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第2讲 直接证明与间接证明
一、选择题
1.若a，b∈R，则下面四个式子中恒成立的是( )
A.lg(1＋a2)>0 B.a2＋b2≥2(a－b－1)
C.a2＋3ab>2b2 D.<
解析 在B中，∵a2＋b2－2(a－b－1)＝(a2－2a＋1)＋(b2＋2b＋1)＝(a－1)2＋(b
＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)恒成立.
答案 B
2.用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设(
)
A.三个内角都不大于60°
B.三个内角都大于60°
C.三个内角至多有一个大于60°
D.三个内角至多有两个大于60°
答案 B
3.已知m>1，a＝－，b＝－，则以下结论正确的是( )
A.a>b B.a＋＞0(m＞1)，
∴<，即a40，∴＋>2＋.
答案 ＋>2＋
7.用反证法证明命题“a，b∈R，ab可以被5整除，那么a，b中至少有一个能被
5整除”，那么假设的内容是__________________.
答案 都不能被5整除
8.下列条件：①ab>0，②ab<0，③a>0，b>0，④a<0，b<0，其中能使＋≥2成立的
条件的序号是________.
解析 要使＋≥2，只需>0成立，即a，b不为0且同号即可，故①③④能使＋≥2
成立.
答案 ①③④
三、解答题
9.若a，b，c是不全相等的正数，求证：
lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.证明 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，
∴≥＞0，≥＞0，≥＞0.
又上述三个不等式中等号不能同时成立.
∴··＞abc成立.
上式两边同时取常用对数，
得lg＞lg abc，
∴lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c.
10.设数列{a }是公比为q的等比数列，S 是它的前n项和.
n n
(1)求证：数列{S }不是等比数列；
n
(2)数列{S }是等差数列吗？为什么？
n
(1)证明 假设数列{S }是等比数列，则S＝S S ，
n 1 3
即a(1＋q)2＝a ·a ·(1＋q＋q2)，
1 1
因为a ≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，
1
即q＝0，这与公比q≠0矛盾，
所以数列{S }不是等比数列.
n
(2)解 当q＝1时，S ＝na ，故{S }是等差数列；
n 1 n
当q≠1时，{S }不是等差数列，
n
否则2S ＝S ＋S ，即2a (1＋q)＝a ＋a (1＋q＋q2)，
2 1 3 1 1 1
得q＝0，这与公比q≠0矛盾.
综上，当q＝1时，数列{S }是等差数列；当q≠1时，数列{S }不是等差数列.
n n
11.已知函数f(x)＝，a，b是正实数，A＝f，B＝f()，C＝f，则A，B，C的大小关系为(
)
A.A≤B≤C B.A≤C≤B
C.B≤C≤A D.C≤B≤A
解析 ∵≥≥，又f(x)＝在R上是减函数，∴f≤f()≤f.
答案 A
12.设a，b，c均为正实数，则三个数a＋，b＋，c＋( )
A.都大于2 B.都小于2
C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
13.如果a＋b>a＋b，则a，b应满足的条件是________.
解析 ∵a＋b－(a＋b)
＝(a－b)＋(b－a)
＝(－)(a－b)
＝(－)2(＋).
∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(－)2(＋)>0.
∴a＋b>a＋b成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.
答案 a≥0，b≥0且a≠b
14.(2015·安徽卷)设n∈N*，x 是曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线与x轴交点
n
的横坐标.
(1)求数列{x }的通项公式；
n
(2)记T ＝xx…x，证明：T ≥.
n n
(1)解 y′＝(x2n＋2＋1)′＝(2n＋2)x2n＋1，曲线y＝x2n＋2＋1在点(1，2)处的切线斜率
为2n＋2，从而切线方程为y－2＝(2n＋2)(x－1).
令y＝0，解得切线与x轴的交点的横坐标x ＝1－＝，所以数列{x }的通项公式
n n
x ＝.
n
(2)证明 由题设和(1)中的计算结果知，
T ＝xx…x＝….
n
当n＝1时，T ＝.
1
当n≥2时，因为x＝＝>＝＝，
所以T >×××…×＝.综上可得，对任意的n∈N*，均有T ≥.
n n
