AI聊数学:习题1-8函数的连续性与间断点4-8 同济大学《高等数学》第8版上册)

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今天继续做习题1-8，第4到第8题。这5道题难度明显提升了，涉及极限函数、连续性的传递与反例、保号性、以及两道证明题。我们开始吧！

先看第4题：讨论函数埃夫埃克斯等于当恩趋于无穷大时1减埃克斯2恩次方除以1加埃克斯2恩次方再乘以埃克斯的连续性，若有间断点则判别其类型。

这个函数是用极限定义的，得先求出极限的表达式。

对，关键是埃克斯2恩次方在恩趋于无穷大时的行为。分三种情况：第一种，当埃克斯的绝对值小于1时，埃克斯2恩次方趋于0，所以极限等于1分之1乘以埃克斯，等于埃克斯。第二种，当埃克斯的绝对值等于1时，埃克斯2恩次方等于1，分子1减1等于0，极限等于0。第三种，当埃克斯的绝对值大于1时，埃克斯2恩次方趋于无穷大，分子和分母同除以埃克斯2恩次方，得到负埃克斯2恩次方加1分之埃克斯2恩次方减1，极限等于负1，所以整体等于负埃克斯。

所以埃夫埃克斯是一个分段函数：当埃克斯的绝对值小于1时等于埃克斯，等于1时等于0，大于1时等于负埃克斯。

对，在各自区间内部都是连续的，关键看分段点埃克斯等于负1和埃克斯等于1。在埃克斯等于负1处，左极限等于负负1等于1，右极限等于负1，左右极限不相等，所以是第一类间断点，跳跃间断点。在埃克斯等于1处，左极限等于1，右极限等于负1，同样不相等，也是第一类间断点，跳跃间断点。

第5题：判断两个陈述的对错。第一个：如果埃夫埃克斯在诶连续，那么埃夫埃克斯的绝对值也在诶连续。

这个是对的。因为埃夫埃克斯的绝对值减去埃夫诶的绝对值的绝对值，小于等于埃夫埃克斯减埃夫诶的绝对值。当埃克斯趋于诶时，右边趋于0，所以左边也趋于0。也就是说，埃夫埃克斯的绝对值在诶也连续。

第二个：如果埃夫埃克斯的绝对值在诶连续，那么埃夫埃克斯也在诶连续。

这个是错的。反例：埃夫埃克斯等于1当埃克斯大于等于0时，等于负1当埃克斯小于0时。埃夫埃克斯的绝对值恒等于1，处处连续。但埃夫埃克斯本身在埃克斯等于0处，左极限等于负1，右极限等于1，不连续。

也就是说，绝对值连续是原函数连续的必要条件但不是充分条件。原函数连续能推出绝对值连续，但反过来不行。

第6题是证明题：若函数埃夫埃克斯在点埃克斯零连续且埃夫埃克斯零不等于0，则存在埃克斯零的某一邻域，当埃克斯在该邻域内时埃夫埃克斯不等于0。

这个结论叫"连续函数的保号性"——函数值不为零的话，在附近也保持同号。怎么证呢？

分两种情况。先看埃夫埃克斯零大于0的情况。因为埃夫埃克斯在埃克斯零连续，取艾普西隆等于2分之1埃夫埃克斯零大于0，存在德尔塔大于0，当埃克斯在埃克斯零的德尔塔邻域内时，埃夫埃克斯减埃夫埃克斯零的绝对值小于2分之1埃夫埃克斯零。展开就是负的2分之1埃夫埃克斯零小于埃夫埃克斯减埃夫埃克斯零小于2分之1埃夫埃克斯零，即2分之1埃夫埃克斯零小于埃夫埃克斯小于2分之3埃夫埃克斯零。因为埃夫埃克斯零大于0，所以埃夫埃克斯大于2分之1埃夫埃克斯零大于0，不为零。

那埃夫埃克斯零小于0的情况呢？

类似。取艾普西隆等于负的2分之1埃夫埃克斯零，注意这个值大于0因为埃夫埃克斯零本身小于0。同样存在德尔塔，埃夫埃克斯减埃夫埃克斯零的绝对值小于负的2分之1埃夫埃克斯零，展开得2分之3埃夫埃克斯零小于埃夫埃克斯小于2分之1埃夫埃克斯零小于0。所以埃夫埃克斯小于0，也不为零。

综合两种情况，不论埃夫埃克斯零正还是负，都能找到邻域使得埃夫埃克斯不为零。这个性质很实用——证明函数在某邻域内不变号。

第7题很有趣。设埃夫埃克斯等于埃克斯当埃克斯为有理数时，等于0当埃克斯为无理数时。证明第一，埃夫埃克斯在埃克斯等于0连续；第二，埃夫埃克斯在非零的埃克斯处都不连续。

这个函数有点像狄利克雷函数的变体。先证在埃克斯等于0连续吧。

任意艾普西隆大于0，取德尔塔等于艾普西隆。当埃克斯减0的绝对值小于德尔塔时，埃夫埃克斯的绝对值小于等于埃克斯的绝对值小于艾普西隆。因为如果埃克斯是有理数，埃夫埃克斯等于埃克斯，绝对值就是埃克斯的绝对值；如果埃克斯是无理数，埃夫埃克斯等于0，绝对值更小。所以当埃克斯趋于0时埃夫埃克斯趋于0等于埃夫0，在0处连续。

那非零点为什么不连续呢？

设埃克斯零是不等于0的任意点。如果埃克斯零是有理数，记为阿尔不等于0，那么埃夫阿尔等于阿尔。取有理数列阿尔恩趋于阿尔，和无理数列艾丝恩趋于阿尔。有理数列上埃夫阿尔恩等于阿尔恩趋于阿尔，无理数列上埃夫艾丝恩等于0趋于0。因为阿尔不等于0，两个极限不相等，所以埃夫埃克斯在阿尔处的极限不存在，不连续。

如果埃克斯零是无理数呢？

同理，埃夫艾丝等于0。但有理数列阿尔恩趋于艾丝时，埃夫阿尔恩等于阿尔恩趋于艾丝不等于0，而无理数列上埃夫艾丝恩等于0趋于0。两列极限不等，所以也不连续。

也就是说，这个函数只在埃克斯等于0处连续，其他任何点都不连续。这是一个"只在一点连续"的经典反例！

第8题：设埃夫埃克斯对任意实数埃克斯和歪，有埃夫埃克斯加歪等于埃夫埃克斯加埃夫歪，且埃夫埃克斯在埃克斯等于0处连续，证明埃夫埃克斯在全体实数上连续。

埃夫埃克斯加歪等于埃夫埃克斯加埃夫歪，这是柯西函数方程！先推导埃夫0等于什么。

令歪等于0，埃夫埃克斯加0等于埃夫埃克斯加埃夫0，所以埃夫0等于0。又因为埃夫埃克斯在0处连续，所以当德尔塔埃克斯趋于0时，埃夫德尔塔埃克斯趋于埃夫0等于0。

然后怎么证任意点埃克斯零处连续？

对任意埃克斯零，埃夫埃克斯零加德尔塔埃克斯等于埃夫埃克斯零加埃夫德尔塔埃克斯，由函数方程。当德尔塔埃克斯趋于0时，埃夫德尔塔埃克斯趋于0，所以埃夫埃克斯零加德尔塔埃克斯趋于埃夫埃克斯零加0等于埃夫埃克斯零。这就证明了埃夫埃克斯在埃克斯零处连续。

精妙！柯西函数方程把任意点的连续性问题转化为零点的连续性问题。函数方程加上零点连续，就推出全域连续。

5道题全部讲完了。总结一下：第4题是极限函数化为分段函数后判断间断点；第5题说明绝对值连续是原函数连续的必要不充分条件；第6题是连续函数的保号性证明；第7题是一个只在零点连续的经典反例；第8题用柯西函数方程从零点连续推出全域连续。下次见！