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切片、染色、打孔——小升初立体图形三大＂送命题＂,孩子卡在哪一步?家长先来自测!
切片、染色、打孔——小升初立体图形三大＂送命题＂,孩子卡在哪一步?家长先来自测!大家好！我是陪你一起学数学思维的木木老师。 前面我们已经一起学完了直线型几何、勾股弦图等平面几何的知识。 今天我们回到立体几何板块，学习小学五六年级奥数、小升初考试里立体图形的高频考点：长方体与正方体表面积。 重点攻克大家最容易丢分的切片、染色、打孔三类压轴题型。 很多孩子背得出表面积公式，但是我猜，一旦遇到立体切割、表面打孔等变型题未必能从容应对，快速高效解答。 现在就让我们一起进入今天的学习。 01 正方体、长方体基础知识点回顾 先通过一张图，带大家一起回顾一下正方体和长方体的相关基础知识 。 
正方体：棱长记为a； 表面积公式：S=6a²； 正方体6个面，每个面都是大小相等的正方形。 长方体：长a，宽b，高h； 表面积公式：S=2(ab+ah+bh)； 长方体相对的两个面面积相等。 02 切片（切割立体图形）问题核心原理 记住一句核心的话：每切一刀，就会新增加2个切面的面积。 切的方向不同，新增面的形状不同。 1.平行于上下底面切一刀：增加2个长×宽的面； 2.平行于前后侧面切一刀：增加2个长×高的面； 3.平行于左右侧面切一刀：增加2个宽×高的面。 需要注意一个易错点：切成几块≠切几刀。 例如，切成3块，只需要切2刀；切成5块，只需要切4刀；切成n块，只需要切n-1刀。 增加面数量=刀数×2。 例1：一个正方体棱长为10cm，如果沿着平行底面方向切2刀，分成3个小长方体。求切开之后所有立体图形的表面积总和。 解析： 原正方体表面积：=6×10×10=600cm² 切2刀，新增面数量：2×2=4个面，每个面面积10×10=100cm² 新增总面积：4×100=400cm² 总表面积：600+400=1000cm² 03 染色问题核心原理 1、正方体染色 常考题型：大正方体表面涂色，切成若干个小正方体，统计3面涂色、2面涂色、1面涂色、0面涂色的小方块数量。 把大正方体每条棱平均分成n份，切成 n×n×n个小正方体： 1. 三面涂色：永远在正方体顶点，正方体一共8个顶点，所以三面涂色有8个； 2. 两面涂色：在棱上，去掉两端顶点。每条棱数量：n-2，一共12条棱，两面涂色总数：12×(n-2)； 3. 一面涂色：在每个面中间，不在棱上。每个面数量：(n-2)²，一共6个面，一面涂色总数：6×(n-2)²； 4. 没有涂色（内部）：藏在大正方体内部，完全没有接触外表面，相当于长宽高都减少2，没有涂色总数：(n-2)³。 例2：一个正方体，每条棱分成4份，表面全部涂红色，切开得到64个小正方体。求各类涂色小方块数量。 解析： 由题意可知：n=4； 三面涂色：8个； 两面涂色：12×(4-2)=24个； 一面涂色：6×(4-2)²=24个； 无色：(4-2)³=8个。 8+24+24+8=64，总数吻合。 2、长方体染色 一个长方体，长平均分为a份、宽平均分为b份、高平均分为c份，那么各类涂色方块的数量如下： 三面涂色依旧=8个； 两面涂色=4×(a-2)+(b-2)+(c-2)； 一面涂色=2×[(a-2)(b-2)+(a-2)(c-2)+(b-2)(c-2)]； 无色=(a-2)(b-2)(c-2)。 04 打孔问题核心原理 核心思路：先算原本表面积，再看打孔之后减少哪些面，增加哪些内侧面积。 打孔会在立体内部挖出通道，有两个变化： 1. 外部表面：孔的入口和出口，会减少2个小圆（或正方形）面积； 2. 孔洞内壁：新增孔洞内侧的侧面积； 总表面积=原表面积−外表面消失面积+孔洞内壁面积。 特别需要注意的点：如果打通的孔在立体内部相交重叠，重叠部分不能重复计算内壁面积。 例3：正方体棱长10cm，在正中间从上往下打通一个底面边长2cm的正方形孔，求打孔之后物体表面积？ 解析： 原正方体表面积：6×10×10=600cm²； 上下表面，各少了一个2×2正方形，一共减少面积 2×（2×2）=8cm²； 孔洞内壁：4个长方形，高10cm，宽2cm，内壁总面积：4×2×10=80cm²； 总表面积：600-8+80=672cm²。 切片、染色、打孔，本质是训练孩子空间想象能力，这也是初中几何的重要铺垫。 好了，今天就分享这么多，下期再见。
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