文档内容
专题 05 运动的合成与分解 平抛运动
目录
考向一 速度关联问题................................................................................................................................................1
考向二 平抛运动的基本规律....................................................................................................................................3
考向三 半圆模型中的平抛运动..............................................................................................................................5
考向四 台阶平抛运动模型......................................................................................................................................6
考向五 平抛运动的生活运用..................................................................................................................................8
【题型演练】............................................................................................................................................................10
考向一 速度关联问题
涉及绳(杆)牵连物体运动的分析技巧
(1)解题关键
找出合速度与分速度的关系是求解关联问题的关键．
(2)基本思路
①先确定合速度的方向(物体实际运动方向)．
②分析合运动所产生的实际效果：一方面使绳或杆伸缩；另一方面使绳或杆转动．
③确定两个分速度的方向：沿绳或杆方向的分速度和垂直绳或杆方向的分速度，而沿绳或杆方向的分速度
大小相同.
【典例1】摄制组在某大楼旁边拍摄武打片，要求特技演员从地面飞到屋顶。如图所示，导演在某房顶离
地H=16m处架设了滑轮（人和车均视为质点，且滑轮直径远小于H），若轨道车从A处以v=10m/s的速度
匀速运动到B处，绳BO与水平方向的夹角为53°。由于绕在滑轮上细钢丝的拉动，使质量为m=50kg的特
技演员从地面由静止开始向上运动。在车从A运动到B的过程中（取g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）
（ ）
A. 演员最大速度为6.0 m/s B. 演员上升高度为16 m
C. 演员一直处于超重状态 D. 演员受到绳子拉力一直增大
【典例2】(多选)如图所示，A、B两球分别套在两光滑无限长的水平直杆上，两球通过一轻绳绕过一定滑
轮(轴心固定不动)相连，某时刻连接两球的轻绳与水平方向的夹角分别为α、β，A球向左的速度为v.下列
说法正确的是( )A．此时B球的速度为 v B．此时B球的速度为 v
C．当β增大到等于90°时，B球的速度达到最大 D．在β增大到90°的过程中，绳对B球的拉力一直做正
功
【典例3】如图所示，将质量为2m的重物悬挂在轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为 m的小环，小环
套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆的距离为d.现将小环从与定滑轮等高的A处由静止释放，
当小环沿直杆下滑距离也为d时(图中B处)，下列说法正确的是( )
A．小环刚释放时轻绳中的张力一定大于2mg
B．小环到达B处时，重物上升的高度也为d
C．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
D．小环在B处的速度与重物上升的速度大小之比等于
考向二 平抛运动的基本规律
1．建立坐标，分解运动
将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动(在某些情况下运动分解的
方向不一定在竖直方向和水平方向上)．
2．各自独立，分别分析
3．平抛运动是匀变速曲线运动，在任意相等的时间内速度的变化量 Δv相等，Δv＝gΔt，方向恒为竖直向
下．
4．两个分运动与合运动具有等时性，且t＝ ，由下降高度决定，与初速度v 无关．
0
5．任意时刻的速度与水平方向的夹角θ的正切值总等于该时刻的位移与水平方向的夹角φ的正切值的2倍，
即tan θ＝2tan φ.
6. 与斜面相结合的两类典型的平抛运动
两种类型 解题方法 方法应用水平方向：v＝v
x 0
分解速度，
竖直方向：v＝gt
y
构建速度
合速度：v＝
矢量三角形
方向：tan θ＝
水平方向：x＝vt
0
分解位移，
竖直方向：y＝gt2
构建位移
合位移：s＝
矢量三角形
方向：tan θ＝
【典例4】如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v 时，小球
0
恰好落到斜面底端，平抛后飞行的时间为t.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则下列
0
图象中能正确表示平抛后飞行的时间t随v变化的函数关系的是( )
的
【典例5】如图，在某一峡谷 两侧存在与水平面成相同角度的山坡，某人站在左侧山坡上的 点向对面
山坡上水平抛出三个质量不等的石块，分别落在 、 、 三处，不计空气阻力， 、 两处在同一水
平面上，则下列说法中正确的是（ ）
A. 落在 处的石块在空中运动的时间最长
B. 落在 、 两处的石块落地速度方向相同
C. 落在 、 、 三处的石块落地速度方向相同
D. 落在 、 两处的石块落地速度大小不可能相同考向三 半圆模型中的平抛运动
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v t，联立两方程可求t。
0
（2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v t，y: Rsinθ=½gt2，联立两方程可求t或v 。
0 0
（3）巧用辅助线，构造三角形
【典例6】如图所示，几位同学利用课余时间测一干涸的半球形蓄水池的直径．身高为 1.80 m的小张同学
站在池边从头顶高处水平向池中投掷小石子，石子刚好落到池底的正中央，小李同学用手机的秒表记录的
小石子运动时间为1.6 s，不计空气阻力，重力加速度取10 m/s2.可知水池的直径为( )
A．3.6 m B．11 m
C．12.8 m D．22 m
【典例7】如图所示，OAB为四分之一圆柱体的竖直截面，半径为R，在B点上方的C点水平抛出一个小
球，小球轨迹恰好在D点与圆柱体相切，OD与OB的夹角为53°，则C点到B点的距离为(sin 53°＝0.8，
cos 53°＝0.6)( )
A. B. C. D.考向四 台阶平抛运动模型
方法 ①临界速度法 ②虚构斜面法
v v
0 )θ 0
h s h s
示意图
θ(
【典例8】如图所示，一小球从某一高度水平抛出后，恰好落在第 1级台阶的紧靠右边缘处，反弹后再次
下落至第3级台阶的紧靠右边缘处．已知小球第一、二次与台阶相碰之间的时间间隔为0.3 s，每级台阶的
宽度和高度均为18 cm.小球每次与台阶碰撞后速度的水平分量保持不变，而竖直分量大小变为碰前的，取
g＝10 m/s2，则小球( )
A．第一次落点与小球抛出点间的水平距离为0.144 m
B．第一次落点与小球抛出点间的竖直距离为0.72 m
C．抛出时的初速度为1.0 m/s
D．会与第5级台阶相撞
[变式]一阶梯如图所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度v飞出，g取10 m/s2，
欲打在第四台阶上，则v的取值范围是( )
A． m/s＜v≤2 m/s B．2 m/s＜v≤3.5 m/s
C． m/s＜v＜ m/s D．2 m/s＜v＜ m/s
考向五 平抛运动的生活运用
1． 平抛运动中的临界速度问题
√ g v
v =s 1 v
2
1 1 2(h −h ) h
从网上擦过的临界速度 1 2 1
h
2
s s
1 2√ g
v =(s +s )
2 1 2 2h
出界的临界速度 1
2． 既擦网又压线的双临界问题
h
h= 1 g ( s ) 2 h
1
−h
2
s
1
2 1 h 2
2 v =
根据 0 ，可得比值： h 1 (s 1 +s 2 ) 2 s 1 s 2
【典例9】如图所示，某网球运动员正对球网跳起从同一高度 O点向正前方先后水平击出两个速度不同的
排球，排球轨迹如虚线Ⅰ和虚线Ⅱ所示．若不计空气阻力，则( )
A．两球下落相同高度所用的时间是相同的
B．两球下落相同高度时在竖直方向上的速度相同
C．两球通过同一水平距离，轨迹如虚线Ⅰ的排球所用的时间较少
D．两球在相同时间间隔内，轨迹如虚线Ⅱ的排球下降的高度较小
【典例10】如图所示为乒乓球桌面示意图，球网上沿高出桌面h，网到桌边的水平距离为L.在某次乒乓球
训练中，从桌面左侧距网水平距离为L处，将球沿垂直于网的方向水平击出，球恰好通过网的上沿落到桌
面右侧边缘．设乒乓球的运动为平抛运动，下列说法正确的是( )
A．击球点的高度与网高度之比为2∶1
B．乒乓球在网左右两侧运动的时间之比为1∶3
C．乒乓球过网时与落到右侧桌边缘时的速率之比为1∶3
D．乒乓球在网左右两侧的速度变化量之比为1∶2【题型演练】
1、以大小为v 的初速度水平抛出一个小球，运动一段时间，小球的动能是初动能的2倍，不计空气阻力，
0
重力加速度为g，则这段时间内( )
A．小球运动的时间为 B．小球运动的时间为
C．重力做功等于小球的初动能 D．重力做功的平均功率为mgv
0
2、从距地面h高度处水平抛出一个小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为 θ，不计空气阻力，重力加
速度为g，下列结论中正确的是( )
A．小球初速度大小为tan θ
B．小球落地时的速度大小为
C．若小球初速度大小减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D．若小球初速度大小减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角为2θ
3、如图所示，水平面上固定有一个斜面，从斜面顶端向右平抛一个小球，当初速度为v 时，小球恰好落
0
到斜面底端，平抛后飞行的时间为t.现用不同的初速度v从该斜面顶端向右平抛这个小球，则下列图象中
0
能正确表示平抛后飞行的时间t随v变化的函数关系的是( )
4、如图，不计空气阻力，从O点水平抛出的小球抵达光滑斜面上端P处时，速度方向恰好沿着斜面方向，
然后紧贴斜面PQ做匀加速直线运动，下列说法正确的是( )
A．小球在斜面上运动的加速度大小比平抛运动时的大
B．小球在斜面运动的过程中地面对斜面的支持力大于小球和斜面的总重力
C．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地速率将变大
D．撤去斜面，小球仍从O点以相同速度水平抛出，落地时间将减小
的
5、如图，在某一峡谷 两侧存在与水平面成相同角度的山坡，某人站在左侧山坡上的 点向对面山坡上
水平抛出三个质量不等的石块，分别落在 、 、 三处，不计空气阻力， 、 两处在同一水平面上，
则下列说法中正确的是（ ）A. 落在 处的石块在空中运动的时间最长
B. 落在 、 两处的石块落地速度方向相同
C. 落在 、 、 三处的石块落地速度方向相同
D. 落在 、 两处的石块落地速度大小不可能相同
6、在同一水平线上相距L的两位置沿相同方向水平拋出两小球甲和乙，两球在空中相遇，且相遇位置距
乙球抛出点的水平距离为L，两球的运动轨迹如图4所示．不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A．相遇时甲球的竖直分速度较大 B．甲、乙两球的速度变化量相同
C．相遇时甲球的动能比乙球的大 D．甲、乙两球的动能变化量不相等
7、如图所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面体的高AB为2 m，倾角为θ＝37°，且D是斜面的中点，
在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能落在地面上的同一点，则落地点
到C点的水平距离为( )
A. m B. m
C. m D. m
8、如图所示，一竖直圆弧形槽固定于水平地面上，O为圆心，AB为沿水平方向的直径．若在A点以初速
度v 沿AB方向平抛一小球，小球将击中槽壁上的最低点D点；若A点小球抛出的同时，在C点以初速度
1
v 沿BA方向平抛另一相同质量的小球并也能击中D点，已知∠COD＝60°，且不计空气阻力，则( )
2
A．两小球同时落到D点
B．两小球初速度大小之比为∶3C．两小球落到D点时的速度方向与OD线夹角相等
D．两小球落到D点时的瞬时速率之比为∶1
9、如图，从O点以水平初速度v 、v 抛出两个小球(可视为质点)，最终它们分别落在圆弧上的A点和B点，
1 2
已知OA与OB互相垂直，且OA与竖直方向成α角，不计空气阻力，则两小球初速度之比v∶v 为 ( )
1 2
A．tan α B．cos α
C．tan α D．cos α
10、如图所示，P是水平面上的圆弧凹槽，从高台边B点以某速度v 水平飞出的小球，恰能从固定在某位
0
置的凹槽的圆弧轨迹的左端A点沿圆弧切线方向进入轨道，O是圆弧的圆心，θ 是OA与竖直方向的夹角，
1
θ 是BA与竖直方向的夹角，则( )
2
A.＝2 B.＝2
C.tan θtan θ＝2 D.＝2
1 2
11、一个带正电的小球沿光滑绝缘的水平桌面向右运动，速度方向垂直于一个水平向里的匀强磁场，如图
所示，小球飞离桌面后落到地板上，飞行时间为 ，水平射程为 ，着地速度为 ．撤去磁场，其余的条
件不变，小球的飞行时间为 ，水平射程为 ，着地速度为 ．下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C． 和 大小相等D． 和 方向相同
12、如图所示，竖直平面内有一光滑管道口径很小的圆弧轨道，其半径为R＝0.5 m，平台与轨道的最高点
等高。一质量m＝0.8 kg可看做质点的小球从平台边缘的A处平抛，恰能沿圆弧轨道上P点的切线方向进
入轨道内侧，轨道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。试求：
(1)小球从A点开始平抛运动到P点所需的时间t；
(2)小球从A点水平抛出的速度大小v 和A点到圆弧轨道入射点P之间的水平距离l；
0
(3)小球到达圆弧轨道最低点时的速度大小；
(4)小球沿轨道通过圆弧的最高点Q时对轨道的内壁还是外壁有弹力？并求出弹力的大小。
