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第16讲 最值问题二
兴趣篇
1、用0,1,2，…，9这10个数字各一次组成5个两位数 、 、 、 、 。请问：
最大可能是多少？
答案：222
［分析］要让 结果尽量大，那么 的十位要尽量大， 的十位尽
量 小 。 再 让 的 个 位 要 尽 量 大 ， 的 个 位 尽 量 小 。 那 么 可 以 得 到
。
2、将135个人分成若干小组，要求任意两个组的人数都不同，最多可以分成多少组？这时
人数最少的那组有多少人？
答案：15组；1个人或2个人
［分析］ ，因此最多可以分为15组。
又， ，因此人数最少的一组有1或2人。
3、有11个同学计划组织一场围棋比赛，他们准备分为两组，每组进行单循环比赛，那么
他们最少需要比赛多少场？
答案：25场
［分析］两队人数最接近的时候，比赛场次最少。要证实此结论，可采用逐步调整法：
考虑初始状态是 ，那么把一个人从1组调到2组可以减少10场比赛，变成 ；
再把一个人从1组调到2组可以减少1组9场比赛，增加2组1场比赛，变成 ……。
，减少6场，增加4场； 减少5场，增加5场。再调整的时候，
增加的场数要比减少的多了，那么 分组时的场次达到最少。
分成1组5人，1组6人，那么共需比 （场）。
4、我们知道，很多自然数可以表示成两个不同质数的和，例如 。有的数有几种不
同的表示方法，例如 。请问：恰好有两种表示方法的最小
数是多少？
答案：16
［分析］如果我们能找到4个数 使得 ，那么就有 。我
们把质数从小到大写出来： 其中最小的满足上述条件的 4 个数是
，那么这个最小的数是 。
5、一个三位数除以它的各位数字之和，商最大是多少？商最小是多少？
答案：最大100；最小
设三位数为 。那么，它与其各位数的商为 。
。当且仅当 时，等号成立。例，
100。
，a=1，c=9时分子有最小值，b=9时，
分母有最大值。那么，当 时，商最小，为 。例，199。
6、（1）在分母是一位数的最简真分数中，两个不相等的分数最小相差多少？（2）从1至9中选取四个不同的数字填入算式 中，使算式的结果小于1。这个结
果最大是多少？
答案：（1） ；（2）
（1）分子相同的情况下，分母越大，分数越小。两个分母是一位数的最简真分数之差，
分母最大是 ，那么这两个分数的差最小是 。
（2）在形如 的分数中，分母越大，分数和1约接近。又 最大是72，因此这个结果
最大是 。
7、如图，等腰直角三角形 中， 厘米。在其中作一个矩形 ，矩形
的面积最大可能是多少？
答案：4平方厘米
矩形 的长和宽之和是一固定值：4厘米。那么长和宽相差越小，面积越大。因
此矩形面积最大为 平方厘米。
8、如图，从一个长方形的两个角上挖去两个小长方形后得到一个八边形。这个八边形的边
长恰好为1、2、3、4、5、6、7、8这8个数，它的面积最大可能是多少？
答案：70
先把八边形补成一个矩形。那么要让八边形的面积最大，首先要让矩形的面积最大。
矩形的周长为 如果 4 条边的长度都是 9，那么仅有
，而实际上有1条边是由3条小线段组成的，显然不成立。那么
让 。这时可让上下两条边为8： ，左右两边为10 。
此时大矩形的面积为 。此时想让八边形面积最大，那么左右缺损的两个小矩形面
积要尽量小，分别是 。于是八边形的面积最大为 。
各线段长度如图。
9、在 的方格表中将一些方格染成黑色，使得任意两个黑格都没有公共顶点。请问：
最多可以将多少个方格染成黑色？
答案：4个
把 的方格表分成4个 的小方格，那么为了使任意两个黑格都没有公共顶点，每个 的方格中，只能有1个黑色方格，即最多可以将4个黑色方格染成黑色。
例如 （写1处染黑色）。
10、古希腊有一位久负盛名的学者，名叫海伦。他精通数学、物理，聪慧过人。有一天，
一位将军向他请教一个问题：如图，将军从甲地骑马出发，要到河边让马饮水，然后
再回到乙地的马棚，为了使走的路线最短，应该让马在什么地方饮水？
答案：在下图中的 地饮水
A
B
Q P l
C
先把甲乙两地和河边分别抽象为如图的 两点和直线 。从 点做关于直线 对称的
点。那么现在，在直线 上的任意一点到 点的距离，和到 点的距离相等。那么直接
连接 交直线 于点 ， 点就是我们所求的饮马地点。
要证明这个结论很简单，只需在直线 上任取一点 ，那么 ，三角形两
边之和大于第三边。
拓展篇
1、如图所示，用一根长80厘米的铁丝焊接成一个棱长都是整数厘米的长方体框架。这个
长
方体的体积最大可能是多少？答案：294立方厘米
设长方体的长、宽、高分别为 ，那么 。我们知道，
和相同的情况下，差越小，积越大。因此体积最大时， ，体积为
（立方厘米）。
2、把14表示成几个自然数（可以重复）的和，并使得这些数的乘积尽可能大。问：这个
乘积最大可能是多少？
答案：162
我们要把14分成若干个自然数的和，并使他们的积尽量大，那么首先要尽量把所有数
分小，但又不能太小。那分到哪个数最划算呢？
我们考虑，5可以分成2和3；6可以分成3和3；7可以分成3、2、2……显然，这些自
然数中不能有超过4的数。而显然也不能有1。那么我们就需要尽量分成2,3,4这几个数。
对于这3个数，哪个最划算呢？我们注意到 ，3比4划算，
，3比2划算。因此要让积最大，我们应该尽可能多的分成 3，不足3
的用2。如果最后剩下4怎么办呢？因为 ，因此剩4的时候我们不分。
那么对于这道题， ，乘积最大为 。
3、从1,2，…，9中选出8个数填入下面算式中的方框中，使得结果尽可能大，并求出这
个结果。
答案： ，计算结果为131
，要让结果最大，首先是 中，乘数尽量大，
除数尽量小。那么 。和一定时，差越小积越大，那么 。
。
接下来，应该让 尽量小，那么乘数尽量小，加数尽量小，减数尽量大。
。于是
4、有13个不同的自然数，它们的和是100。其中偶数最多有多少个？最少有多少个？
答案：9个；5个
还剩下10，无法表示为3个不同奇数的和，那么最多有9个
偶数。我们去掉一个偶数18，那么剩下28可以表示成4个不同奇数的和 ，
那么最多可以有9个偶数。
，还差3个偶数。那么我们至少去掉2个奇数，换成5个偶数。
可以去掉1和19，那么剩下5个偶数的和是20， 。因此最少有5个偶
数。
5、将6、7、8、9、10这5个数按任意次序写在一圆周上，将每相邻两数相乘，再把所得
的5个乘积相加。请问：所得和数的最小值是多少？最大值是多少？
答案：312；323A
E B
D C
如图。要让乘积的和最小，那么10两边的数要尽量小。令 ，那么剩
下8,9， ，因此让 。乘积的和最小为：
要让乘积的和最大，那么 10两边的数要尽量大。令 ，那么剩下
6,7， ，因此让 。乘积的和最大为：
6、有5袋糖块，其中任意3袋的总块数都超过60。这5袋糖块总共最少有多少块？
答案：103块
如果让任意3袋都刚好有60块，那么可以让每一袋都有20块，那么共有100块糖。
现在我们想任意取3袋的总块数都超过60，那么只需在其中3袋中再加入1块糖。那么此
时5袋中共有103块糖。
7、已知算式 的结果是一个各位数字互不相同的数，这个结果最大可能
是多少？
答案：9872
9984恰好能被8整除，那么我们要求的是能被8整除的各位数字不同的最大四位数。
，那么9872满足条件。
8、用1、2、3、4、5、6、7、8、9各一次组成3个三位数，使得它们都是9的倍数，并且
要求乘积最大，请写出这个乘法算式。
答案：
要 让 乘 积 最 大 ， 首 先 3 个 三 位 数 的 百 位 数 字 必 须 尽 量 大 。
要分成3个能被9整除的三位数，那么必有1个数的各位
和为9，那么这个数最大是621。剩下两个三位数，百位必然是8和9，那么只能是873和
954。这个算式是：
9、所有不能表示为两个合数之和的自然数中，最大的一个是多少？
答案：11
所有不小于8的偶数，都能表示成两个偶合数之和；所有不小于13的奇数，都能表示
成9和一个偶合数之和。那么最大的不能表示为两个合数之和的自然数是11
10、把1至99依次写成一排，形成一个多位数： 。从中划去99个数字，剩下
的数字组成一个首位不是0的多位数。请问：剩下的数最大可能是多少？最小可能是
多少？
答案：最大 ；最小
要让剩下的数尽量大，我们要让前面有尽可能多的 9。1-9共9个数字，有1个9；以
后每10个数，20个数字中有1个9。那么1-49中共89个数字，有5个9。我们还可以再
划去 15 个数，那么划去 505152535455565 下一个最大的数字是 7，剩下的数最大是
。
要让剩下的数尽量小，第一位是 1，之后有尽可能多的0。1-10共11个数字，有1个
1,1个0；以后每10个数，20个数字中有1个0。那么1-50中共91个数字，有1个1，5
个0。我们还可以再划去14个数，51-60中我们可以留下6个数字，那么选择123450是最
小的。剩下的数最小是 。11、邮递员送信件的街道如图所示，每一小段街道长1千米。如果邮递员从邮局出发，必
须走遍所有的街道，那么邮递员最少需要走多少千米？
答案：26千米
一笔画问题。图中有2个奇点，但我们不是从其中一个奇点出发，因此不能一笔画出。
现在题目要求走遍所有的街道，那么必然要走重。连接两个奇点，那么现在总路线多了 1
千米，奇点个数为0个，可以一笔画出。那么总路线为各条线段长度加起来，再加1，共
26千米。
12、如图，有一个长方体形状的柜子。一只蚂蚁要从左下角的 点出发，沿柜子表面爬到
右上角的 点去取食物，蚂蚁爬行路线的长度最短是多少？一共有几条最短路线？请
在图中表示出来。
B
B
3
A
3 1 A
答案：5；4条；表示略
如图，把柜子展开，那么根据两点之间线段最短（三角形两边之和大于第三边），最
短距离为5。共有4条这样的路线。
超越篇
1、一台计算器大部分按键失灵，只有数字“7”和“0”以及加法键“+”尚能使用，因此
可
输入77,707这样只含数字7和0的数，并且能进行加法运算。为了显示出222222，最
少要按“7”键多少次？
答案：21次
从题目要求可知，只用“ ”、“ ”和“ ”键来显示“ ”，而
。这道算式说明，如果只用“ ”键连续加 次，就能得到 。但这
样的次数太多了。况且，“ ”键也没有发挥作用。有没有更好的解决办法呢？
由题目可得我们需要尽量少按“7”，而按“0”的次数并没有限制，那么我们发现
222222=3×7×104 +1×7×103 +7×7×102 +4×7×101 +6×7×100
，这属于位值原理的灵活
运用。因而我们发现，只需要按3+1+7+4+6=21 次“7”然后把它们都加起来就可以了。
2、用1、3、5、7、9这5个数字组成一个三位数 和一个两位数 ,再用0、2、4、
6 、 8 这 5 个 数 字 组 成 一 个 三 位 数 和 一 个 两 位 数 . 请 问 ： 算 式
的计算结果最大是多少？
答案：60483
［分析］要使 的结果最大，那么要使 的值最大，的值最小。
对于位数不同的两数进行赋值，首先应把位数补齐，再从高到低赋值。
要使 的值最大，即让 每位数字的分配方法如下：百位尽可
能大， ；十位两数次之， ；个位最小 。于是，要让两乘数的
差尽量小，那么， ， 。
的值最小，即让 每位数字的分配方法如下：百位尽可能小，
；十位两数次之， ；个位最大 。于是，要让两乘数的差尽量大，
那么 。
，
所以 。
3、将1、2、3、4、5、6分别填在正方体的6个面上，计算具有公共棱的两个面上的数的
乘积，这样的乘积共有12个，这12个乘积的和最大是多少？
答案：147
［分析］易知，除了对面两个数不需相乘外，其他没两数都要相乘一次。那么我们只需要
考虑怎样让对面的3组数的乘积最小即可。那么，1,6一组，2,5一组，3,4一组。12个乘
积的和最大为： 。
4、用1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三
位数的正确的减法算式，那么这个算式中的差最大是多少？
答案：784
［分析］构造数字谜如右上图，那么这个加法竖式中，其中一个加数就是所求的差，假设
为 。
首先考虑进位：这个加法算式中最多有2次进位（否则和为4位数）。如没有进位，那
么 ，不成立。如果有 2 次进位，
，也不成立。那么只有 1次
进位，而且不可能发生在百位。可以求得： 。
要让差最大，必然要让 ， 。下面根据在哪里进位进行讨论。
（1）如果进位发生在个位，那么 ，此时 （ 进位得1，与
重复）。我们可以发现，此时无法安排 的取值。因此进位不会发生在个位。
（2）如果进位发生在十位，那么 ，那么 的最大值是8。此时个位不进位，可以选
择的只有 。为了让 尽量大，那么我们选择 ， 。那么我
们可以得到： 。
综上，差最大为784
5、有的偶数可以写成两个奇合数之和，例如 ， 。所有不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的一个是多少？
答案：38
［分析］ ，那么任何大于34的除以3余1的数都可以表示成
25加上一个3的倍数的奇合数的形式；任何大于44的除以3余2的数都可以表示成35加
上一个3的倍数的奇合数的形式。因此不小于44的偶数是肯定满足条件的。
又 都满足，因此不能表示为两个奇合数之和的偶数中，最大的是38
6、如图，有一个圆锥形沙滩的底面直径 为2厘米，母线 的长度为6厘米。请问：
（1）如果一只蚂蚁想从 点去 点，最短路线应该怎么走？请设计出一条最短路线
（蚂蚁只能在圆锥表面走）；
（2）如果一只蚂蚁需要由 点出发到达线段 上（可以到其上的任意一点），那么最
短路线应该怎么走？
［分析］（1）把圆锥的侧面展开，两点之间线段最短，如下图所示；
（2）同样先把圆锥的侧面展开。点到直线垂线段最短，如下图所示
7、如图，一个边长为10的正方形四个角剪去四个正方形，剩下部分可以拼成一个无盖长
方
体，那么所得的长方体容积最大是多少？答案：
［分析］设减去的小正方形的边长是 ，那么长方体的容积是： 要求这
个式子的最大值。我们知道，如果几个数的和固定，那么要它们的积最大，只需要这几个
数的差尽量小就可以了。可是这里面3个数的和为 ，不固定。那么我们可以考虑这
3个数： ，这3个数的和是20，积是 的4倍。而这3
个数满足 时积最大，此时 。那么长方体容积的最大值是：
。
8、一个 的方格表中，每个小方格内填有一个数，并且表中的每一行、每一列的数都
构成等差数列。已知任取 个方格，只要知道了这些方格中的数，就可以把方格表补填
完整，那么 的最小值是多少？
答案：10
［分析］如果我们能找到其中2行中每行都有2个或以上的数，那么我们必能推出这2行
中的所有数字，进而能推出整个方格中的所有数字。同理，找到其中2列中每列都有2个
或以上的数亦然。
从最不利的情况考虑，我们取一整行和一整列的共计 9个数字，此时我们无法推出其
它任何数字（如图）。此时只要再知道任意一个数字，就满足上述条件。因此 的最小值
是10。
