夜雨聆风15．（18分）电子束聚焦模型
我国为突破光刻机封锁，将大力发展利用电子束聚焦来"刻画"电路。为研究电子束聚焦技术，现构建如下带电粒子运动模型：
在平面直角坐标系第二象限内有一垂直平面向外的圆形磁场区域，磁感应强度为B，磁场半径为R，与x轴相切于A点。第二象限内有抛物线OP，其横坐标范围−3R≤x≤0，P点坐标(−3R,2R)，在抛物线的上方存在一竖直向下的匀强电场E（大小未知）。
第四象限内垂直于纸面向外的匀强磁场，其磁感应强度为2B。
A处有一粒子源，向第二象限各方向持续均匀发射初速度大小为v₀（大小未知）、质量为m、电荷量为+q的粒子，粒子从圆形磁场穿出都能平行x轴方向进入电场，偏转后均能够通过坐标原点O点。不计粒子重力及粒子间的相互作用，求：
（1）带电粒子的初速度v₀；
（2）匀强电场边界OP的曲线方程和电场强度E的大小；
（3）粒子经过y轴负半轴的位置坐标。
✅ 参考答案
（1）初速度 v₀ = qBR / m
（2）抛物线方程 y = 2x²/(9R) ；电场强度 E = 4qB²R/(9m)
（3）粒子汇聚于 y 轴负半轴固定点 M(0, -R)
📝 详细解析
（1）初速度 v₀ 的求解
粒子在圆形磁场中受洛伦兹力做匀速圆周运动，轨道半径 r = R。
由 qv₀B = mv₀²/r 得 r = mv₀/(qB)。
因为磁场圆与粒子轨迹圆半径均为R，且入射点A在磁场圆上，根据几何关系，出射点与入射点关于两圆心连线对称。所有粒子从A点以不同方向进入磁场后，均从磁场圆的另一点水平向右射出（磁发散效应）。由此可得 r = R，代入解得：
v₀ = qBR / m
（2）抛物线边界方程与电场强度E
粒子水平向右进入电场后做类平抛运动。设进入电场时的位置坐标为 (x₀, y₀)，水平方向：x = x₀ + v₀t，竖直方向：y = y₀ − (1/2)(qE/m)t²。
由粒子最终通过原点O(0,0)，设运动时间为T，则 0 = x₀ + v₀T → T = −x₀/v₀，代入竖直位移：0 = y₀ − (qE/(2m))·(x₀²/v₀²)。
整理得电场边界方程：y₀ = (qE/(2mv₀²))·x₀²。对比已知点P(−3R,2R)代入，有 2R = (qE/(2mv₀²))·(9R²)。
将 v₀ = qBR/m 代入，解得电场强度：E = 4qB²R/(9m)。
代回边界方程得曲线：y = (2/(9R))·x²，即 y = 2x²/(9R)，定义域 −3R ≤ x ≤ 0。
（3）粒子经过y轴负半轴的位置坐标
粒子从O点进入第四象限磁场，速度大小为 v = √(v₀² + (qET/m)²)，方向斜向右下。第四象限磁感应强度为2B，轨迹半径 r' = mv/(2qB)。
利用几何关系：粒子在O点的速度方向与x轴夹角θ满足 tanθ = (qET/m)/v₀，代入T和E得 tanθ = 4/3。
由磁聚焦原理，所有粒子在第四象限磁场中偏转后汇聚于y轴同一点。通过计算可得该点坐标为 (0, −R)，即M点。
故粒子打在y轴负半轴的位置为 M(0, -R)。
