【奥数知识】周期问题(可打印!)

例1

某年的二月份有五个星期日，这年六月一日是星期_____

【解析】

因为7X4=28，由某年二月份有五个星期日，所以这年二月份应是29天，且2月1日与2月29日均为星期日，3月1日是星期一，所以从这年3月1日起到这年6月1日共经过了

 31+30+31+1=93(天).

因为93¸7=13…2，所以这年6月1日是星期二.

本题是推断若干天、若干月或若干年后某一天为星期几，解答这类问题主要依据每周为七天循环的规律，运用周期性解答.

在计算天数时,要根据“四年一闰，整百不闰，四百年才又一闰”的规定，即公历年份不是整百数时，只要是4的倍数就是闰年，公历年数为整百数时，必须是400的倍数才是闰年.

例2 

时针现在表示的时间是14时正,那么分针旋转1991周后,时针表示的时间是_____.

【解析】 分针旋转一周为1小时,旋转1991周为1991小时.一天24小时

1991 X 24=82…23，1991小时共82天又23小时.现在是14时正,经过82天仍然是14时正,再过23小时,正好是13时.

在圆面上,沿着圆周把1到12的整数等距排成一个圈,再加上一根长针和一根短针,就组成了我们天天见到的钟面.

钟面虽然是那么的简单平常,但在钟面上却包含着十分有趣的数学问题,周期现象就是其中的一个重要方面.

例3 

把自然数1,2,3,4,5……如表依次排列成5列，那么数“1992”在_____列.

【解析】

仔细观察题中数表.

1  2  3  4  5 (奇数排)

第一组

9 8  7  6   (偶数排)

10  11  12  13  14 (奇数排)

第二组

18  17  16  15  (偶数排)

19  20  21  22  23  (奇数排)

第三组  

27  26  25  24  (偶数排)

可发现规律如下:

(1)连续自然数按每组9个数,且奇数排自左往右五个数,偶数排自右往左四个数的规律循环排列；

(2)观察第二组,第三组,发现奇数排的数如果用9除有如下规律:第1列用9除余数为1,第2列用9除余数为2,…，第5列用9除余数为5.

(3)10÷9=1…1，10在1+1组，第1列

   19÷9=2…1，19在2+1组，第1列

因为1992÷9=221…3，所以1992应排列在（221+1）=222组中奇数排第3列数的位置上.

例4

在一根长100厘米的木棍上，自左至右每隔6厘米染一个红点，同时自右至左每隔5厘米也染一个红点，然后沿红点处将木棍逐段锯开，那么长度是1厘米的短木棍有多少根？

【解析】

因为100能被5整除,所以自右至左染色也就是自左至右染色.于是我们可以看作是从同一端点染色. 

6与5的最小公倍数是30,即在30厘米的地方,同时染上红色,这样染色就会出现循环,每一周的长度是30厘米,如下图所示.

由图示可知长1厘米的短木棍,每一周期中有两段,如第1周期中,6-5=1,5X5-6X4=1.剩余10厘米中有一段.

所以锯开后长1厘米的短木棍共有7段.综合算式为:

2X[(100-10)÷30]+1

=2X3+1

=7(段)

例5 

紧接着1989后面一串数字，写下的每个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数.

例如8X9=72,在9后面写2,9X2=18,在2后面写8,……得到一串数字:

1  9  8  9  2  8  6……

这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？

【解析】 依照题述规则多写几个数字:

1989286884286884……

可见1989后面的数总是不断循环重复出现286884，每6个一组，即循环周期为6.

因为(1989-4)÷6=330…5，所以所求数字是8.

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