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第 17 讲 应用题综合二
兴趣篇
1、有一批砖，每块砖的长和宽都是自然数，且长比宽长12厘米。如图1，若把这批砖横
着铺，则可铺897厘米长；如图2，若竖横相间铺，则可铺657厘米长。请问：如图3
这样铺，可铺多少厘米长？
答案：442厘米
［分析］长方形的长必是897的大于12的约数，只能为13,23,39，69,299。
①若长为13厘米，则一共有砖 块，砖宽为 厘米，则按照图2的方式
排成一行长为 厘米，不合题意。
②若长为23厘米，则一共有砖 块，砖宽为 厘米，则按照图2的方
式排成一行长为 厘米，合题意。
③若长为39厘米，则一共有砖 块，砖宽为 厘米，则按照图2的方
式排成一行长为 厘米，不合题意。
④若长为69厘米，则一共有砖 块，砖宽为 厘米，则按照图2的方
式排成一行长为 厘米，不合题意。
⑤若长为299厘米，则一共有砖1块。显然不合题意。
那么，砖长为23厘米，宽为11厘米，图3这样铺，可以铺 厘米。
2、一种商品的定价为整数元，100元最多能买3件，甲、乙两人各带了若干张百元钞票，
甲带的钱最多能买7件这种商品，乙带的钱最多能买14件，两人的钱凑在一起就能多
买1件。求这件商品的定价。
答案：27元
［分析］因为100元最多能卖3件，而甲、乙都带了整百元钱，那么
甲买7件，带了200元；
乙买14件，带了400元。
根据题意，甲乙共600元，可以买 件。
那么这件商品的价格不低于 元；高于 元。
因此定价为27元
3、小明要写152页字，小强要写150页字。从暑假第一天起，小明一天写3页，天天写；
小强第一天写4页，但是隔一天写一次。请问：第多少天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍？
答案：第39天
［分析］设第 天写完字后，小强没写的页数是小明没写的页数的2倍。则第 天写完字
后 小 明 写 了 页 ， 小 强 写 了 ， 即 页 ， 那 么 可 列 方 程
，解得 。则第39天写完字后，小强没写的页数是小明没
写的页数的2倍。
4、现有甲、乙、丙三种食盐水各200克，浓度依次为42%、36%、30%，现在要配制浓度是
34%的食盐水420克，至少要取甲种食盐水多少克？
答案：40克
［分析］要取甲种盐水尽量少，需要丙种盐水尽量多，最多取200克，则设取甲种盐水
克，乙种盐水 克，可列方程 ，解得
。则至少要取甲种食盐水40克。
5、要生产某种产品 100吨，需用 种原料200吨，或 种原料200.5吨，或 种原料
195.5吨，或 种原料192吨，或 种原料180吨。现知用 种原料及另外一种（指 、
、 、 中的一种）原料共19吨生产此种产品10吨。试分析所用另外一种原料是哪
种，这两种原料各用了多少吨？
答案：另一种原料为 ； 用了10吨， 用了9吨
［分析］单用A、B、C或D生产10吨产品，均需多于19吨原料，因此要用19吨原料来
生产10吨产品，必须用E（浓度与经济问题）。
接下来用方程的方法求解：设用了 吨甲原料， 吨乙原料，那么
解得，
因此，另一种原料为E.A原料用了10吨，E原料用了9吨。
6、某城出租车的计价方式为：起步价是3千米8元，之后每增加2千米（不足2千米按2
千米计算）增加3元。现从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元；如果从甲地到乙地
先步行900米，然后再乘出租车只要41元。那么从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地
需支付多少钱？
答案：23元
［分析］由第一个条件从甲地到乙地乘出租车共支出车费44元可以知道甲地到乙地一共
千米，由第二个条件从甲地到乙地先步行900米，然后再乘出租车只要41元可以
知道甲地到乙地一共 千米。这样的话我们可以知道甲地到乙地一共 千
米，则从甲、乙两地的中点乘出租车到乙地一共为 千米，这样的话一共需要支
付 元。
7、现有21块巧克力， 、 、 、 、 五个人轮流把这些巧克力吃光了，但不知道他
们吃的先后顺序。 说：“我吃了剩下巧克力数量的三分之二。” 说：“我吃了剩下巧
克力数量的一半。” 说：“我吃了剩下巧克力数量的一半。” 说：“我吃光了剩下的巧
克力。” 说：“我们每人吃的数量互不相同。”已知每人吃的数量都是正整数，请问：
吃了多少块巧克力？
答案：9块
［分析］由题意显然 是最后一个吃的，总数21块中去掉 所吃的剩下的巧克力的个数
应为 的倍数，得 、 、 、 一共吃的巧克力为12块，这样的话 吃了9
块。检验：首先 吃9块，其次 吃6块，再次 吃3块，然后 吃2块，最后 吃1块。
8、已知 、 、 、 、 、 六人分别看了5、5、6、8、8、10场演出。每场演出票
价不变，成人票的票价是儿童票的2倍，且均为整数元。已知这六人买演出票共支出了
1026元，求成人票单价。
答案：36元
［分析］我们可以把一张成人票看做两张儿童票。那么儿童票的整数应该在
（6人都是儿童）至 （6
人都是成人）之间。
由于共花费1026元，那么儿童票的总数必然是1026的约数。我们把1026分解质因数：
。它在 42～84 之间的约数只有 2 个：54,57。其中 54 是不可能的；（A,F是成人，其它4人是儿童）。
那么儿童票的价格是 元，成人票36元。
9、甲、乙两厂生产同一规格的上衣和裤子，甲厂每月用16天生产上衣，14天生产裤子，
共生产448套衣服（每套上衣、裤子各一件）；乙厂每月用12天生产上衣，18天生产
裤子，共生产720套衣服。现两厂合并后，100天最多可以生产多少套衣服？
答案：4320元
［分析］首先我们看看甲乙两厂都擅长什么，由已知甲厂每天生产上衣 件，
每天生产裤子 件，甲厂生产上衣裤子的工效比 ；乙厂每天生产上
衣 件，每天生产裤子 件，乙厂生产上衣裤子的工效比
。所以甲擅长生产裤子，乙擅长生产上衣。所以这100天中甲专门生产裤子，
一共可以生产 件，乙生产与甲配套的上衣用时 天，那么乙剩
余时间 天，其中 的时间用于生产上衣，一共 件，另
外 的时间用于生产裤子，一共 件。这样的话一共生产了
套。
10、如图，圆形湖泊周长1200米，除了 点和 之外，每隔100米就有一只蜜蜂，一共十
只蜜蜂。它们按照顺时针的方向飞行，各个蜜蜂的速度均标在了图上，单位是“米/秒”。
小偷从 点出发沿湖顺时针逃到位于 点的家中。只要被沿途的蜜蜂碰到，小偷就会
被蛰一下。请问：小偷最少会被几只蜜蜂蛰到？
答案：3只
［分析］由于9号追上1号用50秒，10号追上2号用50秒，11号追上3号用50秒，所以
小偷会被1号或9号至少蛰一次（如果不超过1号，他想要到达B就一定被9号蛰到；如
果超过1号，这样的话他就被1号蛰到了；如果超过1号又恰好被11号追到，这样的话他
就被蛰两次，因而小偷至少被蛰一次），同理，被 2号和10号至少蛰一次，同理，被3号
和11号至少蛰一次。那么他就被至少蛰三次，那么三次能不能满足条件呢？我们观察到，
只要小偷不追到4号蜜蜂我们的目的就达到了，进而我们观察到 4号蜜蜂50秒的时间正好
跑到了B，所以我们让小偷50秒的时间跑到B即可，即小偷的速度是 米/秒。
综上所述，小偷至少被3只蜜蜂蛰到。
拓展篇
1、有8个盒子，各盒内分别装有奶糖9、17、24、28、30、31、33、44块。甲先取走了一
盒，其余各盒被乙、丙、丁三人所取走。已知乙、丙取到的糖的块数相同且为丁的 2倍。
问：甲取走的一盒中有多少块奶糖？
答案：31块
［分析］乙、丙取走的块数相同且都为丁的2倍，所以乙、丙、丁三人取走的糖块数之和
是5的倍数，因此其个位数必为0或5。我们只需判断总数减去那一盒的数量能够得到一个
个位为0或5的数即可。经判断，甲取走的一盒有31块糖。
［小结］ 这是一道华杯赛口试题，要求在一分钟内给出完整的解答，显然要采用"短平
快"的思路。巧用个位数进行判断，避免大动干戈进行计算，是一种非常巧妙的解法。
2、商店进了一批同样规格的袜子甩卖，为了避免找零，按 40%的利润先定价，实际上收取
高于“定价×双数”的最小整数元。结果买2双袜子需要5元，3双袜子需要8元，5双袜子需要12元，已知每双袜子的成本和利润都是整数分，求每双袜子的成本。
答案：1.70元
［分析］设袜子每双定价为 元，那么依题意
那么 。
又题目中说：每双袜子的成本和利润都是整数分，那么 能得到整数分。
在2.34至2.39的范围内，只有2.38满足题意， 。
因此没双袜子的成本是1.70元。
3、甲站有车26辆，乙站有30辆。从上午8点开始，每隔5分钟由甲站向乙站开出一辆车，
每隔7.5分钟由乙站向甲站开出一辆车，都经过1小时到达对方车站。问：最早在什么
时候，乙站车辆数是甲站的3倍？总共持续多长时间？
答案：125分钟之后；15分钟
［分析］甲站每小时发车 辆，乙站每小时发车 辆，而 ，
即9点以后每隔15分钟甲乙两站同时有车抵达。我们观察甲乙两个车站车数的情况：
9:00时，甲站有车 辆，乙站有车 辆；
10:00时，甲站有车 辆，乙站有车 辆；
10:00 10:05时，甲站有车10辆，乙站有车26辆；
10:05 10:07 时，甲站有车9辆，乙站有车27辆，满足条件，持续2.5分钟；
10:07 时，甲站有车10辆，乙站有车27辆；
10:07 10:10时，甲站有车10辆，乙站有车26辆；
10:10时，甲站有车10辆，乙站有车27辆；
10:10 10:15时，甲站有车9辆，乙站有车27辆，满足条件，持续5分钟；
10:15时，甲站有车10辆，乙站有车28辆；
10:15 10:20时，甲站有车9辆，乙站有车27辆，满足条件，持续5分钟；
10:20时，甲站有车9辆，乙站有车28辆；
10:20 10:22 时，甲站有车8辆，乙站有车28辆；
10:22 时，甲站有车9辆，乙站有车28辆；
10:22 10:25时，甲站有车9辆，乙站有车27辆，满足条件，持续2.5分钟；
10:25时，甲站有车8辆，乙站有车28辆；
10:25 10:30时，甲站有车8辆，乙站有车28辆；
10:30时，甲站有车9辆，乙站有车29辆；
10:30 10:35时，甲站有车8辆，乙站有车28辆；
10:35时，甲站有车8辆，乙站有车29辆；
10:35 10:37 时，甲站有车7辆，乙站有车29辆；
10:37 时，甲站有车8辆，乙站有车29辆；
10:37 10:40时，甲站有车8辆，乙站有车28辆。
时间再往后推，乙站有车超过27辆，甲站有车不超过8辆，因而不可能乙站的车是甲站的
3 倍。综上所述，10:05 开始，即 125 分钟后乙站车辆第一次是甲站的 3 倍。共持续
分钟。4、有4种颜色的卡片每种各3张，每张卡片上写有一个正整数，相同颜色的卡片上写有相
同的数，不同颜色的卡片上写有不同的数。把这些卡片发给6个人，每人得到2张不同
色的卡片，将上面的数相加，得到了6个和：88、121、129、143、154、187。但是，
其中有一个人算错了。请从小到大依次写出四种颜色卡片上所写的数，请写出所有可能。
答案：40、48、81、106或33、55、88、99
［分析］设这四种颜色上的数字分别是 ，任取两张的取法为 种。恰好为
这六个数就是88、121、129、143、154、187（但其
中有一个是错误的）。我们发现 。
所以，88、121、129、143、154、187 中应有两对数的和是相等的，经检验
。不妨设 ，则有：
，我们分类讨论：
若129错了，则这个数应是 。所以 或 。
如果 ，经过计算可得 ，不满足题意。
如果 ，经过计算 。
若143错了，则这个数应是 。所以 或 。
如果 ，经过计算可得 ，不满足题意。
如果 ，经过计算 。
综上所述，一共有两种可能：40、48、81、106或33、55、88、99。
5、生产某种产品100吨，需用 原料250吨，或 原料300吨，或 原料225吨，或 原
料240吨，或 原料200吨。现知用了 原料和另外两种原料共15吨生产该产品7吨，
每种原料都用了至少1吨，且某种原料占了原料总量的一半，那么另两种原料是什么？
分别用了多少吨？
答案：另两种原料是 、 ； 用了1.875吨， 用了5.625吨， 用了7.5吨
［分析］每生产1吨产品，需用A原料2.5吨，或B3吨，C2.25吨，D2.4吨，E2吨。现在
我们要用15吨原料生产7吨产品，相当于每 吨原料生产1吨产品。那么必须
用到原料E。考虑到每种原料至少1吨，那么另一种原料只能选和 比较接近的原料
C。
已知其中一种原料占总量的一半，那么只能是E用了一半，7.5吨，A、C共用7.5吨。
下面我们列方程来求A,C的用量。设用了A 吨，那么C 吨。列方程：
解得 ， 。
因此另两种原料是 、 ； 用了1.875吨， 用了5.625吨， 用了7.5吨
6、北京九章书店对顾客实行一项优惠措施：每次买书200元至499.99元者（包含200
元）优惠5%。每次买书500元以上者（包含500元）优惠10%。某顾客到书店买了三次
书。如果第一次与第二次合并一起买，比分开买便宜 13.5元；如果三次合并一起买比
三次分开买便宜39.4元。已经知道第一次的书价是第三次书价的 。问：这位顾客第二次买了多少钱的书？
答案：115元
［分析］设第三次的书价为 元，则第一次的书价为 元。
由已知我们知道 元， 元，所以第一次第二次合并一起买只
能优惠 ，也就是说合买的总价属于200元至499.99元这个范围之内，或句话说第一次
和第二次合买的总价为270元，那么三次合买的总价为 元。下面分类讨论：
①若 ，那么 ，可列方程 ，解得 ，不符合条
件；
②若 ，那么必有 （不然的话就与第一种情况相同了），可列方
程 ，解得 ，符合条件。
那么顾客第二次购买书的价钱为 元。
7、甲、乙两人同时从 地出发，以相同的速度向 地前进。甲每行5分钟休息2分钟，乙
每行210米休息3分钟。甲出发后50分钟到达 地，乙到达 地比甲迟了10分钟。已
知两人最后一次的休息地点相距70米，求两人的速度。
答案：50米/分钟
［分析］由于甲每行5分钟休息2分钟，我们管这7分钟称作一个甲的时间段，那么甲行
全程一共过了7个甲的时间段，最后再行驶1分钟就到达了 地，共历时50分钟，而实际
上甲真正走在路上的时间为 分钟。如果设全程距离为 米，则甲，乙的速度为
米/分钟，由于两人最后一次的休息地点相距70米，有可能是甲在乙左边70米，也有
可能是甲在乙右边70米，故分类讨论如下：
①甲在乙左边70米，那么 ，即 。可列方程 ，
解得 ，显然不符合题意。
②甲在乙右边70米，可列方程 ，解得 。 。
综上所述，两人的速度为50米/分钟。
8、货运公司要用若干辆最大载重2.1吨的汽车一次性搬运总重18.6吨的货物。为方便搬
运，
公司把这18.6吨货物包装成若干箱，每箱重量相同。由于包装规格所限，每箱的重量不
能超过320千克，且包装好后，货物只能整箱搬运，不得拆箱。请问：要保证一定能一
次
搬运所有货物，至少需要多少辆汽车？此时每箱货物重量为多少千克？
答案：至少11辆；每箱 千克
［分析］（1）考虑最不利的情况，让每辆车浪费的空间尽量多。
由于每一箱最多是320千克，因此每辆车最多浪费不超过320千克载重。那么我们计算一
下需要几辆车才能运走： （千克），即需要11辆车才能完
全运走。
（2）若需要11辆车来运走，那么每辆车必须浪费多于 （千克）载
重。
而货物最少要被分成 （包）。
如 果 装 成 59 包 ， 那 么 每 一 包 重 （ 千 克 ） ， 每 车 浪 费
（千克） 千克，不符合条件；如果装成60包，那么每一包重 （千克），每车浪费
（千克） 千克，不符合条件；
如 果 装 成 61 包 ， 那 么 每 一 包 重 （ 千 克 ） ， 每 车 浪 费
（千克） 千克，成立。
因此，至少11辆；每箱 千克
9、某车间有30名工人，计划要加工 、 两种零件。这些工人按技术水平分成甲、乙、
丙三类人员，其中甲类人员6人，乙类有16人，丙类有8人。各类人员每人每天加工
两种零件的个数如表所示。如果要求加工 、 两种零件各3000个，那么最少要用几
天？
答案：5天
［分析］甲生产 零件的效率的比为 ；乙生产 零件的效率的比为 ；
并生产 零件的效率的比为 。所以甲生产 零件合适，丙生产 零件合适，那么
让甲生产 零件，让丙生产 零件，而设乙生产 零件 人，生产 零件 人，一共
生产 天，则：
，两式相比可解得 ，带入可得 。所以至少需要5
天。
10、有三个一样大的桶，一个装有浓度为60%的酒精100升，一个装有水100升，还有一个
桶是空的。现在要配制浓度为36%的酒精，只有5升和3升的空桶各一个可以作为量具，
并且桶上无其他刻度。如果倒溶液的时候最多只允许往每个量具里倒 4次，那么最多
能配制出浓度为36%的酒精多少升？
答案：20升
［分析］由十字交叉（或者浓度三角）可得需要60%的酒精3份，需要水2份，这样的话
可以配出36%的酒精5份，由于可以量出来的酒精都是整数升，所以配成的36%的酒精必
为5的倍数，下面分类讨论：
①如果配成36%的酒精5升，需要60%的酒精3升，水2升，显然可以配出；
② 如 果 配 成 36% 的 酒 精 10 升 ， 需 要 60% 的 酒 精 6 升 ， 水 4 升 ， ，
，显然可以配出；
③如果配成 36%的酒精15升，需要60%的酒精9升，水6升， ，
可以配出；
④如果配成 36%的酒精 20 升，需要 60%的酒精 12 升，水 8 升， ，
可以配出；
⑤如果配成36%的酒精25升，需要60%的酒精15升，水10升，设量出15升需要5升量
筒 次，需要3升量筒 次；量出10升需要5升量筒 次，需要3升量筒 次。可列方程：
，其中 都是自然数，而且 ，观察这个不定方程，和 都是5的倍数，则 ，则 ，显然不符合条件。
⑥如果配成36%的酒精30升，需要60%的酒精18升，水12升，设量出15升需要5升量
筒 次，需要3升量筒 次；量出10升需要5升量筒 次，需要3升量筒 次。可列方程：
，其中 都是自然数，而且 ，观察这个不定方程，
和 都是3的倍数，则 只能为0， ，那么 ， ，显然不符合条件。
⑦如果配成36%的酒精35升或者更高的5的倍数，（拿35升举例子）仍然有 ，
我 们 把 两 个 式 子 相 加 ， 而 ， 所 以
最大为32，显然35升或者更高的5的倍数是不可能的。
综上所述，最多能够配出的浓度为36%的酒精20升。
11、一条环形道路，周长为2千米。甲、乙、丙三人从同一地点同时出发，每人环行2周。
现有自行车两辆，乙和丙骑自行车出发，甲步行出发，中途乙和丙下车步行，把自行
车留给其他人骑。已知甲步行的速度都是每小时 5千米，乙和丙步行的速度都是每小
时4千米，三人骑车的速度都是每小时20千米。请你设计一种走法，使三个人两辆车
同时到达终点。环行2周最少要用多少分钟？
答案：19.2分钟
［分析］每人要环形2圈，3人共需环形6圈。注意本题不是接送问题，那么自行车只能前
进或停下，不能后退，因此自行车走了整数圈。为了让总时间最短，那么两辆自行车行驶
的圈数越多越好。最多是5圈。下面我们想办法让自行车走5圈。
先让乙、丙骑自行车骑车1圈后超过甲，然后乙把车停在甲前面某处，下车步行，甲
骑车到终点；然后丙在乙前面某处下车步行，乙骑车到终点。
我们设甲步行的距离是 千米。考虑自行车共走了5圈，那么甲、乙、丙共走1圈，
于是乙、丙共步行 千米。由于3人同时到达终点，那么甲用的时间是乙、丙总时间的
一半。我们可以列出方程：
，解得 。
那么共要用 分钟。
12、幼儿园大、中、小三个班，小班人数最少，大班比小班多6人，中班共27人。把25
筐苹果分给他们，每筐苹果在50至60之间不等。已知苹果总数的个位数字是7，若每
人分得19个，则苹果不够；若大班比中班每人多1个，中班比小班每人多一个，则苹
果刚好分完。那么按第二种分法，大班每人分得几个苹果？小班有多少人？
答案：18个；25人
［分析］方法一：设大、中、小三班共有 人，中班每人分 个苹果．
因为大班每人 个苹果，小班每人 个苹果，且大班比小班多6人，所
以如果减少6个苹果，大、小班平均每人 个苹果．由此推知苹果总数为 ．
因为“每人分19个苹果，则苹果数不够了”，所以 ．
因为小班人数最少，中班有27人，所以总人数
．
苹果总数在 与 之间，即
．
由 ，可得
由 及 是整数知， ． ，
，
由 知， ．
由 的个位数是7，推知 的个位数是1，由 ， ，及 推知， ， 的个位数是3， 只能是73或83．
若 ，则苹果总数 ，
不合题意． 若 ，则苹果总数： ，
符合题意．大班每人分苹果 个，小班有 (人)．
方法二：首先，总人数不超过 人；其次，苹果的个数在
和 之间；现在大班每人比中班每人多分一个，中班每
人比小班每人多分一个，刚好分完。我们可以先从总数中拿出6个，让大班中的
6个人先少拿一个，拿和中班一样多，这样就变成平均都和中班的拿一样多，
。所以，每人至少分15个，但至多分18个；再则，苹果总数
的个位数字是7，所以只能是每人17个或15个；但15个显然不可能，因为任何
数乘以 15 后个位只能是 5 就是 0。所以每人应该是 17 个苹果，即大班每人
17+1=18个。 。总人数应多于73人， ，个
位不是1，要使个位为1需加个位为3的17的倍数， ，所以，桔子总
数为 个，总人数74+9=83人。小班有
人。
超越篇
1、如图所示，在直角三角形 中， 长3厘米， 长4厘米， 长5厘米。有一
只
小虫从 点出发，沿 以1厘米/秒的速度向 爬行；同时，另一只小虫从 点出发，
沿 以1厘米/秒的速度向 爬行。请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置 、
与
组成的三角形 是等腰三角形？（请写出所有答案）
答案：2秒、 秒或 秒
2、七个人围坐在圆桌周围，在每个人面前都有一个牛奶杯。第一个把自己的牛奶都平均分
到其余的杯子中去，接着第二个人照样做一遍，然后第三个人到第七个人也同样做一遍。
最后发现每个杯子中的牛奶都和最开始时一样多。如果所有杯子的牛奶共有 7升，那么
第一个人到第七个人的杯子里开始时分别有牛奶多少升？
答案：分别有2升、 升、 升、1升、 升、 升、0升
［分析］显然初始时，第7人有0升牛奶，且第 次操作后，第 人有0升牛奶。那么这样
进行7次操作后，从第1人到第7人的牛奶量依次变少，那么初始状态每个人的牛奶量也
依次递减。当第1人把牛奶分出后，第1人牛奶变成0升，其他人的牛奶量都增加。可以
想象成第1人变成了第7人。
假设最开始7个杯子中分别有 升牛奶，为了使7此操作后每个杯子中的
牛奶量和初始状态相同，那么第1次操作后，7个杯子中应该分别有 升。
那么可以列出方程 。那么 分
别占 份。每份是 升。那么原来每杯分别有2升、
升、 升、1升、 升、 升、0升。3、甲、乙两人切蛋糕，两人轮流切，每人切走了五块。已知
①甲切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的 、 、 、 和 各一次，
但不全对应切蛋糕顺序；
②乙切了5次蛋糕，每次切走的蛋糕恰是切蛋糕时蛋糕大小的 、 、 、 和 各一次，
但不全对应切蛋糕顺序；
③切的最大的两块都是原来蛋糕的 ，另外还有一块大小是原来蛋糕的 。
求切的第八块蛋糕与原来蛋糕的大小之比。
【分析】
第一刀必为 ，第二刀必为 。第三刀必为 （切出 ）。第四刀必为 。
第五刀必为 （切出 ）。第六刀必为 。第七刀为 （切出 ），第八刀为 。
所以，答案为
4、师徒两人共同组装50台机器，每台机器组装必须经过 、 两道工序。对于每台机器，
师傅操作 工序需要15分钟，操作 工序需要5分钟；徒弟操作 工序需要45分钟，
操作 工序需要20分钟。每台机器每道工序只能由一人完成，不同工序可以由不同人
分
别完成，但必须 先 后。试问：如果两人合作至少要花多少分钟才能完成工作？
【分析】45+20+20+20+20=125，在125分钟内，师徒可携手完成8件
A A A A B A B A B A B
A B B B B
50÷8=6……2,所以，最少需要125×6+35=785分钟。
5、甲、乙两人在如图的跑到上练习跑步，两人从 点同时出发，甲在 、 之间做折返
跑（转身时间不计），乙则沿着正方形跑道 顺时针跑步，已知 米，
且两人跑步的速度都是每秒3米到每秒8米之间。如果两人出发2分钟后第一次相遇，
之后隔了15秒后两人第二次相遇，那么两人第二次相遇处距离 多远？
答案：75米
［分析］首先，甲、乙两人只有 段是共用跑道，因此相遇只能发生在 段上。而15
秒两次相遇，那么只能是第一次甲从 到 与乙迎面相遇，15秒后甲从 到 与乙同向追
及。设甲的速度是 ，乙的速度是 ， 。第一次相遇地点在 左侧 米处，相遇
时甲已经走了 个来回，乙已经走了 圈。
那么第一次相遇时甲走了 ；
乙走了
第二次相遇时乙走了 ，
甲走了根据 ，那么 。再看 ，若 ,那么
，矛盾。那么 ， 。
又 ，那么 。如果 ，那么 ，因
此 ， 。
把 ， 代 入 中 ， 得 到 ： ， 解 得
。
那么第二次相遇位置在A左侧 米。
6、某电器商场开展促销活动，每次消费超过 1500元不足3000元者（含1500元）优惠
5%，超过3000元者（含3000元）优惠10%。甲、乙、丙三个人各买了一件电器，如果
甲、乙一起结算，比分开结算便宜130元；如果甲、丙一起结算，比分开结算便宜260
元；如果三人一起结算，比三人分开结算便宜405元。请问：三人购买的电器价格分别
是多少？
【分析】甲+丙=260，260÷10%=2600＜3000,260÷5%=5200＞3000，所以，丙的价格在
1500至3000之间。
甲+乙=2600
2甲+丙=5200
2甲+2乙+丙=8100
解得： 甲=1150
乙=1450
丙=2900
答案：甲1150元，乙1450元，丙2900元
7、某商场进行酬宾，规定现金消费每满 50元返回10元礼券，多出不足50元部分不计
（比如消费99元只能返回1张10元礼券），用礼券产生的消费不参与返券。妈妈看中
了3件商品，分别是100多元、200多元、300多元，且都是10的倍数，更巧的是，有
两件商品的价格之和正好是整百。为了充分利用返券，妈妈打算先买其中的两件，然后
兑换返券，这样买第三件商品的时候，就可以用上返券了，当然，如果返券不够买第三
件，自己还得再掏一些钱。她合计了一下，这样安排的话，共有三种可能的消费结果：
第一种恰好花640元，礼券也用完了；另外两种情况都要花670元，但最后又返回40
元礼券。问：三种商品的价格分别是多少元？
640元无返券，说明最后加钱不超过50，必为第一件。。
第二、三种合买最少返100元，最多返120元。所以第一种商品的价钱小于等于170元。
最后返40元券说明加钱大于等于200，小于250。
若最后买第二件商品，前两次返券最少返80元，所以第二件商品应为280元或290元。
若第二件商品为280元，则第一件与第三件的价钱和小于450。最多花650元，不成
立。
所以第二件商品为290元。
若第一件商品为110元，则合买一、二可返80元，第三次最多为330元，最多花650元，
不成立。
所以第三件商品为310元。
此时，易得第一件商品为160元。答案：160元，290元，310元
8、学校运来125个桃和若干个梨，分别平分给每位老师，最后剩下一些梨和桃不够分。这
时又运来了26个水果（桃梨若干），和之前剩下的水果凑在一起，再平分给老师，每
个老师多分得3个水果（每位老师的桃数相同，梨数相同）。最后又运来 40个水果
（桃梨若干），但是发现所剩的桃和梨竟不够每位老师同时多拿一个，那么第一次分后
剩下了多少个梨？
答案：17个
［分析］运来了26个水果，每个老师多分得3个水果，那么考虑最有利的情况，上次分配
正好缺1个桃，1个梨，那么剩下的24个水果正好是同一种水果，恰好可以给每个老师分
一个。从这个情况考虑，老师的人数最多不会超过24人。
考虑第二次运来40个水果，所剩的桃和梨竟不够每位老师同时多拿一个。考虑最不利
的情况，上次分配是恰好分完的，40个水果中，恰好一半时桃，一半是梨。那么老师的人
数必然超过21人。
通过上面两部考虑，老师的人数只能是24,23,22,21。
（1）若老师人数是24， 第一次分完后剩下5个桃子，最多剩下23个梨。
运来26个水果， ，不合题意；
（2）若老师人数是23， 第一次分完后剩下10个桃子，最多剩下23个梨。
运来26个水果， ，不合题意；
（3）若老师人数是22， 第一次分完后剩下15个桃子，最多剩下23个梨。
运来26个水果， ，不合题意；
（4）若老师人数是21， 第一次分完后剩下20个桃子，最多剩下23个梨。
运来26个水果， ，符合题意。
那么我们可以确定，老师的人数只能是21人。接下来分析第一次分完后应该剩下几个
梨。老师人数是21人，而第二次增加40个水果后，桃和梨不够每位老师同时多拿一个，
那么只能是上一次恰好分完，而这40个水果是20个桃，20个梨。
那么第一次分完后剩下 个梨。
