文档内容
专题 22.3 二次函数 y=ax²+bx+c（a≠0）的图象与性质
目 录
一.知识梳理与题型精析................................................................................................................1
知识点（一）二次函数 化为 .....................2
【题型1】一般式化为顶点式..............................................................................................................2
知识点（二）二次函数 平移......................................................................3
【题型2】二次函数的平移..................................................................................................................4
知识点（三）待定系数法求二次函数 的解析式......................................5
【题型3】待定系数法求二次函数解析式（一般式）.......................................................................5
【题型4】待定系数法求二次函数解析式（顶点式）.......................................................................7
【题型5】待定系数法求二次函数解析式（两根式）.......................................................................9
知识点（三）二次函数 的性质................................................................11
【题型6】画二次函数 的图象.................................................................12
【题型7】二次函数 的增减性.................................................................15
【题型8】二次函数 的最值.....................................................................17
【题型9】二次函数 的对称性.................................................................20
知识点（五）二次函数 图象的特征与系数 、 、 的符号之间的关
系...........................................................................................................................................................22
【题型10】由二次函数图象判断式子的符号...................................................................................24
二．同步练习...............................................................................................................................28
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）................................................................28
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）................................................................42
3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题）................................................................59
一.知识梳理与题型精析
情景引入：【例题1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）将 化成 的形式
为 ．
【答案】
【分析】考查二次函数一般式和顶点式之间的转化，掌握它们的转化方法是解题的关键．首先提取
二次项系数，进而利用配方法写出顶点式形式．
解：
，
故答案为： ．
由此可知，探究二次函数 的图象和性质可以转化为顶点式
。
知识点（一）二次函数 化为
一般地，二次函数 可以通过配方化为 的形式，即
∴ 抛物线 的对称轴是 ，顶点是 ．
【题型1】一般式化为顶点式
【例题1】（24-25九年级上·河北承德·期末）用配方法把二次函数 变成的形式．
【答案】
【分析】本题考查了将二次函数表达式化为顶点式，先将二次项系数提取因式，再根据完全平方公
式进行配方，即可解答．
解： ．
【变式1】（24-25九年级上·广东阳江·阶段练习）抛物线 的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接利用配方法将原式化为顶点式，进而求出二次函数
的顶点坐标．
解：
，
故抛物线 的顶点坐标是： ．
故选：B．
【变式2】（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）抛物线 的顶点坐标和对称轴分别
是 ．
【答案】 ，直线
【分析】本题考查求抛物线的对称轴和顶点坐标的方法，先把二次函数配方成顶点式，然后写出顶
点坐标和对称轴解题即可．
解： ，
∴顶点坐标为 ，对称轴为直线 ，故答案为： ，直线 ．
知识点（二）二次函数 平移
方法1：一般地，二次函数 可以通过配方化为 的形式，
求出点顶点坐标为（ ， ），然后求出平移后的顶点坐标，利用顶点式求出平移后二次函数
解析式。
方法2：一般地，二次函数 可以通过配方化为 的形式，
利用其横坐标遵循“左加右减”和纵坐标规律是“上加下减”规律求出平移后的解析式；
如： 向左 平移单位，再向上 平移单位，得到新的解析式为：
如： 向右 平移单位，再向下 平移单位，得到新的解析式为：
【题型2】二次函数的平移
【例题2】（23-24九年级上·北京西城·期末）已知二次函数 ．
（1）将 化成 的形式；
（2）抛物线 可以由抛物线 经过平移得到，请写出一种平移方式．
【答案】（1） ；（2）先向右平移1个单位长度、再向上平移3个单位长度或先向
上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度（任选一个即可）
【分析】本题考查二次函数图像与性质，涉及将一般式化为顶点式、函数图像平移等知识，熟练掌
握二次函数图像与性质是解决问题的关键．
（1）利用配方法即可将二次函数一般式化为顶点式；
（2）根据函数图像平移法则：左加右减、上加下减，结合函数表达式，数形结合即可得到答案．
解：（1）解：，
将 化成 的形式为 ；
（2）解：由（1）中抛物线 可化为 ，
抛物线 经过平移得到 可以是：①先向右平移1个单位长度、再向上平移3
个单位长度；②先向上平移3个单位长度、再向右平移1个单位长度；（任选一个即可）．
【变式1】（2025·陕西渭南·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线 先向左平移3个
单位，再向上平移3个单位，得到的新抛物线的顶点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】本题主要考查了求抛物线的顶点、点的平移、点所在的象限等知识点，求得抛物线的顶点
成为解题的关键．
先运用配方法求得该抛物线的顶点坐标，然后根据平移方式求得平移后的顶点坐标，最后确定其所
在的象限即可．
解：∵ ，
∴该抛物线的顶点坐标为 ，
∴平移后抛物线的顶点坐标为 ，即 ，
∴得到的新抛物线的顶点位于第二象限．
故选B．
【变式2】（24-25九年级上·江苏南通·开学考试）把抛物线 的图象先向右平移3个单
位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的解析式是 则 ．【答案】
【分析】此题主要考查了函数图象的平移，利用平移的规律：左加右减，上加下减，求函数解析式
即可．
解：∵把抛物线 的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得
图象的解析式是
∴当 向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，可得抛物线
的图象，
，
∴当 时 ．
故答案为： ．
知识点（三）待定系数法求二次函数 的解析式
式： 2.顶点式：
； ；
1.一般
.两根式（交点式）： （其中是 、 图象与轴交点的横坐标）。
3
【题型3】待定系数法求二次函数解析式（一般式）
【例题3】（24-25九年级上·福建福州·期中）已知一个二次函数的图像经过 、 、
三点．求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，掌握待定系数法是解题的关键．
根据待定系数法求二次函数解析式，根据题意将已知点的坐标点代入 ，列出方程组
求解即可．解：设这个二次函数的解析式为 ，
∵二次函数的图像经过 、 、 三点，
∴ ，
解得： ，
∴这个二次函数的解析式为： ．
【变式1】（24-25九年级上·江苏南通·期末）已知抛物线 经过点 ， ．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）写出这条抛物线的对称轴和顶点坐标．
【答案】（1） ；（2）抛物线的对称轴为直线 ；抛物线的顶点坐标为
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等，掌握二次函数的性质是解
题的关键．
（1）将点 ， 代入 ，求出 ， 即可得到二次函数的解析式；
（2）将二次函数配成顶点式，求出对称轴和顶点坐标．
解：（1）解：将点 ， 代入 ，
得： ，
，
；
（2）解： ，
这条抛物线的对称轴为直线 ，顶点坐标为 ．【变式2】（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知抛物线 经过点 和 ，
求该抛物线的表达式．
【答案】
【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把点 和 代入 ，求出b、c的
值，即可得出答案．
解：把点 和 代入 得：
，
解得： ，
∴抛物线的解析式为 ．
【题型4】待定系数法求二次函数解析式（顶点式）
【例题4】（24-25九年级上·吉林·期中）已知二次函数 的图象的顶点坐标是
求该二次函数的解析式．
【答案】
【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的表达式．已知二次函数的顶点坐标，可设成
顶点式 ，这是是解题的关键．设二次函数的解析式为 ，即
，可得 ，求出a的值，即可得该二次函数的解析式．
解：∵二次函数 的图象的顶点坐标是 ，
设二次函数的解析式为 ，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴该二次函数的解析式为 ．
【变式1】（24-25九年级上·广西河池·期末）已知 是关于 的二次函数， 满足下表
… …
… …
根据上表数据，完成下列问题：
（1）直接写出此图象对称轴表达式 ；
（2）写出此二次函数顶点坐标是 ；
（3）求此二次函数的解析式．
【答案】（1） ；（2） ；（3）
【分析】（ ）根据表中数据即可求解；
（ ）根据（ ）所得对称轴方程及表中数据即可求解；
（ ）利用抛物线的顶点式及待定系数法解答即可；
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是
解题的关键．
解：（1）解：由表可知，当 和 时， ，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，
故答案为： ；
（2）解：∵二次函数图象的对称轴为直线 ，当 时 ，
∴二次函数图象的顶点坐标为 ，
故答案为： ；
（3）解：设二次函数解析式为 ，把 代入得，
，
解得 ，∴二次函数解析式为 ．
【变式2】（24-25九年级上·湖南长沙·期末）已知抛物线的顶点为 ，且过点 ，求该
函数的关系式．
【答案】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，设抛物线解析式为 ，再把点
代入求出 的值，即可得到答案．
解：设抛物线解析式为 ，
把 代入得 ，
解得 ，
抛物线解析式为 ．
【题型5】待定系数法求二次函数解析式（两根式）
【例题5】（24-25九年级上·黑龙江大庆·期末）已知二次函数 的图象经过点
．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）求 的面积．
【答案】（1） ；（2）15
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要
根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．
（1）设交点式 ，然后把C点坐标代入求出a，从而得到抛物线解析式；
（2）直接根据三角形的面积公式求解．
解：（1）解：由题意得，设抛物线解析式为 ，把 代入得 ，
解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
即 ；
（2）解：∵ ，
∴ ，
∴ 的面积 ．
【变式1】（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知二次函数 的图象经过点
．
（1）求二次函数的解析式；
（2）判断点 是否在该二次函数的图象上，如果在，请求出 的面积；如果不在，试说
明理由．
【答案】（1） ；（2）点 在二次函数图象上，6
【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）写出两点式，待定系数法求出函数解析式即可；
（2）把 代入，进行判断，利用三角形的面积公式进行求解即可．
解：（1）解：∵抛物线过 ，
∴抛物线的解析式为： ，把 代入，得： ，
∴ ，
∴ ；
（2）∵ ，
∴当 时， ，
∴点 在二次函数图象上，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【变式2】（24-25九年级上·江西景德镇·期中）抛物线 上部分点的横坐标x，纵坐标
y的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 8 0 0 …
（1）根据以上表格填空：抛物线经过点（3， ），在对称轴右侧，y随x的增大而 ；
（2）求抛物线 的解析式．
【答案】（1）8，增大；（2）
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标
特征等；
（1）抛物线与x轴的交点坐标是 和 ，可得抛物线的对称轴为 ，由函数的对称性
可得 及 时的函数值相等，故由 对应的函数值可得出 所对应的函数值，从而
得出正确答案；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，
y随x的增大而增大，从而求解；
（2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标 和 ，与y轴的交点坐标 代入即可求出．
解：（1）解：由表格可知，当 时 或 ，
所以抛物线与x轴的交点坐标是 和 ，抛物线的对称轴为直线 ，
所以 和 对应的函数值相等，
所以当 时， ．
所以抛物线经过点 ．
由表格可知，y随x的增大先减小再增大，
所以在对称轴右侧，y随x的增大而增大．
（2）解：抛物线与x轴的交点坐标是 和 ，
所以设抛物线 ，
把 代入 ，
得 ，
解得 ，
所以抛物线的解析式为 ，即 ．
知识点（三）二次函数 的性质
情景引入：
【题型6】画二次函数 的图象
1.一般方法：列表、描点、连线；
2.简易画法：五点定形法.
其步骤为：
（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线
画出对称轴．
（2）求抛物线 与坐标轴的交点，当抛物线与 轴有两个交点时，描出这两个交点 及抛物线与 轴的交点 ，再找到点
关于对称轴的对称点 ，将 及 这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起
来．
【例题6】（24-25九年级上·福建莆田·阶段练习）已知二次函数 ．
（1）在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象；
（2）求出抛物线的顶点坐标．
【答案】（1）作图见分析；（2）
【分析】此题考查了二次函数的图象和性质
（1）求出关键点的坐标，根据描点法画图象即可；
（2）把抛物线解析式化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标．
解：（1）解：∵二次函数 ，
∴当 时， ，
∴抛物线 与 轴交点为 ，
当 时， ，
∴抛物线 与 轴交点为
当 时， ，
∴抛物线 过点 ，得出五点坐标：（1，0），（3，0），（0， ），（4， ），（2， ）
∴该函数的图象如图所示．
（2）解：∵二次函数 ，
∴该抛物线的顶点坐标是 ；
【变式】（24-25九年级上·江苏徐州·期中）已知二次函数 ．
（1）填写下表，并在坐标系中利用描点法画出此抛物线；
x … …
y … …
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握描点法和二次函数的性质是解题关键．
（1）分别求出 、 、 、 和 时， 的值，再利用描点法画出函数图象即可
得；
解：（1）解：对于二次函数 ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，填入表格如下：
0 1 2 3
0 3 4 3 0
在坐标系中利用描点法画出此抛物线如下：
．
由例题4及【变式】得出二次函数 性质：
函数 y ax2 bxc
二次函数 （a、b、c为常数，a≠0）
a0 a0
图象
开口方向 向上 向下
对称轴
直线 直线
b 4acb2 b 4acb2
顶点坐标 , ,
2a 4a 2a 4a
在对称轴的左侧，即当 时， 随 的 在对称轴的左侧，即当 时， 随
增大而减小；在对称轴的右侧，即当 的增大而增大；在对称轴的右侧，即当
增减性
时， 随 的增大而增大．简记：左 时， 随 的增大而减小．简记：
减右增 左增右减
b b
x x
最大（小） 抛物线有最低点，当 2a 时，y有最小 抛物线有最高点，当 2a 时，y有最
值 4acb2 4acb2
y y
值， 最小值 4a 大值， 最大值 4a
【题型7】二次函数 的增减性【例题7】 （24-25九年级下·广东汕头·阶段练习）在平面直角坐标系 中，已知抛物线
（ ，且a为常数）．
（1）当坐标原点O在抛物线上时，求a的值．
（2）当抛物线的对称轴与直线 之间的部分的函数值y随x增大而减小时（直线 与对称轴
不重合），求a的取值范围．
【答案】（1） ；（2） 或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，图象上点的坐标特征，掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）将 代入抛物线 ，即可求解；
（2）分类讨论，根据二次函数的图象与性质即可求解．
解：（1）解：∵坐标原点O在抛物线上，
∴将 代入抛物线 ，
得 ，
解得
∴a的值为 ；
（2）解：抛物线 的对称轴是直线 ，
当 时，抛物线开口向上．
∵直线 与直线 之间的部分的函数值y随x增大而减小，
∴
∴ ，
当 时，抛物线开口向下．
∵直线 与直线 之间的部分的函数值y随x增大而减小，，
∴
∴ ，
综上，a的取值范围是 或 ．【变式1】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数 （其中 是自变
量），当 时， 随 的增大而减小，且 时， 的最大值为 ，则 的值为（ ）
A． B．2 C． 或2 D． 或
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数 （ ）的对称轴直线 ，
图象具有如下性质：①当 时，抛物线 （ ）的开口向上， 时， 随
的增大而减小； 时， 随 的增大而增大； 时， 取得最小值 ，即顶点
是抛物线的最低点．②当 时，抛物线 （ ）的开口向下， 时， 随
的增大而增大； 时， 随 的增大而减小； 时， 取得最大值 ，即顶点
是抛物线的最高点．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下
，然后由 时， 的最大值为 ，可得 时， ，即可求出 ．
解：∵二次函数 （其中 是自变量），
∴对称轴是直线 ，
∵当 时， 随 的增大而减小，
∴ ，
∵ 时， 的最大值为 ，
∴ 时， ，
∴ ，
∴ ，或 （不合题意舍去）．
故选：A．
【变式2】（24-25九年级下·安徽阜阳·阶段练习）二次函数 ，当 和时， 的值相等．
（1） ；（用含有 的式子表示）
（2）无论 为何值，二次函数 与 交于点 ，当 时，总存在 随
的增大而减小，则代数式 的最小值为 ．
【答案】 3
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称性等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是
解题的关键．
（1）由当 和 时， 的值相等，可得对称轴为 ，再由一般式对称轴公式即可得到
，再化简即可；
（2）根据相交得到 ，先求出 ，而总存在 随 的增大而减小，得到 ，
那么 ，再由 ，即可求解最值．
解：（1）由题意可知 ，
解得 ；
（2）令 ，
可得 ，
若和 无关，则 ，
此时 ，即点 的坐标为 ．
当 时，总存在 随 的增大而减小，
，解得 ，
而 ，
故当 时，代数式 有最小值3，
故答案为： ，3．【题型8】二次函数 的最值
【例题8】（2025·云南楚雄·三模）已知二次函数 ．
（1）求该函数图象的顶点坐标（用含a的代数式表示）．
（2）当 时，二次函数的最小值为 ，求此时二次函数的解析式．
【答案】（1） ；（2）
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数的最值，待定系数法
求二次函数的解析式，解题的关键是掌握二次函数的图象性质．
（1）将函数解析式化成顶点式，即可求解；
（2）根据抛物线开口向上．对称轴为直线 ，得出 在对称轴的左侧，则当
时，y最小为 ，得出 ，解得 ．再根据 ，
则 ，得到 ，代入即可求解．
解：（1）解：∵二次函数 ，
∴顶点坐标为 ．
（2）解：∵1＞0，
∴抛物线开口向上．
∵对称轴为直线 ，
∴ 在对称轴的左侧，
∴当 时，y最小为 ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
此时二次函数的解析式为 ．
【变式1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数 在 时最小值为，则b的值为（ ）
A．4 B．4或 C． D． 或
【答案】B
【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根
据题意易得二次函数开口向上，其最小值可能在顶点或区间端点处，需分顶点在区间内、左侧、右
侧三种情况讨论，结合最小值条件求解．
解：由二次函数 ，
∴二次函数图象的对称轴为直线 ，开口向上，且顶点坐标为 ，
当 即 时，顶点处取最小值，代入顶点坐标得：
则 ，
解得 ，即 ；
∴ ；
当 即 时，最小值在 处，
则
解得 ，满足 ；
当 即 时，最小值在 处，
则 ，
解得 ，但 不成立，舍去，
综上， 或 ．
故选：B．
【变式2】（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数 ， ，当 时，函
数 的最小值是m，函数 的最小值是n，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案．
解： 二次函数 ，
抛物线开口向上，对称轴为直线 ，
，
当 时，函数值最小， ，
二次函数 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小，
，
当 时，函数值最小， ，
，
故答案为： ．
【题型9】二次函数 的对称性
【例题9】 （24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，直线 与 轴， 轴分别交于点
，抛物线 经过 两点．
（1）求抛物线的函数表达式
（2）若 是直线 下方的抛物线上一动点（不与点 重合），过点 作 轴的平行线交
直线 于点 ，设点 的横坐标为 ．用含 的代数式表示线段 的长，并求线段 的长的最
大值．
【答案】（1） ；（2） ，4
【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数的应用是
解题的关键．（1）先求出点 的坐标，然后运用待定系数法求解即可；
（2）设 ，则 ，即可用含m的代数式表示出 的长，然后
运用二次函数的性质求最值即可．
解：（1）解：∵直线 与 轴， 轴分别交于点 ，
∴ ，
∵ 经过 两点，
∴ ，解得： ，
∴ ．
（2）解：设 ，
∵过点 作 轴的平行线交直线 于点 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴当 时，线段 的长的最大值为4．
【变式1】（2025·四川泸州·一模）已知二次函数 （ 为常数）的图象经过不
同两点 ，若该二次函数的图象与直线 有公共点，且当 时， 随
的增大而增大，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象性质，判别式的应用，先根据经过不同两点，表达对称轴为直线 ，以及对称轴为直线 ，得出 ，
再结合该二次函数的图象与直线 有公共点，得出 ，求出 ，再根据二次函数的图
象性质进行作答即可．
解：∵二次函数 （ 为常数）的图象经过不同两点 ，
∴对称轴为直线 ，对称轴为直线 ，
即 ，
∴ ，
∴ ，
∵该二次函数的图象与直线 有公共点，
∴ ，
∴ ，
则 ，
解得 ，
∵当 时， 随 的增大而增大，且函数 的二次项系数为1，
∴开口向上，在对称轴为直线 的右边， 随 的增大而增大，
∴ ，
解得 ，
∴ ，
故选：D
【变式2】（2025·河北唐山·三模）经过 ， 两点的抛物线
（ 为自变量）与 轴有交点，则线段 的长为 ．
【答案】【分析】本题考查了二次函数的对称性，与 轴交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
根据题意，求得对称轴，进而得出 ，求得抛物线解析式 ，根据抛
物线与 轴有交点得出 ，进而得出 ，则 ，求
得点 的横坐标，计算即可求解．
解： 抛物线 的对称轴为直线 ，
抛物线经过 ， 两点，
，
，
抛物线的解析式为 ，
抛物线与 轴有交点，
，
，
，
，
， ，
，
故答案为： ．
知识点（五）二次函数 图象的特征与系数 、 、 的符号之间
的关系
（1）开口方向： 时，开口向上， 时，开口向下；
（2）对称轴位置： 、 同号，对称轴在 轴左侧， 、 异号，对称轴在 轴右侧；（3）抛物线与 轴相交位置： 时，抛物线交 轴正半轴相交， 时，抛物线交 轴负
半轴相交， 时，抛物线经过原点；
【例题9】 （2025·河南南阳·二模）若二次函数 的图象如图所示，则直线
不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次
函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线 不经过的象限．
解：由图可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点位于y轴的负半轴，
， ， ，
，
， ，
直线 经过第二、三、四象限，不经过第一象限，
故选A．
【变式1】（2025·广东深圳·二模）已知二次函数为 ，则它的图象
可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质．根据二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解．解：∵二次函数为 ，
∴抛物 线开口向上，对称轴为直线 ，
故A，B，D选项不符合题意，C选项符合题意；
故选：C
【变式2】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）已知抛物线 在平面直角坐标
系中的位置如图所示，则有
A． ， B． ， C． ， D．a，b，c都小于0
【答案】C
【分析】根据函数图象可以得到以下信息： ， ， ，再结合函数图象判断各选项．
解：∵抛物线的开口向下，
∴ ，
∵对称轴在y轴右边，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与y轴的正半轴有交点，
∴ ，故C正确．
故答案为：C．
【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数
的图象和性质．
【题型10】由二次函数图象判断式子的符号
【例题10】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图所示，二次函数 的图象开口向
上，图象经过点 和 且与 轴交于负半轴．给出四个结论：① ，② ；③ ；④ ；其中正确的结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，观察函数图象，
利用二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征逐一分析四个结论的正误是解题的
关键．①由点 在二次函数图象上，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ，结
论①正确；②由二次函数图象的开口方向、对称轴在 轴右侧以及与 轴交于负半轴，可得出
，进而可得出 ，结论②错误；③由二次函数图象对称轴所在的位置及
，可得出 ，进而可得出 ，结论③正确；④由二次函数 的图象
经过点 和 ，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出 ， ，进而
可得出 ，结论④正确．综上，此题得解．
解：①点 在二次函数图象上，
∴ ，结论①正确；
②∵二次函数 的图象开口向上，对称轴在 轴右侧，与 轴交于负半轴，
，
，
∴ ，结论②错误；
③
∴ ，
∴ ，结论③正确；
④二次函数 的图象经过点 和 ，
∴ ，∴ ，结论④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
【变式1】（24-25九年级上·广东茂名·期中）二次函数 的图象如图所示，则下列结论
中，正确的个数是（ ）
① ；② ；③ ；④
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：
， ，然后根据图象判断其值． 根据 和 时二次函数的值的情况进
行推理，进而对所得结论进行判断①和②，由抛物线的开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点可
以判断③、④、从而可得答案．
解：当 时， ，
∴ ，故①正确；
当 时， ，
由图象可知，当 时， ，故②正确；
∵图象开口向下，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵图象与y轴的交点在y轴的上半轴，
∴ ，
∴ ，故③错误；
∵ ， ， ，
当 ，则 ，产生矛盾，故④错误；
∴正确的有2个．
故选：C．
【变式2】（24-25八年级下·重庆·期末）已知二次函数 的图象如图所示，给出
下列结论：
①
②若点 均在二次函数图象上，则
③
④对于任意实数m，总有
其中正确的结论是：
【答案】②③
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，掌握a，b，c对抛物线的决定作用是求解本题的关键．
①根据函数图象分别判断a、b、c的正负，求出 的正负；②根据二次函数图象的性质：当图象
开口向上，离对称轴越近的点y值越小；③代入 以及 之间的关系即可求解；④化简不等式，
用a表示b，根据 及不等式的性质得到只含有m的不等式，判断即可．
解：∵抛物线开口向上，与y轴的交点在正半轴上，对称轴在y轴的右侧，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故①不正确；
∵ 与 对应的函数值都为1，
∴对称轴为直线 ，∵ ，
∴点 离对称轴更近，
∴ ，故②正确；
∵ 时， ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，故③正确；
∵④ ， ，
即证 ，
变形可得 ，即 ，
∵ ，
∴故原式不成立，故④不正确，
故答案为： ②③．
二．同步练习
1. 基础夯实（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（21-22九年级上·湖北十堰·期末）二次函数 的图象经过原点，则
的值为（ ）
A． B． C．1 D．0
【答案】C
【分析】先根据二次函数图象上点的坐标特征，把原点坐标代入解析式求出a=1或a=-1，然后根据
二次函数的定义确定a的值．解：把（0，0）代入y=（a+1）x2+3x+a2-1得a2-1=0，解得a=1或a=-1，
而a+1≠0，
所以a的值为1．
故选：C．
【点拨】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．注意
不要掉了a+1≠0．
2．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）将二次函数 的图像向右平移2个单位，
再向上平移1个单位后，解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数图象的平移，先把一般式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律：上
加下减，左加右减解答即可．
解：依题意，
∵向右平移2个单位，再向上平移1个单位，
∴
故选：D．
3．（24-25八年级下·江西南昌·期末）已知点 都在函数 的图象上，则
的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
根据解析式可得抛物线开口向上，对称轴为y轴，则在对称轴右侧，y随x增大而增大，据此可得
答案．
解：∵抛物线解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为y轴，∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，
∵点 都在函数 的图象上，且 ，
∴ ，
故选：D．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期末）已知二次函数 ，当 时，函
数取得最大值；当 时，函数取得最小值，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质．先求出二次函数对称轴，求出当 时，函数取得最小值，
当 时，函数值与 时相同，再根据题意列不等式求解即可．
解：二次函数 对称轴为：直线 ，
即当 时，函数取得最小值，当 时，函数值与 时相同．
∵当 时，函数取得最大值；当 时，函数取得最小值，
∴
解得： ，
故选：B．
5．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知二次函数 的图象如图，则一次函数
的大致图象可能是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，一次函数的图象和性质，由二次函数图象得
出a，b，c的大小是解题的关键．
先求出 ， ， 再判断一次函数图象即可．
解：∵二次函数图象开口向上，
∴ ；
∵对称轴在 轴右侧，
∴ ，
∴ ；
∵与 轴交点在负半轴，
∴ ．
对于一次函数 ， ， ， ，故 ，
∴一次函数图象过二、三、四象限．
故选：D．
6．（2025·内蒙古赤峰·二模）如图，已知二次函数 的图象与 轴相交于点
， ，则下列结论正确的是（ ）
A．此二次函数图象的对称轴是直线
B．
C．对于任意实数 ， 均成立D．若点 ， 在此二次函数图象上，则
【答案】C
【分析】根据二次函数的性质，最值等知识判断解答即可．
解： 二次函数 的图象与 轴相交于点 ， ，
对称轴是直线 ，
故A错误．
对称轴是直线 ，
，
．
由图象，得 ，
，
，
故Ｂ错误．
对称轴是直线 ，且抛物线开口向上，
当 时， 取得最小值 ，
对于任意实数 ，当 时，函数值 ，
，
故C正确．
抛物线开口向上，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越小．
又 ，
，
故Ｄ错误．
故选：C．
【点拨】本题考查了抛物线的对称性，增减性，最值，系数符号得确定，熟练掌握抛物线性质是解
题的关键．
二、填空题7．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）抛物线 的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，直接利用对称轴的计算方法求解即可．
解：抛物线 的对称轴是直线 ，
故答案为： ．
8．（20-21九年级上·北京西城·期中）已知二次函数 的图象如图所示，则
0．（填“>”“<”或“=”）
【答案】
【分析】本题考查了二次函数 的图象，由图得出抛物线的开口方向向下以及
对称轴在 轴右侧，与 轴的交点在 轴下方，则 ， ， ，即可作答．
解：∵抛物线开口向上，
∴ ，
∵抛物线的对称轴在 轴右侧，
∴ ，
∴ ，
∵抛物线与 轴的交点在 轴下方，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
9．（2025·河南·一模）已知二次函数 的图象上A，B，C三点的坐标分别为
．若 ，则c的值为 ．
【答案】【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象及性质．根据 ，可得
关于对称轴对称，从而得到 ，再把点B的坐标代入 ，即可
求解．
解：∵ ， ，
∴ 关于对称轴对称，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴点B的坐标为 ，
把 代入 ，得：
，解得： ．
故答案为： ．
10．（24-25九年级下·江苏泰州·阶段练习）坐标平面上有两个二次函数的图象，其顶点M、N皆在
x轴上，且有一水平线与两图象相交于A、B、C、D四点，各点位置如图所示， ， ，
，则 的长度是 ．
【答案】9
【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，线段长度的相关计算，熟练掌握以上知识点是解
题的关键．由 ， ， 的长度以及根据二次函数的对称性可以知道， 和 ， 和 ，
和 横坐标的差，从而推出 和 的横坐标之差，得到 的长度．
解：由 、 、 、 四点在同一水平线，可以知道四点纵坐标相同，
， ， ，，
， ，
又 ，
．
故答案为：9．
11．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）已知二次函数 的图象如图所示，有下
列5个结论：① ；② ；③ ；④ ；⑤若方程
有两个根 ， ，则 ．正确的结论是 （写序号）．
【答案】③④⑤
【分析】此题主要考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与一元二次方程的联
系，二次函数 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛
物线与x轴交点的个数确定，灵活运用二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的联系是解题的
关键，依次根据二次函数的性质进行判断即可．
解：①由图象可知： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，故①错误；
②∵图形与x轴有两个交点，
∴ ，
∴ ，故②错误；
③由函数图象可得，当 时， ，故③正确；
④当 时，y最大，且 ，
当 时， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
⑤∵ ，
∴ ，
∵设方程 的两根为 ，
则 ，故⑤正确，
故答案为：③④⑤．
12．（2025·江苏宿迁·一模） 中，若 ， ，则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理、一元二次方程根的判别式、二次函数的性质等知识点．过点 作
，交 延长线于点 ，设 ，先利用直角三角形的性质、勾股定理可得 ，
，再设 ，从而可得 ，然后在 中，利用勾股定理可得一
个关于 的一元二次方程，利用方程根的判别式求解即可得．
解：如图，过点 作 ，交 延长线于点 ，
设 ，
在 中， ， ，， ，
设 ，则 ，
，
在 中， ，即 ，
整理得： ，
这个关于 的一元二次方程有实数根，
此方程根的判别式 ，即 ，
解一元二次方程 得： ，
由二次函数 的性质可知，当 时， ，
又 ，
，
的最大值为 ，
即 的最大值为 ，
故答案为： ．
三、解答题
13．（24-25九年级上·北京房山·期中）已知某抛物线上部分点的横坐标 ，纵坐标 的对应值如下
表：
…
（1）在坐标系中画出该抛物线的图象；
（2）该抛物线的对称轴是______．
【答案】（1）见分析；（2） 轴
【分析】本题考查了画函数图象，二次函数的性质；
（1）根据描点法画出函数图象；
（2）根据函数图象即可求解．
解：（1）解：描点连线如图所示，（2）解：对称轴为 轴，
故答案为： 轴．
14．（2025·浙江杭州·一模）在平面直角坐标系中，函数 （ 为常数）图象的顶
点坐标是 ．
（1）判断点 是否在该函数的图象上，并说明理由．
（2）求证： ．
【答案】（1）在，理由见分析；（2）证明见分析
【分析】本题考查二次函数图象的图象与性质，配方法的应用，熟练掌握二次函数顶点坐标的公式
和配方法的应用是解题的关键．
（1）求当 时， 的值，即可判断；
（2）利用二次函数顶点坐标的公式求出 ， 关于 的式子，再得出 关于 的式子，再利用
配方法求最值即可．
解：（1）解：点 在该函数的图象上，理由如下：
当 时， ，
则点 在该函数的图象上；
（2）解：∵函数 （ 为常数）图象的顶点坐标是 ，∴ ， ，
∴ ，
∵ 为常数，
∴ ，
∴ ．
15．（22-23九年级上·广东东莞·期中）如图，已知抛物线与 轴交于 ， 两点，与
轴交于点 ，抛物线的顶点为 ，连接 ．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点 是抛物线对称轴上的一个动点，当 的值最小时，点 的坐标为___________；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点 ，使得 ﹖若存在，求出 点坐标；若不存在，
请说明理由．
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， 或
【分析】（1）设抛物线的解析式为 ，再把 代入求出 的值即可；
（2）连接 交 于点 ，点 即为所求，设 ，代入直线 即可求解；
（3）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点 的坐标，利用待定系数法求出直线 的解析式，求出 点的坐标，所以可得出 的面积，进而得出点 的坐标．
解：（1）解：∵抛物线与x轴交于 ， 两点，
∴设抛物线的解析式为 ，
∵过点 ，
∴ ，解得 ，
∴抛物线的解析式为 ，即 ；
（2）如图，连接 交 于点 ，连接
∵点 是抛物线对称轴上的一个动点，
，
∴对称轴为 ，
根据对称轴可得 关于 对称轴,
∴ ，
当 三点共线时， 最小，
∵ ， ，设直线 的解析式为 ，
,
解得 ,
∴直线 的解析式为 ，设 ，
当 时， ，
∴ ,
∴当 的值最小时，点 的坐标为 ;
（3）解：∵抛物线的解析式为 ；
∴其对称轴 ，顶点 的坐标为 ，
∵点 在抛物线的对称轴上，
∴设 ，
∵ ， ，
∴设过点 、 的直线解析式为 ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为 ，
∴直线 与 轴的交点的坐标为 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，解得 ，
当点 在 点上方时， ，解得 ，
∴此时 ；
当点 在 点下方时， ，解得 ，
∴此时 ，综上所述，可得： 或 ．
【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、根据轴对称的性质求求线
段和的最小值，三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想
解答问题．
16．（2025·江西·模拟预测）综合与实践
如图，抛物线 的图象交于 一点，抛物线 的最小值为 ．抛物线
（其中 为常数，且 ），顶点为 ．
基础尝试
（1）求抛物线 的解析式和抛物线 的顶点 的坐标；
深入探究
（2）当 时，求直线 交 轴的点的坐标；
拓展应用
（3）求证：无论 为何值，将 的顶点 向左平移 个单位长度后一定落在 上．【答案】（1）抛物线 的解析式为 ， ；（2）直线 交 轴的点的坐标
为 ；（3）证明过程见详解
【分析】本题主要考查二次函数，一次函数的性质，掌握待定系数法，点的平移等知识是关键．
（1）根据题意得到抛物线的图象交于 两点，运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意得到 ，运用待定系数法得到直线 的解析式，令 ，即可求解；
（3）根据点的平移得到平移后的坐标，代入计算即可求解．
解：（1）根据题意，抛物线 ，当 时， ，
∴抛物线的图象交于 两点，
∴抛物线对称轴直线为 ，
∵抛物线 的最小值为 ，
∴抛物线顶点坐标为 ，
∴ ，
解得， ，∴抛物线 的解析式为 ；
（2）当 时，抛物线 ，
∴ ，
设直线 的解析式为 ，
∴ ，
解得， ，
∴直线 的解析式为 ，
当 时， ，
解得， ，
∴直线 交 轴的点的坐标为 ；
（3）无论 为何值，将 的顶点 向左平移 个单位长度后一定落在 上，
证明：已知 的顶点 ，
∴点 向左平移 个单位长度后得到 ，
抛物线 中，当 时，
，
∴无论 为何值，点 向左平移 个单位长度后得到 ，一定落在 上．
2. 能力提升（选择题8题，填空题8题，解答题4题）
一、单选题
1．（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·期中）二次函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．当 时， D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
根据抛物线的开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标，逐项分析判断，只有选项符合题意，由此
选出答案．
解：∵开口向上，
∴ ，故A错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴ ，故B错误；
根据图象可得当 时， ，故C正确；
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴ ，故D错误；
故选：C．
2．（2025·福建南平·三模）已知抛物线 经过点 ， ，若A，B
两点均在直线 的下方，且 ，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了二次函数，掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．
根据题意，抛物线开口向上，点A、B在直线 下方，且 ．通过代入点坐标建立不等式，求解t的范围．
解：∵点 在直线下方，
∴ ，
解得 ．
∵点 在直线下方，
∴ ，
解得 ．
∵ ：
∴ ，
解得 ．
∴ ．
故选：D．
3．（2025·内蒙古鄂尔多斯·三模）在平面直角坐标系 中， ， 是抛物线
上任意两点，设抛物线的对称轴为直线 ．若 ，对于 ，都
有 ，则t的取值范围用数轴表示为（ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．根据题意判断出离对
称轴更近的点，从而得出 ， 的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．
解： ，
，
，
抛物线开口向下，
，对于 ，都有 ，
离对称轴的距离大于 ，
则 ， 的中点在对称轴的右侧，
，即 ，
故选：C．
4．（24-25九年级下·贵州铜仁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系 中，二次函数
图象的对称轴为直线 ，点 在抛物线上，若 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． 或
C． 或 D．【答案】B
【分析】此题考查二次函数的性质，根据抛物线的对称轴确定点B的位置及点C的对称点，结合抛
物线的开口方向，利用 时结合图象求解．
解： 该抛物线开口向下， 当 时， 随 的增大而减小，
当点 在二次函数图象的对称轴右侧，即 时， ；
当点 在二次函数图象的对称轴左侧，即 时，
∵二次函数 图象的对称轴为直线 ，
点 关于抛物线对称轴对称的点的坐标为 ．
，综上所述， 或 ，
故选：B．
5．（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数 与二次函数
的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称
轴位置，一次函数朝向和与 轴的交点位置即可判断 、 的大小，从而作出判断，即可解题，熟
练掌握各知识点是解题的关键．
解：A、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
B、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项符合题意；C、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
D、由抛物线可知， ， ，由直线可知， ， ，故本选项不符合题意；
故选：B．
6．（24-25九年级下·河南驻马店·阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中有两条抛物线，它们
的顶点 ， 都在 轴上，平行于 轴的直线与两条抛物线相交于 ， ， ， 四点，若 ，
， ，则 的长度为（ ）
A．4 B． C．3 D．
【答案】D
【分析】本题主要考查中点坐标公式，熟练掌握中点公式是解题的关键．设 的长度为 ，则
， ， ， ，求出 ，
，即可得到答案．
解：设平行于 轴的直线与 轴交于点 ．
设 的长度为 ，则 ， ， ， ．
由中点公式可得 ， ．
．
故选：D．
二、填空题7．（2025·山西临汾·三模）将抛物线 向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长
度，得到的抛物线的顶点坐标是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的平移，以及二次函数一般式化顶点式，解题的关键在于正确掌握函
数平移的规律．先把 配成顶点式，再把函数先向左平移2个单位长度，向上平移3个
单位长度，得到平移后的顶点式，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标．
解：将抛物线 化为顶点式有 ，
再向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度，
得 ，
故平移后的抛物线的顶点坐标是 ，
故答案为： ．
8．（24-25八年级下·福建福州·期末）若点 在抛物线 上，且
，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及不等式的求解，求出 ， ，根据
，得到 ，即 ，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
解：∵ ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，顶点坐标为 ，如图：∵点 在抛物线 上，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
故答案为： ．
9．（24-25九年级上·河南漯河·期中）如图，已知抛物线 与x轴交于A，B两点，与y
轴交于点C，点B的坐标为 ．点P是抛物线对称轴上的一个动点，当 的周长最小时，则
点P的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式、轴对称的性质、一次函数；其中熟练运用
轴对称的性质转化线段是解题的关键．根据抛物线的对称性可知： ，所以当点 在线段
上时， 的值最小， 的周长也最小，以此为依据求解即可；解：令 ，则 ，
解得 ， ，
， ，
抛物线 的对称轴为：
点 的横坐标为：
当 时， ；
设直线 解析式为 ，
则 ，
解得 ，
由抛物线的对称性可知：
∴当点 在线段 上时， 有最小值，则 的周长最小，
将 代入 得：
故此时点 的坐标是
故答案为： ．
10．（2025·福建泉州·二模）抛物线 与 轴交于点 ．过点 作 轴的
垂线 ，若抛物线 与直线 有两个交点，设其中靠近 轴的交点的横坐标为 ，
且 ，则 的取值范围是 ．
【答案】【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由抛物线 的对称轴为直线
，设抛物线与直线 交点（靠近 轴）为 ，由 ，则 时，然后找出
临界值当 时，抛物线经过点 时，开口向上，此时 值最小，当 时，抛物线经过点
时，开口向下，此时 值最大，即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
解：由抛物线 的对称轴为直线 ，
设抛物线与直线 交点（靠近 轴）为 ，
∵ ，
∴ 时，
当 时，抛物线经过点 时，开口向上，此时 值最小，
将点 代入 得 ，
解得 ，
∴
故答案为： ．
11．（24-25九年级上·广东江门·期中）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，且过点 ，有下列结论① ；② ；③ ；④ ；其中所
有正确的结论是 ．
【答案】①②③
【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所
学知识解决问题，属于中考常考题型．
根据二次函数图像及其性质对序号依次判断即可．
解：由图像可知 ， ， ，
∴ ，故①正确．
当x= 时，y=0，
即
∴
∴
∴ ，故②正确．
由对称轴为 ，与x轴一个交点为 可知与x轴另一个交点为
即
化简得 ，故③正确．
∵对称轴为
∴
∴ ，
将 代入 有即
∴ ，故④错误．
综上所述①②③正确．
故答案为①②③．
12．（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线 的图象如图所示，有下列结论：
① ；
②二次函数图象的对称轴是直线 ；
③当 时，y随x的增大而减小；
④方程 的解为 ， ．
其中正确的结论有 ．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的
图象与性质是解题的关键；
根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于 与 两点，即得
， ，二次函数图象的对称轴是直线 ，方程 的解为 ，
，再进一步判断即可求解.
解：根据函数的图象可得：
抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于 与 两点，∴ ， ，二次函数图象的对称轴是直线 ，方程 的解为 ，
，结论②④正确；
∴ ，当 时，y随x的增大而增大，结论③错误；
∴ ，
∴ ，结论①正确；
故答案为：①②④.
三、解答题
13．（2025·云南昆明·模拟预测）已知抛物线 （ 为常数）的顶点横坐标比抛物线
的顶点横坐标大1．
（1）求 的值；
（2）点 在抛物线 上，点 在抛物线 上，若 ，
且 ， ，求 的值．
【答案】（1） ；（2）
【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次
函数的性质是解题关键．
（1）根据题意求出抛物线 的顶点坐标为 ，确定抛物线 的顶点横坐标
为 ，计算即可求解；
（2）根据题意得出 ， ，得到 ，求出 ，
继而得到 ．
解：（1）解： ，
抛物线 的顶点坐标为抛物线 的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1
（2）解：由（1）知 ，
，
点 在抛物线 上，
，
点 在抛物线 上，
，
，
，
，
，
，
， ，
，
，
．
14．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴
交于点A，B，与y轴交于点C， ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D在抛物线的对称轴上，若 的值最小，求点D的坐标；（3）若点P是抛物线上的一点，当点P在直线 上方的抛物线上运动时， 的面积是否存
在最大值？若存在，请求出这个最大值，并写出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）点D的坐标为 ；（3）存在，点
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）点B关于抛物线的对称点为点A，则 交抛物线对称轴于点D，则此时， 的值最小，
进而求解；
（3）过点P作 轴交 于点H，由题意可设点 ，则点 ，由铅
垂法可得 ，然后问题可求解．
本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，面积问题，熟练掌握二次函数的性质
是解题的关键．
解：（1）解：∵ ，
则点A、C的坐标分别为： 、 ，
将A，C的坐标代入抛物线 得： ，解得： ，
∴抛物线的表达式为： ；
（2）解：点B关于抛物线的对称点为点A，则 交抛物线对称轴于点D，则此时， 的值
最小；
如图1， 为最小；设直线 的表达式为： ，将点A、C的坐标代入得： ，
解得： ，
∴直线 的表达式为 ，抛物线的对称轴为直线 ，
当 时， ，即点D的坐标为 ；
（3）解： 的面积存在最大值；理由如下：
过点P作 轴交 于点H，如图2，
由（2）可得直线 的表达式为 ，
设点 ，则点 ，
∴ ， 的水平宽为3，
∴ ，
∴当 时， 的面积最大，最大值为 ，此时点 ．
15．（24-25九年级下·云南昭通·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系 中，已知抛物线
与x轴交于 、B两点，与y轴交于点C，且关于直线 对称．
（1）当 时，求y的取值范围；
（2）如图2，点G为抛物线对称轴上的一点，点 ， 在对称轴右侧抛物线上，若
为等腰直角三角形， ，试证明： 为定值．
【答案】（1） ；（2）见分析
【分析】本题考查二次函数图象得性质．熟练掌握二次函数的对称性，等腰直角三角形性质，全等
三角形的判定和性质是解题关键．
（1）由A、B的坐标求出抛物线解析式，求出顶点，可得y的取值范围；
（2）分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ，根据 为等腰直角三角形，可得
，得到 ， ，得 根据
，即得答案．
解：（1）解：∵抛物线与x轴交于 、B两点，且对称轴为 ，
．
∵抛物线 与x轴交于 两点，
．
． ．．
∴当 时， ．
∵当 时， ，
当 时， ．
故 的取值范围为 ；
（2）证明：分别过 、 作直线 的垂线，垂直为 、 ．
则 ．
．
又 为等腰直角三角形，
， ．
．
．
．
， ．
， ，
， ．
．
∵ ， ，
∴ ．
．
．
为定值．16．（2025·河南驻马店·模拟预测）如图①，抛物线 与 轴交于 ， 两点，与 轴
交于点 ，已知抛物线的对称轴为直线 ，且 ．
（1）求抛物线的表达式．
（2）已知点 ， 是抛物线上的两点，且点 在对称轴左侧，点 在对称轴右侧，
若满足 ，请比较 与 的大小．
（3）将抛物线平移，使得其顶点 落在直线 上，设平移后的抛物线与 轴的交点为 ，求
点 的纵坐标 的取值范围．
【答案】（1）抛物线的表达式为 ；（2） ；（3）点 的纵坐标 ．
【分析】（1）依题得出点 坐标后可推得点 坐标，结合抛物线对称轴可知点 坐标，设抛物线
的解析式为 ，将点 代入即可得解；
（2）由 推出 ，即可判断点 比点 距离对称轴更近，结合二次函数的
图象与性质即可得解；
（3）设平移后顶点 ，平移后抛物线解析式为 ，令 ，可得点
的纵坐标 ，进而可以判断得解．
解：（1）解：依题得：当 时， ，
即 ，，
则 ，
抛物线的对称轴为直线 ， ， 两点关于对称轴对称，
，
设抛物线的解析式为 ，
将点 代入得， ，
抛物线的表达式为 ；
（2）解： ，
，
即点 比点 距离对称轴更近，
由（1）得， ，抛物线开口向下，有最大值，
；
（3）解：设平移后顶点 ，则平移后抛物线解析式为 ，
平移后的抛物线与 轴的交点为 ，
令 ，则点 的纵坐标 ，
对于任意 都有 ，
，
点 的纵坐标 ．
【点拨】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、二次函数的图象
与性质、二次函数的平移，解题关键是结合二次函数图像与性质解题．
3. 直通中考（选择题6题，填空题6题，解答题2题）一、单选题
1．（2024·内蒙古包头·中考真题）将抛物线 向下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点
式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的平移以及顶点式，根据平移的规律“上加下减．左加右减”可
得出平移后的抛物线为 ，再把 化为顶点式即可．
解：抛物线 向下平移2个单位后，
则抛物线变为 ，
∴ 化成顶点式则为 ，
故选：A．
2．（2024·山东东营·中考真题）已知抛物线 的图像如图所示，则下列结论正
确的是（ ）
A． B．
C． D． （ 为任意实数）
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是
解题的关键；
由图象可知： ， ，根据抛物线的与x轴的交点可求对称轴，根据对称轴及a与b的符号
关系可得 ，则可判断选项A、B、C，由当 时，函数有最大值，可判断选项D．
解：A、 抛物线开口往下，
，抛物线与y轴交于正半轴，
抛物线的与x轴的交点是： 和
∴对称轴为 ，
，
，
，故选项A错误．
∵ ，
∴ ，故选项B错误（否则可得 ，不合题意）．
， ，
∴ ，故选项C错误．
抛物线的对称轴为直线 ，且开口向下，
当 时，函数值最大为 ，
当 时， ，
，
，故选项D正确．
故选：D．
3．（2024·山东青岛·中考真题）二次函数 的图象如图所示，对称轴是直线 ，
则过点 和点 的直线一定不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数综合，根据二次函数与y轴交于y轴的正半轴得到，根据对称轴计算公式得到 ，即 ，则 在x轴正半轴上；由二次函
数顶点在第二象限，得到当 时， ，再由二次函数与x轴无交点，得到
，则点 在第二象限，据此可得答案．
解：∵二次函数与y轴交于y轴的正半轴，
∴ ，
∵对称轴是直线 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 在x轴正半轴上；
∵二次函数顶点在第二象限，
∴当 时， ，
∵二次函数与x轴无交点，
∴ ，
∴点 在第二象限，
∴经过点 和点 的直线一定经过第一、二、四象限，不经过第三象限，
故选：C．
4．（2025·福建·中考真题）已知点 在抛物线 上，若 ，则下
列判断正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查比较二次函数的函数值的大小，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，
先求出对称轴的范围，再根据二次函数的增减性进行判断即可．
解：∵ ，∴当 时， ，
∴抛物线过点 ，
∴抛物线的开口向上，对称轴为 ，
∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大，
∵ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴点 到对称轴的距离大于点 到对称轴的距离，小于 到对称轴的距离，
∴ ；
故选：A．
5．（2025·安徽·中考真题）已知二次函数 的图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与 轴交点及特殊点的函数值，结合二次函
数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中 （开口
方向）、 （对称轴与 共同决定）、 （与 轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关
键．
解： 二次函数 图象中，开口向上，
．
对称轴 ，又 ，
，即 ．抛物线与 轴交点在负半轴，
．
选项A： ， ， ，
两负一正相乘得正，
，该选项错误．
选项B：对称轴 ，由图象知对称轴 ，即 ，
又 ，两边乘 得 ， ，该选项错误．
选项C：当 时， ，即 ；当 时， ，
，该选项正确．
选项D：当 时， ，由图象知 对应的函数值 ，
，该选项错误．
故选 ．
6．（2024·西藏·中考真题）如图，已知二次函数 的图象与x轴相交于点
， ，则下列结论正确的个数是（ ）
①
②
③对任意实数m， 均成立
④若点 ， 在抛物线上，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子的符号，由图象可得：
抛物线开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，即可得出 ， ， ，从
而求出 ，即可判断①；根据二次函数与 轴的交点得出二次函数的对称轴为直线
， ， ，计算即可判断②；根据当 时，二次函数有
最小值 ，即可判断③；根据 即可判断④；熟练掌握二次函数的图象与性质，
采用数形结合的思想是解此题的关键．
解：由图象可得：抛物线开口向上，对称轴在 轴左侧，交 轴于负半轴，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，故①正确；
∵二次函数 的图象与x轴相交于点 ， ，
∴二次函数的对称轴为直线 ， ， ，
由 得： ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，即 ，故②错误；
当 时，二次函数有最小值 ，
由图象可得，对任意实数m， ，
∴对任意实数m， 均成立，故③正确；
∵点 ， 在抛物线上，且 ，
∴ ，故④错误；
综上所述，正确的有①③，共 个，
故选：B．二、填空题
7．（2024·四川内江·中考真题）已知二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，
点 ， 在抛物线 上，则 （填“＞”或“＜”）；
【答案】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移以及二次函数的性质，由平移的规律可得出抛物线
的解析式为 ，再利用二次函数图象的性质可得出答案．
解： ，
∵二次函数 的图象向左平移两个单位得到抛物线 ，
∴抛物线 的解析式为 ，
∴抛物线开口向上，对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
8．（2025·广东·中考真题）已知二次函数 的图象经过点 ，但不经过原点，则该
二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可）
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数 的图象经过点
，得到 ，再由二次函数 的图象不经过原点，得到 ，从而得
确定 ，若取 ，即可得到 ，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表
达式的方法是解决问题的关键．
解： 二次函数 的图象经过点 ，
，二次函数 的图象不经过原点，
，
则 ，
若取 ，则 ，
该二次函数的表达式可以是 ，
故答案为： （答案不唯一）．
9．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）将抛物线 向下平移5个单位长度后，经过点
，则 ．
【答案】2
【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到
，再整体代入变形后代数式即可．
解：抛物线 向下平移5个单位长度后得到 ，
把点 代入得到， ，
得到 ，
∴ ，
故答案为：2
10．（2024·上海·中考真题）对于一个二次函数 （ ）中存在一点 ，使
得 ，则称 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 “开
口大小”为 ．
【答案】4
【分析】本题考查新定义运算与二次函数综合，涉及二次函数性质、分式化简求值等知识，读懂题
意，理解新定义抛物线的“开口大小”，利用二次函数图象与性质将一般式化为顶点式得到，按照定义求解即可得到答案，熟记二次函数图象与性质、理解新定义是解决问题的关
键．
解：根据抛物线的“开口大小”的定义可知 中存在一点 ，使得
，则 ，
，
中存在一点 ，有 ，解得 ，则 ，
抛物线 “开口大小”为 ，
故答案为： ．
11．（2024·江苏苏州·中考真题）二次函数 的图象过点 ， ，
， ，其中m，n为常数，则 的值为 ．
【答案】 /
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把A、B、D的坐标代入 ，
求出a、b、c，然后把C的坐标代入可得出m、n的关系，即可求解．
解：把 ， ， 代入 ，得 ，
解得 ，
∴ ，
把 代入 ，
得 ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
12．（2024·四川乐山·中考真题）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都小于或等于1的点叫做这
个函数图象的“近轴点”．例如，点 是函数 图象的“近轴点”．
（1）下列三个函数的图象上存在“近轴点”的是 （填序号）；
① ；② ；③ ．
（2）若一次函数 图象上存在“近轴点”，则m的取值范围为 ．
【答案】 ③ 或
【分析】本题主要考查了新定义——“近轴点”．正确理解新定义，熟练掌握一次函数，反比例函
数，二次函数图象上点的坐标特点，是解决问题的关键．
（1）① 中，取 ，不存在“近轴点”；② ，由对称性，取 ，不存在“近轴点”；
③ ，取 时， ，得到 是 的“近轴点”；
（2） 图象恒过点 ，当直线过 时， ，得到 ；当直
线过 时， ，得到 ．
解：（1）① 中，
时， ，
不存在“近轴点”；
② ，
由对称性，当 时， ，
不存在“近轴点”；
③ ，
时， ，
∴ 是 的“近轴点”；
∴上面三个函数的图象上存在“近轴点”的是③
故答案为：③；
（2） 中，时， ，
∴图象恒过点 ，
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
当直线过 时， ，
∴ ，
∴ ；
∴m的取值范围为 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
13．（2024·内蒙古·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线 经过点 ．
（1）若 ，则 _________，通过配方可以将其化成顶点式为_________；
（2）已知点 在抛物线上，其中 ．若 且 ，比较 与 的大小
关系，并说明理由；
（3）若 ，将抛物线向上平移4个单位得到的新抛物线与直线 交于A，B两点，直线
与y轴交于点C，点E为 中点，过点E作x轴的垂线，垂足为点F，连接 ， ．求证：．
【答案】（1）2， ；（2） ，理由见分析；（3）证明见分析
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、两点之间的距离公式等知识，
熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）将点 代入二次函数的解析式即可得 的值，再利用完全平方公式进行配方，化成顶点式
即可得；
（2）先求出 ，从而可得抛物线的对称轴 ，再求出 ，得出点 到对称
轴的距离大于 到对称轴的距离，然后根据抛物线的开口向上即可得；
（3）先分别求出点 的坐标，再利用两点之间的距离公式即可得证．
解：（1）解：∵抛物线 经过点 ，且 ，
∴将点 代入 得： ，
解得 ，
则 化成顶点式为 ，
故答案为：2， ．
（2）解： ，理由如下：
∵抛物线 经过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
二次函数 的对称轴为直线 ，
，∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴点 到对称轴的距离大于 到对称轴的距离，
又∵抛物线的开口向上，
∴ ．
（3）证明：若 ，则 ，
将 向上平移4个单位得到新抛物线 ，
∵抛物线 与直线 交于点 ，
∴设点 的坐标为 ，
将 代入 得： ，
∴ ，
∵点 为 中点，
∴ ，
轴于点 ，
，
∴ ，
，
∴ ．14．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数 的图象过点
．
（1）求 的值；
（2）已知二次函数 的最大值为 ．
①求该二次函数的表达式；
②若 为该二次函数图象上的不同两点，且 ，求证： ．
【答案】（1） ；（2）① ；②见分析
【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程．
（1）根据二次函数的对称性求解即可；
（2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为 列方程求解即可；
②先根据二次函数的对称性求出 ，然后把 通分后代入即可求解．
解：（1）解：二次函数 的图象的对称轴为 ．
因为点 在该函数的图象上，
所以 ，
所以 ，
所以 ．
（2）①由（1）可得， ，
所以该函数的表达式为 ，
函数图象的顶点坐标为 ．因为函数的最大值为 ，
所以 ，且 ，
解得 ，或 （舍去）．
所以该二次函数的表达式为 ．
②因为点 在函数 的图象上，
所以 ．
由①知，点 关于直线 对称，不妨设 ，
则 ，即 ．
所以
，
所以 ．
15．（2024·江苏南京·中考真题）已知二次函数 的图象经过点 ，它的顶点
在函数 的图象上．（1）当 取最小值时， ____________．
（2）用含 的代数式表示 ．
（3）已知点 都在函数 的图象上，当 时，结
合函数的图象，直接写出 的取值范围．
【答案】（1） ；（2） （ 且 ）；（3）
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的特征，正确画出图象是解题的关键．
（1）将顶点 代入函数 中，将函数转化为 ，求出 的最小值；
（2）将 代入，得出 的代数式；
（3）分开口向上和开口向下进行讨论，分别画出图象得出结论．
解：（1）解：∵二次函数 的顶点 在 上，
∴ ，
∴设二次函数 为 ，
当 取最小值时， ， ，
二次函数 的图象经过点 ，
，
故答案为： ；
（2）∵图象经过点 ，
∴ ，
化简得： ；
（3）①当开口向上时， ，
∴ ，
∴ ，∴
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∵ ，∴ ；
②当开口向下时，
∴ 或 ．
当 时，
此时， ，不合题意，
当 时，此时， ，不合题意，
综上所述： ．
16．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线 经过点 ．
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）点 和 分别在抛物线 和 上（ 与原点都不重合）．
①若 ，且 ，比较 与 的大小；
②当 时，若 是一个与 无关的定值，求 与 的值．
【答案】（1）对称轴是直线 ；（2） ； ，
【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函
数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
（1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解；
（2）①根据题意得出函数的解析式，将 代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小；
②将函数值用各自自变量表示，整理 得出两自变量的数量关系，即 ，
再利用特殊值法即可求出系数的值．
解：（1）解：由题意得，将点 代入 得，
，即 ，
所以 ，
故所求抛物线的对称轴是直线 ．
（2）解：①由（1）可知，抛物线的解析式为 ．
又 ，
故 ．因为抛物线 过原点，且点A与原点不重合，所以 ．
于是 ，
故 ．
②由题意知， ， ．
∵ ，
∴ ．
因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以 ， ．
故 ，即 ．
于是 ．
依题意知， 是与 无关的定值．
则 ，解得 ．
经检验，当 时， 是一个与 无关的定值，符合题意．
所以 ， ．
