23-24学年育才实验学校九年级（上）10月考数学试卷（含答案）_广州九上月考+期中+期末+一模二模+中考真题_初三上十月十二月考

2023-2024 学年广东省广州市越秀区育才实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）抛物线y(x2)2 3的顶点坐标是( ) A．(2,3) B．(2,3) C．(2,3) D．(2,3) 2．（3分）对于方程x2 3x50的根的情况，下列说法中正确的是( ) A．方程有两个不相等的实数根 B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程只有一个实数根 3．（3分）设方程x2 x20的两个根为，，那么的值等于( ) A．3 B．1 C．1 D．3 4．（3分）用配方法解一元二次方程x2 4x90，可变形为学 ( ) 升 A．(x2)2 9 B．(x2)2 13 C．(x2)2 9 D．(x2)2 13 哥 5．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新 型冠状病毒倡议书在微信朋友圈水传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议 书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共 有931人参与了此次活动，则方程列为( ) A．(1n)2 931 B．n(n1)931 C．1nn2 931 D．nn2 931 6．（3分）已知二次函数的图象(0 x 3.4)如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的 是( ) A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值2 D．有最大值1.5，有最小值2 7．（3分）抛物线yax2 bxc(a0)与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴是直线x1，其部分图象 如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( ) 第1页（共23页）7 5 A．( ，0) B．(3,0) C．( ，0) D．(2,0) 2 2 8．（3分）已知(3,y )，(0,y )，(3,y )是抛物线y3x2 6xk上的点，则( ) 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3 9．（3分）在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数yax2 bx的图象可能为( ) 学 A． B．升 哥 水 C． D． 10．（3分）若关于x的方程x2 2mxm2 3m20有两个实数根x 、x ，则x(x x)x2的最小值为( 1 2 1 2 1 2 ) 2 1 5 A．2 B． C． D． 3 2 4 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）关于x的一元二次方程2x2 xk 0有实数根，则k的取值范围是 ． 12．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y(x1)2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 度，得到的抛物线的解析式是 ． 13．（3分）已知函数y(m1)xm215x3是关于x的二次函数，则m的值为 ． 14．（3分）已知一元二次方程x2 10x240的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 ． 15．（3分）新定义：[a，b，c]为二次函数yax2 bxc(a0，a，b，c为实数）的“图象数”，若 第2页（共23页）“图象数”是[m1，m2，m3]的二次函数的图象经过原点，则m ． 16．（3分）抛物线yax2 bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示，给出下列说法：   x 3 2 1 0 1 y  6 0 4 6 6  ①抛物线与y轴的交点为(0,6)； ②抛物线的对称轴是在y轴右侧；③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④抛物线一定过点(3,0)． 上述说法正确的是 （填序号）． 三.解答题（本大题共9题，共72分，需要写出必要的过程，作图要求用2B铅笔或黑色签字笔完成） 17．（4分）解方程： （1）x2 x3x5； （2）(x1)2 7x7． 学 18．（4分）已知：关于x的一元二次方程x2 mx3(m为常数）． 升 （1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； 哥 （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 水 19．（6分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式： （1）已知抛物线的顶点是(1,2)，且过点(1,10)． （2）已知抛物线过三点：(1,0)，(1,0)，(2,6)． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程(ac)x2 2bx(ac)0，其中a、b、c分别为ABC 三边的长． （1）如果x1是方程的根，试判断ABC 的形状，并说明理由； （2）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 21．（8分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供 居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？ 第3页（共23页）22．（10分）某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为5元/千克，售价为10元/千克，月销售量 为1000千克． （1）经销商降价促销，经过两次降价后售价定为8.1元/千克，请问平均每次降价的百分率是多少？ （2）为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价0.1元，能多销售50千克，请问 降价多少元才能使本月总利润达到6000元？ 1 23．（10分）如图，以D为顶点的抛物线y x2 bxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC 2 的表达式为yx6． （1）求抛物线的表达式； 学 （2）求BCD面积； 升 （3）点P为第一象限内抛物线上任意一点（除D外），当S S 时，求P点坐标． BCD BCP 哥 水 24．（12分）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边 形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 ； （2）问题解决：如图2，分别以RtACB的直角边AC 和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连接CG，BE ，GE，已知AC 4，AB5． ①求证：四边形BCGE为垂美四边形； ②求出四边形BCGE的面积． 第4页（共23页）25．（12分）已知抛物线yax2 bx4经过点A(2,0)、B(4,0)，与y轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M 为抛物线的顶点，在直线DE上是否存 在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 学 升 哥 水 第5页（共23页）2023-2024 学年广东省广州市越秀区育才实验学校九年级（上）月考数学 试卷（10 月份） 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）抛物线y(x2)2 3的顶点坐标是( ) A．(2,3) B．(2,3) C．(2,3) D．(2,3) 【分析】由抛物线的顶点式 y(xh)2 k直接看出顶点坐标是(h,k)． 【解答】解：抛物线为y(x2)2 3， 顶点坐标是(2,3)． 故选：B． 【点评】要求熟练掌握抛物线的顶点式． 学 2．（3分）对于方程x2 3x50的根的情况，下列升说法中正确的是( ) A．方程有两个不相等的实数根 哥B．方程有两个相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程只有一个实数根 水 【分析】先计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的值判断根的情况． 【解答】解：△(3)2 41(5)290， 方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 bxc0(a0)的根与△b2 4ac有如下关系：当 △0时，方程有两个不相等的实数根；当△0时，方程有两个相等的实数根；当△0时，方程无实数 根． 3．（3分）设方程x2 x20的两个根为，，那么的值等于( ) A．3 B．1 C．1 D．3 【分析】根据根与系数的关系，可得出和的值，再代入求值即可． 【解答】解：，是方程x2 x20的两个根， 1，2， 第6页（共23页）原式1(2)1． 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经 常使用的解题方法． 4．（3分）用配方法解一元二次方程x2 4x90，可变形为( ) A．(x2)2 9 B．(x2)2 13 C．(x2)2 9 D．(x2)2 13 【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案． 【解答】解：x2 4x90， x2 4x9， 则x2 4x494，即(x2)2 13， 故选：B． 学 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择升合适、简便的方法是解题的关键． 5．（3分）2020年，新型冠状病毒感染的哥肺炎疫情牵动着全国人民的心．雅礼中学某学生写了一份预防新 型冠状病毒倡议书在微信朋友圈 水 传播，规则为：将倡议书发表在自己的朋友圈，再邀请n个好友转发倡议 书，每个好友转发倡议书，又邀请n个互不相同的好友转发倡议书，以此类推，已知经过两轮转发后，共 有931人参与了此次活动，则方程列为( ) A．(1n)2 931 B．n(n1)931 C．1nn2 931 D．nn2 931 【分析】设邀请了n个好友转发倡议书，第一轮转发了n个人，第二轮转发了n2个人，根据两轮转发后， 共有931人参与列出方程即可． 【解答】解：由题意，得 n2 n1931， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解答时先由条件表示出第一轮增加的人数和第二轮增加的人数， 根据两轮总人数为931人建立方程是关键． 6．（3分）已知二次函数的图象(0 x 3.4)如图．关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的 是( ) 第7页（共23页）A．有最大值2，无最小值 B．有最大值2，有最小值1.5 C．有最大值2，有最小值2 D．有最大值1.5，有最小值2 【分析】直接根据函数的图象顶点坐标及最低点求出该函数在所给自变量的取值范围内的最大及最小值即 可． 【解答】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为(1,2)， 此抛物线开口向下， 此函数有最大值，最大值为2； 0 x 3.4， 当x3.4时，函数最小值为2． 学 故选：C． 升 【点评】本题考查的是二次函数的最值及二次函数的图象，解答此题时要注意应用数形结合的思想求解． 哥 7．（3分）抛物线yax2 bxc(a0)与x轴的一个交点坐标为(1,0)，对称轴是直线x1，其部分图象 水 如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是( ) 7 5 A．( ，0) B．(3,0) C．( ，0) D．(2,0) 2 2 【分析】根据抛物线的对称性和(1,0)为x轴上的点，即可求出另一个点的交点坐标． 【解答】解：设抛物线与x轴交点横坐标分别为x 、x ，且x x ， 1 2 1 2 根据两个交点关于对称轴直线x1对称可知：x x 2， 1 2 即x 12，得x 3， 2 2 抛物线与x轴的另一个交点为(3,0)， 故选：B． 第8页（共23页）【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点，要知道抛物线与x轴的两交点关于对称轴对称． 8．（3分）已知(3,y )，(0,y )，(3,y )是抛物线y3x2 6xk上的点，则( ) 1 2 3 A．y  y  y B．y  y  y C．y  y  y D．y  y  y 1 2 3 1 3 2 3 1 2 2 1 3 【分析】先判断出抛物线开口向下，再求出对称轴方程，根据离坐标轴越远的函数值越小即可得出结论． 【解答】解：30， 抛物线开口向下． 6 对称轴方程x 1， 6 (3,y )离对称轴最远，(0,y )离对称轴最近， 1 2 y  y  y ． 1 3 2 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，熟知二学次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的 解析式是解答此题的关键． 升 9．（3分）在同一坐标系中一次函数yaxb和二次函数yax2 bx的图象可能为( ) 哥 水 A． B． C． D． 【分析】可先由一次函数yaxb图象得到字母系数的正负，再与二次函数yax2 bx的图象相比较看 是否一致． b 【解答】解：A、由抛物线可知，a0，x 0，得b0，由直线可知，a0，b0，正确； 2a B、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误； b C、由抛物线可知，a0，x 0，得b0，由直线可知，a0，b0，错误； 2a D、由抛物线可知，a0，由直线可知，a0，错误． 第9页（共23页）故选：A． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质和一次函数的性质，做题时要注意数形结合思想的运用，同学们 加强训练即可掌握，属于基础题． 10．（3分）若关于x的方程x2 2mxm2 3m20有两个实数根x 、x ，则x(x x)x2的最小值为( 1 2 1 2 1 2 ) 2 1 5 A．2 B． C． D． 3 2 4 【分析】由根与系数的关系得到：x x 2m，x x m2 3m2，将其代入所求的代数式求值，然后 1 2 1 2 根据m的取值范围和二次函数的性质，可以求得所求式子的最小值． 【解答】解：关于x的方程x2 2mxm2 3m20有两个实数根x ，x ， 1 2 △4m2 4(m2 3m2) 0，x x 2m，x x m2 3m2， 1 2 1 2 2 m ． 学 3 升 1 5 x (x x )x 2 (x x )2 x x (2m)2 (m2 3m2)3m2 3m23(m )2  ． 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 哥 1 5 当m 时，有最小值 ． 2 4 水 故选：D． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的 解题方法． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 1 11．（3分）关于x的一元二次方程2x2 xk 0有实数根，则k的取值范围是 k  ． 8 【分析】根据△b2 4ac 0时，一元二次方程没有实数根求解即可． 【解答】解：关于x的一元二次方程2x2 xk 0有实数根， △b2 4ac12 42(k) 0， 1 解得：k  ． 8 1 故答案为：k  ． 8 【点评】本题考查一元二次方程根的判别式，解答关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系： 当△0时，方程有两个不相等的实数根；当△0时，方程有两个相等的实数根；当△0时，方程没有 第10页（共23页）实数根． 12．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线 y(x1)2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长 度，得到的抛物线的解析式是 y(x1)2 3 ． 【分析】根据图象的平移规律，可得答案． 【解答】解：将抛物线y(x1)2先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的 解析式是 y(x12)2 3，即 y(x1)2 3． 故答案为：y(x1)2 3． 【点评】主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数 解析式． 13．（3分）已知函数y(m1)xm215x3是关于x的二次函数，则m的值为 1 ． 学 【分析】根据二次函数的定义列出不等式求解即可． 升 m2 12 【解答】解：根据题意得： ， m10 哥 解得：m1． 水 故答案为：1． 【点评】本题考查二次函数的定义，注意到m10是关键． 14．（3 分）已知一元二次方程x2 10x240 的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为 12 ． 【分析】先利用解一元二次方程因式分解法求出方程的两个根，然后再利用菱形的面积公式进行计算即 可解答． 【解答】解：x2 10x240， (x6)(x4)0， x60或x40， x 6，x 4， 1 2 1 这个菱形的面积 6412， 2 故答案为：12． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，菱形的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 第11页（共23页）15．（3分）新定义：[a，b，c]为二次函数yax2 bxc(a0，a，b，c为实数）的“图象数”，若 “图象数”是[m1，m2，m3]的二次函数的图象经过原点，则m 3 ． 【分析】根据新定义得到y(m1)x2 (m2)xm3，然后把原点坐标代入可求出m的值． 【解答】解：根据题意得y(m1)x2 (m2)xm3， 把(0,0)代入得m30，解得m3． 故答案为3． 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 16．（3分）抛物线yax2 bxc上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示，给出下列说法：   x 3 2 1 0 1 y  6 0 4 6 6  ①抛物线与y轴的交点为(0,6)； ②抛物线的对称轴是在y轴 学 右侧；③在对称轴左侧，y随x增大而减小； ④抛物线一定过点(3,0)． 升 上述说法正确的是 ①②④ （填序号）． 哥 【分析】由表格中数据x0时，y6，x1时，y6；可判断抛物线的对称轴是直线x0.5，根据函 水 数值的变化，判断抛物线开口向下，再由抛物线的性质，逐一判断． 【解答】解：由表格中数据可知，x0时，y6，x1时，y6， ①抛物线与y轴的交点为(0,6)，正确； ②抛物线的对称轴是直线x0.5，对称轴在y轴的右侧，正确； ③由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误． ④根据对称性可知，抛物线的对称轴是直线x0.5，点(2,0)的对称点为(3,0)，即抛物线一定经过点(3,0)， 正确； 正确的有①②④． 故答案为①②④． 【点评】主要考查了二次函数的性质．要熟练掌握函数的特殊值对应的特殊点．解题关键是根据表格中数 据找到对称性以及数据的特点求出对称轴，图象与x，y轴的交点坐标等． 三.解答题（本大题共9题，共72分，需要写出必要的过程，作图要求用2B铅笔或黑色签字笔完成） 17．（4分）解方程： （1）x2 x3x5； 第12页（共23页）（2）(x1)2 7x7． 【分析】（1）整理为一般式，再利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【解答】解：（1）整理，得：x2 4x50， 则(x5)(x1)0， x50或x10， 解得x 5，x 1； 1 2 （2）(x1)2 7(x1)， (x1)2 7(x1)0， 则(x1)(x6)0， 学 x10或x60， 升 解得x 1，x 6． 1 2 哥 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、 水 因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 18．（4分）已知：关于x的一元二次方程x2 mx3(m为常数）． （1）证明：无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为2，求方程的另一个根． 【分析】（1）先把方程化为一般式，再计算判别式的值得到△m2 120，然后根据判别式的意义得到 结论； （2）利用两根之积为3确定方程的另一根． 【解答】（1）证明：x2 mx30， 第13页（共23页）a1，bm，c3 △b2 4acm2 41(3)m2 12， m2 0， m2 120， △0， 无论m为何值，该方程都有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为x ， 1 c 3 则2x   3， 1 a 1 3 x  1 2 3 方程的另一个根为 ． 2 学 【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x ， x 是一元二次方程ax2 bxc0(a0) 的两根时， 1 2 升 b c x x  ，xx  ，也考查了根的判别式，熟练掌握掌握一元二次方程的性质是解题的关键． 1 2 a 1 2 a 哥 19．（6分）根据下列条件，分别求出对应的二次函数关系式： 水 （1）已知抛物线的顶点是(1,2)，且过点(1,10)． （2）已知抛物线过三点：(1,0)，(1,0)，(2,6)． 【分析】（1）由抛物线顶点坐标设出函数关系式为ya(x1)2 2，再把(1,10)代入求得a即可． （2）设所求二次函数关系为ya(x1)(x1)，再把(2,6)代入求得a即可． 【解答】解：（1）抛物线顶点(1,2)， 设所求二次函数关系式为ya(x1)2 2， 把(1,10)代入上式，得10a(11)2 2． a3， 所求二次函数关系式为y3(x1)2 2，即 y3x2 6x1． （2）设所求二次函数关系为ya(x1)(x1)， 把(2,6)代入上式，得63a． a2， 第14页（共23页）所求二次函数关系式为y2(x1)(x1)，即 y2x2 2． 【点评】本题考查了二次函数关系式的求法，需注意题中给出的条件不同，则二次函数关系式的设法不同． 20．（6分）已知关于x的一元二次方程(ac)x2 2bx(ac)0，其中a、b、c分别为ABC 三边的长． （1）如果x1是方程的根，试判断ABC的形状，并说明理由； （2）如果ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 【分析】（1）把x1代入方程(ac)x2 2bx(ac)0得cac2bac0，整理后根据等腰三角形 的判定判断即可； （2）根据等边三角形的性质得出abc，代入方程，即可得出x2 x0，再解方程即可． 【解答】解：（1）ABC是等腰三角形， 理由是：把x1代入方程(ac)x2 2bx(ac)0得：ac2bac0， 2a2b， 学 ab， 升 ABC的形状是等腰三角形； 哥 （2）ABC是等边三角形，水 abc， (ac)x2 2bx(ac)0， (aa)x2 2axaa0， 即x2 x0， 解得：x 0，x 1， 1 2 即这个一元二次方程的根是x 0，x 1． 1 2 【点评】本题考查了一元二次方程的解，解一元二次方程，等腰三角形的判定，等边三角形的性质等知识 点，能理解一元二方程的解的定义是解（1）的关键，能根据等边三角形的性质得出abc是解（2）的 关键． 21．（8分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供 居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？ 第15页（共23页）【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形， 矩形的长和宽分别是(322x)和(15x)，列方程即可求解． 【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为(322x)米，总宽为(15x)米， 1 由题意得(322x)(15x)3215(1 ) 8 即x2 31x300 解得x 30 x 1 1 2 路宽不超过15米 x30不合题意舍去 学 答：小路的宽应是1米． 升 【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键． 哥 22．（10分）某水果经销商销售一种新上市的水果，进货价为5元/千克，售价为10元/千克，月销售量 水 为1000千克． （1）经销商降价促销，经过两次降价后售价定为8.1元/千克，请问平均每次降价的百分率是多少？ （2）为增加销售量，经销商决定本月降价促销，经过市场调查，每降价0.1元，能多销售50千克，请问 降价多少元才能使本月总利润达到6000元？ 【分析】（1）设平均每次降价的百分率是x，则第一次降价后的价格为10(1x)元，第二次降价后的价格 为10(1x)2，根据两次降价后的价格是8.1元建立方程，求出其解即可； （2）设降价y元能使本月总利润达到6000元，多销售的数量为5010ykg ，根据条件建立方程求出其解 即可． 【解答】解：（1）设平均每次降价的百分率是x，由题意，得 10(1x)2 8.1， 解得：x 1.9（舍去），x 0.1， 1 2 答：每次降价的百分率为10%． （2）设降价y元能使本月总利润达到6000元，由题意，得 第16页（共23页）(10 y5)(5010y1000)6000， 解得：y 1，y 2， 1 2 答：降价1元或2元能使本月总利润达到6000元． 【点评】本题考查了运用降低率问题解实际问题的运用，列一元二次方程解实际问题的运用，解答本题是 找到等量关系建立方程是关键． 1 23．（10分）如图，以D为顶点的抛物线y x2 bxc交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC 2 的表达式为yx6． （1）求抛物线的表达式； （2）求BCD面积； （3）点P为第一象限内抛物线上任意一点（除D外），当S S 时，求P点坐标． BCD BCP 学 升 哥 水 【分析】（1）先求出点B，C坐标，再用待定系数法即可得出结论； （2）设直线 AB 交抛物线的对称轴为点 E ，先求出点D 、点 E 的坐标，即可求出 DE ，然后利用 S S S 求解即可； BCD DCE DBE （3）作DP//BC，交抛物线于点P，此时S S ，利用待定系数法求得直线DP，与抛物线解析式 BCD BCP 联立，解方程组即可求得点P的坐标． 【解答】解：（1）把x0代入yx6，得：y6， C(0,6)， 把y0代入yx6，得：x6， B(6,0)，  1 1  366bc0 将C(0,6)、B(6,0)代入y x2 bxc得： 2 ， 2  c6 第17页（共23页）b2 解得 ， c6 1 抛物线的解析式为y x2 2x6； 2 （2）设直线AB交抛物线的对称轴为点E， 1 1 由y x2 2x6 (x2)2 8， 2 2 D(2,8)， 抛物线的对称轴为直线x2， 把x2代入yx6得，y4， E(2,4)， DE 844， 1 1 S S S  DEOB 4612； BCD DCE DBE 2 2 学 （3）作DP//BC，交抛物线于点P，此时S S ， BCD BCP 升 设直线DP的解析式为yxn， 哥 把D(2,8)代入得，82n， 解得n10， 水 直线DP的解析式为yx10， yx10  x2 x4 由 1 ，解得 或 ， y x2 2x6 y8 y6  2 P点坐标为(4,6)． 【点评】本题主要考查的是二抛物线与x轴的交点，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的 坐标特征，待定系数法求二次函数的解析式，三角形面积，能够正确理解题意，确定P的位置是解答本题 的关键． 24．（12分）小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边 第18页（共23页）形，如图1，我们把两条对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． （1）概念理解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是垂美四边形的是 菱形、正方形 ； （2）问题解决：如图2，分别以RtACB的直角边AC 和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连接CG，BE ，GE，已知AC 4，AB5． ①求证：四边形BCGE为垂美四边形； ②求出四边形BCGE的面积． 【分析】（1）由平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质即可得出结论； 学 （2）①连接CG、BE ，证出GABCAE，由SAS 证明GABCAE，得出BGCE，ABGAEC， 升 再由角的互余关系和三角形内角和定理求出BNM 90，得出BGCE即可； 哥 1 ②根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合四边形BCGE的面积 BGCE计算即可． 2 水 【解答】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，两条对角线互相垂直的四边形是菱形、正方形， 菱形和正方形一定是垂美四边形； 故答案为：菱形、正方形； （2）①证明：连接CG、BE ，如图2所示： 四边形ACFG和四边形ABDE是正方形， F CAGBAE 90，FG AG AC CF ，AB AE ， CAGBAC BAEBAC ， 即GABCAE， 在GAB和CAE中， 第19页（共23页）AG AC  GABCAE，  AB AE GABCAE(SAS)， BGCE，ABGAEC， 又AECAME 90，AME BMN ， ABGBMN 90， BNM 90， BGCE ， 四边形BCGE为垂美四边形； ②解：FGCF  AC 4，ACB90，AB5， BC AB2 AC2 3， 学 BF BCCF 7， 升 在RtBFG中，BG BF2 FG2  72 42  65， 哥 由①知GABCAE， 水 CE BG 65， 四边形BCGE为垂美四边形，  四 边 形 BCGE 的 面 积 BCG 的 面 积 BEG 的 面 积 1 1 1 1  BGCO BGEO BG(COEO) BGCE； 2 2 2 2 1 65 四边形BCGE的面积 BGCE  ． 2 2 【点评】本题是四边形综合题目，考查的是垂美四边形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定 和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 25．（12分）已知抛物线yax2 bx4经过点A(2,0)、B(4,0)，与y轴交于点C ． （1）求这条抛物线的解析式； （2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标； （3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M 为抛物线的顶点，在直线DE上是否存 在一点G，使CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 第20页（共23页）【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，利用待定系数法求函二次数解析式解答； （2）连接OP，由S S S S ，可得出关于P点横坐标的表达式，然后利用二次函数的最值 AOC OCP OBP 问题求出点P的坐标； （3）连接AM 交直线DE于点G，此时，CMG的周长最小．求出直线AM 的解析式，再由ADE∽AOC， 求出点E的坐标，求出直线DE的解析式，则由AM 、DE两直线的交点可求得G点坐标． 【解答】解：（1）抛物线yaxbx4经过点A(2,0)，B(4,0)， 4a2b40 学  ， 16a4b40 升  1 a 解得 2， 哥  b1 水 1 抛物线解析式为y x2 x4； 2 1 （2）如图1，连接OP，设点P(x, x2 x4)，其中4x0，四边形ABPC的面积为S，由题意得C(0,4)， 2 S S S S AOC OCP OBP 1 1 1 1  24 4(x) 4( x2 x4)， 2 2 2 2 42xx22x8， x2 4x12， (x2)2 16． 10，开口向下，S有最大值， 第21页（共23页）当x2时，四边形ABPC的面积最大， 此时，y4，即P(2,4)． 因此当四边形ABPC的面积最大时，点P的坐标为(2,4)． 1 1 9 （3）y x2 x4 (x1)2  ， 2 2 2 9 顶点M(1, )． 2 如图2，连接AM 交直线DE于点G，此时，CMG的周长最小． 9 设直线AM 的解析式为ykxb，且过点A(2,0)，M(1, )， 2学 2kb0  升  9 ，  kb  2 哥 3 直线AM 的解析式为y x3． 2 水 在RtAOC中，AC OA2 OC2  22 42 2 5． D为AC的中点， 1  AD AC  5， 2 ADE∽AOC， AD AE   ， AO AC 5 AE   ， 2 2 5 AE 5， OE  AE AO523， E(3,0)， 由图可知D(1,2) 设直线DE的函数解析式为ymxn， 第22页（共23页）mn2  ， 3mn0  1 m   2 解得： ，  n 3  2 1 3 直线DE的解析式为y x ． 2 2  1 3 y x   2 2  ，  y 3 x3  2  3 x   4 解得： ，  y 15  8 3 15 G( , )． 学 4 8 【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解 升 析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次函数的最值问题．理解坐标与图形性质； 哥 会运用数形结合思想解决数学问题． 水 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/3017:25:13；用户：初中数学；邮箱：gzthjj01@xyh.com；学号：41820495 第23页（共23页）