1，e)且a ln 5＝5ln a，b ln 4＝4ln b，c ln 3＝3ln c，则(　A　)

A. a＜b＜cB. b＜c＜a

C. b＜a＜cD. c＜a＜b

【解析】a ln 5＝5ln a⇒ln 55＝ln aa，b ln 4＝4ln b⇒ln 44＝ln bb，c ln 3＝3ln c⇒ln 33＝ln cc，故构造函数f(x)＝ln xx，x＞0.f′(x)＝1－ln xx2. 当x∈[1，e)时，f′(x)＞0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，故f(x)在[1，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，作出f(x)的图象如图所示．因为a，b，c∈(e，＋∞)，所以由图知a＜b＜c. 

(变式1(1)答)

(2) 在某次数学课上，甲、乙、丙、丁四位同学分别写下了一个命题，甲：ln 3＜3ln 2；乙：ln π＜πe)；丙：2¹²＜12；丁：3eln 2＞42.其中为真命题的是(　B　)

A. 甲和乙B. 甲和丙

C. 丙和丁D. 甲和丁

【解析】 令f(x)＝ln xx，则f′(x)＝1－ln xx2，令f′(x)＝0，得x＝e.当0＜x＜e时，f′(x)＞0，此时f(x)为增函数．当x＞e时，f′(x)＜0，此时f(x)为减函数．因为3＜2＜e，所以f(3)＜f(2)，所以＜ln 22，即ln 3\r(3)＜ln 2，即ln 3＜3ln 2，故甲正确；因为e＜π＜e，所以f(π)＞f(e)，所以＞＝12\r(e)，所以ln π＞πe)，故乙错误；2¹²＜12⇔12ln 2＜ln 12⇔ln 21＜ln 12\r(12)⇔ln 22＜⇔ln 44＜⇔f(4)＜f(12)⇔4＞12，故丙正确；3eln 2＞42⇔eln 8＞28⇔eln 8＞8⇔＞ln ee⇔f(8)＞f(e)，而8＞e，所以f(8)＜f(e)，故丁错误．

还原原函数构造

例2　(1) 已知可导函数f(x)的定义域为(－∞，0)，其导函数f′(x)满足xf′(x)＋2f(x)＞0，则不等式(x＋2 024)²·f(x＋2 024)－f(－1)＜0的解集为(　A　)

A. (－2 025，－2 024)　　　　

B. (－2 024，－2 023)

C. (－∞，－2 024)　　　　

D. (－∞，－2 023)

【解析】 令g(x)＝x²f(x)(x＜0)，则g′(x)＝x[xf′(x)＋2f(x)]＜0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，不等式(x＋2 024)²·f(x＋2 024)－f(－1)＜0可变形为(x＋2 024)²·f(x＋2 024)＜(－1)²·f(－1)，即g(x＋2 024)＜g(－1)，所以x＋2 024＞－1且x＋2 024＜0，解得－2 025＜x＜－2 024.

(2) (2024·常州期末)已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜e^x，则不等式f(x)＞xe^x的解集是(　A　)

A. (－∞，1)B. (－∞，0)　　　　

C. (0，＋∞)D. (1，＋∞)

【解析】 构造函数g(x)＝f(x)ex－x，则g′(x)＝f′(x)－f(x)ex－1，因为f′(x)－f(x)＜e^x，所以f′(x)－f(x)ex－1＜0，即g′(x)＜0，可知g(x)在R上单调递减，且g(1)＝0.由f(x)＞xe^x可得f(x)ex－x＞0，即g(x)＞g(1)，解得x＜1，所以不等式f(x)＞xe^x的解集是(－∞，1).

(3) 已知定义在\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对于任意的x∈\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))，都有f′(x)cos x＜f(x)sin x，则(　A　)

A. 2f\a\vs4\al\co1(\f(π4))＞f\a\vs4\al\co1(\f(π3))

B. 2f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＜3f\a\vs4\al\co1(\f(π4))

C. 3f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＜2f\a\vs4\al\co1(\f(π4))

D. 3f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＜f\a\vs4\al\co1(\f(π3))

【解析】 构造函数g(x)＝cos x·f(x)，则g′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x＜0在\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))上恒成立，所以g(x)在\a\vs4\al\co1(0，\f(π2))上单调递减，所以g\a\vs4\al\co1(\f(π6))＞g\a\vs4\al\co1(\f(π4))＞g\a\vs4\al\co1(\f(π3))，所以cos π6f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＞cos π4f\a\vs4\al\co1(\f(π4))＞cos π3f\a\vs4\al\co1(\f(π3))，即3)2f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＞2)2f\a\vs4\al\co1(\f(π4))＞12f\a\vs4\al\co1(\f(π3))，故2f\a\vs4\al\co1(\f(π4))＞f\a\vs4\al\co1(\f(π3))，3f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＞2f\a\vs4\al\co1(\f(π4))，3f\a\vs4\al\co1(\f(π6))＞f\a\vs4\al\co1(\f(π3)).

变式2　(1) (2024·连云港、如皋联考)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x∈R，有f′(x)－f(x)＞0，则“x＜2”是“e^xf(x＋1)＞e⁴f(2x－3)”的(　A　)

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 既不充分又不必要条件

D. 充要条件

【解析】 令g(x)＝f(x)ex，因为f′(x)－f(x)＞0，则g′(x)＝f′(x)－f(x)ex＞0，所以g(x)在R上

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