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第四章 曲线运动
近5年考情分析
考题统计
考点要求 等级要求 2022 2021 2020 2019 2018
曲线运
动、运动
Ⅱ Ⅱ卷·T19
的合成与
分解
山东卷·T11
Ⅱ卷·T16
山东卷·T11 山东卷·T16
山东卷·T16
平抛运动 Ⅱ 广东卷·T3 Ⅱ卷·T19
浙江1月卷·T9 浙江1月卷·T5
广东卷·T6
河北卷·T2 江苏卷·T8
广东卷·T4
甲卷·T14 全国甲卷·T15
卷Ⅰ·T16 浙江4月卷
圆周运动 Ⅱ 山东卷·T8 湖北卷·T9
浙江7月卷·T2 ·T11
辽宁卷·T13 浙江6月卷·T7
实验五：
研究平抛 浙江1月卷 浙江4月卷
全国乙卷·T22
物体的运 ·T17 ·T17
动
物理观念:
1.运动的合成与分解2.平抛运动规律3.圆周运动的运动学和动力学特征
科学思维:
核心素养
1.绳或杆关联物体速度分解2.平抛运动的临界问题3.圆周运动的动力学分析
科学态度与责任：
1.抛体运动、圆周运动在生活、体育中的应用
1.试题贴近生活中的曲线运动，如汽车过弯道、拱桥、速滑、投弹、过山车等等.
命题规律 2.几种特色运动的分析，小船过河、绳(杆)端速度分解、平抛、斜抛、斜面抛、类平抛、竖直平面
内圆周运动及临界、平面圆周运动、圆锥摆运动及临界，等等。
1牢记基本概念，熟练基本方法，把握常见模型，积累特殊方法技巧的应用.
备考策略 2.深刻体会应用运动的合成与分解解决问题的思想，形成解决平抛运动与圆周运动的思路，尽可能
多地分析曲线运动在现实生活中的应用问题。【网络构建】
专题 4.3 圆周运动
【网络构建】
考点一 水平面内圆盘模型的临界问题
1．与摩擦力有关的临界极值问题
物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力．
(1)如果只是摩擦力提供向心力，则最大静摩擦力F ＝，静摩擦力的方向一定指向圆心．
m
(2)如果除摩擦力以外还有其他力，如绳两端连接物体随水平面转动，其中一个物体存在一个恰不向内滑动
的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，分别为静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向沿半径背离圆心
和沿半径指向圆心．
2．与弹力有关的临界极值问题
(1)压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零．
(2)绳上拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳上拉力恰好为最大承受力．
考点二
1．竖直面内圆周运动两类模型
一是无支撑(如球与绳连接、沿内轨道运动的过山车等)，称为“轻绳模型”，二是有支撑(如球与杆连接、
在弯管内的运动等)，称为“轻杆模型”．2．竖直平面内圆周运动的两种模型特点及求解方法
轻绳模型 轻杆模型
如球与绳连接、沿内轨道运动的 如球与杆连接、球在内壁光滑的圆管内运动
实例
球等 等
最高点无支撑 最高点有支撑
图示
重力、弹力，弹力方向向下或等
受力特征 重力、弹力，弹力方向向下、等于零或向上
于零
最
受力示意图
高
点
力学特征 mg＋F ＝m mg±F ＝m
N N
临界特征 F ＝0，v ＝ 竖直向上的F ＝mg，v＝0
N min N
过最高点条件 v≥ v≥0
①当v＝0时，F ＝mg，F 为支持力，沿半
N N
径背离圆心
速度和 ①能过最高点时，v≥，F ＋mg＝
N
m，绳、轨道对球产生弹力为F ②当0<v<时，－F ＋mg＝m，F 背离圆
弹力关 N N N
心，随v的增大而减小
②不能过最高点时，v<，在到达
系讨论
最高点前小球已经脱离了圆轨道 ③当v＝时，F ＝0
N
分析 做斜抛运动
④当v>时，F ＋mg＝m，F 指向圆心并随v
N N
的增大而增大
考点三
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制、轻绳控制、轻杆控制，物体的受
力情况和所遵循的规律也不相同．
考点 四 圆周运动的动力学问题
1．向心力的来源
向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力
的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．
2．运动模型圆锥摆模型
1．结构特点：一根质量和伸长可以不计的轻细线，上端固定，下端系一个可以视为质点的摆球在水平面
内做匀速圆周运动，细绳所掠过的路径为圆锥表面。
mg F
2．受力特点：摆球质量为m，只受两个力即竖直向下的重力 和沿摆线方向的拉力 T。两个力的合力，
F F F
就是摆球做圆周运动的向心力 n，如图所示（也可以理解为拉力 T 的竖直分力与摆球的重力平衡， T
的水平分力提供向心力）。
l θ
3．运动特点：摆长为 ，摆线与竖直方向的夹角为 的圆锥摆，摆球做圆周运动的圆心是O，圆周运动的
轨道半径是
r=lsinθ
F =mgtanθ=ma=mω2lsinθ=mv2 /(lsinθ)
向心力 合 n
F =mg/cosθ
摆线的拉力 T
讨论：（1）当摆长一定，摆球在同一地点、不同高度的水平面内分别做匀速圆周运动时，据
cosθ=g/(ω2l) 可知，若角速度ω越大，则 θ 越大，摆线拉力 F T =mg/cosθ 也越大，向心加速度
a =gtanθ √glsinθtanθ
n 也越大，线速度v=ωr= 也越大。
θ
结论是：同一圆锥摆，在同一地点，若 越大，则摆线的拉力越大，向心力越大，向心加速度也越大，转
动的越快，运动的也越快，。
（2）当 为定值时（
lcosθ=h
为摆球的轨道面到悬点的距离h，即圆锥摆的高度），摆球的质量相F =mg/cosθ
等、摆长不等的圆锥摆若在同一水平面内做匀速圆周运动，则摆线拉力 T ，向心力
F =mgtanθ a =gtanθ ω=√g/h v=ωr=√ghtanθ
合 ，向心加速度 n ，角速度 ，线速度 。
θ
结论是：在同一地点，摆球的质量相等、摆长不等但高度相同的圆锥摆，转动的快慢相等，但 角大的圆
锥摆，摆线的拉力大，向心力大，向心加速度大，运动得快。
车辆转弯模型
1、受力分析：如图所示火车受到的支持力和重力的合力水平指向圆心，成为使火车拐弯的向心力。
2、动力学方程：根据牛顿第二定律得
v2
mgtanθ=m 0
r
v
其中r是转弯处轨道的半径， 0是使内外轨均不受侧向力的最佳速度。
3、分析结论：解上述方程可知
v =√grtanθ v
θ
0 可见，最佳情况是由 0、r、 共同决定的。
当火车实际速度为v时，可有三种可能，
v=v
当 0时，内外轨均不受侧向挤压的力；
v>v
当 0时，外轨受到侧向挤压的力（这时向心力增大，外轨提供一部分力）；v<v
当 0时，内轨受到侧向挤压的力（这时向心力减少，内轨抵消一部分力）。
还有一些实例和这一模型相同，如自行车转弯，高速公路上汽车转弯等等
高频考点一 水平面内圆盘模型的临界问题
例1、如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细绳相连的质量均为 m的两个物体A和
B，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为R ＝r，R ＝2r，与盘间的动摩擦因数μ相同，当圆盘转速缓慢
A B
加快到两物体刚好要发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是( )
A．此时绳子张力为3μmg B．此时A所受摩擦力方向沿半径指向圆内
C．此时圆盘的角速度为 D．此时烧断绳子，A仍相对盘静止，B将做离心运动
【变式训练】摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其
中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r ∶r ＝3∶1，且在正常工作时两轮盘不打滑．今
甲 乙
在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的完全相同的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑
块距离轴心O、O′的间距R ＝2R .若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正
A B
确的是( )
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω ∶ω ＝1∶3
甲 乙
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度的比值为a ∶a ＝2∶9
A B
C．转速增加后滑块B先发生滑动 D．转速增加后两滑块一起发生滑动
高频考点二
球—绳模型或单轨道模型例2、如图所示，半径为R的光滑半圆轨道竖直放置，一小球以某一速度进入半圆轨道，通过最高点P时，
对轨道的压力为其重力的一半，不计空气阻力，则小球落地点到P点的水平距离为( )
A.R B.R C.R D.R
【变式训练】如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动(不计一切阻力)，
小球运动到最高点时绳对小球的拉力为F ，小球在最高点的速度大小为v，其F －v2图象如图乙所示，则(
T T
)
A．轻质绳长为 B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳最高点拉力大小为＋a D．若v2＝b，小球运动到最低点时绳的拉力为6a
球—杆模型或双轨道模型
例3、如图所示，一个固定在竖直平面上的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，
小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰．
已知半圆形管道的半径为R＝1 m，小球可看做质点且其质量为m＝1 kg，g取10 m/s2.则( )
A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m
B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m
C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F 的大小是1 N
NB
D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力F 的大小是2 N
NB
【变式训练】一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端O为圆心，使小球在竖直面内做半径为R的圆周
运动，如图所示，则下列说法正确的是( )A．小球过最高点时，杆所受到的弹力可以等于零
B．小球过最高点的最小速度是
C．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而增大
D．小球过最高点时，杆对球的作用力一定随速度增大而减小
高频考点三
例4、如图所示，在倾角θ＝30°的光滑斜面上，长为L的细线一端固定，
另一端连接质量为m的小球，小球在斜面上做圆周运动，A、B分别是圆弧的最高点和最低点，若小球在
A、
B点做圆周运动的最小速度分别为v 、v ，重力加速度为g，则 ( )
A B
A．v ＝0 B．v ＝ C．v ＝ D．v ＝
A A B B
【变式训练】图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定角速度ω转动，盘面上离转轴
距离2.5 m处有一小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为(设最大静摩擦力等于滑
动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g取10 m/s2，则ω的最大值是( )
A. rad/s B. rad/s C．1.0 rad/s D．0.5 rad/s
高频考点四 圆周运动的动力学问题
圆锥摆模型
例5、两根长度不同的细线下面分别悬挂两个小球，细线上端固定在同一点，若两个小球以相同的角速度，
绕共同的竖直轴在水平面内做匀速圆周运动，则两个摆球在运动过程中，相对位置关系示意图正确的是(
)车辆转弯模型
例6、在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨．如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外
轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则( )
A．该弯道的半径r＝ B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压 D．当火车速率大于v时，外轨将受到轮缘的挤压
