文档内容
第四章 曲线运动
近5年考情分析
考题统计
考点要求 等级要求 2022 2021 2020 2019 2018
曲线运
动、运动
Ⅱ Ⅱ卷·T19
的合成与
分解
山东卷·T11
Ⅱ卷·T16
山东卷·T11 山东卷·T16
山东卷·T16
平抛运动 Ⅱ 广东卷·T3 Ⅱ卷·T19
浙江1月卷·T9 浙江1月卷·T5
广东卷·T6
河北卷·T2 江苏卷·T8
广东卷·T4
全国甲卷·T15
甲卷·T14 卷Ⅰ·T16 浙江4月卷
圆周运动 Ⅱ 湖北卷·T9
山东卷·T8 浙江7月卷·T2 ·T11
浙江6月卷·T7
实验五：
研究平抛 浙江1月卷 浙江4月卷
全国乙卷·T22
物体的运 ·T17 ·T17
动
物理观念:
1.运动的合成与分解2.平抛运动规律3.圆周运动的运动学和动力学特征
科学思维:
核心素养
1.绳或杆关联物体速度分解2.平抛运动的临界问题3.圆周运动的动力学分析
科学态度与责任：
1.抛体运动、圆周运动在生活、体育中的应用
1.试题贴近生活中的曲线运动，如汽车过弯道、拱桥、速滑、投弹、过山车等等.
命题规律 2.几种特色运动的分析，小船过河、绳(杆)端速度分解、平抛、斜抛、斜面抛、类平抛、竖直平面
内圆周运动及临界、平面圆周运动、圆锥摆运动及临界，等等。
1牢记基本概念，熟练基本方法，把握常见模型，积累特殊方法技巧的应用.
备考策略 2.深刻体会应用运动的合成与分解解决问题的思想，形成解决平抛运动与圆周运动的思路，尽可能
多地分析曲线运动在现实生活中的应用问题。【网络构建】
专题 4.2 平抛运动
【网络构建】
考点一 平抛运动的基本应用
1．平抛(类平抛)运动所涉及物理量的特点
物理量 公式 决定因素
取决于下落高度h和重力加速度
飞行时间 t＝
g，与初速度v 无关
0
由初速度v、下落高度h和重力
水平射程 x＝vt＝v 0
0 0 加速度g共同决定
与初速度v、下落高度h和重力
落地速度 v＝＝ 0
t 加速度g有关
Δv＝gΔt，方向恒为竖直向下
由重力加速度g和时间间隔Δt共
速度改变量
同决定2.关于平抛(类平抛)运动的两个重要推论
(1)做平抛(或类平抛)运动的物体任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图中
A点和B点所示，即x ＝.
B
(2)做平抛(或类平抛)运动的物体在任意时刻任意位置处，设其末速度方向与水平方向的夹角为α，位移与
水平方向的夹角为θ，则tan α＝2tan θ.
考点 二 对斜抛运动的分析
1．斜抛运动可以分斜向上抛和斜向下抛两种情况：
斜向上抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动。
2、斜上抛运动的公式:
（1）速度公式： 水平速度：
竖直速度：
（2）位移公式：
3、斜向下抛运动可以看成是水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀加速运动（初速度不为0）
（1）速度公式： 水平速度：
竖直速度：
（2）位移公式：考点三 与斜面相关联的平抛运动
斜面上的平抛运动问题是一种常见的题型，在解答这类问题时除要运用平抛运动的位移和速度规律，还要
充分运用斜面倾角．常见的模型如下：
方法 内容 斜面 总结
水平：v＝v
x 0
分解速度，构建速
分解速度 竖直：v＝gt
y 度三角形
合速度：v＝
水平：x＝vt
0
分解位移，构建位
分解位移 竖直：y＝gt2
移三角形
合位移：s＝
顺着斜面平抛
方法：分解位移．
x＝vt， y＝gt2， tan θ＝， 可求得t＝.
0
对着斜面平抛 ( 垂直打到斜面 )
方法：分解速度．
v＝v，v＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝.
x 0 y
考点四 有其他约束条件的平抛运动
对着竖直墙壁平抛
【模型】
如图所示，水平初速度v 不同时，虽然落点不同，但水平位移d相同，t＝.
0半圆内的平抛问题
【模型】如图所示，
半径和几何关系制约平抛运动时间t：h＝gt2，
R±＝vt.
0
联立两方程可求t.
考点五 平抛运动中的临界、极值问题
在平抛运动中，由于时间由高度决定，水平位移由高度和初速度决定，因而在越过障碍物时，有可能会出
现恰好过去或恰好过不去的临界状态，还会出现运动位移的极值等情况．
1．临界点的确定
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．
(2)若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而
这些“起止点”往往就是临界点．
(3)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值点，这些极值点
也往往是临界点．
2．求解平抛运动临界问题的一般思路
(1)找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)若有必要，画出临界轨迹．
3.平抛运动临界极值问题的分析方法
(1)确定研究对象的运动性质；
(2)根据题意确定临界状态；
(3)确定临界轨迹，画出轨迹示意图；
(4)应用平抛运动的规律结合临界条件列方程求解．
高频考点一 平抛运动的基本应用
单个物体的平抛运动
例1、在某一高度匀速飞行的战机在离目标水平距离s时投弹，可以准确命中目标，现战机飞行高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则战机投弹时离目标的水平距离应为(不考虑空气阻力)( )
A.s B.s C.s D.s
【答案】 C
【解析】 设原来的速度大小为v，高度为h，根据平抛运动的规律可知在竖直方向有：h＝gt2，解得：t
＝，在水平方向：s＝vt＝v，现战斗机高度减半，速度大小减为原来的，要仍能命中目标，则有s′＝vt′，h
＝gt′2，联立解得：s′＝s，故C正确，A、B、D错误．
【变式训练】有一物体在离水平地面高h处以初速度v 水平抛出，落地时速度为v，竖直分速度为v，水
0 t y
平射程为l，不计空气阻力，则物体在空中飞行的时间为( )
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】由h＝gt2得t＝，A正确；由h＝t，＝，得h＝t，故t＝，B正确；t＝，而v≠v，故C错误；因v
y y 0 t y
＝＝，而t＝，故t＝，D错误．
多个物体的平抛运动
例2、如图所示，x轴在水平地面内，y轴沿竖直方向．图中画出了y轴上沿x轴正方向抛出的三个小球a、
b、c的运动轨迹，其中b和c从同一点抛出，不计空气阻力．则 ( )
A．a的飞行时间比b长 B．b的飞行时间比c长
C．a的初速度最大 D．c的末速度比b大
【解析】 由图知b、c的高度相同，大于a的高度，根据h＝gt2，得t＝，知b、c的运动时间相同，a的
飞行时间小于b、c的时间，故A、B错误；b、c的高度相同，则运动的时间相同，b的水平位移大于c的
水平位移，根据x＝vt知，v ＞v，对于a、b，a的高度小，则运动的时间短，而a的水平位移大，则v ＞
0 b c a
v ，可知初速度最大的是小球a，故C正确；由图知b、c的高度相同，落地时竖直方向的速度大小相等，
b
而水平方向b的速度大于c的速度，则b的末速度大于c的末速度，故D错误．
【答案】 C
【变式训练】如图所示，横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上，现有三个小
球从左边斜面的顶点以不同的初速度向右平抛，最后落在斜面上．其落点分别是 a、b、c.下列判断正确的
是( )A．图中三小球比较，落在a点的小球飞行时间最长
B．图中三小球比较，落在c点的小球飞行时间最长
C．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最小
D．图中三小球比较，落在c点的小球飞行过程速度变化最快
【答案】AC
【解析】小球在平抛运动过程中，可分解为竖直方向的自由落体运动和水平方向的匀速直线运动，由于竖
直方向的位移落在c点处的最小，而落在a点处的最大，所以落在a点的小球飞行时间最长，落在c点的
小球飞行时间最短，故A正确，B错误；速度的变化量Δv＝gΔt，则落在c点的小球速度变化最小，故C
正确；因为a、b、c的加速度相同，所以飞行过程中速度变化快慢相同，故D错误．
速度偏向角表达式的应用
例3、 (多选)如图所示，轰炸机沿水平方向匀速飞行，到达山坡底端正上方时释放一颗炸弹，并垂直击中
山坡上的目标A.已知A点高度为h，山坡倾角为θ，由此可算出( )
A．轰炸机的飞行高度 B．轰炸机的飞行速度
C．炸弹的飞行时间 D．炸弹投出时的动能
【答案】ABC
【解析】.设轰炸机投弹位置高度为H，炸弹水平位移为x，则H－h＝v·t，x＝vt，二式相除＝·，因为＝，
y 0
x＝，所以H＝h＋，A正确；根据H－h＝gt2可求出炸弹的飞行时间，再由x＝vt可求出轰炸机的飞行速度
0
故B、C正确；不知道炸弹质量，不能求出炸弹的动能，D错误．
【变式训练】如图所示，半径为R的竖直半球形碗固定于水平面上，碗口水平且AB为直径，O点为碗的
球心．将一弹性小球(可视为质点)从AO连线上的某点C沿CO方向以某初速度水平抛出，经历时间t＝(重
力加速度为g)小球与碗内壁第一次碰撞，之后可以恰好返回C点．假设小球与碗内壁碰撞前后瞬间小球的
切向速度不变，法向速度等大反向．不计空气阻力，则C、O两点间的距离为( )
A. B. C. D.
【答案】C【解析】小球在竖直方向的位移为h＝gt2＝R，设小球与半球形碗碰撞点为D，则DO与水平方向的夹角为
30°，过D点作CO的垂线交OB于E点，则OE＝＝R，小球下落h时竖直方向的速度为v＝gt＝，由题意
y
可知小球垂直打在碗上，则水平方向的速度v ＝vtan 60°＝，所以水平方向的位移为x＝vt＝R，由几何关
0 y 0
系可知，CO＝R－R＝R，故C正确．
位移偏向角表达式的应用
例4、在一斜面顶端，将甲、乙两个小球分别以v和的速度沿同一方向水平抛出，两球都落在该斜面上．
甲球落至斜面时的速率是乙球落至斜面时速率的( )
A．2倍B． 4倍 C．6倍 D．8倍
【答案】A
【解析】.甲、乙两球都落在同一斜面上，则隐含做平抛运动的甲、乙的最终位移方向相同，根据位移方向
与末速度方向的关系，即末速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角的正切值的 2倍，可得它
们的末速度方向也相同，在速度矢量三角形中，末速度比值等于初速度比值，故A正确．
【变式训练】如图所示，跳台滑雪运动员经过一段加速滑行后从O点水平飞出，经过3.0 s落到斜坡上的A
点．已知O点是斜坡的起点，斜坡与水平面的夹角θ＝37°，运动员的质量m＝50 kg.不计空气阻力．(sin
37°＝0.60，cos 37°＝0.80，g取10 m/s2)求：
(1)A点与O点的距离L；
(2)运动员离开O点时的速度大小．
【答案】(1)75 m (2)20 m/s
【解析】(1)运动员在竖直方向做自由落体运动，有
y＝Lsin 37°＝gt2
得A点与O点的距离L＝＝75 m
(2)设运动员离开O点时的速度大小为v，运动员在水平方向做匀速直线运动，即
0
x＝Lcos 37°＝vt
0
解得v＝＝20 m/s
0
对斜抛运动的分析
例5、如图所示，甲球从O点以水平速度v 飞出，落在水平地面上的A点．乙球从O点以水平速度v 飞出，
1 2
落在水平地面上的B点反弹后恰好也落在A点．已知乙球在B点与地面碰撞反弹后瞬间水平方向的分速度
不变、竖直方向的分速度方向相反大小不变，不计空气阻力．下列说法正确的是 ( )A．由O点到A点，甲球运动时间与乙球运动时间相等
B．甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B点水平位移的3倍
C．v∶v ＝3∶1
1 2
D．v∶v ＝2∶1
1 2
【答案】BC
【解析】根据题述情景和平抛运动规律，由O点到A点，甲球运动时间为乙球运动时间的，选项A错误；
甲球从O点到A点，乙球O点到B点，运动时间相等，由x＝vt可知，甲、乙水平速度之比为v∶v ＝
1 2
3∶1，甲球由O点到A点的水平位移是乙球由O点到B 点水平位移的3倍，选项B、C正确，D错误．
【变式训练】如图所示，将一篮球从地面上方B点斜向上抛出，刚好垂直击中篮板上A点，不计空气阻力．
若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮球垂直击中A点，则可行的是( )
A．增大抛射速度v，同时减小抛射角θ B．增大抛射角θ，同时减小抛出速度v
0 0
C．减小抛射速度v，同时减小抛射角θ D．增大抛射角θ，同时增大抛出速度v
0 0
【解析】把篮球的运动逆向看作平抛运动，若从抛射点B向篮板方向水平移动一小段距离，仍使抛出的篮
球垂直击中A点，则需要增大抛射角θ，同时减小抛出速度v，选项B正确．
0
【答案】B
高频考点二 与斜面相关联的平抛运动
顺着斜面平抛
例6、如图所示，在坡度一定的斜面顶点以大小相同的速度v 同时水平向左与水平向右抛出两个小球A和
0
B，两侧斜坡的倾角分别为37°和53°，小球均落在坡面上．若不计空气阻力，则A和B两小球的运动时间
之比为( )
A．16∶9 B．9∶16 C．3∶4 D．4∶3【答案】B
【解析】对于A落到坡面上时，有＝tan 37°，即＝tan 37°，对于B落到坡面上时，有＝tan 53°，即＝tan
53°，所以＝＝，B正确．
【变式训练】如图所示，光滑斜面固定在水平面上，顶端O有一小球，小球从静止释放沿斜面运动到底端
B的时间是t.若给小球不同的水平初速度，使小球分别落到斜面上的A点，经过的时间是t ；落到斜面底
1 2
端B点，经过的时间是t；落到水平面上的C点，经过的时间是t，不计空气阻力，则( )
3 4
A．t＜t B．t＜t C．t＜t D．t＜t
1 2 4 1 3 4 3 2
【答案】 B
【解析】 小球做平抛运动时：h＝gt2，因此下落高度大的时间长，所以有t ＝t>t ，故C、D错误；小球
4 3 2
沿斜面下滑时：l＝at2，由于ah，所以沿斜面下滑时间是最长的，则th，故乙在网前直立不动拦不到，故A错误；
3 1
球员乙起跳拦网高度为h ＝2.95 m，跳起的高度为Δh＝(2.95－2.5) m＝0.45 m，竖直上抛运动的下降时间
2与上升时间相等，故有t′＝＝ s＝0.3 s，故乙在甲击球时同时起跳离地，在球到达乙位置时，运动员乙刚
好到达最高点，可以拦住，故B正确；结合选项B的分析，乙在甲击球后0.2 s起跳离地，初速度为v＝gt′
0
＝10×0.3 m/s＝3 m/s，上升时间0.1 s时球到达乙位置，球员乙上升的高度为Δh′＝0.25 m，刚好可以拦到球，
故C正确；乙在甲击球前0.3 s起跳离地，经过0.6 s刚好落地，拦不到球了，故D错误．
【变式训练】抛体运动在各类体育运动项目中很常见，如乒乓球运动．现讨论乒乓球发球问题，设球台长
2L、网高h，乒乓球反弹前后水平分速度不变，竖直分速度大小不变、方向相反，且不考虑乒乓球的旋转
和空气阻力．(设重力加速度为g)
(1)若球在球台边缘O点正上方高度为h 处以速度v 水平发出，落在球台上的P 点(如图中实线所示)，求P
1 1 1 1
点距O点的距离x.
1
(2)若球从O点正上方某高度处以速度v 水平发出，恰好在最高点时越过球网落在球台上的 P 点(如图中虚
2 2
线所示)，求v 的大小．
2
(3)若球从O点正上方水平发出后，球经反弹恰好越过球网且刚好落在对方球台边缘 P 点，求发球点距O
3
点的高度h.
3
【答案】(1)v (2) (3)h
1
【解析】(1)如图甲所示，根据平抛规律得
h＝gt，x＝vt，联立解得：x＝v.
1 1 11 1 1
(2)根据平抛规律得：h＝gt，x＝vt
2 2 22
且h＝h，2x＝L，联立解得v＝.
2 2 2
(3)如图乙所示，得：h＝gt，x＝vt
3 3 33且3x＝2L
3
设球从恰好越过球网到达到最高点时所用的时间为t，水平距离为s，有h－h＝gt2
3
s＝vt
3
由几何关系得：
x＋s＝L，
3
解得：h＝h.
3
