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2024 年 9 月高三起点联考数学答案
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1. A 2. B 3. C 4. B 5. D 6. D 7. C 8. A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的
得0分．
9. ABD 10. AD 11. ABD
11.解析：
A. 时，
a=1 f'(x)=6x2-6x=6x(x-1),
f (x)在(-∞，0)递增 ，(0，1)递减，(1，+∞)递增，
{ f (x)极大值=f (0)=b>0, ,A正确；
∴
f (x)极小值=f (1)=b-1<0
B.由（1）知：f(x)在(0，1)递减，当x∈(0,π)时，02
( )> ( ), < ,
aex(x-1)<(x-2)
,
(x-2)
a(x-1)<
ex
,
据图可得：
{ a(4-1)<
(4-2)
e4 解得
a∈
[3 e-5,2 e-4).
(5-2) 4 3
a(5-1)≥
e5 ,
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. 解：(1)证明：因为S =1-a ,
n n
所以S =1-a ,
n+1 n+1
两式相减得：a =2a , 分
n n+1
......................1..............3
所以数列{a }为等比数列，公比q= ,
n 2
1
当n=1时，a =1-a ,所以a = 分
1 1 1 2
..................4
所以 (1) n 分
a =
n 2
..................5
（2） ,所以 (1) n 分
S =1-a S =1-
n n n 2
..................7
1 1
S2=1+ - , ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
n 4n 2n-1
9
(1 1 1 ) (1 1 1 )
T =n+ + +⋯+ -2 + +⋯+ ⋯⋯⋯11分
n 4 42 4n 2 22 2n
1 1 5
=n+ - - ⋯⋯⋯⋯⋯13分
2n-1 3×4n 3
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学科网（北京）股份有限公司 2 516. 解：
1 1+cos2ωx 1 1 1 √ 2 π 1
(1)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx= sin2ωx+ = sin2ωx+ cos2ωx+ = sin(2ωx+ )+
2 2 2 2 2 2 4 2
， 分
....................................1 2π
因为函数f(x)的最小正周期为π，所以T= =π，即ω=1， 分
2ω
....................................2
√ 2 π 1
所以f(x)= sin(2x+ )+ ， 分
2 4 2
........................................................................3
π π π
令- +2kπ⩽2x+ ⩽ +2kπ(k∈Z)，
2 4 2
3π π
解得- +kπ⩽x⩽ +kπ(k∈Z)，
8 8
3π π
所以f(x)的单调递增区间为[- +kπ, +kπ](k∈Z)， 分
8 8
....................................5
π π k
令2x+ =kπ(k∈Z)，解得x=- + π(k∈Z)，
4 8 2
π k 1
所以f(x)的对称中心为(- + π, )(k∈Z); 分
8 2 2
..................7
π 1
(2)将函数f(x)的图象向右平移 个单位，再向下平移 个单位，得到函数g(x)的图象，
8 2
则 ( π) 1 √ 2 [ ( π) π] 1 1 √ 2 ， 分
g(x)=f x- - = sin 2 x- + + - = sin2x
8 2 2 8 4 2 2 2
....................................9
所以函数g(x)的最小正周期为π， 分
由x -x = π (n∈N* )知， ..................10
n+1 n 3
,
g(x )+g(x )+g(x )=g(x )+g(x )+g(x )=⋯=g(x )+g(x )+g(x )
1 2 3 4 5 6 2020 2021 2022
❑√2 ❑√2 ❑√2
g(x )+g(x )+g(x )= - - =0， 分
1 2 3 2 4 4
..................13
❑√2
所以g(x )+g(x )+⋯+g(x )=g(x )+g(x )=g(x )+g(x )= .
1 2 2024 2023 2024 1 2 4
..................15
分
17. 解：(1)f (x)的定义域为(0，+∞), 分
................第..1 页，共 页
学科网（北京）股份有限公司 3 52a 3
f'(x)= + x-(a+3) 分
x 2
...............................................................2
3 1
由题意知：f'(1)=a- =-1,所以a= 分
2 2
.......................................................4
3 7
f (1)= -a-3=-1+b,b=- 分
4 4
.........................................................................6
2a 3 (3x-2a)(x-2)
(2)f'(x)= + x-(a+3)=
x 2 2x
2
令f'(x)=0⟹x =2,x = a 分
1 2 3
,........................................................................7
当a≤0时，
所以f(x)在(0,2)单调递减，(2,+∞)单调递增； 分
当03时，00
{
a+aq>aq2
⋯⋯⋯⋯⋯
a+aq2>aq
aq+aq2>a 8
分
解之得： (❑√5-1 ❑√5+1) 分
q∈ ,
2 2
....................................10
（ ）
由 i(i1)的结论可知
A C sinA 1-cosC sinA 1-cosC
tan tan = ⋅ = ⋅ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
2 2 1+cosA sinC sinC 1+cosA
a2+b2-c2
1-
a 2ab a+c-b a+aq2-aq
= ⋅ = = ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14分
c b2+c2-a2 a+c+b a+aq2+aq
1+
2bc
1+q2-q (1+q2+q)-2q 2q
= = =1- ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯15分
1+q2+q 1+q2+q 1+q2+q
2 1 3-❑√5
=1- ∈[ , )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16分
1 3 2
q+ +1
q
A C 1 3-❑√5
故tan tan 的取值范围为[ , )⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 分
2 2 3 2
17
19.解：（1）当x≥1时，|sinx|φ(0)=0,即※式成立
综上：|sinx|0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分
(2)当 时， ,
a>1 h(x)=sinx-xa,h'(x)=cosx-axa-1
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学科网（北京）股份有限公司 5 5当x∈(0,1)时，cosx单调递减，axa-1单调递增，
在 单调递减， 6分
∴h'(x) (0,1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
又 ,
h'(0)=1>0,h'(1)=cos1-1<0
在(0,1)存在唯一零点，记为 , 8分
∴h'(x)=0 x ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
0
∴h(x) 在(0,x )单调递增，在(x ,1)单调递减，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分
0 0
,证毕. 10分
∴h(x )>h(0)=0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯
0
1
(3)f (x)0,即 x∙sin 0
x
sin ,
1 1
若 x与sin 异号，显然成立，只考虑 x与sin 同号，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 11分
x x
sin sin
1
又x=1时，sin21<1命题成立；x>1时，xa>1≥sinx∙sin ，命题成立，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分
x
1
故只需考虑x∈(0,1)时，sinx∙sin 0) ※※ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13分
x
若 ， 1 | 1| ※※式成立（用（1）结论），
01,取m∈N*,m> 1 ,取 x 1 = 1 ∈(0,x 0 ) ,
x (2m+ )π
0 2
sinx ∙sin 1 =sinx sin ( 2m+ 1) π=sinx >x a (由（2）结论), ※※式不成立， ⋯⋯⋯⋯⋯ 16分
1 x 1 2 1 1
1
综上：0
