文档内容
考点 17 平抛运动 圆周运动热点问题分析
1. 3年真题考点分布
题型 选择题
水平面内有关摩擦力的临界极值问题；水平面内有关弹力的临界极值问题；
高考考点
竖直面内的绳模型；竖直面内的杆模型；平抛运动和圆周运动的综合问题
2023 全国甲卷17题、上海卷14题、湖北卷14题、湖南卷8题
福建卷12题、辽宁卷13题、河北卷10题、上海卷6题、北京卷8题、山东
2022
新高考
卷8题、甲卷14题
广东4题、全国甲卷15题、河北卷14题、北京10题、湖北15题、湖南14
2021
题、北京卷17题
2. 命题规律及备考策略
【命题规律】近3年新高考卷对于运动的描述考查共计18次，主要考查：
1. 水平面内有关摩擦力的临界问题的机制问题；
2. 水平面内有关弹力的临界机制问题；
3. 竖直面内的轻绳模型；
4. 竖直面内的轻杆模型；
5. 圆周运动和平抛运动结合的综合问题；
【备考策略】熟练掌握物体在水平面内的受力情况，分析摩擦力的变化过程，寻找解决临界问题的方法；
熟练掌握物体在做圆周运动时的弹力变化情况，不论时绳模型、杆模型还是接触类模型，体
会其受力的变化过程，寻找解决问题的办法；分清楚在竖直面内的轻绳模型和情感模型的区
别，熟悉常见的几种模型的变化，熟练判别模型的种类；理解和掌握平抛运动和圆周运动的
基本规律和特点，并能将不同的知识熟练运用。
【命题预测】平抛运动、圆周运动的热点问题分析是近几年来高考的必考题型之一，常与汽车与火车转弯、
汽车过拱桥和过凹坑，游乐场的旋转木马、赛车飞跃、以及在竖直面内的轻绳和轻杆模型等
与生活实际相关的题型出现在高考题中，分析讨论其临界的问题，2024年考生需要引起重视
在游乐场游玩时，也别忘了体会理解物理知识，这对解题是有很大的帮助的。
1考法 1 水平面内圆周运动问题 的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
（1）如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F ＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
m
（2）如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内
滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离
圆心和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
（1）压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
（2）绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
【典例1】（2023·湖南·模拟预测）如图所示，质量均为m的两个物块A和B左右中心开有小孔穿在粗糙
的细杆CD上，细杆绕过O点的竖直轴在水平面内匀速转动，A、B之间用轻质细线相连，物块中心与圆心
距离分别为 ，与细杆间的动摩擦因数μ相同，当细杆转速缓慢加快到两物块刚好要发生滑动
时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是（重力加速度为g）（ ）
2A．此时细线张力为
B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向O
C．此时细杆的角速度为
D．此时烧断细线，A仍相对细杆静止，B将做离心运动
【答案】A
【详解】ABC．两物块A和B随着细杆转动时，合外力提供向心力，则有
又B的半径比A的半径大，所以B所需向心力大，又因为细线拉力相等，所以当细杆转速加快到两物块刚
好要发生滑动时，B的静摩擦力方向指向圆心，A的最大静摩擦力方向指向圆外，有相对细杆沿半径指向
圆内的运动趋势，根据牛顿第二定律得 ，
解得 ， ，故A正确，BC错误；
D．烧断细线瞬间A所需向心力为
B所需向心力为 ，此时烧断细线，A、B所受最大静摩擦力均不足以提供向心力，则
A、B均做离心运动，故D错误.。
故选A。
【典例2】（2023·山东泰安·统考二模）如图所示，竖直平面内的光滑金属细圆环半径为R，质量为m的带
孔小球穿于环上，同时有一长为R的轻杆一端固定于球上，另一端通过光滑的铰链固定于圆环最低点，当
圆环以角速度 绕竖直直径转动时，轻杆对小球的作用力大小和方向为（ ）
A． 沿杆向上 B． 沿杆向下
C． 沿杆向上 D． 沿杆向下
【答案】B
【详解】设轻杆与竖直直径夹角为 ，由几何关系可得
解得
3则小球作圆周运动的半径为
作圆周运动所需向心力为
小球有向上运动的趋势，设杆对小球有沿杆向下的拉力F，环对小球有指向圆心的支持力F，有平衡条件
1 2
可知 ，
解得
故选B。
1．（2023·山东青岛·统考一模）如图，质量分别为m、2m、3m的物块a、b、c，放置在水平圆盘上随圆
盘一起以角速度 匀速转动，其中物块a、b叠放在一起。图中各接触面间的动摩擦因数均为 ，a、b和c
与转轴的距离分别为r和1.5r。下列说法正确的是（ ）
A．b对a的摩擦力为 B．圆盘对b的摩擦力为
C．圆盘的角速度满足 D．圆盘的角速度满足
【答案】D
【详解】A B．对物体a、b整体分析，水平方向上，b与桌面的静摩擦力提供向心力，则
对a进行受力分析，水平方向上，b对a的摩擦力提供向心力，则 ，A，B错误；
C D．因为三个物体转动的角速度一样，且动摩擦因数也一样，但物体c的半径大，所以若角速度增大的话，
c先达到滑动的临界点，故
整理得 ，C错误，D正确。
故选D。
2．（2023·山东·模拟预测）如图所示的离心装置中，轻质弹簧一端固定在杆的O点，另一端与一质量为M
的方形中空物块A连接，弹簧和物块A均套在光滑竖直方形轻杆OC上，长为L的轻杆OB一端通过铰链连
在O点（轻杆可在竖直面内转动），另一端固定一质量为m的小球B，物块A与小球B之间用长为L的轻
4质细线连接，物块A、小球B和弹簧均能随竖直轻杆OC一起绕过O点的竖直转轴转动。装置静止时，轻质
细线AB绷紧，细杆OB与水平方向的夹角为 ，现将装置由静止缓慢加速转动，当转速稳定时，细杆与
水平方向的夹角减小到 ，细杆中的力恰好减小到零，重力加速度为g，取 ， ，
求：
（1）细杆与水平方向的夹角减小到 时的转速；
（2）弹簧的劲度系数。
【答案】（1） ；（2）
【详解】解：（1）以小球B为研究对象，受力如图所示：
由牛顿第二定律，合力提供小球B做圆周运动的向心力，即
整理得 ，转速 ，解得
（2）细杆OB与水平方向的夹角为 时，装置静止时。小球B竖直方向
5物块 竖直方向，相互作用力大小相等
当稳定转动时，细杆中弹力减为零，且与水平方向的夹角为 。
小球B竖直方向
物块 竖直方向受力平衡
根据几何关系可得
联立以上各式解得
考法 2 竖直面内圆周运动 的临界问题
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．
2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
如球与绳连接、沿内轨道运动的球
实例 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动等
等
最高点无支撑 最高点有支撑
图示
重力、弹力，弹力方向向下或等于
受力特征 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
零
最
高
受力示意
点
图
6力学特征 mg＋F ＝m mg±F ＝m
N N
临界特征 F ＝0，v ＝ 竖直向上的F ＝mg，v＝0
N min N
过最高点条件 v≥ v≥0
①当v＝0时，F ＝mg，F 为支持力，沿半径
N N
①能过最高点时，v≥，F ＋mg＝ 背离圆心
N
m，绳、轨道对球产生弹力为F ②当0时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并随v的
N N
增大而增大
【典例3】（2023·新疆乌鲁木齐·统考三模）如图所示，杂技演员做水流星表演时，用一绳系着装有水的小
桶在竖直平面内绕O点做圆周运动，整个运动过程中水没有流出。已知小桶内水的质量为m，O点到水面
的距离为L，水面到桶底的距离为 ，小桶直径远小于L，重力加速度大小为g。则小桶转到最低点时水对
桶底的压力大小至少为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】整个运动过程中水没有流出，则在最高点最小速度时，有
到最低点的过程根据机械能守恒有
7在最低点根据牛顿第二定律有 ，联立解得
根据牛顿第三定律可知小桶转到最低点时水对桶底的压力大小
故选A。
【典例4】（2023·天津·统考模拟预测）电动打夯机可以帮助筑路工人压实路面，大大提高了工作效率。如
图所示某电动打夯机的结构示意图，由偏心轮（飞轮和配重物组成）、电动机和底座三部分组成。电动机、
飞轮和底座总质量为M，配重物质量为m，配重物的重心到轮轴的距离为r。重力加速度为g。在电动机带
动下，偏心轮在竖直平面内匀速转动，皮带不打滑。当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体离开地
面。下列判断正确的是（ ）
A．电动机轮轴与偏心轮转动角速度相同 B．配重物转到最高点时，处于超重状态
C．偏心轮转动的角速度为 D．打夯机对地面压力的最大值为
【答案】C
【详解】A．电动机轮轴与偏心轮转动属于同传送带传动，线速度相等，根据 ，可知角
速度不相等，故A错误；
B．配重物转到最高点时，加速度向下，处于失重状态，故B错误；
C．当偏心轮上的配重物转到顶端时，刚好使整体离开地面，则有
对配重物有 ，解得 ，故C正确；
D．在最低点，对配重物有
对打夯机有 ，解得
根据牛顿第三定律可知打夯机对地面压力的最大值为2 ，故D错误；
故选C。
解决竖直面内圆周运动的关键点
（1）确定模型：首先判断是轻绳模型还是轻杆模型.
（2）确定临界点： ，对轻绳模型来说是能否通过最高点的临界点，而对轻杆模型来说是 F表现
8为支持力还是拉力的临界点。
1．（2022·内蒙古包头·包钢一中校考一模）如图所示，两等长轻绳一端打结，记为O点，并系在小球上。
两轻绳的另一端分别系在同一水平杆上的A、B两点，两轻绳与固定的水平杆夹角均为53°。给小球垂直纸
面的速度，使小球在垂直纸面的竖直面内做往复运动。某次小球运动到最低点时，轻绳OB从O点断开，
小球恰好做匀速圆周运动。已知sin53°=0.8，cos53°=0.6，则轻绳OB断开前后瞬间，轻绳OA的张力比为（
）
A．1：1 B．25：32 C．25：24 D．3：4
【答案】B
【详解】轻绳OB断开前，小球以A、B中点为圆心的圆弧做往复运动，设小球经过最低点的速度大小为
v，绳长为L，小球质量为m，轻绳的张力为 ，由向心力公式有
轻绳OB断开后，小球在水平面内做匀速圆周运动，其圆心在A点的正下方，设轻绳的张力为 ，有
，
联立解得
故B正确。
2．（2020·重庆·统考二模）质量为m的小球，用长为l的线悬挂在O点，在O点正下方 处有一光滑的钉
子O′，把小球拉到与O′在同一竖直面内的某一位置，由静止释放，下摆过程中摆线将被钉子拦住，如图所
示。当球第一次通过最低点P时（ ）
A．小球的线速度突然增大
9B．小球的角速度突然减小
C．摆线上的张力突然减小
D．小球的向心加速度突然增大
【答案】D
【详解】A． 当球第一次通过P点时，线速度的大小不变，故A错误；
B． 由于线速度大小不变，根据 知，转动的半径变小，则角速度变大，故B错误；
C． 根据牛顿第二定律得， ，线速度大小不变，转动半径变小，则摆线张力变大，故C错误；
D．根据 知，线速度大小不变，转动的半径变小，则向心加速度突然变大，故D正确。
故选D。
3．（多选）（2023·重庆万州·重庆市万州第二高级中学校联考模拟预测）如图所示，倾角为 的斜面
体固定在水平地面上，在斜面上固定一个半圆管轨道AEB，圆管的内壁光滑、半径为r，其最低点A、最高
点B的切线水平，AB是半圆管轨道的直径，现让质量为m的小球（视为质点）从A点以一定的水平速度滑
进圆管，圆管的内径略大于小球的直径、重力加速度为g， 、 ，下列说法正确的是
（ ）
A．当小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球在B点的速度为
B．小球离开B点做平抛运动的时间为
C．若小球在B点的加速度大小为2g，则A点对小球沿斜面方向的弹力大小为
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则小球的落地点与P点间的距离为
【答案】BCD
【详解】A．小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，则由重力沿斜面的分力提供向心力，则有
，解得 ，A错误；
10B．小球离开B点做平抛运动，竖直方向上有 ，解得 ，B正确；
D．若小球到达B点时受到沿斜面方向的弹力刚好为0，根据上述有 ，
小球的落地点与P点间的距离为 ，解得 ，D正确；
C．小球在B点的加速度大小为2g，则在B点有 ，小球由A运动到B过程有
，小球在A点有 ，解得 ，C正确。
故选BCD。
考法 3 平抛、圆周运动的综合问题
1. 题目特点
此问题一般涉及圆周运动、平抛运动(或类平抛运动)、匀变速直线运动等多个运动过程,常结合功能关
系进行求解.
2. 解答突破
（1）分析临界点:对于物体在临界点相关多个物理量,需要区分哪些物理量能够突变,哪些物理量不能突变,
而不能突变的物理量(一般指线速度)往往是解决问题的突破口
（2）分析每个运动过程的运动性质
①若为圆周运动，应明确是水平面内的匀速圆周运动,还是竖直面内的变速圆周运动,机械能是否子恒
②若为抛体运动，应明确是平抛运动，还是类平抛运动，垂直于初速度的力是哪一个。
【典例5】（2023·辽宁朝阳·朝阳市第一高级中学校联考三模）“水上乐园”中有一巨大的水平转盘，人在
其上随盘一起转动，给游客带来无穷乐趣。如图所示，转盘的半径为R，离水平面的高度为H，可视为质
点的游客的质量为m，现转盘以角速度 匀速转动，游客在转盘边缘与转盘保持相对静止，不计空气阻力。
（1）求游客受到的摩擦力大小和方向；
（2）若转盘突然停止转动，求游客落水点到转动轴的水平距离。
11【答案】（1） ，沿半径方向指向圆心 ；（2）
【详解】（1）游客所受的摩擦力提供向心力，大小为 ，方向沿半径方向指向圆心 ；
（2）游客转动时的线速度即平抛运动的初速度
竖直方向，根据
游客做平抛运动的水平位移
游客落水点到转动轴的水平距离
联立可得
【典例6】（2023·全国·模拟预测）第24届冬季奥林匹克运动会将于2022年在中国北京和张家口举行。如
图所示为简化后的雪道示意图，运动员以一定的初速度从半径R＝10 m的圆弧轨道AB末端水平飞出，落
在倾角为θ＝37°的斜坡上，已知斜坡总长度x＝243 m。滑雪板与坡面间的动摩擦因数μ＝0.25。运动员到
B点时对轨道的压力是其重力的5倍，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
（1）运动员在斜坡上的落点距B点的距离；
（2）运动过程中运动员距斜坡的最大距离及从B点到距斜坡的最大距离所用的时间；
（3）设运动员落到斜坡上瞬间，垂直于斜坡方向的速度变为零，以沿斜坡方向的速度为初速度沿坡下滑，
则运动员落到斜坡上后经过多长时间滑至O点？此时运动员的速度大小为多少？
【答案】（1）75 m；（2）9 m， s；（3）4 s，50 m/s
【详解】（1）运动员到B点时对轨道的压力是其重力的5倍，由牛顿第三定律得，在B点，运动员受竖直
向上的支持力F ＝5mg。
N
由牛顿第二定律可得F －mg＝m ，解得v＝20 m/s
N
运动员由B→C做平抛运动，运动员从斜面顶端B平抛后又落在斜面上的C点。
由 ，可得t＝3 s
1
B、C间距
12（2）运动员由B→D做平抛运动过程，运动员离斜坡的距离最大时速度方向与斜坡平行，垂直于斜坡方向
的速度为零。可将运动员的运动分解为垂直斜坡方向的类竖直上抛运动和沿斜坡方向的匀加速直线运动。
在垂直于斜坡方向上，初速度为vsin 37°，加速度为gcos 37°。因此，运动员从B点飞出后至离斜坡距离最
大，经历的时间
运动员离斜坡的最大距离
（3）运动员由C→O做匀加速直线运动过程，如图所示
运动员到C点时v＝v＝20 m/s，v＝gt＝30 m/s
1
运动员从C点开始沿斜坡下滑过程的初速度v＝vcos 37°＋vsin 37°＝34 m/s，C、O间距x＝x－x＝168 m
运动员由C点至O点过程中，应用牛顿第二定律可得mgsin 37°－μmgcos 37°＝ma
解得a＝4 m/s2
由x＝v＋ at2，得运动员从C点到O点的时间t＝4 s
2 2 2
运动员到达O点的速度v＝v＋at＝50 m/s
2
1．（2023·辽宁·模拟预测）小明同学站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为
的小球（大小不计），甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球在某次运动到最低点时，
绳恰好达到所能承受的最大拉力F而断掉，球飞行水平距离s后恰好无碰撞地落在邻近的一倾角为
的光滑固定斜面体上并沿斜面下滑。已知斜面体顶端与小球做圆周运动最低点的高度差 ，绳长
，重力加速度g取 ， ， 。求：
（1）绳断时小球的速度大小 和小球在圆周最低点与斜面体的水平距离s；
（2）绳能承受的最大拉力F的大小。
13【答案】（1） （2）
【详解】（1）当绳子恰好断开后，小球做平抛运动，故
小球恰好无碰撞的落在光滑的斜面上，故速度的偏向角为
联立解得
（2）当小球运动到最低点时，有
解得
2．（2023·全国·模拟预测）一种餐桌的结构如图1所示，已知圆形玻璃转盘的半径r=0.6 m，转盘的厚度不
计，圆形桌面的半径R=1 m，已知玻璃中心与桌面中心重合，桌面到水平地面的高度h=1 m。轻绳的一端
固定在转盘的边缘，另一端连着一个物块，物块被轻绳带动沿桌面边缘一起旋转，达到稳定状态后物块与
转盘的角速度相同，且绳始终沿切线方向，其俯视图如图2所示。某时刻轻绳突然断裂，物块沿桌边缘水
平飞出，落地点到转盘中心O点的距离s= m，重力加速度g取10m/s2，求：
（1）转盘转动的角速度ω。
（2）小球与桌面间的动摩擦因数μ。
【答案】（1） rad/s；（2）0.375
【详解】（1）设轻绳断后小球平抛的初速度为v，平抛的水平位移大小为x，如图甲所示
0
14有s2-h2=x2+R2
又x=v ，v=ωR
0 0
解得ω= rad/s
（2）如图乙所示
sinθ= =0.6，则θ=37°，cosθ=0.8
设小球质量为m，轻绳上拉力大小为F ，绳断前，有Fcosθ=m ，Fsinθ=μmg，解得μ=0.375
T T T
3．（2022·福建福州·福建省福州第一中学校考模拟预测）抛石机是古代战场的破城重器（如图甲），可筒
化为图乙所示。将石块放在长臂A端的半球形凹槽，在短臂B端挂上重物，将A端拉至地面然后突然释放，
石块过最高点P时就被水平抛出。已知转轴O到地面的距离h=5m，OA=L=15m，质量m=60kg可视为质点
的石块从P点抛出后的水平射程为80m，不计空气阻力和所有摩擦，取g=10m/s2，求：
（1）石块落地时速度的大小；
（2）石块到达P时对凹槽压力的大小及方向。
15【答案】（1） ；（2）5800N，方向竖直向上
【详解】（1）依题意，石块从P点抛出后做平抛运动，则有 ，
求得石块从P点抛出到到达地面所用时间为
从P点抛出时的速度大小为
则落地时的速度大小为
（2）石块到达P时，根据牛顿第二定律有
代入数据求得，凹槽对石块的弹力为
说明凹槽对石块的弹力方向与重力方向相同，即竖直向下，根据牛顿第三定律可知，石块对凹槽压力的大
小为5800N，方向竖直向上。
【基础过关】
1．（2022·上海·二模）如图所示，用轻绳悬挂一个小球，在悬点正下方 A 点固定一颗钉子，钉子与悬点
的距离d 小于绳子的长度 L，把小球与轻绳拉到与悬点 O 平行的水平位置由静止释放，当小球下落到悬
点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，下列说法正确的是 （ ）
A．小球角速度大小保持不变
B．小球向心加速度的大小保持不变
C．小球受到拉力、重力、向心力
D．d 越大，钉子的位置越靠近小球，绳子就越容易断
【答案】D
【详解】A．当小球下落到悬点正下方绳子碰撞钉子的瞬间，由于小球水平方向受力为零，则小球的线速
度不变，而因转动半径减小，则角速度变大，选项A错误；
B．根据
因线速度不变，转动半径减小，则向心加速度变大，选项B错误；
C．小球只受拉力和重力作用，两个力的合力充当向心力，选项C错误；
16D．d 越大，钉子的位置越靠近小球，小球的转动半径越小，根据
可知，绳子拉力越大，则绳子就越容易断，选项D正确。
故选D。
2．（2023·上海宝山·统考二模）如图所示，M能在水平光滑滑杆上滑动，滑杆连架装在离心机上，用绳跨
过光滑滑轮与另一质量为m的物体相连。当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，M离轴距离为
r，且恰能作匀速圆周运动。若m增至原来的2倍，保持r不变，为使M仍能作匀速圆周运动，则离心机
的角速度要变为原来的（ ）
A．1倍 B． 倍 C．2倍 D．4倍
【答案】B
【详解】当离心机以角速度ω在水平面内绕竖直轴转动时，质量为m的物体处于静止状态，根据牛顿第二
定律，有
若m增至原来的2倍，保持r不变，M仍能作匀速圆周运动，同理有
联立解得
故选B。
3．（2023·辽宁·模拟预测）图1是某体操运动员在比赛中完成“单臂大回环”的高难度动作时的场景：用
一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动，运动员运动到最高点时，运动员与单杠间弹力大小
为F，运动员在最高点的速度大小为v。其F-v2图像如图2所示，g取10m/s2。则下列说法中正确的是（
）
A．此运动员的质量为50kg
B．此运动员的重心到单杠的距离为0.9m
C．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小跟重力大小相等
D．在最高点速度为4m/s时，运动员受单杆的弹力大小为428N，方向向下
【答案】BD
17【详解】A．对运动员在最高点进行受力分析，由图2可知
对运动员受力分析可得 ，解得 ，故A错误；
B．由图2可知，当 ，此时
重力通过向心力，根据牛顿第二定律可得 ，解得 ，故B正确；
CD．在最高点速度为4m/s时，运动员受到单杠的弹力的方向向下，根据牛顿第二定律可得 ，
解得 ，方向竖直向下，故C错误，D正确。
故选BD。
4．（2023·河北保定·统考一模）如图所示，A、B两个小滑块用不可伸长的轻质细绳连接，放置在水平转台
上， ， ，绳长l=1.5m，两滑块与转台的动摩擦因数μ均为0.5（设最大静摩擦力等
于滑动摩擦力），转台静止时细绳刚好伸直但没有弹力，转台从静止开始绕竖直转轴缓慢加速转动（任意
一段极短时间内可认为转台做匀速圆周运动），g取 。以下分析正确的是（ ）
A．当 时，绳子张力等于0.9N
B．当 时，A、B开始在转台上滑动
C．当 时，A受到摩擦力为0
D．当 时，绳子张力为1N
【答案】C
【详解】A．当绳子刚好出现张力时，则对B分析可知
解得
当 时，绳子张力等于0，选项A错误；
C．当 时，绳子张力等于0，此时A受到摩擦力为0，选项C正确；
BD．当A、B刚要在转台上滑动时，则对B：
对A： ，解得
18当 时，A、B开始在转台上滑动，当 时，绳子张力为 ，选项BD错误。
故选C。
5．（2023·北京·模拟预测）如图，质量分别为 、 的小球a和b被两根长度不同的细线拴着，在同一
水平面内分别以角速度 、 做匀速圆周运动，则下列等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设细线与竖直方向的夹角为θ，悬点到圆心的距离为h，绳长为 ，对其中一个小球受力分析，则
有
解得
可知对两个小球，g和h相等，则
由上可知，质量约去了，故质量关系无法求出，故选D。
6．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，“L”形杆倒置，横杆端固定有定滑轮，竖直杆光滑且粗细均匀，绕
过定滑轮的细线两端分别连接着小球B及套在竖直杆上的滑块A，让整个装置绕竖直杆的轴以一定的角速
度 匀速转动，稳定时，滑轮两边的线长相等且两边的线与竖直方向的夹角均为37 。已知细线总长为l，
滑块的质量为M，小球的质量为m，不计滑块和球的大小，sin37 =0.6，cos37 =0.8。则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】AB．设细线的拉力为T，则 ，因此 ，AB错误；
CD．由题知，小球做圆周运动的半径为 ，则有
19解得 ，D错误，C正确。
故选C。
7．（2023·江苏苏州·江苏省木渎高级中学校联考三模）2022年3月23日，三位神舟十三号航天员翟志刚、
王亚平、叶光富相互配合完成“天宫课堂”第二次太空授课。如题图所示，授课中航天员叶光富手拉细线
不断加速让一个小瓶子在竖直平面内圆周运动，从而实现瓶内油水分层。如题图所示，若绳子长为l（瓶子
可视为质点），水的质量为m，则（ ）
A．油和水的向心加速度相等 B．油受到的向心力可能大于水
C．水受到瓶子的作用力为 D．瓶子在最高点的速度一定大于
【答案】B
【详解】A．油和水的角速度相同，根据公式
由于水和油的重心不同，所以圆周运动的半径不同，可知油和水的向心加速度不相等，故A错误；
B．根据向心力公式 ，若油的质量大于水的质量，则油受到的向心力可能大于水，故B正确；
C．由于不知道水的重心到圆心的距离，所以无法计算，故C错误；
D．由于瓶子的重心到圆心的距离不是l，所以无法计算和比较，故D错误。
故选B。
8．（2023·浙江·模拟预测）如图所示，公园里一个小朋友在荡秋千，两根轻质吊线平行，小朋友可视为质
点，重力加速度为g。小朋友运动到最高点时每根吊线上张力大小等于小朋友及秋千踏板总重力的0.3倍，
此时小朋友的加速度大小为（ ）
A．0.8g B．0.7g C．0.4g D．0
【答案】A
【详解】在最高点时，人和秋千踏板所受的合力为
20根据牛顿第二定律可知小朋友的加速度大小为
故选A。
9．（2023·山东·模拟预测）如图所示，竖直平面内固定有一个半径为R的光滑圆环形细管，现给小球（直
径略小于管内径）一个初速度，使小球在管内做圆周运动，小球通过最高点时的速度为v。已知重力加速
度为g，则下列叙述中正确的是（ ）
A．v的最小值为
B．当 时，小球处于完全失重状态，不受力的作用
C．当 时，轨道对小球的弹力方向竖直向下
D．当v由 逐渐减小的过程中，轨道对小球的弹力也逐渐减小
【答案】C
【详解】A．小球通过最高点时细管可以提供竖直向上的支持力，当支持力的大小等于小球重力的大小，
小球的最小速度为零，故A错误；
B．根据公式 可知，当 时，小球的加速度为
方向竖直向下，则小球处于完全失重状态，只受重力作用，故B错误；
C．当 时，小球需要的向心力为
则可知，轨道对小球的弹力大小为 ，方向竖直向下，故C正确；
D．当 时，小球需要的向心力
可知，小球受轨道竖直向上的弹力，由牛顿第二定律有 ，可得 ，则 逐渐减小
的过程中，轨道对小球的弹力 逐渐增大，故D错误。
故选C。
10．（2022·湖南岳阳·统考一模）游乐场中有一种叫魔盘的娱乐设施，游客（可视为质点）坐在转动的圆
锥形魔盘上，当魔盘转动的角速度增大到一定值时，游客就会滑向魔盘边缘，其装置简化结构如图所示。
已知盘面倾角为θ＝37°，游客与盘面之间的动摩擦因数为μ＝0.8，游客到盘面顶点O的距离为L＝2m，游
21客的质量为50kg，重力加速度取10m/s2，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求：
（1）若盘面静止，游客受到盘面的摩擦力大小；
（2）若游客随魔盘一起以角速度ω＝0.25rad/s匀速转动，游客所受摩擦力的大小。
【答案】（1） ；（2）
【详解】若盘面静止，游客的受力分析如答图1所示
因：μmgcosθ>mgsinθ
故游客受到盘面的摩擦力大小f＝mgsinθ=300N
（2）当游客随魔盘以角速度ω＝0.25rad/s匀速转动时，游客的受力分析如答图2所示
竖直方向有f'sinθ+N'cosθ﹣mg＝0
水平方向有f'cosθ﹣N'sinθ＝mω2Lcosθ
解得f'＝304N
【能力提升】
1．（2023·山东·模拟预测）如图所示的光滑杆和轻弹簧的一端均固定在 点，可视为质点的小球A固定在
轻弹簧的另一端，现使整个装置环绕竖直轴 匀速转动，当角速度为 时轻弹簧处于原长状态。则下列
说法正确的是（ ）
22A．角速度由 逐渐增大，小球沿杆向上移动
B．角速度大于 时，杆与小球间的作用力大小可能不变
C．仅增加小球的质量，小球沿杆向上移动
D． 与小球的质量大小有关
【答案】A
【详解】AB．角速度由 逐渐增大的过程中，假设弹簧仍处于原长状态，由 可知小球所需的向
心力增大，杆对小球的支持力增大，因此小球一定沿杆向上运动，故A正确，B错误。
D．当角速度为 时，对小球进行受力分析，如图所示，假设杆与竖直方向的夹角为θ，弹簧的原长为 ，
则 ，解得
可知角速度 与小球的质量大小无关，故D错误；
C．仅增加小球的质量，角速度不变，弹簧仍处于原长，故C错误；
故选A。
2．（2022·山东济南·山东师范大学附中校考模拟预测）如图所示，在水平桌面上有一个固定竖直转轴且过
圆心的转盘，转盘半径为r，边缘绕有一条足够长的细轻绳，细绳末端系住一木块。已知木块与桌面之间
的动摩擦因数 。当转盘以角速度 旋转时，木块被带动一起旋转，达到稳定状态后，二
者角速度相同。已知 ，下列说法正确的是（ ）
23A．当 稳定时，木块做圆周运动的半径为2m
B．当 稳定时，木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为
C．要保持上述的稳定状态，角速度
D．无论角速度多大，都可以保持上述稳定状态
【答案】AC
【详解】设小木块的质量为 ，做圆周运动的半径为 ，对木块受力分析，如图所示
根据几何关系有 ，
根据题意,物块的切向加速度为零，则有
根据几何关系有
物块做匀速圆周运动有
联立解的
AB．当 稳定时，代入数据解的，木块做圆周运动的半径为
木块的线速度与圆盘边缘线速度大小之比为 ，故B错误A正确；
CD．要保持上述的稳定状态，由
可知 ，解得
故D错误C正确。
24故选AC。
3．（2022·湖北恩施·恩施市第一中学模拟预测）“太极球”是近年来较流行的一种健身器材。做该项运动
时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。
现将球拍和太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆
周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，
B、D与圆心O等高。设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一
定的夹角 ，球的重力为1N，不计拍的重力，则 与F的关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】在A处时板对小球的作用力为F，小球做匀速圆周运动的向心力为
由于无相对运动趋势，小球在B处不受摩擦力作用，受力分析如图所示
则 ，故A。
4．（2022·四川成都·四川师范大学附属中学校考二模）如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管
道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从 点脱离后做平抛运动，经
过 后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰。已知半圆形管道的半径为 ，小球可看做质点且其质
量为 ， 取 。则（ ）
A．小球在斜面上的相碰点 与 点的水平距离是
25B．小球在斜面上的相碰点 与 点的水平距离是
C．小球经过管道的 点时，受到上管道的作用力 的大小是
D．小球经过管道的 点时，受到下管道的作用力 的大小是
【答案】A
【详解】AB．小球从B点脱离后做平抛运动，经过0.3s后又恰好垂直与倾角为45°的斜面相碰，则在C点
的竖直分速度为
因小球恰好垂直撞在斜面上，则平抛运动水平初速度为
小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离为 ，故A正确，B错误；
CD．设小球经过B点时，受到上管道竖直向下的作用力 ，根据牛顿第二定律可得 ，联
立方程，解得
负号说明小球在B点受到下管道的作用力的大小是1N，方向竖直向上，故CD错误。
故选A。
5．（2022·江苏·模拟预测）如图所示，长为R的轻杆一端固定一个小球，现让小球在竖直平面内绕轻杆的
另一端O做圆周运动，小球到达最高点时，受到杆的弹力为F，速度大小为v，其F-v2图像如图所示。则（
）
A．v2=C时，小球对杆的弹力方向竖直向下
B．当地的重力加速度大小为
C．小球的质量为
D．v2=2b时，小球受到的弹力等于2mg
【答案】C
【详解】A．由图象可知，当 时，有：F＜0，则杆对小球得作用力方向向下，根据牛顿第三定律可知，
小球对杆的弹力方向向上，故A错误；
B．由图象知，当 时，F=0，杆对小球无弹力，此时重力提供小球做圆周运动的向心力，有 ，
26得 ，故B错误。
C．由图象知，当 时，F=a，故有 ，解得 ，故C正确；
D．由图象可知，当 时，由 ，得F=mg，故D错误。
故选C。
6．（2022·山东青岛·统考三模）如图，相同的物块a、b用沿半径方向的细线相连放置在水平圆盘上（绳
子无拉力）。当圆盘绕转轴转动时，物块a、b始终相对圆盘静止。下列关于物块b所受的摩擦力随圆盘角
速度的平方（ ）的变化关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】转动过程中a、b角速度相同，当圆盘角速度较小时，a、b由静摩擦力充当向心力，绳子拉力为
零，此过程中a、b所需要的摩擦力分别为 ，
因为 ，故 ，又因为a、b与平台的最大静摩擦力相同，所以随着角速度增大，b先达到最大静
摩擦力，当b达到最大静摩擦力 时绳子开始出现拉力，此后b受到的摩擦力保持不变，故 图像刚
开始为一段过原点的倾斜直线（斜率为 ），后为水平直线（大小恒为f）。
0
故选A。
7．（2016·西藏日喀则·统考一模）如图所示，两个质量均为m的小物块a和b（可视为质点），静止在倾
斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为2l，物块与
27盘面间的动摩擦因数为 ，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大
小为g。若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法中正确的是（ ）
A．a在最高点时所受摩擦力可能为0
B．a在最低点时所受摩擦力可能为0
C． 是a开始滑动的临界角速度
D． 是b开始滑动的临界角速度
【答案】D
【详解】A．若a在最高点时所受摩擦力可能为0，则只能由重力沿斜面的分力提供向心力，
，解得
在最低点由摩擦力和重力沿斜面的分力提供向心力，则
解得 ，则a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，a在最高点时所受摩擦力不能为0，故A
错误；
B．a在最低点，由牛顿运动定律
所以a在最低点时所受摩擦力不可能为0，B错误；
C．对a在最低点，由牛顿运动定律 ，代入数据解得
C错误；
D．对b在最低点，由牛顿运动定律 ，代入数据解得 ，D正确。
故选D。
8．（多选）（2022·陕西渭南·统考一模）如图甲所示，一长为l的轻绳，一端穿在过O点的水平转轴上，
另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F
与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（ ）
28A．图象函数表达式为
B．重力加速度
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变
【答案】BD
【详解】Ａ．球在最高点 ，解得 ，A错误；
BD．当F=0时 ，解得 ，
可见b点的位置与小球的质量无关，绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置不变，BD正确；
C．根据图像分析可知 ，图线的斜率 ，绳长不变，用质量较小的球做实验，斜率变小，
C错误。
故选BD。
9．（2023·山东济宁·统考三模）翼型飞行器有很好的飞行性能，其原理是通过对降落伞的调节，使空气升
力和空气阻力都受到影响，同时通过控制动力的大小和方向改变飞行器的飞行状态。已知飞行器的动力F
始终与飞行方向相同，空气升力 沿降落伞的中垂线且与飞行方向垂直，大小与速度的平方成正比，即
；空气阻力 与飞行方向相反，大小与速度的平方成正比，即 ；其中 、 相互影响，
可由运动员调节，并满足如图甲所示的关系。已知运动员和装备的总质量为 ，取
， 。
（1）若运动员使飞行器以速度 在空中沿水平方向匀速飞行，如图乙所示。结合甲图，求飞行器
受到的动力F的大小；
（2）若运动员使飞行器在空中某一水平面内做匀速圆周运动，如图丙所示，调节 ，降落
伞中垂线和竖直方向夹角为 ，求飞行器做匀速圆周运动的半径r和速度 的大小。
29【答案】（1）1000N；（2）r＝40m，v＝ m/s
2
【详解】（1）选飞行器和运动员为研究对象，由受力分析可知在竖直方向上mg＝C
1
得C ＝3N·s2/m2
1
由C ，C 关系图像可得C ＝2.5N·s2/m2
1 2 2
在水平方向上，动力和阻力平衡F＝F＝C
2 2
解得F＝1000 N
(2)设此时飞行器飞行速率为v，所做圆周运动的半径为r，F 与竖直方向夹角为θ，在竖直方向所受合力为
2 1
零，
水平方向合力提供向心力
联立解得：r＝40m，v＝ m/s
2
10．（2022·四川遂宁·统考三模）如图，光滑的圆锥桶AOB固定在地面上，桶底中心为 ，AB为过底面
的一条直径，已知 ，高 ，顶点O有一光滑的小孔。一根长为3L的细轻绳穿过O点
处小孔，一端拴着静止在桶外表面质量为m的P球，另一端拴着静止在 点、质量为2m的Q球。现让小
球P在水平面内做匀速圆周运动。已知重力加速度为g，不计一切摩擦阻力。
（1）P球运动的角速度多大，P球恰对桶外表面无压力；
（2）P球运动的线速度多大，小球Q对地面恰无压力；
（3）当P球以大于（2）问的线速度运动且保持Q球在 之间处于静止状态时，突然烧断细绳，求P球
从飞出到落地过程中的最大水平位移。
【答案】（1） ；（2） ；（3）
30【详解】（1）P对桶外表面无压力，对P受力分析得此时重力与绳子拉力提供向心力。即
，故
（2）B对地面刚好无压力，对B受力分析得此时绳子的拉力
对A受力分析，如图所示
在竖直方向合力为零，故 ，解得
对A球，根据牛顿第二定律有 ，解得
（3）设拉A的绳长为 ，由第2问分析知A球做匀速圆周运动时 始终不变，根据牛顿第
二定律有 ，解得
A球做平抛下落的时间为t，则有 ，解得
水平位移为 ，当 时，位移最大为
【真题感知】
1．（多选）（2021·河北·高考真题）如图，矩形金属框 竖直放置，其中 、 足够长，且 杆
光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过 杆，金属框绕 轴
分别以角速度 和 匀速转动时，小球均相对 杆静止，若 ，则与以 匀速转动时相比，以 匀
速转动时（ ）
31A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小一定不变
C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大
【答案】BD
【详解】对小球受力分析，设弹力为T，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向 ，而
，可知θ为定值，T不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变。则A错
误，B正确；
水平方向当转速较小时，杆对小球的弹力F 背离转轴，则 ，即
N
当转速较大时，F 指向转轴 ，即
N
则因 ，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大。则C错误；
根据 ，可知，因角速度变大，则小球受合外力变大。则D正确。
故选BD。
2．（多选）（2022·河北·统考高考真题）如图，广场水平地面上同种盆栽紧密排列在以 为圆心、 和
为半径的同心圆上，圆心处装有竖直细水管，其上端水平喷水嘴的高度、出水速度及转动的角速度均可
调节，以保障喷出的水全部落入相应的花盆中。依次给内圈和外圈上的盆栽浇水时，喷水嘴的高度、出水
速度及转动的角速度分别用 、 、 和 、 、 表示。花盆大小相同，半径远小于同心圆半径，出
水口截面积保持不变，忽略喷水嘴水平长度和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，喷水嘴各转动一周，则落入每个花盆的水量相同
D．若 ，喷水嘴各转动一周且落入每个花盆的水量相同，则
【答案】BD
【详解】AB．根据平抛运动的规律 ， ，解得，
可知若h=h，则 v:v =R:R
1 2 1 2 1 2
若v=v ，则 ，选项A错误，B正确；
1 2
C．若 ，则喷水嘴各转动一周的时间相同，因v=v，出水口的截面积相同，可知单位时间喷出水的
1 2
32质量相同，喷水嘴转动一周喷出的水量相同，但因内圈上的花盆总数量较小，可知得到的水量较多，选项
C错误；
D．设出水口横截面积为S，喷水速度为v，若 ，则喷水管转动一周的时间相等，因h相等，则水落
0
地的时间相等，则
相等；在圆周上单位时间内单位长度的水量为 ，相等，即一周中每个花盆
中的水量相同，选项D正确。
故选BD。
3．（2022·山东·统考高考真题）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为 的半圆弧 与长
的直线路径 相切于B点，与半径为 的半圆弧 相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，
到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过 和 。为保证安全，小车速率最大为
。在 段的加速度最大为 ， 段的加速度最大为 。小车视为质点，小车从A到D所需
最短时间t及在 段做匀速直线运动的最长距离l为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在BC段的最大加速度为a=2m/s2，则根据
1
可得在BC段的最大速度为
在CD段的最大加速度为a=1m/s2，则根据
2
33可得在CD段的最大速度为
可知在BCD段运动时的速度为v=2m/s，在BCD段运动的时间为
AB段从最大速度v 减速到v的时间
m
位移
在AB段匀速的最长距离为l=8m-3m=5m
则匀速运动的时间
则从A到D最短时间为
故选B。
4．（2023·湖北·统考高考真题）如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半
径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道 在同一竖直
平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B
点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面
之间的动摩擦因数为 ，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求：
（1）小物块到达D点的速度大小；
（2）B和D两点的高度差；
（3）小物块在A点的初速度大小。
【答案】（1） ；（2）0；（3）
【详解】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有
解得
34（2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道 内侧，则在C点有
小物块从C到D的过程中，根据动能定理有
则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有
联立解得 ，H = 0
（3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 ，S = π·2R
解得
35
