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初中数学学霸秘籍11:两圆夹出一个正方形, 隐含条件却是等边三角形
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【二日一题261102】两圆相交 ＋ 内接正方形：求正方形的面积
【题目】如图，⊙A 经过 ⊙C 的圆心 C，两圆交于点 H、I，点 D、E、F、G 在劣弧 HI 上，且四边形 DEFG 为正方形。若两圆半径均为 1，则正方形 DEFG 的面积为______。
D、F 贴着左边那道弧，E、G 贴着右边那道弧——正方形被两圆"夹"在中间
先说答案：S = (4−√7)/2 ≈ 0.677。这题看着圆来圆去很唬人，其实只有两个有效条件：四条边各端点贴弧、图形上下对称。一个字母 a、一个勾股方程，就能把正方形的大小钉死。
1第一步：读图——等边三角形送出对称性
两圆半径都是 1，⊙A 又经过 C，所以 AH = CH = AC = 1；△ACH 是等边三角形，公共弦 HI = √3。更重要的是整个图形关于直线 AC 上下对称，而正方形的四个顶点两两落在对称位置，所以正方形的中心 O 落在 AC 上，两组对边分别水平、竖直。
设正方形边长为 2a，则 D、E 到直线 AC 的距离都是 a。E、G 在 ⊙A 的劣弧 HI 上，D、F 在 ⊙C 的劣弧 HI 上。
图 2 △ACH 等边 ⟹ 全图上下对称，正方形端端正正骑在 AC 上
2第二步：两个勾股，同一个未知数
作 EP⊥AC 于 P、DQ⊥AC 于 Q。P 恰是竖直边 EG 的中点，所以 PE = ½·EG = a；同理 DQ = a。两个直角三角形各来一次勾股：
Rt△APE：AP² = AE² − PE² = 1 − a² ⟹ AP = √(1−a²)
Rt△CDQ：CQ = √(CD² − DQ²) = √(1−a²) = AP
左边一次勾股、右边一次勾股，算出的是同一条线段长——这就是全题的枢纽。
图 3 E 贴 ⊙A、D 贴 ⊙C，两条垂线送出 AP = CQ = √(1−a²)
3第三步：AP = CQ 挤出正方形中心的位置
O 是正方形中心，P、Q 分别是左右两边的中点，所以 OP = OQ = a。把 AP 和 CQ 都沿着 AC 拆开：
AP = AO + a，CQ = CO + a，又 AP = CQ ⟹ AO = CO = ½
正方形中心恰好就是 AC 的中点！于是：
AP = AO + OP = ½ + a
4第四步：一个勾股方程，收口
回到 Rt△APE：PE² + AP² = AE²，代入 PE = a、AP = ½ + a：
a² + (½ + a)² = 1 ⟹ 2a² + a − ¾ = 0 ⟹ a = (√7−1)/4
于是边长与面积：
边长 2a = (√7−1)/2，S = (2a)² = (4−√7)/2 ≈ 0.677
一句话记住这题的骨架：对称定中心，两端各一次勾股得 AP = CQ，中点关系挤出 AP = ½ + a，一个勾股方程收口。
三句话带走
·等圆互过圆心 = 等边三角形 —— AH = CH = AC = 1，全图关于直线 AC 对称，正方形中心落在 AC 上，设边长 2a。
·两端勾股，共用未知数 —— PE = DQ = a，Rt△APE 与 Rt△CDQ 给出 AP = CQ = √(1−a²)；再由 OP = OQ = a 得 AO = CO = ½，AP = ½ + a。
·一个方程收口 —— a² + (½+a)² = 1 ⟹ a = (√7−1)/4，S = (4−√7)/2。
— END —
答案：S = (4−√7)/2。哪一步卡住了，留言说一声
学习加总结可成学霸。
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