2026年3月高三年级模拟考试数学答案_2026届湖北省黄冈市3月高三年级模拟考试_02数学2026届湖北省黄冈市3月高三年级模拟考试

2026 届高三年级模拟考试 数学试题答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1.D 2.A 3.C 4.B 5.C 6.C 7.D 8.A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BD 10.ABD 11.ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 1 x + y − 1 = 0 13. 3 + 3 2 7 + 3 14.[2,16] 14.设G(0,y，z ),P(0,y ,z ),∵ 1 1 2 2 d ( G , A ) = 1 , | y 1 | + | z 1 |= 1 , G点的轨迹为 | y | + | z |= 1 . 又  A P B =  D P E , 则Rt△APB∽Rt△DPE, A D B C = A P P D = 3 2 , 4 即(y −5)2 +z 2 = (y 2 +z 2),化简得G点的轨迹为 2 2 9 2 2 ( y − 9 ) 2 + z 2 = 3 6 . 在平面直角坐标系yAz中作出G,P轨迹可得2≤|PG|≤16. 四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解：(1) 由正弦定理知 s in A ( s in B + 3 c o s B ) = 3 s in C = 3 ( s in A c o s B + c o s A s in B ) .  s in A s in B = 3 c o s A s in B , B  ( 0 ,  ) , s in B  0 , …………3分  t a n A = 3 , A  ( 0 ,  ) , A =  3 . …………6分 (2)由(1)知 B + C = 2  3 , c o s (B + C ) = c o s B c o s C − s in B s in C = − 1 2 ,  s in B s in C = 3 8 . …………9分  s in b B c s in C = s a in 2 2 A = 8  3 4 , b c = 3 2 3  3 8 = 4 ,  S = 1 2  4  2 3 = 3 . …………13分 a b c 4 2 4 6 (另解：2R= = = = = . S =2R2sinAsinBsinC= 3.) sinA sinB sinC 3 3 16.证：(1)连AC,BD相交于点O,连PO.∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥ BD 且 AO=OC.又 AC∥平面 BGH，AC  公众号：高考试卷君 平面 PAC，平面 PAC平面 z BGH=GH，∴AC∥GH，∴GH⊥BD,又 GH⊥PD，而 PD∩BD=D.∴ P GH⊥平面PBD,又AC∥GH，∴AC⊥平面PBD,而PO平面PBD，∴ G AC⊥PO,AO=OC,△PAC为等腰三角形，即PA=PC. …………5分 H (2)若PB=PD,则PO⊥BD,由（1）知PO⊥AC,∴PO⊥平面ABCD ,以O A 为原点 以 OB,OC,OP 分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标 D 系， …………6分 O 又AB=2,∵∠ABC=60°，则 B C A(0,−1,0),B( 3,0,0),C(0，1，0),D(− 3,0,0), x y ∵PO⊥AC,AC⊥BD,∴BO⊥平面PABCD，PB与平面PAC所成的角为60°， ∴∠BPO=60°,∴PO=1,∴P(0,0,1). …………8分2  A C = ( 0 ,2 ,0 ) , C D = ( − 3 ,− 1 ,0 ) , P C = ( 0 ,1 ,− 1 ) . …………9分 设平面PCD的法向量为m= ( x 1 , y 1 , z 1 ) − 3x −y =0 则 1 1 取x =1,y =− 3,z =− 3,m=(1, 1 1 1  y 1 −z 1 =0 − 3 ， − 3 ),…………10分 设M(x ,y ,z ),MC=(−x ,1−y ,−z ),则A,M到平面PCD的距离相等, 2 2 2 2 2 2 d = | A C | m  m | | = | M C | m  m | | = | 2 7 3 | = | − x 2 − 3 + 7 3 y 2 + 3 z 2 | , |x − 3y − 3z + 3|=2 3. 2 2 2 又 m ∥ A M x y +1 z , 2 = 2 = 2 ，解得 1 − 3 − 3 M ( − 4 7 3 , 5 7 , 1 2 7 ) M B = ( 1 1 7 3 ,− 5 7 ,− 1 2 7 ) , 设平面PAB的法向量为n= ( x 3 , y 3 , z 3 ) ,  B A = C D = ( − 3 ,− 1 ,0 ) , A P = ( 0 ,1 ,1 ) . − 3x −y =0 则 3 3 取x =1,y =− 3,z = 3,n=(1,− 3，3), …………13分 3 3 3 y +z =0  3 3 则点M到平面PAB距离为 d = | 1 1 3 + 5 7 3 7 − 1 2 3 |= 4 7 3 7 = 4 4 2 9 1 . …………15分 (另解：设点A在平面PCD的射影点为N,则可求得 N ( − 2 7 3 ,− 1 7 , 6 7 ) , A N = ( − 2 7 3 , 6 7 , 6 7 ) , 则N到平面PAB距离为 d = | − 2 3 − 6 7 7 3 + 6 3 |= 2 4 2 9 1 , 4 21 M到平面PAB距离为2d = .) 49 17.解：(1)记第1,2次取出的是干电池的概率分别为P(A),P(B), 3 2 2 1 P(B)=  +  ,P(AB)= 5 5 5 4 2 5  1 4 公众号：高考试卷君 , …………3分 在第2次取出的是干电池的条件下第1次取出的也是干电池的概率为 2 1  P(AB) 5 4 5 P(A|B)= = = . …………6分 P(B) 2 3 1 17 ( + ) 5 5 4 (2)依题意有抽屉里有3块充电电池，2块干电池，用完第一块干电池后补充一块充电电池，电池总数为5块 不变.记第 i(i=1,2,…，n)次恰好抽到第一块干电池，第 n+1 次恰好抽到第二块干电池的概率为 P(n,i)，则 3 2 4 1 2 4 3 P(n,i)=( )i−1 ( )n−i = ( )n( )i， …………10分 5 5 5 5 15 5 4 n 2 4 n 3 2 4 3 P =P(n,i)= ( )n( )i = (( )n −( )n) …………15分 n 15 5 4 5 5 5 i=1 i=1 方法二 “第n+1次抽取时恰好抽到最后1块干电池”可分为两类：第1次抽到干电池与第1次抽到充电电3 池. 当第1次抽到充电电池时：P = P , …………10分 n 5 n−1 当第1次抽到干电池时,仅第1次与第n+1次抽到干电池： 3  P n = 2 5  ( 4 5 ) n − 1  1 5 = 2 2 5 ( 4 5 ) n − 1 , …………12分  P n = 3 5 P n − 1 + 2 2 5 ( 4 5 ) n − 1 , P 1 = 2 5  1 5 = 2 2 5 .n  N*,n≥2. …………13分  ( 5 4 ) n P n = 3 4 ( 5 4 ) n − 1 P n − 1 + 1 1 0 ,  ( 5 4 ) n P n − 2 5 = 3 4 ( ( 5 4 ) n − 1 P n − 1 − 2 5 ) ,  ( 5 4 ) P 1 − 2 5 = − 1 3 0 ,  5 2 ∴( )nP − 是以为  4 n 5 − 1 3 0 首项 3 4 为公比的等比数列， …………15分  ( 5 4 ) n P n − 2 5 = − 1 3 0 ( 3 4 ) n − 1 , P n = 2 5 ( 4 5 ) n − 1 3 0 ( 4 5 ) n ( 3 4 ) n − 1 = 2 5 ( ( 4 5 ) n − ( 3 5 ) n ) . 当n=1时成立. 2 4 3 故所求概率为P = (( )n −( )n).nN*. …………17分 n 5 5 5 18.解(1)设椭圆焦距为2c,依题意有a=2,椭圆过点 ( c , 2 2 c ) , c 4 2 + c 2 b 2 2 = 1 , 又a2 =b2 +c2,a=2,b=c= 2.故的标准方程为 x 4 2 + y 2 2 = 1 . …………4分 (2)(i)设A(x ,y )，B(－x ,－y )，P(x ,y )，则M(x ,0)，由题意有 0 0 0 0 1 1 0 k = y x 0 0 . 可设PB的方程为y=k (x−x ), BP 0 k B P = k B M , k B P = x 0 − y 0( − x 0 ) = 2 y 0x 0 = k 2 , 又A,P在椭圆上，  x 04 2 + y 02 2 = 1 , x 14 2 + y 12 2 = 1 , y x 1 1 2 2 − − y x 0 0 2 2 = − 1 2 , k 0 = y x 1 1 − − y x 0 0 = − 2 x 1 ( y 1 + + x 0y 0 ) = − 2 k B x P 1( + x 1 x 0+ x 0 ) = − 2 1 k B P = − 1 k ,  k k 0 = − 1 . …………10分 (ii)   A B P =  A O M −  B M O =  A O M −  P M x , k 而tanAOM =k,tanPMx= , 2 由(i)知AP⊥AB,又k>0,∴ 1 t = | | A A P B | | = ta n  A B P = 1 ta + n  ta A n  O A M O − M ta n ta n   P P M M x x = k 1 + − k 22 k 2 = 2 k + k 2 = 2 k 1 + k  2 1 2 . 当k = 2时等号成立，t2 2.t的最小值为 2 2 . …………17分 19.解：(1)g(x)=cosx−xsinx−cosx=−xsinx.当 x  ( 0 ,  ) 时, g ( x )  0 , g ( x ) 公众号：高考试卷君 单调递减， g(x) =g()=−. …………4分 min (2) 当a>e时，y=f(x)+2=ex −ax=0,即 ex =ax,x=lnx+lna, …………5分令 4 p ( x ) = x − ln x − ln a , p ( x ) = x − x 1 ,  p ( x ) 在 (0,1) 上 单 调 递 减 ， 在 (1,+ ∞ ) 上 单 调 递 增 ， 且 p ( x ) m in = p (1 ) = 1 − ln a  0 . 又 x → + 0 时 p ( x ) → +  , x → +  时 p ( x ) → +  ,  p ( x ) 在(0,+∞)上 2 个不同的零点 x ,x ，即y=f(x)+2在(0,+∞)上2个不同的零点x ,x . …………6分 1 2 1 2 设0x 1x ,令m(x)= p(x)− p(2−x),0x1,则 1 2 x−1 1−x 2(1−x)2 m(x)= p(x)+ p(2−x)= + =− 0,m(x)在(0,1)上单调递减，m(x)m(1)=0 x 2−x x(2−x) p(x ) p(2−x ),即 p(x ) p(2−x ),又x 1,2−x 1,而 p(x)在(1,+∞)上单调递增，x 2−x , 1 1 2 1 2 1 2 1 故 x 1 + x 2  2 . …………9分 (3)若xf (x)+g(x)+sinx=x(ex +cosx−ax−2)0在 [ −  2 ,+  ) 上恒成立.   记h(x)=ex +cosx−ax−2,x− .则h(0)=0,原不等式等价于xh(x)≥0在[− ,+)上恒成立. 2 2 h ( x ) = e x − s in x − a = q ( x ) , q ( x ) = e x − c o s x . 当 x>0 时 q ( x )  0 , q ( x ) 单调递增，即 h ( x ) 单调递增，  h ( x )  h ( 0 ) = 1 − a , (i)当1－a≥0即a≤1时,h(x)0,h(x)在(0,+)上单调递增，h(x)>h(0)=0,不等式恒成立； (ii)当 1－a<0 即 a>1 时,存在 x 0  ( 0 ,+  ) 使得 h ( x ) = 0 , 即存在 x 0  ( 0 ,+  ) 使得 h(x)在 ( 0 , x 0 ) 上单调递减，在 ( x ，0 +  ) 上单调递增，即在 ( 0 , x 0 ) 上h(x)<0,不等式不恒成立.∴a≤1. 当a≤1时， x  [ −  2 ,0 ] , t ( x ) = q ( x ) , t ( x ) = e x + s in x , t ( x ) 在 x  [ −  2 ,0 ] 上单调递增，  t ( x )  t ( −  2 ) = e − 2 − 1  0 , t ( 0 ) = 1 . 即 t ( x ) 在 x  [ −  2 ,0 ] 上有唯一解 x 1 ，使得 t ( x 1 ) = 0 ，即 x  [ −  2 , x 1 ] 时 t ( x )  0 , t ( x ) = q ( x ) 单调递减， x  [ x ，1 0 ] 时 t ( x )  0 , t ( x ) = q ( x )  −  单调递增，而q(− )=e 2,q(0)=0,∴存在 2 x 2  [ −  2 , x 1 ] 使得q(x )=0,即当 2 x  [ −  2 , x 2 ] 时 q ( x )  0 , q ( x ) 单调递增，当 x  [ x ，2 0 ] 时 q ( x )  0 , q ( x ) 单调递 减，即 h ( x )  在[− ,x ]上单调递增，在 2 2 [ x ，2 0 ] 公众号：高考试卷君  −  上单调递减，而h(− )=e 2 +1−a0,h(0)=1−a0. 2   当x[− ,0]时h(x)0,即h(x)在[− ,0]上单调递增，而h(0)=0,h(x)0,xh(x)0. 2 2  即当x[− ,0]，a1时不等式恒成立. 综上：a≤1. …………17分 2