【统计分析软件SPSS】147、有序Logistic回归

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应用场景

在数据分析中，我们经常会遇到因变量是有序分类变量的情况，例如：

满意度（不满意 / 一般 / 满意）；
健康状况（差 / 中 / 好）；
教育水平（高中 / 本科 / 研究生）。

这类变量有明显的顺序（等级），但又不能直接当做连续数值处理，不适合普通Logistic回归。这时候，就要用到【有序Logistic回归（Ordinal Logistic Regression）】。

有序Logistic回归：

由于因变量是等级资料的特征，有序Logistic回归模型在统计学中常被称为累加Logit模型或比例优势模型。

核心原理：

有序Logistic回归并不直接预测某个具体类别的概率，而是预测“因变量小于或等于某个等级”的累积概率。这也是为什么该模型被称为“累加Logit模型”的原因。

假设因变量Y有K个有序等级（1,2,…,k ）。模型通过引入K−1个阈值（Thresholds，也称为切点或截距），将原本的多分类问题转化为K−1个二分类问题。例如下图所示，因变量Y有3个水平（1、2、3），按序依次产生两个分割点，拆分出两个二元Logistic回归方程：

方程1：对比“等级1”与“等级2+3”，即计算P(Y≤1)相对于P(Y>1)的几率。
方程2：对比“等级1+2”与“等级3”，即计算P(Y≤2)相对于P(Y>2)的几率。

这种对比方式保证了信息的有序性，即低等级总是与高等级群进行对比。

平行线假设：

这是有序Logistic回归最独特也最重要的特征。

①、系数不变性：在上述拆分出的K−1个二元Logistic回归模型中，模型假设所有自变量的回归系数（斜率β ）是保持不变的。

②、仅常数项改变：不同方程之间唯一的区别在于阈值（常数项/截距α）不同。随着分割点的移动（从「1vs2,3」移动到「1,2vs3」），截距会发生变化，但自变量对结果的影响力度（斜率）被认为是一致的。

如果在坐标系中画出这些回归曲线，它们应该是相互平行的。这也是为什么该模型被称为“比例优势模型”的原因——自变量每变化一个单位，odds（几率）的变化比例在各个分割点上都是恒定的。

由于“回归系数相等”是该模型成立的前提，因此在分析过程中必须进行平行线检验。

操作步骤

加载示例数据【Ordinal_Logistic.sav】。

该数据为用户服务满意度调查数据，包含年龄、性别、收入三个因素。其中，因变量满意度（Stage变量）为有序多分类变量（0=非常不满意、1=不满意、2=满意、3=非常满意）；自变量年龄（Age变量）为连续型变量、性别（Gender）为无序二分类变量（0=女、1=男）、收入（Income变量）为有序三分类变量（1=低收入、2=中等收入、3=高收入）。

点击顶部菜单栏的【分析→回归→有序】，在打开的对话框中进行相应设置。

因变量：结果变量。本次为「满意度（Stage变量）」。
因子：用于放入分类型自变量，即那些取值代表不同类别、没有连续数值意义的变量。本次将「性别（Gender变量）、收入（Income变量）」设置为因子。
协变量：用于放入连续型或定距型自变量。本次将「年龄（Age变量）」设置为协变量。

输出对话框：

点击「输出」按钮打开「有序回归:输出」对话框，该对话框主要用于设置输出结果。

选项	说明
显示	每隔n步打印迭代历史：按指定的打印迭代频率，输出对数似然值和参数估计值。首次迭代和末次迭代的结果将始终被打印。拟合优度统计：输出皮尔逊卡方统计量和似然比卡方统计量，统计量基于变量列表中指定的分类方式计算。摘要统计量：输出 Cox & Snell、Nagelkerke 和 McFadden 的 R² 统计量。参数估算值：输出参数估计值、标准误和置信区间。参数估算值的渐近相关性：输出参数估计值的相关系数矩阵。参数估算值的渐近协方差：输出参数估计值的协方差矩阵。单元格信息：按协变量模式，输出每个响应类别的观测频数、期望频数、累积频数，频数和累积频数的皮尔逊残差，观测概率、期望概率，以及观测累积概率、期望累积概率。需要注意的是，对于包含大量协变量模式的模型（例如含连续协变量的模型），该选项可能会生成体量庞大、难以处理的表格。平行线检验：检验“位置参数在因变量的所有类别水平上均相等” 这一假设。该选项仅适用于仅含位置参数的模型。
已保存的变量	可将以下变量保存到工作文件中：估算响应概率：模型估计的、将某个因子/协变量模式归类到各响应类别的概率。概率的数量与响应类别的数量相同。预测类别：某个因子/协变量模式的估计概率最大的响应类别。预测类别概率：将某个因子/协变量模式归类到预测类别的估计概率，该概率也是该因子/协变量模式所有估计概率中的最大值。实际类别概率：将某个因子/协变量模式归类到实际类别的估计概率。
打印对数似然	控制对数似然值的显示方式：包含多项常量：将输出完整的似然值。排除多项常量：若需与其他不包含该常数的软件结果进行对比，可选择排除常数。

本次在默认选项基础上勾选「显示」下的「平行线检验」以及「已保存的变量」下的「估算响应概率、预测类别、预测类别概率、实际类别概率」四个选项。

位置对话框：

点击「位置」按钮打开「有序回归:位置」对话框，该对话框主要用于模型设置。如果自变量间存在交互作用，可以再次设置。

本次示例中自变量间无交互作用，因此保持默认即可。

设置完成，点击确定。

结果解读

有序Logistic回归分析的输出结果将在输出窗口中显示。另外，因设置了保存「估算响应概率、预测类别、预测类别概率、实际类别概率」选项，因此在数据集中生成选择保存的结果作为新变量。其中，「EST1_1、EST2_1、EST3_1和EST4_1」变量分别表示对因变量的四个程度的预测概率；「PRE_1」变量表示预测类别；「PCP_1」变量表示预测类别概率；「ACP_1」变量表示实际类别概率。

首先需要查看「平行线检验结果（输出七）」，只有该检验通过才可以使用有序Logistic进行分析。

输出结果一：警告信息

输出结果中首先会给出一个警告信息。其核心含义是：模型中存在大量“空单元格”，即某些自变量组合（如，男性+年龄35岁+低收入）与因变量等级（如，不满意）的交叉组合中没有实际观测数据。

如果模型中包含连续变量，这个警告几乎是必然出现的，可以忽略，因为模型的参数估计（回归系数、OR值）通常是稳健的。本次示例就属于此类情况。
如果模型中只有分类变量，且空单元格比例过高（如，>50%），则可能意味着模型过于复杂或样本量不足，此时结果可能不可靠。

输出结果二：个案处理摘要

该表显示了数据的样本分布、变量分组、缺失值情况。

输出结果三：模型拟合信息

该表格展示的是最终模型与空模型（即，仅截距，没有自变量）之间的似然比检验 (Likelihood Ratio Test) 结果。

本次示例中，该检验的显著性水平p值＜0.05，因此可以得出结论——最终模型显著优于空模型，即模型中包含的自变量对因变量具有显著的预测作用。

输出结果四：拟合优度

拟合优度检验表格提供了两个用于检验原假设（即，模型能够充分拟合数据）的统计检验结果。

Pearson卡方：基于观测频数与期望频数的差值平方。它对样本量非常敏感，容易受到极端值或稀疏数据的影响。
偏差（Deviance）：基于似然比的统计量。虽然通常比Pearson更稳健，但在数据极度稀疏（如本例中62%的单元格为0）时，其渐近分布不再服从标准的卡方分布。

因此，本次示例中，两个检验结果均不可信，后续可以通过计算模型对因变量的预测情况（保存的结果新变量，详见第四部分）来查看模型的拟合程度。

输出结果五：伪R方

在线性回归模型中，我们习惯看R²来决定模型解释了多少变异。但在Logistic回归中，因为因变量不是连续数值，所以无法计算传统的R²，因此系统会计算以下这些近似值（伪R²）：Cox and Snell，Nagelkerke和McFadden。

本次示例中，Nagelkerke为0.186，属于中等偏弱的水平。

输出结果六：参数估算值

参数估算值表展示了模型中各个自变量对因变量的影响大小、方向以及统计显著性。

阈值：

这是有序Logistic回归特有的部分。因为因变量是有序的（如，非常不满意<不满意<满意<非常满意），模型需要设定“切点”来划分这些等级。例如，第一行「Stage=0」表示「“非常不满意” VS 其他组的累积概率模型的截距」，第二行「Stage=1」表示「“非常不满意”和“不满意” VS 其他组的累积概率模型的截距」。

位置：

解释了自变量如何影响因变量（满意度）。除了常数项不同，位置（Location）中自变量的系数都是同一个系数，这也是为什么要求有序Logistic回归需要满足比例优势的假设。

需要注意的是，对于有序Logistic回归，不同软件使用的模型有所不同，因此，相同的数据使用不同的软件（SPSS、Stata、R等），得到的截距和效应值的符号会有所不同（有正有负）。对于SPSS来说，得到的方程中，除了截距项之外，所有效应值要在参数估算值表格中的原始值基础上加上负号（SPSS使用的模型是以因变量的较高等级为参照，如果不对效应值取负值，解释时要以最低等级为参照，不过得到的结论完全一样）。根据上述结果后，依据SPSS使用的模型，可以得到以下三个方程：

方程 1：界限为“非常不满意”Logit(P(Y≤0))=5.144−0.111×Age−0.230×Gender[0]+0.874×Income[1]-0.317×Income[2]方程 2：界限为“不满意”Logit(P(Y≤1))=6.786−0.111×Age−0.230×Gender[0]+0.874×Income[1]-0.317×Income[2]方程 3：界限为“满意”Logit(P(Y≤2))=9.177−0.111×Age−0.230×Gender[0]+0.874×Income[1]-0.317×Income[2]

另外，对于OR值及其95%CI，有序Logistic模块不会输出相应结果，可以根据效应值及其95%CI手工计算OR值及其95%CI。因为SPSS使用的模型是以因变量的较高等级为参照，解释OR值时要注意，例如，对应低收入人群（Income值为1），其OR值为e^0.874≈2.396，其解释为：相对高收入，低收入人群“满意度低”的OR值为2.396，即低收入人群满意度低。如果不对效应值取负值，解释时要以最低等级为参照，得到的结论完全一样，重新计算OR’值为e^(-0.874)≈0.417，其解释为：高收入人群“满意度低”的OR值是低收入人群的0.417。

也可以借助广义线性模型模块计算OR值及其95%CI（详见第五部分）。

输出结果七：平行线检验

平行线检验是判断模型是否满足核心前提假设的关键步骤。

本次示例中，p值=0.927>0.05，接受原假设，即“所有自变量的回归系数（斜率）在因变量的各个有序类别之间是相同的”。这意味着因变量在不同分割点上的自变量效应是一致的，符合有序Logistic回归的核心前提——比例优势假设。

当平行线假设不满足时，通常有以下三种处理思路：

改用无序多分类Logistic回归：放弃因变量的等级属性，将其视为无序变量进行分析。这种方法最为稳妥，但会损失数据的顺序信息，且模型参数更多，解释起来相对复杂。
拆分因变量进行多次二项Logistic回归：利用不同的分割点（如，低 vs 中+高”、“低+中 vs 高”）将因变量转化为多个二分类变量，分别建立模型。这能更细致地观察自变量在不同等级间的具体影响差异。
大样本下的特殊判断（OR值近似法）：在大样本数据中，平行线检验往往过于敏感，容易出现假阳性（即P<0.05但实际差异很小）。此时可以通过拟合多个二分类Logistic回归模型，观察各自变量的优势比是否近似。若各模型的OR值非常接近，说明比例优势假设在实际意义上依然成立，可继续使用有序Logistic回归或广义有序Logit模型。