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2 0 2 5 年 全 国 教 师 资 格
理论精讲—高等代数5
主讲老师 高峰
粉笔教师教育 粉笔教师2025FENBI
P91补充
第一步：将第一列除了第一个元素以外的所有元素都化为零（以第一行为基准，
利用初等行变换3进行化简）；
注意：若第一行第一个元素为0，则可以利用初等行变换1进行对换。
第二步：以第一行第一个元素为起始画出阶梯线，判断是否符合行最简型矩阵，
若符合，则结束变换；若不符合，进入第三步。
第三步：找出不符合阶梯型的行，将这部分最左侧一列除第一个元素以外的全
部元素化为零（以最上方一行为基准，利用初等行变换3进行化简）
注意：如果有两行或者几行除了零以外其它元素对应成比例，则一定可以把其
中的一行或者几行全部化为零！
2025FENBI
第四步：再次观察，若符合，则结束；若不符合，重复上一步即可。2025FENBI2025FENBI
P911 1 2 1 0 0
𝐴ȁ𝐸 = 1 2 3 0 1 0
1 3 5 0 0 1
2025FENBI2025FENBI
P921 1 𝑟 −𝑟 1 1
2 1
A=
1 2 0 1
𝑟 −2𝑟
1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1
𝑟 −4𝑟 𝑟 +𝑟
3 1 3 2
B= 2 3 0 0 1 −2 0 1 −2
4 3 6 0 −1 2 0 0 0
2025FENBI
P92补充
1 2 3
已知𝐴 = 0 𝑡 2 ，若𝑅 𝐴 = 2，求𝑡的值
0 1 1
2025FENBI2025FENBI
P92补充
(√)方法一：行阶梯形变换
0 1 2 −1 2 0 −1 2 0 −1 2 0 −1 2 0
3 0 1 → 3 0 1 → 0 6 1 → 0 1 2 → 0 1 2
−1 2 0 0 1 2 0 1 2 0 6 1 0 0 −11
(*)方法二：方阵，求行列式的值
𝐴 , 若 𝐴 ≠ 0 ⇒ 𝑟 𝐴 = n
𝑛 0 1 2
例： 𝐴 = 3 0 1 = 11 ≠ 0
2025F−1 E2 0 NBI
⇒ 𝑟 𝐴 = 3
𝐴 , 若 𝐴 = 0 ⇒ 𝑟 𝐴 < n
，具体秩无法确定。
𝑛向量
2025FENBI2025FENBI
P932025FENBI
P932025FENBI
P932025FENBI
P931 2 3
𝐴 = 1 −1 0
1 0 −1
2025FENBI
P941 2 3
𝐴 = 1 −1 0
1 0 −1
2025FENBI
P942025FENBI
P94补充
2025FENBI补充
2025FENBI2025FENBI
P95补充
2025FENBI补充
2025FENBI1 0 0 2 1 1
0 1 0 0 3 1
0 0 1 0 0 4
2025FENBI
P951 0 0 2 1 1
0 1 0 0 3 1
0 0 1 0 0 4
2025FENBI
P951 0 0 2 1 1
0 1 0 0 3 1
0 0 1 0 0 4
2025FENBI
P951 0 0 2 1 1
0 1 0 0 3 1
0 0 1 0 0 4
2025FENBI
P95补充
(1)构造𝐴 = 𝛼 , 𝛼 , ⋯ , 𝛼 ;
1 2 𝑚
(2)对𝐴作初等行变换，化为行阶梯型𝐵 = 𝛽 , 𝛽 , ⋯ , 𝛽
1 2 𝑚
(3)在𝐵的每个台阶上取第一个非零元所在列的对应向量，构成向量组𝛼 , 𝛼 , ⋯ , 𝛼
1 2 𝑟
(4)𝛼 , 𝛼 , ⋯ , 𝛼 即为向量组𝛼 , 𝛼 , ⋯ , 𝛼 的一个极大线性无关组。
1 2 𝑟 1 2 𝑚
找一个向量组极大无关组技巧：非零行第一个非零元所在的列对应的向量
2025FENBI2025FENBI
P952025FENBI
P952025FENBI
P952025FENBI
P962025FENBI
P962025FENBI
P972025FENBI1 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 0
2025FENBI
P971 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 0
0 0 0 0
2025FENBI
P971 0 0 1
0 1 0 1
0 0 1 1
0 0 0 1
2025FENBI
P972025FENBI
P972025FENBI
P972025FENBI
P972025FENBI
P97线性方程组
2025FENBI𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 = −1
1 2 3
ቊ
2𝑥 + 𝑥 − 3𝑥 = 5
1 2 3
2025FENBI
P992025FENBI
P992025FENBI
P992025FENBI
P100𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 0
1 2 3
ቐ𝑥 + 2𝑥 = 0
2 3
𝑥 = 0
3
2025FENBI
P100𝑥 + 2𝑥 + 3𝑥 = 0
1 2 3
ቐ𝑥 + 2𝑥 = 0
2 3
2𝑥 + 4𝑥 = 0
2 3
2025FENBI
P1002025FENBI
P100𝑥 + 𝑥 = 0
1 2
2025FENBI
P101𝑥 + 𝑥 + 𝑥 = 0
1 2 3
2025FENBI
P1012025FENBI
P1012025FENBI
P1012025FENBI
P1012025FENBI
P102在 粉 笔 ，
遇 见 不 一 样 的 自 己 !
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