广东2023中考数学压轴真题解析和答案(第22题)

这道广东2023年的中考压轴题第22题，诞生背景是在广东中考数学经历了地狱级难度的2021年，后面立马起飞坐火箭的2022年中考数学后面，因此2023年中考数学题难易程度就让人难以琢磨了，个人认为总体来看比2021、2024、2025年中考压轴题都要简单一些，这几年的中考压轴题近段时间我会重点拆解分享，但比2022年要难很多，到时大家一看就明。

本题主要考查学生在矩形里面关于点对称的知识点应用（其实就是图形翻折），后面随着对称点位置的变化，不断穿插圆的综合知识进来，以充实和提升整道题的难度系数，当然对于解直角三角形以及中位线的应用还是需要非常熟练，整体中等难度，后面跟着的23题融合代数和几何的综合大题难度系数更高，接下来我会重点解析广东近几年的压轴题，我们今天重点解析22题，具体题目如下：

第一问，相对比较简单，无论是利用中位线性质还是利用三角形相似，都是很容易能证命题，我是用相似来证明的。

依据题意，A'和A点关于BD对称，所以BD⊥AA'，并且平分AA'，因此AE=EA'，∠AEO=90°，则有AE/AA'=1/2，又因为点O为矩形对角线的交点，所以OA=OC，则有AO/AC=1/2，结合公共夹角∠EAO=∠A'AC，所以△EAO∽△A'AC。因此，∠AEO=∠AA'C=90°，则有AA'⊥CA'，命题得证。

第二问①小问，审明题干条件，圆O和CD相切，因为ABCD为矩形，所以有CD∥AB，圆O必和AB相切。因此，过点O作OM⊥AB，垂足为M，并反向延长交CD于点N，则MN⊥CD。

因此，就有OM=OE，OA=OA，所以RT△OEA≌RT△OMA，则有∠OAE=∠OAM。又因为∠OBA=∠OAB，且有∠OBA=∠DAE，所以∠OAE=∠OAM=∠DAE，而∠OAE+∠OAM+∠DAE=∠DAB=90°，因此，∠OAE=∠OAM=∠DAE=30°。依据（1）问结论，在RT△AA'C中，∠A'AC=30°，则∠AC'A=60°。

因此，tan∠AC'A=tan60°=AA'/CA'=√3，

所以，AA'=√3CA'，命题得证。

第二问②小问，依据题意，圆O和CA'相切，因此过点O作OH⊥CA'，垂足为点H，∠OHA'=90°，依据（1）问结论，则四边形A'EOH为矩形，同时又有OH=OE，所以，四边形A'EOH为正方形，则有A'E=EO=OH=HA'，又因为AE为RT△AA'C的中位线，所以有A'E=AE，OE=1/2*CA'，EO=HA'=CH，因此就有AA'=CA'，则RT△AA'C为等腰RT△，∠A'AC=∠A'CA=45°。所以RT△AEO也为等腰RT△，因此，设OE=AE=r。又因为，OD=DE+OE=DE+r=OB，在RT△DAB和RT△DEA中，根据射影定理：AE²=DE*BE。

r²=DE*（r+r+DE）=DE²+2r*DE

DE²+2r*DE-r²=0，（DE/r）²+2（DE/r）-1=0

解得：DE/r=√2-1，DE=（√2-1）r。

在RT△DEA中，依据勾股定理：

DA²=DE²+AE²，1=（√2-1）²r²+r²

r²=（2+√2）/4，所以S圆O=兀r²，S圆O=（2+√2）*兀/4。

综上所述，本题主要是根据矩形上的点对称结合穿插圆的综合知识，重点考查了三角形相似、直接三角形中位线的应用，正方形的判定等等，但是第二问①小问如果不能快速证明目标角为30°，那还是挺麻烦的，诀窍还是“遇切线，连半径”自然就会水到渠成。

第二问②小问核心是需要证明三角形AA'C为等腰直角三角形，这是解决此问的题眼，诀窍还是“遇切线，连半径”，这样正方形出现，双中位线出现，后面就会信手拈来，当然中间巧解二元二次方程也是初中学生必备的技能，本题综合知识点内容挺丰富，虽然题目整体难度中等，基础稍微扎实一点学生应该可以顺利拿下，但还是有一些上述大多数学生常见的陷阱，如不能熟练掌握，则难以在考场拿到满分。

附上具体解析答案：