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第 19 讲 圆周运动的临界问题
（模拟精练+真题演练）
1．（2023·新疆·统考三模）如图甲所示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用轻质细线相连的质量
相等的两个物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为 和 ，两物体与盘间的动摩擦因数相
同，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。若初始时绳子恰好拉直但没有拉力，现增大转盘角速度让转盘做匀速
圆周运动，但两物体还未发生相对滑动，这一过程A与B所受摩擦力f的大小与 的大小关系图像如图乙
所示，下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，因为物体A和B分居圆心两侧，与圆心距离分别为 和 ，两个物体都没滑动之
前，都受静摩擦力的作用，与 成正比，由于B物体到圆心的距离大，故B物体先达到滑动摩擦力，摩
擦力大小不变为 角速度达到 后绳子出现拉力，在角速度为 时，设绳子拉力为T，对B
有
对A有 解得 故选D。
2．（2022·山东青岛·统考三模）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳
子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角
速度的平方（ ）的变化关系正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为
零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为 ， 因为 ，故 ，又因为a、b与
平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静摩擦力，当b达到最大静摩擦力 时绳
子开始出现拉力，此后b受到的摩擦力保持不变，故 图像刚开始为一段过原点的倾斜直线（斜率为
），后为水平直线（大小恒为f）。故选A。
0
3．（2022·广东·统考模拟预测）如图所示， 、B、C三个物体放在水平旋转圆台上，用细线连接并固定
在转轴上。已知物体与圆台间的动摩擦因数均为 ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力；细线能承受的最大
拉力为 ， 的质量为 ，B、C的质量均为 ， 、B离轴的距离为 ，C离轴的距离为 ，重
力加速度取 ，当慢慢增加圆台转速，最先滑动的是（ ）
A． B．B C．C D．三个物体同时滑动
【答案】C
【详解】当圆台转速较小时，三者都由静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律
A、C需要的向心力相等，当转速增大到 时，由于 ，C受静摩擦力先达到最大值；
再增大，B、C间细线开始有拉力，对C，由牛顿第二定律 对B：
学科网（北京）股份有限公司对A： 当 时， ， ； 再增大，OB间拉力出现，
对A： 对B： 对C：
当B、C间细线拉力达到最大值时，即 时 ，
则 再增大，B、C间细线将断裂，故C最先滑动。ABD错误，C正确。
故选C。
4．（2023·湖南邵阳·统考模拟预测）一宇航员到达半径为R、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不
可伸长的轻绳拴一质量为m的小球，上端固定在O点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕
O点在竖直面内做半径为r的圆周运动，测得绳的拉力F大小随时间t的变化规律如图乙所示．设R、m、
r、引力常量G以及F 和F 为已知量，忽略各种阻力．以下说法正确的是（ ）
1 2
A．该星球表面的重力加速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．该星球的密度为
D．卫星绕该星球的第一宇宙速度为
【答案】B
【详解】A.在最低点有 在最高点有 由机械能守恒定律得
联立可得 故A错误；
B.设星球表面的重力加速度为g，小球能在竖直面上做圆周运动，即能过最高点，过最高点的条件是只有
重力提供向心力，有 则最高点最小速度为 故B正确；
C.由 ； 可得 故C错误；
D.由 可得 故D错误。故选B。
学科网（北京）股份有限公司5．（2023·湖北·模拟预测）如图甲所示的陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一
样，这被称为“魔力陀螺”。它可简化为一质量为m的质点在固定竖直圆轨道外侧运动的模型，如图乙所
示．在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点与分别为轨道的最高点最低点，C、D两点与
圆心O等高，质点受到的圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为7mg，不计摩擦和空气阻力，重
力加速度为g，若质点能始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，则（ ）
A．质点经过C、B两点时，质点对轨道压力的差值为6mg
B．质点经过A点的最大速度为
C．质点由A到B的过程中，轨道对质点的支持力逐渐增大
D．质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力可能为0
【答案】B
【详解】A．设质点经过C、B两点的速度为分别为 与 ，轨道对其支持力分别为 与
由牛顿第二定律知，对C点和B点分别有 ，
由机械能守恒定律知 联立解得 由牛顿第三定律知，质点经过C、B两点
时，质点对轨道压力的差值为3mg，故A错误；
B．要使质点始终沿圆弧轨道外侧做完整的圆周运动，在最低点B，质点的向心力
由此可知，质点经过B点速度最大时，轨道对质点的支持力为0，由 知质点经过B点的
最大速度为 由机械能守恒定律知 解得 故B正确；
C．从A到B的过程中，设质点在轨道上的某点的速度为v，速度与水平向右方向的夹角为 ，则由牛顿第
二定律知 则 由于从A到B的过程中， 角逐渐增大，速度
v逐渐增大，故轨道对质点的支持力 逐渐减小，故C错误；
D．假设质点经过C、D点时轨道对质点的支持力为0，则由牛顿第二定律知：对C点
学科网（北京）股份有限公司得 由能量守恒定律知，这是不可能的，故在质点绕轨道做完整圆周的情况下，
质点经过C、D两点时，轨道对质点的支持力不可能为0，故D错误。故选B。
6．（2023·辽宁·模拟预测）如图，“单臂大回环”是体操运动中的高难度动作，运动员单臂抓杠，以单杠
为轴完成圆周运动，不考虑手和单杠之间的摩擦和空气阻力，将人视为处于重心的质点，将“单臂大回
环”看成竖直平面内的圆周运动，等效半径为L，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）
A．单杠对手臂只能提供拉力，不能提供支持力
B．从最高点到最低点的过程中，单杠对人的作用力做正功
C．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最低点的向心加速度大小为
D．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最高点处时，手臂与单杠之间无支持力
【答案】C
【详解】A．运动员在做圆周运动的过程中，单杠对手臂可能为拉力，也可能为支持力，如在最高点，当
运动员的重力恰好提供向心力时，有 可得 当运动员在最高点的速度大于 时，杆对运
动员的力为拉力，当运动员在最高点的速度小于 时，杆对运动员的力为支持力，故A错误；
B．从最高点到最低点的过程中，单杠对人的作用力一直与速度方向垂直，不做功，故B错误；
C．若运动员恰好能够完成此圆周运动，则运动员在最高点的速度为零，此时手臂与单杠之间支持力大小
等于运动员的重力大小，从最高点到最低点，根据动能定理有 在最低点的向心加速度大小
为
联立两式可得 故C正确，D错误。故选C。
7．（2021·青海西宁·统考三模）如图所示，竖直放置的光滑圆形轨道（带底座）质量为 ，半径为 ，轨
道最低点有一个质量为 的小球（球直径小于管道内径，可视为质点）。现给小球一水平初速度 ，使小
球在竖直轨道内做圆周运动，则下列说法正确的是（已知重力加速度为 ）（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．当 时，小球才能在竖直轨道内做圆周运动
B．小球在轨道最低、最高点时的压力大小差恒等于
C．当 时，就能使轨道离开地面
D．小球从最低点运动到最高点的过程中，轨道对地面的压力一直在减小
【答案】C
【详解】A．小球在竖直轨道内能做圆周运动的条件是通过最高点时 ，因为轨道光滑，小球在运动中
机械能守恒，所以有 ； ，A选项错误；
B．上述情况（ 时），小球在最低点和最高点时由向心力公式有 ；
即 ； ，B选项错误；
C．当 时，小球在最高点时由向心力公式得 由机械能守恒
解得 由牛顿第三定律有：小球对轨道有竖直向上大于 的弹力作用，C选项正确；
D．在 时，小球从轨道最低点到最高点的运动过程中轨道对球的弹力数值上先减小后增大，方向
先向心后离心，中间有一点在90°~180°间球与轨道弹力为零，此时轨道对地面的压力大小为 ，其他位
置大于 ，D选项错误。故选C。
8．（2023·山东·模拟预测）四川西岭雪山滑雪场是中国南方规模最大、档次最高、设施最完善的大型滑雪
场。某段滑道建在一斜坡上，斜坡简化为一斜面，倾角 ，示意图如图所示。运动员从a点由静止自
由滑下，到达c点飞离滑道，bc为一小段半径为R的圆弧且b点为圆弧的最低点，运动员视为质点，不计
一切阻力，若要求运动员在b点对滑道沿斜面向下的作用力不超过自身重力的3倍，则a、b点间的高度差
（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．不大于 B．不大于 C．不小于 D．不小于R
【答案】A
【详解】运动员从a点到b点，根据机械能守恒有 在b点，由圆周运动规律有 ；
联立解得 故选A。
9．（2023·上海·统考一模）如图所示，用光电门传感器和力传感器研究小球经过拱桥最高点时对桥面压力
F 的大小与小球速度的关系。若光电门测得小球的挡光时间t，多次实验，则t越短（ ）
N
A．F 越小，且大于小球重力
N
B．F 越大，且大于小球重力
N
C．F 越小，且小于小球重力
N
D．F 越大，且小于小球重力
N
【答案】C
【详解】小球经过拱桥最高点时，根据牛顿第二定律，有 则有 则可知，当t越
短，说明小球通过最高点的速度越大，则F 越小，且小于小球重力。故选C。
N
10．（2023·山东泰安·统考模拟预测）如图所示，水平圆盘可绕竖直轴转动，沿直径方向放着用细线相连
的质量均为m的物体A和B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R =r，R =2r，A和B与圆盘间的动
A B
摩擦因数分别为μ和 ，圆盘静止时细线刚好伸直且无张力。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速
度为g，现让圆盘从静止开始缓慢加速，则（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．当 时， 细线中没有张力
B．当ω= 时，物体A受到的摩擦力指向圆心
C．当ω= 时，两物体刚好不滑动
D．当两物体刚好不滑动时烧断绳子，A仍相对圆盘静止，B将做离心运动
【答案】AC
【详解】A．当最大静摩擦力提供向心力时，对B则有 解得 对A则有
解得 可知当 时， 细线中没有张力，A正确；
B．当ω= 时，对A所需向心力，则有 对B所需向心力，则有
由以上计算可知，B对A的拉力恰好提供A做圆周运动的向心力，因此A受
到的摩擦力是零，B错误；
C．当两物体刚好不滑动时，对B则有 对A则有 联立两式解得
ω= ，C正确；
D．当两物体刚好不滑动时，在烧断绳子的瞬间，A所需向心力为
B所需向心力为 可知两物体的最大静摩擦力都不足以提供向心力，因此A和
B都将做离心运动，D错误。故选AC。
11．（2023·甘肃甘南·校考三模）如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B、C能随转台一起以角速度ω
匀速转动，A、B、C的质量分别为3m、2m、m，A与B、B和C与转台间的动摩擦因数均为μ，A、B和
C离转台中心的距离分别为r、1.5r，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。以下说法中正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司A．B对A的摩擦力一定为3μmg
B．B对A的摩擦力一定为3mω2r
C．转台的角速度一定满足
D．转台的角速度一定满足
【答案】BC
【详解】AB．对A受力分析，受重力、支持力以及B对A的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有
故A错误，B正确；
CD．对AB整体，有 对物体C，有 对物体A，有
解得 故C正确，D错误。故选BC。
12．（2019·重庆·重庆巴蜀中学校考模拟预测）如图，水平圆形转盘可绕竖直轴转动，圆盘上放有小物体
A、B、C，质量分别为m、2m、3m，物块A叠放在B上，B、C到转盘中心O的距离分别为3r、2r。B、
C间用一轻质细线相连，圆盘静止时，细线刚好伸直无拉力。已知B、C与圆盘间的动摩擦因数为μ，A、
B间动摩擦因数为3μ，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g。现让圆盘从静止开始加速。则
（ ）
A．当 时，A、B即将开始滑动
B．当 时，细线张力为
C．当 时，C受到圆盘的摩擦力为0
学科网（北京）股份有限公司D．当 时剪断细线，C将做离心运动
【答案】BC
【详解】A．当A相对B开始滑动时有： 解得： 当 时，
AB未发生相对滑动，故A错误；
B．当 时，以AB为整体，根据 可知 ，B与转盘之间的最
大静摩擦力为： 所以有： 此时细线有张力，设细线的拉力为T，
对AB有： 对C有： 解得 ；
故B正确；
C. 当 时，AB需要的向心力为： 解得此时细线的拉力
，C需要的向心力为： ，C受到细线的拉力恰好等于需要的向
心力，所以圆盘对C的摩擦力一定等于0，故C正确；
D. 当 时，对C有： 剪断细线，则 所以C与转盘
之间的最大静摩擦力大于需要的向心力，则C仍然做匀速圆周运动，故D错误。故选BC。
13．（2023·山东·模拟预测）如图所示，两个圆弧轨道竖直固定在水平地面上，半径均为R，a轨道由金属
凹槽制成，b轨道由金属圆管制成（圆管内径远小于R），均可视为光滑轨道。在两轨道右端的正上方分
别将金属小球A和B（直径略小于圆管内径）由静止释放，小球距离地面的高度分别用 和 表示，两小
球均可视为质点，下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，两小球都能沿轨道运动到轨道最高点
B．若 ，两小球沿轨道上升的最大高度均为R
C．适当调整 和 ，均可使两小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处
D．若使小球沿轨道运动并且从最高点飞出， 的最小值为 ，B小球在 的任何高度释放均可
学科网（北京）股份有限公司【答案】BD
【详解】AD．B轨道是双轨模型，到达最高点的最小速度为零。即若 时，B球能沿轨道运动到最
高点；若A小球恰好运动到最高点，则有 ； 解得 可知，若小
球A能够到达最高点，需要 选项A错误，D正确；
B．若 ，根据机械能守恒定律可知，两小球沿轨道上升的最大高度均为R，不超过过圆心的水平
线，选项B正确；
C．B小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口，则有 ； 对B球有
解得 对A球，从最高点射出时最小速度为 此时根据 ； 解得
则无论如何调节h 都不可能使A小球从轨道最高点飞出后，恰好落在轨道右端口处，选项
A
C错误；
故选BD。
14．（2023·全国·模拟预测）如图所示，一小物块被夹子夹紧，夹子通过轻绳悬挂在小环上，小环套在水
平光滑细杆上，物块质量为M，到小环的距离为L，其两侧面与夹子间的最大静摩擦力均为F，小环和物
块以速度v向右匀速运动，小环碰到杆上的钉子P后立刻停止，物块向上摆动，整个过程中，物块在夹子
中没有滑动，小环和夹子的质量均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）
A．物块向右匀速运动时，绳中的张力等于
B．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
C．小环碰到钉子P时，绳中的张力大于
D．速度v不能超过
【答案】CD
【详解】A．物块向右匀速运动时，物块所受合力为零，则物块受到的静摩擦力大小为 ，由于夹子质
量不计，则绳中的张力等于 ，故A错误；
B．无论物块在向右匀速运动时，还是在小环碰到钉子P时，绳中的张力都不可能大于 ，故B错误；
C．小环碰到钉子P时，由于物块在夹子中没有滑动，则对物块和夹子整体分析，物块和夹子开始向上摆
学科网（北京）股份有限公司动，做圆周运动，根据牛顿第二定律可得 由此可知，绳中的张力T大于 ，故C正确；
D．当绳中的张力恰好达到 时，根据牛顿第二定律可得 解得，此时的速度为
即为使物块在夹子中没有滑动，则速度v不能超过 ，故D正确。故选CD。
15．（2022·山东威海·二模）如图所示，竖直平面内固定一半径 光滑圆形轨道，圆心为O。一小
球在轨道的最低点A，某时刻获得水平向右的瞬时速度 。已知 ，重力加速度 。在
小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球在最高点的速度大小为
B．小球在最高点的速度大小为
C．重力做功的功率先增大后减小
D．小球做圆周运动时重力和弹力的合力提供向心力
【答案】BC
【详解】
AB．假设小球能够达到圆轨道的最高点，根据动能定理可知 解
故小球在未到达最高点就已经脱离轨道做近心运动，设脱离轨道时小球与圆心连
线与水平方向的夹角为 ，此时的速度为v，则根据动能定理有
由重力的分力提供向心力，弹力为0，则有 解得 ， 脱离轨道后做斜抛运动，
故轨迹最高点的速度为 ，A错误，B正确；
学科网（北京）股份有限公司C．在小球从A点运动到轨迹最高点的过程中，初始时，重力方向与速度方向垂直，功率为0，过程中重力
与速度方向不垂直，末状态最高点时重力方向与速度方向又垂直，功率又变为0，故重力做功的功率先增
大后减小，C正确；
D．小球做圆周运动时速度的大小和方向都在变，故重力和弹力沿半径方向的分量的合力提供向心力，D
错误。故选BC。
16．（2021·辽宁·校联考一模）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球绕定点
O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点的速度大小为v，此时轻杆对小球的作用力大小为 ， （设
竖直向上为正）与速度的平方 的关系如图乙所示，图像中的a、b及重力加速度g均为已知量，不计空气
阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球的质量等于
B．轻杆的长度为
C．当 时，小球的向心加速度小于g
D．当 时，纵轴坐标值
【答案】AB
【详解】AB．由图可知，当小球在最高点的速度为零时，有 当杆对小球无作用力时 ，有
联立两式可解得 ， ，AB正确；
C．当 时， ，小球只受重力，故小球在最高点的向心加速度等于重力加速度g，C错误；
D．当 时， 解得 负号表示杆对小球的作用力为拉力，且小球受到杆
的弹力与重力大小相等，所以纵轴坐标值 ，D错误。故选AB。
17．（2022·浙江·统考高考真题）如图所示，处于竖直平面内的一探究装置，由倾角 =37°的光滑直轨道
学科网（北京）股份有限公司AB、圆心为O 的半圆形光滑轨道BCD、圆心为O 的半圆形光滑细圆管轨道DEF、倾角也为37°的粗糙直
1 2
轨道FG组成，B、D和F为轨道间的相切点，弹性板垂直轨道固定在G点（与B点等高），B、O、D、
1
O 和F点处于同一直线上。已知可视为质点的滑块质量m=0.1kg，轨道BCD和DEF的半径R=0.15m，轨
2
道AB长度 ，滑块与轨道FG间的动摩擦因数 ，滑块与弹性板作用后，以等大速度弹回，
sin37°=0.6，cos37°=0.8。滑块开始时均从轨道AB上某点静止释放，（ ）
（1）若释放点距B点的长度l=0.7m，求滑块到最低点C时轨道对其支持力F 的大小；
N
（2）设释放点距B点的长度为 ，滑块第一次经F点时的速度v与 之间的关系式；
（3）若滑块最终静止在轨道FG的中点，求释放点距B点长度 的值。
【答案】（1）7N；（2） （ ）；（3） ， ，
【详解】（1）滑块释放运动到C点过程，由动能定理
经过C点时 解得
（2）能过最高点时，则能到F点，则恰到最高点时 解得
而要保证滑块能到达F点，必须要保证它能到达DEF最高点，当小球恰好到达DEF最高点时，由动能定
理 可解得 则要保证小球能到F点， ，带入
可得
（3）设全过程摩擦力对滑块做功为第一次到达中点时做功的n倍，则n=1,3,5,……
解得 n=1,3,5, ……
又因为 ， 当 时， ，当 时， ，当 时， ，满
足要求。即若滑块最终静止在轨道FG的中点，释放点距B点长度 的值可能为 ， ， 。
18．（2020·浙江·统考高考真题）小明将如图所示的装置放在水平地面上，该装置由弧形轨道、竖直圆轨
学科网（北京）股份有限公司道、水平直轨道 和倾角 的斜轨道 平滑连接而成。质量 的小滑块从弧形轨道离地高
处静止释放。已知 ， ，滑块与轨道 和 间的动摩擦因数均为
，弧形轨道和圆轨道均可视为光滑，忽略空气阻力。
(1)求滑块运动到与圆心O等高的D点时对轨道的压力；
(2)通过计算判断滑块能否冲出斜轨道的末端C点；
(3)若滑下的滑块与静止在水平直轨道上距A点x处的质量为 的小滑块相碰，碰后一起运动，动摩擦因
数仍为0.25，求它们在轨道 上到达的高度h与x之间的关系。（碰撞时间不计， ，
）
【答案】(1)8N，方向水平向左；(2)不会冲出；(3) （ ）； （ ）
【详解】(1)机械能守恒定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律
方向水平向左
(2)能在斜轨道上到达的最高点为 点，功能关系 得
故不会冲出
(3)滑块运动到距A点x处的速度为v，动能定理 碰撞后的速度为 ，动量守恒定律
设碰撞后滑块滑到斜轨道的高度为h，动能定理
得 ；
学科网（北京）股份有限公司
