蓝以中高等代数简明教程 第四章习题一题19

因解答本题用到了第题的结论，故先证明第题。

. 考察数域上线性空间，给定上个两两不等的数，令

（记号“”表示去掉该项）。证明：为的一组基。

证

1. 因的维数为，故只需证明向量组线性无关，向量方程

只有零解即可。

1. 当时，因含有因式，故；而因为不含因式且两两不等，故有。

2. 将代入向量方程，得

因，故，本题证毕。

下面我们运用第题的结论来解答第题：

. 给定数域上个两两不等的数，又设是内任意个数。找出上次数的多项式，使

解

1. 设这个多项式为

1. 将代入上式，可得到一个个未知数个方程的非齐次线性方程组：

这个方程组的系数矩阵行列式是一个行列式，因两两不等，故，可知该方程组有解。故本题解的存在性得到证明，且知满足条件的多项式有且只有一个。

1. 实际上本题的解，可以运用法则直接解上述方程组而得到：（也可展开为个阶行列式的和），但解析式会比较复杂。而如果我们运用第题的结论，则可得到一个形式比较简单的解析解。

2. 我们已经证明本题存在解，而由第题已知为的一组基，故可将表达为

其中

1. 将代入上式，即可得

解得

1. 故本题的唯一解为